常微分方程阶段2复习题

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常微分方程习题二

x c1x1 (t ) c2 x2 (t ) cn xn (t ) （4.5）
其中 c1 , c2 ,, cn 是任意常数，且通解（4.5）包括方程（4.2）的所有解。
定理7
设x1 (t ), x2 (t ),, xn (t ) 为方程（4.2）
的基本解组，而x(t ) 为方程（4.1）的某一解，则方程（4.1）的通解可表为
记 lim n ( x) ( x), x [ x0 , x0 h].
n
(3.5)定义于 [ x0 , x0 h]上连续解 . 命题4 ( x)是积分方程
(3.5)定义于[ x0 , x0 h]上的命题5 设 ( x)是积分方程一个连续解 , 则 ( x) ( x), x [ x0 , x0 h].
5.解对初值和参数的连续性定理
设f ( x, y, )在区域G 连续, 且在G内一致地关于 y满足局部Lipschitz条件, 则方程(3.1) 的解y ( x, x0 , y0 , ) 作为x, x0 , y0 , 的函数在它们存在范围内是连续的 .
6.解对初值可微性定理
有复值解x U (t ) iV (t ), 其中ai (t )(i 1,2, n),
u (t ), v(t ) 都是实值函数，则U(t)和V(t)分别是方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x u (t ) n dt dt dt d x d x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x v(t ) 和 n dt dt dt
z (t ) 的实部 (t ) 和虚部 (t ) 以及共轭复数 z(t )

[考研类试卷]考研数学二(常微分方程)模拟试卷2.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）模拟试卷2一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

0 设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x>0)到坐标原点的距离，恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(1/2，0)．1 试求曲线L的方程；2 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形的面积最小．2 设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分．3 求曲线y=f(x)的方程；4 已知曲线y=sinx在上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s．5 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l：y=y(x)与直线Y=x相切于原点．记a为曲线f在点(x,y，)处切线的倾角，若da/dx=dy/dx,求y(x)的表达式．6 设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1-S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．7 设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1．对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式．8 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例常数k>0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的7/8，问雪堆全部融化需要多少小时?9 某飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开减速伞，以增大阻力，使飞机迅速减速并停下．现有一质量为9000kg的飞机，着陆时的水平速度为700km／h．经测试，减速伞打开后，飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数k=6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少? 注：kg 表示千克，km／h表示千米／小时．10 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用．设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为κ(κ>0)．试建立y与ν所满足的微分方程，并求出函数关系式y=f(ν)．11 某湖泊的水量为V1，每年排入湖泊内含污染物A的污水量为V/6，流入湖泊内不含A的水量为V／6，流出湖泊的水量为V／3．已知1999年底湖中A的含量为5m0，超过国家规定指标．为了治理污染，从2000年初起，限定排人湖泊中含A 污水的浓度不超过m0／V．问至多需经过多少年，湖泊中污染物A的含量降至m0以内?(注：设湖水中A的浓度是均匀的．)11 有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕，，轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分．)12 根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；13 求曲线x=φ(y)的方程.。

河北专接本数学(常微分方程)模拟试卷2(题后含答案及解析)

河北专接本数学（常微分方程）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 4. 解答题选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．方程y”＋4y’＝x2－1的待定特解形式可设为[ ]．A．y＝x(ax2＋b)B．y＝x(ax2＋bx＋c)C．y＝ax2＋bx＋cD．y＝ax2＋b正确答案：B 涉及知识点：常微分方程2．微分方程x ln x．y”＝y’的通解是[ ]．A．y＝C1xln x＋C1B．y＝C1x(ln x—1)＋C2C．y＝xln xD．y＝C1x(ln x—1)＋2正确答案：B 涉及知识点：常微分方程3．函数y＝3e2x是微分方程y”－4y＝0的[ ]．A．通解B．特解C．是解，但既非通解也非特解D．不是解正确答案：B 涉及知识点：常微分方程4．方程y”＋y＝cosx的待定特解形式可设为[ ]．A．y＝axcosxB．y＝acosxC．y＝a cosx＋b sin xD．y＝x(a cos x＋bsin x)正确答案：D 涉及知识点：常微分方程5．若某二阶常系数齐次微分方程的通解为y＝C1e－2x＋C2ex，则该微分方程为[ ]．A．y”＋y’＝0B．y”＋2y’＝0C．y”＋y’－2y＝0D．y”－y’－2y＝0正确答案：C 涉及知识点：常微分方程填空题6．已知二阶常系数齐次微分方程的通解为y＝C1ex＋C2e－x，则原方程为_______．正确答案：y”－y＝0 涉及知识点：常微分方程7．以y＝e3x，y＝xe2x为特解的二阶常系数齐次微分方程为_______．正确答案：y”－4y’＋4y＝0 涉及知识点：常微分方程8．已知微分方程y”＋y＝x的一个解为y1＝x,微分方程y”＋y＝ex的一个解为，则微分方程y”＋y＝x＋ex的通解为_______．正确答案：y＝C1cosx＋C2sinx＋＋x。

涉及知识点：常微分方程9．微分方程xy’－yln y＝0的通解为_______．正确答案：y＝eCx 涉及知识点：常微分方程10．微分方程y”＝2y’的通解为_______．正确答案：y＝C1＋C2e2x 涉及知识点：常微分方程11．微分方程y’＝e2x－y满足初始条件的特解为_______。

