归纳-猜想-论证-沪教版教案
上海市崇明区横沙中学高二数学学案：7.6归纳——猜想——论证缺答案
7．6 归纳-—猜想——论证
一、概念
在数学问题的探索中，为了寻求一般的规律，往往先考察一些特例,进行归纳,形成猜想，然后再去证明这些猜想正确与否。
一些与正整数有关的等式也可以通过这样的途径得到。
这就是归纳-—猜想—-论证的原理.
二、举例
例1、依次计算数列 ,1234321,12321,121,1++++++++++++的前四项的值,由此猜想，123)1()1(321++++-++-++++= n n n a
n 的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。
例2、已知数列 )13)(23(1,,1071,741,411+-⨯⨯⨯n n ,设n S 为该数列的前n 项和，计算4321,,,S S S S 的值，根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数
学归纳法加以证明.
三、课堂练习
1、（1）分别计算8642,642,42,2++++++的值.
（2）根据（1)的计算,猜想n 2642++++ 的表达式；
（3）用数学归纳法证明你的猜想。
2、(1）分别计算7531,531,31,1+-+--+-+--的值。
（2）根据(1）的计算,猜想)12()1(7531-+-+-+-=n a n n 的表达式；
（3)用数学归纳法证明你的猜想。
3、在数列}{n
a 中，*),2()1(22,111N n n n n n a a a n n ∈≥+++==- (1）求432,,a a a ；（2）猜想数列}{n a 的通项公式)(n f a n =,前用数学归纳法
证明你的猜想.
四、课外作业.
练习册15、16页，7。
6 归纳—-猜想-—论证A 组1、2、3、4及B
组1、2题。
沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.6归纳—猜想—论证
沪教版高二年级第一学期领航者第七章7.6归纳—猜想—论证学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．观察下列等式：211=，2132+=，21353++=，213574+++=，可以猜想：()13521n +++⋅⋅⋅+-=______.2．在数列{}n a 中，已知11a =，22a =.若()1223,n n n a a a n n *--=-≥∈N ，则3a =______，4a =______，5a =______，进而猜想n a =______. 3．根据下列各式的规律：==归纳猜想用(),2n n n *∈≥N 表示的等式为______.4．计算前几项：1，234++，34567++++，⋅⋅⋅等各项的值，可以猜想第n 个式子为______. 5．若()33xf x x =+，11x =，()1n n x f x -=，分别计算2x ，3x ，4x ，进而猜想n x =______.二、单选题6．猜测()24441111921n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦对n N ∈且1n ≥成立的一个表达式为（ ） A ．2n n+-B ．2121n n +- C ．2121n n +-- D ．11n n +-- 7．证明命题2n <n 的取值范围为（ ）A ．1n >B ．2n >C ．15n >D ．16n >8．猜测使2n a n >对任意正整数n 恒成立的最小正整数a 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5三、解答题9．（1）分别计算数列1-，13-+，135-+-，1357-+-+各项的值； （2）根据（1）的计算猜想()()1357121nn a n =-+-+-⋅⋅⋅+--的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想.10．已知数列{}n a 满足112a =，()112,21n nn a a n n a *--=≥∈+N . （1）求2a 、3a ，4a ；（2）猜想出通项公式n a ，并用数学归纳法加以证明. 11．已知()()()()()()11111,121231f n g n f f f n n f n =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-⎡⎤⎣⎦-. （1）写出()2g ，()3g ，()4g 的值； （2）归纳()g n 的值，并用数学归纳法加以证明.12．已知数列{}n a 满足()21n a n n =+，是否存在等差数列{}n b ，使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立？请证明你的结论.参考答案1．2n 【解析】 【分析】由题意结合所给的等式进行归纳猜想即可. 【详解】观察所给的等式可得，等式的右侧结果为：22221,2,3,4,，据此可猜想第n 个等式当左侧为()13521n +++⋅⋅⋅+-时右侧为2n . 故答案为：2n ． 【点睛】本题主要考查类比推理与归纳的方法，属于中等题. 2．3 4 5 n 【分析】由题意首先计算345,,a a a 的值，据此猜测n a 的值即可. 【详解】由题意可得：32122213a a a =-=⨯-=，43222324a a a =-=⨯-=，54322435a a a =-=⨯-=，据此可猜想n a n =. 故答案为3,4,5，n ． 【点睛】本题主要考查类比推理与归纳猜想，属于中等题.3．= 【分析】由题意利用所给式子的规律确定用n 表示的等式即可. 【详解】 观察所给的等式，对于等式左侧：若根号外部为n ，则根号内分子部分为n ，分母部分为21n -， 对于等式右侧：第一项为n ，第二项的分子部分为n ，分母部分为21n -，据此可得用(),2n n n *∈≥N 表示的等式为=.故答案为：=． 【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，属于基础题. 4．()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=- 【分析】首先计算所给的算式的值，然后猜想第n 个式子即可. 【详解】计算题中所给的算式的值：()21211=⨯-，()22349221++==⨯-，()23456725231++++==⨯-，据此可猜想第n 个式子为()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=-. 故答案为：()()()213221n n n n +++⋅⋅⋅+-=-． 【点睛】归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 5．32n + 【分析】首先利用所给的关系式计算2x ，3x ，4x 的值，然后猜想n x 的值即可. 【详解】由题意可得：()()213133113422x f x f ⨯=====++，()323333343453234x f x f ⨯⎛⎫===== ⎪+⎝⎭+， ()433333353464235x f x f ⨯⎛⎫===== ⎪+⎝⎭+，且3112=+， 据此可猜想：32n x n =+. 故答案为：32n +．【点睛】本题主要考查归纳推理的方法，递推关系及其应用，函数值的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6．C 【分析】由题意分别令1,2n n ==考查所给的选项是否符合题意，排除错误选项即可确定满足题意的表达式. 【详解】当1n =时，()244441111319121n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=-=-⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦， 考查所给的选项，当1n =时，221213,3,32121n n n n n n +++-=-=-=---，而11n n +--无意义，据此可排除BD 选项，当2n =时，()2444445111111919321n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋅⋅⋅-=--=-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⎢⎥⎣⎦， 考查选项AC ，当2n =时，22152,213n n n n ++-=--=--， 据此可排除A 选项， 故选：C . 【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，排除法解选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7．D由题意结合选项利用特殊值排除错误选项即可确定自然数n 的取值范围. 【详解】注意到当16n =时，2221616n ====，不满足2n <据此可排除选项ABC . 故选：D . 【点睛】本题主要考查排除法解选择题的方法，属于基础题. 8．B 【分析】由题意结合选项利用特殊值排除选项A ，然后利用数学归纳法证明选项B 正确即可. 【详解】注意到当2,4a n ==时，2n a n >不成立，则2a =不合题意， 当3a =时，不等式即23n n >， 当1n =时，不等式即31>， 当2n =时，不等式即94>，下面用数学归纳法证明该式对于*,3n N n ∈≥成立， 当3n =时，不等式即279>，明显成立， 假设()*3,n k k k N=≥∈时不等式成立，即23kk >,则当1n k =+时，123333k k k +=⋅>， 而()()222*31221k k k k k N-+=--∈，结合二次函数的性质可知，当2k >时，22221222210k k -->⨯-⨯->，故当*3,k k N ≥∈时，()()2222310,31k k k k -+>>+.