分支定界法详解
分支定界法
分支定界法分支定界法是指以系统的结构为根据，划分以增强系统的面向特性来提出设计方案和获取满足特性的分析。
它旨在深入讨论系统的面向，思考如何穿越技术障碍，为建设一个系统或程序制定高效的解决方案。
它是一种能够带动系统行为的基础方法论，作为技术贴贴合系统的基础，是软件交互的核心技术。
从理论上讲，分支定界法是一种基于面向对象思想的技术，旨在优化软件开发流程、架构和设计，使得程序的流程更加完善，功能更加完善，可以改善系统的性能和可用性。
通常，分支定界法将系统分成若干个模块，并根据实际需求考虑设计模块之间的联系和交互。
比如，用户按照特定需求进行功能结构划分时，就会把一个软件系统分解成多个模块，每个模块负责实现一些特定功能，不同模块间的联系由定义的接口完成。
分支定界法的实施要求：首先，确认客观事实和设计需求，把客观事实提炼成抽象的需求，对需求进行定义和分解，得到一组架构和结构要素；其次，把要素组合起来划分模块，厘清模块之间的联系，定义模块之间的交互关系；再次，分析模块之间的联系，作出架构和结构选择；最后，根据分析结果制定设计方案，提出满足特性的分析，以便用于实施和交付的项目。
从现代软件开发的角度看，分支定界法是软件开发中最基本的一种方法，也是最高效的方法之一，它有助于提高系统的可维护性，减少设计漏洞，解决软件可扩展性和可重复性方面的问题。
此外，分支定界法有利于改善系统的性能，给系统或软件制定更加合理有效的解决方案，增强系统的安全性、稳定性和可用性，减少单位成本，提高开发效率，从而节约成本，达到预期的服务水平。
因此，分支定界法在系统设计开发中发挥着重要作用，成为现代软件开发流程的核心技术，是企业获取竞争优势的重要手段之一。
但是，分支定界法的有效落实需要充分考虑系统的实际需求和市场行情，充分发挥技术优势，全面提升软件开发效率，才能有效实现长期可持续发展。
分支定界法
分支定界法分支定界法，也称为分界定义法，是为了确定并将客观事物归类的一种逻辑基础规范。
它是一组文本规范，用于描述和分类客观事物，以及它们之间的关系。
它分析客观事物的共性，从这些共性，弄清楚客观事物以及它们之间的关系，形成分支定义法。
分支定界法最初创造于18世纪的德国，由卡尔文贝因茨（Karl von Bennizs）提出，他的著作 Theorie der classifikation（分类理论）发表于1790年。
他的主要思想是：通过对客观事物的共性的分析，将客观事物归类，并形成一系列的分类方法。
分支定界法一般包括三个层次：主类，亚类，次类。
主要是将客观事物按照一定的共性划分到不同的类别中，然后在每个主类中进行更详细的分析，形成子类，从而将客观事物更细致地分类。
分支定界法有很多优点。
首先，它可以更好地适应新出现的客观事物，以及客观事物可能出现的新情况。
这是因为，分支定界法有着一系列的分类方法，不仅具有某种共性，而且有着不同的子类，这些子类可以更好地形成客观事物之间的关系，并且有利于新类别的形成。
此外，分支定界法还可以帮助人们进行判断。
分界定义法是一种可以把客观事物细致分类的方法，从而可以更好地去判断两个客观事物之间是否有关系，或者相似度如何，从而帮助我们做出判断。
然而，分支定界法也有一定的局限性。
有时，分支定界法所指定的客观事物重叠，或者具有相同的共性，这会降低分类的准确性。
此外，它也会忽略一些客观事物的细微差别，这可能会影响分类的结果。
总之，分支定界法是一种有效的客观事物归类方法。
它可以更好地划分客观事物的共性，也可以更直观地反映客观事物之间的关系，从而有效地把客观事物归类。
此外，它还可以帮助我们做出判断，但它也有一定的局限性，必须在不同的客观事物之间上尽量保持准确性和细微差别。
运筹学_分支定界法
⑵
5 x1 6 x 2 3 0
x2
A 3 B
⑴x
1
x2 2
⑶
x1 4
1
1
3
x1 5 x 2 Z
x1
求（LP2） ,如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 1 ( IP 2 ) x 1 4 x 2 1 x1 , x 2 0 且 为 整 数
x1 x 2 2 x1 x 2 2 5 x 6 x2 30 5 x 6 x2 30 1 1 x1 x1 4 4 ( IP 2 2 ) ( IP 2 1) 2 2 x1 x1 x x 4 3 2 2 x1 , x 2 0 且 为 整 数 x1 , x 2 0 且 为 整 数
第三节 分枝定界法
（一）、基本思路 考虑纯整数问题：
m ax Z
n
c
j 1
n
j
xj
a ij x j b i ( i 1 .2 m ) ( IP ) j 1 x 0 ,( j 1 .2 n ) 且 为 整 数 j
m ax Z
c
j 1
n
记为（IP）
解：首先去掉整数约束，变成一般线性规划问题
