第5章 数组和广义表

5．4．1稀疏矩阵的存储方法 ． ． 稀疏矩阵的存储方法
1．三元组顺序表 在压缩存放稀疏矩阵非零元的同时，若还 存放此非零元所在的行号和列号，则称为三 元组表法，即称稀疏矩阵可用三元组表进行 压缩存储，然而，它是一种顺序存储(按行优 先顺序存放)。由一个非零元的行号、列号、 值组成一个三元组，整个稀疏矩阵中非零元 的三元组合起来称作三元组表。
(2)只存放上三角部分。对于对称矩阵，除了 可以用下三角形式存放外，还可以用上三角 形式存放，这时a[0][0]存入s[0]，a[0][1]存入 s[1]，a[0][2]存入s[2]，…，如图5-7所示。 这时s[k]与a[i][j] 的对应关系可以按下面方法 推出： 当i≤j时， aij在上三角部分中，前面共有i行， 共有n+(n-1)+…+(n- (i-1)) = i×n-i×(i-1)／2 个元素，而aij是本行第j-i个元素，故k=i×ni×(i-1)／2+j-i，当i>j时，交换i与j即可。故s[k] 与a[i][j]的对应关系为：
只要给出一组下标便可求得相应数组元素 的存储位置。下面以行序为主序的存储结 构为例，说明如何由下标计算相应数组元 素的存储地址。 假定每个数据元素占L个存储单元，则二 维数组A中任意元素aij的存储地址由下式确 定 LOC[i，j]=LOC[0，0]+( b2×i+j)×L
其中，LOC[i，j]是aij的存储地址；LOC[0， 0]是a00的存储地址，即二维数组A的起始存 储地址，也称为基址, b2是数组第二维的长 度。 推广到一般情况，就可得到n维数组的数据 元素存储地址的计算公式(知道即可)
转置矩阵
0 14 0 0 − 5 0 −7 0 0 0 36 0 0 28 0
0 0 14 − 7 0 0 0 0 − 5 0 36 0 0 28 0
用“三元组”表示 0 0 1 2 2 1 4 1 0 3 14 -5 -7 36 28 0 1 1 3 4 2 0 1 2 0 36 14 -7 28 -5
当一个数组的每一个数组元素都含有两个 下标时，该数组称为二维数组。 可以把一个二维数组看成是每个数据元素 都是相同类型的一维数组的一维数组，这 样，也可以把二维数组看作为一个线性表。 依此类推，一个三维数组可以看作是一个 每个数据元素都是相同类型的二维数组的 一维数组。 如图5-l
在C++语言中，一个二维数组可以定义为其 分量类型为一维数组的一维数组类型，即 typedef ElemType Array2 [m][n]； 这个定义等价于 typedef ElemType Arrayl [n]； typedef Arrayl Array2[m]； 即定义了一个长度为m的线性表,表中的每 个元素是一个长度为n的线性表。
十字链表(不采用循环链表 十字链表 不采用循环链表) 不采用循环链表
M.chead
^
M.rhead
0 03
0 35
^^
1 1 -1
^^
2 02
^^
3 0 0 5 0 -1 0 0 2 0 0 0
稀疏矩阵中同一行的非零元通过向右的行指 针链接成一个带表头结点的循环链表。同一 列的非零元也通过列指针链接成一个带表头 结点的循环链表。 为了运算方便，我们规定行、列循环链表的 表头结点和表示非零元的结点一样，也定为 五个域，且规定行、列、域值为0，并且将所 有的行、列链表和头结点一起链成一个循环 链表。 书上图5-9
5．3．1 特殊矩阵 ． ． 特殊矩阵通常有以下几种： (1)对称矩阵：矩阵A是一个对称矩阵，当且 仅当对于所有的i和j有A(i，j)= A(j，i)。 (2)上三角矩阵：矩阵A是一个上三角矩阵， 当且仅当i>j时，有A(i，j)=0, 即主对角线的 左下方元素均为零元素的矩阵。 (3)下三角矩阵：矩阵A是一个下三角矩阵， 当且仅当i<j时，有A(i，j)=0,即主对角线的 右上方元素均为零元素的矩阵。
数据类型可描述如下： const int maxSize=100; //定义非零元的 最大数目 struct Node //定义一个三元组 { int i，j； //非零元行、列号 int v： //非零元的值 }；
