第二章3问题规约
3sat问题规约
3sat问题规约摘要：1.3-SAT 问题的定义和背景2.3-SAT 问题的特点和挑战3.3-SAT 问题的求解方法和算法4.3-SAT 问题的应用领域正文：1.3-SAT 问题的定义和背景3-SAT（3-way Satisfiability）问题是计算机科学中的一个组合优化问题，它是SAT（Satisfiability）问题的扩展。
在SAT 问题中，给定一个布尔表达式，需要判断该表达式是否可以被一个或多个赋值使得其为真。
而在3-SAT 问题中，我们需要在三个不同的赋值下判断该布尔表达式是否至少有一个赋值使得其为真。
3-SAT 问题广泛应用于计算机科学和人工智能领域，例如在自动推理、模型验证和约束优化等方面具有重要意义。
2.3-SAT 问题的特点和挑战3-SAT 问题具有以下特点：（1）NP 难度：3-SAT 问题属于NP 难度问题，即在多项式时间内可以验证一个解是否正确，但在多项式时间内找到一个解并不一定容易。
（2）高维空间：3-SAT 问题的解空间通常是高维的，这意味着需要在高维空间中搜索解，增加了求解的难度。
（3）局部最优解：3-SAT 问题容易陷入局部最优解，即找到的解虽然满足约束条件，但可能在全局范围内并不是最优的。
针对这些特点和挑战，研究者们提出了许多求解3-SAT 问题的方法和算法，例如基于约束满足问题的求解方法、基于启发式搜索的算法、基于随机化算法的优化方法等。
3.3-SAT 问题的求解方法和算法针对3-SAT 问题的求解，研究者们提出了许多有效的方法和算法，包括：（1）约束满足问题（Constraint Satisfaction Problem，CSP）求解方法：CSP 方法是一种基于约束满足问题的求解方法，通过将3-SAT 问题转化为CSP 问题，然后使用CSP 求解器来求解。
（2）分枝定界法（Branch and Bound）：分枝定界法是一种基于搜索的算法，通过在解空间中进行广度优先搜索，并在搜索过程中剪去不满足约束条件的解。
高等数学a2 规约
高等数学a2 规约
高等数学A2规约是一种将一个数学问题转化为一个更简单或
更易解决的形式的方法。
在高等数学中，规约是一种常用的解题技巧，用于简化复杂的数学问题或证明。
具体来说，规约可以通过以下几种方式进行：
1. 代换：将一个问题中的符号或变量替换为另一个符号或变量，以使问题表达更简洁或易于处理。
例如，利用代换将一个函数的表达式转化为更简单的形式，或将一个方程中的未知数替换为一个已知数来简化求解过程。
2. 化简：利用代数运算、恒等式、特殊函数的性质等，将一个复杂的表达式或方程式化简为更简单的形式。
常用的化简方法包括因式分解、整理项、取共同因子等。
3. 限制条件：在一个问题中引入限制条件，将问题的解空间缩小为更容易处理的范围。
例如，在求解一个函数的最大值时，可以通过限制函数的定义域或通过某些条件使问题更易于求解。
4. 引入辅助构造：通过引入一个辅助变量、函数或图形来简化问题的求解过程。
例如，在证明一个恒等式时，可以通过引入一个辅助函数或构造一个几何图形来简化证明的步骤。
高等数学A2规约的目的是使问题更易于解决或证明，常常能
够帮助学生深入理解数学概念和方法，并提高解题的效率和准
确性。
在实际的数学问题中，规约是一种非常有用的思维工具，可以帮助我们解决复杂的数学难题。
问题归约法
2
3
(122) A
C
B
图 2(a) 移动圆盘 A 和 B 至柱子 2 2. 移动圆盘 C 至柱子 3 的单圆盘问题,如图 2(b)所示.
1
2
3
(122) A
C
B
(322)
1
2
A B
3 C
图 2(b) 移动圆盘 C 至柱子 3 3. 移动圆盘 A 和 B 至柱子 3 的双圆盘问题,如图 2(c)所示.