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
记为（LP）
用图解法求（LP）的最 优解，如图所示。
m a x Z x1 5 x 2 x1 x 2 2 5 x1 6 x 2 3 0 4 x1 x ,x 0 1 2
分支定界法概述（1）
分支定界法概述（1）分枝定界-简介分枝定界（branch and bound）是另一种系统地搜索解空间的方法，它与回溯法的主要区别在于对E-节点的扩充方式。
每个活节点有且仅有一次机会变成E-节点。
当一个节点变为E-节点时，则生成从该节点移动一步即可到达的所有新节点。
在生成的节点中，抛弃那些不可能导出（最优）可行解的节点，其余节点加入活节点表，然后从表中选择一个节点作为下一个E-节点。
从活节点表中取出所选择的节点并进行扩充，直到找到解或活动表为空，扩充过程才结束。
分枝定界-方法有两种常用的方法可用来选择下一个E-节点（虽然也可能存在其他的方法）：1) 先进先出（F I F O）即从活节点表中取出节点的顺序与加入节点的顺序相同，因此活节点表的性质与队列相同。
2) 最小耗费或最大收益法在这种模式中，每个节点都有一个对应的耗费或收益。
如果查找一个具有最小耗费的解，则活节点表可用最小堆来建立，下一个E-节点就是具有最小耗费的活节点；如果希望搜索一个具有最大收益的解，则可用最大堆来构造活节点表，下一个E-节点是具有最大收益的活节点。
分枝定界-例子例5-1 【迷宫老鼠】考察图16-3a 给出的迷宫老鼠例子和图1 6 - 1的解空间结构。
使用F I F O分枝定界，初始时取（1，1）作为E-节点且活动队列为空。
迷宫的位置（1 , 1）被置为1，以免再次返回到这个位置。
（1，1）被扩充，它的相邻节点（1，2）和（2，1）加入到队列中（即活节点表）。
为避免再次回到这两个位置，将位置（1，2）和（2，1）置为1。
此时迷宫如图1 7 - 1 a所示，E-节点（1，1）被删除。
节点（1，2）从队列中移出并被扩充。
检查它的三个相邻节点（见图1 6 - 1的解空间），只有（1，3）是可行的移动（剩余的两个节点是障碍节点），将其加入队列，并把相应的迷宫位置置为1，所得到的迷宫状态如图17-1b 所示。
节点（1，2）被删除，而下一个E-节点（2，1）将会被取出，当此节点被展开时，节点（3，1）被加入队列中，节点（3，1）被置为1，节点（2，1）被删除，所得到的迷宫如图17-1c 所示。
运筹学课件第三节分支定界法
针对不同问题的特点，分支定界法在算法实现上 不断进行优化和改进，以提高求解效率。
3
理论分析
分支定界法的理论分析涉及算法的收敛性、复杂 度等方面，为算法的改进提供了理论支持。
分支定界法的发展趋势
混合整数规划问题求解
随着混合整数规划问题的广泛应用，分支定界法在求解这类问题 上的研究逐渐成为热点。
理论深化与完善
进一步深化分支定界法的理论分析，完善算法的理论体系。
应用拓展
拓展分支定界法的应用领域，解决更多实际问题。
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运筹学课件第三节分支定界法
contents
目录
• 分支定界法的概述 • 分支定界法的算法原理 • 分支定界法的实现过程 • 分支定界法的案例分析 • 分支定界法的优缺点分析 • 分支定界法的前沿研究与展望
01
分支定界法的概述
分支定界法的定义
分支定界法是一种求解整数规划问题 的算法个子问题的解的 界，来逐步逼近最优解。
03
分支定界法的实现过程
问题建模与参数设定
确定决策变量
根据问题的具体情况，确定决策 变量，并为其设定合适的取值范
围。
定义目标函数
明确问题的目标，将其表示为一个 数学表达式，以便进行优化。
约束条件
根据问题的限制条件，建立相应的 约束条件。
建立搜索树与初始化
建立搜索树
根据问题建模的结果，建立一个 搜索树，用于表示问题的解空间 。
的获取概率。
优化分支策略
02
通过改进分支策略，减少算法产生的分支数量，降低算法的复
杂度和计算量。
引入智能搜索策略
03
将智能搜索策略（如遗传算法、模拟退火等）与分支定界法结
最优化 分支定界
最优化分支定界最优化问题是指在一组约束条件下，寻找某个或某组变量的值，使得目标函数达到最优（最大或最小）的问题。
这类问题在科学研究、工程技术和经济管理等领域中都有广泛的应用。
分支定界法（Branch and Bound）是一种求解最优化问题的经典算法，尤其适用于整数规划、混合整数规划以及组合优化问题。
以下是该方法的详细说明：1.基本思路（1）分支：将问题的可行解空间不断划分为更小的子集，这个过程称为“分支”。
每个子集代表原问题的一个子问题。
（2）定界：对每个子集（或子问题）计算一个目标函数的界（上界或下界），这称为“定界”。