struct SparMatrix //定义稀疏矩阵 { int rows，cols； //稀疏矩阵行、 列数 int terms； //稀疏矩阵非零 元个数 Node data[maxSize]； //三元组表 }；
2.十字链表的概念和C++类定义 当稀疏矩阵中非零元的位置或个数经常变动 时，三元组就不适合作稀疏矩阵的存储结构 了，此时采用十字链表作为存储结构是一种 较好的方法。在该方法中，每一个非零元用 一个结点表示，结点中除了表示非零元所在 的行、列和值的三元组(i，j，v)外，还需增加 两个链域：行指针域，用来指向本行中下一 个非零元素；列指针域，用来指向本列中下 一个非零元素。
5．4 稀疏矩阵
在实际应用中，经常会遇到一类矩阵：其矩 阵阶数很大，非零元个数较少，零元很多， 但非零元的排列(分布)没有一定规律，我们称 这一类矩阵为稀疏矩阵。 按照压缩存储的概念，要存放稀疏矩阵的 元素，由于没有规律，除存放非零元的值外， 还必须存储适当的辅助信息(行、列号)，才能 迅速确定一个非零元是矩阵中的哪一个位置 上的元素。
5．2数组的顺序存储与寻址
数组具有有序性，即数组中每个元素是有序 的，并且元素之间的次序是不能改变的。对 数组的操作除创建和销毁外,只有取数组中某 一元素和修改某一元素的值的操作,没有插入 和删除操作,因此，采用顺序存储结构表示数 组是最好的方式。
由于计算机内存单元是一维的结构，而数 组可能是一维的也可能是多维的，所以用 一组连续存储单元存放数组的数据元素就 有排列顺序的问题。 二维数组有两种存储方式：一种以列序为 主序的存储方式，即先存储第一列数据元 素，接着存储第二列数据元素，最后存储 第n列数据元素,另一种是以行序为主序的存 储方式，先存储第一行数据元素，接着存 储第二行数据元素，最后存储第m行数据元 素,如图5-2所示。 各种语言存储方式不同
5．4．2基于三元组表的稀疏矩阵的转置 矩阵转置是一种最简单的矩阵运算。对于一 个m×n的矩阵M，它的转置矩阵N是一个 n×m的矩阵，且N(i，j)=M(j，i)，1≤i≤n， 1≤j≤m。很明显，一个稀疏矩阵的转置矩阵 仍然是一个稀疏矩阵。
要实现三元组顺序表示矩阵的转置，只 需实现以下三点： (1)将矩阵的行列值相互交换； (2)将每个三元组中的i和j相互调换； (3)重新排列三元组之间的顺序便可实现矩 阵的转置。 有两种实现稀疏矩阵的转置的方法。 设a和b分别是转置前和转置后的三元组。
void transpose(SparMatrix a，SparMatrix b) {// a和b分别是转置前和转置后的三元组表 b.rows=a.cols； b.cols=a.rows； b.terms=a.terms； if(b.terms>0) { int bnoBiblioteka Baidu0；
for(int col=0；col<a.cols；col++) //按列扫描 for(int ano=0；ano<a.terms；ano++) //对三 元组表扫描 if(a.data[ano].j= =co1) //进行转置 { b.data[bno].j=a.data[ano].i； b.data[bno].i=a.data[ano].j； b.data[bno].v=a.data[ano].v； bno++； }
5．3 特殊矩阵及其压缩存储
矩阵是一个二维数组，矩阵可以用行优先顺序或列 优先顺序的方法顺序存放到内存中，但是，当矩阵 的阶数很大时，将会占用较多的存储单元。而当里 面的元素分布呈现某种规律时，从节约存储出发， 可考虑若干元素共用一个存储单元，即进行压缩存 储。压缩存储是指：为多个值相同的元素只分配一 个存储空间，值为零的元素不分配空间。但是，在 进行压缩存储时，虽然节约了存储单元，但要在压 缩存储后直接访问数组元素, 还必须给出压缩前下 标(二维数组的行、列)值和压缩后一维数组的下标 值之间的变换公式。