问题规约法的实质：
从目标（要解决的问题）出发逆向推理，建立子问题以及子问题的子问题，直至最后把初始问题归约为
一个平凡的本原问题集合。 最小的问题或具有明显解答的问题被称为本原问题。
dx 就是一个本原问题，其答案是显而易见的，即 ∫dx=x。
一般地，本原问题是原始问题的子孙问题。因此，问题规约的过程就是在问题空间中不断搜索问题的子 问题和子问题的子问题的过程，直至将原始问题分解为本原问题集合。本原问题的解可以直接得到或通过一 个"黑箱"操作得到。 （2）问题归约表示可由下列 3 部分组成:
一个初始问题描述; 将问题变换为子问题的操作集; 一系列本原问题描述. 问题的归约描述
初始问题集合：初始状态集合 S 算符集合：将问题分解为若干子问题的变换集合 F 本原问题集合：目标状态集合 G 三元组合：（S , F, G） （3）问题规约法与状态空间法
问题归约与前面状态空间描述不同的是,主要其在问题空间中展开对问题的描述和求解。 状态空间法只是研究对问题所陈述的事实\状态如何表示,以及如何搜索状态空间求解;而问题归约法则是 对问题求解中如何将问题逐步分解为一系列子问题\本原问题的集合。 对实际问题求解,可将这两种方法有机结合,如后面讨论到的与或图表示与搜索。 1 与或图的概念 用一个类似图的结构来表示把问题归约为后继问题的替换集合，画出归约问题图。 例：有一个问题 A，它可以通过三种途径来求解： （1）、求解问题 B 和 C （2）、求解问题 D、E 和 F （3）、求解问题 H 这一问题归约为子问题的替换集合关系可由图 4 所示的结构来表示.
3sat问题规约
3sat问题规约（原创实用版）目录1.3-SAT 问题的定义2.3-SAT 问题的约束3.3-SAT 问题的求解方法4.3-SAT 问题的应用领域正文1.3-SAT 问题的定义3-SAT 问题是一种在计算机科学和数学领域中广泛研究的问题。
它是指给定一个由变量和常数组成的公式，要求判断这个公式的值是否为真。
这里的“3”表示该问题中的变量和常数的数量上限是 3。
具体来说，3-SAT 问题包括三个约束：每个变量的取值范围是 0 或 1，每个常数的取值范围是 0 或 1，以及每个公式中至少包含一个变量。
2.3-SAT 问题的约束为了求解 3-SAT 问题，我们需要考虑以下三个约束：(1) 每个变量只能取 0 或 1 的值。
这意味着变量不能取其他任何值，如 0.5 或 -1。
(2) 每个常数只能取 0 或 1 的值。
这与变量的取值范围约束类似，限制了常数的取值范围，从而降低了问题的复杂度。
(3) 每个公式中至少包含一个变量。
这意味着我们不能构造一个只包含常数的公式，因为这样的公式无法判断真假。
3.3-SAT 问题的求解方法求解 3-SAT 问题的方法有很多，其中最著名的是回溯法。
回溯法是一种试探性的搜索方法，通过尝试所有可能的变量取值组合来找到满足条件的解。
具体来说，回溯法从第一个变量开始，尝试所有可能的取值。
然后，对于每个变量的取值，继续尝试下一个变量的所有可能取值。
重复这个过程，直到找到一个满足所有公式的解，或者尝试完所有可能的变量取值组合。
除了回溯法，还有其他一些高效的算法可以用来求解 3-SAT 问题，如 Dancing Links 算法和 Confidence Propagation 算法。
4.3-SAT 问题的应用领域3-SAT 问题在许多领域都有广泛的应用，包括计算机科学、数学、物理学、生物学等。
例如，在计算机科学中，3-SAT 问题可以用来验证电路设计是否正确；在数学中，3-SAT 问题可以用来求解组合优化问题，如旅行商问题（TSP）和 0-1 背包问题；在物理学和生物学中，3-SAT 问题可以用来模拟分子结构和生物网络。
《编译原理》课后习题答案第二章
有代表性的符号串:a,a0,aa,a00,a0a,aa0
习题2
3.(1)E T T/F F/F (E)/F (E+T)/F (T+T)/F (F+F)/F (i+i)/i
(2)E E+T E+T+T E+T*F+F E+T*F+i E+T*T*F+i
M:M(0,a)=1 M(0,b)=2
M(1,a)=1 M(1,b)=4
M(2,a)=1 M(2,b)=3
M(3,a)=3 M(3,b)=2
M(4,a)=0 M(4,b)=5
M(5,a)=5 M(5,b)=1
化简：
1.分化
① {0,1} {2,3,4,5}
② {0,1} {2,4} {3,5}
2.合并
=M(M(D,1),1011)
=M(M(C,1),011)
=M(M(F,0),11)
=M(M(E,1),1)
=M(C,1)
=F
∴DFA D能接受字符串0011011
8.解：将状态转换图列表，即：
由左图可知，该状态转换图直接对应的是确定有穷状态自动机DFA
