平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒doc

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高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

高中数学 第二章 平面向量 2.4 向量的应用 2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物

2.4 向量的应用2.4.1 向量在几何中的应用 2.4.2 向量在物理中的应用1.向量在平面几何中的应用(1)证明线段相等,转化为证明向量的长度相等,求线段的长,转化为求向量的长度; (2)证明线段、直线平行,转化为证明向量共线;(3)证明线段、直线垂直,转化为证明向量的数量积为零; (4)平面几何中与角相关的问题,转化为向量的夹角问题;(5)对于与长方形、正方形、直角三角形等平面几何图形有关的问题,通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x 轴和y 轴,建立平面直角坐标系,通过代数(坐标)运算解决平面几何问题.【自主测试1-1】在四边形ABCD 中,若AB →=13CD →,则四边形ABCD 是( )A .平行四边形B .梯形C .菱形D .矩形解析:由AB →=13CD →⇒AB ∥CD ,且AB ≠CD ,故四边形ABCD 为梯形,故选B .答案:B【自主测试1-2】在△ABC 中,已知|AB →|=|AC →|=4,且AB →·AC →=8,则这个三角形的形状是__________.解析:∵AB →·AC →=|AB →||AC →|cos ∠BAC=8,∴4×4×cos ∠BAC=8,∴∠BAC=60°.又|AB →|=|AC →|,∴△ABC 为等边三角形. 答案:等边三角形2.向量在解析几何中的应用(1)设直线l 的倾斜角为α,斜率为k ,A (x 1,y 1)∈l ,P (x ,y )∈l ,向量a =(m ,n )平行于l ,则k =y -y 1x -x 1=n m =tan α;反之,若直线l 的斜率k =nm,则向量(m ,n )一定与该直线平行.(2)向量(1,k )与直线l :y =kx +b 平行.(3)与a =(m ,n )平行且过点P (x 0,y 0)的直线方程为n (x -x 0)-m (y -y 0)=0. (4)过点P (x 0,y 0),且与向量a =(m ,n )垂直的直线方程为m (x -x 0)+n (y -y 0)=0. 【自主测试2-1】已知直线l :mx +2y +6=0,向量(1-m,1)与l 平行,则实数m 的值为( )A .-1B .1C .2D .-1或2 答案:D【自主测试2-2】过点A (3,-2)且垂直于向量n =(5,-3)的直线方程是__________. 答案:5x -3y -21=0 3.向量在物理中的应用(1)力是具有大小、方向和作用点的向量,它与自由向量有所不同.大小和方向相同的两个力,如果作用点不同,那么它们是不相等的.但是,在不计作用点的情况下,可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力.(2)速度是具有大小和方向的向量,因而可用三角形法则和平行四边形法则求两个速度的合速度.【自主测试3】已知两个力F 1,F 2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N ,合力与F 1的夹角为60°,则F 1的大小为( )A .5 3 NB .5 NC .10 ND .52N 答案:B1.用向量的方法证明直线平行、直线垂直、线段相等及点共线等问题的基本方法 剖析:(1)要证两线段AB =CD ,可转化为证明|AB →|=|CD →|或AB →2=CD →2; (2)要证两线段AB ∥CD ,只要证明存在一实数λ≠0,使AB →=λCD →成立; (3)要证两线段AB ⊥CD ,可转化为证明AB →·CD →=0;(4)要证A ,B ,C 三点共线,只要证明存在一实数λ≠0,使AB →=λAC →,或若O 为平面上任一点,则只需要证明存在实数λ,μ(其中λ+μ=1),使OC →=λOA →+μOB →.2.对直线Ax +By +C =0的方向向量的理解剖析:(1)设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)为直线上不重合的两点,则P 1P 2→=(x 2-x 1,y 2-y 1)及与其共线的向量λP 1P 2→均为直线的方向向量.显然当x 1≠x 2时,向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1,y 2-y 1x 2-x 1与P1P 2→共线,因此向量⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-A B =1B(B ,-A )为直线l 的方向向量,由共线向量的特征可知(B ,-A )为直线l 的方向向量.(2)结合法向量的定义可知,向量(A ,B )与(B ,-A )垂直,从而向量(A ,B )为直线l 的法向量.3.教材中的“探索与研究”利用向量与向量平行、垂直的条件,再次研究两条直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0,l 2:A 2x +B 2y +C 2=0平行和垂直的条件,以及如何求出两条直线夹角θ的余弦.结论:l 1∥l 2(或重合)⇔A 1B 2-A 2B 1=0. l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0.cos θ=|A 1A 2+B 1B 2|A 21+B 21A 22+B 22.剖析:直线l 1:A 1x +B 1y +C 1=0的方向向量为n 1=(-B 1,A 1),直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0的方向向量为n 2=(-B 2,A 2).若l 1∥l 2,则n 1∥n 2,从而有-B 1A 2=-A 1B 2,即A 1B 2-A 2B 1=0. 若l 1⊥l 2,则n 1·n 2=0,从而有B 1B 2+A 1A 2=0. 所以直线l 1∥l 2⇔A 1B 2-A 2B 1=0, 直线l 1⊥l 2⇔A 1A 2+B 1B 2=0. 由于n 1·n 2=A 1A 2+B 1B 2, |n 1|=A 21+B 21,|n 2|=A 22+B 22, 所以cos 〈n 1,n 2〉=A 1A 2+B 1B 2A 21+B 21A 22+B 22. 所以直线l 1与l 2夹角θ的余弦值为cos θ=|cos 〈n 1,n 2〉|=|A 1A 2+B 1B 2|A 21+B 21A 22+B 22.题型一 向量在平面几何中的应用【例题1】已知正方形ABCD 中,E ,F 分别是CD ,AD 的中点,BE ,CF 交于点P . 求证:(1)BE ⊥CF ;(2)AP =AB .分析:建系→确定点A ,B ,C ,E ,F ,P 的坐标→证BE →·CF →=0及|AP →|=|AB →|→还原为几何问题证明:建立如图所示平面直角坐标系,设AB =2,则有A (0,0),B (2,0),C (2,2),E (1,2),F (0,1).(1)BE →=(-1,2),CF →=(-2,-1). ∵BE →·CF →=(-1)×(-2)+2×(-1)=0, ∴BE →⊥CF →,即BE ⊥CF . (2)设点P 的坐标为(x ,y ), 则FP →=(x ,y -1),CF →=(-2,-1), ∵FP →∥CF →,∴-x =-2(y -1),即x =2y -2, 同理,由BP →∥BE →得y =-2x +4,由⎩⎪⎨⎪⎧x =2y -2,y =-2x +4,得⎩⎪⎨⎪⎧x =65,y =85.∴点P 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫65,85.则|AP →|=⎝ ⎛⎭⎪⎫652+⎝ ⎛⎭⎪⎫852=2=|AB →|,即AP =AB . 反思由于向量集数形于一身,用它来研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合,因而向量法是研究几何问题的一个有效的工具,解题时一定注意用数形结合的思想.〖互动探究〗正方形OABC 的边长为1,点D ,E 分别为AB ,BC 的中点,求cos ∠DOE . 解:建立平面直角坐标系如图,则向量OE →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,OD →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1,12,∴OD →·OE →=12×1+1×12=1.又|OD →|=|OE →|=52,∴cos ∠DOE =OD →·OE →|OD →||OE →|=152×52=45.题型二 向量在解析几何中的应用 【例题2】过点A (-2,1),求: (1)与向量a =(3,1)平行的直线方程; (2)与向量b =(-1,2)垂直的直线方程.分析:在直线上任取一点P (x ,y ),则AP →=(x +2,y -1).根据AP →∥a 和AP →⊥b 解题即可.解:设所求直线上任意一点P 的坐标为(x ,y ). ∵A (-2,1),∴AP →=(x +2,y -1).(1)由题意,知AP →∥a ,则(x +2)×1-3(y -1)=0, 即x -3y +5=0.故所求直线方程为x -3y +5=0.(2)由题意,知AP →⊥b ,则(x +2)×(-1)+(y -1)×2=0, 即x -2y +4=0,故所求直线方程为x-2y+4=0.反思已知直线l的方程Ax+By+C=0(A2+B2≠0),则向量(A,B)与直线l垂直,即向量(A,B)为直线l的法向量;向量(-B,A)与l平行,故过点P(x0,y0)与直线l平行的直线方程为A(x-x0)+B(y-y0)=0.【例题3】已知△ABC的三个顶点A(0,-4),B(4,0),C(-6,2),点D,E,F分别为边BC,CA,AB的中点.(1)求直线DE,EF,FD的方程;(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程.分析:(1)利用向量共线的坐标表示求解;(2)利用向量垂直的坐标表示求解.解:(1)由已知,得点D(-1,1),E(-3,-1),F(2,-2).设M(x,y)是直线DE上任意一点,则DM∥DE.又DM=(x+1,y-1),DE=(-2,-2),所以(-2)×(x+1)-(-2)(y-1)=0,即x-y+2=0为直线DE的方程.同理可求,直线EF,FD的方程分别为x+5y+8=0,x+y=0.(2)设点N(x,y)是CH所在直线上的任意一点,则CN⊥AB.所以CN·AB=0.又CN=(x+6,y-2),AB=(4,4),所以4(x+6)+4(y-2)=0,即x+y+4=0为所求直线CH的方程.反思(1)利用向量法来解决解析几何问题,首先要将线段看成向量,再把坐标利用向量法则进行运算.(2)要掌握向量的常用知识:①共线;②垂直;③模;④夹角;⑤向量相等,则对应坐标相等.题型三向量在物理中的应用【例题4】一条河的两岸互相平行,河的宽度为d=500 m,一艘船从A处出发航行到河正对岸的B处,船的航行速度为|ν1|=10 km/h,水流速度为|ν2|=4 km/h.(1)试求ν1与ν2的夹角(精确到1°)及船垂直到达对岸所用的时间(精确到0.1 min); (2)要使船到达对岸所用时间最少,ν1与ν2的夹角应为多少?分析:船(相对于河岸)的航行路线不能与河岸垂直.原因是船的实际航行速度是船本身(相对于河水)的速度与水流速度的合速度.解:(1)依题意,要使船垂直到达对岸,就要使ν1与ν2的合速度的方向正好垂直于对岸,所以|ν|=ν21-ν22=100-16≈9.2(km/h),ν1与ν的夹角α满足sin α=0.4,α≈24°,故ν1与ν2的夹角θ=114°;船垂直到达对岸所用的时间t =d |ν|=0.59.2≈0.054 3(h)≈3.3 min. (2)设ν1与ν2的夹角为θ(如下图).ν1与ν2在竖直方向上的分速度的和为|ν1|·sin θ,而船到达对岸时,在竖直方向上行驶的路程为d =0.5 km ,从而所用的时间t =0.510sin θ.显然,当θ=90°时,t 最小,即船头始终向着对岸时,所用的时间最少,为t =0.510=0.05(h).反思注意“速度”是一个向量,既有大小又有方向.结合具体问题,在理解向量知识和应用两方面下功夫.将物理量之间的关系抽象成数学模型,然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象.题型四 易错辨析【例题5】在直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足OC →=13OA →+23OB →.(1)求证:A ,B ,C 三点共线;(2)已知A (1,cos x ),B (1+sin x ,cos x ),x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,f (x )=OA →·OC →-⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2+23|AB→|的最小值为12,求实数m 的值.错解:(1)∵AB →=OB →-OA →,AC →=OC →-OA →=13OA →+23OB →-OA →=23OB →-23OA →=23AB →,∴AC →∥AB →,∴A ,B ,C 三点共线.(2)∵A (1,cos x ),B (1+sin x ,cos x ), ∴OC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+23sin x ,cos x ,AB →=(sin x,0),从而|AB →|=|sin x |.故f (x )=-(sin x +m 2)2+m 4+2.又sin x ∈[-1,1],∴当sin x =1时,f (x )有最小值, 即-(1+m 2)2+m 4+2=12,解得m =±12.错因分析:错解中忽略了题目中x 的取值范围,造成正弦值的范围扩大. 正解:(1)∵AB →=OB →-OA →,AC →=OC →-OA →=13OA →+23OB →-OA →=23OB →-23OA →=23AB →,∴AC →∥AB →,∴A ,B ,C 三点共线.(2)∵A (1,cos x ),B (1+sin x ,cos x ), ∴OC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫1+23sin x ,cos x ,AB →=(sin x,0),故|AB →|=sin x ,从而f (x )=-(sin x +m 2)2+m 4+2.又当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,sin x ∈[0,1],∴当sin x =1时,f (x )有最小值, 即-(1+m 2)2+m 4+2=12,化简得m 2=14,解得m =±12.1.若向量n 与直线l 垂直,则称向量n 为直线l 的法向量,则直线x +2y +3=0的一个法向量为( )A .(1,2)B .(1,-2)C .(2,1)D .(2,-1)解析:可以确定已知直线l 的斜率k =-12,所以直线的方向向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫1,-12.由a ·n =0,可知应选A .答案:A2.已知A (2,1),B (3,2),C (-1,4),则△ABC 是( ) A .等边三角形 B .锐角三角形 C .直角三角形 D .钝角三角形 答案:C3.过点A (2,3)且垂直于向量a =(2,1)的直线方程是( ) A .2x +y -7=0 B .2x +y +7=0 C .x -2y +4=0 D .x -2y -4=0 答案:A4.在重600 N 的物体上系两根绳子,与铅垂线的夹角分别为30°,60°,重物平衡时,两根绳子拉力的大小分别为( )A .3003N,3003NB .150 N,150 NC .3003N,300 ND .300 N,3003N解析:如图,作矩形OACB ,使∠AOC =30°,∠BOC =60°. 在△OAC 中,∠ACO =∠BOC =60°,∠OAC =90°,所以|OA |=|OC |cos 30°=3003N , |AC |=|OC |sin 30°=300 N , |OB |=|AC |=300 N. 答案:C5.通过点A (3,2)且与直线l :4x -3y +9=0平行的直线方程为__________. 答案:4x -3y -6=06.已知两个粒子a ,b 从同一点发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为v a =(4,3),v b =(3,4),则v a 在v b 上的正射影为__________.解析:由题知v a 与v b 的夹角θ的余弦值为 cos θ=12+125×5=2425.所以v a 在v b 上的正射影为|v a |cos θ=5×2425=245.答案:2457.平面上不共线的三点A ,B ,C 使得AB +BC 所在的直线和AB -BC 所在的直线恰好互相垂直,则△ABC 必为__________三角形.解析:如图所示,作ABCD ,易知AB +BC =AC ,AB -BC =AB -AD =DB .依题意,知BD 与AC 互相垂直,故ABCD 为菱形,从而△ABC 为等腰三角形,且∠ABC 为顶角.答案:等腰 8.如图所示,已知ABCD 是菱形,AC 和BD 是它的两条对角线,求证:AC ⊥BD .证明:证法一:∵AC =AB +AD ,BD =AD -AB ,∴AC ·BD =(AB +AD )·(AD -AB )=|AD |2-|AB |2=0.∴AC ⊥BD . ∴AC ⊥BD .证法二:以BC所在的直线为x轴,点B为原点建立平面直角坐标系.设B(0,0),A(a,b),C(c,0),则由|AB|=|BC|,得a2+b2=c2.∵AC=BC-BA=(c-a,-b),BD=BA+BC=(a+c,b),∴AC·BD=c2-a2-b2=0.∴AC⊥BD,∴AC⊥BD.。

平面向量计算易错点预测

平面向量计算易错点预测

平面向量计算易错点预测在学习平面向量计算时,很多人都会遇到一些容易出错的点。

这些点可能是在计算时容易混淆的地方,或者是常见的错误操作。

本文将针对平面向量计算中的易错点进行预测,并提供解决方法,帮助读者更好地理解和应用平面向量。

1. 向量的加法和减法向量的加法和减法是平面向量计算的基础运算,然而在计算时常常容易出错。

一种常见的错误是错用了向量的加法法则,将加法运算错误地应用于减法计算中。

为了避免这种错误,我们需要明确向量的加法和减法的定义和规则。

向量的加法是将两个向量的对应分量相加,减法是将两个向量的对应分量相减。

正确理解和应用加法和减法的定义将有助于避免相关错误的发生。

2. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个分量与一个标量相乘。

在计算过程中,容易出现两个常见的错误。

首先是忘记将标量应用于每个分量,导致只对向量的一个分量进行乘法运算。

为了避免这种错误,需要明确数量乘法的定义和规则,即将标量应用于向量的每个分量。

其次是乘法运算时分配律的错误应用。

分配律指的是将标量与两个向量相加或相减后再进行乘法运算。

错误的应用分配律将导致计算结果错误。

因此,在进行向量的数量乘法时,需要正确理解和应用相关的定义和规则。

3. 向量的数量积和向量积向量的数量积和向量积是平面向量计算中的两个重要概念。

然而,在计算数量积和向量积时,也容易出现易错的情况。

一个常见的错误是忘记进行向量分量的对应乘法。

数量积是将两个向量的对应分量相乘后再相加,向量积是将两个向量的对应分量相乘后再相减。

忽略对应乘法将导致计算结果错误。

另一个常见的错误是在计算向量积时将向量的顺序颠倒。

向量积具有交换律,但是交换向量顺序将会导致计算结果的符号发生改变。

为了避免这些错误,我们需要仔细理解和应用数量积和向量积的定义和规则。

4. 平面向量的模和方向角平面向量的模是指向量的长度,方向角是指向量与坐标轴的夹角。

在计算平面向量的模和方向角时,也会出现一些易错的情况。

(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型

(完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型

平面向量一.向量的基本概念与基本运算1①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a,,……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法,(y x yj xi a向量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a|向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的,0 与任意向量平行零向量a =0|a|=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量 |0a|=1④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a大小相等,方向相同),(),(2211y x y x2121y y x x2求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u ur u u u r =AC uuu r(1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律;向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”:(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则.向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ,但这时必须“首尾相连”.3① 相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a的相反向量记作a,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有: (i ))(a =a; (ii) a +(a )=(a )+a =0 ; (iii)若a 、b是互为相反向量,则a =b ,b =a ,a +b =0 ②向量减法:向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b的差,记作:(b a b a求两个向量差的运算,叫做向量的减法③作图法:b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量(a 、b有共同起点)4①实数λ与向量a 的积是一个向量,记作λa,它的长度与方向规定如下:(Ⅰ)a a;(Ⅱ)当0 时,λa 的方向与a 的方向相同;当0 时,λa 的方向与a的方向相反;当0 时,0a ,方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5向量b 与非零向量a共线 有且只有一个实数 ,使得b =a6如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数21, 使:2211e e a ,其中不共线的向量21,e e叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:(1)向量的加法与减法是互逆运算(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件 (3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示 1在直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量,i j r r作为基底量的基本定理知,该平面内的任一向量a r 可表示成a xi yj r r r,由于a r 与数对(x,y)是一一对应的,因此把(x,y)叫做向量a r 的坐标,记作a r =(x,y),其中x 叫作a r在x 轴上的坐标,y叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关2(1) 若 1122,,,a x y b x y r r ,则 1212,a b x x y y rr (2) 若 2211,,,y x B y x A ,则 2121,AB x x y y u u u r(3) 若a r =(x,y),则 a r=( x, y)(4) 若 1122,,,a x y b x y r r ,则1221//0a b x y x y rr (5) 若 1122,,,a x y b x y r r,则1212a b x x y y r r若a b rr ,则02121 y y x x3及其各运算的坐标表示和性质三.平面向量的数量积 1已知两个非零向量a r 与b r ,它们的夹角为 ,则a r ·b r =︱a r ︱·︱b r ︱cos 叫做a r 与b r的数量积(或内积) 规定0a r r2︱b r ︱cos =||a ba r r r ∈R ,称为向量b r 在a r 方向上的投影为射影3a r ·b r 等于a r的长度与b r 在a r 方向上的投影的乘积42||a a a a r r r r52222a b a b a b a b r r r r r r r r ;2222a b a a b br r r r r r 222a a b b r r r r6①交换律成立:a b b a r r r r②对实数的结合律成立:a b a b a b R r r r r r r③分配律成立: a b c a c b c r r r r r r r c a b rr r特别注意:(1)结合律不成立: a b c a b c r r r r r r;(2)消去律不成立a b a cr r r r 不能得到b c r r(3)a b r r =0不能得到a r =0r 或b r =r7已知两个向量1122(,),(,)a x y b x y r r,则a r ·b r =121x x y y 已知两个非零向量a r与b r ,作OA u u u r =a r , OB uuu r =b r ,则∠AOB=(01800 )叫做向量a r 与b r的夹角cos =cos ,a ba b a b • •r r r r r r =222221212121y x y x y y x x当且仅当两个非零向量a r 与b r 同方向时,θ=00,当且仅当a r 与b r 反方向时θ=1800,同时0r 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9:如果a r 与b r 的夹角为900则称a r 与b r 垂直,记作a r ⊥b r10两个非零向量垂直的充要条件:a ⊥b a ·b=O 2121 y y x x 平面向量数量积的性质题型1.基本概念判断正误:(1)共线向量就是在同一条直线上的向量.(2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点. (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的.(4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD u u u r u u u r. (5)若AB CD u u u r u u u r,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.(6)因为向量就是有向线段,所以数轴是向量.(7)若a r 与b r 共线, b r 与c r 共线,则a r 与c r共线. (8)若ma mb r r ,则a b r r.(9)若ma na r r,则m n .(10)若a r 与b r 不共线,则a r 与b r都不是零向量. (11)若||||a b a b r r r r,则//a b r r . (12)若||||a b a b r r r r,则a b r r .题型2.向量的加减运算1.设a r 表示“向东走8km ”, b r 表示“向北走6km ”,则||a b r r.2.化简()()AB MB BO BC OM u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r.3.已知||5OA u u u r ,||3OB u u u r ,则||AB uuu r的最大值和最小值分别为 、 .4.已知AC AB AD u u u r u u u r u u u r 为与的和向量,且,AC a BD b u u u r r u u u r r ,则AB u u u r ,AD u u u r.5.已知点C 在线段AB 上,且35AC AB u u u r u u u r ,则AC u u u r BC uuu r ,AB u u u rBC uuu r .题型3.向量的数乘运算1.计算:(1)3()2()a b a b r r r r (2)2(253)3(232)a b c a b c r r r r r r2.已知(1,4),(3,8)a b r r ,则132a b rr .题型4.作图法球向量的和已知向量,a b r r ,如下图,请做出向量132a b r r和322a b r r .a rb r题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在ABC 中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC u u u r u u u r ,表示AD u u u r. 2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b u u u r u u u r rr ,求AB AD u u u r u u u r 和.题型6.向量的坐标运算1.已知(4,5)AB u u u r,(2,3)A ,则点B 的坐标是 .2.已知(3,5)PQ u u u r,(3,7)P ,则点Q 的坐标是 .3.若物体受三个力1(1,2)F r ,2(2,3)F r ,3(1,4)F r,则合力的坐标为 .4.已知(3,4)a r,(5,2)b r ,求a b r r ,a b r r ,32a b r r .5.已知(1,2),(3,2)A B ,向量(2,32)a x x y r与AB u u u r 相等,求,x y 的值. 6.已知(2,3)AB u u u r ,(,)BC m n u u u r ,(1,4)CD u u u r ,则DA u u u r.7.已知O 是坐标原点,(2,1),(4,8)A B ,且30AB BC u u u r u u u r r ,求OC uuu r的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知12,e e u r u u r是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底: A.1212e e e e u r u u r u r u u r 和 B.1221326e e e e u r u u r u u r u r 和4 C.122133e e e e u r u u r u u r u r 和 D.221e e e u u r u u r u r 和2.已知(3,4)a r ,能与a r构成基底的是( ) A.34(,)55 B.43(,)55 C.34(,)55 D.4(1,)3题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA u u u r ,150xOA o,求OA u u u r 的坐标.2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||OA u u u r ,60xOA o,求OA u u u r 的坐标.题型9.求数量积1.已知||3,||4a b r r ,且a r 与b r 的夹角为60o,求(1)a b r r ,(2)()a a b r r r , (3)1()2a b b r r r ,(4)(2)(3)a b a b r r r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ,求(1)||,||a b r r ,(2)a b r r ,(3)(2)a a b rr r ,(4)(2)(3)a b a b r r r r.题型10.求向量的夹角1.已知||8,||3a b r r,12a b r r ,求a r 与b r 的夹角.2.已知(2)a b r r,求a r 与b r 的夹角.3.已知(1,0)A ,(0,1)B ,(2,5)C ,求cos BAC . 题型11.求向量的模1.已知||3,||4a b r r ,且a r 与b r 的夹角为60o,求(1)||a b r r ,(2)|23|a b r r .2.已知(2,6),(8,10)a b r r ,求(1)||,||a b r r ,(5)||a b r r ,(6)1||2a b rr .3.已知||1||2a b r r ,,|32|3a b r r ,求|3|a b r r .题型12.求单位向量 【与a r 平行的单位向量:||ae a rr r 】1.与(12,5)a r平行的单位向量是 . 2.与1(1,)2m r平行的单位向量是 . 题型13.向量的平行与垂直1.已知(6,2)a r,(3,)b m r ,当m 为何值时,(1)//a b r r ?(2)a b r r ?2.已知(1,2)a r,(3,2)b r ,(1)k 为何值时,向量ka b r r 与3a b r r 垂直? (2)k 为何值时,向量ka b r r 与3a b r r平行?3.已知a r 是非零向量,a b a c r r r r ,且b c r r ,求证:()a b c r rr .题型14.三点共线问题1.已知(0,2)A ,(2,2)B ,(3,4)C ,求证:,,A B C 三点共线.2.设5),28,3()2AB a b BC a b CD a bu u u r rr u u u r r r u u u r r r ,求证:A B D 、、三点共线.3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b u u u r r r u u u r r r u u u r r r,则一定共线的三点是 .4.已知(1,3)A ,(8,1)B ,若点(21,2)C a a 在直线AB 上,求a 的值.5.已知四个点的坐标(0,0)O ,(3,4)A ,(1,2)B ,(1,1)C ,是否存在常数t ,使OA tOB OC u u u r u u u r u u u r成立?题型15.判断多边形的形状1.若3AB e u u u r r ,5CD e u u u r r ,且||||AD BC u u u r u u u r,则四边形的形状是 .2.已知(1,0)A ,(4,3)B ,(2,4)C ,(0,2)D ,证明四边形ABCD 是梯形.3.已知(2,1)A ,(6,3)B ,(0,5)C ,求证:ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内,(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC u u u r u u u r u u u r,求证:ABC 是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知(1,0)a r,(2,1)b r ,当k 为何值时,向量ka b r r 与3a b r r 平行?2.已知a r,且a b r r ,||2b r ,求b r 的坐标. 3.已知a b r r 与同向,(1,2)b r,则10a b r r ,求a r 的坐标.3.已知(1,2)a r ,(3,1)b r ,(5,4)c r,则c r a r b r .4.已知(5,10)a r ,(3,4)b r ,(5,0)c r,请将用向量,a b r r 表示向量c r .5.已知(,3)a m r,(2,1)b r ,(1)若a r 与b r 的夹角为钝角,求m 的范围;(2)若a r 与b r的夹角为锐角,求m 的范围.6.已知(6,2)a r,(3,)b m r ,当m 为何值时,(1)a r 与b r 的夹角为钝角?(2)a r 与br 的夹角为锐角?7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2)A ,(3,4)B ,(2,1)D ,且//AB DC ,2AB CD ,求点C 的坐标.8.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标分别为(2,1)A ,(1,3)B ,(3,4)C ,求第四个顶点D 的坐标.9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30o 角,求水流速度与船的实际速度.10.已知ABC 三个顶点的坐标分别为(3,4)A ,(0,0)B ,(,0)C c ,(1)若0AB AC u u u r u u u r,求c 的值;(2)若5c ,求sin A 的值.【备用】1.已知||3,||4,||5a b a b r r r r ,求||a b r r 和向量,a b r r的夹角.2.已知x a b r r r ,2y a b u r r r ,且||||1a b r r ,a b r r ,求,x y r u r的夹角的余弦.1.已知(1,3),(2,1)a b r r ,则(32)(25)a b a b r r r r.4.已知两向量(3,4),(2,1)a b r r,求当a xb a b r r r r 与垂直时的x 的值. 5.已知两向量(1,3),(2,)a b r r,a b r r 与的夹角 为锐角,求 的范围.11 变式:若(,2),(3,5)a b r r ,a b r r 与的夹角 为钝角,求 的取值范围.选择、填空题的特殊方法:1.代入验证法例:已知向量(1,1),(1,1),(1,2)a b c r r r ,则c r ( ) A.1322a b r r B.1322a b r r C.3122a b r r D.3122a b r r 2.排除法例:已知M 是ABC 的重心,则下列向量与AB u u u r 共线的是( )A.AM MB BC u u u u r u u u r u u u rB.3AM AC u u u u r u u u rC.AB BC AC u u u r u u u r u u u rD.AM BM CM u u u u r u u u u r u u u u r。

(规避易错题系列)第六章 平面向量及其应用 (原卷版)

(规避易错题系列)第六章 平面向量及其应用 (原卷版)

第六章 平面向量及其应用 典型易错题集易错点1.忽视0例题1.(2021·全国·高一课时练习)给出下列命题:①若a b =-,则||||a b =;②若||||a b <,则a b <;③若a b =,则//a b ;④若//,//a b b c ,则//a c .其中正确说法的个数是( ) A .0B .1C .2D .3【常见错解】D解:因为a b =-,则向量,a b 互为相反向量,所以||||a b =,故①正确; 因为向量不能比较大小,故②错误; 若a b =,则向量,a b 方向相同,故③正确;若//,//a b b c ,由平行的传递性,则//a c ,故④正确. 所以正确说法的个数是3个. 故选:D.【动手实战】1.(2021·上海·)判断下列命题:①两个有共同起点而且相等的非零向量,其终点必相同;②若//a b ,则a 与b 的方向相同或相反;③若//a b ,且//b c ,则//a c ;④若a b =,则2a b >.其中,正确的命题个数为( ) A .0B .1C .2D .32.(2020·宁夏育才中学)有下列命题:①若a b →→=,则a b →→=;②若AB DC →→=,则四边形ABCD 是平行四边形; ③若m n →→=,n k →→=,则m k →→=; ④若//a b →→,//b c →→,则//a c →→. 其中,假命题的个数是( ) A .1B .2C .3D .4易错点2.混淆向量模相等与向量相等例题1.(2022·江西·贵溪市实验中学高二期末)若向量a b =,则a b = ( )【常见错解】正确【错因分析】未能正确理解向量模与向量的关系,向量既有大小,又有方向,||||a b a b =⇔=且,a b 同向.本例中a b =,仅仅只是说明,a b 模相等,对于方向,无限可能,所以无法由a b =得到a b =. 【动手实战】1.(2021·全国·高一课时练习)命题“若m n =,n k =,则m k =” 的真假性为( ) 2.(2021·全国·高一课时练习)若a 与b 都是单位向量,则a b =.( )易错点3.误把两向量平行当成两向量同向例题1.(2021·云南·昆明二十三中高一期中)下列命题正确的是( ) A .a b a b =⇒= B .a b a b >⇒> C .//=0a b a b ⇒<>, D .00a a =⇒=【常见错解】C【错因分析】对于向量平行问题,//a b ,很多同学总是当做直线平行记忆,认为直线平行那不是成0角,想当然认为向量的平行也是成0,在刚学习向量时,特别要注意向量,直线的区别.【动手实战】1.(2022·全国·高三专题练习)已知向量a ,b 为非零向量,则“向量a ,b 的夹角为180°”是“//a b ”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件2.(2021·内蒙古·赤峰学院附属中学高一期末)下列说法正确的是( ) A .方向相同的向量叫做相等向量 B .共线向量是在同一条直线上的向量 C .零向量的长度等于0D .//AB CD 就是AB 所在的直线平行于CD 所在的直线易错点4.混淆向量数量积运算和数乘运算的结果例题1.(2021·全国·)设a ,b ,c 是三个向量,以下四个选项正确的是( ) A .若0a ≠,0b ≠,0c ≠,则()()a b c a b c ⋅=⋅ B .若0a b ⋅=,0a ≠,则0b = C .若a b b c ⋅=⋅,且0b ≠,则a c = D .a b b a ⋅=⋅ 【常见错解】A【错因分析】很同学看到A 中0a ≠,0b ≠,0c ≠,再看结论()()a b c a b c ⋅=⋅直接把向量的点乘和数乘,当做实数乘法运算了,()()ab c a bc =,混淆了向量的点乘结果,数乘结果.事实上对于()()a b c a b c ⋅=⋅,左边的本质是:c λ,右边的本质是:a μ,无法得到c a λμ=. 【动手实战】1.(2022·浙江·模拟预测)已知平面非零向量,,a b c ,则“()()a b c a c b ⋅⋅=⋅⋅”是“b c =”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.(2021·海南·海口一中高三阶段练习)已知,,a b c 为非零平面向量,则下列说法正确的是( ) A .()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ B .若a c b c ⋅=⋅,则a b = C .若//a b ,则R,b a λλ∃∈=D .||||||a b a b ⋅=⋅3.(2020·河南·南阳中学(文))由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则: ①“mn nm =”类比得到“a b b a ⋅=⋅”;②“()m n t mt nt +=+”类比得到“()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ”; ③“()()m n t m n t ⋅=⋅”类比得到“()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅”;④“0t ≠,mt xt m x =⇒=”类比得到“0p ≠,a p x p a x ⋅=⋅⇒=”; ⑤“m n m n ⋅=⋅”类比得到a b a b ⋅=⋅; ⑥“ac abc b =”类比得到“a c abc b⋅=⋅”. 以上式子中,类比得到的结论正确的个数是( ). A .1B .2C .3D .4易错点5.向量求模忘记开根号例题1.(2022·江西·高三阶段练习(理))已知向量,,||6,(3,4)a b a b ==-,若a 在b 的投影为14-,则|32|a b -=( )A .169B .13C .196D .14【常见错解】A解:因为(3,4)b =-,所以()235b =-,因为a 在b 的投影为14-,所以14a b b ⋅=-,所以1544a b b ⋅=-=-,所以222225(32)91249(6)12()451694a b a a b b -=-⋅+=⨯-⨯-+⨯= 故选:A【错因分析】典型的解题时忘记求模开根号,习惯没有养成要,先求2(32)a b -,再开根号为答案,往往学生求出2(32)a b -就忘记开根号,养成好的习惯对于求模问题()222|32|329124a b a b a a b b -=-=-⋅+,在平时训练时就注意开根号.【动手实战】1.(2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试)已知非零向量,a b →→满足|2|||a b a b →→→→-=+,且3a b →→⋅=,则向量b →的模长为_________.2.(2022·湖南·高一课时练习)已知2a =,3b =,a 与b 的夹角为3π,试求: (1)a b +;(2)a b -.易错点6.忽视两个向量成为基底的条件1.(多选)(2022·全国·高一)在下列向量组中,可以把向量()3,2a →=表示出来的是( ) A .()()120,0,1,2e e →→== B .()()121,2,5,2e e →→=-=- C .()()123,5,6,10e e →→== D .()()122,3,2,3e e →→=-=【常见错解】BCD选项A :()10,0e →=,不能作为基底,对于BCD 都不含0,可以作为基底表示其它向量【错因分析】对基底的概念理解不够透彻,两个向量能否作为一组基底表示其它向量,判断的标准是这两个向量是否共线,对于选项C .()()123,5,6,10e e →→==,显然212e e →→=,说明12,e e →→共线,不能用来做基底.【动手实战】1.(多选)(2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习)已知1e ,2e 是不共线的非零向量,则以下向量不可以作为基底的是( ) A .0a =,12b e e =+ B .1233a e e =+,12b e e =+ C .122a e e =-,12b e e =+D .122a e e =-,1224b e e =-2.(多选)(2021·浙江·高二期末)设12,e e 是平面内两个不共线的向量,则以下,a b 可作为该平面内一组基底的( ) A .121,a e e b e =+= B .1212112,24a e eb e e =+=+C .1212,a e e b e e =+=-D .12122,4a e e b e e =-=-+易错点7.记反了向量减法运算差向量的方向例题1.(2021·全国·高三专题练习)正三角形ABC 边长为2,设2BC BD =,3AC AE =,则·AD BE =_____. 【常见错解】因为2BC BD =,所以点D 是BC 的中点,所以()12AD AB AC =+, 3AC AE =,所以13BE AB AE AB AC =-=-,所以()2211133311·()22AB AC A AD BE AB AC ABC AC AB AB AC ⎛⎫=+⋅=--⋅+⋅⎪⎭- ⎝ 124(422cos60)2233=+⨯⨯⨯-= 【错因分析】本题选定了,AB AC 作为基底,在用基底,AB AC 表示向量13BE AB AE AB AC =-=-时,向量减法运算错误,a b -最后的结果应该指向a 向量,所以正确的表示应该是13BE AE AB AC AB =-=-.【动手实战】1.(2021·云南省泸西县第一中学高二期中)已知M ,N 分别是线段,OA OB 上的点,且,2OM MA ON NB ==,若MN OA OB λμ=+,则λμ+=___________.2.(2021·全国·高一课时练习)在三角形ABC 中,若3AB AC AP +=,且CP xAB y AC =+,则x y -=_______ 3.(2022·浙江·高三专题练习)设O 为四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点,若AB a =,AD b =,OD c =,则OB =___________.易错点8.错误使用a b 的等价条件例题1.(2022·全国·高三专题练习(文))已知向量()2,1a →=,()1,b k →=,若2//a b k a →→→⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则实数k =___________.【常见错解】()24,12a b k →→+=+,()2,k a k k →=,若2//a b k a →→→⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则412122k k k k +=⇒= 【错因分析】错误的运用向量平行的等价条件,对于11(,)m x y =,22(,)n x y =,12210m n x y x y ⇔-=,而本题错误的运用为1122x y m n x y ⇔=,此时容易忽略0这个解.【动手实战】1.(2022·湖南·长沙一中高三阶段练习)已知向量a =(2,1),b =(1,k )(0k ≠),若()()2a b ka +∥,则非零实数k=________.2.(2021·全国·高一课时练习)已知向量a =(m ,1),b =(m ﹣6,m ﹣4),若a ∥b ,则m 的值为__.易错点9.忽视两向量夹角,a b <>的取值范围例题1.(2021·重庆·临江中学高三阶段练习)已知()1,2a =,(),3b μ=,向量a 与向量b 夹角为锐角,则μ的取值范围为________.【常见错解】因为()1,2a =,(),3b μ=,且向量a 与向量b 夹角为锐角,所以0a b ⋅> 所以:12306μμ⨯+⨯>⇒>-【错因分析】错误的认为向量a 与向量b 夹角为锐角0a b ⇔⋅>,事实上0a b ⋅>⇔向量a 与向量b 夹角为锐角或0角,本题错解忽略了0的情况.1.(2021·上海·高一课时练习)设a =(2,x ),b =(-4,5),若a 与b 的夹角θ为钝角,则x 的取值范围是___________.2.(2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习)向量(2,)a t =,(1,3)b =-,若,a b 的夹角为钝角,则t 的范围是________.3.(2022·全国·高三专题练习(文))已知()()1,2,1,1a b ==,且a 与a λb +的夹角为锐角,则实数λ的取值范围为___________.易错点10.混淆向量点乘运算和实数乘法运算例题1.(2021·福建龙岩·高三期中)已知46a b ==,,且a 与b 的夹角为060,则2a b -=___________ 【常见错解】由题意可知,46a b ==,,()2222=2=4441642a b a b a a b b ---⋅+=⨯-【错因分析】本题错例是考试中常见的一种错误,混淆了向量a b ⋅和实数ab 相乘得运算法则.【动手实战】1.(2021·北京十五中高一期中)已知非零向量,a b 夹角为45,且2,2a a b =-=.则b 等于_________. 2.(2020·江苏·淮阴中学三模)已知向量a 与向量b 的夹角为60︒,||1a b ==,则a b -=______.易错点11.误把向量的投影当非负数1.(2022·黑龙江·哈师大附中高三期末(理))已知向量a 与b 的夹角为2π3,2a =,则a 在b 方向上的投影为( )A B C .D .【常见错解】B 向量a 与b 的夹角为2π3,2a =a 在b 方向上的投影为2π1|cos||32a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭【错因分析】未能正确理解向量的投影,习惯性认为投影是一个非负数,所以在求投影时,考生自己加了绝对值符号上去.特别提醒,向量的投影,可正可负可为零.1.(2022·四川叙州·高三期末(文))若向量,a b 满足()2,26a a b a =+⋅=,则b 在a 方向上的投影为( ) A .1B .-1C .12-D .122.(2021·四川·宁南中学高一开学考试)已知向量a ,b 的夹角为120°,4a =,1=b ,则a 在b 方向上的投影为( )A .2-B .12C .1-D .3.(2021·全国·高一课时练习)已知1a =,2b =,且()a ab ⊥+,则a 在b 上的投影向量为( ) A .b -B .bC .14b -D .14b易错点12.混淆向量的夹角定义例题1.(2021·全国·高一课时练习)在边长为2的正三角形中,设BC a =,CA b =,AB c =,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=______. 【常见错解】6因为ABC 是边长为2的等边三角形,所以2a b c ===, 所以12222a b b c c a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=, 所以2226a b b c c a ⋅+⋅+⋅=++=【错因分析】错误理解向量的夹角,在使用||||cos ,a b a b a b ⋅=<>求解时,特别注意,a b <>,要共起点才能找夹角,否则使用的可能是其补角造成错误。