对于最小化问题，通常会计算每个子集的下界；对于最大化问题，则会计算上界。
（3）剪枝：在每次分支后，通过比较子集的目标函数界和当前已知的最优解，可以判断某些子集不可能包含更优的解，因此这些子集可以被“剪枝”，即不再进一步考虑。
（4）迭代：通过不断重复分支、定界和剪枝的过程，直到找到最优解或确定最优解的范围。
2.优点（1）适用性广：分支定界法可以应用于各种类型的最优化问题，包括整数规划、混合整数规划和组合优化问题。
（2）求解效率高：通过有效的剪枝策略，可以大大减少需要探索的解空间，从而提高求解效率。
（3）可以找到全局最优解：与某些只能找到局部最优解的启发式算法不同，分支定界法可以保证找到全局最优解（在给定时间内）。
3.缺点（1）内存消耗大：由于需要存储大量的子问题和它们的界，分支定界法可能会消耗大量的内存空间。
（2）实现复杂：分支定界法的实现通常比较复杂，需要仔细设计分支策略、定界方法和剪枝策略。
（3）可能受问题特性影响：对于某些特定类型的问题，分支定界法可能不是最有效的求解方法。
例如，当问题的解空间非常复杂或难以有效划分时，分支定界法的效率可能会受到严重影响。
4.应用领域分支定界法被广泛应用于各种实际问题的求解中，如生产调度、物流配送、资源分配、网络设计等。
在这些领域中，通过合理地定义变量、约束条件和目标函数，可以将实际问题抽象为最优化问题，并利用分支定界法进行求解。
python 分支定界法
Python 分支定界法1. 介绍分支定界法是一种在计算机科学中常用的算法解决方法，用于在搜索问题中确定解的范围。
在这种方法中，问题被划分为多个子问题，通过评估每个子问题的边界条件来确定是否需要进一步搜索。
这种方法通常用于解决优化问题、搜索问题和决策问题。
在Python中，我们可以使用分支定界法来解决各种问题，包括图搜索、最短路径、最小生成树等。
本文将介绍分支定界法的基本原理和在Python中的应用。
2. 基本原理分支定界法的基本原理是将问题划分为多个子问题，并通过对每个子问题进行评估来确定解的范围。
在每个子问题中，我们可以使用一些启发式方法来估计解的上界和下界，从而确定是否需要进一步搜索。
通过逐步缩小解的范围，我们可以提高算法的效率并找到最优解。
3. 分支定界法的应用3.1 图搜索分支定界法在图搜索中的应用非常广泛。
在图搜索问题中，我们需要找到从一个节点到另一个节点的最短路径或最小代价路径。
通过使用分支定界法，我们可以根据当前路径的代价和启发式方法来估计剩余路径的代价，并根据这些估计值来选择下一个节点进行搜索。
这种方法可以大大减少搜索的空间，并找到最优解。
3.2 最短路径最短路径问题是图搜索问题的一个特例，它要求找到从一个节点到另一个节点的最短路径。
在分支定界法中，我们可以使用启发式方法来估计剩余路径的代价，并根据这些估计值来选择下一个节点进行搜索。
通过不断更新路径的代价和选择最优节点，我们可以找到最短路径。
3.3 最小生成树最小生成树问题是在一个连通图中找到一棵包含所有节点的子图，并使得子图的边的权重之和最小。
分支定界法可以用于解决最小生成树问题。
通过选择边的权重最小的节点进行搜索，并使用启发式方法来估计剩余节点的权重和，我们可以找到最小生成树。
4. Python中的分支定界法在Python中，我们可以使用分支定界法来解决各种问题。
以下是使用分支定界法的一般步骤：1.定义问题的状态和边界条件。
分支定界法——精选推荐
分⽀定界法分⽀定界法（branch and bound）是⼀种求解离散数据组合的最优化问题。
该算法执⾏的效率取决于你所找的问题解空间的上下界，如果找到⼀个很紧凑的上下界进⾏剪枝操作，该算法的执⾏效率会⾮常⾼，因此它是最有可能在多项式时间内求解NP问题的算法。
使⽤分⽀定界算法的⼀般步骤为：构造⼀棵搜索树，该搜索树指的是所有解空间，因此通过遍历该搜索树可以遍历到所有的解；构造问题解的上下界，上界⼀般为之前求出的最优解，下界为⽆约束条件下当前搜索路径的最优解，上下界的主要作⽤是对搜索树进⾏剪枝；通过回溯法遍历搜索树，并且不断更新上下界，如果当前解的下界已经超过上界，则进⾏剪枝；遍历结束时，所求的解为最优解。
接下来通过⼀个实例来讲解分⽀定界算法：某公司于⼄城市的销售点急需⼀批成品，该公司成品⽣产基地在甲城市。
甲城市与⼄城市之间共有 n 座城市，互相以公路连通。
甲城市、⼄城市以及其它各城市之间的公路连通情况及每段公路的长度由矩阵M1 给出。
每段公路均由地⽅政府收取不同额度的养路费等费⽤，具体数额由矩阵 M2 给出。
请给出在需付养路费总额不超过 1500 的情况下，该公司货车运送其产品从甲城市到⼄城市的最短运送路线。
(题⽬来源：北航研究⽣算法课)⾸先构造⼀棵搜索树，该搜索树并不需要显⽰的构建，⽽是在搜索过程中所遵循的⼀种搜索规则。