DFA D=（{0,1,2,3,4,5},{a,b},M,0,{0,1}）
A::=bc|bAc
(2)Z::=AB
A::=ab|aAb
B::=b|Bb
7. 解:题中要求文法是:
Z::=1|3|5|7|9|Z1|Z3|Z5|Z7|Z9|A1|A3|A5|A7|A9
A::=2|4|6|8|A0|A2|A4|A6|A8|Z0|Z2|Z4|Z6|Z8
问题规约课件
0 是初始问题，即要求解的问题;
P是本原问题集，其中的每一个问题是不用证明的，自然成立的，如公理、已
知事实等或已证明过的问题;
O是操作算子集，它是一组变换规则，通过一个操作算子把一个问题化成若干
个子问题。
变换可区分为以下三种情况:
1. 状态变迁 -- 导致问题从上一状态变迁到下一状态，这就是一般图搜索技术中操作算子
的作用。
2. 问题分解 -- 分解问题为需同时处理的子问题,但不改变问题状态。
3. 基于状态变迁的同题分解 -- 先导致状态变迁，再实现问题分解，实际上就是前两个操
作的联合执行。
约和本原问题的求解无交互作用，可按任意次序进行。
然而对于许多复杂问题，子问题仅相对独立，之间仍存在一定的交互作
用。 在这种情况下，正确安排子问题求解的先后次序，甚至孙子问题求
解的次序是重要的。
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问题规约
栗子：梵塔问题
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问题规约
梵塔问题状态空间表示
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问题规约
问题规约是一种广义的状态空间搜索技术，其状态空间可表示为三元组:
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问题规约
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问题规约
问题规(归)约是人求解问题常用的策略，其把复杂的问题变换为若
干需要同时处理的较为简单的子问题后再加以分别求解。只有当这
些子问题全部解决时，问题才算解决，问题的解答就由子问题的解
答联合构成 ，问题规约可以递归地进行，直到把问题变换为本原
问题的集合。所谓本原问题就是不可或不需再通过变换化简的“原
子”问题，本原问题的解可以直接得到或通过一个“黑箱”操作得到。
04
问题规约
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问题规约
通过上面的变换可以看出，问题规约的实质是从目标(要解决的问题)出
np问题规约
NP问题规约NP问题规约是计算复杂性理论中的一个重要概念。
在计算复杂性理论中，P类问题是可以在多项式时间内解决的问题，而NP类问题是可以在多项式时间内验证一个解的问题。
NP问题规约指的是一个问题可以被多项式时间内归约到另一个问题，即一个问题的解可以在多项式时间内被用来解决另一个问题。
1. NP问题和P问题：P问题（可在多项式时间内解决的问题）：这些问题的解法可以在多项式时间内验证。
例如，多项式时间内验证一个给定的数是否是素数就是一个P问题。
NP问题（可在多项式时间内验证的问题）：这些问题的解可以在多项式时间内验证，但我们尚未找到一个能在多项式时间内解决它们的算法。
例如，旅行商问题是一个NP问题，因为如果给定一条路径，我们可以在多项式时间内验证它是否是最短路径。
2. NP问题规约：NP问题规约是指，如果问题A可以在多项式时间内归约到问题B，那么问题A就被规约到问题B。
这通常表示为 $A \leq_p B$。
这意味着，如果我们有一个能够在多项式时间内解决问题B的算法，我们也可以在多项式时间内解决问题A。
3. NP-完全问题：如果一个问题是NP问题，而且所有其他NP问题都可以在多项式时间内规约到它，那么这个问题被称为NP-完全问题。
证明一个问题是NP-完全的经典方法是通过展示它是一个NP问题，然后证明它是NP-困难的。
一个著名的NP-完全问题是布尔可满足性问题（SAT）。
4. 应用和重要性：问题等价性证明：NP问题规约在证明问题等价性中起着关键作用。
通过将一个问题规约到另一个已知的问题，我们可以证明它们是等价的。
算法设计：了解NP问题规约有助于设计更有效的算法。
如果我们可以将一个新问题规约到一个已知的问题，我们可以利用已知问题的算法来解决新问题。
计算复杂性理论：NP问题规约是计算复杂性理论中一项基础工具，有助于理解问题的相对难度和可解性。
总体而言，NP问题规约是计算复杂性理论中的一个强大的概念，它有助于我们理解问题的相对难度，设计高效的算法，并证明问题之间的等价性。