一般地，可以借助线性表的概念递归地定 义n维数组： 一个n维数组是一个元素可直接寻址的线性 表 A = ( A1,A2, … ,An) 若Ai 是简单元素(不是数组), 则A是一维数组, 若Ai 是k-1维数组, 则A是k维数组, 其中 i=1,2,…,n, k是大于0的整数。
数组的性质： (1)数组中的数据元素数量固定。一旦定义 了一个数组，它的维数和维界就不能再改 变，只能对数组进行存取元素和修改元素 值的操作； (2)数组中的数据元素具有相同的数据类型； (3)数组中的每个数据元素都和一组唯一的 下标对应； (4)数组是一种随机存储结构，可随机存取 数组中的任意数据元素。
1. 按照列序进行转置 按照表b.data的三元组的次序，依次在表 a.data中找到相应的三元组，然后进行转置， 即按照矩阵M的列序来进行转置。由于M的 列即为N的行，在表a.data中，按列扫描，所 以得到的b.data必按行主序存放。为了找到M 的每一列中所有的非零的元素，每次都必须 从头到尾扫描M的三元组表，算法的C++代码 如下：
(2)下三角矩阵。 与上面推导类似,下三角矩阵中s[k]和aij之间 的对应关系为 3．对角矩阵的压缩存储(了解) 总而言之，对特殊矩阵如对称矩阵、三角矩 阵、对角矩阵等的压缩方法是：找出这些特 殊矩阵中元素的分布规律，把那些有一定分 布规律的、值相同的元素(包括零元素)压缩存 储到一个存储空间中。这样的压缩存储只需 要在算法中按公式作一个映射，即可实现矩 阵元素的随机存取。
仅以行主序存放分两种方式讨论。 （1）只存放下三角部分。由于对称矩阵关于 对角线对称，故只需存放主对角线及主对角 线以下的元素。这时，a[0][0]存入s[0]， a[1][0]存入s[1]，a[1][1]存入s[2]，…， 如图5-6所示。
从上面的对应关系容易推出：当i≥j时，aij在 下三角部分中，aij前面有i行，共有 1+2+3+…+i个元素，而aij是第i行的第j个元素， 即有k=1+2+3+…+i+j=i(i+1)/2+j；当i<j时，aij 在上三角部分中，但与a对称，故只需在下三 角部分中找aij即可，故只需将i与j交换即可， 即k=j(j+1)/2+i。
第5章 数组和广义表
数组和广义表可以看成是线性表的推广， 它们与前面讨论的线性结构不同，前面的线 性结构是原子类型的，而数组和广义表的数 据结构是结构化类型的，即元素的值是可以 再分解的。
5．1数组的定义及抽象数据类型表示
5．1．1 数组的定义 ． ． 数组(Array)是由一组类型相同的数据元素构成的有 数组 限序列，且该有限序列存储在一块地址连续的内存 单元中。数据元素可以是整数、实数等简单类型， 也可以是数组、结构等构造类型。数组元素在数组 中的相对位置由其下标来确定。 若数组只有一个下标，这样的数组称为一维数组， 把数据元素的下标变成线性表中的位序，则一维数 组就是一个线性表。
• 2．三角矩阵的压缩存储 • (1)上三角矩阵。 • 上三角矩阵中，主对角线之上的第p行(0≤p<n) 恰有n-p个元素，按行主序存放上三角矩阵中的 元素aij时，aij元素前有i行(从第0行到第i-1行)， 一共有(n-0)+(n-1)+(n-2)+…+(n-i+1)= i (2n-i+1) ／2个元素；在第i行上，aij之前恰有j-i个元素(即 aii，aii+1，…，aij-1)，因此有s[i (2n-i+1)／2+ji]= aij。 • 所以，地址k的计算公式为
(4)对角矩阵：对角矩阵是所有的非零元均 集中在以对角线为中心的带状区域中的n阶 方阵。即除了主对角线上和直接在对角线 上、下方若干条线上的元素之外，所有其 他的元素皆为0。
5．3．2 特殊矩阵的压缩存储 ． ．
1．对称矩阵的压缩存储 设矩阵An×n是对称的，对称的两个元素可以共用 一个存储单元，这样，原来n阶方阵需n2个存储单 元，如采用压缩存储，仅需n(n+1)/2个存储单元， 节约将近一半存储空间。 将n阶对称方阵存放到一个向量空间s[0]到 s[n(n+1)/2一1]中，并找到s[k]与a[i][j]的一一对应关 系从而使在s[k]中直接访问a[i][j]的方法。