大学物理课后习题答案第十二章

l 1.0
∴
A
x02
(v0 )2
v0
0.01 3.13
3.2 10 3 m
故其角振幅
小球的振动方程为
A 3.2 103 rad l
3.2 103 cos(3.13t 3 )rad 2
15、有两个同方向、同频率的简谐振动，其合成振动的振幅为 0.20m ，位相与第一振动的
位相差为 ，已知第一振动的振幅为 0.173m ，求第二个振动的振幅以及第一、第二两振 6
k并 x k1x1 k2 x2
故 同上理，其振动周期为
k并 k 1k2
T 2 m k1 k2
4. 完全相同的弹簧振子，
时刻的状态如图所示，其相位分别为多少？
k
(a
) k
v
m
(c
解：对于弹簧振子)，
时，
（a）
,故
，故
m
,
k
v
m
(b
) k
m
(d )
（b）
，故
，故
（c）
，故
，故
（d）
,故
，故
5、如图所示，物体的质量为 m ，放在光滑斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，弹簧的倔强 系数为 k ，滑轮的转动惯量为 I ，半径为 R 。先把物体托住，使弹簧维持原长，然后由静止
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x1 x2
0.4 cos(2t )m 6
0.3cos(2t 5 )m 6
试分别用旋转矢量法和振动合成法求合振动的振动幅和初相，并写出谐振方程。
解：∵
( 5 ) 66
∴
A合 A1 A2 0.1m
tan
A1 sin 1 A2 sin 2 A2 cos1 A2 cos2
解：设
，
已知
，故
,
(1)当
（2）当
时
13、一长方形木块浮于静水中，其浸入部分高为 a，今用手指沿竖直方向将其慢慢压下，使 其浸入部分高度为 b，然后放手任其运动。试证明若不计阻力，木块的运动为简谐振动，并 求出振动周期和振幅。 解：
x
x
O
b a
S
设木块质量为 m，底面积为 S，水的密度为 ，木块受到重力 和浮力 . 平衡时，
（1）劲度系数；（2）频率；（3）总机械能；（4）最大速度；（5）最大加速度。
解：当
时，
（1）劲度系数 k 不变。 （2）频率不变。
（3）总机械能
（4）最大速度
(5) 最大加速度
3、劲度系数为 k1 和 k 2 的两根弹簧，与质量为 m 的小球按题图所示的两种方式连接，试证
明它们的振动均为谐振动，并分别求出它们的振动周期．
即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为 k k1k2 /(k1 k2 ) 的弹簧振子系统，故
小球作谐振动．其振动周期为
T 2 2 m 2 m(k1 k2 )
k串
k1k 2
(2)图(b)中可等效为并联弹簧，同上理，应有 F F1 F2 ，即 x x1 x2 ，设并联弹
簧的倔强系数为 k并 ，则有
解：由旋转矢量图可知，当质点 1 在
处，且向左运动时，相位为 ；
而质点 2 在
处，且向右运动，相位为
（如图）。所以他们的相位差为 。
10、一质量为10 103 kg 的物体作谐振动，振幅为 24cm，周期为 4.0s ，当 t 0 时位移为
24cm．求： (1) t 0.5s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到 x 12cm处所需的最短时间； (3)在 x 12cm处物体的总能量．
旋转，故知两分振动位相差为 .所以 y 方向的振动方程为 2 y 12cos(2t )cm 2
方向指向坐标原点，即沿 x 轴负向．
(2)由题知， t 0 时，0 0 ，
t t时
∴
x0
A ,且v 2
0, 故t
3
t / 2 s 32 3
(3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为
E 1 kA2 1 m 2 A2
2
2
1 10103 ( )2 (0.24)2
0.4 sin 0.3sin 5
6
6
0.4cos 0.3cos5
3 3
6
6
∴
6
其振动方程为
x 0.1cos(2t )m 6
(作图法略)
19、如图所示，两个相互垂直的谐振动的合振动图形为一椭圆，已知 x 方向的振动方程为
x 6cos2t cm ，求 y 方向的振动方程．
解：因合振动是一正椭圆，故知两分振动的位相差为 或 3 ；又，轨道是按顺时针方向 22
动的初位相和角振幅，并写出小球的振动方程． 解：由动量定理，有
F t mv 0
∴
v F t 1.0 10 4 0.01 m s-1
m 10 10 3
按题设计时起点，并设向右为 x 轴正向，则知 t 0 时， x0 0, v0 0.01m s1 ＞0
∴ 0 3 / 2
又
g 9.8 3.13rad s1
am 2 A 63.2 m s2
(2)
Fm mam 0.63N
E
1 2
mvm2
3.16 102 J
当 Ek E p 时，有 E 2E p ，
即
1 kx2 1 (1 kA2 )
2
22
∴
x 2 A 2m
2
20
7、一个沿 x 轴作简谐振动的弹簧振子，振幅为 A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表示．如 果 t 0 时质点的状态分别是：
2
3 2
3
3
4
5 4
x Acos(2 t 3 ) T2
x Acos(2 t ) T3
x Acos(2 t 5 ) T4
8. 物 体 沿 x 轴 作 简 谐 振 动 ， 在
时刻，其坐标为
,加速度 （1）弹簧振子的角频率和周期； （2）初相位和振幅。
解：设
，则
,试求： 时
(1)
,速度
第 12 章 机械振动 习题及答案
1、什么是简谐振动？哪个或哪几个是表示质点作简谐振动时加速度和位移关系的？ （1）
；（2）
；(3)
；(4)
.