3.5-问题归约.ppt
3.5.2 AND-OR图表示
K连接弧：对应于某 个给定集合的各节点，用 一个连接它们的圆弧来标 记。一般而言，这种弧叫 K连接弧，表示对问题A 由某个操作算子作用后产 生K个子问题。 这样，连接C1与C2 和C3、C4、C5 的圆弧分 别叫2连接弧和3连接弧。
11
如图3.7所示：问题C1和C2 构成后继问题的一个集合，问题C3、 C4和C5 构成另一后继问题集合；而问题C6 则为第三个集合。
29
2014-3-19
3.5.3 与或图的启发式搜索
算法实现过程
(1)G=n0, LGS为空集；
(2)若n0是终节点，则标记n0是能解节点，否则计算 f(n0)=h(n0)，并把G作为0号候选局部解图加进LGS；
(3)若n0标记为能解节点，则算法成功返回；
(4)选择LGS中fi(n0)最小的待扩展解图G’；
2014-3-19
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3.5.2 AND-OR图表示
图3.6 子问题替换集合的结构
图3.7 各节点后继只含一个K-连接弧 的AND-OR图
图3.6到图3.7的变换过程
2014-3-19 13
3.5.2 AND-OR图表示
3、弧连接的子节点 叫与节点。如图3.7中C1 、 C2 及C3、C4、C5 。 4、K=1的连接弧连
25
3.5.3 与或图的启发式搜索
与或图中搜索的是解图，不是解答路径，估算评 价函数f(n)的第一分量g(n)就没有意义了，所以：
评价函数：f(n)=h(n)
其中h(n)是对n到终节点集合解图中最小解图代价的估计；
与或图中存在“或”关系，会有多个候选的局部 解图；
3sat问题规约
3sat问题规约【实用版】目录1.3-SAT 问题的定义和背景2.3-SAT 问题的约束条件3.3-SAT 问题的解决方案4.3-SAT 问题的应用领域正文1.3-SAT 问题的定义和背景3-SAT（3-satisfiability problem）问题是计算机科学中的一个经典问题，属于 NP 困难问题。
该问题旨在求解给定一组 3-CNF（3-CNF 是3-变量合取范式的简称，是逻辑公式的一种表示形式）公式，是否存在一组变量赋值，使得所有公式均满足。
换句话说，就是判断给定的 3-CNF 公式是否有解。
3-SAT 问题在计算机科学和逻辑推理领域具有广泛的应用，例如在程序验证、自动推理和约束满足问题等方面都有重要的作用。
2.3-SAT 问题的约束条件3-SAT 问题的约束条件主要包括以下几点：（1）变量个数：3-SAT 问题的输入公式中，变量的个数必须是 3 的倍数。
这是因为在 3-CNF 表示中，每个公式的变量个数必须是 3 的倍数，否则无法表示为 3-CNF。
（2）公式个数：3-SAT 问题的输入公式中，公式的个数可以是任意个数。
（3）变量值域：3-SAT 问题中，变量的取值范围是{0, 1, 2}，即每个变量可以取 0、1 或 2 三个值中的一个。
（4）公式约束：3-SAT 问题的输入公式必须满足以下约束条件：a.每个公式中的变量个数必须是 3 的倍数；b.每个公式中的变量出现在不同的位置，即每个变量在每个公式中只出现一次；c.每个公式的逻辑运算符只能是“与”（∧）或“或”（∨）。
3.3-SAT 问题的解决方案针对 3-SAT 问题，有许多算法和方法可以用来求解。
其中，较为著名的方法有：（1）回溯法：回溯法是一种试探性的搜索算法，通过逐个尝试变量的可能取值，来寻找满足所有公式的解。
该方法的优点是可以找到问题的解，但缺点是计算量较大，对于大规模问题求解效率较低。
（2）Dancing Links 算法：Dancing Links 算法是一种基于动态规划的算法，通过将问题分解为子问题，并利用子问题的解来推导原问题的解。
人工智能导论第二章
• 2.1 知识和知识表示 • 2.2 状态空间表示 • 2.3 问题归约表示 • 2.4 谓词逻辑表示 • 2.5 语义网络表示 • 2.6 产生式表示 • 2.7 框架表示 • 2.8 面向对象表示
2021/2/28
人工智能导论第二章-
1
产生式
2.6 产生式表示
• 产生式通常用于表示事实、规则以及它们 的不确定性度量，适合于表示事实性知识 和规则性知识。
THEN 该动物是食肉动物
r7： IF 该动物是哺乳动物 AND 有蹄 THEN 该动物是有蹄类动物
r 8： IF 该动物是哺乳动物 AND 是反刍动物
THEN 该动物是有蹄类动物
2021/2/28
人工智能导论第二章- 刘珊
12
规则库
2.6 产生式表示
r9： IF 该动物是哺乳动物 AND 是食肉动物 AND 是黄褐色
2021/2/28
人工智能导论第二章- 刘珊