平面向量的应用重难点解析版

平面向量的应用重难点解析版

突破6.4 平面向量的应用一、学情分析高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算,以运算求解和数形结合为主,重点掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算,能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系,掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等,注重转化与化归思想的应用.1.平面向量的数量积一直是高考的一个热点,尤其是平面向量的数量积,主要考查平面向量的数量积的 运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题.题型一般以选择题、填空题为主.2.平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容,尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高 考考查的重点内容,一般是通过向量的坐标表示,将几何问题转化为代数问题来解决,多以选择题或填空题的形式呈现,有时也作为解答题中的条件,应用向量的平行或垂直关系进行转换.二、学法指导与考点梳理考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧: 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a =λb ⇔x 1y 2-x 2y 1=0, 其中a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),b ≠0 垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0,其中a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),且a ,b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ=a ·b|a ||b |(θ为向量a ,b 的夹角),其中a ,b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |=a 2=x 2+y 2,其中a =(x ,y ),a 为非零向量平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。

考点二 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中,若角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,R 为△ABC 外接圆半径,则 定理 正弦定理余弦定理公式a sin A =b sin B =c sin C=2R a 2=b 2+c 2-2bc cos A ;b 2=c 2+a 2-2ca cos B ;c 2=a 2+b 2-2ab cos C常见 变形(1)a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ;(2)sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R ;(3)a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ;(4)a sin B =b sin A ,b sin C =c sin B ,a sin C =c sin Acos A =b 2+c 2-a 22bc ;cos B =c 2+a 2-b 22ac ;cos C =a 2+b 2-c 22ab2.S △ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B =abc 4R =12(a +b +c )·r (r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算R ,r .3.在△ABC 中,已知a ,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a =b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解重难点题型突破1 平面向量在平面几何中的应用(奔驰定理)例1、(1).(2022·四川西昌·高二期末(理))在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式:0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”,若ABC 的三边为a ,b ,c ,现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC 的( )A .外心B .内心C .重心D .垂心【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形面积公式,推出点O 到三边距离相等。

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结

高考平面向量题型归纳总结在高考数学考试中,平面向量是一个常见的考点,也是学生普遍认为较为困难的部分之一。

平面向量题型包括向量的加减、数量积、向量方向等。

本文将对高考平面向量题型进行归纳总结,帮助学生更好地掌握此类题型。

一、向量的加减1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律,即a + b = b + a,(a + b) + c = a + (b + c)。

在解题过程中,可以利用向量的平移性质,将向量平移至同一起点,再连接终点得到新的向量。

2. 向量的减法向量的减法可以转化为加法进行处理,即a - b = a + (-b)。

其中,-b表示b的反向量,即方向相反的向量,模长相等。

二、数量积数量积又称为内积或点积,记作a·b。

1. 定义对于两个向量a(x₁, y₁)和b(x₂, y₂),它们的数量积a·b = x₁x₂ +y₁y₂。

另外,数量积还可以表示为向量模长和夹角的乘积,即a·b =|a| · |b| · cosθ,其中θ为a与b的夹角。

2. 性质(1) 交换律:a·b = b·a(2) 分配律:a·(b + c) = a·b + a·c(3) 结合律:k(a·b) = (ka)·b = a·(kb),其中k为实数(4) 若a·b = 0,则a与b垂直或其中一个为零向量(5) 若a·b > 0,则夹角θ为锐角;若a·b < 0,则夹角θ为钝角。

三、向量方向向量的方向可以用两种方式来表示:1. 向量的方向角:向量a(x, y)的方向角为与x轴正方向之间的夹角α,其中-π < α ≤ π。

2. 方向余弦:向量a(x, y)的方向余弦为与x轴的夹角的余弦值cosα,与y轴的夹角的余弦值cosβ。

在解决平面向量题型时,可以利用这两种方式来确定向量的方向。

平面向量知识点归纳及常考题型分析

平面向量知识点归纳及常考题型分析

平面向量知识点归纳及常考题型分析【知识点回顾】1、实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数,那么(1) 结合律:λ(μa )=(λμ) a ;(2)第一分配律:(λ+μ) a =λa +μa ;(3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb2、向量的数量积的运算律:(1) a ·b = b ·a (交换律);(2)(λa )·b = λ(a ·b )=λa ·b =a ·(λb );(3)(a +b )·c = a ·c +b ·c3、平面向量基本定理如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a =λ11e +λ22e .不共线的向量1e 、2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.4、向量共线(平行)的坐标表示设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则a //b (b ≠0)1221x y x y ⇔-=5、a 与b 的数量积(或内积):a ·b =|a ||b |cos θ6、a ·b 的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积.7、平面向量的坐标运算(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a +b =1212(,)x x y y ++(2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a -b =1212(,)x x y y --(3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,AB OB OA x x y y =-=--(4)设a =(,),x y R λ∈,则λa =(,x y λλ (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b =1212(x x y y +8、两向量的夹角公式 121cos ||||x a b a b x θ⋅==⋅+a =11(,)x y ,b =22(,)x y )9、平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ,B 22(,)x y ) 10、向量的平行与垂直 :设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则 a ||b ⇔b =λa 1221x y x y ⇔-=a ⊥b (a ≠0)⇔ a ·b =01212x x y y ⇔+=11、线段的定比分公式 :设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=,则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-(11t λ=+) 12、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,33x x x y y y G ++++ 13、点的平移公式''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且'PP 的坐标为(,h k 14、“按向量平移”的几个结论(1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,P x h y k ++ (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的函数解析式为()y f x h k =-+ (3) 图象'C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则'C 的函数解析式为()y f x h k =+-(4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则'C 的方程为(,)f x h y k --= (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,x y15、 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC ∆所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则(1)O 为ABC ∆的外心222OA OB OC ⇔== (2)O 为ABC ∆的重心0OA OB OC ⇔++=(3)O 为ABC ∆的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅(4)O 为ABC ∆的内心0aOA bOB cOC ⇔++=(5)O 为ABC ∆的A ∠的旁心aOA bOB cOC ⇔=+【题型归纳】一、向量的概念和基本运算例1、(1)判断下列命题是否正确:①若a b =,则a b =;②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同,终点相同;③若AB DC =,则ABCD 是平行四边形;④若ABCD 是平行四边形,则AB DC =;⑤若,a b b c ==,则a c =;⑥若//,//a b b c ,则//a c 。

暑期培优:第四章 平面向量(必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版

暑期培优:第四章 平面向量(必记知识点+必明易错点+必会方法)学生版

专题四、平面向量平面向量的概念及其线性运算1.向量的有关概念(1)向量:既有大小,又有方向的量叫向量;向量的大小叫做向量的模. (2)零向量:长度为0的向量,其方向是任意的. (3)单位向量:长度等于1个单位的向量.(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量,规定:0与任一向量共线. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算平行四边形法则向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa .1.作两个向量的差时,要注意向量的方向是指向被减向量的终点;2.在向量共线的重要条件中易忽视“a ≠0”,否则λ可能不存在,也可能有无数个; 3.要注意向量共线与三点共线的区别与联系.[试一试]1.(2013·苏锡常镇二调)如图,在△OAC 中,B 为AC 的中点,若OC =x OA +y OB (x ,y ∈R ),则x -y =________.2.若菱形ABCD 的边长为2,则|AB -CB +CD |=________.1.向量的中线公式若P 为线段AB 的中点,O 为平面内一点,则OP =12(OA +OB ).2.三点共线等价关系A ,P ,B 三点共线⇔AP =λAB (λ≠0)⇔ OP =(1-t )·OA +t OB (O 为平面内异于A ,P ,B 的任一点,t ∈R )⇔OP =x OA +y OB (O 为平面内异于A ,P ,B 的任一点,x ∈R ,y ∈R ,x +y =1).[练一练]1.D 是△ABC 的边AB 上的中点,若CD =x BA +y BC ,则x +y =________. 2.已知a 与b 是两个不共线向量,且向量a +λb 与-(b -3a )共线,则λ=________.①若|a |=|b |,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB =CD 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ; ④a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ; ⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 其中正确命题的序号是________.2.设a 0为单位向量,①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0.上述命题中,假命题的个数是________.[类题通法]平面向量中常用的几个结论(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图像的平移混为一谈.(3)a |a |是与a 同向的单位向量,-a|a |是与a 反向的单位向量.[典例] (2013·江苏高考)设D ,E 分别是△ABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC .若DE =λ1AB +λ2AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.[类题通法]在向量线性运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,运用平行四边形法则、三角形法则,利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解.[针对训练]若A ,B ,C ,D 是平面内任意四点,给出下列式子: ①AB +CD =BC +DA ;②AC +BD =BC+AD ; ③AC -BD =DC +AB .其中正确的有________个.(1)若AB =a +b ,BC =2a +8b ,CD =3(a -b ), 求证:A ,B ,D 三点共线.(2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 共线.[类题通法]1.共线向量定理及其应用(1)可以利用共线向量定理证明向量共线,也可以由向量共线求参数的值.(2)若a ,b 不共线,则λa +μb =0的充要条件是λ=μ=0,这一结论结合待定系数法应用非常广泛.2.证明三点共线的方法若AB =λAC ,则A 、B 、C 三点共线. [针对训练]已知a ,b 不共线,OA =a ,OB =b ,OC =c ,OD =d ,OE =e ,设t ∈R ,如果3a =c,2b =d ,e =t (a +b ),是否存在实数t 使C ,D ,E 三点在一条直线上?若存在,求出实数t 的值,若不存在,请说明理由.[练通考点] 1.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量. ②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小. ③λa =0(λ为实数),则λ必为零.④λ,μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线. 其中错误的命题的有________个.2.如图,已知AB =a ,AC =b ,BD =3DC ,用a ,b 表示AD ,则AD =________. 3.(2013·苏锡常镇二调)已知点P 在△ABC 所在的平面内,若2PA +3PB +4PC =3AB ,则△P AB 与△PBC 的面积的比值为________.4.(2014·“江南十校”联考)如图,在△ABC 中,∠A =60°,∠A 的平分线交BC 于D ,若AB =4,且AD =14AC +λAB (λ∈R ),则AD 的长为________.5.在▱ABCD 中,AB =a ,AD =b ,AN =3NC ,M 为BC 的中点,则MN =________(用a ,b 表示).6.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC 2=16,|AB +AC |=|AB -AC |,则|AM |=________.第Ⅰ卷:夯基保分卷1.设a 、b 是两个非零向量,下列结论正确的有________.(填写序号)①若|a +b |=|a |-|b |,则a ⊥b ②若a ⊥b ,则|a +b |=|a |-|b |③若|a +b |=|a |-|b |,则存在实数λ,使得b =λa ④若存在实数λ,使得b =λa ,则|a +b |=|a |-|b |2.(2013·徐州期中)设O 是△ABC 内部一点,且OA +OC =-2OB ,则△AOB 与△AOC 的面积之比为________.3.在△ABC 中,N 是AC 边上一点,且AN =12NC ,P 是BN 上的一点,若AP =m AB +29AC ,则实数m 的值为________.4.(2013·南通期中)设D ,P 为△ABC 内的两点,且满足AD =14(AB +AC ),AP =AD +15BC ,则S △APD S △ABC=________. 5.(2014·南通期末)在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,且3a BC +4b CA +5c AB =0,则a ∶b ∶c =________.6.(2014·淮阴模拟)已知△ABC 和点M 满足MA +MB +MC =0.若存在实数m 使得AB +AC =m AM 成立,则m =________.7.(2014·苏北四市质检)已知a ,b 是非零向量,且a ,b 的夹角为π3,若向量p =a |a |+b |b |,则|p |=________.8.已知D ,E ,F 分别为△ABC 的边BC ,CA ,AB 的中点,且BC =a ,CA =b ,给出下列命题:①AD =12a -b ;②BE =a +12b ;③CF =-12a +12b ;④AD +BE +CF =0.其中正确命题的个数为________.9.(2013·苏北四市三调)如图,在边长为1的正三角形ABC 中,E ,F 分别是边AB ,AC 上的点,若AE =m AB ,AF =n AC ,其中m ,n ∈(0,1).设EF 的中点为M ,BC 的中点为N .(1)若A ,M ,N 三点共线,求证:m =n ; (2)若m +n =1,求|MN |的最小值.10.如图所示,在△ABC 中,D ,F 分别是BC ,AC 的中点,AE =23AD ,AB=a,AC=b.(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF;(2)求证:B,E,F三点共线.第Ⅱ卷:提能增分卷1.A,B,O是平面内不共线的三个定点,且OA=a,OB=b,点P关于点A的对称点为Q,点Q关于点B的对称点为R,用a、b表示PR,则PR=________.2.已知O为四边形ABCD所在平面内一点,且向量OA,OB,OC,OD满足等式OA +OC=OB+OD,则四边形ABCD的形状为________.平面向量的基本定理及坐标表示1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x21+y21.(2)向量坐标的求法:①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB=(x2-x1,y2-y1),|AB|=(x2-x1)2+(y2-y1)2.3.平面向量共线的坐标表示设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0.a∥b⇔x1y2-x2y1=0.1.若a 、b 为非零向量,当a ∥b 时,a ,b 的夹角为0°或180°,求解时容易忽视其中一种情形而导致出错;2.要区分点的坐标与向量坐标的不同,尽管在形式上它们完全一样,但意义完全不同,向量坐标中既有方向也有大小的信息.3.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2=y 1y 2,因为x 2,y 2有可能等于0,应表示为x 1y 2-x 2y 1=0.[试一试]1.(2014·南京、盐城一模)若向量a =(2,3),b =(x ,-6),且a ∥b ,则实数x =________. 2.已知向量a =(1,2),b =(x,1),u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,则实数x 的值是________.用基向量表示所求向量时,注意方程思想的运用. [练一练]设e 1、e 2是平面内一组基向量,且a =e 1+2e 2,b =-e 1+e 2,则向量e 1+e 2可以表示为另一组基向量a ,b 的线性组合,即e 1+e 2=________a +________b .1.(2014·苏中三市、宿迁调研(一))在平面直角坐标系中,已知向量AB =(2,1),AC =(3,5),则向量BC 的坐标为________.2.(2013·北京高考)向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示.若c =λa +μb (λ,μ∈R ),则λμ=________.3.已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB =a ,BC =b ,CA =c . (1)求3a +b -3c ;(2)求满足a =m b +n c 的实数m ,n .[类题通法]1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形结合起来,从而可使几何问题转化为数量运算.2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同.此时注意方程(组)思想的应用.[典例] 如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,且AD =13BC ,E ,F 分别为线段AD 与BC的中点.设BA =a ,BC =b ,试用a ,b 为基底表示向量EF ,DF ,CD .[类题通法]用平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.[针对训练](2014·济南调研)如图,在△ABC 中,AN =13NC ,P 是BN 上的一点,若AP =m AB +211AC ,则实数m 的值为________.1,2),c =(4,1). (1)求满足a =m b +n c 的实数m ,n ; (2)若(a +k c )∥(2b -a ),求实数k ;[类题通法]1.向量共线的两种表示形式设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),①a ∥b ⇒a =λb (b ≠0);②a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0,至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.2.两向量共线的充要条件的作用判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.[针对训练]已知A (1,1),B (3,-1),C (a ,b ).(1)若A ,B ,C 三点共线,求a ,b 的关系式; (2)若AC =2AB ,求点C 的坐标.[练通考点]1.(2013·南京二模)若平面向量a ,b 满足|a +b |=1,a +b 平行于y 轴,a =(2,-1),则b =________.2.已知向量a =(2,3),b =(-1,2),若(m a +n b )∥(a -2b ),则mn 等于________.3.(2014·苏北四市质检)已知向量a =(sin θ,cos θ),b =(3,-4),若a ∥b ,则tan 2θ=________.4.已知点A (2,1),B (0,2),C (-2,1),O (0,0),给出下面的结论: ①直线OC 与直线BA 平行;②AB +BC =CA ; ③OA +OC =OB ;④AC =OB -2OA . 其中正确结论的个数是________.5.已知两点A (1,0),B (1,1),O 为坐标原点,点C 在第二象限,且∠AOC =135°,设OC =-OA +λOB (λ∈R ),则λ的值为________.6.在△ABC 中,M 为边BC 上任意一点,N 为AM 中点,AN =λAB +μAC ,则λ+μ的值为________.第Ⅰ卷:夯基保分卷1.(2013·辽宁高考改编)已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB 同方向的单位向量为________.2.已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD =2DB ,CD =r AB +s AC ,则r +s 的值是________.3.已知向量a =⎝⎛⎭⎫8,12x ,b =(x,1),其中x >0,若(a -2b )∥(2a +b ),则x 的值为________. 4.(创新题)若α,β是一组基底,向量γ=x α+y β(x ,y ∈R ),则称(x ,y )为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a 在基底p =(1,-1),q =(2,1)下的坐标为(-2,2),则a 在另一组基底m =(-1,1),n =(1,2)下的坐标为________.5.如图,在平行四边形ABCD 中,O 是对角线AC ,BD 的交点,N 是线段OD 的中点,AN 的延长线与CD 交于点E ,则下列说法错误的是________.(填写序号)①AC =AB +AD ②BD =AD -AB ③AO =12AB +12AD④AE =53AB +AD6.在△ABC 中,点P 在BC 上,且BP =2PC ,点Q 是AC 的中点,若PA =(4,3),PQ =(1,5),则BC =________.7.P ={a |a =(-1,1)+m (1,2),m ∈R },Q ={b |b =(1,-2)+n (2,3),n ∈R }是两个向量集合,则P ∩Q 等于________.8.已知向量OA =(1,-3),OB =(2,-1),OC =(k +1,k -2),若A ,B ,C 三点能构成三角形,则实数k 应满足的条件是________.9.已知a =(1,0),b =(2,1).求: (1)|a +3b |;(2)当k 为何实数时,k a -b 与a +3b 平行,平行时它们是同向还是反向?10.已知点O 为坐标原点,A (0,2),B (4,6),OM =t 1OA +t 2AB . (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件;(2)求证:当t 1=1时,不论t 2为何实数,A ,B ,M 三点都共线.第Ⅱ卷:提能增分卷(2013·南通二模)如图,正六边形ABCDEF 中,P 是△CDE 内(包括边界)的动点.设AP =αAB +βAF (α,β∈R ),则α+β的取值范围是________.平面向量的数量积与平面向量应用举例1.平面向量的数量积 平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量|a||b|cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a·b .即a·b =|a||b|cos θ,规定0·a =0.2.向量数量积的运算律 (1)a·b =b·a ;(2)(λa )·b =λ(a·b )=a·(λb ); (3)(a +b )·c =a·c +b·c .3.平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)1.若a ,b ,c 是实数,则ab =ac ⇒b =c (a ≠0);但对于向量就没有这样的性质,即若向量a ,b ,c ,若满足a ·b =a ·c (a ≠0),则不一定有b =c ,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量.2.数量积运算不适合结合律,即(a ·b )·c ≠a ·(b ·c ),这是由于(a ·b )·c 表示一个与c 共线的向量,a ·(b ·c )表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,因此(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等.[试一试]1.(2014·苏锡常镇一调)已知两个单位向量e 1,e 2的夹角为120°,若向量a =e 1+2e 2,b =4e 1,则a ·b =________.2.(2013·镇江期末)在菱形ABCD 中,AB =23,B =2π3,BC =3BE ,DA =3DF ,则EF ·AC =________.1.明确两个结论:(1)两个向量a 与b 的夹角为锐角,则有a ·b >0,反之不成立(因为夹角为0时不成立); (2)两个向量a 与b 的夹角为钝角,则有a ·b <0,反之不成立(因为夹角为π时不成立). 2.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. [练一练]1.已知向量a ,b 均为非零向量,(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a ,b 的夹角为________. 2.(2013·南通三模)已知向量a 与b 的夹角为60°,且|a |=1,|b |=2,那么(a +b )2的值为________.1.(2014·南通、泰州、扬州一调)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a =(1,2),a -12b =(3,1),则a ·b =________.2.已知平面向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),若|a |=2,|b |=3,a ·b =-6.则x 1+y 1x 2+y 2的值为________.3.(2012·江苏高考)如图,在矩形ABCD 中,AB =2,BC =2,点E 为BC 的中点,点F在边CD 上,若AB ·AF =2,则AE ·BF 的值是________. 4.在△ABC 中,若∠A =120°,AB ·AC =-1,则|BC |的最小值是________.[类题通法]向量数量积的两种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a ·b =|a ||ba ,b .(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ·b =x 1x 2+y 1y 2.运用两向量的数量积可解决长度、夹角、垂直等问题,解题时应灵活选择相应公式求解.平面向量数量积的性质是高考的重点,归纳起来常见的命题角度有:(1)平面向量的模;(2)平面向量的夹角; (3)平面向量的垂直.角度一 平面向量的模1.(2014·南京一模)已知平面向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a 与b 的夹角为π3.以a ,b 为邻边作平行四边形,则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________.角度二 平面向量的夹角2.(1)(2013·盐城二模)已知向量a 的模为2,向量e 为单位向量,e ⊥(a -e ),则向量a 与e 的夹角大小为________.(2)(2014·苏北四市一调)设a ,b ,c 是单位向量,且a =b +c ,则向量a ,b 的夹角等于________.角度三 平面向量的垂直3.(1)(2013·盐城二模)已知向量a =(-3,2),b =(-1,0),且向量λa +b 与a -2b 垂直,则实数λ的值为________.(2)在直角三角形ABC 中,已知AB =(2,3),AC =(1,k ),则k 的值为________. [类题通法]1.求两非零向量的夹角时要注意: (1)向量的数量积不满足结合律;(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角.2.利用数量积求解长度问题的处理方法(1)a 2=a ·a =|a |2或|a |=a ·a .(2)|a ±b |=(a ±b )2=a 2±2a ·b +b 2. (3)若a =(x ,y ),则|a |=x 2+y 2.平面向量与三角函数的综合[典例]sin α),b =(cos β<α<π. (1)若|a -b |=2,求证:a ⊥b ;(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.[类题通法]平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解.(2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等.[针对训练]已知向量a =(sin θ,cos θ-2sin θ),b =(1,2). (1)若a ∥b ,求tan θ的值; (2)若|a |=|b |,0<θ<π,求θ的值.[练通考点]1.(2011·江苏高考)已知e 1,e 2是夹角为2π3的两个单位向量,a =e 1-2e 2,b =k e 1+e 2.若a·b=0,则实数k 的值为________.2.在△ABC 中,若AB ·AC =AB ·CB =2,则边AB 的长等于________.3.已知向量a =(-2,2),b =(5,k ).若|a +b |不超过5,则实数k 的取值范围是________. 4.(2013·淮安二模)在△ABC 中,已知AB =2,BC =3,∠ABC =60°,BD ⊥AC ,D 为垂足,则BC BD ⋅的值为________.5.若非零向量a ,b 满足|a |=3|b |=|a +2b |,则a 与b 夹角的余弦值为________. 6.在△ABC 中,AB =10,AC =6,O 为BC 的垂直平分线上一点,则AO ·BC =________. 第Ⅰ卷:夯基保分卷1.(2013·盐城二模)若e 1,e 2是两个单位向量,a =e 1-2e 2,b =5e 1+4e 2,且a ⊥b ,则e 1,e 2的夹角为________.2.(2014·南通一模)在△ABC 中,若AB =1,AC =3,|AB +AC |=|BC |,则BA ·BC|BC |=________.3.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知向量OA =(2,2),OB =(4,1),在x 轴上取一点P ,使AP ·BP 有最小值,则P 点的坐标是________.4.在直角三角形ABC 中,∠C =π2,AC =3,取点D 使BD =2DA ,那么CD ·CA =________.5.在边长为1的正方形ABCD 中,M 为BC 的中点,点E 在线段AB 上运动,则EMEC ⋅的取值范围是________.6.已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=10,则|b|=________.7.已知向量a=(2,-1),b=(x,-2),c=(3,y),若a∥b,(a+b)⊥(b-c),M(x,y),N(y,x),则向量MN的模为________.8.(2013·山东高考)已知向量AB与AC的夹角为120°,且|AB|=3,|AC|=2.若AP=λAB+AC,且AP⊥BC,则实数λ的值为________.9.(2014·泰州)已知向量a=(cos λθ,cos(10-λ)θ),b=(sin(10-λ)θ,sin λθ),λ,θ∈R.(1)求|a|2+|b|2的值;(2)若a⊥b,求θ;(3)若θ=π20,求证:a∥b.10.已知△ABC为锐角三角形,向量m=(3cos2A,sin A),n=(1,-sin A),且m⊥n.(1)求A的大小;(2)当AB=p m,AC=q n(p>0,q>0),且满足p+q=6时,求△ABC面积的最大值.第Ⅱ卷:提能增分卷1.(2014·扬州期末)在边长为6的等边三角形ABC中,点M满足BM=2MA,则CM·CB=________.2.(2013·盐城二模)若点G为△ABC的重心,且AG⊥BG,则sin C的最大值为________.3.(2014·泰州模拟)如图,半径为1,圆心角为3π2的圆弧AB 上有一点C .(1)若C 为圆弧AB 的中点,点D 在线段OA 上运动,求|OC +OD |的最小值;(2)若D ,E 分别为线段OA ,OB 的中点,当C 在圆弧AB 上运动时,求CE ·DE 的取值范围.。

高考数学(理)之平面向量 专题04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)

高考数学(理)之平面向量 专题04  平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用(解析版)