《常微分方程》练习题二

常微分方程练习题二一、填空题1．方程y y xy ln d d =所有常数解是（ y=1 ）． 2．方程y x x y cos cos d d +=满足解的存在惟一性定理条件的区域是（全平面）．3．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（ n ）维线性空间．4．方组0y y ''+=的基本解组是（ y 1=cos x, y 2=sin x ）．5．若函数组)()(21x x ϕϕ，在区间),(b a 上线性相关，则它们的朗斯基行列式)(x W 在区间),(b a 上（恒等于零）． 6．方程d cos d x y y xe x+=的任一解的最大存在区间必定是 (,)-∞+∞ ． 7．方程sin cos dy x y dx =⋅满足解的存在惟一性定理条件的区域是 xoy 平面．8．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间．9．方程2sin dy x y dx=的所有常数解是 ,0,1,2,y k k π==±± ． 10．方程20y y y '''++=的基本解组是 y=ex - y=xe x - ．一、单项选择题 1．方程t t x x xcos 2=++ 的任一解的最大存在区间都是（ B ）．（A ）),0(∞+ （B ）),(∞+-∞ （C ）)0,(-∞ （D ）)2,1(2. 李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（ A ）条件．（A ）充分（B ）必要（C ）充分必要（D ）必要非充分3．方程2d d y xy =过点)1,3(-的解的存在区间是（ C ）．（A ）),0(∞+ （B ）)3,(-∞ （C ）),2(∞+ （D ）),2[∞+4．方程03=+x x的任一非零解在),,(x x t 空间中（ A ）．（A ）不能与t 轴相交（B ）可以与t 轴相交（C ）可以与t 轴横解相交（D ）可以与t 轴相切5．用待定系数法求方程x y y sin 2=+''的非齐次特解1y 时，应将特解1y 设为（ D ）．（A ）x A y sin 1= （B ）x B x A y cos sin 1+=（C ）x B y cos 1= （D ）)cos sin (1x B x A x y +=6．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解唯一的( B )条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分7．方程0x x +=的任一非零解在tox 平面上（ A ）与t 轴横截相交．（A ）可以（B ）不可以（C ）只能在0t =处可以（D ）只能在2t π=处可以8. 方程1y '=（ D ）奇解．（A ）有一个（B ）有无数个（C ）只有两个（D ）无9．方程y '=(0,0)解sin y x =，这个解的存在区间是（ C ）．（A ）(0,)+∞ （B ）(,0)-∞ （C ）[,]22ππ-（D ）(,)-∞+∞ 10．线性齐次微分方程组的解组12(),(),,()n Y x Y x Y x 在区间I 上线性相关的（ B ）条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式()0W x =．（A ）充分（B ）充分必要（C ）充分非必要（D ）必要三、简答题1. 用分离变量法求解方程()()dy f x y dxϕ=的步骤和原理是什么？化成积分方程求解且二者等价1. 该方程在全平面上满足解的存在唯一及延展定理条件,因此该方程任一解可以延展到平面的无穷远处，为什么该方程的所有解不能都在(,)-∞+∞上存在,这与解的延展定理矛盾吗?为什么？不矛盾，因为平面的无穷远有任意的方向。

常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（30%）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是（）。

有只含y 的积分因子的充要条件是。

２、称为黎卡提方程，它有积分因子。

３、称为伯努利方程，它有积分因子。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是。

５、形如的方程称为欧拉方程。

６、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵，则()t φ和()t ψ具有的关系是。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为时，零解是稳定的，对应的奇点称为。

二、计算题（６０％）1、3()0ydx x y dy -+= ２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求４、32()480dy dy xy y dx dx -+= ５、求方程2dy x y dx=+经过（0，0）的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x ydt dt=--+=--的奇点,并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（１０％）１、n阶齐线性方程一定存在n个线性无关解。

常微分方程期终试卷(2)一、填空题 30%1、形如的方程，称为变量分离方程，这里.)().(y x f ϕ分别为的连续函数。

2、形如的方程，称为伯努利方程，这里x x Q x P 为)().(的连续函数，可化为线性方程。

是常数。

引入变量变换-------≠1.03、如果存在常数使得不等式,0 L 对于所有称为利普希兹常数。

都成立，（L R y x y x ∈),(),,21函数),(y x f 称为在R 上关于y 满足利普希兹条件。

4、形如的方程，称为欧拉方程，这里是常数。

,,21a a5、设是的基解矩阵，是)()(t Ax x t ϕφ=')()(t f x t A x +='的某一解，则它的任一解可表为)(t γ。

常微分方程阶段复习题2

《常微分方程》试题一.填空题1．若)(t x i （i=1,2,┄,n ）是n 阶线性齐次方程的一个基本解组，x(t)为非齐性齐次方程方程的一个特解，则非齐线形方程的所有解可表为2．若ϕ（t ）和ψ（t ）都是x ˊ= A(t) x 的基解矩阵，则ϕ（t ）与ψ（t ）具有关系：3．若ϕ（t ）是常系数线性方程组x Ax '=的基解矩阵,则该方程满足初始条件0()t ψη=的解()t ψ=_____________________4．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个维线性空间.6. 向量函数组Y 1(x ), Y 2(x ),…,Y n (x )线性相关的条件是它们的朗斯期行列式W (x )=0.7.若X 1(t), X 2(t) , X n (t)为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是8.若)()(t t ψφ和都是'X =A(t)X 的基解矩阵，则 )()(t t ψφ和具有关系：二.单选题1.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 20的解，试指出下列哪个函数是方程的通解。

（式中C C 12,为任意常数）（）（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+122cos sin2.微分方程1x y y e ''-=+的一个特解应有形式 ( )（A ）b ae x +；（B ）bx axe x +；（C ）bx ae x +；（D ） b axe x +3.微分方程'''+'=y y x sin 的一个特解应具有形式 ( )（A ）A x sin （B ）A x cos（C ）Asix B x +cos （D ）x A x B x (sin cos )+4.微分方程''+=y y x x cos2的一个特解应具有形式（）（A ）()cos ()sin Ax B x Cx D x +++22 （B ）()cos Ax Bx x 22+（C ）A x B x cos sin 22+ （D ）()cos Ax B x +25.微分方程012'''=++y y 的通解是（）（A ）x e x C C y -+=)(21；（B ）x x e C e C y -+=21；（C ）x e C C y x 21221-+=-；（C ）x x C x C y 21sin cos 21-+=。

二阶常系数微分方程部分(201308)习题及解答

二阶常系数微分方程部分习题1. 设方程xy ay by ce '''++=的一个特解为:2(1)x x y e x e =++,试确定常数,,a b c ,并求该微分方程的通解.2. 设微分方程322e xy y y ¢¢¢-+=的积分曲线与另一曲线x y ìïïïíï=ïïî在1x =处有相同切线，求此积分曲线方程．3.求方程2cos 2sin y y y x x x ¢¢¢-+=+的通解．4．求解微分方程x y x y x y x e cos 2sin 3cos ¢¢¢-+=。