对于上述问题，以甲城市为根节点构建⼆叉树，其它节点由剩余城市表⽰，树的左⼦树表⽰当前路径包含该⽗节点，树的右⼦树表⽰当前路径不包含该⽗节点。
如图所⽰该搜索路径所表⽰的实际路径为1-3-4，即路径中不包含城市2。
然后分析该问题解的上下界：搜索路径的上界为当前已经求出的满⾜条件的最短路径长度。
搜索路径的下界为当前路径长度与⽆约束条件下路径终点到城市⼄的最短路径长度之和。
若上界⼤于下界，则可以继续搜索；若上界⼩于下界，则表⽰⽆更优解，此时可进⾏剪枝操作。
其中⽆约束条件下的任意点到城市⼄的最短路径长度可以使⽤Dijkstra或Floyd算法预先求出。
运筹学 第三节 分支定界法
的子集，这两个子问题的最优解的目标函数值都不会比原
线性规划问题的最优解的目标函数值更大。如果这两个问
题的最优解仍不是整数解，则继续选择一个非整数的变量，
继续将这个子问题分解为两个更下一级的子问题。这个过
程称为“分支（Branch）”。
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每一次分支得到的子问题最优解的目标函数值，都小于 或等于分支前问题的最优解的目标函数值。非整数解的 最大值作为新的上界。
意图），并设最优解位于C。如
果这个最优解中所有的变量都
是整数，则已经得到整数规划
的最优解。如果其中某一个变 量Xr不是整数，则在可行域中 X2
除去一块包含这个最优解但不 E
包含任何整数解的区域
DC
Ir<Xr<Ir+1（其中Ir是变量Xr
的整数部分），线性规划的可
行域被划分成不相交的两部分，
分别以这两部分区域作为可行
Z=4
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不同的搜索策略会导致不同的搜索树，一般 情况下，同一层的两个子问题，先搜索目标 函数比较大的较有利（如果是极小问题，则 应先搜索目标函数值小的较为有利）。这样 可能得到数值比较大的下界，下界越大被剪 去的分支越多。
分支定界算法对于混合整数规划特别有效， 对没有整数要求的变量就不必分支，这将大 大减少分支的数量。
X1 ，
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说明: 1、在B121,B122 的可行域中不可能存在比以上所求解 的2个最优解更好的解。 2、目标函数值maxZ=4作为IP规划的最优解的目标函 数的一个界限（MAX,下界;MIN,上界）；
求极小问题时，LP问题的解是IP问题的下界。每次分支后的子 问题最优解的目标函数值都大于或等于分支前的最优值。如分 支中得到整数解，则最小的整数解为上界。如分支的目标函数 值大于上界，则停止分支。
算法讲稿5分枝定界法
Q.Delete(Ew); // 取下一扩展结 点
15
四、构造最优解
为了在算法结束后能方便 地构造出与最优值相应的 最优解，算法必须存储相 应子集树中从活结点到根 结点的路径。为此目的， 可在每个结点处设置指向 其父结点的指针，并设置 左、右儿子标志。
找到最优值后，可以根据 parent回溯到根节点，找到 最优解。
for (int i = 0; i <= n+1; i++) grid[i][0] = grid[i][m+1] = 1; // 左翼和右翼
for (int i = 0; i < NumOfNbrs; i++) {
}
}
11
6.3 装载问题
一、问题描述 二、队列式分支限界法 三、算法的改进 四、构造最优解 五、优先队列式分支限界法
12
一、问题描述
有 的一轮批船共，个其集 中装 集箱 装要 箱装i的上重2量艘为载w重i，量且分∑别wi为≤CC1+1和C2 C2 装载问题要求确定是否有一个合理的装载方案可将
优先队列式分支限界法：
[A] B, C => B(45), C(0) [B, C] D, E => E(45) [E, C] J, K => K(45) [1, 0, 0] [C] F, G => F(25), G(0) [F, G] L, M => L(50), [0, 1, 1] M(25) [G] N, O => N(25), O(0)
在优先队列式分支限界法中，一旦有一个叶结 点成为当前扩展结点，则可以断言该叶结点所 相应的解即为最优解。此时可终止算法。
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6.4 布线问题
分支定界法
分支定界法分支定界法，顾名思义，就是按照定好的界进行分支。
这里说的分支意思是“剪枝”。
剪的枝是问题解空间树的枝。
所谓解空间树，即此问题所有解和中间解形成的树型结构，是有序的。
常有排列树和子集树之分，举个例子，n个物品的0-1背包问题的解空间树就是子集树(每个物品都可能为0或1)，而最短路径问题的解空间树是一颗排列树。