平面向量04 平面向量在平面几何、三角函数、解析几何中的应用一、具本目标: 一)向量的应用1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 二)考点解读与备考:1.近几年常以考查向量的共线、数量积、夹角、模为主,基本稳定为选择题或填空题,难度较低;2.常与平面几何、三角函数、解析几何等相结合,以工具的形式进行考查,常用向量的知识入手.力学方面应用的考查较少.3.备考重点:(1) 理解有关概念是基础,掌握线性运算、坐标运算的方法是关键;(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题时,应注意运用数形结合的数学思想,将共线、垂直等问题,通过建立平面直角坐标系,利用坐标运算解题.4.难点:向量与函数、三角函数、解析几何的综合问题.以向量形式为条件,综合考查了函数、三角、数列、曲线等问题.要充分应用向量的公式及相关性质,会用向量的几何意义解决问题,有时运用向量的坐标运算更能方便运算. 二、知识概述:常见的向量法解决简单的平面几何问题: 1.垂直问题:(1)对非零向量a r 与b r ,a b ⊥⇔r r.(2)若非零向量1122(,),(,),a x y b x y a b ==⊥⇔r r r r.2.平行问题:(1)向量a r 与非零向量b r共线,当且仅当存在唯一一个实数λ,使得 .(2)设1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则向量a r 与非零向量b r 共线⇔ .【考点讲解】3.求角问题:(1)设,a b r r是两个非零向量,夹角记为α,则cos α= .(2)若1122(,),(,)a x y b x y ==r r是平面向量,则cos α= .4.距离(长度)问题:(1)设(,)a x y =r,则22a a ==r r ,即a =r .(2)若1122(,),(,)A x y B x y ,且a AB =r u u u r ,则AB AB ==u u u r.【答案】1.1212(1)0,(2)0.a b x x y y ⋅=+=r r2.(1)a b λ=r r,(2)12210x y x y -=3.(1)a b a b ⋅⋅r r r r.4.(1)22x y +【优秀题型展示】 1. 在平面几何中的应用:已知ABC D 中,(2,1),(3,2),(3,1)A B C ---,BC 边上的高为AD ,求点D 和向量AD u u u r的坐标.【解析】设点D 坐标(x ,y ),由AD 是BC 边上的高可得⊥,且B 、D 、C 共线,∴⎪⎩⎪⎨⎧=⋅//0∴⎩⎨⎧=+---+=--⋅+-0)1)(3()2)(3(0)3,6()1,2(y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+---+=+---0)1)(3()2)(3(0)1(3)2(6y x y x y x ∴⎩⎨⎧=+-=-+012032y x y x解得⎩⎨⎧==11y x ∴点D 坐标为(1,1),AD =(-1,2). 【答案】AD =(-1,2)【变式】已知四边形ABCD 的三个顶点(02)A ,,(12)B --,,(31)C ,,且2BC AD =u u u r u u u r,则顶点D 的坐标为 ( ) A .722⎛⎫ ⎪⎝⎭,B .122⎛⎫- ⎪⎝⎭,C .(32),D .(13),【解析】设22(,),(3,1)(1,2)(4,3),(,2),,37222x x D x y BC AD x y y y 祆==镲镲镲=---==-\\眄镲-==镲镲铑u u u r u u u rQ , 【答案】A【变式】已知正方形OABC 的边长为1,点D E 、分别为AB BC 、的中点,求cos DOE ∠的值.【解析】以OA OC 、为坐标轴建立直角坐标系,如图所示.由已知条件,可得114.225⋅==∴∠=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r (1,),(,1),cos =OD OE OD OE DOE OD OE2.在三角函数中的应用:已知向量3(sin ,)4a x =r ,(cos ,1)b x =-r .设函数()2()f x a b b =+⋅r r r ,已知在ABC ∆中,内角A B C 、、的对边分别为a bc 、、,若a =2b =,sin B =()4cos(2)6f x A π++([0,]3x π∈)的取值范围.【解析】 由正弦定理得或 . 因为,所以4A π=.因为+.所以, ,, 所以. 【答案】()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++212,12362cos 4πA x f sin ,sin sin 24a b A A A B π===可得所以43π=A a b >()2())4f x a b b x π=+⋅=+r r r 32()⎪⎭⎫⎝⎛++62cos 4πA x f =)4x π+12-0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 112,4412x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦()21262cos 4123-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤-πA x f3.在解析几何中的应用:(1)已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点,且|OA →+OB →|=|OA →-OB →|,其中O 为坐标原点,则实数a 的值为________.【解析】如图所示,以OA 、OB 为边作平行四边形OACB , 则由|OA →+OB →|=|OA →-OB →|得, 平行四边形OACB 是矩形,OA →⊥OB →.由图象得,直线y =-x +a 在y 轴上的截距为±2.【答案】±2(2)椭圆的焦点为F F ,点P 为其上的动点,当∠F P F 为钝角时,点P 横坐标的取值范围是 .【解析】法一:F 1(-,0)F 2(,0),设P (3cos ,2sin ).为钝角,.∴=9cos 2-5+4sin 2=5 cos 2-1<0.解得: ∴点P 横坐标的取值范围是(). 14922=+y x ,121255θθ21PF F ∠Θ123cos ,2sin )3cos ,2sin )PF PF θθθθ⋅=-⋅-u u u r u u u u r(θθθ55cos 55<<-θ553,553-ODC BA【答案】() 法二:F 1(-,0)F 2(,0),设P (x,y ).为钝角,∴ ()()125,5,PF PF x y x y •=--⋅-u u u r u u u u r225x y =+-=25109x -<. 解得:353555x -<<.∴点P 横坐标的取值范围是(). 【答案】() 2. 在物理学中的应用:如图所示,用两条成120º的等长的绳子悬挂一个灯具,已知灯具的重量为10N ,则每根绳子的拉力是 .]【解析】 ∵绳子的拉力是一样的(对称) ,∴OA =OB ,∴四边形OADB 为菱形 .∵∠AOB =120º ,∴∠AOD =60º .又OA =OB =AD , ∴三角形OAD 为等边三角形 ,∴OD =OA . 又根据力的平衡得OD =OC =10 , ∴OA =10 ,∴OA =OB =10 . ∴每根绳子的拉力大小是10N. 【答案】10N553,553-5521PF F ∠Θ553,553-553,553-【真题分析】1.【2017年高考全国II 卷理数】已知ABC △是边长为2的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是( )A .2-B .32-C .43- D .1-【解析】如图,以BC 为x 轴,BC 的垂直平分线DA 为y 轴,D 为坐标原点建立平面直角坐标系,则A ,(1,0)B -,(1,0)C ,设(,)P x y ,所以()PA x y =-u u u r ,(1,)PB x y =---u u u r,(1,)PC x y =--u u u r ,所以(2,2)PB PC x y +=--u u u r u u u r ,22()22)22(PA PB PC x y y x y ⋅+=-=+-u u u r u u u r u u u r233)222-≥-,当(0,2P 时,所求的最小值为32-,故选B . 【答案】B2.【2018年高考上海卷】在平面直角坐标系中,已知点()10A -,、()20B ,,E 、F 是y 轴上的两个动点,且||2EF =u u u r ,则AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为___________.【解析】根据题意,设E (0,a ),F (0,b );∴2EF a b =-=u u u r;∴a =b +2,或b =a +2;且()()1,2,AE a BF b ==-u u u r u u u r ,;∴2AE BF ab ⋅=-+u u u r u u u r; 当a =b +2时,()22222AE BF b b b b ⋅=-++⋅=+-u u u r u u u r;∵b 2+2b ﹣2的最小值为8434--=-; ∴AE BF ⋅u u u r u u u r 的最小值为﹣3,同理求出b =a +2时,AE BF ⋅u u u r u u u r的最小值为﹣3.故答案为:﹣3.【答案】-33.【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,()5,0B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD ⋅=u u u r u u u r,则点A 的横坐标为___________.【解析】设(),2(0)A a a a >,则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ,与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u r u u u r ,由0AB CD ⋅=u u u r u u u r 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-,因为0a >,所以 3.a = 【答案】34.【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2b |=___________. 【解析】方法一:222|2|||44||4421cos60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=oa b a a b b ,所以|2|+==a b .方法二:利用如下图形,可以判断出2+a b 的模长是以2为边长,一夹角为60°的菱形的对角线的长度,则为【答案】5.【2017年高考江苏卷】如图,在同一个平面内,向量OA u u u r ,OB uuu r ,OC uuu r 的模分别为1,1,2,OA u u u r 与OCuuu r的夹角为α,且tan α=7,OB uuu r 与OC uuu r 的夹角为45°.若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(,)m n ∈R ,则m n +=___________.【解析】由tan 7α=可得sin 10α=,cos 10α=,根据向量的分解,易得cos 45cos sin 45sin 0n m n m αα⎧︒+=⎪⎨︒-=⎪⎩0210n m +=-=⎩,即510570n m n m +=⎧⎨-=⎩,即得57,44m n ==,所以3m n +=. 【答案】36.【2017年高考浙江卷】已知向量a ,b 满足1,2,==a b 则++-a b a b 的最小值是________,最大值是___________.【解析】设向量,a b 的夹角为θ,则-==a b+==a b ++-=a b a b令y =[]21016,20y =+,据此可得:()()maxmin 4++-==++-==a b a ba b a b ,即++-a b a b 的最小值是4,最大值是【答案】4,7. 【2016·江苏卷】如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点,BA →·CA →=4, BF →·CF →=-1,则BE →·CE →的值是________.【解析】 设AB →=a ,AC →=b ,则BA →·CA →=(-a )·(-b )=a ·b =4.又∵D 为BC 中点,E ,F 为AD 的两个三等分点,则AD →=12(AB →+AC →)=12a +12b ,AF →=23AD →=13a +13b ,AE →=13AD →=16a +16b ,BF →=BA →+AF →=-a +13a +13b =-23a +13b ,CF →=CA →+AF →=-b +13a +13b =13a -23b ,则BF →·CF →=⎝⎛⎭⎫-23a +13b ·⎝⎛⎭⎫13a -23b =-29a 2-29b 2+59a ·b =-29(a 2+b 2)+59×4=-1. 可得a 2+b 2=292.又BE →=BA →+AE →=-a +16a +16b =-56a +16b ,CE →=CA →+AE →=-b +16a +16b =16a -56b ,则BE →·CE →=⎝⎛⎭⎫-56a +16b ·⎝⎛⎭⎫16a -56b =-536(a 2+b 2)+2636a ·b =-536×292+2636×4=78.【答案】 788.【2017年高考江苏卷】已知向量(cos ,sin ),(3,[0,π].x x x ==∈a b (1)若a ∥b ,求x 的值;(2)记()f x =⋅a b ,求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值.【解析】(1)因为co ()s ,sin x x =a,(3,=b ,a ∥b,所以3sin x x =. 若cos 0x =,则sin 0x =,与22sin cos 1x x +=矛盾,故cos 0x ≠.于是tan 3x =-.又[]0πx ∈,,所以5π6x =.(2)π(cos ,sin )(3,3cos ())6f x x x x x x =⋅=⋅=-=+a b . 因为[]0πx ∈,,所以ππ7π[,]666x +∈,从而π1cos()62x -≤+≤. 于是,当ππ66x +=,即0x =时,()f x 取到最大值3; 当π6x +=π,即5π6x =时,()f x取到最小值-【答案】(1)5π6x =;(2)0x =时,()f x 取到最大值3;5π6x =时,()f x取到最小值-.1.已知数列{}n a 为等差数列,且满足32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r ,若()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,点O 为直线BC 外一点,则12017a a +=( )A. 0B. 1C. 2D. 4【解析】∵32015BA a OB a OC =+u u u r u u u r u u u r , ∴32015OA OB a OB a OC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r, 即()320151OA a OB a OC =++u u u r u u u r u u u r , 又∵()AB AC R λλ=∈u u u r u u u r,∴3201511a a ++=, ∴12017320150a a a a +=+=. 【答案】A2.直角ABC V 中, AD 为斜边BC 边的高,若1AC =u u u r , 3AB =u u u r,则CD AB ⋅=u u u r u u u r ( )【模拟考场】A .910 B . 310 C . 310- D . 910-【解析】依题意BC =22,AC AC CD CB CD CB =⋅==103cos ==BC AB B,所以有9cos 310CD AB CD AB B ⋅=⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r . 【答案】A3.已知正三角形ABC 的边长为,平面ABC 内的动点P ,M 满足1AP =uu u r ,PM MC =uuu r uuu r ,则2BMuuu r 的最大值是( ) A.B. C. D.【解析】本题考点是向量与平面图形的综合应用.由题意可设D 为三角形的内心,以D 为原点,直线DA 为x 轴建立平面直角坐标系,由已知易得1220,DA ADC ADB D D BDC B C ∠=∠====∠=︒u u u r u u u r u u u r. 则()((2,0,1,,1,.A B C --设(),,P x y 由已知1AP =u u u r ,得()2221x y -+=,又11,,,,,22x x PM MC M BM ⎛⎛-+=∴∴= ⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r()(22214x y BM -++∴=u u u u r ,它表示圆()2221x y -+=上点().x y 与点(1,--距离平方的14,()22max149144BM⎫∴==⎪⎭u u u u r ,故选B.【答案】B4.已知曲线C :x =直线l :x=6.若对于点A (m ,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得0AP AQ +=u u u r u u u r r,则m 的取值范围为 .【解析】本题考点是向量线性运算与解析几何中点与直线的位置关系的应用.由0AP AQ +=u u u r u u u r r知A 是PQ的中点,设(,)P x y ,则(2,)Q m x y --,由题意20x -≤≤,26m x -=,解得23m ≤≤.3244344943637+433237+【答案】[2,3]5.在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD u u u r=1,则OA OB OD ++u u u r u u u r u u u r 的最大值是_________.【解析】本题的考点是参数方程中的坐标表示, 圆的定义与 三角函数的值域.由题意可知C 坐标为()3,0且1CD =,所以动点D 的轨迹为以C 为圆心的单位圆,则D 满足参数方程3cos sin D D x y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数且[)0,2θπ∈),所以设D 的坐标为()[)()3cos ,sin 0,2θθθπ+∈, 则OA OB OD ++=u u u r u u u r u uu r=因为2cos θθ+=所以OA OB OD ++的最大值为1==+故填1【答案】1+6.在△ABC 中,∠ABC =120°,BA =2,BC =3,D ,E 是线段AC 的三等分点,则BD →·BE →的值为________. 【解析】 由题意得BD →·BE →=(BA →+AD →)·(BC →+CE →)=⎝⎛⎭⎫BA →+13AC →·⎝⎛⎭⎫BC →+13CA → =⎣⎡⎦⎤BA →+13(BC →-BA →)·⎣⎡⎦⎤BC →+13(BA →-BC →)=⎝⎛⎭⎫13BC →+23BA →·⎝⎛⎭⎫23BC →+13BA → =29BC →2+59BC →·BA →+29BA →2=29×9+59×2×3×cos 120°+29×4=119. 【答案】1197.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD =120°,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,BC =3BE ,DC =λDF . 若AE →·AF →=1,则λ的值为________. 【解析】法一、 如图,AE →=AB →+BE →=AB →+13BC →,AF →=AD →+DF →=AD →+1λDC →=BC →+1λAB →,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫AB →+13BC →·⎝⎛⎭⎫BC →+1λAB →=⎝⎛⎭⎫1+13λAB →·BC →+1λAB →2+13BC →2=⎝⎛⎭⎫1+13λ×2×2×cos 120°+4λ+43=1,解得λ=2.法二、 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知:A (0,1),C (0,-1),B (-3,0),D (3,0).由BC =3BE ,DC =λDF .可求点E ,F 的坐标分别为E ⎝⎛⎭⎫-233,-13,F ⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ, ∴AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫-233,-43·⎝⎛⎭⎫3⎝⎛⎭⎫1-1λ,-1λ-1=-2⎝⎛⎭⎫1-1λ+43⎝⎛⎭⎫1+1λ=1,解得λ=2. 【答案】28.在△ABC 中,∠A =60°,AB =3,AC =2,若BD →=2DC →,AE →=λAC →-AB →(λ∈R ),且AD →·AE →=-4,则λ的值为________.【解析】AB →·AC →=3×2×cos 60°=3,AD →=13AB →+23AC →,则AD →·AE →=⎝⎛⎭⎫13AB →+23AC →·(λAC →-AB →)=λ-23AB →·AC →-13AB →2+2λ3AC →2=λ-23×3-13×32+2λ3×22=113λ-5=-4,解得λ=311.【答案】3119.在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =__________;y =__________.【解析】MN →=MC →+CN →=13AC →+12CB →=13AC →+12(AB →-AC →)=12AB →-16AC →,∴x =12,y =-16.【答案】 12 -1610.在等腰梯形ABCD 中,已知AB ∥DC ,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则AE →·AF →的最小值为________.【解析】法一 在梯形ABCD 中,AB =2,BC =1,∠ABC =60°,可得DC =1,AE →=AB →+λBC →,AF →=AD →+19λDC →,∴AE →·AF →=(AB →+λBC →)·(AD →+19λDC →)=AB →·AD →+AB →·19λDC →+λBC →·AD →+λBC →·19λDC →=2×1×cos 60°+2×19λ+λ×1×cos 60°+λ·19λ×cos 120°=29λ+λ2+1718≥229λ·λ2+1718=2918,当且仅当29λ=λ2,即λ=23时,取得最小值为2918.法二 以点A 为坐标原点,AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系,则B (2,0),C ⎝⎛⎭⎫32,32,D ⎝⎛⎭⎫12,32.又BE →=λBC →,DF →=19λDC →,则E ⎝⎛⎭⎫2-12λ,32λ,F ⎝⎛⎭⎫12+19λ,32,λ>0,所以AE →·AF →=⎝⎛⎭⎫2-12λ⎝⎛⎭⎫12+19λ+34λ=1718+29λ+12λ≥1718+229λ·12λ=2918,λ>0, 当且仅当29λ=12λ,即λ=23时取等号,故AE →·AF →的最小值为2918.【答案】291811.已知矩形ABCD 的边AB =2,AD =1.点P ,Q 分别在边BC ,CD 上,且∠P AQ =π4,则AP →·AQ →的最小值为________.【解析】法一(坐标法) 以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),D (0,1).设∠P AB =θ,则AP →=(2,2tan θ),AQ →=⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1,0≤tan θ≤12. 因为AP →·AQ →=(2,2tan θ)·⎝⎛⎭⎫tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ,1=2tan ⎝⎛⎭⎫π4-θ+2tan θ=2(1-tan θ)1+tan θ+2tan θ=41+tan θ+2tan θ-2=41+tan θ+2(tan θ+1)-4≥42-4,当且仅当tan θ=2-1时,“=”成立,所以AP →·AQ →的最小值为42-4.法二(基底法) 设BP =x ,DQ =y ,由已知得,tan ∠P AB =x2,tan ∠QAD =y ,由已知得∠P AB +∠QAD =π4,所以tan ∠P AB +tan ∠QAD 1-tan ∠P AB tan ∠QAD =1,所以x +2y 2=1-xy2,x +2y =2-xy ≥2x ·2y ,解得0<xy ≤6-42,当且仅当x =2y 时,“=”成立.AP →·AQ →=22·(4+x 2)(1+y 2)=22·(xy )2+(x +2y )2-4xy +4=22·(xy )2+(2-xy )2-4xy +4=(xy )2-4xy +4=2-xy ≥42-4. 【答案】 42-412.设O 为坐标原点,C 为圆(x -2)2+y 2=3的圆心,且圆上有一点M (x ,y )满足OM →·CM →=0,则y x =________.【解析】 ∵OM →·CM →=0,∴OM ⊥CM ,∴OM 是圆的切线,设OM 的方程为y =kx , 由|2k |1+k 2=3,得k =±3,即yx =± 3.【答案】 ±313.在△ABC 中,已知AB =1,AC =2,∠A =60°,若点P 满足AP →=AB →+λAC →,且BP →·CP →=1,则实数λ的值为________.【解析】 由AB =1,AC =2,∠A =60°,得BC 2=AB 2+AC 2-2AB ·AC ·cos A =3,即BC = 3.又AC 2=AB 2+BC 2,所以∠B =90°.以点A 为坐标原点,AB →,BC →的方向分别为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则B (1,0),C (1,3).由AP →=AB →+λAC →,得P (1+λ,3λ),则BP →·CP →=(λ,3λ)·(λ,3λ-3)=λ2+3λ(λ-1)=1,即4λ2-3λ-1=0,解得λ=-14或λ=1.【答案】 -14或114.证明:同一平面内,互成120°的三个大小相等的共点力的合力为零.【证明】如图,用r a ,r b ,r c 表示这3个共点力,且r a ,r b ,rc 互成120°,模相等,按照向量的加法运算法则,有:r a +r b +r c = r a +(r b +r c )=r a +u u u rOD .又由三角形的知识知:三角形OBD 为等边三角形, 故r a 与u u u r OD 共线且模相等,所以:u u u r OD = -r a ,即有:r a +r b +r c =0r .15.在直角坐标系xOy 中,已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ,点(,)P x y 在ABC ∆三边围成的区域(含边界)上,且(,)OP mAB nAC m n R =+∈u u u r u u u r u u u r.(1)若23m n ==,求||OP u u u r ;(2)用,x y 表示m n -,并求m n -的最大值.【解析】(1)(1,1),(2,3),(3,2)A B C Q (1,2)AB ∴=u u u r ,(2,1)AC =u u u r.Q OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u r ,又23m n ==.22(2,2)33OP AB AC ∴=+=u u u r u u u r u u u r,|OP ∴u u u r(2)OP mAB nAC =+u u u r u u u r u u u rQ (,)(2,2)x y m n m n ∴=++即22x m ny m n=+⎧⎨=+⎩,两式相减得:m n y x -=-.令y x t -=,由图可知,当直线y x t =+过点(2,3)B 时,t 取得最大值1,故m n -的最大值为1.【答案】(1)(2)m n y x -=-,1.16.如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD ,∠DAB =90°,AD =AB =4,CD =1,动点P 在边BC 上,且满足AP →=mAB →+nAD →(m ,n 均为正实数),求1m +1n的最小值.【解析】 如图,建立平面直角坐标系,得A (0,0),B (4,0),D (0,4),C (1,4),则AB →=(4,0),AD →=(0,4).设AP →=(x ,y ),则BC 所在直线为4x +3y =16. 由AP →=mAB →+nAD →,即(x ,y )=m (4,0)+n (0,4),得x =4m ,y =4n (m ,n >0), 所以16m +12n =16,即m +34n =1,那么1m +1n =⎝⎛⎭⎫1m +1n ⎝⎛⎭⎫m +34n =74+3n 4m +m n ≥74+23n 4m ·m n =74+3=7+434(当且仅当3n 2=4m 2时取等号). 17.已知向量m =(cos α,-1),n =(2,sin α),其中α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且m ⊥n . (1)求cos 2α的值; (2)若sin(α-β)=1010,且β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求角β的值. 【解析】 (1)由m ⊥n ,得2cos α-sin α=0,sin α=2cos α,代入cos 2α+sin 2α=1,得5cos 2α=1, 又α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos α=55,cos 2α=2cos 2α-1=-35. (2)由α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,得α-β∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.因为sin(α-β)=1010,所以cos(α-β)=31010,而sin α=1-cos 2α=255, 则sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β)=255×31010-55×1010=22.因为β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,所以β=π4.。

高考数学 题型通关21讲第10讲 平面向量

高考数学 题型通关21讲第10讲 平面向量
则cos θ= = .
【典例】2 (1)如图,在平面四边形ABCD中, 若点E为边CD上的动点,则 的最小值为 ( )
A. B. C. D.
【解析】连接AD,取AD中点为O,可知 为等腰三角形,而 ,所以 为等边三角形, 。设 , = ,所以当 时,上式取最大值 ,选A.
(2)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为 ,向量b满足b2−4e·b+3=0,则|a−b|的最小值是( )
设P(x,y),则 =(x,y), =(2,0),且-1<x<3.
所以 · =(x,y)·(2,0)=2x∈(-2,6).
(3)已知 ⊥ ,| |= ,| |=t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且 = + ,则 · 的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
【解析】建立如图所示坐标系,则B ,C(0,t), = , =(0,t), = + =t + (0,t)=(1,4),∴P(1,4), · = ·(-1,t-4)=17- ≤17-2 =13,故选A.
易得B(- ,0),C( ,0),A(0,3),D(0,0),
设M(cos θ,1+sin θ),θ∈[0,2π),
则 =(cos θ+ ,1+sin θ), =( ,3), =( ,0),
故 =(cos θ+ ,1+sin θ)=( x+ y,3x),


所以2x+y= + + = sin + ≤2.
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】 设△ABC的外接圆的圆心为O,
则圆的半径为 × = , + + =0,
故 + +2 =4 + .
又 2=51+8 · ≤51+24=75,
故 ≤5 ,

高考数学考点与题型知识点5平面向量

高考数学考点与题型知识点5平面向量

平面向量平面向量 (2)第一节平面向量的概念及线性运算 (2)考点一平面向量的有关概念 (3)考点二平面向量的线性运算 (5)考点三共线向量定理的应用 (7)第二节平面向量基本定理及坐标表示 (13)考点一平面向量基本定理及其应用 (14)考点二平面向量的坐标运算 (15)考点三平面向量共线的坐标表示 (16)第三节平面向量的数量积 (22)考点一平面向量的数量积的运算 (23)考点二平面向量数量积的性质 (26)第四节平面向量的综合应用 (33)考点一平面向量与平面几何 (33)考点二平面向量与解析几何 (34)考点三平面向量与三角函数 (35)第五章 平面向量第一节 平面向量的概念及线性运算一、基础知识1.向量的有关概念(1)向量的定义及表示:既有大小又有方向的量叫做向量.以A 为起点、B 为终点的向量记作AB ―→,也可用黑体的单个小写字母a ,b ,c ,…来表示向量.(2)向量的长度(模):向量AB ―→的大小即向量AB ―→的长度(模),记为|AB ―→|. 2.几种特殊向量单位向量有无数个,它们大小相等,但方向不一定相同;与向量a 平行的单位向量有两个,即向量a|a |和-a|a |.3.向量的线性运算三角形法则 平行四边形法则三角形法则多个向量相加,利用三角形法则,应首尾顺次连接,a+b+c表示从始点指向终点的向量,只关心始点、终点.4.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使得b=λa.只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.二、常用结论(1)若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则OP―→=12(OA―→+OB―→).(2)OA―→=λOB―→+μOC―→(λ,μ为实数),若点A,B,C三点共线,则λ+μ=1.考点一平面向量的有关概念[典例]给出下列命题:①若a=b,b=c,则a=c;②若A,B,C,D是不共线的四点,则AB―→=DC―→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;③a =b 的充要条件是|a |=|b |且a ∥b ; ④若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c . 其中正确命题的序号是________.[解析] ①正确.∵a =b ,∴a ,b 的长度相等且方向相同, 又b =c ,∴b ,c 的长度相等且方向相同, ∴a ,c 的长度相等且方向相同,故a =c .②正确.∵AB ―→=DC ―→,∴|AB ―→|=|DC ―→|且AB ―→∥DC ―→, 又A ,B ,C ,D 是不共线的四点, ∴四边形ABCD 为平行四边形; 反之,若四边形ABCD 为平行四边形, 则AB ―→∥DC ―→且|AB ―→|=|DC ―→|,因此,AB ―→=DC ―→.③不正确.当a ∥b 且方向相反时,即使|a |=|b |,也不能得到a =b ,故|a |=|b |且a ∥b 不是a =b 的充要条件,而是必要不充分条件.④不正确.考虑b =0这种特殊情况. 综上所述,正确命题的序号是①②. [答案] ①②[解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线. [题组训练] 1.给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量; ②λa =0(λ为实数),则λ必为零;③λ,μ为实数,若λa =μb ,则a 与b 共线. 其中错误的命题的个数为( ) A .0B .1C .2D .3解析:选D ①错误,两向量共线要看其方向而不是起点或终点.②错误,当a =0时,不论λ为何值,λa =0.③错误,当λ=μ=0时,λa =μb =0,此时,a 与b 可以是任意向量.故错误的命题有3个,故选D.2.设a 0为单位向量,下列命题中:①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |·a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0,假命题的个数是( )A .0B .1C .2D .3解析:选D 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a |a 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a =-|a |a 0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3.考点二 平面向量的线性运算[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC 中,AD 为BC 边上的中线,E 为AD 的中点,则EB ―→=( )A.34AB ―→-14AC ―→B.14AB ―→-34AC ―→C.34AB ―→+14AC ―→ D.14AB ―→+34AC ―→(2)如图,在直角梯形ABCD 中,DC ―→=14AB ―→,BE ―→=2EC ―→, 且AE ―→=r AB ―→+s AD ―→,则2r +3s =( )A .1B .2C .3D .4[解析] (1)作出示意图如图所示.EB ―→=ED ―→+DB ―→=12AD ―→+12CB ―→=12×12(AB ―→+AC ―→)+12(AB ―→-AC ―→)=34AB ―→-14AC ―→.故选A. (2)根据图形,由题意可得AE ―→=AB ―→+BE ―→=AB ―→+23BC ―→=AB ―→+23(BA ―→+AD ―→+DC ―→)=13AB ―→+23(AD ―→+DC ―→)=13AB ―→+23⎝⎛⎭⎫AD ―→+14AB ―→=12AB ―→+23AD ―→. 因为AE ―→=r AB ―→+s AD ―→,所以r =12,s =23,则2r +3s =1+2=3.[答案] (1)A (2)C[解题技法] 向量线性运算的解题策略(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则,一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则,求首尾相连的向量的和用三角形法则.(2)找出图形中的相等向量、共线向量,将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解.(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置;②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果. (4)与向量的线性运算有关的参数问题,一般是构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.[题组训练]1.设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ―→=3CD ―→,则( ) A .AD ―→=-13AB ―→+43AC ―→B .AD ―→=13AB ―→-43AC ―→C .AD ―→=43AB ―→+13AC ―→D .AD ―→=43AB ―→-13AC ―→解析:选A 由题意得AD ―→=AC ―→+CD ―→=AC ―→+13BC ―→=AC ―→+13AC ―→-13AB ―→=-13AB ―→+43AC ―→. 2.(2019·太原模拟)在正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 的中点,若AC ―→=λAM ―→+μAN ―→,则实数λ+μ=________.解析:如图,∵AM ―→=AB ―→+BM ―→=AB ―→+12BC ―→=DC ―→+12BC ―→,①AN ―→=AD ―→+DN ―→=BC ―→+12DC ―→,②由①②得BC ―→=43AN ―→-23AM ―→,DC ―→=43AM ―→-23AN ―→,∴AC ―→=AB ―→+BC ―→=DC ―→+BC ―→=43AM ―→-23AN ―→+43AN ―→-23AM ―→=23AM ―→+23AN ―→,∵AC ―→=λAM ―→+μAN ―→,∴λ=23,μ=23,λ+μ=43.答案:43考点三 共线向量定理的应用[典例] 设两个非零向量a 与b 不共线,(1)若AB ―→=a +b ,BC ―→=2a +8b ,CD ―→=3a -3b , 求证:A ,B ,D 三点共线;(2)试确定实数k ,使k a +b 和a +k b 同向.[解] (1)证明:∵AB ―→=a +b ,BC ―→=2a +8b ,CD ―→=3a -3b , ∴BD ―→=BC ―→+CD ―→=2a +8b +3a -3b =5(a +b )=5AB ―→, ∴AB ―→,BD ―→共线. 又∵它们有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线. (2)∵k a +b 与a +k b 同向,∴存在实数λ(λ>0),使k a +b =λ(a +k b ), 即k a +b =λa +λk b . ∴(k -λ)a =(λk -1)b .∵a ,b 是不共线的非零向量,∴⎩⎪⎨⎪⎧ k -λ=0,λk -1=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧ k =1,λ=1或⎩⎪⎨⎪⎧k =-1,λ=-1, 又∵λ>0,∴k =1.1.向量共线问题的注意事项(1)向量共线的充要条件中,当两向量共线时,通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量,注意待定系数法和方程思想的运用.(2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得到三点共线.[题组训练]1.在四边形ABCD 中,AB ―→=a +2b ,BC ―→=-4a -b ,CD ―→=-5a -3b ,则四边形ABCD 的形状是( )A .矩形B .平行四边形C .梯形D .以上都不对解析:选C 由已知,得AD ―→=AB ―→+BC ―→+CD ―→=-8a -2b =2(-4a -b )=2BC ―→,故AD ―→∥BC ―→.又因为AB ―→与CD ―→不平行,所以四边形ABCD 是梯形.2.已知向量e 1≠0,λ∈R ,a =e 1+λe 2,b =2e 1,若向量a 与向量b 共线,则( ) A .λ=0 B .e 2=0 C .e 1∥e 2D .e 1∥e 2或λ=0解析:选D 因为向量e 1≠0,λ∈R ,a =e 1+λe 2,b =2e 1,又因为向量a 和b 共线,存在实数k ,使得a =k b ,所以e 1+λe 2=2k e 1,所以λe 2=(2k -1)e 1,所以e 1∥e 2或λ=0.3.已知O 为△ABC 内一点,且AO ―→=12(OB ―→+OC ―→),AD ―→=t AC ―→,若B ,O ,D 三点共线,则t =( )A.14B.13C.12D.23解析:选B 设E 是BC 边的中点,则12(OB ―→+OC ―→)=OE ―→,由题意得AO ―→=OE ―→,所以AO ―→=12AE ―→=14(AB ―→+AC ―→)=14AB ―→+14t AD ―→,又因为B ,O ,D 三点共线,所以14+14t =1,解得t =13,故选B.4.已知O ,A ,B 三点不共线,P 为该平面内一点,且OP ―→=OA ―→+AB―→|AB ―→|,则( )A .点P 在线段AB 上 B .点P 在线段AB 的延长线上C .点P 在线段AB 的反向延长线上D .点P 在射线AB 上解析:选D 由OP ―→=OA ―→+AB ―→|AB ―→|,得OP ―→-OA ―→=AB ―→|AB ―→|,∴AP ―→=1|AB ―→|·AB ―→,∴点P在射线AB 上,故选D.[课时跟踪检测]1.设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ―→+FC ―→=( ) A .AD ―→B.12AD ―→C.12BC ―→ D .BC ―→解析:选A 由题意得EB ―→+FC ―→=12(AB ―→+CB ―→)+12(AC ―→+BC ―→)=12(AB ―→+AC ―→)=AD ―→.2.已知向量a ,b 不共线,且c =λa +b ,d =a +(2λ-1)b ,若c 与d 共线反向,则实数λ的值为( )A .1B .-12C .1或-12D .-1或-12解析:选B 由于c 与d 共线反向,则存在实数k 使c =kd (k <0), 于是λa +b =k []a +(2λ-1)b . 整理得λa +b =k a +(2λk -k )b .由于a ,b 不共线,所以有⎩⎪⎨⎪⎧λ=k ,2λk -k =1,整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-12.又因为k <0,所以λ<0,故λ=-12.3.设向量a ,b 不共线,AB ―→=2a +p b ,BC ―→=a +b ,CD ―→=a -2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2解析:选B 因为BC ―→=a +b ,CD ―→=a -2b ,所以BD ―→=BC ―→+CD ―→=2a -b .又因为A ,B ,D 三点共线,所以AB ―→,BD ―→共线.设AB ―→=λBD ―→,所以2a +p b =λ(2a -b ),所以2=2λ,p =-λ,即λ=1,p =-1.4.(2019·甘肃诊断)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ―→=-4CD ―→,则AD ―→=( ) A.14AB ―→-34AC ―→ B.14AB ―→+34AC ―→C.34AB ―→-14AC ―→ D.34AB ―→+14AC ―→解析:选B 法一:设AD ―→=x AB ―→+y AC ―→,由BC ―→=-4CD ―→可得,BA ―→+AC ―→=-4CA―→-4AD ―→,即-AB ―→-3AC ―→=-4x AB ―→-4y AC ―→,则⎩⎪⎨⎪⎧-4x =-1,-4y =-3,解得⎩⎨⎧x =14,y =34,即AD ―→=14AB ―→+34AC ―→,故选B.法二:在△ABC 中,BC ―→=-4CD ―→,即-14BC ―→=CD ―→,则AD ―→=AC ―→+CD ―→=AC ―→-14BC―→=AC ―→-14(BA ―→+AC ―→)=14AB ―→+34AC ―→,故选B.5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A ,B ,C 三点满足OC ―→=34OA ―→+14OB ―→,则|BC ―→||AC ―→|等于( )A .1B .2C .3D.32解析:选C 因为BC ―→=OC ―→-OB ―→=34OA ―→+14OB ―→-OB ―→=34BA ―→,AC ―→=OC ―→-OA ―→=34OA ―→+14OB ―→-OA ―→=14AB ―→,所以|BC ―→||AC ―→|=3.故选C.6.已知△ABC 的边BC 的中点为D ,点G 满足GA ―→+BG ―→+CG ―→=0,且AG ―→=λGD ―→,则λ的值是( )A.12 B .2 C .-2D .-12解析:选C 由GA ―→+BG ―→+CG ―→=0,得G 为以AB ,AC 为邻边的平行四边形的第四个顶点,因此AG ―→=-2GD ―→,则λ=-2.故选C.7.下列四个结论:①AB ―→+BC ―→+CA ―→=0;②AB ―→+MB ―→+BO ―→+OM ―→=0; ③AB ―→-AC ―→+BD ―→-CD ―→=0;④N Q ―→+Q P ―→+MN ―→-MP ―→=0, 其中一定正确的结论个数是( ) A .1 B .2 C .3D .4解析:选C ①AB ―→+BC ―→+CA ―→=AC ―→+CA ―→=0,①正确;②AB ―→+MB ―→+BO ―→+OM ―→=AB ―→+MO ―→+OM ―→=AB ―→,②错误;③AB ―→-AC ―→+BD ―→-CD ―→=CB ―→+BD ―→+DC ―→=CD ―→+DC ―→=0,③正确;④N Q ―→+Q P ―→+MN ―→-MP ―→=NP ―→+PN ―→=0,④正确.故①③④正确.8.如图,在平行四边形ABCD 中,M ,N 分别为AB ,AD 上的点,且AM ―→=34AB ―→,AN ―→=23AD ―→,AC ,MN 交于点P .若AP ―→=λAC ―→,则λ的值为( ) A.35 B.37C.316D.617解析:选D ∵AM ―→=34AB ―→,AN ―→=23AD ―→,∴AP ―→=λAC ―→=λ(AB ―→+AD ―→)=λ⎝⎛⎭⎫43AM ―→+32AN ―→=43λAM ―→+32λAN ―→.∵点M ,N ,P 三点共线,∴43λ+32λ=1,则λ=617.故选D. 9.设向量a ,b 不平行,向量λa +b 与a +2b 平行,则实数λ=________. 解析:因为向量λa +b 与a +2b 平行,所以可设λa +b =k (a +2b ),则⎩⎪⎨⎪⎧λ=k ,1=2k ,所以λ=12.答案:1210.若AP ―→=12PB ―→,AB ―→=(λ+1)BP ―→,则λ=________.解析:如图,由AP ―→=12PB ―→,可知点P 是线段AB 上靠近点A 的三等分点,则AB ―→=-32BP ―→,结合题意可得λ+1=-32,所以λ=-52.答案:-5211.已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ,且OA ―→=a ,OB ―→=b ,则DC ―→=________,BC ―→=________.(用a ,b 表示)解析:如图,DC ―→=AB ―→=OB ―→-OA ―→=b -a ,BC ―→=OC ―→-OB ―→=-OA ―→-OB ―→=-a -b .答案:b -a -a -b12.(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD 中,M 为BC 的中点.若AB ―→=λAM ―→+μDB ―→,则λ-μ=________.解析:如图,在平行四边形ABCD 中,AB ―→=DC ―→,所以AB ―→=AM ―→+MB ―→=AM ―→+12CB ―→=AM ―→+12(DB ―→-DC ―→)=AM ―→+12(DB ―→-AB ―→)=AM ―→+12DB ―→-12AB ―→,所以32AB ―→=AM ―→+12DB ―→,所以AB ―→=23AM ―→+13DB ―→,所以λ=23,μ=13,所以λ-μ=13.答案:1313.设e 1,e 2是两个不共线的向量,已知AB ―→=2e 1-8e 2,CB ―→=e 1+3e 2,CD ―→=2e 1-e 2.(1)求证:A ,B ,D 三点共线;(2)若BF ―→=3e 1-k e 2,且B ,D ,F 三点共线,求k 的值.解:(1)证明:由已知得BD ―→=CD ―→-CB ―→=(2e 1-e 2)-(e 1+3e 2)=e 1-4e 2, ∵AB ―→=2e 1-8e 2, ∴AB ―→=2BD ―→.又∵AB ―→与BD ―→有公共点B , ∴A ,B ,D 三点共线. (2)由(1)可知BD ―→=e 1-4e 2,∵BF ―→=3e 1-ke 2,且B ,D ,F 三点共线, ∴存在实数λ,使BF ―→=λBD ―→, 即3e 1-ke 2=λe 1-4λe 2,得⎩⎪⎨⎪⎧λ=3,-k =-4λ.解得k =12.第二节 平面向量基本定理及坐标表示一、基础知识1.平面向量基本定理(1)定理:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1,λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.(2)基底:不共线的向量e 1e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (1)基底e 1,e 2必须是同一平面内的两个不共线向量,零向量不能作为基底; (2)基底给定,同一向量的分解形式唯一;(3)如果对于一组基底e 1,e 2,有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2,则可以得到⎩⎪⎨⎪⎧λ1=μ1,λ2=μ2.2.平面向量的坐标运算(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模: 设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2), 则a +b =(x 1+x 2,y 1+y 2), a -b =(x 1-x 2,y 1-y 2),λa =(λx 1,λy 1),|a |=x 21+y 21.若a =b ,则x 1=x 2且y 1=y 2. (2)向量坐标的求法:①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标. ②设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则AB ―→=(x 2-x 1,y 2-y 1), |AB ―→|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 3.平面向量共线的坐标表示设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),其中b ≠0,则a ∥b ⇔x 1y 2-x 2y 1=0.当且仅当x 2y 2≠0时,a ∥b 与x 1x 2=y 1y 2等价.即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例.考点一 平面向量基本定理及其应用[典例] 如图,以向量OA ―→=a ,OB ―→=b 为邻边作平行四边形OADB ,BM ―→=13BC ―→,CN ―→=13CD ―→,用a ,b 表示OM ―→,ON ―→,MN ―→.[解] ∵BA ―→=OA ―→-OB ―→=a -b , BM ―→=16BA ―→=16a -16b ,∴OM ―→=OB ―→+BM ―→=16a +56b .∵OD ―→=a +b , ∴ON ―→=OC ―→+13CD ―→=12OD ―→+16OD ―→ =23OD ―→=23a +23b , ∴MN ―→=ON ―→-OM ―→=23a +23b -16a -56b =12a -16b .综上,OM ―→=16a +56b ,ON ―→=23a +23b ,MN ―→=12a -16b .[解题技法]1.平面向量基本定理解决问题的一般思路(1)先选择一组基底,并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式,再通过向量的运算来解决.(2)在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便.另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理.2.应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线,就可以作为平面向量的一组基底,基底可以有无穷多组. (2)利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算.[题组训练]1.在△ABC 中,P ,Q 分别是AB ,BC 的三等分点,且AP =13AB ,BQ =13BC ,若AB ―→=a ,AC ―→=b ,则P Q ―→=( )A.13a +13b B .-13a +13bC.13a -13b D .-13a -13b解析:选A 由题意知P Q ―→=PB ―→+B Q ―→=23AB ―→+13BC ―→=23AB ―→+13(AC ―→-AB ―→)=13AB ―→+13AC ―→=13a +13b . 2.已知在△ABC 中,点O 满足OA ―→+OB ―→+OC ―→=0,点P 是OC 上异于端点的任意一点,且OP ―→=m OA ―→+n OB ―→,则m +n 的取值范围是________.解析:依题意,设OP ―→=λOC ―→(0<λ<1), 由OA ―→+OB ―→+OC ―→=0,知OC ―→=-(OA ―→+OB ―→), 所以OP ―→=-λOA ―→-λOB ―→,由平面向量基本定理可知, m +n =-2λ,所以m +n ∈(-2,0). 答案:(-2,0)考点二 平面向量的坐标运算[典例] 已知A (-2,4),B (3,-1),C (-3,-4).设AB ―→=a ,BC ―→=b ,CA ―→=c ,且CM ―→=3c ,CN ―→=-2b ,(1)求3a +b -3c ;(2)求M ,N 的坐标及向量MN ―→的坐标.[解] 由已知得a =(5,-5),b =(-6,-3),c =(1,8). (1)3a +b -3c =3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42). (2)设O 为坐标原点,∵CM ―→=OM ―→-OC ―→=3c , ∴OM ―→=3c +OC ―→=(3,24)+(-3,-4)=(0,20). ∴M (0,20).又∵CN ―→=ON ―→-OC ―→=-2b , ∴ON ―→=-2b +OC ―→=(12,6)+(-3,-4)=(9,2), ∴N (9,2),∴MN ―→=(9,-18).[变透练清]1.(变结论)本例条件不变,若a =m b +n c ,则m =________,n =________. 解析:∵m b +n c =(-6m +n ,-3m +8n ),a =(5,-5),∴⎩⎪⎨⎪⎧-6m +n =5,-3m +8n =-5, 解得⎩⎪⎨⎪⎧m =-1,n =-1.答案:-1 -12.已知O 为坐标原点,向量OA ―→=(2,3),OB ―→=(4,-1),且AP ―→=3PB ―→,则|OP ―→|=________.解析:设P (x ,y ),由题意可得A ,B 两点的坐标分别为(2,3),(4,-1),由AP ―→=3PB ―→,可得⎩⎪⎨⎪⎧x -2=12-3x ,y -3=-3y -3,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =72,y =0,故|OP ―→|=72.答案:72[解题技法]1.平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用“向量相等,则其坐标相同”这一原则,通过列方程(组)来进行求解.2.向量坐标运算的注意事项(1)向量坐标与点的坐标形式相似,实质不同. (2)向量坐标形式的线性运算类似多项式的运算.(3)向量平行与垂直的坐标表达形式易混淆,需清楚结论推导过程与结果,加以区分. 考点三 平面向量共线的坐标表示[典例] 已知a =(1,0),b =(2,1). (1)当k 为何值时,k a -b 与a +2b 共线;(2)若AB ―→=2a +3b ,BC ―→=a +m b ,且A ,B ,C 三点共线,求m 的值. [解] (1)∵a =(1,0),b =(2,1), ∴k a -b =k (1,0)-(2,1)=(k -2,-1), a +2b =(1,0)+2(2,1)=(5,2), ∵k a -b 与a +2b 共线,∴2(k -2)-(-1)×5=0,∴k =-12.(2)AB ―→=2(1,0)+3(2,1)=(8,3), BC ―→=(1,0)+m (2,1)=(2m +1,m ). ∵A ,B ,C 三点共线,∴AB ―→∥BC ―→, ∴8m -3(2m +1)=0,∴m =32.[解题技法]1.平面向量共线的充要条件的2种形式(1)若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a ∥b 的充要条件是x 1y 2-x 2y 1=0. (2)若a ∥b (b ≠0),则a =λb . 2.两个向量共线的充要条件的作用判断两个向量是否共线(或平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两个向量共线的充要条件可以列出方程(组),求参数的值.[题组训练]1.已知向量a =(1,2),b =(-3,2),若(k a +b )∥(a -3b ),则实数k 的取值为( ) A .-13B.13C .-3D .3解析:选A k a +b =k (1,2)+(-3,2)=(k -3,2k +2). a -3b =(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), 则由(k a +b )∥(a -3b )得(k -3)×(-4)-10×(2k +2)=0,所以k =-13.2.(2019·唐山模拟)已知在平面直角坐标系xOy 中,P 1(3,1),P 2(-1,3),P 1,P 2,P 3三点共线且向量OP 3―→与向量a =(1,-1)共线,若OP 3―→=λOP 1―→+(1-λ)OP 2―→,则λ=( )A .-3B .3C .1D .-1解析:选D 设OP 3―→=(x ,y ),则由OP 3―→∥a 知x +y =0,于是OP 3―→=(x ,-x ).若OP 3―→=λOP 1―→+(1-λ)OP 2―→,则有(x ,-x )=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即⎩⎪⎨⎪⎧4λ-1=x ,3-2λ=-x ,所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1,故选D.3.在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,且DC =2AB ,三个顶点A (1,2),B (2,1),C (4,2),则点D 的坐标为________.解析:∵在梯形ABCD 中,DC =2AB ,AB ∥CD , ∴DC ―→=2AB ―→.设点D 的坐标为(x ,y ),则DC ―→=(4-x,2-y ),AB ―→=(1,-1), ∴(4-x,2-y )=2(1,-1),即(4-x,2-y )=(2,-2),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4-x =2,2-y =-2,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =2,y =4,故点D 的坐标为(2,4). 答案:(2,4)[课时跟踪检测]1.(2019·昆明调研)已知向量a =(-1,2),b =(1,3),则|2a -b |=( ) A.2 B .2 C.10D .10解析:选C 由已知,易得2a -b =2(-1,2)-(1,3)=(-3,1),所以|2a -b |=(-3)2+12=10.故选C.2.已知向量a =(5,2),b =(-4,-3),c =(x ,y ),若3a -2b +c =0,则c =( ) A .(-23,-12) B .(23,12) C .(7,0)D .(-7,0)解析:选A 由题意可得3a -2b +c =3(5,2)-2(-4,-3)+(x ,y )=(23+x,12+y )=(0,0),所以⎩⎪⎨⎪⎧ 23+x =0,12+y =0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =-23,y =-12,所以c =(-23,-12).3.(2018·石家庄模拟)已知向量a =(1,m ),b =(m,1),则“m =1”是“a ∥b ”成立的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件解析:选A 若a ∥b ,则m 2=1,即m =±1,故“m =1”是“a ∥b ”的充分不必要条件,选A.4.已知点M 是△ABC 的边BC 的中点,点E 在边AC 上,且EC ―→=2AE ―→,则EM ―→=( ) A.12AC ―→+13AB ―→ B.12AC ―→+16AB ―→C.16AC ―→+12AB ―→ D.16AC ―→+32AB ―→解析:选C 如图,因为EC ―→=2AE ―→,所以EC ―→=23AC ―→,所以EM ―→=EC ―→+CM ―→=23AC ―→+12CB ―→=23AC ―→+12(AB ―→-AC ―→)=12AB ―→+16AC ―→.5.已知点A (8,-1),B (1,-3),若点C (2m -1,m +2)在直线AB 上,则实数m =( ) A .-12 B .13 C .-13D .12解析:选C 因为点C 在直线AB 上,所以AC ―→与AB ―→同向.又AB ―→=(-7,-2),AC ―→=(2m -9,m +3),故2m -9-7=m +3-2,所以m =-13.故选C.6.在平面直角坐标系xOy 中,已知A (1,0),B (0,1),C 为坐标平面内第一象限的点,且∠AOC =π4,|OC |=2,若OC ―→=λOA ―→+μOB ―→,则λ+μ=( )A .22 B.2 C .2 D .42解析:选A 因为|OC |=2,∠AOC =π4,所以C (2,2),又因为OC ―→=λOA ―→+μOB ―→,所以(2,2)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ),所以λ=μ=2,λ+μ=2 2.7.已知|OA ―→|=1,|OB ―→|=3,OA ―→⊥OB ―→, 点C 在线段AB 上,∠AOC =30°.设OC ―→=m OA ―→+n OB ―→(m ,n ∈R ),则m n等于( )A.13 B .3 C.33D.3 解析:选B 如图,由已知|OA ―→|=1,|OB ―→|=3,OA ―→⊥OB ―→,可得AB =2,∠A =60°,因为点C 在线段AB 上,∠AOC =30°,所以OC ⊥AB ,过点C 作CD ⊥OA ,垂足为点D ,则OD =34,CD =34,所以OD ―→=34OA ―→,DC ―→= 14OB ―→,即OC ―→=34OA ―→+14OB ―→,所以mn=3.8.(2019·深圳模拟)如图,在正方形ABCD 中,M 是BC 的中点,若AC ―→=λAM ―→+μBD ―→,则λ+μ=( )A.43B.53C.158D .2解析:选B 以点A 为坐标原点,分别以AB ―→,AD ―→的方向为x 轴,y 轴的正方向,建立平面直角坐标系(图略).设正方形的边长为2,则A (0,0),C (2,2),M (2,1),B (2,0),D (0,2),所以AC ―→=(2,2),AM ―→=(2,1),BD ―→=(-2,2),所以λAM ―→+μBD ―→=(2λ-2μ,λ+2μ),因为AC―→=λAM ―→+μBD ―→,所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ-2μ=2,λ+2μ=2,解得⎩⎨⎧λ=43,μ=13,所以λ+μ=53.9.已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R ),则m -n 的值为________.解析:∵m a +n b =(2m +n ,m -2n )=(9,-8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m +n =9,m -2n =-8,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =5, ∴m -n =2-5=-3. 答案:-310.已知向量a =(1,m ),b =(4,m ),若有(2|a |-|b |)(a +b )=0,则实数m =________. 解析:因为a +b =(5,2m )≠0,所以由(2|a |-|b |)(a +b )=0得2|a |-|b |=0, 所以|b |=2|a |,所以42+m 2=212+m 2,解得m =±2. 答案:±211.(2019·南昌模拟)已知向量a =(m ,n ),b =(1,-2),若|a |=25,a =λb (λ<0),则m -n =________.解析:∵a =(m ,n ),b =(1,-2), ∴由|a |=25,得m 2+n 2=20, ① 由a =λb (λ<0),得⎩⎪⎨⎪⎧m <0,n >0,-2m -n =0, ②由①②,解得m =-2,n =4. ∴m -n =-6. 答案:-612.已知向量a =(1,2),b =(x,1),u =a +2b ,v =2a -b ,且u ∥v ,则实数x 的值为________. 解析:因为a =(1,2),b =(x,1),u =a +2b ,v =2a -b , 所以u =(1,2)+2(x,1)=(2x +1,4), v =2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).又因为u ∥v ,所以3(2x +1)-4(2-x )=0, 即10x =5,解得x =12.答案:1213.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A (1,1),B (2,3),C (3,2),点P (x ,y )在△ABC 三边围成的区域(含边界)上.(1)若P A ―→+PB ―→+PC ―→=0,求|OP ―→|;(2)设OP ―→=m AB ―→+n AC ―→(m ,n ∈R ),用x ,y 表示m -n .解:(1)∵P A ―→+PB ―→+PC ―→=0,P A ―→+PB ―→+PC ―→=(1-x,1-y )+(2-x,3-y )+(3-x,2-y )=(6-3x,6-3y ),∴⎩⎪⎨⎪⎧6-3x =0,6-3y =0,解得x =2,y =2, 即OP ―→=(2,2),故|OP ―→|=2 2.(2)∵OP ―→=m AB ―→+n AC ―→,AB ―→=(1,2),AC ―→=(2,1). ∴(x ,y )=(m +2n,2m +n ),即⎩⎪⎨⎪⎧x =m +2n ,y =2m +n ,两式相减,得m -n =y -x .第三节 平面向量的数量积一、基础知识1.向量的夹角(1)定义:已知两个非零向量a 和b ,如图所示,作OA ―→=a ,OB ―→=b ,则∠AOB =θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角,记作〈a ,b 〉.只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向量的夹角. (2)范围:夹角θ的范围是[0,π]. 当θ=0时,两向量a ,b 共线且同向;当θ=π2时,两向量a ,b 相互垂直,记作a ⊥b ;当θ=π时,两向量a ,b 共线但反向. 2.平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ,我们把数量|a ||b | cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即a ·b =|a ||b |cos θ,其中θ是a 与b 的夹角.规定:零向量与任一向量的数量积为零. 3.平面向量数量积的几何意义 (1)一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ,b 的夹角,则|b |cos θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影,|a |cos θ叫做向量a 在向量b 的方向上的投影.(2)a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 投影和两向量的数量积都是数量,不是向量. 4.向量数量积的运算律 (1)交换律:a ·b =b ·a .(2)数乘结合律:(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb ). (3)分配律:(a +b )·c =a ·c +b ·c .向量数量积的运算不满足乘法结合律,即(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ),这是由于(a ·b )·c表示一个与c共线的向量,a·(b·c)表示一个与a共线的向量,而c与a不一定共线.5.平面向量数量积的性质设a,b为两个非零向量,e是与b同向的单位向量,θ是a与e的夹角,则(1)e·a=a·e=|a|cos θ.(2)a⊥b⇔a·b=0.(3)当a与b同向时,a·b=|a||b|;当a与b反向时,a·b=-|a||b|.特别地,a·a=|a|2或|a|=a·a.(4)cos θ=a·b|a||b|.(5)|a·b|≤|a||b|.6.平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则(1)|a|=x21+y21;(3)a⊥b⇔x1x2+y1y2=0;(2)a·b=x1x2+y1y2;_ (4)cos θ=x1x2+y1y2x21+y21x22+y22.二、常用结论汇总1.平面向量数量积运算的常用公式(1)(a+b)·(a-b)=a2-b2;(2)(a±b)2=a2±2a·b+b2.2.有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角,则有a·b>0,反之不成立(因为夹角为0时不成立);(2)两个向量a与b的夹角为钝角,则有a·b<0,反之不成立(因为夹角为π时不成立).考点一平面向量的数量积的运算[典例](1)(2018·新乡二模)若向量m=(2k-1,k)与向量n=(4,1)共线,则m·n=()A .0B .4C .-92D .-172(2)(2018·天津高考)在如图所示的平面图形中,已知OM =1,ON =2,∠MON =120°,BM ―→=2MA ―→,CN ―→=2NA ―→,则BC ―→·OM ―→的值为( )A .-15B .-9C .-6D .0[解析] (1)∵向量m =(2k -1,k )与向量n =(4,1)共线,∴2k -1-4k =0,解得k =-12,∴m =⎝⎛⎭⎫-2,-12, ∴m ·n =-2×4+⎝⎛⎭⎫-12×1=-172. (2)法一:如图,连接MN . ∵BM ―→=2MA ―→,CN ―→=2NA ―→, ∴AM AB =AN AC =13. ∴MN ∥BC ,且MN BC =13.∴BC ―→=3MN ―→=3(ON ―→-OM ―→). ∴BC ―→·OM ―→=3(ON ―→·OM ―→-OM ―→2) =3(2×1×cos 120°-12)=-6.法二:在△ABC 中,不妨设∠A =90°,取特殊情况ON ⊥AC ,以A 为坐标原点,AB ,AC 所在直线分别为x 轴,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,因为∠MON =120°,ON =2,OM =1,所以O ⎝⎛⎭⎫2,32,C ⎝⎛⎭⎫0,332,M ⎝⎛⎭⎫52,0,B ⎝⎛⎭⎫152,0. 故BC ―→·OM ―→=⎝⎛⎭⎫-152,332·⎝⎛⎭⎫12,-32=-154-94=-6.[答案] (1)D (2)C[解题技法] 求非零向量a ,b 的数量积的策略(1)若两向量共起点,则两向量的夹角直接可得,根据定义即可求得数量积;若两向量的起点不同,则需要通过平移使它们的起点重合,再计算.(2)根据图形之间的关系,用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出向量a ,b ,然后根据平面向量的数量积的定义进行计算求解.(3)若图形适合建立平面直角坐标系,可建立坐标系,求出a ,b 的坐标,通过坐标运算求解.[题组训练]1.(2019·济南模拟)已知矩形ABCD 中,AB =2,BC =1,则AC ―→·CB ―→=( ) A .1 B .-1 C.6D .22解析:选B 设AB ―→=a ,AD ―→=b ,则a ·b =0, ∵|a |=2,|b |=1,∴AC ―→·CB ―→=(a +b )·(-b )=-a ·b -b 2=-1.2.(2019·南昌调研)已知向量a ,b 满足a ·(b +a )=2,且a =(1,2),则向量b 在a 方向上的投影为( )A.55B .-55C .-255D .-355解析:选D 由a =(1,2),可得|a |=5, 由a ·(b +a )=2,可得a ·b +a 2=2, ∴a ·b =-3,∴向量b 在a 方向上的投影为a ·b |a |=-355.3.(2018·石家庄质检)在△ABC 中,已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°,|AB ―→|=2,|AC ―→|=1,M 为BC 上的一点,且AM ―→=λAB ―→+μAC ―→ (λ,μ∈R),且AM ―→·BC ―→=0,则 λμ的值为________.解析:法一:∵BC ―→=AC ―→-AB ―→,AM ―→·BC ―→=0, ∴(λAB ―→+μAC ―→)·(AC ―→-AB ―→)=0,∵AB ―→与AC ―→的夹角为90°,|AB ―→|=2,|AC ―→|=1, ∴-λ|AB ―→|2+μ|AC ―→|2=0,即-4λ+μ=0,∴λμ=14.法二:根据题意,建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (0,2),C (1,0),所以AB ―→=(0,2),AC ―→=(1,0),BC ―→=(1,-2).设M (x ,y ),则AM ―→=(x ,y ),所以AM ―→·BC ―→=(x ,y )·(1,-2)=x -2y =0,所以x =2y ,又AM ―→=λAB ―→+μAC ―→,即(x ,y )=λ(0,2)+μ(1,0)=(μ,2λ),所以x =μ,y =2λ,所以λμ=12y 2y =14.答案:14考点二 平面向量数量积的性质考法(一) 平面向量的模[典例] (1)(2019·昆明适应性检测)已知非零向量a ,b 满足a ·b =0,|a |=3,且a 与a +b 的夹角为π4,则|b |=( )A .6B .32C .22D .3(2)(2019·福州四校联考)已知向量a ,b 为单位向量,且a ·b =-12,向量c 与a +b 共线,则|a +c |的最小值为( )A .1 B.12C.34D.32[解析] (1)∵a ·b =0,|a |=3,∴a ·(a +b )=a 2+a ·b =|a ||a +b |cos π4,∴|a +b |=32,将|a +b |=32两边平方可得,a 2+2a ·b +b 2=18,解得|b |=3,故选D.(2)∵向量c 与a +b 共线,∴可设c =t (a +b )(t ∈R),∴a +c =(t +1)a +t b ,∴(a +c )2=(t +1)2a 2+2t (t +1)·a ·b +t 2b 2, ∵向量a ,b 为单位向量,且a ·b =-12,∴(a +c )2=(t +1)2-t (t +1)+t 2=t 2+t +1≥34,∴|a +c |≥32,∴|a +c |的最小值为32,故选D. [答案] (1)D (2)D考法(二) 平面向量的夹角[典例] (1)已知平面向量a ,b 的夹角为π3,且|a |=1,|b |=12,则a +2b 与b 的夹角是( )A.π6 B.5π6C.π4D.3π4(2)已知向量a =(1,3),b =(3,m )且b 在a 方向上的投影为-3,则向量a 与b 的夹角为________.[解析] (1)因为|a +2b |2=|a |2+4|b |2+4a ·b =1+1+4×1×12×cos π3=3,所以|a +2b |= 3.又(a +2b )·b =a ·b +2|b |2=1×12×cos π3+2×14=14+12=34,所以cos 〈a +2b ,b 〉=(a +2b )·b |a +2b ||b |=343×12=32,所以a +2b 与b 的夹角为π6.(2)因为b 在a 方向上的投影为-3,所以|b |cos 〈a ,b 〉=-3,又|a |=12+(3)2=2,所以a ·b =|a ||b |cos 〈a ,b 〉=-6,又a ·b =3+3m ,所以3+3m =-6,解得m =-33,则b =(3,-33),所以|b |=32+(-33)2=6,所以cos 〈a ,b 〉=a ·b |a ||b |=-62×6=-12,因为0≤〈a ,b 〉≤π,所以a 与b 的夹角为2π3. [答案] (1)A (2)2π3考法(三) 平面向量的垂直[典例] (1)若非零向量a ,b 满足|a |=223|b |,且(a -b )⊥(3a +2b ),则a 与b 的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D .π(2)已知向量AB ―→与AC ―→的夹角为120°,且|AB ―→|=3,|AC ―→|=2.若AP ―→=λAB ―→+AC ―→,且AP―→⊥BC ―→,则实数λ的值为________.[解析] (1)设a 与b 的夹角为θ,因为|a |=223|b |,(a -b )⊥(3a +2b ), 所以(a -b )·(3a +2b )=3|a |2-2|b |2-a ·b =83|b |2-2|b |2-223|b |2cos θ=0,解得cos θ=22,因为θ∈[0,π],所以θ=π4. (2)由AP ―→⊥BC ―→,知AP ―→·BC ―→=0,即AP ―→·BC ―→=(λAB ―→+AC ―→)·(AC ―→-AB ―→)=(λ-1)AB ―→·AC ―→-λAB ―→2+AC ―→2=(λ-1)×3×2×⎝⎛⎭⎫-12-λ×9+4=0,解得λ=712. [答案] (1)A (2)712[解题技法]1.利用坐标运算证明两个向量的垂直问题若证明两个向量垂直,先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标;然后根据数量积的坐标运算公式,计算出这两个向量的数量积为0即可.2.已知两个向量的垂直关系,求解相关参数的值根据两个向量垂直的充要条件,列出相应的关系式,进而求解参数.[题组训练]1.(2018·深圳高级中学期中)已知向量m =(λ+1,1),n =(λ+2,2),若(m +n )⊥(m -n ),则λ=( )A .-4B .-3C .-2D .-1解析:选B ∵(m +n )⊥(m -n ),∴(m +n )·(m -n )=m 2-n 2=(λ+1)2+1-(λ+2)2-4=0,解得λ=-3.故选B.2.(2018·永州二模)已知非零向量a ,b 的夹角为60°,且|b |=1,|2a -b |=1,则|a |=( ) A.12 B .1 C.2D .2解析:选A ∵非零向量a ,b 的夹角为60°,且|b |=1,∴a ·b =|a |×1×12=|a |2,∵|2a-b |=1,∴|2a -b |2=4a 2-4a ·b +b 2=4|a |2-2|a |+1=1,∴4|a |2-2|a |=0,∴|a |=12,故选A.3.(2019·益阳、湘潭调研)已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,a +b =(1,3),记向量a ,b 的夹角为θ,则t a n θ=________.解析:∵|a |=1,|b |=2,a +b =(1,3),∴(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =5+2a ·b =1+3,∴a ·b =-12,∴cos θ=a ·b |a |·|b |=-14,∴sin θ=1-⎝⎛⎭⎫-142=154,∴t a n θ=sin θc os θ=-15. 答案:-15[课时跟踪检测]1.已知向量a ,b 满足|a |=1,|b |=23,a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3,则b ·(2a-b )等于( )A .2B .-1C .-6D .-18解析:选D ∵a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3=-32, ∴a ·b =-3,b ·(2a -b )=2a ·b -b 2=-18.2.已知平面向量a =(-2,3),b =(1,2),向量λa +b 与b 垂直,则实数λ的值为( ) A.413 B .-413C.54D .-54解析:选D ∵a =(-2,3),b =(1,2),∴λa +b =(-2λ+1,3λ+2).∵λa +b 与b 垂直,∴(λa +b )·b =0,∴(-2λ+1,3λ+2)·(1,2)=0,即-2λ+1+6λ+4=0,解得λ=-54.3.已知向量a ,b 满足|a |=1,b =(2,1),且a ·b =0,则|a -b |=( ) A.6 B.5 C .2D.3解析:选A 因为|a |=1,b =(2,1),且a ·b =0,所以|a -b |2=a 2+b 2-2a ·b =1+5-0=6,所以|a -b |= 6.故选A.4.已知向量a =(1,2),b =(2,-3).若向量c 满足(a +c )∥b ,c ⊥(a +b ),则c =( ) A.⎝⎛⎭⎫79,73B.⎝⎛⎭⎫-73,-79C.⎝⎛⎭⎫73,79D.⎝⎛⎭⎫-79,-73 解析:选D 设c =(m ,n ),则a +c =(1+m,2+n ),a +b =(3,-1), 因为(a +c )∥b ,则有-3(1+m )=2(2+n ), 即3m +2n =-7,又c ⊥(a +b ),则有3m -n =0,联立⎩⎪⎨⎪⎧3m +2n =-7,3m -n =0.解得⎩⎨⎧m =-79,n =-73.所以c =⎝⎛⎭⎫-79,-73. 5.(2018·襄阳调研)已知i ,j 为互相垂直的单位向量,a =i -2j ,b =i +λj ,且a 与b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-2,23∪⎝⎛⎭⎫23,+∞B.⎝⎛⎭⎫12,+∞ C .(-∞,-2)∪⎝⎛⎭⎫-2,12D.⎝⎛⎭⎫-∞,12解析:选C 不妨令i =(1,0),j =(0,1),则a =(1,-2),b =(1,λ),因为它们的夹角为锐角,所以a ·b =1-2λ>0且a ,b 不共线,所以λ<12且λ≠-2,故选C.6.(2019·石家庄质检)若两个非零向量a ,b 满足|a +b |=|a -b |=2|b |,则向量a +b 与a 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析:选A ∵|a +b |=|a -b |,∴|a +b |2=|a -b |2,∴a ·b =0.又|a +b |=2|b |,∴|a +b |2=4|b |2,|a |2=3|b |2,∴|a |=3|b |,cos 〈a +b ,a 〉=(a +b )·a |a +b ||a |=a 2+a ·b |a +b ||a |=|a |22|b ||a |=|a |2|b |=32,故a +b 与a 的夹角为π6. 7.(2018·宝鸡质检)在直角三角形ABC 中,角C 为直角,且AC =BC =1,点P 是斜边上的一个三等分点,则CP ―→·CB ―→+CP ―→·CA ―→=( )A .0B .1 C.94D .-94解析:选B 以点C 为坐标原点,分别以CA ―→,CB ―→的方向为x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则C (0,0),A (1,0),B (0,1),不妨设P ⎝⎛⎭⎫13,23,所以CP ―→·CB ―→+CP ―→·CA ―→=CP ―→·(CB ―→+CA ―→)=13+23=1.故选B.8.(2019·武汉调研)已知平面向量a ,b ,e 满足|e |=1,a ·e =1,b ·e =-2,|a +b |=2,则a ·b 的最大值为( )A .-1B .-2C .-52D .-54解析:选D 不妨设e =(1,0),则a =(1,m ),b =(-2,n )(m ,n ∈R),则a +b =(-1,m +n ),所以|a +b |=1+(m +n )2=2,所以(m +n )2=3,即3=m 2+n 2+2mn ≥2mn +2mn =4mn ,当且仅当m =n 时等号成立,所以mn ≤34,所以a ·b =-2+mn ≤-54,综上可得a ·b的最大值为-54.9.已知平面向量a ,b 满足a ·(a +b )=3,且|a |=2,|b |=1,则向量a 与b 的夹角的正弦值为________.解析:∵a ·(a +b )=a 2+a ·b =22+2×1×cos 〈a ,b 〉=4+2cos 〈a ,b 〉=3, ∴cos 〈a ,b 〉=-12,又〈a ,b 〉∈[0,π],∴sin 〈a ,b 〉=1-c os 2〈a ,b 〉=32. 答案:3210.(2018·湖北八校联考)已知平面向量a ,b 的夹角为2π3,且|a |=1,|b |=2,若(λa +b )⊥(a -2b ),则λ=________.解析:∵|a |=1,|b |=2,且a ,b 的夹角为2π3,∴a ·b =1×2×⎝⎛⎭⎫-12=-1,又∵(λa +b )⊥(a -2b ),∴(λa +b )·(a -2b )=0,即(λa +b )·(a -2b )=λa 2-2b 2+(1-2λ)a ·b =λ-8-(1-2λ)=0,解得λ=3.答案:311.(2018·合肥一检)已知平面向量a ,b 满足|a |=1,|b |=2,|a +b |=3,则a 在b 方向上的投影等于________.解析:∵|a |=1,|b |=2,|a +b |=3, ∴(a +b )2=|a |2+|b |2+2a ·b =5+2a ·b =3, ∴a ·b =-1,∴a 在b 方向上的投影为a ·b |b |=-12.答案:-1212.如图所示,在等腰直角三角形AOB 中,OA =OB =1,AB ―→=4AC ―→,则OC ―→·(OB ―→-OA ―→)=________.解析:由已知得|AB ―→|=2,|AC ―→|=24,则OC ―→·(OB ―→-OA ―→)=(OA ―→+AC ―→)·AB ―→=OA ―→·AB ―→+AC ―→·AB ―→=2cos 3π4+24×2=-12. 答案:-1213.(2019·南昌质检)设向量a ,b 满足|a |=|b |=1,且|2a -b |= 5. (1)求|2a -3b |的值;(2)求向量3a -b 与a -2b 的夹角θ.解:(1)∵|2a -b |2=4a 2-4a ·b +b 2=4-4a ·b +1=5,∴a ·b =0, ∴|2a -3b |=4a 2-12a ·b +9b 2=4+9=13.(2)cos θ=(3a -b )·(a -2b )|3a -b ||a -2b |=3a 2+2b 29a 2+b 2×a 2+4b 2=510×5=22,∵θ∈[0,π],∴θ=π4.。