5.求微分方程34(107)34sin x y y y x e x -'''--=-+的通解。

6.求微分方程(4)22210y y y y ''''''-+-+=的通解。

7. 设函数()y y x =在(,)-¥+¥内具有二阶导数，且0,()y x x y ¢¹=是()y y x =的反函数。

(1) 试将()x x y =所满足的微分方程232(sin )()0d x dxy x dy dy++=变换为()y y x =满足的微分方程； (2) 求变换后的微分方程满足初始条件3(0)0,(0)2y y ¢==的解。

8．已知21x x y xe e =+，2x x y xe e -=+，23x xx y xe e e -=+-是二阶线性非齐次方程的三个解，求此微分方程。

10.设u f =在第一象限内有二阶连续的偏导数，且22220u ux y∂∂+=∂∂，1()lim21x f x x →=-，试求()f x 的表达式。

常微分方程阶段(2)复习题

《常微分方程》第二阶段试题一. 单选题1. 函数 )cos(C x y +=（其中C 为任意常数）所满足的微分方程是（） )sin()(C x y A +-='； 1)(22=+'y y B ；)sin()(C x y C +='； 22)(22=+'y y D 。

2.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=成为其基本解组的充要条件是（）（A ）线性无关（B ）朗斯基行列式为零（C ）12()=()x C x ϕϕ（常数）（D ）线性相关 3.二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ϕ=,)(2x y ϕ=不是基本解组的充要条件是（）（A ）线性无关（B ）朗斯基行列式不为零（C ）12()()x C x ϕϕ≠（常数）（）线性相关 4.线性齐次微分方程组()dx A t x dt=的一个基本解组的个数不能多于（）（A ） -1n （B ） n （C ）+1n （D ）+2n 5．n 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数不能多于（）个．（A ） n （B ）-1n （C ）+1n （D ）+2n6. 设常系数线性齐次方程特征方程根i r r ±=-=4,32,1,1，则此方程通解为（）（A ）x C x C e x C C y x sin cos )(4321+++=-；（B ）x C x C e C y x sin cos 321++=-；（C ）x x C x C e C y x sin cos 321++=-；（D ）x C x x C e C y x sin cos )(321+++=-7.方程xxe y y 2'2"=-的特解具有形式（）。

（A ） x Axe y 2*=; （B ） x e B Ax y 2)(*+=;（C ） x e B Ax x y 2)(*+= ; （D ）x e B Ax x y 22)(*+=。

常微分方程第2章习题答案

习题２-4１．求解下列微分方程：（１）yx xy y --='22；解：令ux y =，则原方程化为uu u dx du x --=+212，即x dxdu u u =--122，积分得：c x u u u +=--+-ln 1ln 2111ln2 还原变量并化简得：3)()(y x c x y +=-（２）4252--+-='y x x y y ；解：由⎩⎨⎧=--=+-042052y x x y 得 ⎩⎨⎧-==21y x令2,1+=-=y v x u ，则有vu u v du dv --=22，由第一题的结果知此方程解为3)()(v u c u v +=-，还原变量并化简得：.)1(33++=+-y x c x y（３）14212-+++='y x y x y ；解：令y x v 2+=，则1212121-++=+=v v dx dy dx dv ，即1214-+=v v dx dv ，此方程为变量分离方程，分离变量并积分得：c x v v +=+-14ln 8321，还原变量并化简得：c y x x y =++--184ln 348．（４）xy y x y -='33．解：①当0≠y 时，方程两边同时乘以32--y ,则233222--+-='-xy x y y ，令2-=y z ，则322x xz dxdz-=, 此方程为一阶线性方程，由公式得：122++=x ce z x还原变量得：122)1(2-++=x ce y x . ②0=y 也是方程的解．2. 利用适当的变换，求解下列方程：（１）)cos(y x y -='；解：令y x u -=，则u dx dy dx du cos 11-=-=， ①当1cos ≠u 时，有dx udu =-cos 1，即 dx u du=2sin 22，两边积分得：c x uctg +=221还原变量化简得：2sin 2sin 22cos yx c y x x y x -+-=-． ②当1cos =u 时，即πk x y 2+=)(Z k ∈也是方程的解．（２）0)()3(22=+++dv uv u du v uv ；解：方程两边同时乘以u 则原方程化为：0)()3(2322=+++dv v u u du uv v u ，即 0)()3(2232=+++vdv u du uv dv u vdu u 此方程为全微分方程，则原方程的解为：c v u v u =+22321．（３）)2(2)3(222yx y x dx dy y x -=++；解：原方程即为324222222++-=y x x y xdx ydy ，令u y v x ==22,，则324++-=v u vu dv du ,由⎩⎨⎧=++=-03024v u v u 得⎩⎨⎧-=-=21v u ，令⎩⎨⎧+=+=21v n u m ，则有n m n m dn dm +-=24令z n m=，则zn m =， 124+-=+=z z z n dn dz dn dm ，则有1)2)(1(+--=z z z n dn dz ，此方程为变量分离方程，分离变量并积分得：n c zz ln 2)1(ln32+=--，还原变量并化简得：322222)32()1(-+-=+-y x c y x .（４）yy y x xxy x dx dy 8237323223-+-+=．解：原方程即为823732222222-+-+=y x y x xdx ydy ，令22,x v y u ==,则823732-+-+=u v u v dv du ，由⎩⎨⎧=++=-+08230732u v u v ⎩⎨⎧==⇒21v u ，令⎩⎨⎧-=-=21v n u m ，则m n m n dn dm 2332++=，令z n m=，可将方程化为变量分离形方程， n dn dz zz =-+)2223(2，两边积分得：c n z z z +=---+ln 1ln 2111ln 432，还原变量并化简得：)3()1(22522-+=--y x c y x ．3. 求解下列微分方程：（１）．2241xy y --='；解：令xy z =，则原方程可化为：)41(12-+-=z z x dx dz ， ①当21≠z 时，即21≠xy 时方程为x dxdz z =--2)21(1 ，此方程为变量分离方程，两边积分得：c x z +=-ln 211还原变量并化简得：cxx x x y ++=ln 121； ②当21=z 时，xy 21=是方程的特解．（２）．1222++='xy y x y x ；解：原方程即为：221x x y y y ++='，令xy z =，则2)1(1+=z xdx dz ，此方程为变量分离方程，分离变量积分得：c x z +=+-ln 11，还原变量并化简得：cxx x x y +--=ln 11． 4. 试把二阶微分方程0)()(=+'+''y x q y x p y 化为一个黎卡提方程．解：令⎰=udxe y ，则⎰='udxue y ，+⎰=''udxe u y 2⎰'udxe u ，代入原方程可得：=+'+''y x q y x p y )()(+⎰udxe u 2⎰'udxe u ＋)()(x q ue x p udx+⎰⎰udxe ＝０，即有：0)()(2=++'+x q u x p u u ，此方程为一个黎卡提方程．5. 求一曲线，使得过这一曲线上任一点的切线与该点向径的夹角等于45．解：设此曲线为)(x y y =，由题意得：1451==+-tg xy dx dy x y dx dy ，化简得：y x y x dx dy -+=，此方程为齐次方程，解之得：c y x x y arctg =+-)ln(2122．6. 探照灯的反光镜（旋转面）应具有何种形状，才能使点光源发射的光束反射成平行线束？解：取点光源所在处为坐标原点，而x 轴平行于光的反射方向，建立三维坐标系．设所求曲面由曲线⎩⎨⎧==0)(z x f y 绕x 轴旋转而成,则求反射镜面问题归结为求 xy 平面上的曲线y=f(x)的问题．由题意及光的反射定律，可得到函数)(x f y =所应满足的微分方程式：22yx x ydx dy ++=，此方程为齐次方程，解之得：)2(2x c c y +=，（其中c 为任意正常数）．)2(2x c c y +=就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此反射镜面的形状为旋转抛物面)2(22x c c z y +=+．习题２-5１．求解下列微分方程：（１）．0)()23(2232=++++dy y x dx y xy y x ；解：方程两边同乘xe33，则)33()369(233323323=++++dy y e dx y e dy x e xydx e ydx x e x x x x x ，此方程为全微分方程，即 c y e y x e x x =+33233．（２）．0)2(2=-+-dy e xy ydx y ；解：方程两边同乘y e y 21，则 0)12(22=-+dy yxe dx e y y即01)2(22=-+dy ydy xe dx e yy 此方程为全微分方程，即有 c y xe y =-ln 2 ．（３）．0)3()63(2=+++dy xyy x dx y x ；解：方程两边同乘 xy ，则0)3()63(232=+++dy y x dx x y x即 0)36()3(232=+++dy y xdx dy x ydx x 此方程为全微分方程，即有c x y y x =++2333 ．（４）．22()0ydx x y x dy -++=; 解：方程两边同乘221y x +，则 022=-+-dy yx xdyydx ，此方程为全微分方程，即 c y yxarctg=- （5）．0)1(2223=-+dy y x dx xy ；解：方程两边同乘21y ，则0)1(222=-+dy y x xydx ，此方程为全微分方程，即c y x y=+21. （6）．0)1(=-+xd y dx xy y ；解：方程两边同乘21y ，则0)1(2=-+dy y xdx y xdx ，此方程为全微分方程，即c x y x =+221. （7）0)(2223=-+dy xy x dx y ；解：方程两边同乘y x 21，则 02)2(22=+-dy y dy x y dx x y ，此方程为全微分方程，即 c y xy =+-ln 22（8）．0)c o s2(=++dy y y ctgy e dx e xx解：方程两边同乘y sin ，则02sin )cos sin (=++ydy yc ydy e ydx e x x ，此方程为全微分方程，即 11cos cos 2sin 224xe y y y y c -+=. 2. 证明方程（5.1）有形如)),((y x φμμ=的积分因子的充要条件是)),((y x f yP P x Q Q xQy P φ=∂∂-∂∂∂∂-∂∂，并写出这个积分因子。