5
产生式的形式描述及语义
——巴科斯范式BNF
2.6 产生式表示
<产生式>::= <前提> <结论> <前 提> :: = <简单条件>|<复合条件> <结 论> :: = <事实>|<操作> <复合条件> :: = <简单条件>AND<简单条件>[AND<简单
AND 身上有暗斑点
THEN 该动物是金钱豹
r10：IF 该动物是哺乳动物 AND 是食肉动物 AND 是黄褐色 AND 身上有黑色条纹 THEN 该动物是虎
r11： IF 该动物是有蹄类动物 AND 有长脖子 AND 有长腿 AND 身上有暗斑点 THEN 该动物是长颈鹿
请简述问题归约表示法的基本概念
问题归约表示法是一种常用于人工智能领域的知识表示方法，它通过将实际问题和知识进行逻辑推理和推导，从而使计算机能够理解和解决具体问题。
本文将从基本概念入手，对问题归约表示法进行简要介绍。
一、问题归约表示法的定义问题归约表示法是指将一个大问题分解为若干个小问题，再将这些小问题依次进行求解，最终合并得到大问题的解决方案的方法。
这种表示法的思路是将问题分解、分而治之，通过逻辑推理和关系推导来实现问题求解的过程。
二、问题归约表示法的基本概念1. 分解大问题问题归约表示法首先需要对大问题进行分解，将其分解成若干个小问题，每个小问题可以独立处理或者依赖于其他小问题。
这种分解可以根据问题的结构、特性和求解难度来进行，通常是将问题分解成相对简单、容易解决的子问题。
2. 逻辑推理在问题分解之后，需要对每个小问题进行逻辑推理，即根据已知的事实和规则，推导出新的结论和解决方案。
逻辑推理是问题归约表示法的核心部分，它通过对知识和规则进行逻辑运算，从而得到问题的求解过程和结果。
3. 合并求解经过逻辑推理得到每个小问题的解决方案之后，还需要将这些解决方案合并起来，得到大问题的解决方案。
这个过程通常涉及到对各个小问题之间的关联和依赖关系进行分析和整合，以确保得到的解决方案是符合整个大问题要求的。
三、问题归约表示法的应用领域问题归约表示法在人工智能领域有着广泛的应用，尤其是在专家系统、推理系统和搜索算法等方面。
它通过逻辑推理和问题分解的方式，使计算机能够模拟人类的思维方式，有效地解决复杂的问题和推理任务。
1. 专家系统专家系统是一种基于问题归约表示法的人工智能系统，它通过将专家的知识和经验进行表示和推理，来实现类似专家的决策和问题求解能力。
问题归约表示法在专家系统中扮演着重要的角色，它通过逻辑推理和问题分解，使专家系统能够模拟人类专家的思维和决策过程。
2. 推理系统推理系统是指能够进行逻辑推理和推导的人工智能系统，它通常用于对知识和规则进行推理，从而获得新的结论和解决方案。
问题归约法
7
图 2.10 梵塔问题归约图
8
基于梵塔难题的问题归约演示程序
9
2.2.2 与或图表示
与图、或图、与或图： 一般地，我们用一个类似图的结构来 表示把问题归约为后继问题的替换集合， 这种结构图叫做问题归约图，或叫与或图。 如下图所示:
10
图 2.13 子问题集合
图 2.14
与或图
11
一些关于与或图的术语
AND/OR图搜索算法变成了下列形式。
34
算法 AND/OR图搜索： 第 1 步：把仅由初始节点构成的未解图放进 OPEN 表； 第2步：从OPEN表中取出一个节点，设为g。如果 OPEN 表是空的，则求解以失败告终；如果 g 是 图解，则求解以成功告终。 第3步：扩展g，得到未解图的集合。对这些未解 图进行评估，并将无解图以外的子节点放入 OPEN表； 第4步：返回第2步。
3
梵塔难题
有3个柱子(1，2和3)和3个不同尺寸的圆盘（A，B和 C）。在每个圆盘的中心有一个孔，所以圆盘可以堆叠在 柱子上。最初，3个圆盘都堆在柱子1上：最大的圆盘C在 底部，最小的圆盘A在顶部。要求把所有圆盘都移到柱子3 上，每次只许移动一个，而且只能先搬动柱子顶部的圆盘， 还不许把尺寸较大的圆盘堆放在尺寸较小的圆盘上。这个 问题的初始配置和目标配置如图2.6所示。
我们能够容易地对图2.18进行分析，以得到算符的
解答序列：{goto(b),pushbox(c),climbbox,grasp}
25
图2.18 猴子和香蕉问题的与或图
26
作为AND/OR 图搜索的具体例子，我们来说明文 章的构成问题。这里是根据设定的文法规则来构 成文章的。例如有下列一些文法。 R1：<名词句>→<冠词><名词> R2: <谓语> → <动词><名词句> R3: <主语> → <名词句> R4: <主语> → <代名词> R5:<文> → <主语><谓语> R6：<名词> → man R7：<名词> → mouse R8：<代名词> → she R9：<动词> → caught R10：<冠词> → the
人工智能 知识表示方法----问题规约法