分支定界法一般有两种实现形式：1.优先队列法2.FIFO队列法。
这与分支定界的思想无太多本质联系，只是前者在一般情况下能更快的求得问题解。
分支定界法要对问题的解空间树进行“剪枝”操作以减少对解空间树的搜索。
那么问题是，如何“剪枝”？这就要回答如何定界的问题。
在分支定界法中，“界”的作用就是用来阻止对不可行分支的搜索的。
当解空间树很深时（叶子节点为解），如果能在前面几层就预先的知道了“此路不通”或者“此路不是最优”而停止此路的继续，这样能大幅度的提高算法效率。
如何定界要放入具体问题中考虑，一般可以以“理论最大最小”这个概念来求界。
以0-1背包问题为例，设所有物品预先已经按照单位价值量递减排列。
在解空间树的第i层（此时正在考虑第i个物品是否应该被放入的时刻），设左子树为放入i物品，右子树为不放i物品。
那么在确定左子树的上界的时候有：界=当前价值+i的价值+MaxValue(背包剩余重量-i物品重量);其中的MaxValue为放i后剩余背包容量能获得的最大价值，应该注意的是此最大价值为理论意义上的最大价值，比如在继续放入p个后(按单位价值量递减),放不下第p+1个，此时应该按(Value[p+1]/Weight[p+1])*(WeightLeft)来计p+1物品的价值,(实际中不可能放入零点几个某物品。
)；右子树的情形类似。
知道了如何定界，那么在实际流程中就要根据当前目标节点的界来剪枝了（是用上界还是下界，具体问题具体分析）。
今天准备举个稍微有点挑战的例子---NPC问题中的TSP问题。
在TSP问题中，由于是环路，每个节点都要进出各一次，我们可以将每个节点最小的入度和最小的出度的和累加作为一个下界，这个下界几乎不可能达到！（全部最小出度的和即为下面提到的rcost的初值）初始时我们创建一个最小堆，表示活节点队列。
4-3 分枝定界法
B
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP1 : x1 ≤ 3 x1 , x2 ≥ 0 max Z = 4 x1 + 3x2
LP1
LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5
LP2
C o 3 4 10
1.2x1 + 0.8x2 ≤ 10 2 x1 + 2.5x2 ≤ 25 LP2 : x1 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
5
x2 A
1.2x1 + 0.8x2 = 10
松弛问题LP0的最优解 X=(3.57,7.14),Z0=35.7 B
10
2x1 + 2.5x2 = 25
o
C 8.33
10
6
x1
x2 ① ② 10 A
增加约束x1 ≤ 3及x1 ≥ 4得到两个线性规划
max Z = 4x1 + 3x2
LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8
4
【例1】用分枝定界法求解 】
max Z = 4 x 1 + 3 x 2 1 . 2 x 1 + 0 . 8 x 2 ≤ 10 2 x 1 + 2 . 5 x 2 ≤ 25 x , x ≥ 0 , 且均取整数 1 2
【解】先求对应的松弛问题（记为LP0）： 先求对应的松弛问题（记为 ）：
第四章 整数规划
4.1 整数规划数学模型和解的特点 4.2 分配问题 4.3 分枝定界法 4.4 割平面法 4.5 应用举例
1
4.3 分支定界法
分支定界法
2
原理： 原理：
首先，不考虑变量的整数约束，求解松弛问题线性规 首先，不考虑变量的整数约束， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解， 划的最优解。如果线性规划的最优解恰好是整数解，则 这个解就是整数规划的最优解。 这个解就是整数规划的最优解。 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 如果线性规划的最优解中至少有一个变量不是整数， 把线性规划的可行域切割成两部分， 把线性规划的可行域切割成两部分，分别求解两个线性 规划的最优解。 规划的最优解。 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解， 如果这两个线性规划的最优解还不是整数解，分别把 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支” 每一个可行域再进行分割。这个过程，叫做“分支”。 过程得到的整数解中， 分支过程得到的整数解中，目标函数值最优的一个叫 做整数规划目标函数值的“ 做整数规划目标函数值的“界”。分支过程中非整数的 线性规划的最优解， 线性规划的最优解，如果目标函数值劣于或等于这个 就停止继续分支。这个过程，叫做“定界” “界”，就停止继续分支。这个过程，叫做“定界”。