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4.doc

[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4.doc[考研类试卷]考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编4一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (02年)设y=y(x)是二阶常系数微分方程y"+py'+qy=e3x满足初始条件y(0)=y’(0)=0的特解，则当x→0时．函数的极限．（A）不存在（B）等于1（C）等于2（D）等于32 (03年)已知是微分方程的表达式为3 (04年)微分方程y"+y=x2+1+sinx的特解形式可设为（A）y*=ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．（B）y*=x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．（C）y*=(ax2+bx+c+Asinx．（D）y*=ax2+bx+c+Acosx．4 (06年)函数y=C1e x+C2e-2x+xe x满足的一个微分方程是（A）y"一y’一2y=3xe x．（B）y"-y’一2y=3e x．（C）y”+y’一2y=3xe x．（D）y"+y'-2y=3e x．5 (08年)在下列微分方程中，以y=C1e x+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是（A）y"'+y"-4y’-4y=0．（B）y"'+y"+4y’+4y=0．（C）y"'一y”一4y’+4y=0．（D）y"'-y"+4y’一4y=0．6 (10年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则7 (11年)微分方程y"一λ2y=eλx+e-λx(λ＞0)的特解形式为（A）a(eλx+e-λx)．（B）ax(eλx+e-λx)．（C）x(aeλx+be-λx)．（D）x2(aeλx+be-λx)．8 (17年)微分方程y”一4y’+8y=r2x(1+cos2x)的特解可设为y’=（A）Ae2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（B）Axe2x+e2x(Bcos2x+Csin2x)．（C）Ae2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．（D）Axe2x+xe2x(Bcos2x+Csin2x)．二、填空题9 (04年)微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1=的特解为_______．10 (05年)微分方程xy’+2y=3xlnx满足y(1)=的解为______．11 (06年)微分方程的通解是_______．12 (07年)二阶常系数非齐次线性微分方程y"一4y’+3y=2e2x 的通解为y=________．13 (08年)微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0的通解是y=______．14 (10年)3阶常系数线性齐次微分方程y"'一2y"+y’一2y=0的通解为y=_______．15 (11年)微分方程y’+y=e-x cosx满足条件y(0)=0的解为y=________．16 (12年)微分方程ydx+(x一3y2)dy=0满足条件y|x=1=1的解为y=______．17 (13年)已知y1=e3x一xe3x，y2=e x一xe2x，y3=一xe2x 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y|x=0=0，y'|x=0=1的解为y=______．18 (15年)设函数y=y(x)是微分方程y"+y'-2y=0的解，且在x=0处y(x)取得极值3,则y(x)=______．19 (16年)以y=x2一e x和y=x2为特解的一阶非齐次线性微分方程为__________．三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。

