弱测量原理及应用-北京大学物理学院

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二, 弱测量原理[2,3]
弱测量由下面两条假设构成: 被测系统S, 测量仪器A， [假设1] 测量作用很弱，即假设相互作用强度弱而且时 间短暂，由 决定的 中 ； [假设2] 在测量作用后，对被测系统S态作如下的后选 择：ψ out S。测量前后S的初末态既不会彼此全同，也不能 彼此完全正交。但仪器可区分态应正常工作。 弱测量所得的测量值称为弱值。由于被测系统S的初末 态不完全相同，弱值一般是复数。可证它等于
USA ( t ) ∑ cn ωn
n
S
Φ( x)
− i λωn PA = = c ω e Φ( x) ∑ n n S A ˆ n
A
= ∑ cn ωn
n
S
Φ ( xn )
A
ˆ 和 ˆ 的测量值 x（和 ）就关联起来。 X 由此， ΩS A ω
按Born法则：观测A位置变量x将导致A的可区分态塌 缩，例如塌缩到 并得到 xk ，而S被测态向对应本征 态 关联塌缩，得到相应数值 。假定对x的观测精度足 以分辨全部本征值ω ，就实现了用A对S的 Ω S 作测量。
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2, 典型例子——Stern-Gerlach装置对电子 自旋的测量 [1]
σz
Bz = λ z
Hi = −λμ zσ z
∂H i ˆ F =− = λμσ z ∂Z
ˆ =F ˆ t ；l ≈ P z
σ z = ±1
ˆ F m t2
⎧ ⎧i ˆ ⎫ ⎧i ˆ ⎫ ⎧ i ˆ⎫ ⎫ lP α β α β exp ⎨ zP 0 exp 0 exp + + − ⊗ = + ⊗ + − ⊗ } ⎨ ⎨ ⎨ − lPz ⎬ 0 ⎬ z ⎬{ z⎬ ⎩= ⎭ ⎩= ⎭ ⎩ = ⎭ ⎭ ⎩ = {α + ⊗ l + β − ⊗ − l
如果中间x方向磁场逐渐减弱最后消失，情况如何？
n
n！ S
ψf
( AS )
( iq )
n
ψ in ψf
exp ( − q 2 4Δ 2 )
=
S
ψ f ψ in
S
∑
n
n
( AS )
n
ψ in
S
S
n！ S
1n
max
S
ψ f ψ in
n
S
ψ f ψ in
exp ( − q 2 4Δ 2 )
S
⎡ψ ⎣ f
( AS )
ψ in
⎤ S⎦
Δ
S
⎛ ⎞ S ψ f AS ψ in S ⎟ exp ( − q 2 4Δ 2 ) ψ f U S ( t ) ψ in S ≅ S ψ f ψ in S ⎜ 1 + iq ⎜ ψ f ψ in S ⎟ S ⎝ ⎠ ⎛ S ψ f AS ψ in ⎞ S ψ f U S ( t ) ψ in S S ⎟ exp − q 2 4Δ 2 ≅ exp ⎜ iq ⎜ ψ f ψ in S ψ f ψ in S ⎟ S S ⎝ ⎠
ψ f U S ( t ) ψ in
S
= S ψ f exp − i ∫ dt H = ψ in = S ψ f exp {iq S AS } ψ in
= S ψ f exp {iqS AS } ψ in =∑
n
{
}
2 2 exp − q 4 Δ ( ) S
S
exp ( − q 2 4Δ 2 )
S
( iq )
弱测量原理及应用
张永德 中国科学技术大学, 近代物理系
1
一,引言━━von Neumann正交投影 测量
1, von Neumann正交投影测量模型[1]
用A观测量子系统S的可观测量 Ω S ，在S- A之间要有适 之间 当的“测量Hamiltonian” ,使S的可观测量和A的位置指示器 ˆ P ˆ 量之间产生耦合 H i = λΩ S A 。耦合作用导致的本征态和可区分 态之间产生量子纠缠。量子纠缠使我们能够通过测量指示器 变数x来制备力学量 Ω S 数值 ω i 的本征态 ωi S。 设初始时刻A的状态和S的叠加态合成大系统S-A，处于孤 立系能量本征态的可分离态，
ˆ 这个复数强烈地依赖于初末态预选择和后选择。其实，它甚至可能很大于 Ω S 的所有本征值，假如初态和末态接近于正交的话。这就是常说的弱测量的放大 作用。
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证明:
S
(1
Δ ( 2π )
14
) exp ( −q
2
4Δ
2
)ψ
,
in S
H = −δ ( t ) qAS
2 2 exp − q 4 Δ ( ) S
(
)
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▲ 三个Stern-Gerlach的peres相干叠加[4]
⎧ ⎫ ⎛ 1⎞ 1 ⎧ 1 ⎛ 1⎞ 1 ⎛ 1⎞ z z x x z x x + = ⇒ + + = = + + − = = − ， ； ， ⎪ ⎨ ⎬⇒ A ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 1 − 2⎩ 2⎝ ⎠ 2⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎭ ⇒⎨ ⎫ ⎛ 0⎞ 1 ⎧ 1 ⎛ 1⎞ −1 ⎛ 1 ⎞ ⎪ +x = − − z， −x = ⎜ ⎟ = +x ； ⎜ ⎟ = − −x ⎬⇒ B ⎪ − z = ⎜ 1 ⎟ ⇒ 2 ⎨ − z， 1 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎩ ⎭ ⎩ ⎧ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎫ z x z z x z + ， + =⎜ ⎟ + ， − ， + =⎜ ⎟ ⎪ ⎪+ ， 0 1⎪ ⎝ ⎠ ⎝ 0⎠ ⎪ A⇒ ⎨ ⎬ 2⎪ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞⎪ + x， − z = ⎜ ⎟ + z， − x， − z = ⎜ ⎟⎪ ⎪ + z， ⎝ 1⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎭ ⎩ ⎧ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎫ z x z z x z − + + = − − − + = − ， ， ， ， ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ 1⎪ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎪ B⇒ ⎨ ⎬ 2⎪ ⎛ 0⎞ ⎛ 0 ⎞⎪ + x， − z = ⎜ ⎟ − − z， − x， − z = − ⎜ ⎟⎪ ⎪ − z， 1 ⎝ ⎠ ⎝ −1 ⎠ ⎭ ⎩
ϕ
S
⊗ Φ ( x)
A
= ∑ ci ω i
i
S
⊗ Φ ( x)
A
2
ˆ 相互耦合。这时，相互作 ˆ 和对A的动量 P H i中被测量 Ω A S 用图象的时间演化算符简化为 USA ( t ) ∝ exp{−iHi t =} 。演化中， ˆ → ω 后转化为对A态 U SA ( t ) 先作用到态 ωn S，代以本征值 Ω S n 的空间平移算符，再向 Φ ( x ) A作用将x平移。于是，原先可分 离态就演化成为纠缠态。即（xn ≡ x − λω n）