分支定界法
分支定界法分支定界法(branch and bound)是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
基本信息中文名称：分支定界法外文名称：branch and bound用途：整数规划问题性质：算法定义分支定界法（branch and bound）是一种求解整数规划问题的最常用算法。
这种方法不但可以求解纯整数规划，还可以求解混合整数规划问题。
算法步骤第1步：放宽或取消原问题的某些约束条件，如求整数解的条件。
如果这时求出的最优解是原问题的可行解，那么这个解就是原问题的最优解，计算结束。
否则这个解的目标函数值是原问题的最优解的上界。
第2步：将放宽了某些约束条件的替代问题分成若干子问题，要求各子问题的解集合的并集要包含原问题的所有可行解，然后对每个子问题求最优解。
这些子问题的最优解中的最优者若是原问题的可行解，则它就是原问题的最优解，计算结束。
否则它的目标函数值就是原问题的一个新的上界。
另外，各子问题的最优解中，若有原问题的可行解的，选这些可行解的最大目标函数值，它就是原问题的最优解的一个下界。
第3步：对最优解的目标函数值已小于这个下界的问题，其可行解中必无原问题的最优解，可以放弃。
对最优解的目标函数值大于这个下界的子问题，都先保留下来，进入第4步。
第4步：在保留下的所有子问题中，选出最优解的目标函数值最大的一个，重复第1步和第2步。
如果已经找到该子问题的最优可行解，那么其目标函数值与前面保留的其他问题在内的所有子问题的可行解中目标函数值最大者，将它作为新的下界，重复第3步，直到求出最优解。
分支定界算法
分支定界算法
分支定界算法是一种全局最优解的搜索算法，它通过对搜索空间的分割和剪枝来求解最优解。
它是一种分支限定法，可以在多种优化问题中应用，用于求解最优解，如最大化目标函数、最小化目标函数等。
分支定界算法的基本思想是：在搜索空间中选择一个基本变量（未知变量），然后根据某种启发式规则，将它分成两个子空间，从而有效地减少搜索空间。
接着，对子空间中的每一个变量尝试求解，最终求得一个最优解。
分支定界法的优点在于可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。
分支定界法常用于解决复杂的优化问题，如最优路径搜索、最优调度等。
它可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率；同时，它也可以解决多种优化问题，具有很强的适用性。
虽然分支定界法可以有效地解决复杂的优化问题，但它也存在一定的局限性。
首先，搜索空间的大小会影响求解的效率，如果搜索空间太大，分支定界法就不能有效地求解最优解；其次，分支定界法要求基本变量的取值范围可以被明确定义，否则难以进行搜索；最后，分支定界法对于高维变量的搜索也不太友好。
分支定界法是一种有效的搜索算法，可以有效地缩小搜索空间，提高求解效率，广泛应用于多种优化问题中，而且它还有一定的局限性。
分支定界法和割平面法的基本原理
分支定界法和割平面法的基本原理分支定界法和割平面法是一种在数学和计算机科学领域中常用的问题求解方法。
本文将分别介绍这两种方法的基本原理。
一、分支定界法的基本原理分支定界法是一种通过将问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解来解决复杂问题的方法。
其基本思想是通过对问题的解空间进行划分，每次选择一个子问题进行求解，并根据已知的信息对该子问题的解空间进行进一步的缩小。
这样，不断缩小解空间，最终找到问题的最优解或最优解的近似解。
具体来说，分支定界法包括以下几个步骤：1. 初始划分：将问题的解空间划分为多个子问题，并选择一个子问题进行求解。
2. 求解子问题：对选定的子问题进行求解，得到一个解或一个解的集合。
3. 解空间缩减：根据已知的信息，对选定的子问题的解空间进行缩减，即排除一些不可能的解或不优的解。
4. 判断终止条件：判断是否满足终止条件，如果满足，则停止求解；否则，返回第2步，选择一个新的子问题进行求解。
分支定界法的优点是可以找到问题的最优解或最优解的近似解，并且可以通过对解空间的划分和缩减，减少问题的求解空间，提高求解效率。
但是，分支定界法的缺点是在问题的解空间较大时，可能需要遍历大量的子问题，导致求解时间较长。
二、割平面法的基本原理割平面法是一种通过不断添加约束条件来逼近问题的最优解的方法。
其基本思想是通过向问题的线性规划模型中添加额外的约束条件，使得新的线性规划模型的解逐步逼近问题的最优解。
具体来说，割平面法包括以下几个步骤：1. 初始线性规划模型：根据问题的要求，建立一个初始的线性规划模型。