1. 方程x 3 d 2 x1 0 是阶（线性、非线性）微分方程 .dt 22.x dyf ( xy) 经变换 _______ ，可以化为变量分离方程.方程y dx3. 微分方程d 3 y y 2 x0 满足条件 y(0) 1, y (0)2 的解有个 .dx 34. 设常系数方程5. 朗斯基行列式yyy ex的一个特解y * (x) e 2 x e x xe x ，则此方程的系数，， .W (t )是函数组x 1(t ), x 2 (t ), , x n (t ) 在 a x b 上线性相关的条件 .6. 方程xydx (2x 2 3y 220)dy 0 的只与 y 有关的积分因子为.7. 已知XA(t) X 的基解矩阵为(t ) 的，则 A(t).8. 方程组x '2 0 x 的基解矩阵为．0 59. 可用变换将伯努利方程化为线性方程 .10 . 是满足方程y 2 y 5 y y 1 和初始条件的唯一解 .11. 方程的待定特解可取的形式 :12. 三阶常系数齐线性方程y 2 y y 0的特征根是二、计算题1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线相互垂直 .dy x y 12．求解方程xy.dx33. 求解方程xd 2x( dx )20 。

dt 2dt4 ．用比较系数法解方程 ..5 ．求方程yy sin x 的通解 . 6 ．验证微分方程(cos xsin xxy 2 )dx y(1 x 2 )dy 0 是恰当方程，并求出它的通解 .A 311dX(t) ，求dX7．设24，，试求方程组 A X 的一个基解基解矩阵 A X 满足初始条件 x(0)的解 .1dt dt8. 求方程dy 2x13y2通过点 (1,0) 的第二次近似解.dx9.求( dy )34xy dy8 y20的通解dx dxA 21试求方程组 xAx 的解(t ), (0) 1 ,10. 若14并求 expAt2三、证明题1.若2.设(t ), (t ) 是 X A(t )X 的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵 C ，使得(t)(t )C .(x) (x0 , x) 是积分方程x2 y( ) ] d ,y( x) y0[x0 , x [ , ]x0的皮卡逐步逼近函数序列{n ( x)}在[ ,] 上一致收敛所得的解，而(x) 是这积分方程在 [ , ] 上的连续解，试用逐步逼近法证明：在[ , ] 上( x)( x) .3.设都是区间上的连续函数,且是二阶线性方程的一个基本解组.试证明:(i)和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);(ii)和没有共同的零点;(iii)和没有共同的零点.4. 试证：如果(t ) 是dXAX 满足初始条件(t0)的解，那么 (t ) exp A(t t0 ) dt.答案一 . 填空题。

考研数学二(常微分方程)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(2004年)微分方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχ的特解形式可设为【】A．y*＝aχ2＋bχ＋c＋χ(Asinχ＋Bcosχ)．B．y*＝χ(aχ2＋bχ＋c＋Asinχ＋Bcosχ)．C．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Asinχ．D．y*＝aχ2＋bχ＋c＋Acosχ．正确答案：A解析：方程y〞＋y＝0的特征方程为ρ2＋1＝0，其特征根为ρ＝±i，因此方程y〞＋y＝χ2＋1＋sinχy*＝aχ＋bχ＋C＋χ(Asinχ＋Bcosχ) 故应选A．知识模块：常微分方程2．(2006年)函数y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ满足的一个微分方程是【】A．y〞－y′－2y＝3χeχ．B．y〞－y′－2y＝3eχ．C．y〞＋y′－2y＝3χeχ．D．y〞＋y′－2y＝3eχ．正确答案：D解析：由y＝C1eχ＋C2e－2χ＋χeχ知，齐次方程的两个特征根分别为1和－2，所以只有C和D项可能是正确的选项，将y＝χeχ代入D项中方程知其满足该方程，则应选D．知识模块：常微分方程3．(2008年)在下列微分方程中，以y＝C1eχ＋C2cos2χ＋C3sin2χ(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是【】A．＋y〞－4y′－4y＝0．B．＋y〞＋4y′＋4y＝0．C．－y〞－4y′＋4y＝0．D．－y〞＋4y′－4y＝0．正确答案：D解析：由原题设知所求方程的特征方程的根为ρ1＝1，ρ2，3＝±2i 则其特征方程为(ρ－1)(ρ2＋4)＝0，故所求方程应为y″′－y〞＋4y′－4y＝0 故应选D．知识模块：常微分方程4．(2010年)设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的两个特解，若常数λ，μ使λy1＋μy2是该方程的解，λy1－μy2是该方程对应的齐次方程的解，则【】A．B．C．D．正确答案：A解析：由于λy1＋μy2为方程y′＋p(χ)y＝q(χ)的解，则(λy1＋μy2)′＋p(χ)(λy1＋μy2)＝g(χ) 即λ(y′1＋p(χ)y1)＋μ(y′2＋p(χ)y2)＝q(χ) λq(χ)＋μ(χ)＝q(χ) λ＋μ＝1 (1) 由于λy1－μy2为方程y′＋p(χ)y＝0的解，则(λy1－μy2)′＋p(χ)(λy1－μy2)＝0 λ(y′1＋p(χ)y1)－μ(y′2＋p(χ)y2)＝0 λq(χ)－μq(χ)＝0 λ－μ＝0 (2) 由(1)式和(2)式解得λ＝μ＝知识模块：常微分方程5．(2011年)微分方程y〞－λ2y＝eλχ＋e－λχ(λ＞0)的特解形式为【】A．aχ(eλχ＋e－λχ)．B．aχ(eλχ＋e－λχ)．C．χ′〞(aeλχ＋be－λχ)．D．χ2(aeλχ＋be－λχ)．正确答案：C解析：方程y〞－λ2y＝0的特征方程为r2－λ2＝1 r1＝λ，r2＝－λ方程y〞－λ2y＝eλχ的特解形式为aχeλχ方程y〞－λ2y＝e－λχ的特解形式为bχe－λe 则原方程的特解形式为y＝χ(aχeλχ＋bχe－λχ) 故应选C．知识模块：常微分方程填空题6．(2006年)微分方程y′＝的通解是_______．正确答案：y＝Cχe－χ．解析：则ln｜y｜＝ln｜χ｜－χ＝ln｜χ｜＋lne－χ＝ln(｜χ｜e－χ) y＝Cχe－χ．知识模块：常微分方程7．(2007年)二阶常系数非齐次线性微分方程y〞－4y′＋3y＝2e2χ的通解为y＝_______．正确答案：y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ．解析：齐次方程特征方程为ρ2－4ρ＋3＝0 解得ρ1＝1，ρ2＝3，则齐次方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ设非齐方程特解为＝Ae2χ，代入原方程得A＝－2，则原方程通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－2e2χ知识模块：常微分方程8．(2008年)微分方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0的通解是y＝_______．正确答案：y＝χ(C－e－χ)．解析：方程(y＋χ2e－χ)dχ－χdy＝0可改写为知识模块：常微分方程9．(2010年)3阶常系数线性齐次微分方程－2y〞＋y′－2y＝0的通解为y ＝________．正确答案：y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．解析：方程y″′＝2y〞＋y′－2y＝0的特征方程为r3－2r2＋r－2＝0 即r2(r－2)＋(r－2)＝0 (r－2)(r2＋1)＝0 r1＝2，r2，3＝±l′则原方程通解为y＝C1e2χ＋C2cosχ＋C1sinχ．知识模块：常微分方程10．(2011年)微分方程y′＋y＝e－χcosχ满足条件y(0)＝0的解为y＝_______．正确答案：e－χsinχ．解析：由一阶线性方程的通解公式得y＝＝e－χ[∫cosχdχ＋c]＝e－χ[sinχ＋C] 由y(0)＝0知，C＝0，则y＝e－χsinχ知识模块：常微分方程11．(2012年)微分方程ydχ＋(χ－3y2)dy＝0满足条件y｜χ＝1＝1的解为y＝_______．正确答案：解析：由ydχ＋(χ－3y2)dy＝0 得这是一阶线性微分方程，由通解公式得又因为y＝1时，χ＝1，解得C＝0，故χ＝y2．y＝知识模块：常微分方程12．(2013年)已知y1＝e3χ－χe2χ，y2＝eχ－χe2χ，y3＝－χe2χ是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程满足条件y｜χ＝0＝0，y′｜χ＝0＝1的解为y＝_______．正确答案：C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．解析：由题设知y1－y3＝e3χ，y2－y3＝eχ为齐次方程两个线性无关的特解，则非齐次方程的通解为y＝C1eχ＋C2e3χ－χe2χ．知识模块：常微分方程13．(2015年)设函数y＝y(χ)是微分方程y〞＋y′－2y＝0的解，且在χ＝0处y(χ)取得极值3，则y(χ)＝_______．正确答案：2eχ＋e－2χ．解析：原方程的特征方程为λ2＋λ－2＝0 特征根为λ1＝1，λ2＝2 原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－2χ由y(0)＝3，y′(0)＝0得则C1＝2，C2＝1，y＝2eχ＋e－2χ．知识模块：常微分方程解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