综上可得，23n n >对任意的n 均成立. 则最小正整数a 的值为3. 故选B .本题主要考查数学归纳法的应用，排除法处理选择题的技巧等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．（1）1-，2，3-，4；（2）()1nn a n =-；（3）证明见解析. 【分析】(1)由题意计算所给的各项的值即可； (2)结合(1)中的结果即可猜想n a 的表达式；(3)利用数学归纳法分别证明当1n =和2n ≥时命题成立即可证得(2)中的猜想. 【详解】（1）由已知计算可得：11-=-，132-+=，1353-+-=-， 13574-+-+=，（2）根据（1）的计算猜想()()()13571211nnn a n n =-+-+-⋅⋅⋅+--=-.（3）下面用数学归纳法证明：()()()135791211nnn n -+-+-+⋯+--=-.①当n =1时，由(1)得原式成立； ②假设当n =k 时，原式成立， 即()()()135791211kkk k -+-+-+⋯+--=-，那么，当n =k +1时，()()()()1135********kk k k +-+-+-+⋯+--+-+()()()11121kk k k +=-+-+()()1121k k k +=--++()()111k k +=-+，故n =k +1时，原式也成立，由①②知()()()135791211nnn n -+-+-+⋯+--=-对*n N ∈都成立．1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法. 10．（1）214a =，316a =，418a =；（2）12n a n=，证明见解析. 【分析】(1)由题意利用递推关系式即可求得2a 、3a ，4a 的值；(2)结合(1)中的结果首先猜想数列的通项公式，然后利用数学归纳法进行证明即可. 【详解】(1)由题意可得：1211121214212a a a ===+⨯+，2321141216214a a a ===+⨯+， 3431161218216a a a ===+⨯+； (2)结合(1)的结果可猜想数列的通项公式为：12n a n=，下面用数学归纳法进行证明：当1n =时，111212a ==⨯满足题意， 假设n k =时假设成立，即12k a k=，则当1n k =+时，()111212121212k k k a k a a k k+===++⨯+， 则1n k =+时等号也成立， 综上可得，12n a n=对任意的*n N ∈都成立. 【点睛】本题主要考查数列中的递推关系，归纳推理的方法，数学归纳法的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．（1）()22g =，()33g =，()44g =；（2）()g n n =，证明见解析. 【分析】(1)由题意结合所给的条件首先求得()()()2,3,4f f f 的值，然后求解()2g ，()3g ，()4g 的值即可；(2)结合(1)中的结果首先猜想()g n 的值，然后用数学归纳法加以证明即可. 【详解】 (1)由题意可得： f (1)=1，13(2)122f =+=，1111(3)1236f =++=，11125(4)123412f =+++=. 1(2)(1)2(2)1g f f ∴=⨯=-，1(3)[(1)(2)]3(3)1g f f f =+=-，1(4)[(1)(2)(3)]4(4)1g f f f f =++=-.(2)由(1)猜想g (n )=n (n ⩾2). 下面利用数学归纳法证明： ①当n =2时，猜想成立；②假设当*,)2(n k k N k =∈时，g (k )=k . 即1()[(1)(2)(1)]()1g k f f f k k f k =++⋯+-=-，∴f (1)+f (2)+…+f (k −1)=kf (k )−k ， 则当n =k +1时，1(1)[(1)(2)()](1)1g k f f f k f k +=++⋯++-1[(1)()]1()11k f k k f k k =⋅+-+-+=k +1，因此当n =k +1时，命题g (k +1)=k +1成立. 综上可得：*n N ∀∈，g (n )=n (n ⩾2)成立. 【点睛】本题主要考查递推关系的应用，归纳推理的应用，数学归纳法的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 12．存在，31n b n =+，证明见解析. 【分析】由题意，首先令n =1,2,3来猜想数列的通项公式，然后利用先猜后证的方法证明猜想的通项公式成立即可. 【详解】假设存在等差数列{b n },使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立. 当n =1,2,3时,1121231234;182;48123a b a b b a b b b ====+==⋅+⋅+. 联立解得1234,7,10b b b ===. ∴公差d =7−4=3， ∴b n =4+3(n −1)=3n +1. ∴nb n =3n 2+n .以下验证猜想的正确性：()22212123(1)122n b b n b n n n +++⋯++⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅=⨯ (1)(21)(1)362n n n n n +++=⨯+2(1)n n =+n a =∴存在等差数列{b n },其通项公式为b n =3n +1,使1212n n a b b n b =⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅对一切正整数n 都成立. 【点睛】本题主要考查等差数列的应用，先猜后证的应用，递推关系的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。
高二数学上册 7.5《数学归纳法的应用》沪教版
7.5数学归纳法的应用一、教学内容分析1． 本末节的重点是用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.教学时应付书写与表达提出严格的要求.尤其是在证明数或式的整除性时，更要注意说理清楚，并以此作为培育学生逻辑推理能力的一个抓手.2． 本末节的难点是用数学归纳法证明数或式的整除性.冲破难点的关键是在讲课时要重点分析“补项法”的证明思路：通过补项为运用归纳假设制造条件.不要让学生单纯机械地仿照.另外还经常使用作差方式，通过相减后，证明差能被某数（或某式）整除,再利用归纳假设可适当n=k+1时命题成立.二、教学目标设计1．会用数学归纳法证明等式；2．会用数学归纳法证明数或式的整除；3．进一步把握数学归纳法的证明步骤与数学归纳法的实质.三、教学重点及难点：用数学归纳法证明等式、证明数或式的整除.四、教学流程设计五、教学进程设计1．温习回忆：用数学归纳法证明命题的两个步骤，是缺一不可的.若是只完成步骤（i ）而缺少步骤（ii ）不能说明命题对从等式证明 复习回顾 实例引入 数式整除运用与深化(例题解析、巩固练习、课后习题)n 0开始的一切正整数n 都成立.如(2)2n +1，当n=0、一、二、3、4时都是素数，而n=5时，(2)2n +1=641×6700417不是素数.一样只有步骤（ii ）而缺少步骤（i ），步骤（ii ）的归纳假设就没有依照，递推就没有基础，就可能得出不正确的结论.如2+4+6+…+2k=k 2+k+a （a 为任何数）2．教学新课:用数学归纳证明等式例1:用数学归纳法证明:1×4+2×7+3×10+…+n （3n+1）=n （n+1）2例2：用数学归纳法证明：12+22+32+…+n 2=16n （n+1）（2n+1）. [说明]上述两例师生一起讨论完成.完成两例讨论后向学生指出：(1)由于证明当n=k+1等式成立时，需证明的结论形式是已知的，只要将原等式中的n 换成k+1即得，因此学生在证明过程中，证明步骤必需完整，不能跳步骤；（2）有些等式证明题在证明当n=k+1正确时，需用恒等变形，技术较高，对基础较差的学生来讲完成很困难，这时可通过左、右边的多项式乘法来完成.如 求证：2213++…221(21)(41)3n n n +-=- （n ∈N *）. 证明：（1） 当n=1时，左侧=1，右边=13×1×（4-1）=1等式成立. （2） 假设当n=k （k ∈N *）时等式成立，即2222113(21)(41)3k k k +++-=-, 那么n=k+1时，又21(1)[4(1)1]3k k ++-即2222221135(21)(21)(1)[4(1)1]3k k k k ++++-++=++-等式成立. 由（1）（2）知，等式对任何n ∈N*都成立.(3) 用数学归纳法证明恒等式成立时，在逆推动程中应注意等式左右的项数的转变.由当n=k 到n=k+1时项数的增加量可能多于一项，各项也因n 的转变而转变,因此要依照等式的特点认真分析项数及各项的转变情形. 例如：求证：111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++…………（n N ∈*）. 例3 （补充）在1与9之间插入2n-1个正数数1221,n a a a -……，使1，1221,n a a a -……，9成等比数列，在1与9之间又插入2n-1个正数1221,n b b -……b ，使1，1221,n b b -……b ，9成等差数列.