子节 点
H
N
M
E
F
G
第三讲知识表示方法----问题规约法
有解节点
t
t
t
t
t
t t （b）
t
（a）
t
与或图例子 无解节点 终叶节点
第三讲知识表示方法----问题规约法
• 不可解节点的一般定义 –没有后裔的非终叶节点为不可解节点。 –全部后裔为不可解的非终叶节点且含有或后 继节点，此非终叶节点才是不可解的。 –后裔至少有一个为不可解的非终叶节点且含 有与后继节点，此非终叶节点才是不可解的。 • 与或图构成规则
• （1）要把所有圆盘都移到柱子3，必须 先柱子3空，然后移C到柱子3； • （2）将圆盘A，B移至柱子2，才能移C 到柱子3； • （3）然后将C移到柱子3。
第三讲知识表示方法----问题规约法
• • • • • • •
初始状态S=（111） 目标状态G=（333） 规约过程： (111）(122)，双圆盘问题 (122）(322)，单圆盘问题 (322）(333)，双圆盘问题
• 问题归约的实质：
–从目标(要解决的问题)出发逆向推理，建立子问 题以及子问题的子问题，直至最后把初始问题归 约为一个平凡的本原问题集合。
第三讲知识表示方法----问题规约法
• 梵塔难题
1 A B C
2
3
第三讲知识表示方法----问题规约法
•
1
2
3
1
2
3
•
S =(111)
G=(333)
第三讲知识表示方法----问题规约法
第三讲知识表示方法----问题规约法
关键算符 辨别问题规约过程中的路标的算符。 设f为关键算符，则Gf为f适用的所有状态 的集合，问题规约： （S，F，G）
第二章 问题归约法
汉诺塔问题
归约过程（3个圆盘）
汉诺塔问题
汉诺塔问题归约图
C B A
与或图 本原问题
本原问题
梵塔问题的答案
问 题
一圆盘问题要走几步，两圆盘问题要走几步？ 三个、四个、…、六十四个圆盘呢？ 移动圆盘次数 圆盘个数 1 1 2 22-1=3 3 23-1=7 … … 64 264-1
264-1=18446744073709551615 一年=365*24*60*60=31536000秒 18446744073709551615÷31536000≈584942417355年
与或图
子问题替代集合结构图
F
G
问题归约法
一些关于与或图的术语
起始节点 对应于原 始问题描 述
终叶节点对应于本原问题
问题归约法
与或图的构成规则
1）与或图中的每个节点代表一 个要解决的单一问题或问题集合。 图中所含起始节点对应于原始问 题A 。 2）对应于本原问题的节点称为 终叶节点，它没有后继节点。
问题归约法
问题归约法举例： 汉诺塔问题（ Hanoi ）
从1移到3
1 A B C
2
3
每次移动一个盘子
大盘在下小盘在上
C B A 初始状态（111） 目标状态（333）
汉诺塔问题
原始问题可以归约为下列3个子问题： 子问题1：移动圆盘A和 B 至柱子2（借助柱子3）
子问题2：移动圆盘C至柱 子3 子问题3：把圆盘A和B移至 柱子3（借助柱子1）
问题归约法
不可解节点
没有后裔的非终叶节点为不可解节点。 如果某个非终叶节点含有或后继节点，那么只有当其全 部后裔为不可解时，此非终叶节点才是不可解的。 如果某个非终叶节点含有与后继节点，那么只要当其后 裔至少有一个为不可解时，此非终叶节点才是不可解的。
人工智能之问题规约策略
一般地，本原问题是原始问题的子孙问题。因此， 问题规约的过程就是在问题空间中不断搜索问题的子问 题和子问题的子问题的过程，直至将原始问题分解为本 原问题集合。
§01 PRA 的基本思想
1.3 规约：
化解复杂问题
问题规约的基本思想是：将大问题或复杂问题分解 为小的或简单的本原问题集合。 问题规约方法和状态空间法具有共同的特征，这就
§02 PRA 自学要点
(一) PRA 问题的形式化
关于本原问题：
所谓本原问题，是指具有明显解答的问题，或有
现成答案的问题，有现成解决方案的问题。
从计算机实现的角度来讲，在计算机数据库 (或方
法库或知识库) 中已经给出了解答的问题，即可视为本 原问题。 例如，对于不定积分问题， dx 就是一个本原问题， 其答案是显而易见的，即： dx=x。
因此，状态空间法作为一种人工智能问题求解方法，
仍然存在一定的局限性，特别是在求解大问题或复杂问 题的能力上。
§01 PRA 的基本思想
1.2 模拟人的复杂问题求解行为
PRA 面向复杂问题
问题规约是人类处理或求解大问题或复杂问题的一 种常用的方式。
人们常常将大的问题或复杂的问题分解为一系列小
的或简单的问题，然后，分别加以处理或求解。 一个大的问题常常是由一些小的问题构成的，一个 复杂的问题常常是由一些简单问题构成的。这些小的问 题或简单的问题就是大问题或复杂问题的子问题。