常微分方程试题库试卷库2

常微分方程期终考试试卷(1)一、填空题（3０％）1、方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=有只含x 的积分因子的充要条件是( )。

有只含y 的积分因子的充要条件是_＿_____＿______。

２、______＿______称为黎卡提方程，它有积分因子＿_＿__＿_＿____＿_。

３、____＿＿＿_＿_______＿_称为伯努利方程,它有积分因子____＿＿___。

４、若12(),(),,()n X t X t X t 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是____＿______＿＿＿__＿____＿____。

5、形如＿＿___＿_____＿＿__＿_＿_的方程称为欧拉方程。

6、若()t φ和()t ψ都是'()x A t x =的基解矩阵,则()t φ和()t ψ具有的关系是____＿__＿_____＿＿__＿__＿____＿__＿。

７、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为___＿__＿＿＿时,零解是稳定的,对应的奇点称为_＿＿____＿___。

二、计算题（6０%）1、3()0ydx x y dy -+=２、sin cos2x x t t ''+=-３、若2114A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦试求方程组x Ax '=的解12(),(0)t ηϕϕηη⎡⎤==⎢⎥⎣⎦并求exp Ａt４、32()480dy dyxy y dx dx-+=5、求方程2dyx y dx =+经过（０，０)的第三次近似解6.求1,5dx dyx y x y dt dt =--+=--的奇点，并判断奇点的类型及稳定性.三、证明题（1０%）1、n 阶齐线性方程一定存在n 个线性无关解。

常微分方程期终试卷(２)一、填空题 30％1、形如_＿____＿__＿_＿的方程,称为变量分离方程，这里．)().(y x f ϕ分别为x ．y的连续函数。

2、形如＿_＿___＿__＿___的方程，称为伯努利方程,这里x x Q x P 为)().(的连续函数.n ，可化为线性方程。

常微分方程2.2习题参考解答

习题2.2求下列方程的解1．dxdy =x y sin +解：y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx c dx +)=e x [-21e x -(x x cos sin +)+c]=c e x -21(x x cos sin +)是原方程的解。

2．dt dx +3x=e t2解：原方程可化为：dt dx =-3x+e t 2所以：x=e ⎰-dt 3(⎰e t 2e -⎰-dt 3c dt +)=e t 3-(51e t 5+c)=c e t 3-+51e t 2是原方程的解。

3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 21⎰e dt dt ⎰3c +)=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin )=e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．dx dy nx x e y n x =-，n 为常数.解：原方程可化为：dx dy nx x e y nx +=)(c dx e x e e y dx x n n x x n +⎰⎰=⎰-)(c e x x n +=是原方程的解.5．dx dy +1212--y x x =0解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ⎰=-dx x x e y 212(c dx e x x+⎰-221))21(ln 2+=x e )(1ln 2⎰+--c dx ex x =)1(12x ce x +是原方程的解.6．dx dy 234xy x x +=解：dx dy 234xy x x +==23y x +x y 令x y u =则uxy =dx dy =u dx du x +因此：dx du x u +=2u x 21udx du =dxdu u =2c x u +=331c x x u +=-33（*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.3332()21()227.(1)12(1)12(),()(1)1(1)(())1(1)dx P x dx x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 232解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23221(1)()211,()(())dy y x c dy y dx x y dx x y dy y yQ y y ye yQ y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