2. 求解线性规划模型：对初始的线性规划模型进行求解，得到一个解或一个解的集合。
3. 添加割平面：根据已知的信息，找到一个新的约束条件，并将其添加到线性规划模型中。
4. 更新线性规划模型：根据添加的割平面，更新线性规划模型，并返回第2步，求解更新后的线性规划模型。
割平面法的优点是可以逐步逼近问题的最优解，且可以通过添加割平面来减小解空间，提高求解效率。
分支定界
5 x1 7 x2 35 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 2 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 问题 B 2 ： 4 x 9 x 36 1 2 s.t . x2 3 x1 , x2 0
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0, 全部为整数 1 2
解 :step1
确定与整数规划问题（记为问题 A）对应的松
弛线性规划问题 (记为问题 B)：
max z 2 x1 3 x2
5 x1 7 x2 35 s.t . 4 x1 9 x2 36 x , x 0 1 2
i 1, 2, , p
则约束条件组可表示为
n aij x j bi Myi , i 1, 2,, p j 1 p yi p q i 1 y 0,1; i 1, 2,, p i
例 3.4.2 固定支出问题 考察 n 种产品的产品计划问题。假定生产某种产品 j 就 发生单位可变成本 c j ，另外，不管产品 j 生产多少，还需 支出固定成本 k j ，但若不生产产品 j 也就无需支出固定成 本。因此，如何制定产品计划，使得总生产成本最小。
step2 先求出问题 B 的解，用单纯形方法得 问题 B 的最优解为：
x1 3
12 17
,
x2 2
6 17
,
* z0
14
8 17
step3
用观察法找问题 A的—个整数解，一般可取
x1 0, x2 0 ，进行试探，求得其目标函数值 z 0 ，以 z * 表示问题
A 的最优目标函数值；这时有 0 z* 14 8 step4
分支定界法详解
分⽀定界法详解1、概念：分⽀定界算法(Branch and bound，简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着⼀颗搜索树进⾏的，我们将原问题看作搜索树的根节点，从这⾥出发，分⽀的含义就是将⼤的问题分割成⼩的问题。
⼤问题可以看成是搜索树的⽗节点，那么从⼤问题分割出来的⼩问题就是⽗节点的⼦节点了。
分⽀的过程就是不断给树增加⼦节点的过程。
⽽定界就是在分⽀的过程中检查⼦问题的上下界，如果⼦问题不能产⽣⼀⽐当前最优解还要优的解，那么砍掉这⼀⽀。
直到所有⼦问题都不能产⽣⼀个更优的解时，算法结束。
2、例⼦：⽤BB算法求解下⾯的整数规划模型因为求解的是最⼤化问题，我们不妨设当前的最优解BestV为-INF，表⽰负⽆穷。
1.⾸先从主问题分出两⽀⼦问题：通过线性松弛求得两个⼦问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。
由于Z_LP1 和Z_LP2都⼤于BestV=-INF，说明这两⽀有搞头，继续往下。
2.3.从节点1和节点2两个⼦问题再次分⽀，得到如下结果：⼦问题3已经不可⾏，⽆需再理。
⼦问题4通过线性松弛得到最优解为10，刚好也符合原问题0的所有约束，在该⽀找到⼀个可⾏解，更新BestV = 10。
⼦问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10，因此⼦问题5还有戏，待下⼀次分⽀。
⽽⼦问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10，那么从该⽀下去找到的解也不会变得更好，所以剪掉！4.对节点5进⾏分⽀，得到：⼦问题7不可⾏，⽆需再理。
⼦问题8得到⼀个满⾜原问题0所有约束的解，但是⽬标值为4<当前的BestV=10，所以不更新BestV，同时该⽀下去也不能得到更好的解了。
6.此时，所有的分⽀遍历都完成，我们最终找到了最优解。
3、算法过程（以最⼩化问题minimize f(x)为例）1、使⽤启发式，找到优化问题的解决⽅案xh。
分支定界法PPT课件
x2
51 14
2 x1
x2
1 3
x1, x2 0且取整数
其松弛问题的最优解为：20A21 （3/2，10/3）
2
因X1=3/2, 所以IP问题的最优解中x1的取值范围一定满 足x1≤1（区域1）或x1≥2（区域2），如下图所示。
A(3 2 ,10 3)
区域1
１
区域2
x1
２３