设1232-1()n f n a a a a =……，1232-1(),*n g n b b b b n N =∈……,（1） 求()f n 、()g n（2） 设()9()4()17F n f n g n =++，是不是存在最大自然数m ，使关于n ∈N *都有()F n 被m 整除，试说明理由.解：（1）123232221()n n n f n a a a a a a ---=（2）2121()9()4()17934(105)173403n n F n f n g n n n -+=++=⋅+-+=+-当n=1时，(1)F =64当n=2时，(2)F =320=5×64当n=3时，(3)F =36×64由此猜想：最大自然数m=64用数学归纳法证明上述猜想：1.当n=1时，猜想显然成立;2.假设当n=k （k ∈N *）时成立，即21()3403k F k k +=+-能被64整除， 那么当n=k+1时，2321(1)340(1)39(3403)64(51)k k F k k k k +++=++-=+---+ 由归纳假设知213403k k ++-能被64整除，又64(51)k -+也能被64整除，因此(1)F k +也能被64整除.由一、2知，21()3403n F n n +=+-能被64整除（n ∈N *）.又因为(1)64F =，因此存在最大自然数64，使()F n 能被64整除（n ∈N *）.[说明]本例是较难的数列与数学归纳法的综合题.在第（1）小题的解题进程中充分利用了等差、等比数列的性质，起到了对等差、等比数列知识的温习作用.本例也能够先将等差、等比数列的公差d 、公比q 用n 表示，然后求出()f n 、()g n （可让学生完成），同时本例的第（2）小题既温习了用数学归纳法证明数式的整除性，又为进一步把握归纳—猜想—论证的问题提供了保证，是不是选用此题教师可依照学校学生的实际数学学习水平决定.3.巩固练习:练习7.6(2)1,2,34．课后习题：习题7.5 A 组 习题7.5 B 组5.课堂小结:（1）本节中心内容是数学归纳法的应用，数学归纳法适用的范围是：证明某些与持续自然数有关的命题；（2）归纳法是一种由特殊到一样的推理方式，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有靠得住性，必需用数学归纳法进行严格证明; 归纳法是有一系列特殊事例得出一边结论的推理方式，它属于归纳推理.而数学归纳法它是一种演绎推理方式，是一种证明命题的方式！因此，它不属于“不完全归纳法”！乃至连“归纳法”都不是！(3)学归纳法作为一种证明方式，它的大体思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必需是两步，最后还要总结；数学归纳法证题的步骤：①验证P(0n )成立.②假设P(k)成立(k∈N *且k≥0n )，推证P(k+1)成立.数学归纳法的核心，是在验证P(0n )正确的基础上，证明P(n)的正确具有递推性(n≥0n ).第一步是递推的基础或起点，第二步是递推的依据.因此，两步缺一不可，证明中，恰本地运用归纳假设是关键.(4)本节课所涉及到的数学思想方式有：递推思想、分类讨论思想、函数与方程思想从这节课的学习中你有何感想？你可否体会到数学归纳法的魅力？六．教学设计说明1．数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方式．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方式的应用．可是咱们以为不能把教学进程看成方式的灌输，技术的操练．对方式作简单的灌输，学生必然疑虑重重．什么缘故必需是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么明白n=k 时命题成立呢？教师又不能不作出说明，可学生仍未完全同意．学完了数学归纳法的学生又往往有应该历时但想不起来的问题，等等．为此，咱们假想强化数学归纳法产生进程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、熟悉当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．如此不仅使学生能够看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为利用它打下良好的基础，而且能够强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生进展创新能力的良机．数学归纳法产生的进程分二个时期，第一时期从对归纳法的熟悉开始，到对不完全归纳法的熟悉，再到不完全归纳法靠得住性的熟悉，直到如何办终止．第二时期是计谋酝酿，从介绍递推思想开始，到熟悉递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤终止．把递推思想的介绍、明白得、运用放在要紧位置，必然对明白得数学归纳法的实质带来指导意义，也是在教学进程中尽力挖掘、渗透隐含于教学内容中的数学思想的一种尝试．2．在教学方式上，那个地址运用了在教师指导下的师生一起讨论、探讨的方式．目的是在于增强学生对教学进程的参与程度．为了使这种参与有必然的智能度，教师应做好发动、组织、引导和点拨．学生的思维参与往往是从问题开始的，尽快提出适当的问题，并提出思维要求，让学生尽快投入到思维活动中来，是十分重要的．这就要求教师把每节课的课题作出层次分明的分解，并选择适当的问题，把课题的研究内容落于问题中，在慢慢展开中，引导学生用已学的知识、方式予以解决，并取得新的进展．本节课的教学设计也想在这方面作些研究．3．明白得数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必需用到n=k时命题成立那个条件．即n=k+1时等式也成立．这是不正确的．因为递推思想要求的不是n=k，n=k+1时命题到底成立不成立，而是n=k时命题成立作为条件可否保证n=k+1时命题成立那个结论正确，即要求的这种逻辑关系是不是成立．证明的要紧部份应改成以上明白得不仅是正确熟悉数学归纳法的需要，也为第二步证明进程的设计指明了正确的思维方向．。
高考专题-数学归纳法-沪教版教案
数学归纳法一.知识梳理(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1° P(n°)成立(奠基)2°假设P(k)成立(k>n°)，可以推出P(k+1)成立(归纳),则P( n)对一切大于等于n o的自然数n都成立(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明*恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等二、典型例题讲解【例1】证明:分析：如果运用以前所学知识通过放缩法进行回很困难，但是如果用数学归纳法就比较容易•以下是详细证明过程证明:(1) i :当n=1时，左=丄1丄13>1,故n=1时不等式成立.2 3 4 12ii :假设当n=k时不等式成立，即1 k11 k 21 >13k 1那么当n=k+1时，左- 1 1 1 1 1k 2 3k 1 3k 2 3k 3 3k 41 1 1 1 1 1 1k 1 k 2 3k 1 3k 2 3k 3 3k 4 k 11 1 12 >1k 1 k 2 3k 1 3(3k 2)(3k 4)(k 1)故n=k+1时不等式成立根据(1) (2)可知：结论对于一切正整数n成立.⑵第一步：当n=1时，左=2,右=3 4 ,故左>右,即n=1时不等式成立.第二步：假设n=k时不等式成立,即(1 1)(1丄)(1 -)4 7 (113k)>(1) ⑵1 1n 1 n 21(1 1)(1 ：)(14?)>1 (n N )3n 1(1 1) >3 3n 1 (n N )3n 2那么n=k+1时，左=(1 1)(1 4)(13 ------- 3k 233k 1 ----------3k 1* (1 1 13k 2)(1 3k 1)33k 1： 233k 44)(3k 2)2 (3k (3k4)(3k 1)2"0 3 3k 2 左 > V3k 1 --------- > 3k 1 n=k+1时不等式成立. 第三步：根据(1) (2)可知：对于一切正整数 1 1 1 【例2】 证 n N 时有(1 — )?(1 —2) — (1 —n )3 3 3 先证明，对每个 n1 1 1 3 32 3n3 3( k 1) 1 证明：显然，左端每个因式都是正数， 1 1 1(1— - )(1 — -2 )-(1—-n )3 3 3用数学归纳法证明(1)式： ①n = 1时，(1)式显然成立， ⑵设n = k 时，(1)式成立， 1 1 1 即(1-3)?d -3)-(1—扌) 则当n = k + 1时， 1 1 (1—丄)？(1— &)?… 3 32n 不等式成立。
沪教版(上海)数学高二上册-7.6 归纳—猜想—论证学案
“7.6 归纳—猜想—论证”学案【学习目标】1．体验“归纳—猜想—论证”的过程。
2．感悟“归纳—猜想—论证”的思想方法。
3．运用“归纳—猜想—论证”的方法解决简单的数列问题。
【预习导引】阅读课本第34页至第36页．一、学习P34例1后，观察前几项值之间的关系，需要将1、4、9、16分别表示成、、、，才能顺利猜想出a的表达式。
n在用数学归纳法进行证明的过程中，关注每一项的结构特点，从“n=k”到“n=k+1”，需要增加的项为。
二、学习P35例2后，整体观察前几项值之间的关系，你认为需要怎样进行思考，才能顺利猜想出结论？三、练一练：1．（1）分别计算2,2+4,2+4+6,2+4+6+8的值；（2）根据（1）的计算，猜想2+4+6+…+2n的表达式；（3）用数学归纳法证明你的猜想。
2.（1）分别计算数列 -1，-1+3，-1+3-5，-1+3-5+7，…的值；（2）根据（1）的计算，猜想a=-1+3-5+…+(-1)n(2n-1)的表达式；n（3）用数学归纳法证明你的猜想。
