八年级下二次根式知识点总结

a ( a 0) a 2 | a | a ( a 0)
注意： （1）字母不一定是正数．
（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． （3） 可移到根号内的因式， 必须是非负因式， 如果因式的值是负的， 应把负号留在根号外．
a ( a 0) 4. 公式 a 2 | a| 与 ( a ) 2 a ( a 0) 的区别与联系 a ( a 0 )
【典型例题】
【例 13】 把下列各式分母有理化
a2 b2 b5 a5 5 3 5 3
（1）
（2）
举一反三：
1、已知 x
2 3 2 3
，y
2 3 2 3
，求下列各式的值： （1）
x y 2 2 （2） x 3xy y x y
知识点七：根式比较大小
【知识要点】
1、根式变形法 当 a 0, b 0 时，①如果 a b ，则 a
）
举一反三：
2 1、若 x 1 1 x (x y ) ，则 x－y 的值为（
A．－1
B．1
C．2
D．3
3、当 a 取什么值时，代数式 2a 1 1 取值最小，并求出这个最小值。
已知 a 是 5 整数部分，b 是
5 的小数部分，求 a
x2
若 17 的整数部分为 x，小数部分为 y，求
知识点一：二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义：形如 非负数时， 才有意义． 的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个
若式子 【例 2】
1 x3
有意义， 则 x 的取值范围是
． [来源:学*科*网 Z*X*X*K]
举一反三：
1、使代数式
x
2
2 x 1 有意义的 x 的取值范围是 1 mn
a 1 a b a 1 a b
它运用如下性质：当 a>0，b>0 时，则：① b
；
②b
【典型Baidu Nhomakorabea题】
【例 22】 比较 3 5 与 5 3 的大小。
【例 23】比较
2 3 1
与
1 2 1
的大小。
【例 24】比较 7 6 与 6 5 的大小。
【例 26】比较 7 3 与 87 3 的大小。
2 【例 5】 化简： a 1 ( a 3) 的结果为（
）
A、4—2a
B、0
C、2a—4
D、4
举一反三：
3 已知直角三角形的两直角边分别为 2 和 5 ，则斜边长为
a (a 0) （公式 a 2 a 的应用） a ( a 0)
【例 6】已知 x 2 ,则化简 x 2 4 x 4 的结果是
【例 7】 如果表示 a，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简│a－b│
+ ( a b)
2
的结果等于（ B．2b
） C．－2a D．2a
A．－2b
举一反三：实数 a 在数轴上的位置如图所示：化简：
a 1 (a 2) 2 ______ ． 1
）
0
1
a
2
【例 8】化简 1 x x 2 8 x 16 的结果是 2x-5，则 x 的取值范围是（
A. 8 B. )
27
C.2 5
D.
1 2
举一反三：
1、下列各组根式中，是可以合并的根式是（ A、 3和 18 B、 3和 ）
2
1 3
C、 a b和 ab
2
D、 a 1和 a 1
2、如果最简二次根式 a=__________.
3a 8 与 17 2a 能 够 合 并 为 一 个 二 次 根 式 , 则
1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开 得尽方的数或因式． 2、同类二次根式（可合并根式） ： 几个二次根式化成最简二次根式后， 如果被开方数相同， 这几个二次根式就叫做同类二次 根式，即可以合并的两个根式。
【典型例题】
【例 11】下列根式中能与 3 是合并的是(
A、 x 2 B、 x 2 C、 x 2 D、 2 x
举一反三：
2、化简 4 x 4 x 1 （A） 2 （B） 4 x 4
2

2 x 3 得（
（C）－2

2
） （D） 4 x 4
1 1 4 (a ) 2 4 (a ) 2 a a 3、已知 a 0 ，化简求值：
（A）x 为任意实数 （B） 1 ≤x≤4 （C） x≥1 （D）x≤1
2 2 若代数式 (2 a) ( a 4) 的值是常数 2 ， 则 a 的取值范围是 （ 举一反三：
）
Ａ． a ≥ 4
Ｂ． a ≤ 2
Ｃ． 2 ≤ a ≤ 4
Ｄ． a 2 或 a 4 ）
【例 9】如果 a a 2 2a 1 1 ，那么 a 的取值范围是（ A. a=0 举一反三： B. a=1 C. a=0 或 a=1 D.
知识点四：二次根式计算——分母有理化
【知识要点】
1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式， 就说这两个代数式互 为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用 a a a 来确定，如： a与 a ， a b与 a b ， a b 与
已知：
，求
的值．
有意义， 那么， 直角坐标系中点 P （m， n） 的位置在 （ C、第三象限 D、第四象限 ）
2、 如果代数式 m A、第一象限
B、第二象限
【例 3】若 y= x 5 + 5 x +2009，则 x+y=
解题思路：式 子 a （a≥0） ，
x 5 0 , x 5 ，y=2009，则 x+y=2014 5 x 0
2
．
举一反三：
1、已知直角三角形两边 x、y 的长满足｜x －4｜＋ ＿＿＿＿＿＿. 2、若
2
y 2 5 y 6 ＝0，则第三边长为
2005
a b 1
a b 与 a 2b 4 互为相反数，则
_____________
。
（公式 ( a ) 2 a (a 0) 的运用）
b ；②如果 a b ，则
a b。
2、 平方法 当 a 0, b 0 时， ①如果 a b ， 则a b； ②如果 a b ， 则a b。
2 2 2 2
3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：① a b 0 a b ；② a b 0 a b 8、求商比较法
a≤1
1、如果 a a 6a 9 3 成立，那么实数 a 的取值范围是（
2
）
A .a 0 B .a 3 ; C .a 3 ; D .a 3
2、若 ( x 3) x 3 0 ，则 x 的取值范围是（ （A） x 3 （B） x 3 （C） x 3
a b 等分别互为有理化因式。
②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如 a b 与 a b ， a b与 a b ，
a x b y 与a x b y 分别互为有理化因式。
3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、 分母都乘以分母的有理化因式， 使分母中不含根式； ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
1 y 的值.
1 的值。 b2
知识点二：二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性：是一个非负数． 2. ( a ) 2 a ( a 0) ． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以
把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： a ( a ) 2 ( a 0) 3.
2
） （D） x 3
【例 10】化简二次根式 a
（A） a 2 (B)
a2 的结果是 a2 a2
(C) a 2 (D)
a2
1、把根号外的因式移到根号内：当 b ＞0 时， ＝ 。
b x＝ x
； ( a 1)
1 1 a
知识点三：最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】
（1） a 2 表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数． （2） ( a ) 2 表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数． （3） a 2 和 ( a ) 2 的运算结果都是非负的．
【典型例题】
a 2 b 3 c 4 0， a b c 【例 4】若 则