(完整版)常微分方程复习资料

常微分方程复习资料一、填空题1．一阶微分方程的通解的图像是维空间上的一族曲线． 2．方程02=+'-''y y y 的基本解组是． 3．一个不可延展解的存在在区间一定是区间．4．方程21d d y x y-=的常数解是．5．方程22d d y x xy+=满足解的存在唯一性定理条件的区域是．6．若)(x y ϕ=在),(∞+-∞上连续，则方程y x xy)(d d ϕ=的任一非零解与x 轴相交． 7．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，如果)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续，那么它的任一非零解在xoy 平面上与x 轴相切．8．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y Λ在其定义区间I 上线性相关的条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈．9．方程0d )1(1)d (22=-+-y x y x y x 所有常数解是． 10．方程04=+''y y 的基本解组是．11．方程1d d +=y xy满足解的存在唯一性定理条件的区域是．12．若)(),(21x y x y ϕϕ==是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们共同零点．二、单项选择题1．方程y x xy+=-31d d 满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是（）．（A ）上半平面（B ）xoy 平面（C ）下半平面（D ）除y 轴外的全平面 2．)(y f 连续可微是保证方程)(d d y f xy=解存在且唯一的（）条件．（A ）必要（B ）充分（C ）充分必要（D ）必要非充分 3．二阶线性非齐次微分方程的所有解（）．（A ）构成一个2维线性空间（B ）构成一个3维线性空间（C ）不能构成一个线性空间（D ）构成一个无限维线性4．方程323d d y xy=过点(0, 0)有（）．(A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 5．n 阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间．（A ）n 维（B ）1+n 维（C ）1-n 维（D ）2+n 维 6. 方程2d d +-=y x xy（）奇解．（A ）有三个（B ）无（C ）有一个（D ）有两个7．若)(1x y ϕ=，)(2x y ϕ=是一阶线性非齐次微分方程的两个不同特解，则该方程的通解可用这两个解表示为（）．（A ）)()(21x x ϕϕ- （B ）)()(21x x ϕϕ+ （C ）)())()((121x x x C ϕϕϕ+- （D ）)()(21x x C ϕϕ+8．),(y x f y '连续是方程),(d d y x f xy=初值解唯一的（）条件．（A ）必要（B ）必要非充分（C ）充分必要（D ）充分9．方程y xy=d d 的奇解是（）．（A ）x y = （B ）1=y （C ）1-=y （D ）0=y10. 方程21d d y x y -=过点)1,2(π共有（）个解．（A ）一（B ）无数（C ）两（D ）三11．n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个．（A ）n （B ）n -1 （C ）n +1 （D ）n +2 12．一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（）．（A ）不是其对应齐次微分方程组的解（B ）是非齐次微分方程组的解（C ）是其对应齐次微分方程组的解（D ）是非齐次微分方程组的通解13．如果),(y x f ，y y x f ∂∂),(都在xoy 平面上连续，那么方程),(d d y x f xy=的任一解的存在区间（）．（A ）必为),(∞+-∞ （B ）必为),0(∞+ （C ）必为)0,(-∞ （D ）将因解而定三、计算题求下列方程的通解或通积分：1.y y xyln d d = 2. x y x y x y +-=2)(1d d 3. 5d d xy y xy += 4．0)d (d 222=-+y y x x xy5．3)(2y y x y '+'= 6. 21d d xxy x y += 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x9．0e =-'+'x y y 10．0)(2='+''y y y11. x y x y x y tan d d += 12. 1d d +=x y x y13. 0d d )e (2=+-y x x y x y14．1)ln (='-'y x y15．022=+'+''x y y y 16．求方程255x y y -='-''的通解．17．求下列方程组的通解．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=xty ty t x d d sin 1d d 18．求方程x y y e 21=-''的通解．19．求下列方程组的通解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=y x ty y x tx43d d 2d d ．五、证明题1．设)(x f 在),0[∞+上连续，且0)(lim =+∞→x f x ，求证：方程)(d d x f y xy=+的一切解)(x y ，均有0)(lim =+∞→x y x ．2．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，)(),(x q x p 在),(∞+-∞上连续，求证：若)(x p 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式)(x W 是),(∞+-∞上的严格单调函数．3．设),(y x f 在整个xoy 平面上连续可微，且0),(0≡y x f ．求证：方程),(d d y x f xy= 的非常数解)(x y y =，当0x x →时，有0)(y x y →，那么0x 必为∞-或∞+． 4．设)(1x y ϕ=和)(2x y ϕ=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数．5．在方程)()(d d y y f xyϕ=中，已知)(y f ，)(x ϕ'在),(∞+-∞上连续，且0)1(=±ϕ．求证：对任意0x 和10<y ，满足初值条件00)(y x y =的解)(x y 的存在区间必为),(∞+-∞．6．在方程0)()(=+'+''y x q y x p y 中，已知)(x p ，)(x q 在),(∞+-∞上连续．求证：该方程的任一非零解在xoy 平面上不能与x 轴相切．参考答案一、填空题1．2 2．xx x e ,e 3．开 4．1±=y 5．xoy 平面 6．不能 7．不能 8．必要 9．1,1±=±=x y10．x x 2cos ,2sin 11．}0),{(2>∈=y R y x D ，（或不含x 轴的上半平面） 12．没有二、单项选择题1.D2.B3.C4.A5.A6.A7.C8.D9.D 10.B 11.A 12.C 13.D三、计算题1．解当0≠y ，1≠y 时，分离变量取不定积分，得C x yy y+=⎰⎰d ln d 通积分为xC y e ln = 2．解令xu y =，则xuxu x y d d d d +=，代入原方程，得 21d d u x ux-= 分离变量，取不定积分，得C xxu u ln d 1d 2+=-⎰⎰（0≠C ）通积分为： Cx xyln arcsin = 3．解方程两端同乘以5-y ，得x y xyy +=--45d d 令 z y=-4，则xzx y y d d d d 45=--，代入上式，得x z xz=--d d 41 通解为41e 4+-=-x C z x原方程通解为 41e 44+-=--x C y x 4．解因为xNx y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为C y y x xy yx=-⎰⎰20d d 2即 C y y x =-3231 5．解原方程是克莱洛方程，通解为 32C Cx y += 6．解当0≠y 时，分离变量得x x x y y d 1d 2+= 等式两端积分得 C x y ln )1ln(21ln 2++= 即通解为21x C y += 7．解齐次方程的通解为xC y 3e -= 令非齐次方程的特解为 x x C y 3e)(-=代入原方程，确定出 C x C x+=5e 51)( 原方程的通解为xC y 3e-=+x2e51 8．解由于xNxy y M ∂∂==∂∂2，所以原方程是全微分方程．取)0,0(),(00=y x ，原方程的通积分为103023d d )(C y y x xy x yx =++⎰⎰即 C y y x x =++42242 9．解令t y ='，则原方程的参数形式为⎩⎨⎧='+=ty t x te由基本关系式t t x y y td )e 1(d d +='= 积分有C t t y t +-+=)1(e 212得原方程参数形式通解⎪⎩⎪⎨⎧+-+=+=Ct t y t x tt)1(e 21e 2 10．解原方程为恰当导数方程，可改写为 0)(=''y y 即1C y y =' 分离变量得x C y y d d 1= 积分得通积分21221C x C y +=11．解令u x y =，则xux u x y d d d d +=，代入原方程，得 u u xuxu tan d d +=+，u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，分离变量，再积分，得C xxu u ln d tan d +=⎰⎰C x u ln ln sin ln +=即通积分为： Cx xy =sin12．解齐次方程的通解为Cx y = 令非齐次方程的特解为 x x C y )(=代入原方程，确定出 C x x C +=ln )( 原方程的通解为Cx y =+x x ln 13．解积分因子为 21)(x x =μ 原方程的通积分为1012d d )(e C y x xy y x x =+-⎰⎰即 1e ,e C C C xyx+==+） 14．解令p y ='，则原方程的参数形式为⎪⎩⎪⎨⎧='+=p y p p x ln 1由基本关系式y xy'=d d ，有 p p pp x y y )d 11(d d 2+-⋅='=p p)d 11(-=积分得 C p p y +-=ln得原方程参数形式通解为⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=C p p y p p x ln ln 1 15．解原方程可化为0)(2='+'x y y于是 12d d C x xyy=+ 积分得通积分为23123121C x x C y +-= （6分） 16．解对应齐次方程的特征方程为052=-λλ，特征根为01=λ，52=λ，齐次方程的通解为 xC C y 521e += 因为0=α是特征根。

