加权最小二乘法(WLS)

一般情况下，对于模型

Y X

若存在：

E( ) 0

2

Cov( , ) E( ) u W

W 1

W 2

W

(4.2.2)

(4.2.3)

W n

则原模型存在 异方差性。设

即随机误差项的方差与解释变量

1 .f (X 2i ) ¥|

.f (X 2i )

1

.f(X 2i )

X 2i

k

X

ki

.f(X 2i )

.f (X 2i ) Ui

i

1,2,

,n

Si)

U i )

-^E(U i 2

) f (X 2i )

(4・即同方差性。于是可以用普通最小二乘法估计其参数, 得到关于参数

0, 1 >

的无偏的、

有效的估计量。这就是加权最小二乘法，在这里权就是 .f(X 2i )

加权最小二乘法(WLS)

如果模型被检验证明存在异方差性， 则需要发展新的方法估计模型， 最常用的方法是加

权最小二乘法。

加权最小二乘法是对原模型加权， 使之变成一个新的不存在异方差性的模型， 然后采用

普通最小二乘法估计其参数。下面先看一个例子。

原模型：y

i

0 1X

1i

2X

2i

，

k X ki

U

i 1,2, ,n

如果在检验过程中已经知道：

D(U i ) E(U i 2

)

i 2

f (X>i ) J

,

i 1,2, ,n

X 2之间存在相关性，模型存在异方差。那么可以用... f(X 2)

去除原模型，使之变成如下形式的

新模型:

在该模型中，存在

W DD T

W i

W n

D 1Y

D 1X

(4.2.4)

Cov(N , N )

E(

*T

)

E(D 1

T

)D

1

：WD 1T

1u 2

DD D

u

2

I

于是，可以用普通最小二乘法估计模型

T *

1

. ?WLS

(X X ) 1X Y

1

E(

i

T

(4.2.4)，得到参数估计量为:

* T *

用D 1

左乘(422)两边，得到一个新的模型:

* X

该模型具有同方差性。因为

T 1T

1 1 T 1T 1

(X T

D 1

D 1

X) 1X T

D 1

D "

T 1 1 T 1

(4

25)

(X W X) X W Y

这就是原模型(2.6.2)的加权最小二乘估计量，是无偏的、有效的估计量。

如何得到权矩阵 W ?仍然是对原模型首先采用普通最小二乘法，得到随机误差项的近 似估计量，以此构成权矩阵的估计量，即

2 0

2

W

e2

(4.2.6)

2

e n

当我们应用计量经济学软件包时，只要选择加权最小二乘法，将上述权矩阵输入，估 计过程即告完成。这样，就引出了人们通常采用的经验方法， 即并不对原模型进行异方差性

检验，而是直接选择加权最小二乘法，

尤其是采用截面数据作样本时。

如果确实存在异方差

性，则被有效地消除了；如果不存在异方差性，则加权最小二乘法等价于普通最小二乘法。