2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)

2023年新高考数学大一轮复习专题二平面向量与三角函数第1讲平面向量(含答案)

新高考数学大一轮复习专题:第1讲 平面向量[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点,命题突出向量的基本运算与工具性,在解答题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合,主要以条件的形式出现,涉及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题形式考查平面向量的基本运算,中低等难度;平面向量在解答题中一般为中等难度. 考点一 平面向量的线性运算 核心提炼1.平面向量加减法求解的关键是:对平面向量加法抓住“共起点”或“首尾相连”.对平面向量减法应抓住“共起点,连两终点,指向被减向量的终点”,再观察图形对向量进行等价转化,即可快速得到结果.2.在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作一个字母看待即可,其运算方法类似于代数中合并同类项的运算,在计算时可以进行类比.例1 (1)如图所示,AD 是△ABC 的中线,O 是AD 的中点,若CO →=λAB →+μAC →,其中λ,μ∈R ,则λ+μ的值为( )A .-12B.12 C .-14D.14答案 A解析 由题意知,CO →=12(CD →+CA →)=12×⎝ ⎛⎭⎪⎫12CB →+CA →=14(AB →-AC →)+12CA →=14AB →-34AC →, 则λ=14,μ=-34,故λ+μ=-12.(2)已知e 1,e 2是不共线向量,a =m e 1+2e 2,b =n e 1-e 2,且mn ≠0.若a ∥b ,则m n=________. 答案 -2解析 ∵a ∥b ,∴m ×(-1)=2×n ,∴m n=-2.(3)A ,B ,C 是圆O 上不同的三点,线段CO 与线段AB 交于点D ,若OC →=λOA →+μOB →(λ∈R ,μ∈R ),则λ+μ的取值范围是________.答案 (1,+∞)解析 由题意可得,OD →=kOC →=kλOA →+kμOB →(0<k <1),又A ,D ,B 三点共线,所以kλ+kμ=1,则λ+μ=1k>1,即λ+μ的取值范围是(1,+∞).易错提醒 在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理恰当地选取基底,变形要有方向,不能盲目转化.跟踪演练1 (1)如图,在平行四边形ABCD 中,E ,F 分别为边AB ,BC 的中点,连接CE ,DF ,交于点G .若CG →=λCD →+μCB →(λ,μ∈R ),则λμ=________.答案 12解析 由题意可设CG →=xCE →(0<x <1), 则CG →=x (CB →+BE →)=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫CB →+12CD →=x 2CD →+xCB →.因为CG →=λCD →+μCB →,CD →与CB →不共线,所以λ=x 2,μ=x ,所以λμ=12.(2)如图,在扇形OAB 中,∠AOB =π3,C 为弧AB 上的一个动点,若OC →=xOA →+yOB →,则x +3y的取值范围是________.答案 [1,3]解析 设扇形的半径为1,以OB 所在直线为x 轴,O 为坐标原点建立平面直角坐标系(图略), 则B (1,0),A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,C (cos θ,sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC =θ,0≤θ≤π3.则OC →=(cos θ,sin θ)=x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32+y (1,0),即⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y =cos θ,32x =sin θ,解得x =23sin θ3,y =cos θ-3sin θ3,故x +3y =23sin θ3+3cos θ-3sin θ=3cos θ-33sin θ,0≤θ≤π3. 令g (θ)=3cos θ-33sin θ, 易知g (θ)=3cos θ-33sin θ在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3上单调递减,故当θ=0时,g (θ)取得最大值为3, 当θ=π3时,g (θ)取得最小值为1,故x +3y 的取值范围为[1,3].考点二 平面向量的数量积 核心提炼1.若a =(x ,y ),则|a |=a ·a =x 2+y 2. 2.若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则|AB →|=x 2-x 12+y 2-y 12.3.若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角, 则cos θ=a ·b |a ||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21x 22+y 22. 例2 (1)(2020·全国Ⅲ)已知向量a ,b 满足|a |=5,|b |=6,a ·b =-6,则cos 〈a ,a +b 〉等于( )A .-3135B .-1935C.1735D.1935答案 D解析 ∵|a +b |2=(a +b )2=a 2+2a ·b +b 2=25-12+36=49, ∴|a +b |=7,∴cos〈a ,a +b 〉=a ·a +b |a ||a +b |=a 2+a ·b|a ||a +b |=25-65×7=1935. (2)已知扇形OAB 的半径为2,圆心角为2π3,点C 是弧AB 的中点,OD →=-12OB →,则CD →·AB →的值为( )A .3B .4C .-3D .-4 答案 C解析 如图,连接CO ,∵点C 是弧AB 的中点, ∴CO ⊥AB ,又∵OA =OB =2,OD →=-12OB →,∠AOB =2π3,∴CD →·AB →=(OD →-OC →)·AB →=-12OB →·AB →=-12OB →·(OB →-OA →)=12OA →·OB →-12OB →2=12×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫-12-12×4=-3. (3)已知在直角梯形ABCD 中,AB =AD =2CD =2,∠ADC =90°,若点M 在线段AC 上,则|MB →+MD →|的取值范围为________________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤255,22 解析 以A 为坐标原点,AB ,AD 所在直线分别为x 轴,y 轴, 建立如图所示的平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),C (1,2),D (0,2),设AM →=λAC →(0≤λ≤1),则M (λ,2λ), 故MD →=(-λ,2-2λ),MB →=(2-λ,-2λ), 则MB →+MD →=(2-2λ,2-4λ), ∴|MB →+MD →|=2-2λ2+2-4λ2=20⎝⎛⎭⎪⎫λ-352+45,0≤λ≤1, 当λ=0时,|MB →+MD →|取得最大值为22, 当λ=35时,|MB →+MD →|取得最小值为255,∴|MB →+MD →|∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤255,22.易错提醒 两个向量的夹角的范围是[0,π],在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量的夹角可能是0或π的情况,如已知两个向量的夹角为钝角时,不仅要求其数量积小于零,还要求不能反向共线.跟踪演练2 (1)(2019·全国Ⅰ)已知非零向量a ,b 满足|a |=2|b |,且(a -b )⊥b ,则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6 答案 B解析 方法一 设a 与b 的夹角为θ,因为(a -b )⊥b ,所以(a -b )·b =a ·b -|b |2=0, 又因为|a |=2|b |,所以2|b |2cos θ-|b |2=0, 即cos θ=12,又θ∈[0,π],所以θ=π3,故选B. 方法二 如图,令OA →=a ,OB →=b ,则BA →=OA →-OB →=a -b .因为(a -b )⊥b ,所以∠OBA =π2,又|a |=2|b |,所以∠AOB =π3,即a 与b 的夹角为π3,故选B.(2)(2020·新高考全国Ⅰ)已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP →·AB →的取值范围是( ) A .(-2,6) B .(-6,2) C .(-2,4) D .(-4,6)答案 A解析 如图,取A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),C (3,3),F (-1,3). 设P (x ,y ),则AP →=(x ,y ),AB →=(2,0),且-1<x <3. 所以AP →·AB →=(x ,y )·(2,0)=2x ∈(-2,6).(3)设A ,B ,C 是半径为1的圆O 上的三点,且OA →⊥OB →,则(OC →-OA →)·(OC →-OB →)的最大值是( ) A .1+ 2 B .1- 2 C.2-1 D .1答案 A解析 如图,作出OD →,使得OA →+OB →=OD →.则(OC →-OA →)·(OC →-OB →)=OC →2-OA →·OC →-OB →·OC →+OA →·OB →=1-(OA →+OB →)·OC →=1-OD →·OC →,由图可知,当点C 在OD 的反向延长线与圆O 的交点处时,OD →·OC →取得最小值,最小值为-2,此时(OC →-OA →)·(OC →-OB →)取得最大值,最大值为1+ 2.故选A.专题强化练一、单项选择题1.已知四边形ABCD 是平行四边形,点E 为边CD 的中点,则BE →等于( )A .-12AB →+AD →B.12AB →-AD →C.AB →+12AD →D.AB →-12AD →答案 A解析 由题意可知,BE →=BC →+CE →=-12AB →+AD →.2.(2020·广州模拟)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分,某学生做引体向上运动,处于如图所示的平衡状态时,若两只胳膊的夹角为π3,每只胳膊的拉力大小均为400 N ,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:取重力加速度大小为g =10 m/s 2,3≈1.732)( )A .63B .69C .75D .81 答案 B解析 设该学生的体重为m ,重力为G ,两臂的合力为F ′,则|G |=|F ′|,由余弦定理得|F ′|2=4002+4002-2×400×400×cos 2π3=3×4002,∴|F ′|=4003,∴|G |=mg =4003,m =403≈69kg.3.已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(λ,-1),若c ∥(2a +b ),则λ等于( ) A .-2B .-1C .-12D.12答案 A解析 ∵a =(1,2),b =(2,-2),∴2a +b =(4,2),又c =(λ,-1),c ∥(2a +b ),∴2λ+4=0,解得λ=-2,故选A.4.(2020·潍坊模拟)在平面直角坐标系xOy 中,点P (3,1),将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →,则点Q 的坐标是( )A .(-2,1)B .(-1,2)C .(-3,1)D .(-1,3) 答案 D解析 由P (3,1),得P ⎝⎛⎭⎪⎫2cos π6,2sin π6,∵将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转π2后得到向量OQ →,∴Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+π2,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+π2, 又cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6+π2=-sin π6=-12,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6+π2=cos π6=32,∴Q (-1,3).5.(2020·泰安模拟)如图,在△ABC 中,点O 是BC 的中点,过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N ,若AB →=mAM →,AC →=nAN →,则m +n 等于( )A .0B .1C .2D .3 答案 C解析 如图,连接AO ,由O 为BC 的中点可得,AO →=12(AB →+AC →)=m 2AM →+n 2AN →, ∵M ,O ,N 三点共线, ∴m 2+n2=1. ∴m +n =2.6.在同一平面中,AD →=DC →,BE →=2ED →.若AE →=mAB →+nAC →(m ,n ∈R ),则m +n 等于( ) A.23B.34C.56D .1 答案 A解析 由题意得,AD →=12AC →,DE →=13DB →,故AE →=AD →+DE →=12AC →+13DB →=12AC →+13(AB →-AD →)=12AC →+13⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →-12AC →=13AB →+13AC →,所以m =13,n =13,故m +n =23.7.若P 为△ABC 所在平面内一点,且|PA →-PB →|=|PA →+PB →-2PC →|,则△ABC 的形状为( ) A .等边三角形 B .等腰三角形 C .直角三角形 D .等腰直角三角形答案 C解析 ∵|PA →-PB →|=|PA →+PB →-2PC →|,∴|BA →|=|(PA →-PC →)+(PB →-PC →)|=|CA →+CB →|,即|CA →-CB →|=|CA →+CB →|,两边平方整理得,CA →·CB →=0,∴CA →⊥CB →,∴△ABC 为直角三角形.故选C. 8.已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点,则||PA →+PB →+2PC →的最大值为( )A .23B .33C .43D .5 3 答案 D解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O , 则圆的半径为332×12=3,OA →+OB →+OC →=0, 故PA →+PB →+2PC →=4PO →+OC →.又||4PO →+OC→2=51+8PO →·OC →≤51+24=75, 故||PA →+PB →+2PC →≤53, 当PO →,OC →同向共线时取最大值.9.如图,圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆,其与BC 边相切于点D ,点M 为圆上任意一点,BM →=xBA →+yBD →(x ,y ∈R ),则2x +y 的最大值为( )A.2B.3C .2D .2 2 答案 C解析 方法一 如图,连接DA ,以D 点为原点,BC 所在直线为x 轴,DA 所在直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设内切圆的半径为r ,则圆心为坐标(0,r ),根据三角形面积公式,得12×l △ABC ×r =12×AB ×AC ×sin60°(l △ABC 为△ABC 的周长),解得r =1.易得B (-3,0),C (3,0),A (0,3),D (0,0), 设M (cos θ,1+sin θ),θ∈[0,2π),则BM →=(cos θ+3,1+sin θ),BA →=(3,3),BD →=(3,0), 故BM →=(cos θ+3,1+sin θ)=(3x +3y ,3x ),故⎩⎨⎧cos θ=3x +3y -3,sin θ=3x -1,则⎩⎪⎨⎪⎧x =1+sin θ3,y =3cos θ3-sin θ3+23,所以2x +y =3cos θ3+sin θ3+43=23sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ+π3+43≤2.当θ=π6时等号成立.故2x +y 的最大值为2.方法二 因为BM →=xBA →+yBD →,所以|BM →|2=3(4x 2+2xy +y 2)=3[(2x +y )2-2xy ]. 由题意知,x ≥0,y ≥0, |BM →|的最大值为232-32=3,又2x +y 24≥2xy ,即-2x +y 24≤-2xy ,所以3×34(2x +y )2≤9,得2x +y ≤2,当且仅当2x =y =1时取等号. 二、多项选择题10.(2020·长沙模拟)已知a ,b 是单位向量,且a +b =(1,-1),则( ) A .|a +b |=2 B .a 与b 垂直C .a 与a -b 的夹角为π4D .|a -b |=1 答案 BC解析 |a +b |=12+-12=2,故A 错误;因为a ,b 是单位向量,所以|a |2+|b |2+2a ·b =1+1+2a ·b =2,得a ·b =0,a 与b 垂直,故B 正确;|a -b |2=a 2+b 2-2a ·b =2,|a -b |=2,故D 错误;cos 〈a ,a -b 〉=a ·a -b |a ||a -b |=a 2-a ·b 1×2=22,所以a 与a -b 的夹角为π4,故C 正确. 11.设向量a =(k,2),b =(1,-1),则下列叙述错误的是( )A .若k <-2,则a 与b 的夹角为钝角B .|a |的最小值为2C .与b 共线的单位向量只有一个为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,-22 D .若|a |=2|b |,则k =22或-2 2 答案 CD解析 对于A 选项,若a 与b 的夹角为钝角,则a ·b <0且a 与b 不共线,则k -2<0且k ≠-2,解得k <2且k ≠-2,A 选项正确;对于B 选项,|a |=k 2+4≥4=2,当且仅当k =0时等号成立,B 选项正确;对于C 选项,|b |=2,与b 共线的单位向量为±b |b |,即与b 共线的单位向量为⎝⎛⎭⎪⎫22,-22或⎝ ⎛⎭⎪⎫-22,22,C 选项错误;对于D 选项,∵|a |=2|b |=22,∴k 2+4=22,解得k =±2,D 选项错误.12.已知△ABC 是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC ,AB 上的两点,且AE →=EB →,AD →=2DC →,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( )A.AB →·CE →=-1B.OE →+OC →=0C .|OA →+OB →+OC →|=32D.ED →在BC →方向上的投影为76答案 BCD解析 因为AE →=EB →,△ABC 是等边三角形,所以CE ⊥AB ,所以AB →·CE →=0,选项A 错误;以E 为坐标原点,EA →,EC →的方向分别为x 轴,y 轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示,所以E (0,0),A (1,0),B (-1,0),C (0,3),D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,233, 设O (0,y ),y ∈(0,3),则BO →=(1,y ),DO →=⎝ ⎛⎭⎪⎫-13,y -233, 又BO →∥DO →,所以y -233=-13y ,解得y =32, 即O 是CE 的中点,OE →+OC →=0,所以选项B 正确;|OA →+OB →+OC →|=|2OE →+OC →|=|OE →|=32, 所以选项C 正确;ED →=⎝ ⎛⎭⎪⎫13,233,BC →=(1,3),ED →在BC →方向上的投影为ED →·BC →|BC →|=13+22=76,所以选项D 正确. 三、填空题13.(2020·全国Ⅱ)已知单位向量a ,b 的夹角为45°,k a -b 与a 垂直,则k =________. 答案 22解析 由题意知(k a -b )·a =0,即k a 2-b ·a =0.因为a ,b 为单位向量,且夹角为45°,所以k ×12-1×1×22=0,解得k =22. 14.在△ABC 中,AB =1,∠ABC =60°,AC →·AB →=-1,若O 是△ABC 的重心,则BO →·AC →=________.答案 5解析 如图所示,以B 为坐标原点,BC 所在直线为x 轴,建立平面直角坐标系.∵AB =1,∠ABC =60°,∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32.设C (a,0). ∵AC →·AB →=-1,∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12,-32·⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,-32 =-12⎝ ⎛⎭⎪⎫a -12+34=-1,解得a =4. ∵O 是△ABC 的重心,延长BO 交AC 于点D ,∴BO →=23BD →=23×12()BA →+BC → =13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32+4,0=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,36. ∴BO →·AC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫32,36·⎝ ⎛⎭⎪⎫72,-32=5. 15.(2020·石家庄模拟)在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,点O为△ABC 的外接圆的圆心,A =π3,且AO →=λAB →+μAC →,则λμ的最大值为________. 答案 19解析 ∵△ABC 是锐角三角形,∴O 在△ABC 的内部,∴0<λ<1,0<μ<1.由AO →=λ(OB →-OA →)+μ(OC →-OA →), 得(1-λ-μ)AO →=λOB →+μOC →,两边平方后得,(1-λ-μ)2AO →2=(λOB →+μOC →)2=λ2OB →2+μ2OC →2+2λμOB →·OC →,∵A =π3,∴∠BOC =2π3,又|AO →|=|BO →|=|CO →|. ∴(1-λ-μ)2=λ2+μ2-λμ,∴1+3λμ=2(λ+μ),∵0<λ<1,0<μ<1,∴1+3λμ≥4λμ,设λμ=t ,∴3t 2-4t +1≥0,解得t ≥1(舍)或t ≤13, 即λμ≤13⇒λμ≤19,∴λμ的最大值是19.16.(2020·浙江)已知平面单位向量e 1,e 2满足|2e 1-e 2|≤2,设a =e 1+e 2,b =3e 1+e 2,向量a ,b 的夹角为θ,则cos 2θ的最小值是________. 答案 2829解析 设e 1=(1,0),e 2=(x ,y ),则a =(x +1,y ),b =(x +3,y ).由2e 1-e 2=(2-x ,-y ),故|2e 1-e 2|=2-x 2+y 2≤2,得(x -2)2+y 2≤2.又有x 2+y 2=1,得(x -2)2+1-x 2≤2,化简,得4x ≥3,即x ≥34,因此34≤x ≤1.cos 2θ=⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·b|a |·|b |2=⎣⎢⎡⎦⎥⎤x +1x +3+y 2x +12+y 2x +32+y 22=⎝ ⎛⎭⎪⎫4x +42x +26x +102=4x +12x +13x +5=4x +13x +5=433x +5-833x +5=43-833x +5,。