四、小结体会：经过以上学习，你认为“归纳—猜想—论证”这一思想方法是通过怎样的一个过程体现的？【能力提高】1．已知数列}{n a 满足*+∈-==N n a a a nn ,12,211， (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题可以看出，“归纳—猜想—论证”的方法可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题可以采用哪些方法？2．已知正整数数列}{n a 的前n 项和n S 满足*2,)1(41N n a S n n ∈+= (1)计算1a 、2a 、3a 、4a 的值；(2)猜想n a 的表达式，并用数学归纳法证明.小结：从本小题看出，“归纳—猜想—论证”的方法又可以解决数列中的一类什么问题？以前我们解决这类问题采用的是怎样的方法，你可以用这种方法再解一次本题吗？【探究思考题】是否存在大于1的正整数m，使得*f n∈n++=都能被m整除？⋅n3,9n)72((N)若存在，你能求出m的最大值吗？你能证明你的结论吗？【拓宽知识】你所知道的世界上著名的猜想有哪些？可以介绍给大家吗？作业：【基础题】《练习册》P15 习题7.6 A 组 1—4【能力提高题】1．在数列}{n a 中，),2()1(22,1*11N n n n n n a a a n n ∈≥+++==-， （1）可求得2a = ，3a = ，4a = ，猜想n a =（2）请用数学归纳法证明你的猜想.2．是否存在常数a 、b 、c ，使等式c bn an n n n n n ++=-⋅++-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1 对一切正整数n 都成立？ 若存在，你能求出常数a 、b 、c 的值吗？。
五(7)归纳、猜想、证明(教师)
模块： 五、数列 课题： 7、归纳、猜想、证明教学目标： 领会“归纳——猜想——论证”的思想方法． 重难点： 通过归纳猜想命题的一般结论． 一、 知识要点“归纳、猜想、证明”就是运用“检验有限个n 的值，寻找一定规律，猜想一个结论，然后用数学归纳法证明所猜想的结论正确”的解题方法． 理解一个完整的思维过程，往往是既要发现结论，又要证明结论的正确性．这就需要掌握运用由特殊到一般的思维方法，也就是通过观察、归纳，提出猜想，探求结论，且运用严密的逻辑推理，即数学归纳法证明结论（猜想）的正确．领会“归纳、猜想、证明”的思想方法，非常有助于提高观察分析能力．二、 例题精讲例1、在数列{}n a 中，11,3a =且()21,n n S n n a =-通过求234,,a a a 猜想n a 的表达式，并证明你的结论． 答案：()()12121n a n n =-+例2、数列{}n a 满足112a =，*1,23n n n a a n N a +=∈+． （1） 求2a ，3a ，4a ；（2） 根据（1），猜想数列的通项公式n a ； （3） 用数学归纳法证明你的猜想． 答案：（1）23411182680a a a ===，，；（2）131n n a =-；（3）略．例3、已知函数())1f x x =≥，数列{}n a 满足11a =，()()112n n a f a n --=≥．（1） 写出n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明； （2） 设11n n n b a a -=+，若数列{}n b 的前n 项和10n S =，求n ．答案：（1）n a =，证明略；（2）120．例4、已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 且1122a b a b ==，，且12a a ≠，0n a >()*n N ∈．（1） 试比较3a 与3b ，4a 与4b 的大小，并猜想n a 与()3n b n ≥的大小关系； （2） 证明上述猜想的正确性．答案：（1）()3n n b a n >≥；（2）正确，证明略．例5、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程20n n x a x a --=有一根为1n S -，*n N ∈，（1） 求12a a ，；（2） 猜想数列{}n S 的通项公式，并给出严格的证明． 答案：（1）121126a a ==，；（2）1n nS n =+．*例6、数列{}n a 满足11a =，且()118162501n n n n a a a a n ++-++=≥，记()1112n n b n a =≥-．（1） 求1234b b b b 、、、的值；（2） 求数列{}n b 的通项公式及数列{}n n a b 的前n 项和n S ．答案：（1）12348202433b b b b ====，，，；（2）243n n b +=，5213n n n S +-=．三、课堂练习1、已知数列{}n a 前四项依次为1，12-，123-+，1234-+-，猜想通项n a = ．答案：1,21,2,22n n k n n k +⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩k Z +∈2、()22xf x x =+，11x =，()()*12,n n x f x n n N -=≥∈，则234,,x x x 分别为 ，猜想n x = ． 答案：212,,325，21n +． 3、根据2条直线相交有1个交点，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，推断()*n n N ∈条直线两两相交最多有 个交点．答案：()12n n - 4、数列{}n a 中，已知12a =，131nn n a a a +=+，依次计算出234,,a a a 后，归纳、猜想{}n a 的通项n a 为（ ） A 、243n - B 、243n + C 、221n - D 、265n - 答案：D5、已知等差数列前n 项和为n S ，则有()323n n n S S S =-成立，若推广上述结论应为（ ）A 、()()()323kn k n k n S S S ++=-B 、()2kn n n S k S S =-C 、()()()()323kn k n k n S k S S ++=+-D 、()()()()21121kn k n k n S k S S --=--答案：D四、 课后作业 一、填空题1、由给写的数列前四项，猜想通项公式（1）1，()13+，()135++，()1357+++，…，n a = ．（2）1-，85，157-，249，…，n a = ． 答案：（1）2n ；（2）()22121nn nn +-+2、数列{}n a 中，1a 1=，且前n 项和为n S ，11,,2n n S S S +成等差数列，则2S ，3S ，4S 分别为 ，猜想n S = ．答案：3715,,248，1212n n --．3、由归纳原理探求：凸n 边形的对角线条数()f n = ． 答案：()112n n + 4、()()1232312n a a a na n n n ++++=++，则n a = ．答案：33n +5、由归纳原理探求：平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数()f n = ． 答案：22n n -+6、在数列{}n a 中，如果存在非零常数T ，使得m T m a a +=对任意的非零自然数m 均成立，那么就称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做{}n a 的周期．已知数列{}n x 满足()11||1,n n n x x x n n N +-=->∈，如果()121,0,x x a a a R ==≠∈，选取适当的a 值，使得数列{}n a 的周期最小，则此时该数列前2013项的和是 ． 答案：1342二、选择题7、数列{}n a 中，121n n a a -=+且11a =，依次计算234,,a a a 后，归纳、猜想{}n a 的通项n a 为（ ） A 、21n +B 、21n -C 、21n-D 、2n答案：C8、设0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，12cos a θ=，1n a +=n a =（ ）A 、2cos 2nθB 、12cos2n θ+ C 、12cos2n θ- D 、2sin2nθ答案：C9、已知正数1a ≠，且数列{}n b 满足11b a a=+，*111,n n b b n N b +=-∈，依次计算2b 、3b 后，猜想n b 的表达式为（ ）A 、()211na a- B 、()22211n na a a+-- C 、()21211n na a a+-- D 、()21211n na a a--- 答案：B三、解答题10、证明：)*13,n n N n++++<≥∈．11、证明：()22*633n n n n N +++∈是11的倍数．12、已知数列{}n a 的通项公式()2421n a n =-，数列{}n b 的通项满足()()()12111n n b a a a =---，用数学归纳法证明：2112n n b n+=-．。
高二数学上册《数学归纳法》教案沪教版
