第5章 数组和广义表

5.1数组的定义
一维数组的特点： 1个下标，ai 是ai+1的直接前驱 二维数组的特点： 2个下标，每个元素ai,j受到两个关系 （行关系和列关系）的约束 N维数组的特点： n个下标，每个元素受到n个关系约束 一个n维数组可以看成是由若干个n－1维数组组成的线性 表 当n=1时，n维数组就退化为定长的线性表。因此，n维数 组是线性表的扩广
• 按对角线映射 A[i - 2] i j 1 A[n i 2], i j M (i, j ) A[2 * n i 2], i j - 1 0， otherwise 14 19 5 8 3
A[3j- 2] i j 1 A[3 j 3], i j 2 4 23 7 9 M (i, j ) A[3 j 4], i j - 1 • 按列优先映射 0， ot herwise
按行主次序 2 4 7 23 9 19 14 8 5 3
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
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5.3.1特殊矩阵
4、对称矩阵 只存储上三角/下三角部分 存储映射方式参照上三角/下三角矩阵 例如，只存储下三角，按行主次序，则

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5.3.1特殊矩阵
例、将一个A[1..100,1..100]的三对角矩阵，按行优先存入一 维数组B[1…298]中，A中元素a66,65（即该元素下标i=66， j=65）在B数组中的位置k为 B 。 A、198 B、195 C、197 D、196 例、已知有一维数组A[0…m*n-1]，若要对应为 m 行、n 列的 矩阵，则下面的对应关系 A．i=k/n, j=k％m 可将元素A[k](0≤k<m*n)表示 B．i=k/m, j=k％m 成矩阵的第 i 行、第j列的元素(0≤i<m，0≤j<n)。
数组基址 aij之前的行数 总列数，即 第2维长度 aij本行前面的 元素个数 单个元 素长度
二维数组列优先存储的通式为： LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*L
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5.2数组的顺序表示和实现
例：设二维数组 A[m][n]按行优先顺序存储，假设A[0][0]存放 位置在 644(10)， A[2][2]存放位置在 676(10)，每个元素占一个空 间，问A[3][3](10)存放在什么位置？脚注(10)表示10进制。 解：设元素A[i][j]存放在起始地址为Loc ( i, j ) 的存储单元中 ∵ Loc ( 2, 2 ) = Loc ( 0, 0 ) + 2 * n + 2 = 644 + 2 * n + 2 = 676. ∴ n = ( 676 - 2 - 644 ) / 2 = 15 ∴ Loc ( 3, 3 ) = Loc ( 0, 0 ) + 3 * 15 + 3 = 644 + 45 + 3 = 692. 例：设二维数组A[10,20]的每个元素占两个字节， A[0][0]的存 储地址为100，若按行优先顺序存储，则元素A[6,6]的存储地址 为 352 ，按列优先顺序存储，元素A[6,6]的存储地址为 232 。 (6*20+6)*2+100=352 (6*10+6)*2+100=232
数组的抽象数据类型定义参见教材P90
6
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5.2数组的顺序表示和实现
以行序为主序 如C, PASCAL
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5.2数组的顺序表示和实现
以列序为主序 如FORTRAN
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5.2数组的顺序表示和实现
若二维数组a[n][m]以行序优先存储：
a[0][0] a[1][0] a[ 2][0] a[ n 1][0] a[0][1] a[1][1] a[ 2][1] a[0][m 1] a[1][m 1] a[ 2][m 1] a[ n 1][m 1]
4
0 7 0 0 0 0 19 0 0 0 0 3
2
7 19 3
[0] [1] [2] [3]
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5.3.1特殊矩阵
2、三对角矩阵 只存储三个对角线上的元 素（按行存储）； 一维数组空间需要： (3n-2) *sizeof(T) 1 2 3 4 M 1 2 23 0 0 2 4
Loc(aij)=Loc(a11)+[(j-1)*m+(i-1)]*K （尽管是方阵，公式不同） 例：设数组a[1…60, 1…70]的基地址为2048，每个元素占2 个存储单元，若以列序为主序顺序存储，则元素a[32, 58] 8950 的存储地址为 。 答：请注意审题！ 利用列优先通式： LOC(aij)=LOC(ac1，c2)+[(j-c2)*(d1-c1+1)+i-c1)]*L 得：LOC(a32,58)=2048+[(58-1)*(60-1+1)+32-1)]*2＝8950
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5.1数组的定义
由于数组中各元素具有统一的类型，并且数组元素的下 标一般具有固定的上界和下界；除了结构的初始化和销 毁之外，数组只有存取元素和修改元素值的操作，因此， 数组的处理比其它复杂的结构更为简单。多维数组是向 量的推广。例如，二维数组：
(a11 (a 21 ( ... a m1 (
数据结构
软件学院 2013.9
第5章 数组和广义表
数组的定义
数组的顺序表示和实现
矩阵的压缩存储 广义表的定义 广义表的存储结构
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2
数组和广义表：特殊的线性表 元素的值并非原子类型，可以再分解，表中元 素也是一个线性表（即广义的线性表） 所有数据元素仍属同一数据类型 高级语言中的数组是顺序结构； 而本章的数组既可以是顺序的，也可以是链式结 构，用户可根据需要选择
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5.3矩阵的压缩存储
矩阵是科学与工程计算问题中常用的数学对象。在高级语 言编制程序时，简单而又自然的方法，就是将一个矩阵描 述为一个二维数组 什么是压缩存储？ 若多个数据元素的值都相同，则只分配一个元素值的 存储空间，且零元素不占存储空间 所有二维数组（矩阵）都能压缩吗？ 未必，要看矩阵是否具备以上压缩条件。 什么样的矩阵具备以上压缩条件？ 一些特殊矩阵，如：对称矩阵，对角矩阵，三角矩阵 ，稀疏矩阵等。 什么叫稀疏矩阵？ 矩阵中非零元素的个数较少（一般小于5%）
A[3i 4] i j 1 A[3i 3], i j M (i, j ) A[3i 2], i j - 1 0， ot herwise
3 0 4 0
7 9 0
14 0 19 8 5 3
A 2 23 4 7 14 9 19 8 5 3
M ( j, i) A[ j ( j 1) / 2 i 1], i j M (i, j ) A[i(i 1) / 2 j 1], i j
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5.3.1特殊矩阵
特殊矩阵压缩存储小结：