态树生长的过程，是问题状态近乎几何级数地生长的过 程，是被搜索的状态空间恶性膨胀的过程
§01 PRA 的基本思想
1.1 PRA与状态空间法
Three-S 的局限性
随着状态空间的膨胀，数量巨大的问题状态需要占 用计算机大量的资源，包括存储空间和运行时间。 特别的，对大的问题或复杂的问题，其状态空间中 问题状态的数量之大，甚至可能令当代最大的计算机也 难以承受。
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一 问题规约
№2
概念： 把复杂的问题变换为若干需要同时处理的较为 简单的子问题后再加以分别求解 问题的解答就由子问题的解答联合构成 问题归约可以递归地进行，直到把问题变换为 本原问题的集合 本原问题就是不可或不需再通过变换化简的" 原子"问题
问题归约的描述
№3
SP = ( S , O ) S--在问题求解（即搜索）过程中所有可达的合法 状态 构成的集合 O--操作算子的集合，操作算子的执行导致状态的 变迁
№ 18
二 与或图搜索
№ 19
可以把 与或图视为对一般图的扩展
№ 20
与或图基本概念：
（1） K-连接 --用于表示从父节点到子节点间的连接， 也称为父节点的外向连接，并以园弧指示同父子节点 间的“与”关系
K大于1的连接也称为超连接 K等于1时超连接蜕化为普通连接 而当所有超连接的K都等于1时，与或图蜕化为一 般图
№ 25
(3) 能解节点 • 终节点是能解节点； • 若节点n有一外向K-连接指向子节点n1，n2，…nk,
且这些子节点都是能解节点，则n是能解节点；
(4) 不能解节点 • 非终节点的叶节点是不能解节点； • 若节点n的每一个外向连接都至少指向一个不能解
节点，则n是不能解节点。
三 与或图的启发式搜索
LGS选择fi(n0)最小的待扩展局部解图作为G'； (5) G'中选择一个非终节点的外端节点（尚未
用于扩展出子节点的节点）作为n；
№ 29
(6) 扩展n，生成其子节点集，并从中删去导致有 环的子节点以及和它们有“与”关系的子节点；
若子节点集为空，则n是不能解节点，从LGS删 去G’(因为G’不可能再扩展为解图)；否则，计 算每个子节点 ni的f(ni),并通过建立外向K-连接 将所有子节点加到G中；
(∫x2dx - ∫dx + ∫(1/(1 + x2))dx） = -cosx + cos3x/3 + x3/3 - x + arctgx
归约为若干本原积分问题——可利用积分表直接求出原 函数
(3)分子结构识别问题
№ 17
有机化合物的分子结构往往很复杂，一个高 分子可以包含成百上千个原子。常会遇到多种分 子结构不同的物质具有相同的化学公式--分子式
C (D, L) C (B, M) B (M, M) Z (B, B, M) 画出相应于该重写问题的与或图，指出解图并给出 解答。
№ 12
与或图去掉自节点(c)到节点(D)和(L)的连接符的其余部 分就是解图 解答为(M,M,M,M,M,M,M,M,M,M)
举例说明
№ 13
（1）梵塔问题
• 问题状态可以通过子问题状态的联合加以表示 • 操作算子的执行则导致问题的变换
№4
变换可区分为以下三种情况：
（1） 状态变迁 导致问题从上一状态变迁到下一状态，这就是一般
图搜索技术中操作算子的作用
（2） 问题分解 分解问题为需同时处理的子问题，但不改变问题状态
（3） 基于状态变迁的问题分解 先导致状态变迁，再实现问题分解，实际上 就是前
能代价
该算法的实现过程如下：
(1) G := n0，LGS为空集；
№ 28
(2) 若n0 是终节点，则标记 n0为能解节点；
否则计算f(n0) = h(n0), 并把G作为0号候选局部解
图加进LGS；
(3) 若 n0 标记为能解节点，则算法成功返回； (4) 若LGS为空集，则搜索失败返回；否则从
(2 2 3) (1 2 3), (1 2 3) (1 3 3)、(1 3 3) ( 3 3 3),
现在所有子问题均为本原问题
（2）符号积分问题
№ 16
∫（sin3x + x4/(x2 + 1)）dx =∫sin3xdx + ∫(x4/(x2 + 1))dx =∫-(1 - cos2x)dcosx + ∫(x2 - 1 + 1/(1 + x2))dx =(∫-dcosx + cos2xdcosx) +
№ 24
(2) 解图代价: 以C(n)指示节点n到终节点集合解图的 代价，并令K-连接的代价就为K, 则有：
• 若n是终节点，则C(n) = 0
• 若n有一外向K-连接指向子节点n1，n2，…nk,且这些 子节点每个都有到终节点集合的解图,则
C(n) = K + C(n1) + C(n2) + … + C(nk)
f(n) = K + h(n1) + h(n2) + … + h(nk)