7.4 数学归纳法一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识；2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的理解．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计一、复习引入：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1n n n a a a n N a +==∈+，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式．过程：212a =，313a =，414a =，由此得到：*1,()n a n N n=∈， 解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.2. 不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，就是a k=a1+(k－1)d.那么a k+1=a k+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k －1)+［2(k+1)－1］=k 2+［2(k+1)－1］=k 2+2k+1=(k+1)2.∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N *都成立.四、课堂练习： 1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n +. 证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(11)2⨯+=1.∴等式成立. (2)假设当n=k 时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k +. 那么当n=k+1时，11123(1)(1)(1)(1)(11)22k k k k k k k +++⋅⋅⋅+++=+++=+++ ∴n =k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.2.首项为a 1，公比为q 的等比数列的通项公式是：a n =a 1q n-1.证明：(1)n=1时，左边=a 1，右边=a 1·q 1－1=a 1q 0=a 1.∴左边=右边.(2)假设当n=k 时等式成立.即a k =a 1q k －1.那么当n=k+1时.a k +1=a k q=a 1q k －1·q=a 1q (k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n ∈N *都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n＝k＋1命题成立时必须要用到n＝k时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但n+一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别是，费马曾认为，当n∈N时，221为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler）却证明了当n=5时，52+ =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．21有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f（n）=n2+n+41，当n∈N时，f（n）是否都为质数？f（0）=41，f（1）=43，f（2）=47，f（3）=53，f（4）=61，f（5）=71，f（6）=83，f（7）=97，f（8）=113，f（9）=131，f（10）=151，… f（39）=1 601．但是f（40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明.。
高二数学上学期第8课时数学归纳法预习案沪教版
数学归纳法【教学目标】1、理解数学归纳法的基本原理；2、掌握数学归纳法的一般步骤，并会用数学归纳法证明与正整数有关的简单命题和整除性问题；【教学重点】数学归纳法【教学难点】通过“归纳-猜想-论证”，提升演绎推理能力和归纳、猜想、论证能力【教学方法】讲练结合 【教学过程】一、主要知识：1．归纳法：由特殊的事例推出一般结论的推理方法叫做归纳法。
完全归纳法：逐步考查某个事例的所有可能的情况下，得出一般结论的推理方法叫做完全归纳法；数学归纳法是证明与正整数n 有关的数学命题的一种有效推理方法.2．数学归纳法是论证与整数有关的数学命题的方法，它的具体步骤： （1）验证当0n n =时命题为真；（2）假设当()0n k k n =≥是真命题，推出当1n k =+时命题亦真； 根据（1）（2）可得，对于一切0n n ≥的整数n ，命题为真.3.“归纳、猜想”是从若干已知事实中，探索和寻找出有关规律，从而猜测出一个未知的结论，猜测的结论不一定正确，需加以证明.一般步骤：（1）先根据题意求出1,2,3n =等值时的一些特殊值；（2）通过观察找出几个特殊值中蕴含的内在规律，猜想对于正整数n 的一般结论； （3）用数学归纳法证明上述猜想的结论成立. 二、例题分析：考点一、数学归纳法的步骤 例1、用数学归纳法证明：111111234212n n -+-+⋅⋅⋅+-=-1112n n ++⋅⋅⋅+++ ()1n N n n*∈+ （1）则从k 到1k +时，左边要添加的项为 .A.121k + B.112224k k -++ C.122k -+D.112122k k -++ （2）则从k 到1k +时，右边要添加的项为 .A.122k +B.112122k k +++C.11121221k k k +-+++D.121k + 巩固练习： （1）1111()()1232f n n N n n n n=+++⋅⋅⋅+∈+++，那么()()1f k f k +=+—————————.（2）用数学归纳法证明不等式：1112n n ++++131n ⋅⋅⋅++*1()n Z >∈由n=k 递推到1n k =+时，为“凑”不等式左边，可在不等式的两边同加 .考点二、用数学归纳法证明例2、用数学归纳法证明：(31)147(32)2n n n -+++⋅⋅⋅+-=. 巩固练习：1．在用数学归纳法证明命题成立的过程中，第（1）步中验证了1n =时命题成立，第（2）步中假设n k =时命题成立，这里k 取的最小值是多少？并说明理由。
高中数学沪教版(上海)高二第一学期7.6归纳—猜想—论证_导学案
归纳—猜想—论证【学习目标】1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤；2．通过几个与自然数有关问题的解决，体验归纳－猜想－论证的思维过程，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力；3．通过实验、观察、尝试，培养科学的探究精神。
【学习重难点】“归纳-猜想-论证”思维方法的渗透和学习。
【学习过程】一、复习引入归纳法和数学归纳法相关的问题。
（1）数学归纳法是一种证明方法，它适用于证明那些与_______________有关的数学命题。
（2）用数学归纳法证明问题的一般步骤是什么？1）证明当取第一个值()*∈N n n 00时，命题成立；2）假设当()0,n k N k k n ≥∈=*时命题成立，证明当1+=k n 时命题也成立。
（3）这两个步骤的作用是什么？第一步是递推的_______；第二步是递推的_______。
递推是数学归纳法的核心。
（4）用数学归纳法证题时应注意什么？两个步骤缺一不可。
证第二步时，必须用归纳假设。
即在_______成立的前提下推出_______成立。
只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题。
（5）我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又是如何得到的呢？二、学习新课例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，……的前四项的值，由此猜测：()()12311321+++⋅⋅⋅+-++-+⋅⋅⋅+++=n n n a n 的有限项表达式，并用数学归纳法加以证明。
例2．已知数列114⨯，147⨯，1710⨯，……，1(32)(31)n n -+，……，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值。
根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明。
练习：1．已知数列{}n a 中，211=a ，331+=+nn n a a a 。
（1）求：2a 、3a 、4a ；（2）猜想n a 表达式并用数学归纳法证明。
高二数学上册《数学归纳法》教案沪教版