2023年新高考数学大一轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用(解析版)

2023年新高考数学大一轮复习专题22 平面向量的数量积及其应用(解析版)

专题22 平面向量的数量积及其应用【考点预测】一.平面向量的数量积a (1)平面向量数量积的定义已知两个非零向量与b ,我们把数量||||cos θa b 叫做a 与b 的数量积(或内积),记作⋅a b ,即⋅a b =||||cos θa b ,规定:零向量与任一向量的数量积为0. (2)平面向量数量积的几何意义①向量的投影:||cos θa 叫做向量a 在b 方向上的投影数量,当θ为锐角时,它是正数;当θ为钝角时,它是负数;当θ为直角时,它是0.②⋅a b 的几何意义:数量积⋅a b 等于a 的长度||a 与b 在a 方向上射影||cos θb 的乘积. 二.数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ,则: ①⋅=⋅a b b a ;②()()()λλλ⋅⋅=⋅a b =a b a b ; ③()+⋅⋅+⋅a b c =a c b c . 三.数量积的性质设a 、b 都是非零向量,e 是与b 方向相同的单位向量,θ是a 与e 的夹角,则 ①||cos θ⋅=⋅=e a a e a .②0⊥⇔⋅=a b a b .③当a 与b 同向时,||||⋅=a b a b ;当a 与b 反向时,||||⋅=-a b a b .特别地,2||⋅=a a a 或||=a . ④cos ||||θ⋅=a ba b (||||0)≠a b .⑤||||||⋅a b a b ≤. 四.数量积的坐标运算已知非零向量11()x y =,a ,22()x y =,b ,θ为向量a 、b 的夹角.(1)平面向量的数量积是一个实数,可正、可负、可为零,且||||||a b a b ⋅≤.(2)当0a ≠时,由0a b ⋅=不能推出b 一定是零向量,这是因为任一与a 垂直的非零向量b 都有0a b ⋅=. 当0a ≠时,且a b a c ⋅=⋅时,也不能推出一定有b c =,当b 是与a 垂直的非零向量,c 是另一与a 垂直的非零向量时,有0a b a c ⋅=⋅=,但b c ≠.(3)数量积不满足结合律,即a b c b c a ⋅≠⋅()(),这是因为a b c ⋅()是一个与c 共线的向量,而b c a ⋅()是一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,所以a b c ⋅()不一定等于b c a ⋅(),即凡有数量积的结合律形式的选项,一般都是错误选项.(4)非零向量夹角为锐角(或钝角).当且仅当0a b ⋅>且(0)a b λλ≠>(或0a b ⋅<,且(0))a b λλ≠< 【方法技巧与总结】(1)b 在a 上的投影是一个数量,它可以为正,可以为负,也可以等于0.(2)数量积的运算要注意0a =时,0a b ⋅=,但0a b ⋅=时不能得到0a =或0b =,因为a ⊥b 时,也有0a b ⋅=. (3)根据平面向量数量积的性质:||a a a =⋅,cos ||||a ba b θ⋅=,0a b a b ⊥⇔⋅=等,所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题.(4)若a 、b 、c 是实数,则ab ac b c =⇒=(0a ≠);但对于向量,就没有这样的性质,即若向量a 、b 、c 满足a b a c ⋅=⋅(0a ≠),则不一定有=b c ,即等式两边不能同时约去一个向量,但可以同时乘以一个向量. (5)数量积运算不适合结合律,即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅,这是由于()a b c ⋅⋅表示一个与c 共线的向量,()a b c ⋅⋅表示一个与a 共线的向量,而a 与c 不一定共线,因此()a b c ⋅⋅与()a b c ⋅⋅不一定相等.【题型归纳目录】题型一:平面向量的数量积运算 题型二:平面向量的夹角 题型三:平面向量的模长题型四:平面向量的投影、投影向量 题型五:平面向量的垂直问题 题型六:建立坐标系解决向量问题 【典例例题】题型一:平面向量的数量积运算例1.(2022·全国·模拟预测(理))在ABC 中,π3ABC ∠=,O 为ABC 的外心,2BA BO ⋅=,4BC BO ⋅=,则BA BC ⋅=( )A .2B .C .4D .【答案】B 【解析】 【分析】设,AB BC 的中点为D,E ,将2BA BO ⋅=,变为2BD BO ⋅,根据数量积的几何意义可得||1BD =,同理求得||BC ,根据数量积的定义即可求得答案. 【详解】如图,设,AB BC 的中点为D,E ,连接OD,OE ,则,OD AB OE BC ⊥⊥ ,故2BA BO ⋅=,即22||||cos 2BD BO BD BO OBD ⋅=⋅∠= , 即2||1,||1BD BD ==,故||2BA =,4BC BO ⋅=,即22||||cos 4BE BO BE BO OBE ⋅=⋅∠= ,即2||2,||2BE BE ==,故||22BC =故1||||cos 22BA BC BA BC BAC ⋅=⋅∠=⨯=故选:B例2.(2022·河南安阳·模拟预测(理))已知AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高,AH =,点M 在线段AH 上,满足()82+⋅=MB MC AH MB MC ⋅=( ) A .4- B .2- C .2 D .4【答案】A 【解析】 【分析】由()82+⋅=MB MC AH 2MH =,由AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高,AH =,可得28HC HB AH ⋅==,然后对()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+化简可求得结果因为AH 是Rt ABC △斜边BC 上的高,AH = 所以0,0AH HB AH HC ⋅=⋅=,28HC HB AH ⋅==, 因为()82+⋅=MB MC AH所以()82MH MH A HB HC H +⋅=++ 所以282MH AH HB AH HC AH ⋅+⋅+⋅= 所以42MH AH ⋅=, 所以42MH AH ⋅= 所以2MH =,所以()()MB MC MH HB MH HC ⋅=+⋅+ 2MH MH HC HB MH HC HB =+⋅+⋅+⋅2cos MH HC HB π=+⋅ 228(1)4=+⨯-=-,故选:A例3.(2022·全国·高三专题练习(理))已知向量,a b 满足||1,||3,|2|3a b a b ==-=,则a b ⋅=( ) A .2- B .1- C .1 D .2【答案】C 【解析】 【分析】根据给定模长,利用向量的数量积运算求解即可. 【详解】解:∵222|2|||44-=-⋅+a b a a b b , 又∵||1,||3,|2|3,==-=a b a b ∴91443134=-⋅+⨯=-⋅a b a b ,故选:C.例4.(2022·四川省泸县第二中学模拟预测(文))如图,正六边形ABCDEF 中,2AB =,点P 是正六边形ABCDEF 的中心,则AP AB ⋅=______.【答案】2 【解析】 【分析】找到向量的模长和夹角,带入向量的数量积公式即可. 【详解】在正六边形中,点P 是正六边形ABCDEF 的中心,60PAB ︒=∴∠,且2AP AB ==, 1cos602222AP AB AP AB ︒∴⋅=⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为:2.例5.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测(理))已知向量,,a b c 满足0,||1,||3,||4a b c a b c ++====,则a b ⋅=_________.【答案】3 【解析】 【分析】由0a b c ++=,得a b c +=-,两边平方化简可得答案 【详解】由0a b c ++=,得a b c +=-, 两边平方,得2222a a b b c +⋅+=, 因为134a b c ===,,, 所以12916a b +⋅+=,得·3a b =. 故答案为:3.例6.(2022·陕西·模拟预测(理))已知向量()1,a x =,()0,1b =,若25a b +=,则⋅=a b __________ 【答案】0或4-##4-或0. 【解析】 【分析】由向量模长坐标运算可求得x ,由向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】()21,2a b x +=+,(21a b x ∴+=+0x =或4x =-;当0x =时,()1,0a =,0a b ∴⋅=;当4x =-时,()1,4a =-,044a b ∴⋅=-=-; 0a b ∴⋅=或4-.故答案为:0或4-.例7.(2022·上海徐汇·二模)在ABC 中,已知1AB =,2AC =,120A ∠=︒,若点P 是ABC 所在平面上一点,且满足AP AB AC λ=+,1BP CP ⋅=-,则实数λ的值为______________. 【答案】1或14【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算法则,分别把BP CP ,用AB AC ,表示出来,再用1BP CP ⋅=-建立方程,解出λ的值. 【详解】由AP AB AC λ=+,得AP AB AC λ-=,即BP AC λ=, (1)CP AP AC AB AC λ=-=+-,在ABC 中,已知1AB =,2AC =,120A ∠=︒, 所以2((1))(1))BP CP AC AB AC AC AB AC λλλλλ⋅=⋅+-=⋅+-22cos1204(1)451λλλλλ=+-=-=-, 即24510λλ-+=,解得1λ=或14λ= 所以实数λ的值为1或14. 故答案为:1或14. 例8.(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))已知在平行四边形ABCD 中,11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====,则AC DB ⋅值为__________. 【答案】94【解析】 【分析】由向量加法的几何意义及数量积运算律有22D AC DB C CB ⋅=-,再由1313AE BC DC AF DC BC⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩结合数量积运算律,即可得结果. 【详解】由题设可得如下图:,AC AD DC DB DC CB =+=+,而AD CB =-,所以22D AC DB C CB ⋅=-, 又11,,2,622DE EC BF FC AE AF ====, 所以1313AE AD DE BC DC AF AB BF DC BC ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=+⎪⎩,则22222143921639BC BC DC DC DC BC DC BC ⎧+⋅+=⎪⎪⎨⎪+⋅+=⎪⎩,故228()29DC BC -=,可得2294DC BC -=,即94AC DB =⋅. 故答案为:94例9.(2022·福建省福州第一中学三模)过点M 的直线与22:(3)16C x y -+=交于A ,B 两点,当M 为线段AB中点时,CA CB ⋅=___________. 【答案】-8 【解析】 【分析】由题意可得M 在C 内,又由M 为线段AB 中点AB CM ⊥,由两点间距离公式得2CM ==12AC ,进而求得120ACB ∠=︒,再由向量的数量积公式计算即可得答案. 【详解】解:因为点M 在22:(3)16Cx y -+=内, 所以当M 为线段AB 中点时,AB CM ⊥,又因为C 的半径为4,2CM ==12AC ,所以60ACM ∠=°, 所以120ACB ∠=︒,所以,CA CB ⋅=||||cos120CA CB ︒=144()82⨯⨯-=-.故答案为:-8.例10.(2022·全国·模拟预测(理))已知向量a 与b 不共线,且()2a a b ⋅+=,1a =,若()()22a b a b -⊥+,则()b a b ⋅-=___________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由()2a a b ⋅+=得1a b ⋅=,由()()22a b a b -⊥+得2b =,即可求解结果. 【详解】由()212a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+⋅=得1a b ⋅=由()()22a b a b -⊥+得()()222240a b a b a b -⋅+=-=,所以2b = 则()2143b a b b a b ⋅-=⋅-=-=- 故答案为:3-例11.(2022·全国·高三专题练习(理))设向量a ,b 的夹角的余弦值为13,且1a =,3b =,则()2a b b +⋅=_________. 【答案】11 【解析】 【分析】设a 与b 的夹角为θ,依题意可得1cos 3θ=,再根据数量积的定义求出a b ⋅,最后根据数量积的运算律计算可得. 【详解】解:设a 与b 的夹角为θ,因为a 与b 的夹角的余弦值为13,即1cos 3θ=,又1a =,3b =,所以1cos 1313a b a b θ⋅=⋅=⨯⨯=,所以()22222221311a b b a b b a b b +⋅=⋅+=⋅+=⨯+=.故答案为:11.例12.(2022·江苏·徐州市第七中学模拟预测)如图是第24届国际数学家大会的会标,它是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的,大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形EFGH 组成的.若E 为线段BF 的中点,则AF BC ⋅=______.【答案】4 【解析】 【分析】利用数量积的几何意义求解. 【详解】 解:如图所示:设CF x =,由题可得2BF x =, 所以()2225x x +=, 解得1x =.过F 作BC 的垂线,垂足设为Q , 故24AF BC BQ BC BF ⋅=⋅==, 故答案为:4. 【方法技巧与总结】(1)求平面向量的数量积是较为常规的题型,最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路. (2)平面向量数量积的几何意义及坐标表示,分别突出了它的几何特征和代数特征,因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处,因此它的应用也就十分广泛.(3)平面向量的投影问题,是近几年的高考热点问题,应熟练掌握其公式:向量a 在向量b 方向上的投影为||a bb ⋅. (4)向量运算与整式运算的同与异(无坐标的向量运算)同:222()2a b a ab b ±=±+;a b ±()a b c ab ac +=+公式都可通用 异:整式:a b a b ⋅=±,a 仅仅表示数;向量:cos a b a b θ⋅=±(θ为a 与b 的夹角) 22222cos ma nb m a mn a b n b θ±=±+,使用范围广泛,通常是求模或者夹角.ma nb ma nb ma nb -≤±≤+,通常是求ma nb ±最值的时候用. 题型二:平面向量的夹角例13.(2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测(文))已知非零向量a →,b →满足a b a →→→-=,a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭,则a→与b →夹角为______. 【答案】4π##45 【解析】 【分析】根据已知求出2=a a b →→→,||b a →→,即得解. 【详解】解:因为a b a →→→-=,所以22222,2a b a b a b a b →→→→→→→→+-=∴=.因为a a b →→→⎛⎫⊥- ⎪⎝⎭,所以22=0,=aa b a a b a a b →→→→→→→→→⎛⎫--=∴ ⎪⎝⎭, 所以22=2||b a b a →→→→∴,.设a →与b →夹角为θ,所以22cos =2|||||a ba ba b a θ→→→→→→→==. 因为[0,]θπ∈,所以4πθ=.例14.(2022·安徽·合肥一六八中学模拟预测(文))已知向量||1b =,向量(1,3)a =,且|2|6a b -=,则向量,a b 的夹角为___________. 【答案】2π##90 【解析】【分析】由|2|6a b -=两边平方,结合数量积的定义和性质化简可求向量,a b 的夹角 【详解】因为(1,3)a =,所以(21+a =因为|2|6a b -=,所以2222+26a ab b -=,又||1b =,所以426b -⋅+=,所以0a b ⋅=, 向量,a b 的夹角为θ,则cos 0a b θ⋅= 所以cos 0θ=,则2πθ=.故答案为:2π. 例15.(2022·湖北武汉·模拟预测)两不共线的向量a ,b ,满足3a b =,且t R ∀∈,a tb a b -≥-,则cos ,a b =( )A .12 B C .13D 【答案】C 【解析】 【分析】由a tb a b -≥-两边平方后整理得一元二次不等式,根据一元二次函数的性质可判断0∆≤,整理后可知∆只能为0,即可解得答案. 【详解】 解:由题意得:t R ∀∈,a tb a b -≥-t R ∴∀∈,2222222a t b ta b a b a b +-⋅≥+-⋅即222226cos ,6cos ,0t b t b a b b b a b --+≥ 0b ≠t R ∴∀∈,26cos ,16cos ,0t t a b a b --+≥()221Δ36cos ,46cos ,136cos ,03a b a b a b ⎛⎫∴=--=-≤ ⎪⎝⎭1cos ,03a b ∴-=,即1cos ,3a b =故选:C例16.(2022·云南师大附中模拟预测(理))已知向量()2,2a t =,()2,5b t =---,若向量a 与向量a b +的夹角为钝角,则t 的取值范围为( ) A .()3,1- B .()()3,11,1---C .()1,3-D .111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】求出a b +的坐标,求得当a 与a b +共线时12t =,根据向量a 与向量a b +的夹角为钝角,列出相应的不等式,求得答案. 【详解】因为(23)a b t +=--,,又a 与a b +的夹角为钝角, 当a 与a b +共线时,162(2)0,2t t t ---==, 所以()0a a b ⋅+<且a 与a b +的不共线,即2230t t --<且12t ≠, 所以111322t ⎛⎫⎛⎫∈-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,, 故选:D .例17.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知向量()cos30,sin 210a =︒-︒,(3,1)b =-,则a 与b 夹角的余弦值为_________. 【答案】12-【解析】 【分析】化简向量a ,根据向量的模的公式,数量积公式和向量的夹角公式求解. 【详解】由()cos30,sin210a =︒-︒知31,22a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,故31(1122a b ⋅=⨯+⨯=-,||1a =,||2b =,记a 与b 的夹角为θ,则11cos 122||||a b a b θ⋅-===-⨯⨯.故答案为:12-.例18.(2022·全国·高三专题练习)已知向量(3,4),(1,0),t ===+a b c a b ,若,,<>=<>a c b c ,则t =( ) A .6- B .5- C .5 D .6【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得 【详解】解:()3,4c t =+,cos ,cos ,a c b c =,即931635t tc c+++=,解得5t =, 故选:C例19.(2022·湖南·长沙市明德中学二模)已知非零向量a 、b 满足0a b ⋅=,()()0a b a b +⋅-=,则向量b 与向量a b -夹角的余弦值为( )A .B .0C D 【答案】A 【解析】 【分析】根据0a b ⋅=,设(1,0)a =,(0,)b t =,根据()()0a b a b +⋅-=求出21t =,再根据平面向量的夹角公式计算可得解. 【详解】因为0a b ⋅=,所以可设(1,0)a =,(0,)b t =,则(1,)a b t +=,(1,)a b t -=-, 因为()()0a b a b +⋅-=,所以210t -=,即21t =.则()cos ,||||b a bb a b b a b ⋅-<->=⋅-2==,故选:A.例20.(2022·辽宁·大连市一0三中学模拟预测)已知单位向量a ,b 满足3a b a b -=+,则a 与b 的夹角为( ) A .30° B .60°C .120°D .150°【答案】C【解析】 【分析】根据数量积的运算律及夹角公式计算可得; 【详解】解:因为a ,b 为单位向量,所以1a b ==, 又3a b a b -=+,所以()()223a b a b -=+,即()2222232a a b b a a b b -⋅+=+⋅+,所以()22240a a b b +⋅+=,即()22240a a b b+⋅+=,所以12a b ⋅=-, 所以1cos ,2a ba b a b ⋅==-⋅,因为[],0,a b π∈,所以2,3a b π=;故选:C例21.(2022·北京市大兴区兴华中学三模)已知a 为单位向量,向量()1,2b =,且2a b ⋅=,则,a b a -=( ) A .π6B .π4C .π3D .3π4【答案】B 【解析】 【分析】先根据已知条件求出()a b a ⋅-和b a -,然后利用向量的夹角公式可求出结果 【详解】因为a 为单位向量,向量()1,2b =,且2a b ⋅=, 所以()2211a b a a b a ⋅-=⋅-=-=,222()252b a b a b a b a -=-=-⋅+=-=所以()1cos ,2a b a a b a a b a⋅--===-, 因为[],0,πa b a -∈, 所以π,4a b a -=, 故选:B例22.(2022·全国·模拟预测(理))已知平面向量a b +与a b -互相垂直,模长之比为2:1,若||5a =,则a 与a b +的夹角的余弦值为( )A B C D .12【答案】A 【解析】 【分析】利用向量a b +与a b -互相垂直,模长之比为2:1,利用数量积求得向量,a b 的模长及数量积,然后利用平面向量夹角公式求得结果. 【详解】平面向量a b +与a b -互相垂直,模长之比为2:1,则()()0a b a b +⋅-=且||2||a b a b +=-,得22a b =,又||5a =,则||||5a b ==,将||2||a b a b +=-平方得22222484a a b b a a b b +⋅+=-⋅+,解得=3a b ⋅,222|=216a b a a b b +|+⋅+=,则4a b +=,设a 与a b +的夹角为θ,则()25+3cos =54a ab aa ba a ba a bθ⋅++⋅===⨯++ 故选:A.例23.(多选题)(2022·福建省福州格致中学模拟预测)已知单位向量,a b 的夹角为120︒,则以下说法正确的是( ) A .||1a b += B .(2)a b a +⊥C .3cos ,2a b b 〈-〉= D .2a b +与2a b +可以作为平面内的一组基底【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的模的公式,数量积的运算,向量的夹角公式,判断向量共线的条件逐项验证即可 【详解】据题意221,1,11cos1202a b a b ︒==⋅=⨯⨯=-因为2221()211212a b a b a b ⎛⎫+=++⋅=++⨯-= ⎪⎝⎭所以||1a b +=,所以A 对因为21(2)21202a b a a a b ⎛⎫+⋅=+⋅=+⨯-= ⎪⎝⎭,所以(2)a b a +⊥,所以B 对.因为222213()1,()2322a b b a b b a b a b a b -⋅=⋅-=--=--=++⋅=所以3()2cos ,||||31a b b a b b a b b --⋅〈-〉===-⋅⨯所以C 错因为2a b +与2a b +不共线,所以可以作为平面内的一组基底,所以D 正确 故选:ABD例24.(多选题)(2022·江苏·模拟预测)已知向量(3,2)a =-,(2,1)b =,(,1)c λ=-,R λ∈,则( ) A .若(2)a b c +⊥,则4λ= B .若a tb c =+,则6t λ+=- C .a b μ+的最小值为D .若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角,则λ的取值范围是(,1)-∞- 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算及向量垂直的坐标表示判断A ,利用向量坐标的表示可判断B ,利用向量的模长的坐标公式及二次函数的性质可判断C ,利用向量数量积的坐标表示及向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】对于A ,因为2(1,4)a b +=,(,1)c λ=-,(2)a b c +⊥,所以14(1)0λ⨯+⨯-=,解得4λ=,所以A 正确. 对于B ,由a tb c =+,得(3,2)(2,1)(,1)(2,1)t t t λλ-=+-=+-,则32,21,t t λ-=+⎧⎨=-⎩解得93t λ=-⎧⎨=⎩,故6t λ+=-,所以B 正确.对于C ,因为(3,2)(2,1)(23,2)a bμμμμ+=-+=-+,所以a b μ+==则当45μ=时,a b μ+取得最小值,为,所以C 正确. 对于D ,因为(1,3)a b +=-,2(4,1)b c λ+=+,向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角, 所以()(2)1(4)310a b b c λ⋅+=-⨯+⨯++>,解得1λ<-;当向量a b +与向量2b c +共线时,113(4)0λ-⨯-⨯+=,解得133λ=-, 所以λ的取值范围是1313,,133⎛⎫⎛⎫-∞-⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以D 不正确.故选:ABC.例25.(2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测(文))已知1e ,2e 是单位向量,122a e e =-,123b e e =+,若a b ⊥,则1e ,2e 的夹角的余弦值为( )A .35B .12C .13D .15【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算性质,结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由题意知121e e ==,()()22121212122303250a b e e e e e e e e ⋅=-⋅+=⇒--⋅=,即1215e e ⋅=,所以121cos 5e e ⋅=. 故选:D.例26.(2022·安徽师范大学附属中学模拟预测(理))非零向量,a b 满足2a b a b a +=-=,则a b -与a 的夹角为( ) A .6π B .3π C .23π D .56π 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件,求出a b ⋅,再利用向量夹角公式计算作答. 【详解】由a b a b +=-得:22()()a b a b +=-,即222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+,解得0a b ⋅=,因此,22()1cos ,2||||2||a b a a a b a b a a b a a -⋅-⋅〈-〉===-,而,[0,π]a b a 〈-〉∈,解得π,3a b a 〈-〉=, 所以a b -与a 的夹角为3π. 故选:B例27.(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(文))已知向量a ,b 为单位向量,()0a b a b λλλ+=-≠,则a 与b 的夹角为( ) A .6πB .π3C .π2D .2π3【答案】C 【解析】 【分析】由题干条件平方得到()0a b λ⋅=,从而得到0a b ⋅=,得到a 与b 的夹角. 【详解】由()0a b a b λλλ+=-≠,两边平方可得:22222222a a b b a a b b λλλλ+⋅+=-⋅+,因为向量a ,b 为单位向量,所以221221a b a b λλλλ+⋅+=-⋅+,即()0a b λ⋅=. 因为0λ≠,所以0a b ⋅=,即a 与b 的夹角为π2. 故选:C【方法技巧与总结】 求夹角,用数量积,由||||cos a b a b 得121222221122cos||||x x y y a b a b xyx y ,进而求得向量,a b 的夹角.题型三:平面向量的模长例28.(2022·福建省厦门集美中学模拟预测)已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=,()()0a b a c -⋅-=,9b c -=,则a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】由已知条件可得出a b c =--,根据平面向量的数量积可求得22b c +、b c ⋅的值,结合平面向量的数量积可求得a 的值. 【详解】由已知可得a b c =--,则()()()()()()22220a b a c b c b c b c b c -⋅-=--⋅--=+⋅+=, 即222250b c b c ++⋅=,因为9b c -=,则22281b c b c +-⋅=,所以,2245b c +=,18b c ⋅=-,因此,()2222229a a b c b c b c ==--=++⋅=,故3a =.故答案为:3.例29.(2022·辽宁沈阳·三模)已知平面向量,,a b c 满足1,1,0,1a c a b c a b ==++=⋅=-,则b =_______.【解析】【分析】由题意得c a b =--,直接平方即得结果. 【详解】由0a b c ++=可得c a b =--,两边同时平方得2222c a a b b =+⋅+,1,1,1a c a b ==⋅=-,2112b ∴=-+,解得2b =..例30.(2022·全国·高三专题练习(文))已知向量(2,1)(2,4)a b ==-,,则a b -( ) A .2 B .3 C .4 D .5【答案】D 【解析】 【分析】先求得a b -,然后求得a b -. 【详解】因为()()()2,12,44,3a b -=--=-,所以245-=+a b .故选:D例31.(2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测)已知a 与b 为单位向量,且a ⊥b ,向量c 满足||2b c a --=,则|c |的可能取值有( )A .6B .5C .4D .3【答案】D 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系,由向量的坐标计算公式可得(1,1)c a b x y --=--,进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4x y -+-=,分析可得C 在以(1,1)为圆心,半径为2的圆上,结合点与圆的位置关系分析可得答案. 【详解】根据题意,设OA a =,OB b =,OC c =,以O 为坐标原点,OA 的方向为x 轴正方向,OB 的方向为y 轴的正方向建立坐标系, 则(1,0)A ,(0,1)B ,设(,)C x y ,则(1,1)c a b x y --=--,若||2b c a --=,则有22(1)(1)4x y -+-=,则C 在以(1,1)为圆心,半径为2的圆上,设(1,1)为点M ,则||OM =||||||r OM OC r OM -+, 即22||22OC +,则||c 的取值范围为22⎡⎣;故选:D .例32.(2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测)已知平面向量a ,b 满足2a =,1b =,且a 与b 的夹角为3π,则a b +=( )AB C D .3【答案】C 【解析】 【分析】 由()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+求解.【详解】解:因为2a =,1b =,且a 与b 的夹角为3π, 所以()2222a b a ba ab b +=+=+⋅+,==,故选:C例33.(2022·河南·开封市东信学校模拟预测(理))已知非零向量a ,b 的夹角为6π,()||3,a a a b =⊥-,则||b =___________. 【答案】2 【解析】 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】由()a a b ⊥-得22π3()||||||||cos3||062a ab a a b a a b b ⋅-=-⋅=-⋅=-=, 解得||2b =. 故答案为:2例34.(2022·全国·高三专题练习)已知三个非零平面向量a ,b ,c 两两夹角相等,且||1a =,||2b =,||3c =,求|23|a b c -+.9 【解析】【分析】由三个非零平面向量a ,b ,c 两两夹角相等得 ,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0,再分别计算求解即可 【详解】因为三个非零平面向量a ,b ,c 两两夹角相等,所以,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒或0 .当,,,120a b b a c c 〈〉=〈〉=〈〉=︒时,2|23|(23)a b c a b c -+=-+222||||9||4126a b c b b c a c a =++-⋅+⋅-⋅==当,,,0a b b c c a 〈〉=〈〉=〈〉=︒,即a ,b ,c 共线时. |23|2||||3||2299a b c a b c -+=-+=-+=∣∣.9例35.(2022·全国·高三专题练习)已知2=a ,3b =,a 与b 的夹角为120,求a b +及a b -的值. 【答案】7a b +=,19a b -=. 【解析】 【分析】利用向量数量积定义可求得a b ⋅,由向量数量积的运算律可求得2a b +和2a b -,由此可得结果. 【详解】cos ,6cos1203a b a b a b ⋅=⋅<>==-,22224697a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=,222246919a b a a b b -=-⋅+=++=,7a b ∴+=,19a b -=.例36.(2022·福建泉州·模拟预测)已知向量(0,1)=a ,(,3)b t =,若,a b 的夹角为π3,则||b =___________.【答案】【解析】 【分析】根据平面向量的夹角公式可求出结果. 【详解】 由πcos3||||a b a b ⋅=⋅,得132||b ,得||23b =.故答案为:【方法技巧与总结】 求模长,用平方,2||a a .题型四:平面向量的投影、投影向量例37.(2022·新疆克拉玛依·三模(理))设a ,b 是两个非零向量,AB a =,CD b =,过AB 的起点A 和终点B ,分别作CD 所在直线的垂线,垂足分别为1A ,1B ,得到11A B ,则11A B 叫做向量a 在向量b 上的投影向量.如下图,已知扇形AOB 的半径为1,以O 为坐标原点建立平面直角坐标系,()1,0OA =,12OB ⎛= ⎝⎭,则弧AB 的中点C 的坐标为________;向量CO 在OB 上的投影向量为________ .【答案】12⎫⎪⎪⎝⎭3()4- 【解析】 【分析】由已知,根据给到的OA ,OB 先求解OA 与OB 的夹角,然后再利用点C 是弧AB 的中点,即可求解出AOC ∠,从而求解点C 的坐标;根据前面求解出的点C 的坐标,写出OB 和CO ,先计算向量CO 在OB 上的投影,然后根据OB 即可写出向量CO 在OB 上的投影向量. 【详解】由已知,()1,0OA =,12OB ⎛= ⎝⎭,所以112cos ,112OA OB OA OB OA OB ===⨯, 所以π3AOB ∠=,因为点C 为弧AB 的中点,所以π6AOC ∠=, 扇形AOB 的半径为1,所以弧AB 满足的曲线参数方程为cos π()sin 3xy αααα=⎧≤≤⎨=⎩为参数,0, 所以中点C 的坐标为πcos 6π1sin 62x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩,所以C的坐标为12⎫⎪⎪⎝⎭,12CO ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭,12OB ⎛=⎝⎭, 向量CO 在OB 上的投影为3441CO OB OB-== 因为12OB ⎛= ⎝⎭,所以向量CO 在OB 上的投影向量为3()4-.故答案为:12⎫⎪⎪⎝⎭;3()4- 例38.(2022·江西鹰潭·二模(文))已知向量,,(3,1),||2,(2)3a b a b a b b ==-⋅=,则b 在a 方向上的投影为_________ 【答案】54【解析】 【分析】根据向量数量积性质和向量投影定义求解即可. 【详解】因为(3,1)a =,||2b =,所以2||1(2a =+,22b =,因为(2)3a b b -⋅=,所以222223a b b b a b b a b ⋅-⋅=⋅-=⋅-=,所以52a b ⋅=, 所以b 在a 方向上的投影为5||4a b a ⋅=, 故答案为:54. 例39.(2022·江西·南昌市八一中学三模(理))已知向量()1,2a =-,()3,b t =,且a 在b 上的投影等于1-,则t =___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据投影定义直接计算可得,注意数量积符号. 【详解】因为a 在b 上的投影等于1-,即cos ,1a b a a b b⋅〈〉==-1=-,且320t -<,解得4t =.故答案为:4例40.(2022·江苏淮安·模拟预测)已知||2a =,b 在a 上的投影为1,则a b +在a 上的投影为( )A .-1B .2C .3D 【答案】C 【解析】 【分析】先利用b 在a 上的投影为1求出a b ⋅,然后可求a b +在a 上的投影. 【详解】因为||2a =,b 在a 上的投影为1,所以1||a ba ⋅=,即2ab ⋅=; 所以a b +在a 上的投影为()24232||||a b a aa b a a +⋅+⋅+===;故选:C.例41.(2022·四川成都·三模(理))在ABC 中,已知7π12A ∠=,π6C ∠=,AC =BA在BC 方向上的投影为( ).A .B .2CD .【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和及正弦定理求得4B π∠=、2AB =,再根据向量投影的定义求结果.【详解】由题设4B π∠=,则sin sin AB AC C B=,可得122AB ==, 所以向量BA 在BC 方向上的投影为||cos 2BA B ==故选:C例42.(2022·广西桂林·二模(文))已知向量(1,2),(0,1)==-a b ,则a 在b 方向上的投影为( ) A .1- B .2- C .1 D .2【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的投影公式直接计算即可. 【详解】向量(1,2),(0,1)==-a b ,则a 在b 方向上的投影为2||cos ,21||a b a a b b ⋅-<>===-, 故选:B .例43.(2022·内蒙古呼和浩特·二模(理))非零向量a ,b ,c 满足()b a c ⊥-,a 与b 的夹角为6π,3a =,则c 在b 上的正射影的数量为( )A .12-B .C .12D 【答案】D 【解析】 【分析】利用垂直的向量表示,再利用正射影的数量的意义计算作答. 【详解】非零向量a ,b ,c 满足()b a c ⊥-,则()·0b a c a b c b -=⋅-⋅=,即c b a b ⋅=⋅,又a 与b 的夹角为6π,3a =, 所以c 在b 上的正射影的数量3||cos ,||cos 62||||c b a b c c b a b b π⋅⋅〈〉====故选:D例44.(2022·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟预测)已知单位向量,a b 满足||1a b -=,则a 在b 方向上的投影向量为( )A .12bB .12b -C .12aD .12a -【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量公式,即可求解. 【详解】22221a b a a b b -=-⋅+=,因为1==a b ,所以12a b ⋅=, 所以a 在b 方向上的投影向量为12a b b b b b ⋅⋅=. 故选:A例45.(2022·海南华侨中学模拟预测)已知平面向量a ,b 的夹角为3π,且||2a =,(1,3)b =-,则a 在b 方向上的投影向量为( )A .12⎫⎪⎪⎝⎭B .21⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C .12⎛- ⎝⎭D .12⎛ ⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解:因为平面向量a ,b 的夹角为3π,且||2a =,(1,3)b =-, 所以a 在b方向上的投影向量为22cos 13(1,3)(2a b a b b bbπ⋅⋅⋅⋅=⋅-=- ,故选:C题型五:平面向量的垂直问题例46.(2022·海南海口·二模)已知向量a ,b 的夹角为45°,2a =,且2a b ,若()a b b λ+⊥,则λ=______. 【答案】-2 【解析】 【分析】先利用数量积的运算求解b ,再利用向量垂直数量积为0即可求解. 【详解】因为cos 452a b a b ⋅=︒=得2b =, 又因为()a b b λ+⊥,所以()2240a b b a b b λλλ+⋅=⋅+=+=,所以2λ=-. 故答案为:-2.例47.(2022·广东茂名·二模)已知向量a =(t ,2t ),b =(﹣t ,1),若(a ﹣b )⊥(a +b ),则t =_____. 【答案】12±【解析】 【分析】由(a ﹣b )⊥(a +b ),由垂直向量的坐标运算可得出a b =,再由模长的公式即可求出t . 【详解】因为(a ﹣b )⊥(a +b ),所以()()0a b a b -⋅+=,所以220a b -=,则a b =,所以22241t t t +=+,所以12t =±.故答案为:12±.例48.(2022·青海玉树·高三阶段练习(理))已知向量()1,1a =-,()1,b m =,若()3a b a +⊥,则m =______.【答案】13【解析】 【分析】根据向量的坐标运算和数量积的坐标运算即可求解. 【详解】()()23,3030a b a a b a aa b +⊥∴+⋅=⇒+⋅= ,所以()123103m m +-+=⇒=故答案为:13例49.(2022·河南开封·模拟预测(理))已知两个单位向量1e 与2e 的夹角为3π,若122a e e =+,12b e me =+,且a b ⊥,则实数m =( ) A .45-B .45 C .54-D .54【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直及数量积的运算律可得221122(2)20e m e e m e ++⋅+=,结合已知即可求m 的值.【详解】由题意1222121122)()(220()2a b e me m e e m e e e e ⋅=⋅+=++⋅++=, 又1e 与2e 的夹角为3π且为单位向量, 所以22021m m +++=,可得45m =-.故选:A例50.(2022·河南安阳·模拟预测(文))已知向量(22,4),1,cos 2⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a b θ,其中(0,π)θ∈,若a b ⊥,则sin θ=___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质,结合平面向量数量积的运算坐标表示公式、特殊角的三角函数值进行求解即可. 【详解】因为a b ⊥,所以0a b ⋅=,即14cos0cos22θθ-+=⇒=,因为(0,π)θ∈,所以π(0,)22θ∈,因此ππ242θθ=⇒=,所以sin 1θ=, 故答案为:1例51.(2022·全国·模拟预测(文))设向量()2,1a =,()1,b x =-,若()a b a ⊥-,则b =___________.【答案】【解析】 【分析】由平面向量数量积的坐标运算求解 【详解】()3,1b a x -=--,由题意得()0a b a ⋅-=,即610x -+-=,得7x =149b =+=.故答案为:【方法技巧与总结】121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=题型六:建立坐标系解决向量问题例52.(2022·山东淄博·三模)如图在ABC 中,90ABC ∠=︒,F 为AB 中点,3CE =,8CB =,12AB =,则EA EB ⋅=( )A .15-B .13-C .13D .15【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系,利用坐标法求出平面向量的数量积; 【详解】解:建立如图所示的平面直角坐标系, 则(12,0)A ,(0,0)B ,(0,8)C ,(6,0)F , 又3CE =,8CB =,12AB =,则10CF =,即310CE FC =,即710FE FC =, 则()()9286,67710100,8,55BE BF FC ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭, 则,552851EA ⎛⎫=-⎪⎝⎭,928,55EB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 则25281355951EA EB ⎛⎫⎛⎫⋅=⨯-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;故选:C .例53.(2022·贵州贵阳·模拟预测(理))在边长为2的正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,则AC DE ⋅=( ) A .2 B .2-C .4-D .4【答案】A 【解析】 【分析】建立直角坐标系,用向量法即可 【详解】在平面直角坐标系中以A 为原点,AB 所在直线为x 轴建立坐标系,则()0,0A ,()0,2D ,()2,2C ,()2,1E ,所以()()2,22,1422AC DE ⋅=⋅-=-=, 故选:A例54.(2022·江苏·模拟预测)如图,在平面四边形ABCD 中,E ,F 分别为AD ,BC 的中点,(4,1)AB =,(2,3)DC =,(2,)AC m =-,若0E A F C =⋅,则实数m 的值是( )A .3-B .2-C .2D .3【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得分别求出AD 和BC 的坐标,再分别求出AE 和BF 的坐标,EF EA AB BF =++,再利用数量积坐标运算求解即可. 【详解】根据题意得:(4,3)AD CD CA AC DC m =-=-=--,(6,1)BC AC AB m =-=--, 因为E ,F 分别为AD ,BC 的中点,所以13(2,)22m AE AD -==-,11(3,)22m BF BC -==-, 所以()3,2EF EA AB BF =++=,又0E A F C =⋅,即()2320m -⨯+⨯=,解得3m =. 故选:D.例55.(2022·四川南充·三模(理))在Rt ABC △中,90A ∠=︒,2AB =,3AC =,2AM MC =,12AN AB =,CN 与BM 交于点P ,则cos BPN ∠的值为( )A B .C .D 【答案】D 【解析】 【分析】将三角形放到直角坐标系当中,利用坐标法求向量夹角,即可求解. 【详解】解:建立如图直角坐标系,则(0,2),(0,1),(3,0),(2,0)B N C M , 得(3,1),(2,2)CN MB =-=-,所以co 10s CN MB CN P BB N M ⋅===⋅∠ 故选:D.例56.(多选题)(2022·山东聊城·三模)在平面四边形ABCD 中,1AB BC CD DA DC ===⋅=,12⋅=BA BC ,则( ) A .1AC = B .CA CD CA CD +=-C .2AD BC = D .BD CD ⋅=【答案】ABD 【解析】 【分析】根据所给的条件,判断出四边形ABCD 内部的几何关系即可. 【详解】因为1AB BC CD ===,1cos 2BA BC BA BC B ⋅==,可得3B π=,所以ABC 为等边三角形,则1AC = ,故A 正确;因为1CD =,所以21CD =,又1DA DC ⋅=,所以2CD DA DC =⋅ ,得()20DC DA DC DC DC DA DC AC -⋅=⋅-=⋅=,所以AC CD ⊥,则CA CD CA CD +=-,故B 正确; 根据以上分析作图如下:由于BC 与AD 不平行,故C 错误; 建立如上图所示的平面直角坐标系,则1,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭,1,02C ⎛⎫⎪⎝⎭,12D ⎫⎪⎪⎝⎭,12BD ⎫=⎪⎪⎝⎭,3122CD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,所以BD CD ⋅=,故D 正确; 故选:ABD.例57.(多选题)(2022·湖南·长郡中学模拟预测)已知向量a b c ,,满足2222a b a b c c =-=-==,则可能成立的结果为( ) A .34b =B .54b =C .34b c ⋅= D .54b c ⋅=【答案】BCD 【解析】 【分析】不妨设()10C ,,动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上,动点B 在以C 为圆心,1为半径的圆上,利用坐标法,即可求解. 【详解】对于选项A 、B ,由题意2=a ,1c =,1a b b c -=-=,设OA a =,OB b =,OC c =,不妨设()10C ,,如图,动点A 在以原点为圆心2为半径的圆O 上,动点B 在以C 为圆心,1为半径的圆上,且满足1AB =, 圆C 方程是22(1)1x y -+=.当B 在圆C 上运动时,由AB OB OA +≥,得1OB ≥,当且仅当O ,A ,B 三点共线时取等号,又由图易知2OB ≤,即12b ≤≤,故选项A 不满足,选项B 满足;对于选项C 、D ,设()B x y ,,则()()10b c x y x ⋅=⋅=,,, 由22221(1)1x y x y ⎧+=⎨-+=⎩,解得12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,12B x ∴≥, 又2B x ≤.即122x ≤≤. 122b c ⎡⎤∴⋅∈⎢⎥⎣⎦,,选项C ,D 满足.故选:BCD例58.(多选题)(2022·湖南·长郡中学模拟预测)如图甲所示,古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界,画出相等的两个阴阳鱼,阳鱼的头部有眼,阴鱼的头部有个阳殿,表示万物都在相互转化,互相涉透,阴中有阳,阳中有阴,阴阳相合,相生相克,蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律,其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH ,其中2OA =,则( )A .20OB OE OG ++=B .22OA OD ⋅=- C .4AH EH += D .4+=+AH GH 【答案】ABC【分析】分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴,建立的平面直角坐标系,作AM HD ⊥,结合向量的坐标运算,逐项判定,即可求解. 【详解】由题意,分别以,HD BF 所在的直线为x 轴和y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系, 因为正八边形ABCDEFGH ,所以AOH HOG AOB EOF FOG ∠∠∠∠∠====DOE COB COD =∠=∠=∠360458==, 作AM HD ⊥,则OM AM =,因为2OA =,所以OM AM =(A ,同理可得其余各点坐标,()0,2B -,E ,(G ,()2,0D ,()2,0H -,对于A (02(2),2222)0OE OG ++=++--++=,故A 正确;对于B 中,(2(0OA OD ⋅=-⨯+⨯=-B 正确;对于C 中,(2AH =-,(2EH =-,(4,0)AH EH +=-,所以(4AH EH +=-=,故C 正确;对于D 中,(2AH =-,(2GH =-,(4AH GH +=-+,(4AH GH =-+=-D 不正确.故选:ABC.例59.(2022·江苏南京·模拟预测)在ABC 中,0AB AC ⋅=,3AB =,4AC =,O 为ABC 的重心,D 在边BC 上,且AD BC ⊥,则AD AO ⋅______. 【答案】9625【解析】根据O 为ABC 的重心,得到()13=+AO AB AC ,再由0AB AC ⋅=和AD BC ⊥,利用等面积法求得AD ,进而得到DB ,方法一:利用基底法求解;方法二:以A 坐标原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴建立平面直角坐标系,利用坐标法求解. 【详解】解:因为O 为ABC 的重心, 所以()13=+AO AB AC , 因为0AB AC ⋅=,所以AB AC ⊥,则5BC =,因为AD BC ⊥,所以1122ABC S AB AC AD BC =⋅=⋅△, 即1134522AD ⨯⨯=⨯, 所以125AD =,在Rt ADB 中,95DB =. 方法一:因为925=+=+AD AB BD AB BC , ()9916252525=+-=+AB AC AB AC AB , 所以()191632525⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪⎝⎭AD AO AB AC AC AB ,221916963252525⎛⎫=⨯+= ⎪⎝⎭AC AB . 方法二:以A 坐标原点,AC 为x 轴,AB 为y 轴建立平面直角坐标系,则()4,0AC =,()0,3AB =,由方法一可知9163648,25252525AD AC AB ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,()14,133AO AB AC ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭, 所以136489513252525AD AO ⋅=⨯+⨯=.例60.(2022·北京·北大附中三模)已知正方形ABCD 的边长为2,E 是BC 的中点,点P 满足2AP AE AD =-,则PD =___________;PE PD ⋅=___________.【答案】 10 【解析】 【详解】解:以A 为原点,AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系, 所以()()()0,0,2,0,2,1A B E ,()0,2D ,设(),P x y ,所以()()(),,2,1,2,0AP x y AE AD ===,因为2AP AE AD =-,所以()()4,0,4,2P PD =-,所以25PD = 又()2,1PE =-,所以10PE PD ⋅=.故答案为:10.例61.(2022·天津市西青区杨柳青第一中学模拟预测)如图,在菱形ABCD 中,2AB =,60BAD ∠=︒,E ,F 分别为BC ,CD 上的点,2CE EB =,2CF FD =,若线段EF 上存在一点M ,使得5162AM AB AD =+,则||AM =__________,若点N 为线段BD 上一个动点,则AN MN ⋅的取值范围为__________.【答案】73 371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】以菱形的对角线为在不在建立平面直角坐标系,通过坐标运算先求M 坐标然后可得||AM ,再用坐标表示出AN MN ⋅,由二次函数性质可得所求范围. 【详解】因为ABCD 为菱形,所以AC BD ⊥,以BD 、AC 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系,因为2AB =,60BAD ∠=︒,所以1,OB OD OC OA ====则(0,(1,0),(1,0)A B D -,设((,0)M m N n 43(1,3),(1,3),(,),(,3),3AB AD AM m AN n ==-==因为5162AM AB AD =+,所以51((62m =+-解得13m =,所以17||93AM =又1(,3MN n =-所以21137()1()3636AN MN n n n ⋅=--=--因为11n -≤≤,所以当16n =时,AN MN ⋅有最小值3736-, 当1n =-时,AN MN ⋅有最大值13,所以AN MN ⋅的取值范围为371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦故答案为:73,371,363⎡⎤-⎢⎥⎣⎦。