注意：h(n)是最小解图代价的估计
与或图启发式搜索的算法AO*
№ 27
设： G--指示搜索图 G'--被选中的待扩展局部解图 LGS--候选的待扩展局部解图集 n0--指示根节点，即初始状态节点 n--被选中的待扩展节点 fi(n0)--第i个候选的待扩展局部解图的可
(A) (G) ， (B) (H) ， (D) (x) ， (F) (x y z)， (H) (x x)， (J) (z z)，
№7
求解重写问题的与或图
№8
(A B C) (A)(B C),
(A B C) (A)(B)(C),
(A)(D) (F), (A)(G)， (B C)(E) ， (B)(H)， (C)(I)(J)(K) 。
解图、解图代价、能解节点和不能解节点的定义
№ 23
(1)解图：与或图（记为G）任一节点（记为n）到终节 点集合的解图（记为G’）是G的子图。
• 若n是终节点，则G’就由单一节点n构成； • 若n有一外向K-连接指向子节点n1，n2，…nk,且这些
子节点每个都有到终节点集合的解图，则G’由该k连接和所有这些相应于子节点的解图构成； • 否则不存在n到终节点集合的解图。
新扩展出的节点n计算h(n), 以用于修正fi(n0); 而 A*则需同时计算分量g(n)和h(n)，以评价
节点n是否在代价最小的路径上。
№ 35
（4）排序内容不同 AO*应用LGS存放候选的待扩展局部解图，
并依据fi(n0)值排序； 而 A* 则 应 用 OPEN 表 和 CLOSE 表 分 别 存 放
(7) 若存在j个（j>1）外向K-连接, 则从LGS删去 G‘，并将j个新局部解图加进LGS；
№ 30
(8) 在G’中或在取代G’的j个新局部解图中用公式 f(n) = K + h(n1) + h(n2) + … + h(nk)的计算结果 取代原先的f(n)，并传递这种精化的作用到 fi(n0)（i = 1, 2, …, j）；同时将作为终节点的子 节点标记为能解节点，并传递节点的能解性。
（2）根、叶、终节点 根节点：无父节点的节点，用于指示问题的初始
状态 叶节点：无子节点的节点，目标状态由一组节点
联合表示 终节点：用于联合表示目标状态的节点，终节点
必定是叶节点
№ 22
（3） 解图的生成
自根节点开始选一外向连接，并从该连接指向的 每个子节点出发，再选一外向连接，如此反复进行， 直到所有外向连接都指向终节点为止
(9) 返回语句（3）。
举例
№ 31
h(n0)=3, h(n1)=2, h(n2)=1, h(n3)=1, h(n4)=4 h(n5)=2, h(n6)=2, h(n7)=1, h(n8)=1, h(n13)=3,
算法应用的若干问题
№ 32
1）从局部解图中选择加以扩展的节点 2）AO*算法的可采纳性 满足h(n)<=h*(n) 3）搜索算法AO*与A*的比较 4）解图代价的重复计算
№ 14
问题：三个柱子标记为1、2、3 尺寸为小、中、大的三个圆盘标记为A、B、C 初始状态下三个盘按A、B、C顺序堆放在1号柱子上
目标状态下三个盘以同样次序顺序堆放在3号柱子上
规则： 每次只能搬一个盘子，且较大盘不能压放在较
小盘之上
求解：
№ 15
三元素列表作为数据结构描述问题状态，三个元 素依次指示盘子A、B、C所在的柱子编号
№ 33
搜索算法AO*与A*的比较
（1）应用领不同
AO*应用于与或图搜索，且搜索的是解图；
A*则应用于一般图（或图）搜索，且搜索的是解 答路径。 （2）扩展条件不同
AO*选择估算代价最小的局部解图加以优先扩展； A*选择估算代价最小的路径加以优先扩展。
№ 34
（3）是否需要计算g(n) AO*不需考虑评价函数f(n)的分量g(n),只需对
如此梵塔问题描述为（1 1 1） （3 3 3）
归约为三个子问题（1 1 1） （2 2 1）、（2 2 1） （2 2 3）和（2 2 3）（3 3 3）
第1、3二个子问题再分别归约为子子问题如下： （1 1 1）（3 1 1）、（3 1 1）（3 2 1）、
（3 2 1） （2 2 1），即依次搬A盘到柱子3，B盘 到柱子2，A盘到柱子2；
待扩展节点和已扩展节点，并依据f(n)值排序
№9
紧凑的与或图
结论
№ 10
在字母重写问题的规约过程中，各子 问题相互独立，所以子问题的进一步归约 和本原问题的求解无交互作用，可按任意 次序进行
然而，对于其他复杂的问题，还需要 考虑各子问题求解的次序
练习
№ 11
设某字母重写问题的初始状态为（C, B, Z），目标 状态是只含字母M的列表，给定以下重写规则，
二个操作的联合执行
问题归约的例子：字母重写问题
№5
初始状态为字母列表（A B C）， 目标状态为只包含字母x、y、z的字母列表 操作算子分为两类：