7.4 数学归纳法一、教学内容分析数学归纳法是一种用于证明与自然数n有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点应该是方法的应用．但是我们认为不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．对方法作简单的灌输，学生必然疑虑重重．为什么必须是二步呢？于是教师反复举例，说明二步缺一不可．你怎么知道n=k时命题成立呢？教师又不得不作出解释，可学生仍未完全接受．学完了数学归纳法的学生又往往有应该用时但想不起来的问题，等等．为此，我们设想强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机.数学归纳法产生的过程分二个阶段，第一阶段从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，直到怎么办结束．第二阶段是对策酝酿，从介绍递推思想开始，到认识递推思想，运用递推思想，直到归纳出二个步骤结束.理解数学归纳法中的递推思想，还要注意其中第二步，证明n=k+1命题成立时必须用到n=k 时命题成立这个条件.二、教学目标设计1. 从对归纳法的认识开始，到对不完全归纳法的认识，再到不完全归纳法可靠性的认识，再到数学归纳法的科学性的认识；2．对数学归纳法的叙述数学步骤地掌握；3．形成观察、归纳、推广的意识,提高运用知识解决问题的能力,渗透分类讨论、方程等数学思想方法．三、教学重点及难点重点：归纳法意义的认识和数学归纳法产生过程的分析;难点：数学归纳法中递推思想的理解．四、教学用具准备实物投影仪五、教学流程设计六、教学过程设计一、复习引入问题1：这里有一袋球共十二个，我们要判断这一袋球是白球，还是黑球，请问怎么办？方法一：把它倒出来看一看就可以了．特点：方法是正确的，但操作上缺乏顺序性．方法二：一个一个拿，拿一个看一个．比如结果为：第一个白球，第二个白球，第三个白球，……，第十二个白球，由此得到：这一袋球都是白球．特点：有顺序，有过程．问题2：在数列{}n a 中，*111,,()1nnna a a nN a ，先算出234,,a a a 的值，再推测通项n a 的公式．过程：212a ，313a ，414a ，由此得到：*1,()n a n N n，解决以上两个问题用的都是归纳法.二、讲解新课：1. 归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法.特点：由特殊→一般.2. 不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法.如我们在推导涉及所有正整数的等差数列通项公式时，在考察了n=1，2，3，4几种特殊情形后得出的一般公式，就是作的一种不完全归纳.我们已经知道，不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，所以这种方法并不能作为课堂小结，布置作业首项验证（奠基）复习引入数学归纳法定义（规范的数学表述）假设证明（核心步骤）运用数学归纳法解决实际问题（注意叙述的规范性）一种论证方法；同时也应看到，不完全归纳法是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段.在问题探索中，为了寻求一般规律，往往先考察一些特例，通过对这些特例的不完全归纳形成猜想，然后再试图去证明或否定这种猜想.因而学会用不完全归纳法对问题进行探索，对提高我们的数学能力十分重要.3. 完全归纳法:把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法.完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法.与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的.通常在事物包括的特殊情况数不多时，采用完全归纳法.4.数学归纳法：对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法.5. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n= n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.6.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.三、例题分析例1 用数学归纳法证明：如果{a n}是一个等差数列，那么a n=a1+(n－1)d对一切n∈N*都成立.证明：(1)当n=1时，左边=a1，右边=a1+0·d=a1，等式成立.(2)假设当n=k时等式成立，就是a k=a1+(k－1)d.那么a k+1=a k+d=［a1+(k－1)d］+d=a1+［(k+1)－1］d，这就是说，当n=k+1时，等式也成立.由(1)和(2)可以判定，等式对任何n∈N*都成立.例2 用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，就是1+3+5+…+(2k－1)=k2，那么1+3+5+…+(2k－1)+［2(k+1)－1］=k2+［2(k+1)－1］=k2+2k+1=(k+1)2. ∴n=k+1时也成立.由(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立.四、课堂练习：1.用数学归纳法证明：1+2+3+…+n=(1)2n n.证明：(1)当n=1时，左边=1，右边=1(11)2=1.∴等式成立.(2)假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+…+k=(1)2k k.那么当n=k+1时，11123(1)(1)(1)(1)(11)22k k k k k k k∴n=k+1时，等式也成立.由(1)(2)可知等式对一切n∈N*都成立.2.首项为a1，公比为q的等比数列的通项公式是：a n=a1q n-1.证明：(1)n=1时，左边=a1，右边=a1·q1－1=a1q0=a1.∴左边=右边.(2)假设当n=k时等式成立.即a k =a1q k－1.那么当n=k+1时.a k+1=a k q=a1q k－1·q=a1q(k+1)－1.∴n=k+1时等式也成立.由(1)、(2)可知等式对一切n∈N*都成立.五、课堂小结 (引导学生归纳,教师提炼)(1)中心内容是归纳法和数学归纳法；(2)归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分类是完全归纳法和不完全归纳法二种，完全归纳法只局限于有限个元素，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明；(3)数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推(递归)思想，它的证明步骤必须是两步，最后还要总结；(4)本节课所涉及到的数学思想方法有：递推思想、分类讨论思想、数形结合思想、函数与方程思想.六、作业七、教学设计说明数学归纳法是一种用于证明与自然数n 有关的命题的正确性的证明方法．它的操作步骤简单、明确，教学重点不应该是方法的应用，不能把教学过程当作方法的灌输，技能的操练．所以要强化数学归纳法产生过程的教学，把数学归纳法的产生寓于对归纳法的分析、认识当中，把数学归纳法的产生与不完全归纳法的完善结合起来．这样不仅使学生可以看到数学归纳法产生的背景，从一开始就注意它的功能，为使用它打下良好的基础，而且可以强化归纳思想的教学，这不仅是对中学数学中以演绎思想为主的教学的重要补充，也是引导学生发展创新能力的良机．运用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题，两个步骤缺一不可．理解数学归纳法中的递推思想，尤其要注意其中第二步，证明n ＝k ＋1命题成立时必须要用到n ＝k 时命题成立这个条件．这些内容都将放在下一课时完成，这种理解不仅使我们能够正确认识数学归纳法的原理与本质，也为证明过程中第二步的设计指明了思维方向．相关数学史资料介绍资料1: 费马（Fermat ）是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．但是，费马曾认为，当n ∈N 时，221n一定都是质数，这是他对n=0，1，2，3，4时的值分别为3,5,17,257,65537作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了当n=5时，5221 =4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．有人说，费马为什么不再多算一个数呢？今天我们是无法回答的．但是要告诉同学们，失误的关键不在于多算一个上！资料2：f （n ）=n 2+n+41，当n ∈N 时，f （n ）是否都为质数？f （0）=41，f （1）=43，f （2）=47，f （3）=53，f （4）=61，f （5）=71，f （6）=83，f （7）=97，f （8）=113，f （9）=131，f （10）=151，…f （39）=1 601．但是f （40）=1 681=412是合数.算了39个数不算少了吧，但还不行！我们介绍以上两个资料，说明用不完全归纳法得出的结论可能是错误的．对于生活、生产中的实际问题，得出的结论的正确性，应接受实践的检验，因为实践是检验真理的唯一标准．对于数学问题，应寻求数学证明.。
7.6归纳-猜想-论证
并用数学归纳法加以证明。 解： 1＝12，1＋2＋1＝4＝22，1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，
1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42
证明: （1）当n=1时， a1 =12 ∴等式成立。
从而猜想：an=1+2+3+…+(n-1)+n+(n+1)+ …+3+2+1 = n2
（2）假设当n＝k时等式成立，即ak =k2, 那么当 n=k+1时，
__________________. 2n 1 an 2 n 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
思考：
1 1 1 设f (n) 1 2 3 n
是否存在关于自然数n的函数g(n),使等式
f (1) f (2) f (n 1) g (n)[ f (n) 1] 对于 n
1 1 1 的前4项的值,由此猜想 (1 )(1 )(1 ) 4 9 16
的结果，并用数学归纳法加以证明。
1 [1 ] 2 （n 1)
n2 3 4 5 6 解：前四项依次为 , , , ,猜想 a n 2(n 1) 4 6 8 10
四．练习 1
1.分别计算 S1 猜想 S n
通过考察某类事物中的部分对象,概括出这类事物 的一般结论,这种推理方法叫不完全归纳法.