只存储上三角/下三角部分； 找出特殊矩阵中特殊元素的分布规律； 把有一定分布规律的、值相同的元素（包括零）压 缩存储在一个存储空间中； 在算法中按公式作一映射即可实现矩阵元素的随机 存取。
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5.3.1特殊矩阵
对角矩阵：所有非0元素都在对角线上，即当i≠j 时有M(i, j) = 0 。 三对角矩阵： | i - j | > 1 时有M(i, j ) = 0 下三角矩阵： i < j 时有M (i, j ) = 0 上三角矩阵： i > j 时有M (i, j ) = 0 对称矩阵： M (i, j ) =M (j, i )
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5.3.1特殊矩阵
3、三角矩阵
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5.3.1特殊矩阵
下三角矩阵：只存储对角线以下的元素： 1 1 2 2 3 4
0 0 0 2 4 7 0 0 3 23 9 19 0 4 14 8 5 3
M
A
0, i j M (i, j ) A[i(i 1) / 2 j 1], i j
a
a[ n 1][1]
若每个元素占L个存储单元，则有： LOC (i, j ) = LOC(0,0) + (m ×i + j)L
aij的存储地址
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a00的存储地址 (基地址或基址)
5.2数组的顺序表示和实现
无论规定行优先或列优先，只要知道以下三要素便可随时求 出任一元素的地址（这样数组中任一元素便可随机存取）： ①开始结点的存放地址（即基地址） ac1,c2 … ac1,d2 ②维数和每维的上、下界； Amn= … aij … ③每个数组元素所占用的单元数 ad1,c2 … ad1,d2 计算二维数组元素地址的通式: 设一般的二维数组是A[c1..d1, c2..d2]，c1、c2不一定是0 则行优先存储时的地址公式为： LOC(aij)=LOC(ac1,c2)+[(i-c1)*(d2-c2+1)+j-c2)]*L
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5.1数组的定义
n维数组的数据类型定义:
n_ARRAY = (D, R)
其中：
Fra Baidu bibliotek
数据对象：D = {aj1,j2…jn| ji为数组元素的第i 维下标 ， aj1,j2…jn Elemset }
数据关系：R = { R1 ,R2，…. Rn } Ri = {<aj1,j2,…ji…jn , aj1,j2,…ji+1…jn >| aj1,j2,…ji…jn , aj1,j2,…ji+1…jn D } 基本操作：构造数组、销毁数组、读数组元素、写数组元素
)
a12
Amn
a 22 ... am2
可以看成是由一个行向量组成的向量，也可以看成是由 一个列向量组成的向量。
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4
(
( ( (
(
) ) )
)
... ... a1n ) ... ... a 2 n ) ... ... ... ) ) ... ... a mn
[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9]
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5.3.1特殊矩阵
另外的存储映射方式 1 1 2 3 4
4
9
5
2
7 19 3 23 14 8
2 23 0 0 4 7 14 0 2 3 0 9 19 8 0 0 5 3 4
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5.3.1特殊矩阵
对称矩阵示例：任意两个城市之间的距离可以用一个 6 ×6 的矩阵来表示。矩阵的第i行和第i列代表第i个城市， distance (i, j ) 代表城市i和城市j之间的距离。
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5.3.1特殊矩阵
1、对角矩阵 使用二维数组：空间需要n2*sizeof(T) 压缩存储：只存储对角线上的元素 使用一维数组：空间需要n*sizeof(T) M(i,i) =A[i-1] 1 2 3 4 A M 1 2 0 0 0 2 3
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5.2数组的顺序表示和实现
例：一个二维数组A，行下标的范围是1到6，列下标的范 围是0到7，每个数组元素用相邻的6个字节存储，存储器按 字节编址。那么，这个数组的体积是 288 个字节。 答： Volume=m*n*L=(6-1+1)*(7- 0 +1)*6=48*6=288 例：已知二维数组Am,m按行存储的元素地址公式是： Loc(aij)= Loc(a11)+[(i-1)*m+(j-1)]*K , 按列存储的公式是？