第二次作业参考答案

π
= 1.08 ×10 kg
3
14．在半径为 R 的均匀球体中心，有一个各向同性的单位强度热中子源，介质的宏观吸收截 面为 Σ a 。试分别求： (1)介质 Σ s = 0； (2) Σ s ≠ 0 两种情况下球体内的中子通量密度分布和中子自球表面逃到真空的概率是多 少？为什么这两者不同？ 解：(1)当介质 Σ s = 0 时：中子通量： φ (r ) = 泄漏几率： P = e
Se − rΣa 4π r 2
− RΣ a
(2)当介质 Σ s ≠ 0 时，采用球坐标，有如下的扩散方程：
d 2φ (r ) 2 dφ (r ) φ (r ) + − 2 = 0, (r > 0) dr 2 r dr L
0 ，(d 为外推距离)；(ii) lim 4π r J (r ) = S ； 边界条件：(i) φ ( R + d ) =
则 J (r ) = −D
d Φ(r ) DA r r r R+d r r R+d r = − 2 sh − cth ch − ch + cth sh ， dr r L L L L L L L L
由边界条件(ii)得： A = 泄漏几率：
S 4π D
，
P =
4π R 2 J ( R) 4π DA R R+d R R R R+d R ch − sh + ch − cth sh = cth S S L L L L L L L R+d R R+d R R+d R R+d R ch ch − sh sh sh ch − ch sh R L L L L+ L L L L R+d R+d L sh sh L L d d R d d ch sh ch + sh R L + L = L L L = R d R d R d + + + L sh sh sh L L L
H 2π 2 D 16 R 2.405 ) 2 rdr 10 ∫ J 0 ( r )rdr π = ∫0 0 2 H R 2π 2 D 16 4.268 DR 2 R 2 ) 2.405= = 10 ( J1 (2.405) ×1016 ( s −1 ) H 2.405 H
R
J ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱr ,
∞ ∞ 2n − x / λ aE n( x ) = − 0 e− x / λ (a < 0) ∫0 n( x, E )dE = ∫0 2n0e e dE = a
(2) φ ( x, E ) v= = ( E )n( x, E ) 2n0 v( E )e − x / λ e aE (3) 解法一：
J ( x, E ) = −D
dJ 0 (
2.405 r) R dr
r=R
π
H
z)
2.405 2.405 ⋅ − J1 ( r ) R R r=R
2.405 ×1016 π D cos( z ) J1 (2.405) R H 16 1.251×10 π = D cos( z ) R H
堆侧表面泄漏中子数：
其中：H、R 为反应堆的高度和半径（假定外推距离可略去不计） 。试求： (1)径向和轴向的平均中子通量密度和最大中子通量密度之比； (2)每秒从堆侧表面和两个端面泄漏的中子数； (3)设 H=7m，R=3m，反应堆功率为 10MW， σ f ＝410b，求反应堆内
5
235
U 的装载量。
解： （1）轴向：最大中子通量在 z＝0 时取得， 轴向平均中子通量密度与最大中子通量密度之比：
=
解法二：
R(1 + e −2 d / L ) e− R / L + 1 − e −2 d / L −2( R + d )/ L L (1 − e )
r r sh 查表 3-1 得到通解为： = φ (r ) A L + C L r r R+d 由边界条件(i)得： C = − Acth ， L ch
φ (0, z )
=
∫
R
0
φ (r , z )2π rdr π R 2
∫
R
0
J0 (
2.405r )2π rdr π R 2 R J 0 (0)
R
R 2 2.405r 2.405r 2 ( ) J1 ( ) R R 0 2 J1 (2.405) 2.405 = = = 0.4324 2 R 2.405
2 −1
解：(1)总的中子通量密度： 3 × 10 m ⋅ s ；
16
−2
−1
(2)总的中子流密度： 10 m ⋅ s ，方向向左；
16
−2
−1
(3)总的反应率： 19.2 × 10 × 3 × 10 = 5.76 × 10 m ⋅ s