二.归纳---猜想
问题: 数列{a }的通项公式为a n2 n 11， n n 猜想对一切n N *，a 都是质数. 猜想正确吗 ? n 容易验证
a1 , a2 ,, a9都是质数, 但a10 121 不是质数.
三．论证
不完全归纳法是发现规律、解决问题极 好的方法．由“归纳－－猜想”所得出的
数学高二(上)沪教版(数学归纳法及其应用(二))教师版
当 所以当 命题成立。
设当 时，命题成立，即
当 ，
所以当 时命题成立。
所以存在常数 使得数列 的通项公式是
例5、求所有使得 能被8整除的正整数 。
【答案】若
先用数学归纳法证明：对于任意正整数 ， 能被8整除
当 时，命题成立；
设当 时，命题成立，即 能被8整除，
当 ， 能被8整除，所以当 时命题成立。
（2） 为什么证明时这两个步骤缺一不可？
【典型例题分析】
例1、对于下列数列的排列2，3，4
3，4，5，6，7
4，5，6，7，8，9，10
……
写出并证明第 行数中所有数的和 与 的关系式。
【答案】由已知可得 ，于是猜想 。
当 ，所以当 时，命题成立
设当 时命题成立，即
。
当 时，
所以，当 时，命题成立。
【答案】当 时，左边= ，所以当 时，不等式成立；
设当 时，不等式成立，即
当 由 得
于是 ，所以当 ，不等式成立。
所以，对正数 及任意正整数 ，
【课堂小练】
1、某个命题与自然数n有关，如果当 时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立。现在已知n=5时命题不成立，那么可推得（C）
A、n=6时该命题不成立 B、n=6时该命题成立
3.用数学归纳法证明： … ，需验证 时等式成立，此时左边的式子应为（ ）
（A） （B） （C） （D）
4.用数学归纳法证明等式“ … … （ ）”过程中第一步，当 时，左边=__________，右边=___________。
5.用数学归纳法证明等式“ … （ ）”时，从 时，等式左边需要增加的是____________。
数学高二(上)沪教版(数学归纳法及其应用(一))教师版
（C） （D）
（2）则从k到k+1时，右式）
【答案】D C
变式练习：
1、用数学归纳法证明 ,在验证 成立时,左边所得的项为(C)
A. 1 B. 1+ C. D.
2、数列 中, ,则数列的前5项为 ,猜想它的通项公式是 ( )
例2、用数学归纳法证明：
【解析】用数学归纳法证明 时等式成立时，必须用归纳假设 时的结论，同时证明 时的等式时成立的，只要将原式中的n换成 即得，因此咋证明过程中，证明步骤必须完整，不能跳步骤。
（1）当 时，显然成立
（2）假设当 ， 成立，则当 时，
也成立。
综上所诉，猜想 成立。
所以， 的正方形棋盘中，共有 个不同的正方形
4、求证:对于整数 时, 能被133整除.
解析：① 时,原式= 能被133整除;
② 设 时, 能被133整除
时,原式=
= 能被133整除.
5、若 ,求证: .
解析：① 时,左= ,右= ,左=右
时,
∴ .
【课堂总结】
1、数学归纳法的步骤？
2、用数学归纳法证明最难的是哪个步骤？我们应该怎么做？
【课后练习】
1、（1）计算： _________
________
_________
（2）猜想： ______________
(3)用数学归纳法证明你的猜想。
【解析】本题综合了完全归纳法、不完全归纳法以及数学归纳法的计算，（2）的猜想属于一个不完全归纳过程，（3）题主要考察数学归纳法的证明。
对于本例在证明 时正确，需用的恒等式变形有一定难度，此时我们通过左右两边的多项式乘法来完成证明。
例3、用数学归纳法证明：
归纳-猜想-论证-沪教版教案
资源信息表7．6 归纳—猜想—论证上海市建平中学田万国一、教学内容分析归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．二、教学目标设计1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．三、教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．难点：对数学归纳法的进一步理解和应用．四、教学流程设计五、教学过程设计1．引入问题1．用数学归纳法证明：2222121(1)1234(1)(1).2n n n n n --+-+-++-=-L 选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫．2．归纳猜想我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式，但是这些等式又 是如何得到的呢[说明] 引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获得结论，二是归纳猜想．问题2．数列的通项公式22(55)n a n n =-+，计算1234,,,a a a a 的值，你可以得到什么结论问题3．费马（Fermat ）是17世纪法国着名的数学家，他是解 析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献．费马认为，当n ∈N 时，221n+一定都是质数，这是他对n=0，1， 2，3，4作了验证后得到的．18世纪伟大的瑞士科学家欧拉（Euler ）却证明了5221+=4 294 967 297=6 700 417×641，从而否定了费马的推测．问题4．设2()41f n n n =++，则当n ∈N 时，()f n 是否都为质数(0)41f =，(1)43f =，(2)47f =，(3)53f =，(4)61f =，(5)71f =，(6)83f =，(7)97f =，(8)113f =，(9)131f =，(10)151f =，L ，(39)1601f =． 但是(40)16814141f ==⨯是合数．找出运用归纳法出错的原因，并研究出对策来！3．归纳猜想论证在数学问题的探索中，为了寻求一般规律，往往先考虑一些特例， 进行归纳，形成猜想，这是归纳与猜想．但猜测的结论一定正确吗不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确，然后一定要去证明这些猜想的正确与否．证明一个命题为假命题只需要举出一个反例．证明一个命题为真命题需要逻辑推理．例1．依次计算数列1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…的前四项值，由此猜测123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++L L 的有限项表达式，并加以证明．选题目的：（1）引导学生体验从特殊到一般的思考过程，形成归纳猜想的意识．（2）这里去掉了原题中“并用数学归纳法证明”的证明方法的要求，以期证明方法的开放性，引起学生更开阔的思考．如：123(1)(1)321n a n n n =++++-++-++++L L22[123(1)].n n n n =++++-+-=L（3）要证明2n a n =对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的．一些与正整数有关的命题可以用数学归纳法加以证明．例2．已知数列114⨯，147⨯，1710⨯，…，1(32)(31)n n -+，…，设n S 为该数列前n 项和，计算1234,,,S S S S 的值．根据计算结果猜测n S 关于n 的表达式，并用数学归纳法证明．选题目的：经历和体验“归纳—猜想—论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方法．4．练习P36—1，2，35．小结本节课主要学习用“归纳—猜想—论证”的方法分析和解决问题． 归纳—猜想—论证是我们分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试，观察特例；体验，归纳猜测一般规律；理性，证明猜想．这也告诉我们在分析和解决问题时要“大胆假设，小心求证”．大胆假设，也就是大胆猜测，这是探索发现真理的重要手段，是创造的源泉；但对猜想要小心求证，这是思维严谨的体现．在证明过程中，我们进一步学习了如何用数学归纳法进行演绎推理证明．6．作业P15—2，3 P16—4六、教学建议与说明1．以问题为中心．通过对问题1的分析与解决，追根溯源，提出疑惑．通过对问题2，3，4的感受体验，思维冲击，大胆质疑．通过分析解决例题1，形成方法．2．以思维方法为主线．应切实让学生感受“归纳—猜想—论证”这一重要数学思维方法的发展过程和理性认识，将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．。