平面向量高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)

平面向量高考考点梳理及真题分类解析(2022年高考备考版)
第五章平面向量(2022年文科数学高考备考版)
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、高考考点梳理
(一)、向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为零的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
(二)、平面向量的坐标运算
1.向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则
a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1Fra bibliotek,|a|= .
2.向量坐标的求法
3.夹角:cosθ= = .
4.两非零向量a⊥b的充要条件:a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.
5.|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2+y1y2|≤ · .
(三)、平面向量数量积的运算律
1.a·b=b·a(交换律)
2.λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(结合律)
3.(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).
3.数量积的几何意义:数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的
射影|b|cosθ的乘积,或b的长度|b|与a在b方向上射影|a|cosθ的乘积.
(二)、平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为向量a,b的夹角.
1.数量积:a·b=|a||b|cosθ=x1x2+y1y2.2.模:|a|= = .

2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用教案讲义(Word)

2023届高三新高考数学试题一轮复习专题7.3平面向量数量积及应用教案讲义(Word)

7.3 平面向量数量积及应用课标要求考情分析核心素养1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.新高考3年考题 题 号 考 点 数学建模 数学运算 直观想象 逻辑推理2022(Ⅱ)卷4利用向量数量积的坐标运算求夹角2021(Ⅰ)卷 10 向量数量积的坐标运算,向量的模2021(Ⅱ)卷 15 向量数量积的运算2020(Ⅰ)卷7向量数量积的运算和投影1.向量的夹角定义范围 共线与垂直图示已知两个非零向量a ⃗和b ⃗⃗,作OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗,OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a ⃗与b ⃗⃗的夹角.[0,π]a ⃗//b⃗⃗?θ=0或π; a ⃗⊥b⃗⃗?θ=π2向量夹角:共起点定义已知两个非零向量a ⃗与b ⃗⃗,它们的夹角为θ,我们把数量|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ叫做a ⃗与b ⃗⃗的数量积,记作a ⃗?b ⃗⃗. 即a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b⃗⃗|cosθ. 特殊情况 0⃗⃗a ⃗=0; a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=0 运算律a ⃗?b ⃗⃗=b ⃗⃗?a ⃗(交换律);λa ⃗?b ⃗⃗=λ(a ⃗?b ⃗⃗)=a ⃗?(λb ⃗⃗)(结合律);(a ⃗+b ⃗⃗)?c ⃗=a ⃗?c ⃗+b ⃗⃗?c ⃗(分配律)运算性质(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2; (a ⃗+b ⃗⃗)(a ⃗−b ⃗⃗)=a ⃗2−b⃗⃗2 (a ⃗+b ⃗⃗+c ⃗)2=a ⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+2b ⃗⃗?c ⃗+2c ⃗?a ⃗如图,设a ⃗,b ⃗⃗是两个非零向量,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=a ⃗, CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=b ⃗⃗,考虑如下变换:过AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的起点A 和终点B ,分别作CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗所在直线的垂线,垂足分别为A 1、B 1,得到A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,称上述变换为向量a ⃗向向量b ⃗⃗投影, A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗叫做向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量.若向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为θ,则向量a ⃗在向量b ⃗⃗上的投影向量为|a ⃗⃗|cosθ|b⃗⃗|b ⃗⃗4.平面向量数量积的性质及坐标表示已知非零向量a ⃗=(x 1,y 1),b ⃗⃗=(x 2,y 2),a ⃗,b⃗⃗的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积 a ⃗?b ⃗⃗=|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ a ⃗?b ⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2 夹角cosθ=a ⃗?b⃗⃗|a ⃗||b ⃗⃗|cosθ=x 1x 2+y 1y 2√x 12+y 12?√x 22+y 22模 |a ⃗|=√a ⃗2 |a ⃗|=√x 12+y 12 垂直 a ⃗⊥b ⃗⃗a ⃗?b ⃗⃗=0 a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗?b⃗⃗=x 1x 2+y 1y 2=0 共线a ⃗//b ⃗⃗a ⃗=λb ⃗⃗(λ∈R ) a ⃗//b⃗⃗?x 1y 2=x 2y 1 不等关系a ⃗⃗,b⃗⃗共线时等号成立 |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| x 1x 2+y 1y 2≤√x 12+y 12?√x 22+y 221.向量模长不等式:||a ⃗|−|b ⃗⃗||≤|a ⃗±b ⃗⃗|≤|a ⃗|+|b ⃗⃗|; |a ⃗?b ⃗⃗|≤|a ⃗||b⃗⃗| 2.两个向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为锐角?a ⃗?b ⃗⃗>0且a ⃗,b ⃗⃗不共线;两个向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为钝角?a ⃗?b ⃗⃗<0且a ⃗,b ⃗⃗不共线1.【P24 T21】在三角形ABC 中,已知|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2,点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,则向量BG⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为() A. 13BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 2BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 3BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2.【P41 T3】设作用于同一点的三个力F 1⃗⃗⃗⃗,F 2⃗⃗⃗⃗⃗,F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态,若|F 1⃗⃗⃗⃗|=1,|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1→与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π,如图所示.(1)求F 3→的大小; (2)求F 2→与F 3→的夹角.考点一 平面向量数量积的运算 【方法储备】1.平面向量数量积的运算方法2.已知数量积求参数已知向量的数量积,用上述方法展开,得出关于参数的方程,进而求出参数.角度1投影向量 【典例精讲】例1.(2022·安徽省期中)已知|a ⃗|=3,|b ⃗⃗|=5,a ⃗·b ⃗⃗=−12,且e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量,则a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为.【名师点睛】本题考查向量的夹角、向量的投影,属于中档题.设a⃗与b ⃗⃗的夹角为θ,求出cos θ,根据投影向量的概念,即可求出结果. 【靶向训练】练1-1(2021·江苏省无锡市期末)设平面向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=12,b ⃗⃗=(2,√5),a ⃗?b ⃗⃗=18,则b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量为() A. 12b⃗⃗ B. 18b⃗⃗ C. 12a ⃗ D. 18a⃗ 练1-2(2022·陕西省模拟)已知△ABC 的外接圆圆心为O ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,则CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为() A. 14CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. √32CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 角度2平面向量数量积的概念及运算 【典例精讲】例2.(2022·山东省潍坊市模拟)在梯形ABCD 中,AB//DC ,AD =BC =2,AB =4,∠ABC =π3,P 是BC 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗= 【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题,把所求向量转化,再结合数量积的运算即可求解结论.【靶向训练】练1-3(2022·江西省模拟)已知两个单位向量a ⃗,b ⃗⃗的夹角为60°,c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗.若c ⃗?b ⃗⃗=0,则t =.练1-4(2022·北京市期末)已知△ABC 是边长为1的等边三角形,点D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,连接DE 并延长到点F ,使得DE =2EF ,则AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值为() A. −58B. 14C. 18D. 118角度3平面向量数量积的坐标运算 【典例精讲】例3.(2021·新课标Ⅰ卷.多选)已知O 为坐标原点,点P 1(cosα,sinα),P 2(cosβ,−sinβ), P 3(cos(α+β),?sin(α+β)),A(1,?0),则() A. |OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| B. |AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?=?|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|C. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【名师点睛】本题考查平面向量的坐标运算,考查三角函数的恒等变形公式,属于中档题. 根据平面向量的坐标运算结合三角函数公式进行化简逐个判断即可.【靶向训练】练1-5(2022·辽宁省大连市模拟)设向量a ⃗=(1,m),b ⃗⃗=(2,1),且b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7,则m =. 练1-6(2022·江西省萍乡市期末)已知向量m ⃗⃗⃗⃗=(2cosωx,−1),n ⃗⃗=(√3sinωx −cosωx,1),其中ω>0,函数f(x)=m⃗⃗⃗⃗?n ⃗⃗+2,且f(x)的最小正周期为π2,则f(x)的解析式为. 考点二 平面向量的夹角、模长、垂直、共线问题 【方法储备】1.求平面向量模的方法2.求平面向量夹角的方法3.向量的垂直、共线问题(1)两个向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0,即:a ⃗=(x 1,y 1), b ⃗⃗=(x 2,y 2),则a ⃗⊥b ⃗⃗?a ⃗·b⃗⃗=0?x 1x 2+y 1y 2=0. 应认识到此充要条件对含零向量在内的所有向量均成立,因为可视零向量与任意向量垂直. (2)利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参或最值问题最常用的解题技巧.【特别提醒】在分析两向量的夹角时,必须使两个向量的起点重合,如果起点不重合,可通过“平移”实现.角度1平面向量的模 【典例精讲】例4.(2022·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗,b ⃗⃗夹角为45°,且|a ⃗⃗|=1,|2a ⃗⃗−b⃗⃗|=√10,则|b ⃗⃗|=. 【名师点睛】利用数量积的性质即可得出.本题考查了数量积的性质,向量模的计算,属于基础题.【靶向训练】练2-1(2022·湖北省咸宁市期末)已知向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|=5,且|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=6,则|a ⃗⃗−b⃗⃗|=() A. 6B. 8C. 36D. 64练2-2(2022·.山东省济南市期末.多选) 若平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等,且|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=2,|c ⃗⃗|=3,则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=()A. √3B. 3C. 5D. 6角度2平面向量的夹角 【典例精讲】例 5.(2022·江西省模拟)若非零向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗⃗|=2√23|b ⃗⃗|,且(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b⃗⃗),则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π4 B. π2C. 3π4D. π【名师点睛】根据向量垂直的等价条件以及向量数量积的应用进行求解即可.本题主要考查向量夹角的求解,利用向量数量积的应用以及向量垂直的等价条件是解决本题的关键.【靶向训练】练2-3(2021·湖北省武汉市期末)在平行四边形ABCD 中,AB =3,AD =2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 若CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12,则∠ADC =()A. 5π6B. 3π4C. 2π3D. π2练2-4(2022·江苏省南通市期末)已知向量a ⃗⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|=2√33|a ⃗⃗|,则向量<a ⃗⃗+b ⃗⃗,a⃗⃗>=()A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6角度3平面向量的垂直 【典例精讲】例6.(2021·浙江省温州市模拟)若|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=2,a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°,若(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗),则m 的值为【名师点睛】本题考查向量数量积的计算公式,两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0.由条件可求得a ⃗⃗?b ⃗⃗=1,根据两向量垂直,则两向量的数量积为0,从而会得到关于m 的方程,解方程即可求出m .【靶向训练】练2-5(2021·山东省模拟)已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3,且|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=4,若(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗,则实数λ=()A. −32B. 32C. −2D. 2练2-6(2022·上海市期末)已知a 、b 都是非零向量,且a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直,a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直,则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为.考点三 平面向量中的最值、范围问题 【方法储备】1.求最值、范围问题的思路(1)将向量的最值、范围问题转化为平面几何的最值、范围问题,利用平面几何的知识求解; (2)将向量坐标化,转化为函数、方程、不等式的问题解决.【典例精讲】例7.(2022·湖北省黄冈市模拟)已知直角三角形ABC 中,∠A =90°,AB =2,AC =4,点P 在以A 为圆心且与边BC 相切的圆上,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为() A. 16+16√55B. 16+8√55C. 165D. 565【名师点睛】本题考查向量数量积的计算,涉及直线与圆的位置关系.根据题意,设AD 为斜边BC 上的高,求出AD 的值,连接PA ,可得PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗),分析可得当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值,据此计算可得答案.【靶向训练】练3-1(2022·湖北省模拟)已知梯形ABCD 中,∠B =π3,AB =2,BC =4,AD =1,点P ,Q 在线段BC 上移动,且PQ =1,则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值为()A. 1B. 112C. 132D. 114练3-2(2022·江苏省宿迁市期末)在ΔABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若b(tanA +tanB)=2ctanB ,且G 是ΔABC 的重心,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,则|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为.核心素养系列 直观想象、数学运算——平面向量与极化恒等式【方法储备】1.极化恒等式:a ⃗⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2] 三角形模型:在△ABC 中,D 为BC 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−14|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2平行四边形模型:在平行四边形ABCD 中:则AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14(|AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2−|BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2) 2.利用极化恒等式求数量积问题的步骤:【典例精讲】例8.(2022·山东省模拟) 如图,在△ABC 中,AC =6,AB =8,∠BAC =π2,D 为边BC 的中点. (1)求AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值; (2)若点P 满足CP →=λCA →(λ∈R),求PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值; (3)若点P 在∠BAC 的角平分线上,且满足PA →=mPB →+nPC →(m,n ∈R).若1≤n ≤2,求|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围. 【名师点睛】本题考查平面向量的数量积运算,考查化归与转化,考查运算求解能力,是中档题.(1)由极化恒等式及向量的加减运算求解;(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0,由已知结合极化恒等式求解m 与n 值,进一步可得EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值. 【靶向训练】练4-1(2021·湖北省模拟)如图,已知P 是半径为3,圆心角为π2的一段圆弧AB ⏜上一点,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是()A. −6B. 6−9√2C. −8D. 6−6√5练4-2(2022·福建省龙岩市期中)阅读下一段文字:(a ⃗+b ⃗⃗)2=a ⃗2+2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2,(a ⃗−b ⃗⃗)2=a ⃗2−2a ⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2,两式相减得(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2=4a ⃗?b ⃗⃗?a ⃗?b ⃗⃗=14[(a ⃗+b ⃗⃗)2−(a ⃗−b ⃗⃗)2],我们把这个等式称作“极化恒等式”,它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算.试根据上面的内容解决以下问题:如图,在△ABC 中,D 是BC 的中点,E ,F 是AD 上的两个三等分点.(1)若AD =BC =3,求AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值; (2)若AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27,FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5,求EB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的值.易错点1.投影向量理解错误例9.(2022·湖北省武汉市期末.多选)若A i (i =1,2,…,n)是△AOB 所在的平面内的点,且OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.下面给出的四个命题中,其中正确的是() A. |OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+|OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|+⋯+|OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|B. AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0C. 点A 、A 1、A 2…A n 一定在一条直线上D. OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量一定相等易错点2.向量夹角定义理解错误例10.(2021·辽宁省期中)已知|a ⃗⃗|=√2,|b ⃗⃗|=4,当b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)时,向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为()A. π6 B. π4 C. 2π3 D. 3π4易错点3.平面向量的运算律运用错误例11.(2022·江苏省南通市模拟.多选)关于平面向量a ⃗⃗,b ⃗⃗,c⃗⃗,下列说法不正确的是() A. 若a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗,则a ⃗⃗=b ⃗⃗B. (a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗C. 若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2,则a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗?c ⃗⃗D. (a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗=(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗易错点4.混淆平面向量共线、垂直的坐标关系例12.(2022·福建省名校联考.多选)已知向量a ⃗⃗=(−1,2),b ⃗⃗=(1,m),则()A. 若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直,则m =12B. 若a ⃗⃗//b ⃗⃗,则m 的值为−2C. 若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|,则m =2D. 若m =3,则a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°答案解析【教材改编】1.【解析】在△ABC 中,∵|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|, ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,即AB ⊥AC , 点G 满足GA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+GC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,则G 为△ABC 的重心,设AC 的中点为D ,∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为:23BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|, ∵BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2,∴向量BG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影向量为:23×AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2|BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=23BA⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 故答案选:B .2.【解析】 (1)由F 1⃗⃗⃗⃗,F 2⃗⃗⃗⃗⃗,F 3⃗⃗⃗⃗⃗处于平衡状态,知F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗+F 3⃗⃗⃗⃗⃗=0⃗⃗,∵|F 1⃗⃗⃗⃗|=1,|F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=2,且F 1⃗⃗⃗⃗与F 2⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为23π, ∴|F 3⃗⃗⃗⃗⃗|=|−F 1⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗|=√(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗)2=√1+4+2×1×2×(−12)=√3;(2)∵F 3⃗⃗⃗⃗⃗=−(F 1⃗⃗⃗⃗+F 2⃗⃗⃗⃗⃗),∴F 3⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗=−F 1⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗−F 2⃗⃗⃗⃗⃗·F 2⃗⃗⃗⃗⃗,设F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为θ,∴√3×2×cosθ=−1×2×(−12)−4,解得cosθ=−√32,又θ∈[0,π],∴θ=5π6.即F 2⃗⃗⃗⃗⃗与F 3⃗⃗⃗⃗⃗的夹角为5π6.? 【考点探究】例1.【解析】设a ⃗与b ⃗⃗的夹角为θ,因为|a ⃗|=3,|b ⃗⃗|=5,a ⃗·b ⃗⃗=−12,所以cosθ=a ⃗⃗·b ⃗⃗|a⃗⃗||b ⃗⃗|=−123×5=−45, 因为e ⃗是与b ⃗⃗方向相同的单位向量,所以a ⃗在b ⃗⃗上的投影向量为:|a ⃗|cosθ·e ⃗=3×(−45)e ⃗=−125e ⃗.故答案为−125e ⃗.练1-1.【解析】因为平面向量a ⃗,b ⃗⃗满足|a ⃗|=12,?b ⃗⃗=(2,√5),?a ⃗?b ⃗⃗=18, 所以b ⃗⃗在a ⃗方向上的投影向量是a ⃗⃗?b ⃗⃗|a⃗⃗|×a ⃗⃗|a⃗⃗|=1812×a ⃗⃗12=18a ⃗.故答案选;D .练1-2.【解析】因为2AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以O 为BC 中点,又△ABC 外接圆的圆心为O , 所以三角形为以A 为直角顶点的直角三角形, 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,所以△ABO 为等边三角形,则∠ABC =60°,∠ACB =30°,所以向量CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗在向量CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗上的投影向量为: CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗||CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos30°|CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2·CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=34CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗. 故答案选:C .例2.【解析】∵在梯形ABCD 中,AB//DC ,AD =BC =2,AB =4,∠ABC =π3,P 是BC 的中点,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?12BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=42−12×4×2×12=14,故答案为:14.练1-3.【解析】∵c ⃗=ta ⃗+(1−t)b ⃗⃗,c ⃗?b ⃗⃗=0,∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b ⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=0, ∵a ⃗,b ⃗⃗是单位向量,∴|a ⃗|=|b⃗⃗|=1, 又∵a⃗与b ⃗⃗的夹角为60°,∴a ⃗⃗?b ⃗⃗=1×1×cos60°=12, ∴c ⃗?b ⃗⃗=ta ⃗?b⃗⃗+(1−t)b ⃗⃗2=12t +(1−t)=0,∴t =2. 故答案为:2.练1-4.【解析】如图,∵D 、E 分别是边AB 、BC 的中点,且DE =2EF , ∴AF⃗⃗⃗⃗⃗⃗·BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+32DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−12BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−34BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−54BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+34BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=−54|BA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos60°+34×12 =−54×1×1×12+34=18. 故答案选:C .例3.【解析】OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0),OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?α,sin?α),OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?β,−sin?β),OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cos?(α+β),sin?(α+β)), AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosα−1,sinα),AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(cosβ−1,−sinβ),对于A ,|OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2α+sin 2α=1,|OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2β+(−sinβ)2=1,A 正确;对于B ,|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosα−1)2+sin 2α=√2−2cosα,|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√(cosβ−1)2+(−sinβ)2=√2−2cosβ,因为α,β不一定相等,所以|AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|,|AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|不一定相等,B 错误;对于C ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cos(α+β);OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=cosαcosβ+sinα(−sinβ)=cos(α+β),C 正确;对于D ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosα,OP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?OP 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosβcos(α+β)+(−sinβ)sin(α+β)=cos(α+2β),不一定相等,D 错误.故选:AC .练1-5.【解析】∵向量a ⃗=(1,m),b ⃗⃗=(2,1),∴2a ⃗⃗+b ⃗⃗=(4,2m +1),∵b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=7,∴b ⃗⃗?(2a ⃗⃗+b ⃗⃗)=8+2m +1=7,解得m =−1. 故答案为:−1.练1-6.【解析】f (x )=m ⃗⃗⃗⃗·n ⃗⃗+2=2cosωx ·(√3sinωx −cosωx)−1+2 =√3sin2ωx −(1+cos2ωx )+1=2sin (2ωx −π6),∵最小正周期为π2,故ω=2,则f (x )的解析式为f (x )=2sin (4x −π6). 故答案为:f (x )=2sin (4x −π6).例4.【解析】∵向量a ⃗⃗,b ⃗⃗夹角为45°,且|a ⃗⃗|=1,|2a ⃗⃗−b ⃗⃗|=√10.∴√4a ⃗⃗2+b ⃗⃗2−4a ⃗⃗?b ⃗⃗=√10,化为4+|b ⃗⃗|2−4|b ⃗⃗|cos45°=10,化为|b ⃗⃗|2−2√2|b ⃗⃗|−6=0,∵|b ⃗⃗|≥0,解得|b ⃗⃗|=3√2. 故答案为:3√2.练2-1.【解析】因为|a ⃗⃗+b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2+2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2a ⃗⃗?b ⃗⃗=36,所以a ⃗⃗?b ⃗⃗=−7. 因为|a ⃗⃗−b ⃗⃗|2=a ⃗⃗2−2a ⃗⃗?b ⃗⃗+b ⃗⃗2=50+2×7=64,所以|a⃗⃗−b ⃗⃗|=8. 故选:B .练2-2.【解析】因为平面向量a ⃗⃗、b ⃗⃗、c ⃗⃗两两的夹角相等,所以夹角为0°或120°, 由题意知:|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=2,|c ⃗⃗|=3, 当夹角为0°时,2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=4,2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|=12,2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=6,则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9+4+12+6=6,故选项D 正确; 当夹角为120°时,2a ⃗⃗·b ⃗⃗=2|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos120°=−2,2b ⃗⃗·c ⃗⃗=2|b ⃗⃗||c ⃗⃗|cos120°=−6,2a ⃗⃗·c ⃗⃗=2|a ⃗⃗||c ⃗⃗|=−3,则|a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗|=√(a ⃗⃗+b ⃗⃗+c ⃗⃗)2=√a ⃗⃗2+b ⃗⃗2+c ⃗⃗2+2a ⃗⃗·b ⃗⃗+2b ⃗⃗·c ⃗⃗+2a ⃗⃗·c ⃗⃗=√1+4+9−2−6−3=√3,故选项A 正确.故选:AD .例5.【解析】∵(a ⃗⃗−b ⃗⃗)⊥(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗),∴(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?(3a ⃗⃗+2b ⃗⃗)=0, 即3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2−a ⃗⃗?b ⃗⃗=0,即a ⃗⃗?b ⃗⃗=3a ⃗⃗2−2b ⃗⃗2=23b ⃗⃗2,∴cos <a ⃗⃗,b ⃗⃗>=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗||b⃗⃗|=23b ⃗⃗22√23b ⃗2=√22,即<a ⃗⃗,b ⃗⃗>=π4,故选:A .练2-3.【解析】根据题意,因为AB =3,AD =2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,AQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 所以CP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗CQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=(DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·(−DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗) =23DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+12DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−43DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12,所以DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−3,即|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|cos∠ADC =−3,即cos∠ADC =−12,又∠ADC ∈(0,π),所以∠ADC =2π3.故答案选:C .练2-4. 【解析】∵|a ⃗⃗+b ⃗⃗|=|a ⃗⃗−b ⃗⃗|,∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=(a ⃗⃗−b ⃗⃗)2?a ⃗⃗?b ⃗⃗=0, 又∵|a ⃗⃗+b|=2√33|a ⃗⃗|,∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)2=43a ⃗⃗2?|b ⃗⃗|=√33|a ⃗⃗|,∴(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?a ⃗⃗=a ⃗⃗2+a ⃗⃗·b ⃗⃗=a ⃗⃗2,∴cos <a ⃗⃗+b ⃗⃗,a ⃗⃗>=(a ⃗⃗+b ⃗⃗)·a ⃗⃗|a ⃗⃗+b ⃗⃗|·|a ⃗⃗|=22√33|=√32,故向量a ⃗⃗+b ⃗⃗与a ⃗⃗的夹角为π6. 故答案选:D .例6.【解析】∵|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=2,a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为60°,∴a ⃗⃗·b ⃗⃗=|a ⃗⃗|·|b⃗⃗|·cos60°=1 ∵(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)⊥(m a ⃗⃗−b ⃗⃗),∴(3a ⃗⃗+5b ⃗⃗)?(m a ⃗⃗−b ⃗⃗)=3m |a ⃗⃗|2+(5m −3)·a ⃗⃗·b ⃗⃗−5|b⃗⃗|2=3m +(5m −3)−20=0;∴m =238. 故答案为:238.练2-5.【解析】已知向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角是π3,且|a ⃗⃗|=1,|b ⃗⃗|=4,则:a ⃗⃗?b ⃗⃗=|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cos π3=2,已知:(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)⊥a ⃗⃗,则:(3a ⃗⃗+λb ⃗⃗)?a ⃗⃗=0,即:3a ⃗⃗2+λa ⃗⃗?b ⃗⃗=0,解得:λ=−32,故选:A .练2-6.【解析】∵a ⃗⃗+3b ⃗⃗与7a ⃗⃗−5b ⃗⃗垂直,∴(a ⃗⃗+3b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−5b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2−15b ⃗⃗2+16a ⃗⃗?b ⃗⃗=0①,又∵a ⃗⃗−4b ⃗⃗与7a ⃗⃗−2b ⃗⃗垂直,∴(a ⃗⃗−4b ⃗⃗)?(7a ⃗⃗−2b ⃗⃗)=7a ⃗⃗2+8b ⃗⃗2−30a ⃗⃗?b ⃗⃗=0②,由①②得a ⃗⃗2=b ⃗⃗2=2a ⃗⃗?b ⃗⃗,又由cosθ=a⃗⃗?b ⃗⃗|a ⃗⃗|?|b⃗⃗|,易得:cosθ=12,则θ=60°,故答案为:60°例7.【解析】根据题意,直角三角形ABC 中,∠A =90°,设AD 为斜边BC 上的高, 又由AB =2,AC =4,则AD =√4+16=4√55, 连接PA ,则圆A 的半径r =|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55,则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=165+PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗), 当PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗与(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)同向时,PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)取得最大值, 此时|PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4√55,|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√4+16=2√5, 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)的最大值为4√55×2√5=8,故PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为165+8=565, 故选:D .练3-1.【解析】如图,以B 为坐标原点,?BC 所在的直线为?x 轴, 过点B 且垂直与BC 的直线为y 轴,建立平面直角坐标系, 因为AD//BC ,∠B =π3,AB =2,AD =1,所以D(2,√3),不妨设P (x,0),Q (x +1,0)(0≤x ≤3), 则DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x −2,−√3)?(x −1,−√3) =(x −2)(x −1)+3=x 2−3x +5=(x −32)2+114,由二次函数性质得当x =32时,DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗DQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗取得最小值114. 故选D.练3-2.【解析】由b(tanA +tanB)=2ctanB ,得sinB (sinAcosA +sinBcosB )=2sinC ·sinBcosB , 整理得sinAcosB +cosAsinB =2sinCcosA ,即sin(A +B)=2sinCcosA , 又sin(A +B)=sinC , 所以cosA =12,由AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2,得AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=bccosA =2,所以bc =4, 又AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗), 所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=13√(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2=13√b 2+c 2+2×2≥13√2bc +4=√123=2√33, 当且仅当b =c 时,等号成立, 所以|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的最小值为2√33.【素养提升】例8.【解析】 (1)由勾股定理知,AB =√AB 2+AC 2=10;解法一(坐标法):建立平面直角坐标系,如图所示:则A(0,0),B(0,8),C(6,0),BC 的中点D(3,4),所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(3,4),CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−6,8), 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3×(−6)+4×8=14; 解法二(基向量法):AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)?(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=12×(82−62)=14; 解法三(定义法):AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗?CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2×|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×|CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|×cos2B =2×5×5×(2cos 2B −1)=50×[2×(45)2−1]=14;(2)由题意,点P 在AC 上,解法一(极化恒等式):PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−CB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=PD⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−25,所以当PD ⊥CA 时,此时|PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=4, PB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗取到最小值,即(PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)min =−9; 解法二(坐标法):设P(x,0),则PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(−x,8)?(6−x,0)=(x −3)2−9,所以PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最小值是−9; (3)解法一(坐标法):以AC ,AB 为x ,y 轴建立坐标系,则∠BAC 的角平分线方程为y =x ,可以设P(a,a),则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m PB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗可以表示为(−a,−a)=m(−a,8−a)+n(6−a,−a)=(−am +6n −an,8m −am −an),所以(m +n −1)a =8m =6n ,m =34n ,|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√2|a|=√2|24n7n−4|=√2|247−4n|,当1≤n ≤2时,|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的取值范围是[245√2,8√2]. 解法二(几何法):由已知得(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 则有{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+n AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=m AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+n AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗2,即{(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=64m ①(1−m −n)PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗=36n ②;由①÷②得86=64m 36n,所以m =34n ,所以PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗=mAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗1−m−n=3nAB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗+4nAC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗4−7n,所以|PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|24√2n (4−7n)|∈[24√25,8√2].? 练4-1.【解析】由题意可得AB =√32+32=3√2,又因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗,则BC =√2,所以AC =4√2,取AC 的中点M ,则PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=2PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗, 两式平方后作差得PC⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−14AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−8, 要使PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小,就要使PM 最小, 易知当圆弧AB 的圆心与点P ,M 三点共线时,PM 最小, 设AB 的中点为D ,圆心为O ,连接OD 和OM , 此时DM =AM −AD =2√2−3√22=√22, 在△ODM 中,OM =√OD 2+DM 2=(3√22)(√22)=√5,所以PM 的最小值为3−√5,代入求得PC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗PA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗最小值为6−6√5. 故答案选:D .练4-2.【解析】 (1)由极化恒等式知,AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=14[(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2−(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗−AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)2]=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24=9−94=274;(2)设|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=3m >0,|BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=2n >0, 由极化恒等式知,AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24,FB⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24,EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗29−BC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗24, 又AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=27,FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗?FC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−5, ∴有{9m 2−n 2=27m 2−n 2=−5,解得m =2,n =3,∴EB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗EC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=4m 2−n 2=7.? 【易错点归纳】例9.【解析】因为OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗−OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i −OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0, 所以AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,故选项B 正确; 即|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB , 所以|OA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠A i OB =|OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|?cos∠AOB ,则向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗、OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗i 在向量OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗方向上的投影数量相等, 又AA i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗·OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0,所以点A 、A i 在同一条垂直于直线OB 的直线上, 故A 选项错误,选项C 正确,选项D 正确. 故选:BCD .例10.【解析】根据题意,设向量a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为θ, 若b ⃗⃗⊥(4a ⃗⃗−b ⃗⃗),则b ⃗⃗(4a ⃗⃗−b ⃗⃗)=4a ⃗⃗?b ⃗⃗−b ⃗⃗2=4|a ⃗⃗||b ⃗⃗|cosθ−|b ⃗⃗|2=16√2cosθ−16=0, 变形可得:cosθ=√22,又由0≤θ≤π,则θ=π4,故选:B .例11.【解析】对于A ,a ⃗⃗?c ⃗⃗=b ⃗⃗c ⃗⃗?(a ⃗⃗−b ⃗⃗)?c ⃗⃗=0,不一定有a ⃗⃗=b ⃗⃗?,故A 不正确; 对于B ,利用向量数量积的运算性质可得:(a ⃗⃗+b ⃗⃗)?c ⃗⃗=a ⃗⃗?c ⃗⃗+b ⃗⃗?c ⃗⃗?,故B 正确;对于C ,若a ⃗⃗2=b ⃗⃗2,则|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|,但当a ⃗⃗,b ⃗⃗与c ⃗⃗的夹角不相等时,a ⃗⃗?c ⃗⃗≠b ⃗⃗?c ⃗⃗,故C 不正确;对于D ,a ⃗⃗?b ⃗⃗与b ⃗⃗c ⃗⃗都为实数,而a ⃗⃗与c ⃗⃗不一定共线,因此(a ⃗⃗?b ⃗⃗)?c ⃗⃗≠(b ⃗⃗?c ⃗⃗)?a ⃗⃗.故D 不正确.故选:ACD .例12.【解析】向量a ⃗⃗=(−1,2),b ⃗⃗=(1,m),A .若a ⃗⃗与b ⃗⃗垂直,则(−1)×1+2×m =0,解得m =12,故A 正确;B .若a ⃗⃗?//b ⃗⃗,则(−1)×m −2×1=0,解得m =−2,故B 正确;C .若|a ⃗⃗|=|b ⃗⃗|,则√5=√1+m 2,所以m =±2,故C 错误;D .若m =3,则b ⃗⃗=(1,3),则a ⃗⃗·b ⃗⃗=1×(−1)+2×3=5,|a ⃗⃗|=√5,|b⃗⃗|=√10, 所以cos <a ⃗⃗,b ⃗⃗>=a⃗⃗·b ⃗⃗⃗⃗|a ⃗⃗||b ⃗⃗|=√5×√10=√22, 又<a ⃗⃗,b⃗⃗>∈[0,180°], 所以a ⃗⃗与b ⃗⃗的夹角为45°?,故D 正确. 故选:ABD .。