常微分方程习题2.doc

常微分方程习题2・11.— = 2xy，并求满足初始条件：x=O,y=l的特解.dx解：对原式进行变量分离得丄dy = 2衣仕，两边同时积分得：111卜|=兀2 +(?,即『=(?幺兀把x = 0, y = 1代入得c = 1,故它的特解为y =幺“。

22.y dx + (兀+ l)dy = 0,并求满足初始条件：x=0,y=l的特解.解：对原式进行变量分离得：dx =当y北0时，两边同时积分得;ln|x + l| = —+ c,即丁 = \x + 1 y y c + ln|x +1|r当y = 0时显然也是原方程的解。

当兀=0』=1时，代入式子得c = l,故特解是1歹 1 + ln|l + x|23 4 = Idx兀》+兀、解：原式可化为：2 2空=•丄显然工0,故分离变量得~^dy = —^dxdx y x+x y i+y~ x + x两边积分得*lnl+)/ =ln|x|-|ln|l + %2|+ ln|c|(c 0),即(1+才)(1 + %2) = c/ 故原方程的解为(1 +)/)(1+ +)= d4：(1 + x)ydx + (1- y)xdy = 0解：由y = 0或兀=0是方程的解，当xy ^0时，变量分离^-^-dx = -― dy = 0两边积分In卜| + 兀 + In卜| 一y = c,BPln|xy| + x - y = c.故原方程的解为ln|兀y| = x-y = c;y = 0;x = 0.解：^ — = u, y = ux, — = u + x —,则原方程化为：x dx dx du 二 sgn x^^-dx 兀 / 2 2、du_Jx(1~U\分离变量得 dx x /i2 两边积分得:arcsinu = sgnx • ln|x| + c 代回原来变量，得arcsin — = sgn x • ln|x| + c另外,y=x 也是方程的解。

7： tgydx - ctgxdy = 0 解：变量分离，得：ctgydy = tgxdx 两边积分得:ln|sin y\ = - ln|cos x| + c.dx y解：变量分离，得-=-扎％ + c y 3e9: x(ln x - In y)dy 一 ydx = 0解：方程可变为：-\n — 9dy-—dx = 0x x令u =—,贝U 有丄必 = dlnux x 1 + In w代回原变量得：cy = 1 +In —ox10：红厂dx解：变量分离$ dy = d dx5: (y + x)dy + (y - x)dx = 0解:史,令“ 坯空斗+二空 dx y + x x dx dx 贝I 拉+ x —= U +\变量分离，得:_弘?+1 du = — dxdx w +1 眈 +1 x两边积分得：arctgu + *ln(l + /) = —ln|T + c 。

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将 y,y,y 代入方程,
A 1 , y1xe3x
4
4
原方程通解： yYy
C 1e3xC 2ex
1 4
xe3
x
12
二阶线性微分方程
例9 求方 y3y 程 2yxe2x的通 . 解
解 f(x)xe2x，2
(1) 求对应齐次方程的通解
特征方程 2320
特征根 11 ， 22
对应齐次方程通解 YC 1exC 2e2x
(2) 求特征根，1,2
(3) 根据特征根的不同情况，得到相应的通解。
特征根的情况
通解的表达式
实根 12
y C 1 e 1 x C 2 e 2 x
实根 12
复根 1， 2i
y (C 1 C 2 x )e1 x
y e x ( C 1 co x C s 2 six ) n
3
二阶线性微分方程
例2 求方 y4y程 4y0的.通解
解特征方程 2440
特征根 2（二重根）
通解： y(C 1C 2方 y2y程 5y0的.通解
解特征方程 2250
特征根 1,212i,
通解： y e x ( C 1 c2 o x C s 2 s2 ix ) n
5
二阶线性微分方程
例4
解初值问题
16y24y9y0, yx04, yx02.
的解, 求此方程的通解.
非齐次线性方程的两个特解之差
是对应齐次方程的特解.
解
y2y1x2,y3y2ex，
x e
2 x
常数
x2,ex 线性无关.
齐次线性方程的通解：YC1x2C2ex，
非齐次方程的通解： yYy.
2