归纳—猜想—论证高三复习计划课教学设计说明
概括—猜想—论证〔高三复习课〕教课方案说明选择课题的背景：1.在2021年第9期?数学教课?杂志封底看到张奠宙和赵小平教授的编后漫笔?一个新课题：数学思想方法的教课?，深受启迪，很想付诸实践，于是选择这个机遇展现一节对于数学思想方法的教课。
2.研究最近几年的高考试题，发现自觉或不自觉地在观察应用“概括—猜想〞解决问题的思想和方法〔参看本节课所选试题〕，作为高三复习课，本着以学生的睁开为本的理念，要重视这一数学思想的教课。
年10月10日在建平中学听华东师范大学李俊教授的报告，她谈到后边的课改，会把数学思想方法教课的详细要求写入课标，这更果断了我的想法----上一节对于数学思想方法的课。
一、内容与教材剖析“概括—猜想—论证〞是上海教育第一版社高级中学课本数学高二年级第一学期〔试用本〕第7章数列一章的内容，隶属数学概括法这一节。
“概括—猜想—论证〞是高中数学教课中独一一节以数学思想方法为内容的课。
假如数学概括法是数学方法，那么“概括—猜想—论证〞就是解决问题的思想方法，常常和数学概括法结合使用，因此教材将其纳入数学概括法的一局部，但也并不是意味着概括猜想的结论只好应用数学概括法证明。
为了研究一般规律，常常先观察一些简单的特例，进行概括，形成猜想，然后想法用证明考证猜想的正确性，这样解决问题的想法就是“概括—猜想—论证〞的思想方法。
“概括—猜想—论证〞是把解答问题转变为证明问题的方法，核心是把复杂的问题简单化，把抽象的问题详细化，蕴涵着简化问题的思想。
需要注意〔方法的要害〕：概括猜想后，只有证了然我们才能够必定猜想的正确性〔比如哥德巴赫猜想，只管计算机能够查验到很大的数猜想都建立，但是在没证明以前，谁也没法判定哥德巴赫猜想的正确性，课本例题中遗憾的费马猜想就是最好旁证〕。
“概括—猜想—论证〞是人们研究〔数学〕问题最根本的方法，因此能够尝试用它来解决各种问题〔如这节课解决的几何、向量、矩阵等问题〕，它经历三个过程：试试察看特例体验猜想理性证明，因此“概括—猜想—论证〞完满地把概括猜想和演绎论证一致了起来。
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7. 6 归纳一猜想一论证
上海市建平中学田万国
一、教学内容分析归纳法是由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法．归纳法分为不完全归纳法与完全归纳法．对于无穷尽的事例，用不完全归纳法去发现规律，得出结论，并设法予以证明，这就是“归纳—猜想—论证”的思维方法．教材在介绍归纳法的基础上，通过例题，引导学生体验和学习这种科学研究的思维方法．论证时采用的数学归纳法是证明与自然数有关命题的一种重要方法，是演绎推理．本节内容将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．
二、教学目标设计1．了解数学推理的常用方法：归纳法与演绎法，进一步理解数学归纳法的适用情况和证明步骤．
2．通过实例，理解利用归纳的方法，发现规律、提出猜想，然后用数学归纳法证明的思想方法，获得对于“归纳—猜想—论证”过程的体验，初步形成在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力．
3．体验概念形成过程，引起对“归纳—猜想—论证”思维方法的兴趣，提升数学素养．
三、教学重点与难点重点：“归纳—猜想—论证”思维方法的渗透和学习．难
点：对数学归纳法的进一步理解和应用．
四、教学流程设计
五、教学过程设计
1引入
问题1用数学归纳法证明:
选题目的：回顾并熟练掌握用数学归纳法证明数学命题的过程与 基本步骤，为新课的引入做好铺垫.
2. 归纳猜想
我们已经学习了用数学归纳法来证明一些等式， 但是这些等式又 是如何得到的呢？
［说明］引起学生思考，探求结论获得的可能方法：一是直接计算获 得结论，二是归纳猜想.
问题2.数列的通项公式a n (n 2 5n 5)2，计算agg 的值， 你
可以得到什么结论？
问题3.费马(Fermat )是17世纪法国著名的数学家，他是解
析几何的发明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，
是
概率论的创始者之一，他对数论也有许多贡献.
n 费马认为，当n € N 时，22 1 一定都是质数，这是他对n=0, 1, 2， 3， 4
作了
n 1 2 (1) n
(1)n 1 n(n 1 (1 2
复习回顾
验证后得到的．
18 世纪伟大的瑞士科学家欧拉 (Euler )却证明了22 1=4 294 967
297=6 700 417 X 641,从而否定了费马的推测.
问题4.设f(n) n2 n 41，则当n€ N时，f(n)是否都为质数？
f(0) 41, f(1) 43, f(2) 47, f(3) 53, f(4) 61, f(5) 71 , f(6) 83, f(7) 97, f(8) 113, f(9) 131, f(10) 151, L , f(39) 1601.
但是 f (40) 1681 41 41 是合数.
找出运用归纳法出错的原因,并研究出对策来！
3. 归纳猜想论证
在数学问题的探索中, 为了寻求一般规律, 往往先考虑一些特例, 进行归纳,形
成猜想,这是归纳与猜想.但猜测的结论一定正确吗？不一定！通过归纳猜测的结论可能错误也可能正确, 然后一定要去证明这些猜想的正确与否.证明一个命题为假命题只需要举出一个反例.证明一个命题为真命题需要逻辑推理.
例1.依次计算数列1, 1+2+1, 1+2+3+2+1, 1+2+3+4+3+2+1 … 的前四项值，由此猜测a n 1 2 3 L (n 1) n (n 1) L 3 2 1的有限项表达式，并加以证明.
选题目的：(1)引导学生体验从特殊到一般的思考过程，形成归纳猜想的意识.
(2)这里去掉了原题中“并用数学归纳法证明”的证明方法的要求，以期证明方法的开放性，引起学生更开阔的思考.如：
2[1 2 3 L (n 1) n] n n2.
(3)要证明a n n2对一切正整数都成立，一个一个验证是不可能的.一些与正整数有关的命题可以用数学归纳法加以证明.
例2.已知数列丄，丄,—，…，- ，…，设S n
1 4 4 7 7 10 (3n 2)(3 n 1)
a n 1 2 3 L (n 1) n (n 1) L 3 2 1
为该数列前n项和，计算S1,S2,S3,S4的值.根据计算结果猜测S n关于n 的表达式，并用数学归纳法证明.
选题目的：经历和体验“归纳一猜想一论证”的完整过程，理解掌握这一重要的思维方法.
4. 练习
P36 —1, 2, 3
5. 小结
本节课主要学习用“归纳一猜想一论证”的方法分析和解决问题.
归纳一猜想一论证是我们分析和解决问题的常用方法，它经历三个过程：尝试，观察特例；体验，归纳猜测一般规律；理性，证明猜想.这也告诉我们在分析和解决问题时要“大胆假设，小心求证”.大胆假设，也就是大胆猜测，这是探索发现真理的重要手段，是创造的源泉；但对猜想要小心求证，这是思维严谨的体现.
在证明过程中，我们进一步学习了如何用数学归纳法进行演绎推理证明.
6. 作业
P15 —2, 3 P16 —4
六、教学建议与说明
1．以问题为中心．通过对问题1 的分析与解决，追根溯源，提出疑惑．通过对问题2，3，4 的感受体验，思维冲击，大胆质疑．通过分析解决例题1，形成方法．
2 ．以思维方法为主线．应切实让学生感受“归纳—猜想—论证” 这一重要数学思维方法的发展过程和理性认识，将归纳推理和演绎推理紧密结合起来，使学生对归纳与演绎这一重要的数学思想有一个整体认识．。