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析

数学《平面向量》高考知识点一、选择题1.设x ,y 满足102024x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩,向量()2,1a x =r ,()1,b m y =-r ,则满足a b ⊥r r 的实数m的最小值为( )A .125B .125-C .32D .32- 【答案】B【解析】【分析】先根据平面向量垂直的坐标表示,得2m y x =-,根据约束条件画出可行域,再利用m 的几何意义求最值,只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时,从而得到m 的最小值即可.【详解】 解:不等式组表示的平面区域如图所示:因为()2,1a x =r ,()1,b m y =-r ,由a b ⊥r r 得20x m y +-=,∴当直线经过点C 时,m 有最小值,由242x y x y +=⎧⎨=⎩,得8545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴84,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭, ∴416122555m y x =-=-=-, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了平面向量共线(平行)的坐标表示,用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想,属于中档题.目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题,这类问题一般要分三步:画出可行域、求出关键点、定出最优解.2.在ABC ∆中,0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,2AE EB =u u u r u u u r ,AB AC λ=u u u r u u u r ,若9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ,则实数λ=( )A .3B .3C .6D .6 【答案】D【解析】【分析】 将AO u u u r 、EC uuu r 用AB u u u r 、AC u u u r 表示,再代入9AB AC AO EC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 中计算即可.【详解】 由0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r ,知O 为ABC ∆的重心,所以211()323AO AB AC =⨯+=u u u r u u u r u u u r ()AB AC +u u u r u u u r ,又2AE EB =u u u r u u u r , 所以23EC AC AE AC AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,93()AO EC AB AC ⋅=+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 2()3AC AB -u u u r u u u r 2223AB AC AB AC AB AC =⋅-+=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2223AB AC =u u u r u u u r ,||3622||AB AC λ===u u u r u u u r . 故选:D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,涉及到向量的线性运算,是一道中档题.3.如图,在ABC V 中,AD AB ⊥,3BC BD =u u u v u u u v ,1AD =u u u v ,则AC AD ⋅=u u u v u u u v ( )A .3B 3C 3D 3【答案】D【解析】 ∵3AC AB BC AB =+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u v ,∴(3)3AC AD AB AD AB AD BD AD ⋅=+⋅=⋅⋅u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ,又∵AB AD ⊥,∴0AB AD ⋅=uuu r ,∴33cos 3cos 33AC AD AD AD ADB BD ADB AD u u u v u u u v u u u v u u u v u u v u u u v u u u v u u u v ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==,故选D .4.已知菱形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒,则BD CD ⋅=u u u v u u u v()A .4B .6C .23D .43 【答案】B【解析】【分析】根据菱形中的边角关系,利用余弦定理和数量积公式,即可求出结果.【详解】如图所示,菱形形ABCD 的边长为2,60ABC ∠=︒,∴120C ∠=︒,∴22222222cos12012BD =+-⨯⨯⨯︒=,∴23BD =,且30BDC ∠=︒,∴|||3 302|326BD CD BD CD cos =⨯⨯︒=⨯⨯=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r , 故选B .【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题,属于基础题..5.已知菱形ABCD 的边长为4,60ABC ∠=︒,E 是BC 的中点2DF AF =-u u u r u u u r,则AE BF ⋅=u u u r u u u r ( )A .24B .7-C .10-D .12- 【答案】D【解析】【分析】 根据平面向量的基本定理,将AE BF ⋅u u u r u u u r 用基底,AB AD u u u r u u u r 表达,再根据平面向量的数量积公式求解即可.【详解】由已知得13AF AD =u u u r u u u r ,12BE BC =u u u r u u u r ,AD BC =u u u r u u u r ,所以1122AE AB BC AB AD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,13BF AF AB AD AB =-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .因为在菱形ABCD 中,60ABC ∠=︒,所以120BAD ∠=︒.又因为菱形ABCD 的边长为4,所以1||||cos1204482AB AD AB AD ⎛⎫⋅=⋅︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以1123AE BF AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 221111||||16(8)16126666AB AB AD AD --⋅+=--⨯-+⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选:D【点睛】本题考查平面向量的线性运算及向量的数量积,考查推理论证能力以及数形结合思想. 6.若向量(1,1)a =r ,(1,3)b =-r ,(2,)c x =r 满足(3)10a b c +⋅=r r r ,则x =( ) A .1B .2C .3D .4 【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标运算,求得(3)(2,6)a b +=r r ,再根据向量的数量积的坐标运算,即可求解,得到答案.【详解】 由题意,向量(1,1)a =r ,(1,3)b =-r ,(2,)c x =r ,则向量(3)3(1,1)(1,3)(2,6)a b +=+-=r r ,所以(3)(2,6)(2,)22610a b c x x +⋅=⋅=⨯+=r r r ,解得1x =,故选A.【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,及向量的数量积的坐标运算的应用,其中解答中熟记向量的数量积的坐标运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.7.已知ABC V 中,2,3,60,2,AB BC ABC BD DC AE EC ==∠=︒==,则AD BE ⋅=u u u r u u u r( )A .1B .2-C .12D .12- 【答案】C【解析】【分析】 以,BA BC u u u r u u u r 为基底,将,AD BE u u u r u u u r 用基底表示,根据向量数量积的运算律,即可求解.【详解】222,,33BD DC BD BC AD BD BA BC BA ===-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 11,22AE EC BE BC BA =∴=+u u u r u u u r u u u r , 211()()322AD BE BC BA BC BA ⋅=-⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 22111362BC BC BA BA =-⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 111123622=-⨯⨯⨯=. 故选:C.【点睛】本题考查向量的线性运算以及向量的基本定理,考查向量数量积运算,属于中档题. 8.在ABC V 中,D 、P 分别为BC 、AD 的中点,且BP AB AC λμ=+u u u r u u u r u u u r ,则λμ+=( )A .13-B .13C .12-D .12 【答案】C【解析】【分析】由向量的加减法运算,求得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,进而得出()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,列式分别求出λ和μ,即可求得λμ+.【详解】解:已知D 、P 分别为BC 、AD 的中点,由向量的加减法运算, 得BP BD DP BD PD =+=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 2AB AD DB BD PD =+=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 2AC AD DC BD PD =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r , 又()()22BP AB AC BD PD λμμλλμ=+=-++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ,则1221μλλμ-=⎧⎨+=-⎩, 则12λμ+=-. 故选:C.【点睛】本题考查平面向量的加减法运算以及向量的基本定理的应用.9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n +1=a n +a (n ∈N *,a 为常数),若平面内的三个不共线的非零向量OAOB OC u u u r u u u r u u u r ,,满足10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ,A ,B ,C 三点共线且该直线不过O 点,则S 2010等于( )A .1005B .1006C .2010D .2012 【答案】A【解析】【分析】 根据a n +1=a n +a ,可判断数列{a n }为等差数列,而根据10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ,及三点A ,B ,C 共线即可得出a 1+a 2010=1,从而根据等差数列的前n 项和公式即可求出S 2010的值.【详解】由a n +1=a n +a ,得,a n +1﹣a n =a ;∴{a n }为等差数列; 由10051006OC a OA a OB =+u u u r u u u r u u u r ,所以A ,B ,C 三点共线;∴a 1005+a 1006=a 1+a 2010=1,∴S 2010()12010201020101100522a a +⨯===.故选:A.【点睛】本题主要考查等差数列的定义,其前n 项和公式以及共线向量定理,还考查运算求解的能力,属于中档题.10.已知向量m =r (1,cosθ),(sin ,2)n θ=-r ,且m r ⊥n r,则sin 2θ+6cos 2θ的值为( )A .12B .2C .D .﹣2 【答案】B【解析】【分析】根据m r ⊥n r 可得tanθ,而sin 2θ+6cos 2θ22226sin cos cos sin cos θθθθθ+=+,分子分母同除以cos 2θ,代入tanθ可得答案.【详解】 因为向量m =r (1,cosθ),n =r (sinθ,﹣2), 所以sin 2cos m n θθ⋅=-u r r 因为m r ⊥n r ,所以sin 2cos 0θθ-=,即tanθ=2,所以sin 2θ+6cos 2θ22222626226141sin cos cos tan sin cos tan θθθθθθθ++⨯+====+++ 2. 故选:B.【点睛】 本题主要考查平面向量的数量积与三角恒等变换,还考查运算求解的能力,属于中档题. 11.已知向量(cos ,sin )a αα=r ,(cos ,sin )b ββ=r ,a b ⊥r r ,则当,1[]2t ∈-时,a tb -r r 的最大值为( )AB C .2 D 【答案】D【解析】【分析】 根据(cos ,sin )a αα=r ,(cos ,sin )b ββ=r ,a b ⊥r r ,得到1a =r ,1b =r ,0a b ⋅=r r ,再利用a tb -==r r 求解.【详解】 因为(cos ,sin )a αα=r ,(cos ,sin )b ββ=r ,a b ⊥r r ,所以1a =r ,1b =r ,0a b ⋅=r r ,所以a tb -==r r当[]2,1t ∈-时,maxa tb -=r r 故选:D【点睛】本题考查向量的模以及数量积的运算,还考查运算求解能力,属于中档题.12.若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点,点P 为椭圆上的任意一点,则OP FP →→g 的最大值为( )A .4B .5C .6D .7 【答案】C【解析】【分析】设(),P x y ,由数量积的运算及点P 在椭圆上,可把OP FP ⋅u u u r u u u r表示成为x 的二次函数,根据二次函数性质可求出其最大值.【详解】设(),P x y ,()()1,0,0,0F O -,则 ()(),,+1,OP x y FP x y ==u u u r u u u r ,则22OP FP x x y ⋅=++u u u r u u u r ,因为点P 为椭圆上,所以有:22143x y +=即22334y x =-, 所以()222223132244x x y x x x FP x OP =++=⋅++-=++u u u r u u u r 又因为22x -≤≤,所以当2x =时,OP FP ⋅u u u r u u u r的最大值为6故选:C【点睛】本题考查了数量积的坐标运算,求二次函数的最大值,属于一般题.13.已知平面直角坐标系xOy 中有一凸四边形ABCD ,且AB 不平行于,CD AD 不平行于BC .设AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -,且222a b +=,求||||AB DC +u u u r u u u r 的取值范围( )A .(4,)+∞B .[4,)+∞C .(0,4)D .(2,4)【答案】A【解析】【分析】根据AD 中点(,),E a b BC 中点(,)F b a -,通过向量运算得到2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ,从而有2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r ,用两点间距离公式得到EF u u u r ,再根据AB 不平行于CD ,由||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r 求解. 【详解】 因为,EF ED DC CF EF EA AB BF =++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2EF AB DC =+u u u r u u u r u u u r ,又因为2EF ===u u u r ,所以24AB DC EF +==u u u r u u , 因为AB 不平行于CD , 所以||||AB D AB DC C ++>u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以||||4AB DC +>u u u r u u u r .故选:A【点睛】本题主要考查平面向量在平面几何中的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.14.下列命题为真命题的个数是( )①{x x x ∀∈是无理数},2x 是无理数;②若0a b ⋅=r r ,则0a =r r 或0b =r r;③命题“若220x y +=,x ∈R ,y ∈R ,则0x y ==”的逆否命题为真命题; ④函数()x xe ef x x--=是偶函数. A .1B .2C .3D .4【答案】B【解析】【分析】利用特殊值法可判断①的正误;利用平面向量垂直的等价条件可判断②的正误;判断原命题的真假,利用逆否命题与原命题的真假性一致的原则可判断③的正误;利用函数奇偶性的定义可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于①中,当x =时,22x =为有理数,故①错误;对于②中,若0a b ⋅=r r ,可以有a b ⊥r r ,不一定要0a =r r 或0b =r r ,故②错误;对于③中,命题“若220x y +=,x ∈R ,y ∈R ,则0x y ==”为真命题,其逆否命题为真命题,故③正确;对于④中,()()x x x xe e e ef x f x x x-----===-, 且函数的定义域是(,0)(0,)-∞+∞U ,定义域关于原点对称,所以函数()x xe ef x x--=是偶函数,故④正确. 综上,真命题的个数是2.故选:B.【点睛】本题考查命题真假的判断,涉及全称命题的真假的判断、逆否命题真假的判断、向量垂直等价条件的应用以及函数奇偶性的判断,考查推理能力,属于中等题.15.已知平面向量,,a b c r r r 满足||||2a b ==r r ,a b ⊥r r ,()()a c b c -⊥-r r r r ,则(a b c ⋅r r r +)的取值范围是( )A .[0,2]B.[0, C .[0,4] D .[0,8] 【答案】D【解析】【分析】以点O 为原点,OA u u u r ,OB uuu r 分别为x 轴,y 轴的正方向建立直角坐标系,根据AC BC ⊥,得到点C 在圆22(1)(1)2x y -+-=,再结合直线与圆的位置关系,即可求解.【详解】 设,,OA a OB b OC c ===u u u r r u u u r r u u u r r ,以点O 为原点,OA u u u r ,OB uuu r 分别为x 轴,y 轴的正方向建立直角坐标系,则(2,0),(0,2)A B ,依题意,得AC BC ⊥,所以点C 在以AB 为直径的圆上运动,设点(,)C x y ,则22(1)(1)2x y -+-=,()22a b c x y +⋅=+r r r ,由圆心到直线22x y t +=的距离d =≤,可得[0,8]t ∈.故选:D .【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算,以及直线与圆的位置关系的综合应用,着重考查了转化思想,以及推理与运算能力.16.已知向量OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为θ,2OA =u u u r ,1OB =uu u r ,=u u u r u u u r OP tOA ,()1OQ t OB =-u u u r u u u r ,PQ u u u r 在t t =0时取得最小值,则当0105t <<时,夹角θ的取值范围为( )A .0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭B .,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C .2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D .20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】 根据向量的数量积运算和向量的线性表示可得,()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r ,根据二次函数的最值可得出012cos 54cos t θθ+=+,再由0105t <<,可求得夹角θ的取值范围. 【详解】 因为2cos OA OB θ⋅=u u u r u u u r ,()1PQ OQ OP t OB tOA =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ,()()22254cos 24cos 1PQ PQ t t θθ==+-++u u u r u u u r , ∵PQ u u u r 在t t =0时取得最小值,所以012cos 54cos t θθ+=+,又0105t <<,则12cos 1054cos 5θθ+<<+,得1cos 02θ-<<,∵0θπ≤≤, 所以223ππθ<<, 故选:C.【点睛】 本题考查向量的数量积运算和向量的线性表示,以及二次函数的最值和分式不等式的求解,关键在于由向量的模的平方等于向量的平方,得到关于角度的三角函数的不等式,属于中档题.17.在四边形ABCD 中,//AD BC ,2AB =,5AD =,3BC =,60A ∠=︒,点E 在线段CB 的延长线上,且AE BE =,点M 在边CD 所在直线上,则AM ME ⋅u u u u r u u u r 的最大值为( )A .714-B .24-C .514-D .30-【答案】A【解析】【分析】依题意,如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,根据AE BE =求出E 的坐标,求出边CD 所在直线的方程,设(,M x +,利用坐标表示,AM ME u u u u r u u u r ,根据二次函数的性质求出最大值.【详解】解:依题意,如图以A 为坐标原点建立平面直角坐标系,由2AB =,5AD =,3BC =,60A ∠=︒,()0,0A ∴,(B ,(C ,()5,0D因为点E 在线段CB 的延长线上,设(0E x ,01x < AE BE =Q()222001x x +=-解得01x =-(E ∴-(C Q ,()5,0DCD ∴所在直线的方程为y =+因为点M 在边CD 所在直线上,故设(,M x + (,AM x ∴=+u u u u r(1E x M -=--u u u r()1AM ME x x -∴⋅=--++u u u u r u u u r 242660x x =-+-242660x x =-+-23714144x ⎛⎫= ⎪⎭---⎝当134x =时()max 714AM ME ⋅=-u u u u r u u u r 故选:A【点睛】本题考查向量的数量积,关键是建立平面直角坐标系,属于中档题.18.已知向量a v ,b v 满足2a v ||1b =v ,且2b a +=v v ,则向量a v 与b v 的夹角的余弦值为( )A .22B .23C .28D .24【答案】D【解析】【分析】 根据平方运算可求得12a b ⋅=r r ,利用cos ,a b a b a b ⋅<>=r r r r r r 求得结果. 【详解】 由题意可知:2222324b a b a b a a b +=+⋅+=+⋅=r r r r r r r r ,解得:12a b ⋅=r r 2cos ,422a b a b a b ⋅∴<>===r r r r r r 本题正确选项:D【点睛】本题考查向量夹角的求解问题,关键是能够通过平方运算求得向量的数量积.19.已知向量5(,0)2a =r ,(0,5)b =r 的起点均为原点,而终点依次对应点A ,B ,线段AB 边上的点P ,若OP AB ⊥u u u r u u u r ,OP xa yb =+u u u r r r ,则x ,y 的值分别为( ) A .15,45B .43,13-C .45,15D .13-,43 【答案】C【解析】【分析】 求得向量5(,5)2OP x y =u u u r ,5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r ,根据OP AB ⊥u u u r u u u r 和,,A B P 三点共线,列出方程组,即可求解.【详解】 由题意,向量5(,0)2a =r ,(0,5)b =r ,所以5(,5)2OP xa yb x y =+=u u u r r r , 又由5(,5)2AB b a =-=-u u u r r r , 因为OP AB ⊥u u u r u u u r ,所以252504OP AB x y ⋅=-+=u u u r u u u r ,可得4x y =, 又由,,A B P 三点共线,所以1x y +=, 联立方程组41x y x y =⎧⎨+=⎩,解得41,55x y ==. 故选:C .【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,以及向量垂直的坐标运算和向量共线定理的应用,着重考查了运算与求解能力.20.已知向量(),1a x =-r , (b =r ,若a b ⊥r r ,则a =r ( )AB C .2 D .4 【答案】C【解析】由a b r r ⊥,(),1a x =-r , (b r =,可得:x 0x ,==,即)1a =-r所以2a ==r 故选C。

平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒

平面向量及其应用高考重点题型及易错点提醒

一、多选题1.正方形ABCD 的边长为1,记AB a =,BC b =,AC c =,则下列结论正确的是( )A .()0a b c -⋅=B .()0a b c a +-⋅= C .()0a c b a --⋅=D .2a b c ++=2.在ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论,正确的是( ) A .cos cos 0A B +>B .若a b >,则cos2cos2A B <C .24sin sin sin S R A B C =,其中R 为ABC 外接圆的半径D .若ABC 为非直角三角形,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=3.在ABC 中,AB =1AC =,6B π=,则角A 的可能取值为( )A .6π B .3π C .23π D .2π 4.已知向量a =(2,1),b =(1,﹣1),c =(m ﹣2,﹣n ),其中m ,n 均为正数,且(a b -)∥c ,下列说法正确的是( ) A .a 与b 的夹角为钝角B .向量a 在bC .2m +n =4D .mn 的最大值为25.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形,D ,E 分别是AC 、AB 上的两点,且AE EB =,2AD DC =,BD 与CE 交于点O ,则下列说法正确的是( )A .1AB CE ⋅=- B .0OE OC +=C .32OA OB OC ++=D .ED 在BC 方向上的投影为766.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )A .10,45,70b A C ==︒=︒B .45,48,60b c B ===︒C .14,16,45a b A ===︒D .7,5,80a b A ===︒7.以下关于正弦定理或其变形正确的有( ) A .在ABC 中,a :b :c =sin A :sin B :sin C B .在ABC 中,若sin 2A =sin 2B ,则a =bC .在ABC 中,若sin A >sin B ,则A >B ,若A >B ,则sin A >sin B 都成立D .在ABC 中,sin sin sin +=+a b cA B C8.在ABC 中,角A ,B ,C 所对各边分别为a ,b ,c ,若1a =,b =30A =︒,则B =( )A .30B .45︒C .135︒D .150︒9.下列各式中,结果为零向量的是( ) A .AB MB BO OM +++ B .AB BC CA ++ C .OA OC BO CO +++D .AB AC BD CD -+-10.下列命题中,结论正确的有( ) A .00a ⨯=B .若a b ⊥,则||||a b a b +=-C .若//AB CD ,则A 、B 、C 、D 四点共线;D .在四边形ABCD 中,若0AB CD +=,0AC BD ⋅=,则四边形ABCD 为菱形. 11.设a 、b 、c 是任意的非零向量,则下列结论不正确的是( ) A .00a ⋅= B .()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅ C .0a b a b ⋅=⇒⊥D .()()22b b a b a a +-=⋅-12.设,a b 是两个非零向量,则下列描述正确的有( ) A .若||||||a b a b +=-,则存在实数λ使得a b λ= B .若a b ⊥,则||||a b a b +=-C .若||||||a b a b +=+,则a 在b 方向上的投影为||bD .若存在实数λ使得a b λ=,则||||||a b a b +=- 13.已知,a b 为非零向量,则下列命题中正确的是( ) A .若a b a b +=+,则a 与b 方向相同 B .若a b a b +=-,则a 与b 方向相反 C .若a b a b +=-,则a 与b 有相等的模 D .若a b a b -=-,则a 与b 方向相同14.如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A .12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B .对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C .若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D .若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==15.题目文件丢失!二、平面向量及其应用选择题16.已知1a =,3b =,且向量a 与b 的夹角为60︒,则2a b -=( ) A .7B .3C .11D .1917.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,设S 为ABC ∆的面积,满足cos cos b A a B =,且角B 是角A 和角C 的等差中项,则ABC ∆的形状为( ) A .不确定 B .直角三角形 C .钝角三角形D .等边三角形18.若△ABC 中,2sin()sin()sin A B A B C +-=,则此三角形的形状是( ) A .直角三角形B .等腰三角形C .等边三角形D .等腰直角三角形19.三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,那么点P 是三角形ABC 的( ) A .重心B .垂心C .外心D .内心20.下列说法中说法正确的有( )①零向量与任一向量平行;②若//a b ,则()a b R λλ=∈;③()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅④||||||a b a b +≥+;⑤若0AB BC CA ++=,则A ,B ,C 为一个三角形的三个顶点;⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底; A .①④B .①②④C .①②⑤D .③⑥21.a ,b 为单位向量,且27a b +=,则向量a ,b 夹角为( )A .30B .45︒C .60︒D .90︒22.如图,测量河对岸的塔高AB 时,选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D .现测得15BCD ∠=︒,45BDC ∠=︒,302CD m =,并在点C 测得塔顶A 的仰角为30,则塔高AB 为( )A .302mB .203mC .60mD .20m23.在△ABC 中,AB =a ,BC =b ,且a b ⋅>0,则△ABC 是( ) A .锐角三角形B .直角三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形24.若点G 是ABC 的重心,,,a b c 分别是BAC ∠,ABC ∠,ACB ∠的对边,且303aGA bGB cGC ++=.则BAC ∠等于( ) A .90°B .60°C .45°D .30°25.在ABC 中,三内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,面积为S ,若()22S a b c +=+,则cos A 等于( )A .45B .45-C .1517D .1517-26.已知ABC 中,1,3,30a b A ︒===,则B 等于( )A .60°B .120°C .30°或150°D .60°或120°27.如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 是BC 的中点,点F 在线段CD 上,且2CF DF =,AE 与BF 交于点P ,若AP AE λ=,则λ=( )A .34B .58C .38D .2328.在锐角三角形ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若()()(23)a b c a c b ac +++-=+,则cos sin A C +的取值范围为A .33)2B .3(3) C .3(3]2D .3(3)229.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =,2cos 3A =,则b= A 2B 3C .2D .330.如图所示,在正方形ABCD 中,E 为BC 的中点,F 为AE 的中点,则DF =( )A .1324AB AD -+ B .1223AB AD + C .1132AB AD - D .1324AB AD - 31.三角形ABC 的三边分别是,,a b c ,若4c =,3C π∠=,且sin sin()2sin 2C B A A +-=,则有如下四个结论:①2a b = ②ABC ∆的面积为83③ABC ∆的周长为443+ ④ABC ∆外接圆半径433R =这四个结论中一定成立的个数是( ) A .1个B .2个C .3个D .4个32.如图,在ABC 中,14AD AB →→=,12AE AC →→=,BE 和CD 相交于点F ,则向量AF →等于( )A .1277AB AC →→+B .1377AB AC →→+C .121414AB AC →→+ D .131414AB AC →→+ 33.已知1a b ==,12a b ⋅=,(),1c m m =-,(),1d n n =-(m ,n R ∈).存在a ,b ,对于任意实数m ,n ,不等式a c b d T -+-≥恒成立,则实数T 的取值范围为( ) A .(32-∞B .)32,⎡+∞⎣C .(32-∞D .)32,⎡+∞⎣34.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2c A a C c +=且a b =,则cos B 等于( )A .15 B .14C .3 D .3 35.在ABC ∆中,若cos cos a A b B =,则ABC 的形状一定是( ) A .等腰直角三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形D .等腰或直角三角形【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、多选题 1.ABC 【分析】作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解 解析:ABC 【分析】作出图形,利用平面向量加、减法法则与正方形的性质可判断A 、B 选项的正误;利用平面向量的减法法则与向量的数乘运算可判断C 选项的正误;利用平面向量的加法法则可判断D 选项的正误. 【详解】 如下图所示:对于A 选项,四边形ABCD 为正方形,则BD AC ⊥,a b AB BC AB AD DB -=-=-=,()0a b c DB AC ∴-⋅=⋅=,A 选项正确;对于B 选项,0a b c AB BC AC AC AC +-=+-=-=,则()00a b c a a +-⋅=⋅=,B 选项正确;对于C 选项,a c AB AC CB -=-=,则0a c b CB BC --=-=,则()0a c b a --⋅=,C 选项正确;对于D 选项,2a b c c ++=,222a b c c ∴++==,D 选项错误. 故选:ABC. 【点睛】本题考查平面向量相关命题正误的判断,同时也考查了平面向量加、减法法则以及平面向量数量积的应用,考查计算能力,属于中等题.2.ABD 【分析】对于A ,利用及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由,可得,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【解析:ABD 【分析】对于A ,利用A B π+<及余弦函数单调性,即可判断;对于B ,由a b >,可得sin sin A B >,根据二倍角的余弦公式,即可判断;对于C ,利用in 12s S ab C =和正弦定理化简,即可判断;对于D ,利用两角和的正切公式进行运算,即可判断. 【详解】对于A ,∵A B π+<,∴0A B ππ<<-<,根据余弦函数单调性,可得()cos cos cos A B B π>-=-,∴cos cos 0A B +>,故A 正确;对于B ,若sin sin a b A B >⇔>,则22sin sin A B >,则2212sin 12sin A B -<-,即cos2cos2A B <,故B 正确;对于C ,211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=,故C 错误;对于D ,在ABC 为非直角三角形,()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅,则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=,故D 正确. 故选:ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,三角函数基本性质.考查了推理和归纳的能力.3.AD 【分析】由余弦定理得,解得或,分别讨论即可. 【详解】 由余弦定理,得, 即,解得或.当时,此时为等腰三角形,,所以; 当时,,此时为直角三角形,所以. 故选:AD 【点睛】 本题考查余弦解析:AD 【分析】由余弦定理得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅,解得1BC =或2BC =,分别讨论即可. 【详解】由余弦定理,得2222cos AC BC BA BC BA B =+-⋅⋅,即2132BC BC =+-,解得1BC =或2BC =. 当1BC =时,此时ABC 为等腰三角形,BC AC =,所以6A B π==;当2BC =时,222AB AC BC +=,此时ABC 为直角三角形,所以A =2π. 故选:AD 【点睛】本题考查余弦定理解三角形,考查学生分类讨论思想,数学运算能力,是一道容易题.4.CD 【分析】对于A ,利用平面向量的数量积运算判断;对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用()∥判断;对于D ,利用C 的结论,2m+n=4,结合基本不等式判断. 【详解】 对于A ,向量(解析:CD 【分析】对于A ,利用平面向量的数量积运算判断; 对于B ,利用平面向量的投影定义判断;对于C ,利用(a b -)∥c 判断;对于D ,利用C 的结论,2m +n =4,结合基本不等式判断. 【详解】对于A,向量a=(2,1),b=(1,﹣1),则2110a b⋅=-=>,则,a b的夹角为锐角,错误;对于B,向量a=(2,1),b=(1,﹣1),则向量a在b方向上的投影为22a bb⋅=,错误;对于C,向量a=(2,1),b=(1,﹣1),则a b-=(1,2),若(a b-)∥c,则(﹣n)=2(m ﹣2),变形可得2m+n=4,正确;对于D,由C的结论,2m+n=4,而m,n均为正数,则有mn12= (2m•n)12≤(22m n+)2=2,即mn的最大值为2,正确;故选:CD.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用,属于基础题.5.BCD【分析】以E为原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E为AB中点,则,以E为原点,EA,EC分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:所以,,解析:BCD【分析】以E为原点建立平面直角坐标系,写出所有点的坐标求解即可.【详解】由题E为AB中点,则CE AB⊥,以E为原点,EA,EC分别为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,如图所示:所以,1(0,0),(1,0),(1,0),(,)33E A B C D -,设1(0,),(1,),(,3O y y BO y DO y ∈==-,BO ∥DO ,所以133y y -=-,解得:2y =, 即O 是CE 中点,0OE OC +=,所以选项B 正确;32OA OB OC OE OC OE ++=+==,所以选项C 正确; 因为CE AB ⊥,0AB CE ⋅=,所以选项A 错误;1(,33ED =,(1,BC =,ED 在BC 方向上的投影为127326BC BCED +⋅==,所以选项D 正确.故选:BCD 【点睛】此题考查平面向量基本运算,可以选取一组基底表示出所求向量的关系,对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系,利于计算.6.BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法,逐项判定,即可求解,得到答案. 【详解】对于选项A 中:由,所以,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解; 对于选项B 中:因为,且,所以角有两解析:BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法,逐项判定,即可求解,得到答案. 【详解】对于选项A 中:由45,70A C =︒=︒,所以18065B A C =--=︒,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解;对于选项B 中:因为csin sin 1B C b ==<,且c b >,所以角C 有两解;对于选项C 中:因为sin sin 17b A B a ==<,且b a >,所以角B 有两解; 对于选项D 中:因为sin sin 1b AB a=<,且b a <,所以角B 仅有一解.故选:BC .【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定,其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.7.ACD【分析】对于A ,由正弦定理得a :b :c =sinA :sinB :sinC ,故该选项正确;对于B ,由题得A =B 或2A+2B =π,即得a =b 或a2+b2=c2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中解析:ACD【分析】对于A ,由正弦定理得a :b :c =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确;对于B ,由题得A =B 或2A +2B =π,即得a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误;对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确; 对于D ,由正弦定理可得右边=2sin 2sin 2sin sin R B R C R B C+=+=左边,故该选项正确. 【详解】 对于A ,由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===,可得a :b :c =2R sin A :2R sin B :2R sin C =sin A :sin B :sin C ,故该选项正确;对于B ,由sin2A =sin2B ,可得A =B 或2A +2B =π,即A =B 或A +B =2π,∴a =b 或a 2+b 2=c 2,故该选项错误; 对于C ,在ABC 中,由正弦定理可得sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ,因此A >B 是sin A >sin B 的充要条件,故该选项正确;对于D ,由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===,可得右边=2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R C R B C B C++==++=左边,故该选项正确. 故选:ACD.【点睛】 本题主要考查正弦定理及其变形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.BC【分析】用正弦定理求得的值,由此得出正确选项.【详解】解:根据正弦定理得: ,由于,所以或.故选:BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,是基础题.解析:BC【分析】用正弦定理求得sin B 的值,由此得出正确选项.【详解】 解:根据正弦定理sin sin a b A B =得:1sin 2sin 1b A B a ===,由于1b a =>=,所以45B =或135B =.故选:BC.【点睛】本题考查利用正弦定理解三角形,是基础题. 9.BD【分析】根据向量的加法和减法运算,对四个选项逐一计算,即可得正确答案.【详解】对于选项:,选项不正确;对于选项: ,选项正确;对于选项:,选项不正确;对于选项:选项正确.故选:解析:BD【分析】根据向量的加法和减法运算,对四个选项逐一计算,即可得正确答案.【详解】对于选项A :AB MB BO OM AB +++=,选项A 不正确;对于选项B : 0AB BC CA AC CA ++=+=,选项B 正确;对于选项C :OA OC BO CO BA +++=,选项C 不正确;对于选项D :()()0AB AC BD CD AB BD AC CD AD AD -+-=+-+=-= 选项D 正确.故选:BD【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题.10.BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得;【详解】解:对于A ,,故A 错误;对于B ,若,则,所以,,故,即B 正确;对于C ,,则或与共线,故C 错误;对于D ,在四边形中,若解析:BD【分析】根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得;【详解】解:对于A ,00a ⨯=,故A 错误;对于B ,若a b ⊥,则0a b ⋅=,所以2222||2a b a b a b a b +=++⋅=+,2222||2a b a b a b a b -=+-⋅=+,故||||a b a b +=-,即B 正确;对于C ,//AB CD ,则//AB CD 或AB 与CD 共线,故C 错误;对于D ,在四边形ABCD 中,若0AB CD +=,即AB DC =,所以四边形ABCD 是平行四边形,又0AC BD ⋅=,所以AC BD ⊥,所以四边形ABCD 是菱形,故D 正确; 故选:BD【点睛】本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用,属于基础题.11.AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项,,A 选项错误;对于B 选项,表示与共线的向量,表示与共线的向量,但与不一定共线,B 选项错误;对于C 选项,解析:AB【分析】利用平面向量数量积的定义和运算律可判断各选项的正误.【详解】对于A 选项,00a ⋅=,A 选项错误;对于B 选项,()a b c ⋅⋅表示与c 共线的向量,()a b c ⋅⋅表示与a 共线的向量,但a 与c 不一定共线,B 选项错误;对于C 选项,0a b a b ⋅=⇒⊥,C 选项正确;对于D 选项,()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=-,D 选项正确.故选:AB.【点睛】本题考查平面向量数量积的应用,考查平面向量数量积的定义与运算律,考查计算能力与推理能力,属于基础题. 12.AB【分析】若,则反向,从而;若,则,从而可得;若,则同向,在方向上的投影为若存在实数使得,则共线,但是不一定成立.【详解】对于选项A ,若,则反向,由共线定理可得存在实数使得; 对于选解析:AB【分析】 若||||||a b a b +=-,则,a b 反向,从而a b λ=;若a b ⊥,则0a b ⋅=,从而可得||||a b a b +=-; 若||||||a b a b +=+,则,a b 同向,a 在b 方向上的投影为||a若存在实数λ使得a b λ=,则,a b 共线,但是||||||a b a b +=-不一定成立.【详解】对于选项A ,若||||||a b a b +=-,则,a b 反向,由共线定理可得存在实数λ使得a b λ=;对于选项B ,若a b ⊥,则0a b ⋅=,222222||2,||2a b a a b b a b a a b b +=+⋅+-=-⋅+,可得||||a b a b +=-;对于选项C ,若||||||a b a b +=+,则,a b 同向,a 在b 方向上的投影为||a ;对于选项D ,若存在实数λ使得a b λ=,则,a b 共线,但是||||||a b a b +=-不一定成立. 故选:AB.【点睛】本题主要考查平面向量的性质及运算,明确向量的性质及运算规则是求解的关键,侧重考查逻辑推理的核心素养.【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有.当同向时解析:ABD【分析】根据平面向量的平行四边形法则与三角不等式分析即可.【详解】如图,根据平面向量的平行四边形或三角形法则,当,a b 不共线时,根据三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边有||||||||||||a b a b a b -<±<+.当,a b 同向时有||||||a b a b +=+,||||||a b a b -=-.当,a b 反向时有||||||||a b a b +=-,||+||||a b a b =-故选:ABD【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算与三角不等式,属于基础题型.14.AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A 、D 是正确的,选项B 不正确;对于选项C ,当两个向量均为时,有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A 、D 是正确的.对于B,由平面向量基本解析:AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A 、D 是正确的,选项B 不正确;对于选项C ,当两个向量均为0时,λ有无数个,故不正确.由平面向量基本定理可知,A 、D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的,所以不正确;对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,这样的λ有无数个,所以不正确.故选:AD .【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析,熟记并理解定理内容是关键,解题中要注意特殊值的应用,属于基础题.15.无二、平面向量及其应用选择题16.A【分析】根据向量的数量积的运算公式,以及向量的模的计算公式,准确运算,即可求解.【详解】 因为1a =,3b =,a 与b 的夹角为60︒,所以2224424697a a b b a b =-⋅+=-+=-,则27a b -=.故选:A.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算,以及向量的模的求解,其中解答中熟记向量的数量积的运算公式是解答的关键,着重考查推理与运算能力.17.D【分析】先根据cos cos b A a B =得到,A B 之间的关系,再根据B 是,A C 的等差中项计算出B 的大小,由此再判断ABC 的形状.【详解】因为cos cos b A a B =,所以sin cos sin cos =B A A B ,所以()sin 0B A -=,所以A B =,又因为2B A C B π=+=-,所以3B π=, 所以3A B π==,所以ABC 是等边三角形.故选:D.【点睛】本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状,难度一般.(1)已知b 是,a c 的等差中项,则有2b a c =+;(2)利用正弦定理进行边角互化时,注意对于“齐次”的要求. 18.A【分析】已知等式左边第一项利用诱导公式化简,根据sin C 不为0得到sin()sin A B C -=,再利用两角和与差的正弦函数公式化简.【详解】ABC ∆中,sin()sin A B C +=,∴已知等式变形得:2sin sin()sin C A B C -=,即sin()sin sin()A B C A B -==+, 整理得:sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+,即2cos sin 0A B =, cos 0A ∴=或sin 0B =(不合题意,舍去),0A π<<90A ∴=︒,则此三角形形状为直角三角形.故选:A【点睛】此题考查了正弦定理,以及三角函数中的恒等变换应用,熟练掌握公式是解本题的关键,属于中档题.19.B【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=,即得点P 为三角形ABC 的垂心.【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=,即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥,则点P 为三角形ABC 的垂心.故选:B.【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20.A【分析】直接利用向量的基础知识的应用求出结果.【详解】对于①:零向量与任一向量平行,故①正确;对于②:若//a b ,则()a b R λλ=∈,必须有0b ≠,故②错误;对于③:()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅,a 与c 不共线,故③错误; 对于④:a b a b +≥+,根据三角不等式的应用,故④正确;对于⑤:若0AB BC CA ++=,则,,A B C 为一个三角形的三个顶点,也可为0,故⑤错误;对于⑥:一个平面内,任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底,故⑥错误.综上:①④正确.故选:A.【点睛】 本题考查的知识要点:向量的运算的应用以及相关的基础知识,主要考察学生的运算能力和转换能力,属于基础题.21.C【分析】 首先根据题的条件27a b +=,得到2()7a b +=,根据a ,b 为单位向量,求得12a b ⋅=,进而求得向量夹角. 【详解】 因为27a b +=,所以2()7a b +=, 即22447a a b b +⋅+=, 因为221a b ==,所以12a b ⋅=, 所以1cos ,2a b <>=,因为向量a ,b 夹角的范围为[0,180]︒︒, 所以向量a ,b 夹角的范围为60︒,故选:C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题,涉及到的知识点有向量的平方与向量模的平方是相等的,已知向量数量积求向量夹角,属于简单题目. 22.D【分析】由正弦定理确定BC 的长,再tan30ABBC 求出AB . 【详解】 15BCD ∠=︒,45BDC ∠=︒120CBD由正弦定理得:sin120sin 45BC302sin 45203sin120BC 3tan 3020320ABBC故选D 【点睛】本题是正弦定理的实际应用,关键是利用正弦定理求出BC ,属于基础题. 23.D 【分析】由数量积的定义判断B 角的大小,得三角形形状.【详解】由题意cos()0a b a b B π⋅=->,∴cos()0B π->,cos 0B ->,cos 0B <,又B 是三角形内角,∴2B ππ<<.∴ABC 是钝角三角形.故选:D .【点睛】本题考查考查三角形形状的判断,解题关键是掌握数量积的定义.向量夹角的概念. 24.D 【分析】由点G 是ABC 的重心可得0GA GB GC ++=,即GA GB GC =--,代入303aGA bGB cGC ++=中可得3()03b a GB c a GC ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭,由,GB GC 不共线可得00b a a -=⎧-=⎩,即可求得,,a b c 的关系,进而利用余弦定理求解即可 【详解】因为点G 是ABC 的重心,所以0GA GB GC ++=,所以GA GB GC =--, 代入30aGA bGB cGC ++=可得3()0b a GB c a GC ⎛⎫-+-=⎪ ⎪⎝⎭, 因为,GB GC 不共线,所以00b a a -=⎧-=,即b a c =⎧⎪⎨=⎪⎩,所以222cos 2b c a BAC bc +-∠==,故30BAC ︒∠=, 故选:D【点睛】本题考查向量的线性运算,考查利用余弦定理求角25.D【分析】由22()S a b c +=+,利用余弦定理、三角形的面积计算公式可得:1sin 2cos 22bc A bc A bc =+,化为sin 4cos 4A A -=,与22sin cos 1A A +=.解出即可.【详解】解:22()S a b c +=+,2222S b c a bc ∴=+-+, ∴1sin 2cos 22bc A bc A bc =+, 所以sin 4cos 4A A -=,因为22sin cos 1A A +=. 解得15cos 17A =-或cos 1A =-. 因为1cos 1A -<<,所以cos 1A =-舍去.15cos 17A ∴=-. 故选:D .【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积计算公式、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.26.D【分析】由正弦定理可得,sin B =,根据b a >,可得B 角的大小. 【详解】由正弦定理可得,sin sin b A B a ==, 又0,,π<<>∴>B b a B A ,60︒∴=B 或120B =.故选:D【点睛】本题考查了正弦定理的应用,考查了运算求解能力和逻辑推理能力,属于基础题目.27.A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+,求得()2113m AP AB m AD +=+-,再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ,因为B ,P ,F 三点共线,所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+,因为2CF DF =,所以1133DF DC AB ==, 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点, 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=, 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭, 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 解得34λ=. 故选:A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,考查了平面向量基本定理的应用,属于基础题. 28.A【分析】先化简已知()()(2a b c a c b ac +++-=+得6B π=,再化简cos sin A C+)3A π+,利用三角函数的图像和性质求其范围. 【详解】由()()(2a b c a c b ac +++-=+可得22()(2a c b ac +-=+,即222a cb +-=,所以222cos 2a c b B ac +-==,所以6B π=,56C A π=-,所以5cos sin cos sin()6A C A A π+=+-5533cos sin cos cos sin cos sin 3sin()6623A A A A A A πππ=+-=+=+,又02A π<<,506A π<-2π<,所以32A ππ<<,所以25336A πππ<+<,所以333sin()62A π<+<,故cos sin A C +的取值范围为33(,)2.故选A . 【点睛】(1)本题主要考查余弦定理解三角形,考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用函数的思想研究数学问题,一定要注意“定义域优先”的原则,所以本题一定要准确计算出A 的范围32A ππ<<,不是02A π<<.29.D 【详解】由余弦定理得,解得(舍去),故选D. 【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记!30.D【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得:DF AF AD =-,1=2AF AE ,=AE AB BE +,1=2BE BC ,=BC AD ,即可得出答案.【详解】 利用向量的三角形法则,可得DF AF AD =-,=AE AB BE +,E 为BC 的中点,F 为AE 的中点,则1=2AF AE ,1=2BE BC 1111==()=+2224DF AF AD AE AD AB BE AD AB BC AD ∴=--+-- 又=BC AD1324DF AB AD ∴=-. 故选D. 【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理,考查了推理能力与计算能力.向量的运算有两种方法:一是几何运算,往往结合平面几何知识和三角函数知识解答,运算法则是:(1)平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差);(2)三角形法则(两箭头间向量是差,箭头与箭尾间向量是和); 二是坐标运算,建立坐标系转化为解析几何问题解答(求最值与范围问题,往往利用坐标运算比较简单).31.C【分析】由正弦定理可得三角形的外接圆的半径;由三角函数的恒等变换化简2A π=或sin 2sin B A =,即2b a =;分别讨论,结合余弦定理和三角形面积公式,计算可得所求值,从而可得结论.【详解】4c =,3Cπ∠=,可得42sin 3sin 3c R C π===,可得ABC ∆外接圆半径3R =,④正确; ()sin sin 2sin2C B A A +-=,即为()()sin sin 2sin2A B B A A ++-=,即有sin cos cos sin sin cos cos sin 2sin cos 4sin cos A B A B B A B A B A A A ++-==, 则cos 0A =,即2A π=或sin 2sin B A =,即2b a =; 若2A π=,3C π=,6B π=,可得2a b =,①可能成立;由4c =可得3a =,3b =,则三角形的周长为4+;面积为123bc =; 则②③成立; 若2b a =,由2222222cos 316c a b ab C a b ab a =+-=+-==,可得3a =,3b = 则三角形的周长为4a bc ++=+11sin sin 223333S ab C π==⋅⋅= 则②③成立①不成立;综上可得②③④一定成立,故选C .【点睛】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式,考查三角函数的恒等变换,属于中档题.以三角形为载体,三角恒等变换为手段,正弦定理、余弦定理为工具,对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题,一般难度不大,但综合性较强.解答这类问题,两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式,一定要熟练掌握并灵活应用,特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.32.B【分析】过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ,作//FN AC 交AB 于点N ,由平行线得出三角形相似,得出线段成比例,结合14AD AB →→=,12AE AC →→=,证出37AM AC →→=和17AN AB →→=,最后由平面向量基本定理和向量的加法法则,即可得AB →和AC →表示AF →. 【详解】 解:过点F 分别作//FM AB 交AC 于点M ,作//FN AC 交AB 于点N , 已知14AD AB →→=,12AE AC →→=, //FN AC ,则MFE ABE △△和MCF ACD △△, 则:MF ME AB AE =且MF MC AD AC=, 即:2MF ME AB AC =且14MF MC AC AB =,所以124MC MF ME AB AC AC ==, 则:8MC ME =,所以37AM AC =, 解得:37AM AC →→=, 同理//FM AB ,NBF ABE △△和NFD ACD △△, 则:NF NB AE AB =且NF ND AC AD=, 即:12NF NB AB AC =且14NF ND AC AB =,所以142NB NF ND AC AB AB ==, 则:8NB ND =,即()8AB AN AD AN -=-, 所以184AB AN AB AN ⎛⎫-=-⎪⎝⎭,即28AB AN AB AN -=-, 得:17AN AB =,解得:17AN AB →→=, 四边形AMFN 是平行四边形,∴由向量加法法则,得AF AN AM →→→=+,所以1377AF AB AC →→→=+. 故选:B.【点睛】 本题考查平面向量的线性运算、向量的加法法则和平面向量的基本定理,考查运算能力. 33.A【分析】 不等式a c b d T -+-≥恒成立,即求a c b d -+-最小值,利用三角不等式放缩+=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,转化即求+()a b c d -+最小值,再转化为等边三角形OAB 的边AB 的中点M 和一条直线上动点N 的距离最小值. 当M N ,运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时,MN 取得最小值得解.【详解】1a b ==,12a b ⋅=,易得,3a b π<>= 设,,,OA a OB b OC c OD d ====,AB 中点为M ,CD 中点为N则,A B 在单位圆上运动,且三角形OAB 是等边三角形, (.1),(,1)1CD C m m D n n k ,CD 所在直线方程为10x y +-= 因为a c b d T -+-≥恒成立, +=+()a c b d a c b d a b c d -+-≥---+,(当且仅当a c -与b d -共线同向,即a b +与c d +共线反向时等号成立)即求+()a b c d -+最小值.+()=()()a b c d OA OB OC OD -++-+=22=2OM ON NM -三角形OAB 是等边三角形,,A B 在单位圆上运动,M 是AB 中点,∴ M 的轨迹是以原点为圆心,半径为32的一个圆. 又N 在直线方程为10x y +-=上运动,∴ 当M N ,运动到MN CD ⊥时且,OM ON 反向时,MN 取得最小值此时M 到直线10x y +-=的距离322MN232T NM故选:A【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题解决向量三角不等式恒成立.平面向量与几何综合问题的求解坐标法:把问题转化为几何图形的研究,再把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.34.B【分析】利用正弦定理可得sin 2sin B C =,结合a b =和余弦定理,即可得答案;【详解】cos cos 2sin cos sin cos 2sin c A a C c C A A C C +=⇒+=,∴sin()2sin sin 2sin A C C B C +=⇒=,∴2b c =,又a b =,∴22222114cos 12422b ac b B ac b ⋅+-===⋅⋅, 故选:B.【点睛】 本题考查正、余弦定理解三角形,考查运算求解能力,求解时注意进行等量代换求值. 35.D【分析】。