答：系统在线性回复力的作用下，作周期性往复运动，即为简谐振动。
对于简谐振动，有
,故（3）表示简谐振动。
2、对于给定的弹簧振子，当其振幅减为原来的 1/2 时，下列哪些物理量发生了变化？变化 为原来的多少倍？
t
1时，
x1
0, v1
0,1
2
2
又
1
1
5 3
5 2
∴
5
6
故
xb
0.1cos(5 t 6
5 3
)m
12、一物块在水平面上作简谐振动，振幅为 10 cm，当物块离开平衡位置 6 cm 时，速度为
24 cm/s。问：
（1）此简谐振动的周期是多少？
（2）物块速度为 12 cm/s 时的位移是多少？
(1)
x1 x2
5cos(3t 5cos(3t
)cm 3 7 )cm 3
(2)
x1 x2
5cos(3t 5cos(3t
)cm 3 4 )cm 3
解： (1)∵
2
1
7 3
3
2 ,
∴合振幅
A A1 A2 10cm
(2)∵
4 , 33
∴合振幅
A0
18、一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动，振动方程为
2
2
7.1104 J
11、图为两个谐振动的 x t 曲线，试分别写出其谐振动方程．
解：由题图(a)，∵ t
0 时，
x0
0, v0
0, 0
3 ,又, 2
A
10cm,T
2s
即
2 rad s1
T
故
xa
0.1cos(t
3 )m 2
由题图(b)∵ t
0 时， x0
A 2 ,v0
0,0
5 3
(1) x0 A ；
(2)过平衡位置向正向运动；
(3)过 x A 处向负向运动； 2
(4)过 x A 处向正向运动． 2
试求出相应的初位相，并写出振动方程．
解：因为
v0x0AAcosisn0 0
将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有
1
x Acos(2 t ) T
2A1 A2
2 0.173 0.1
0
即
2
，这说明，
A1 与
A2
间夹角为
2
，即二振动的位相差为 2
.
16 、 已 知 两 简 谐 振 动 的 振 动 方 程 分 别 为
和
,试求其合成运动的振幅及初相。
解：由
，
知：
合成震动振幅为
初相为
17、试用最简单的方法求出下列两组谐振动合成后所得合振动的振幅：
③
式中 x0 mg sin / k ，为静平衡时弹簧之伸长量，联立以上三式，有
I d2x (mR R ) dt 2 kxR
令 则有
2 kR2 mR 2 I
d2x 2x 0 dt 2
故知该系统是作简谐振动，其振动周期为
T 2 2
mR2 I ( 2
m I / R2 )
kR2
K
6、质量为10 103 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按 x 0.1cos(8 2 ) 3
律作谐振动，求： (1)振动的周期、振幅和初位相及速度与加速度的最大值； (2)最大的回复力、振动能量，在哪些位置上动能与势能相等?
(SI) 的规
解：(1)设谐振动的标准方程为 x Acos(t 0 ) ，则知：
A 0.1m,
8 ,T
2
1 4
s,
0
2 / 3
又
vm A 0.8 m s1 2.51 m s1
置时，合力为
,以水面上某点为原点，向上为 x 轴建立坐标系，则当木块在图示位
由牛顿第二定律 故
可见，木块作简谐振动，振幅为
，
，
14、有一单摆，摆长 l 1.0m ，摆球质量 m 10 10 3 kg ，当摆球处在平衡位置时，若给
小球一水平向右的冲量 Ft 1.0 10 4 kg m s1 ，取打击时刻为计时起点 (t 0) ，求振
解：(1)图(a)中为串联弹簧，对于轻弹簧在任一时刻应有 F F1 F2 ，设串联弹簧的等效
倔强系数为 K串 等效位移为 x ，则有
F k串x F1 k1x1
F2 k2 x2
又有
x x1 x2
x F F1 F2 k串 k1 k2
所以串联弹簧的等效倔强系数为
k串
k1 k 2 k1 k2
解：由题已知
A 24 102 m,T 4.0s
∴
2 0.5 rad s1
T
又， t 0 时， x0 A,0 0
故振动方程为
x 24 10 2 cos(0.5t)m
(1)将 t 0.5s 代入得
x0.5 24 10 2 cos(0.5t)m 0.17m
F ma m 2 x 10 10 3 ( )2 0.17 4.2 10 3 N 2
释放，试证明物体作简谐振动，并求振动周期．
解：分别以物体 m 和滑轮为对象，其受力如题图(b)所示，以重物在斜面上静平衡时位置为 坐标原点，沿斜面向下为 x 轴正向，则当重物偏离原点的坐标为 x 时，有
mg
s in
T1
m
d2x dt 2
①
T1R T2 R I
②
d2x dt 2
R
T2 k(x0 x)
动的位相差．
解：由题意可做出旋转矢量图如下． 由图知
A22 A12 A2 2A1 Acos30 (0.173)2 (0.2)2 2 0.173 0.2 3 / 2 0.01
∴
A2 0.1m
设角 AA1O为 ，则
A2 A12 A22 2 A1 A2 cos
即
cos A12 A22 A2 (0.173)2 (0.1)2 (0.02)2
(2)
A
x02
v02 02
0.0852 0.00922 8.5 cm 23.52
tan v0 0.0092 0.00461 0 x0 23.5 (0.085 )
95.10
9、两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点 1 在
处，且向左运
动时，另一个质点 2 在
处，且向右运动。求这两个质点的相位差。