2 16 19
−3
−1
2．设在 x 处中子密度的分布函数是
= n ( x, E , Ω ) n 0 2π
π n0 − x λ aE 2π e e ∫ dϕ ∫ (1 + cos µ ) cos µ sin µ d µ 0 0 2π
2 n0 v( E )e − x λ e aE 3
8．圆柱体裸堆内中子通量密度分布为
2.405r πz 1012 cos J 0( )(cm −2 s −1 ) Φ ( r, z ) = R H
由边界条件(ii)得： A = 泄漏几率：
S ， 4π D(1 − e −2( R + d )/ L )
R/ L eR/ L 4π R 2 J ( R) 4π R 2 e − R / L e − R / L −2( R + d )/ L e = = + 2 ) + Ae − P D A( ( ) S S RL R RL R 2 − R/ L −R/ L R/ L R/ L 2 e S e e e 4π R = + 2 ) + e −2( R + d )/ L ( − 2 ) D ( −2( R + d )/ L S 4π D(1 − e R RL R ) RL
( x, E ) n= =
∫
n0 − x / λ aE e e (1 + cos µ )d Ω Ω 2π
∫ ∫
0
2π
π
0
n0 − x / λ aE n0 − x / λ aE ⋅ 4π 2n0 e − x / λ e aE e e (1 + cos µ ) sin µ= d µdϕ e e= 2π 2π
解法二：
d Φ ( x, E ) 1 2n = − D 2n0ν ( E )e − x / λ e aE − =0 Dν ( E )e − x / λ e aE dx λ λ
J = ( x, E , Ω ) v ( E ) n ( x, E , Ω ) Ω ，
x ) v( E )n( x, E , Ω) cos µ J x= ( x, E , Ω ) v ( E ) n ( x, E , Ω )(Ωn = y ) v( E )n( x, E , Ω) sin µ cos ϕ J y= ( x, E , Ω ) v ( E ) n ( x, E , Ω )(Ωn = J z= ( x, E , Ω ) v ( E ) n ( x, E , Ω )(Ωn v( E )n( x, E , Ω) sin µ sin ϕ = z)
H /2 1.251×1016 π D 2 π R cos( z )dz ∫− H /2 ∫ /2 − H R H 16 1.251×10 H = D2π R × 2 = 5.00 ×1016 DH (s −1 ) R π H /2
J ( R, z )2π Rdz =
上端面净中子流：
由对称性可知：下端面泄漏中子数为
4.268 DR 2 ×1016 ( s −1 ) 。 H
（3）假设在堆内燃料均匀分布，根据 10 235 1J=3.125×10 次 U 核裂变所放出的能量， 反应堆内单位时间总共发生的裂变反应数为
φΣ f V = 3.125 ×1010 P ，
则
= Σf
3.125 ×1010 P 3.125 ×1010 P ， = φmax Fr FzV φV
∫ =
−H / 2
H /2
φ (r , z )dz H φ (r , 0)
∫
cos( z )dz H 2 H = π cos(0)
−H / 2
H /2
π
径向：最大中子通量在 r＝0 处取得， 径向平均中子通量密度与最大中子通量密度之比： 平均值定义： f ( x) =
∫ f ( x) * 2πrdr ∫ 2πrdr
第二次作业参考答案 235 1．有两束方向相反的平行热中子束射到 U 的薄片上，设其上某点自左面入射的中子束强 度为 10 cm s 。自右面入射的中子束强度为 2 × 10 cm s 。计算：
12 12 −2 −1 −2 −1
(1)该点的中子通量密度； (2)该点的中子流密度； (3)设 Σ= 19.2 ×10 m ，求该点的吸收率。 a
可以证明，
J y ( x, E ) = J z ( x, E ) =
则
∫ ∫
Ω
, Ω) d Ω 0 J y ( x, E = , Ω) d Ω 0 J z ( x, E =
Ω
= J ( x, E ) J = x ( x, E ) v( E ) =
∫
Ω
Ω) d Ω J x ( x, E ,=
∫
Ω
v( E )n( x, E , Ω) cos µ d Ω