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一、多选题1.在△ABC 中,a ,b ,c 是角A ,B ,C 的对边,已知A =3π,a =7,则以下判断正确的是( )A .△ABC 的外接圆面积是493π; B .b cos C +c cos B =7;C .b +c 可能等于16;D .作A 关于BC 的对称点A ′,则|AA ′|的最大值是73 .2.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,下列说法正确的有( ) A .::sin :sin :sin a b c A B C = B .若sin 2sin 2A B =,则a b = C .若sin sin A B >,则A B > D .sin sin sin +=+a b cA B C3.下列结论正确的是( )A .在ABC 中,若AB >,则sin sin A B >B .在锐角三角形ABC 中,不等式2220b c a +->恒成立 C .若sin 2sin 2A B =,则ABC 为等腰三角形D .在ABC 中,若3b =,60A =︒,三角形面积33S =,则三角形外接圆半径为3 4.已知向量()1,0a =,()2,2b =,则下列结论正确的是( ) A .()25,4a b += B .2b = C .a 与b 的夹角为45°D .()//2a a b +5.在ABC 中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .根据下列条件解三角形,其中有两解的是( )A .10,45,70b A C ==︒=︒B .45,48,60b c B ===︒C .14,16,45a b A ===︒D .7,5,80a b A ===︒6.在RtABC 中,BD 为斜边AC 上的高,下列结论中正确的是( )A .2AB AB AC B .2BC CB AC C .2ACAB BDD .2BDBA BDBC BD7.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,b =15,c =16,B =60°,则a 边为( )A .B .C .8D .8.ABC 中,4a =,5b =,面积S =c =( )A B C D .9.在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形10.在ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,则下列结论中正确的是( )A .若a b >,则sin sin AB >B .若sin 2sin 2A B =,则ABC 是等腰三角形 C .若cos cos a B b A c -=,则ABC 是直角三角形D .若2220a b c +->,则ABC 是锐角三角形11.已知M 为ABC 的重心,D 为BC 的中点,则下列等式成立的是( ) A .1122AD AB AC =+ B .0MA MB MC ++= C .2133BM BA BD =+ D .1233CM CA CD =+12.对于菱形ABCD ,给出下列各式,其中结论正确的为( )A .AB BC =B .AB BC =C .AB CD AD BC -=+D .AD CD CD CB +=-13.已知实数m ,n 和向量a ,b ,下列说法中正确的是( ) A .()m a b ma mb -=- B .()m n a ma na -=-C .若ma mb =,则a b =D .若()0ma na a =≠,则m n =14.对于ABC ∆,有如下判断,其中正确的判断是( ) A .若sin 2sin 2A B =,则ABC ∆为等腰三角形 B .若A B >,则sin sin A B >C .若8a =,10c =,60B ︒=,则符合条件的ABC ∆有两个D .若222sin sin sin A B C +<,则ABC ∆是钝角三角形15.如果12,e e 是平面α内两个不共线的向量,那么下列说法中正确的是( ) A .12(,),e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量B .对于平面α内任一向量a ,使12,a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个C .若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线,则有且只有一个实数λ,使得()11122122e e e e λμλλμ+=+D .若存在实数,λμ使得120e e λμ+=,则0λμ==二、平面向量及其应用选择题16.如图,四边形ABCD 是平行四边形,E 是BC 的中点,点F 在线段CD 上,且2CF DF =,AE 与BF 交于点P ,若AP AE λ=,则λ=( )A .34B .58C .38D .2317.在ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若lg lg lg sin 2a c B -==-,且0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则ABC 的形状是( )A .等边三角形B .锐角三角形C .等腰直角三角形D .钝角三角形18.已知非零向量AB ,AC 满足0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,且1||||2AB AC AB AC =,则ABC ∆的形状是( ) A .三边均不相等的三角形 B .直角三角形 C .等腰(非等边)三角形D .等边三角形19.三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,那么点P 是三角形ABC 的( ) A .重心B .垂心C .外心D .内心20.已知在ABC 中,内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若ABC 的面积为S ,且222()S a b c =+-,则tan C =( )A .43-B .34-C .34D .4321.在ABC ∆中,D 为BC 中点,且12AE ED =,若BE AB AC λμ=+,则λμ+=( ) A .1B .23-C .13- D .34-22.在ABC ∆中,设222AC AB AM BC -=⋅,则动点M 的轨迹必通过ABC ∆的( ) A .垂心B .内心C .重心D . 外心23.在ABC 中,若()()0CA CB CA CB +⋅-=,则ABC 为( ) A .正三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .无法确定24.已知ABC 所在平面内的一点P 满足20PA PB PC ++=,则::PAB PAC PBC S S S =△△△( )A .1∶2∶3B .1∶2∶1C .2∶1∶1D .1∶1∶225.在ABC ∆中||||AB AC AB AC +=-,3,4,AB AC ==则BC 在CA 方向上的投影为( ). A .4B .3C .-4D .526.ABC 中,a ,b ,c 分别为A ∠,B ,C ∠的对边,如果a ,b ,c 成等差数列,30B ∠=︒,ABC 的面积为32,那么b 等于( )A .132+ B .13+C .223+ D .23+27.如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C ,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10m 到位置D ,测得45BDC ∠=︒,则塔AB 的高是(单位:m )( )A .102B .106C .103D .1028.如图,在ABC 中,点D 在线段BC 上,且满足12BD DC =,过点D 的直线分别交直线AB ,AC 于不同的两点M ,N 若AM mAB =,AN nAC =,则( )A .m n +是定值,定值为2B .2m n +是定值,定值为3C .11m n +是定值,定值为2 D .21m n+是定值,定值为3 29.在ABC 中,若 cos a b C =,则ABC 的形状是( ) A .直角三角形 B .等腰三角形 C .等腰直角三角形D .等腰或直角三角形30.在矩形ABCD 中,3,3,2AB BC BE EC ===,点F 在边CD 上,若AB AF 3→→=,则AE BF→→的值为( )A .0B C .-4 D .431.三角形ABC 的三边分别是,,a b c ,若4c =,3C π∠=,且sin sin()2sin 2C B A A +-=,则有如下四个结论:①2a b =②ABC ∆③ABC ∆的周长为4+④ABC ∆外接圆半径R =这四个结论中一定成立的个数是( ) A .1个B .2个C .3个D .4个32.在ABC ∆中,60A ∠=︒,1b =,ABC S ∆,则2sin 2sin sin a b cA B C++=++( )A B C D .33.已知平面向量a ,b ,c 满足2a b ==,()()20c a c b ⋅--=,则b c ⋅的最大值为( ) A .54B .2C .174D .434.在△ABC 中,点D 在线段BC 的延长线上,且3BC CD =,点O 在线段CD 上(与点C ,D 不重合),若()1AO xAB x AC =+-,则x 的取值范围是( )A .10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B .10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C .1,02⎛⎫-⎪⎝⎭ D .1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭35.已知20a b =≠,且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是( ) A .06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C .2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D .,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、多选题 1.ABD 【分析】根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A ,设的外接圆半径为,根据正弦定理,可得,所以的外接圆面积是,故A 正确; 对于B ,根据正弦定 解析:ABD 【分析】根据题目可知,利用正弦定理与三角恒等变换逐个分析即可判断每个选项的正误. 【详解】对于A ,设ABC 的外接圆半径为R ,根据正弦定理2sin a R A =,可得3R =,所以ABC 的外接圆面积是2493S R ππ==,故A 正确; 对于B ,根据正弦定理,利用边化角的方法,结合A B C π++=,可将原式化为2sin cos 2sin cos 2sin()2sin R B C R C B R B C R A a +=+==,故B 正确.对于C ,22(sin sin )2[sin sin()]3b c R B C R B B π+=+=+-114(cos )14sin()23B B B π=+=+14b c ∴+≤,故C 错误.对于D ,设A 到直线BC 的距离为d ,根据面积公式可得11sin 22ad bc A =,即sin bc Ad a=,再根据①中的结论,可得d =D 正确. 故选:ABD. 【点睛】 本题是考查三角恒等变换与解三角形结合的综合题,解题时应熟练掌握运用三角函数的性质、诱导公式以及正余弦定理、面积公式等.2.ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ,在,由正弦定理得,则,故A 正确; 对于B ,若,则或,所以和不一定相等,故B 错误;对于C ,若,由正弦定理知,由于三角形中,大边对大角解析:ACD 【分析】根据正弦定理的性质即可判断. 【详解】对于A ,在ABC ,由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===,则::2sin :2sin :2sin sin :sin :sin a b c R A R B R C A B C ==,故A 正确;对于B ,若sin 2sin 2A B =,则A B =或2A B π+=,所以a 和b 不一定相等,故B 错误;对于C ,若sin sin A B >,由正弦定理知a b >,由于三角形中,大边对大角,所以A B >,故C 正确;对于D ,由正弦定理得2sin sin sin a b cR A B C===,则2sin 2sin 2sin sin sin sin b c R B R CR B C B C ++==++,故D 正确.故选:ACD. 【点睛】本题考查正弦定理的应用,属于基础题. 3.AB【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ,由余弦定理判断B ,由正弦函数性质判断C ,由三角形面积公式,余弦定理及正弦定理判断D . 【详解】中,,由得,A 正确; 锐角三角形中,,∴,B 正确; 中,解析:AB 【分析】由正弦定理及三角形性质判断A ,由余弦定理判断B ,由正弦函数性质判断C ,由三角形面积公式,余弦定理及正弦定理判断D . 【详解】ABC 中,A B a b >⇔>,由sin sin a b A B=得sin sin A B >,A 正确; 锐角三角形ABC 中,222cos 02b c a A bc+-=>,∴2220b c a +->,B 正确;ABC 中,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22180A B +=︒,即A B =或90A B +=︒,ABC 为等腰三角形或直角三角形,C 错;ABC 中,若3b =,60A =︒,三角形面积S =11sin 3sin 6022S bc A c ==⨯︒=4c =,∴2222cos 13a b c bc A =+-=,a =,∴2sin sin 603a R A ===︒,3R =,D 错. 故选:AB . 【点睛】本题考查正弦定理,余弦定理,正弦函数的性质,三角形面积公式等,考查学生的逻辑推理能力,分析问题解决问题的能力.4.AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ;利用向量模的坐标求法可判断B ;利用向量数量积的坐标运算可判断C ;利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】 由向量,, 则,故A 正确; ,故B 错误;解析:AC 【分析】利用向量线性的坐标运算可判断A ;利用向量模的坐标求法可判断B ;利用向量数量积的坐标运算可判断C ;利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】由向量()1,0a =,()2,2b =,则()()()21,022,25,4a b +=+=,故A 正确;222b =+=,故B 错误;2cos ,21a b a b a b⋅<>===⋅+,又[],0,a b π<>∈,所以a 与b 的夹角为45°,故C 正确; 由()1,0a =,()25,4a b +=,140540⨯-⨯=≠,故D 错误. 故选:AC 【点睛】本题考查了向量的坐标运算,考查了基本运算能力,属于基础题.5.BC【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法,逐项判定,即可求解,得到答案. 【详解】对于选项A 中:由,所以,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解; 对于选项B 中:因为,且,所以角有两解析:BC 【分析】根据题设条件和三角形解的个数的判定方法,逐项判定,即可求解,得到答案. 【详解】对于选项A 中:由45,70A C =︒=︒,所以18065B A C =--=︒,即三角形的三个角是确定的值,故只有一解;对于选项B 中:因为csin sin 115B C b ==<,且c b >,所以角C 有两解;对于选项C 中:因为sin sin 17b A B a ==<,且b a >,所以角B 有两解; 对于选项D 中:因为sin sin 1b AB a=<,且b a <,所以角B 仅有一解. 故选:BC . 【点睛】本题主要考查了三角形解得个数的判定,其中解答中熟记三角形解得个数的判定方法是解答的关键,着重考查了分析问题和解答问题的能力,属于基础题.6.AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ,,故A 正确; 对于B ,,故B 错误; 对于C ,,故C 错误; 对于D ,, ,故D 正确.故选:AD. 【点睛】 本题考查三角形解析:AD 【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误. 【详解】对于A ,2cos AB AB AC AB AC A AB ACAB AC,故A 正确;对于B ,2cos cos CB CB AC CB AC C CB AC C CB ACCB AC,故B 错误; 对于C ,2cos cos BD AB BD AB BD ABD AB BD ABD AB BDBDAB,故C 错误; 对于D ,2cos BD BA BDBA BD ABD BA BD BD BA,2cos BD BC BDBC BD CBD BC BDBD BC,故D 正确.故选:AD. 【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题,属于基础题.7.AC 【分析】利用余弦定理:即可求解. 【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°, 由余弦定理:, 即,解得. 故选:AC 【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基解析:AC 【分析】利用余弦定理:2222cos b a c ac B =+-即可求解. 【详解】在△ABC 中,b =15,c =16,B =60°, 由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,即216310a a -+=,解得8a =故选:AC【点睛】本题考查了余弦定理解三角形,需熟记定理,考查了基本运算,属于基础题.8.AB【分析】在中,根据,,由,解得或,然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】中,因为,,面积,所以,所以,解得或,当时,由余弦定理得:,解得,当时,由余弦定理得:,解得所以或解析:AB【分析】在ABC 中,根据4a =,5b =,由1sin 2ABC S ab C ==60C =或120C =,然后分两种情况利用余弦定理求解.【详解】ABC 中,因为4a =,5b =,面积ABC S =所以1sin 2ABC S ab C ==所以sin C =60C =或120C =, 当60C =时,由余弦定理得:2222cos 21c a b ab C =+-=,解得c =当120C =时,由余弦定理得:2222cos 61c a b ab C =+-=,解得c =所以c =c =故选:AB【点睛】本题主要考查三角形面积公式和余弦定理的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题. 9.ABCD【分析】应用正弦定理将边化角,由二倍角公式有即或,进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】根据正弦定理,即.,或.即或解析:ABCD【分析】应用正弦定理将边化角,由二倍角公式有sin 2sin 2A B =即A B =或2A B π+=,进而有△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形【详解】 根据正弦定理sin sin a b A B= cos cos a A b B =sin cos sin cos A A B B =,即sin 2sin 2A B =.2,2(0,2)A B π∈, 22A B =或22A B π+=.即A B =或2A B π+=,△ABC 可能为:直角三角形,等腰三角形,等腰直角三角形,等边三角形.故选:ABCD【点睛】本题考查了正弦定理的边化角,二倍角公式解三角形判断三角形的形状,注意三角形内角和为180°10.AC【分析】对选项A ,利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确;对选项B ,首先利用正弦二倍角公式得到,从而得到是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对选项C ,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判解析:AC【分析】对选项A ,利用正弦定理边化角公式即可判断A 正确;对选项B ,首先利用正弦二倍角公式得到sin cos sin cos A A B B =,从而得到ABC 是等腰三角形或直角三角形,故B 错误;对选项C ,利用正弦定理边化角公式和两角和差公式即可判断C 正确;对D ,首先根据余弦定理得到A 为锐角,但B ,C 无法判断,故D 错误.【详解】对选项A ,2sin 2sin sin sin a b r A r B A B >⇒>⇒>,故A 正确;对选项B ,因为sin 2sin 2sin cos sin cos A B A A B B =⇒=所以A B =或2A B π+=,则ABC 是等腰三角形或直角三角形.故B 错误;对选项C ,因为cos cos a B b A c -=,所以()sin cos sin cos sin sin A B B A C A C -==+,sin cos sin cos sin cos cos sin A B B A A B A B -=+,sin cos cos sin B A A B -=,因为sin 0B ≠,所以cos 0A =,2A π=,ABC 是直角三角形,故③正确; 对D ,因为2220a b c +->,所以222cos 02a b c A ab +-=>,A 为锐角. 但B ,C 无法判断,所以无法判断ABC 是锐角三角形,故D 错误.故选:AC【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理解三角形,同时考查学三角函数恒等变换,属于中档题.11.ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解:如图,根据题意得为三等分点靠近点的点.对于A 选项,根据向量加法的平行四边形法则易得,故A 正确;对于B 选项,,由于为三解析:ABD【分析】根据向量的加减法运算法则依次讨论即可的答案.【详解】解:如图,根据题意得M 为AD 三等分点靠近D 点的点.对于A 选项,根据向量加法的平行四边形法则易得1122AD AB AC =+,故A 正确; 对于B 选项,2MB MC MD +=,由于M 为AD 三等分点靠近D 点的点,2MA MD =-,所以0MA MB MC ++=,故正确;对于C 选项,()2212=3333BM BA AD BA BD BA BA BD =+=+-+,故C 错误; 对于D 选项,()22123333CM CA AD CA CD CA CA CD =+=+-=+,故D 正确.故选:ABD【点睛】本题考查向量加法与减法的运算法则,是基础题.12.BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量与的方向是不同的,但它们的模是相等的,所以B 结论正确,A 结论错误;因为,,且,所以,即C 结论正确;因为,解析:BCD【分析】由向量的加法减法法则及菱形的几何性质即可求解.【详解】菱形中向量AB 与BC 的方向是不同的,但它们的模是相等的,所以B 结论正确,A 结论错误; 因为2AB CD AB DC AB -=+=,2AD BC BC +=,且AB BC =, 所以AB CD AD BC -=+,即C 结论正确;因为AD CD BC CD BD +=+=,||||CD CB CD BC BD -=+=,所以D 结论正确.故选:BCD【点睛】本题主要考查了向量加法、减法的运算,菱形的性质,属于中档题.13.ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性,通过的特殊情况判断C 选项的正确性,根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;C 中,当时,,但与不一定相等, 解析:ABD【分析】根据向量数乘运算判断AB 选项的正确性,通过m 的特殊情况判断C 选项的正确性,根据向量运算判断D 选项的正确性.【详解】根据向量数乘的运算可知A 和B 正确;C 中,当0m =时,0ma mb ==,但a 与b 不一定相等,故C 不正确;D 中,由ma na =,得()0m n a -=,因为0a ≠,所以m n =,故D 正确.故选:ABD【点睛】本小题主要考查向量数乘运算,属于基础题.14.BD【分析】对于A ,根据三角函数的倍角公式进行判断;对于B ,根据正弦定理即可判断证明;对于C ,利用余弦定理即可得解;对于D ,根据正弦定理去判断即可.【详解】在中,对于A ,若,则或,当A =解析:BD【分析】对于A ,根据三角函数的倍角公式进行判断;对于B ,根据正弦定理即可判断证明;对于C ,利用余弦定理即可得解;对于D ,根据正弦定理去判断即可.【详解】在ABC ∆中,对于A ,若sin 2sin 2A B =,则22A B =或22A B π+=,当A =B 时,△ABC 为等腰三角形; 当2A B π+=时,△ABC 为直角三角形,故A 不正确,对于B ,若A B >,则a b >,由正弦定理得sin sin a b A B=,即sin sin A B >成立.故B 正确;对于C ,由余弦定理可得:b C 错误; 对于D ,若222sin sin sin A B C +<,由正弦定理得222a b c +<,∴222cos 02a b c C ab+-=<,∴C 为钝角,∴ABC ∆是钝角三角形,故D 正确; 综上,正确的判断为选项B 和D .故选:BD .【点睛】本题只有考查了正弦定理,余弦定理,三角函数的二倍角公式在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于中档题.15.AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A 、D 是正确的,选项B 不正确;对于选项C ,当两个向量均为时,有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A 、D 是正确的.对于B,由平面向量基本解析:AD【分析】根据平面向量基本定理可知,A 、D 是正确的,选项B 不正确;对于选项C ,当两个向量均为0时,λ有无数个,故不正确.【详解】由平面向量基本定理可知,A 、D 是正确的.对于B ,由平面向量基本定理可知,如果一个平面的基底确定,那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的,所以不正确;对于C ,当两向量的系数均为零,即12120λλμμ====时,这样的λ有无数个,所以不正确.故选:AD .【点睛】本题考查平面向量基本定理的辨析,熟记并理解定理内容是关键,解题中要注意特殊值的应用,属于基础题.二、平面向量及其应用选择题16.A【分析】设出()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+,求得()2113m AP AB m AD +=+-,再利用向量相等求解即可. 【详解】 连接AF ,因为B ,P ,F 三点共线,所以()()()11AP mAB m AF mAB m AD DF =+-=+-+,因为2CF DF =,所以1133DF DC AB ==, 所以()2113m AP AB m AD +=+-. 因为E 是BC 的中点, 所以1122AE AB BC AB AD =+=+. 因为AP AE λ=, 所以()211132m AB m AD AB AD λ+⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭, 则213112m m λλ+⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩, 解得34λ=. 故选:A【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算,考查了平面向量基本定理的应用,属于基础题. 17.C【分析】化简条件可得sin a B c ==,由正弦定理化边为角,整理cos 0C =,即可求解. 【详解】lg lg lg sin a c B -==-,sin 2a B c ∴==.0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 4Bπ∴=. 由正弦定理,得sin sin 2a A c C ==,3sin 4C A C C C π⎫⎛⎫∴==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭, 化简得cos 0C =.()0,C π∈,2C π∴=, 则4A B C ππ=--=, ∴ABC 是等腰直角三角形.故选:C.【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角恒等变换,属于中档题.18.D【分析】 先根据0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,判断出A ∠的角平分线与BC 垂直,进而推断三角形为等腰三角形进而根据向量的数量积公式求得C ,判断出三角形的形状.【详解】 解:0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭,||AB AB ,||AC AC 分别为单位向量, A ∴∠的角平分线与BC 垂直,AB AC ∴=, 1cos ||||2AB AC A AB AC ==, 3A π∴∠=,3B C A π∴∠=∠=∠=,∴三角形为等边三角形.故选:D .【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算,三角形形状的判断.考查了学生综合分析能力,属于中档题.19.B【分析】先化简得0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=,即得点P 为三角形ABC 的垂心.【详解】由于三角形ABC 所在平面内一点P 满足PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅,则()()()0,0,0PA PB PC PB PA PC PC PB PA ⋅-=⋅-=⋅-=即有0,0,0PA CB PB CA PC AB ⋅=⋅=⋅=,即有,,PA CB PB CA PC AB ⊥⊥⊥,则点P 为三角形ABC 的垂心.故选:B.【点睛】本题主要考查向量的运算和向量垂直的数量积,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 20.A【分析】由三角形面积公式和余弦定理可得C 的等式,利用二倍角公式求得tan 2C ,从而求得tan C .【详解】∵222222()2S a b c a b ab c =+-=++-,即22212sin 22ab C a b ab c ⨯⋅=++-, ∴222sin 2ab C ab a b c ⋅-=+-, 又222sin 2sin cos 1222a b c ab C ab C C ab ab +-⋅-===-,∴sin cos 12C C +=, 即22cos sin cos 222C C C =,则tan 22C =,∴222tan2242tan 1231tan 2CC C ⨯===---, 故选:A .【点睛】 本题考查三角形面积公式,余弦定理,考查二倍角公式,同角间的三角函数关系,掌握相应的公式即可求解.属于中档题,考查了学生的运算求解能力.21.B【分析】选取向量AB ,AC 为基底,由向量线性运算,求出BE ,即可求得结果.【详解】13BE AE AB AD AB =-=-,1()2AD AB AC =+ , 5166BE AB AC AB AC λμ∴=-+=+, 56λ∴=-,16μ=,23λμ∴+=-. 故选:B.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,平面向量基本定理,属于基础题.22.D【分析】 根据已知条件可得()222AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅=⋅,整理可得()0BC MC MB ⋅+=,若E 为BC 中点,可知BC ME ⊥,从而可知M 在BC 中垂线上,可得轨迹必过三角形外心.【详解】 ()()()222AC AB AC AB AC AB AC AB BC AM BC -=+⋅-=+⋅=⋅ ()20BC AC AB AM ∴⋅+-=()()0BC AC AM AB AM BC MC MB ⇒⋅-+-=⋅+=设E 为BC 中点,则2MC MB ME += 20BC ME ∴⋅= BC ME ⇒⊥ME ⇒为BC 的垂直平分线M ∴轨迹必过ABC ∆的外心本题正确选项:D【点睛】本题考查向量运算律、向量的线性运算、三角形外心的问题,关键是能够通过运算法则将已知条件进行化简,整理为两向量垂直的关系,从而得到结论. 23.C【分析】利用平面向量的数量积的运算性质可得(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=,从而可得答案.【详解】解:在ABC 中,(CA CB + 2222)()0CA CB CA CB b a -=-=-=, a b ∴=,ABC ∴为等腰三角形,故选:C .【点睛】本题考查三角形形状的判断,考查向量的数量积的运算性质,属于中档题.24.B【分析】延长PB 至D ,可得出点P 是ADC 的重心,再根据重心的性质可得出结论。

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