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3
⑴ 分支
z 61 14 z0
LP21
S21 x1 33 / 14, x2 2
z0 61 / 14
LP22 S22 无可行解
x1 2
x2 3
z4 z 4 S211
LP211
x1 2, x2 2
z0 4
2021
LP212
S212 x1 3, x 2 1
z0 4
返回
7
2021
8
第三节 分支定界法
一、分支定界法步骤 二、示例
2021
1
一、分支定界法步骤
使用范围：纯整数、混合整数规划。 基本思想：求松弛问题最优解，逐步缩小可域。
１、求解松弛问题的最优解，若非整数解，转２。
２、分支与定界。下面我们先通过示例来了解一下第2 步的思路。例：max Z x1 x2
x1
9 14
无整数解，在Z≥0的情况下，令 z 0
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4
⑶ 比较与剪枝
若上界等于下界，则停止；否则，剪去小于下 界的分支，对于大于下界的分支继续重复步骤２ （优先分支函数值较大者）。
二、示例
例３ 用分枝定界法求解
max Z x1 x2
x1
9 14
x2
51 14
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1、概念：
分支定界算法(Branch and bound，简称为BB、B&B, or BnB)始终围绕着一颗搜索树进行的，我们将原问题看作搜索树的根节点，从这里出发，分支的含义就是将大的问题分割成小的问题。
大问题可以看成是搜索树的父节点，那么从大问题分割出来的小问题就是父节点的子节点了。
分支的过程就是不断给树增加子节点的过程。
而定界就是在分支的过程中检查子问题的上下界，如果子问题不能产生一比当前最优解还要优的解，那么砍掉这一支。
直到所有子问题都不能产生一个更优的解时，算法结束。
2、例子：
用BB算法求解下面的整数规划模型
因为求解的是最大化问题，我们不妨设当前的最优解BestV为-INF，表示负无穷。
1.
首先从主问题分出两支子问题：
通过线性松弛求得两个子问题的upper bound为Z_LP1 = 12.75，Z_LP2 = 12.2。
由于Z_LP1 和Z_LP2都大于BestV=-INF，说明这两支有搞头，继续往下。
2.
3.
从节点1和节点2两个子问题再次分支，得到如下结果：
子问题3已经不可行，无需再理。
子问题4通过线性松弛得到最优解为10，刚好也符合原问题0的所有约束，在该支找到一个可行解，更新BestV = 10。
子问题5通过线性松弛得到upper bound为11.87>当前的BestV = 10，因此子问题5还有戏，待下一次分支。
而子问题6得到upper bound为9<当前的BestV = 10，那么从该支下去找到的解也不会变得更好，所以剪掉！
4.
对节点5进行分支，得到：
子问题7不可行，无需再理。
子问题8得到一个满足原问题0所有约束的解，但是目标值为4<当前的BestV=10，所以不更新BestV，同时该支下去也不能得到更好的解了。
6.
此时，所有的分支遍历都完成，我们最终找到了最优解。
3、算法过程（以最小化问题minimize f(x)为例）
1、使用启发式，找到优化问题的解决方案xh。
存储其值，B = f（x_h）。
（如果没有启发式可用，则将B设置为无穷大。
）B将表示到目前为止找到的最佳解，并将用作候选解的上界。
2、初始化队列以保存部分解决方案，但不分配任何问题变量。
3、循环直到队列为空：
3.1从队列中取出一个节点N.
3.2如果N代表单个候选解x和f（x）<B，则x是迄今为止的最佳解。
记录并设置B←f（x）。
3.3否则，在N上分支以产生新的节点Ni。
对于每个新节点：
3.3.1如果下线（N_i）> B，则什么都不做; 由于此节点的下限大于问题的上限，因此它永远不会导致最优解，并且可以被丢弃。
3.3.2否则，将Ni存入队列。
8.
其实代码该过程描述也很明了了。
第1步可以用启发式找一个当前最优解B出来，如果不想也可以将B设置为正无穷。
对于一个最小化问
题而言，肯定是子问题的lower bound不能超过当前最优解，不然超过了，该子问题就需要剪掉了。
第2第3步主要是用队列取构建一个搜索树进行搜索，具体的搜索方式由queue这个数据结构决定的。
注：B&B是围绕着一颗搜索树进行的，那么对于一棵树而言就有很多种搜索方式
1）Breadth-first search (BFS)：广度优先搜索，就是横向搜索，先搜索同层的节点。
再一层一层往下。
这种搜索可以用FIFO queue实现。
2）Depth-first search (DFS)：深度优先搜索，就是纵向搜索，先一个分支走到底，再跳到另一个分支走到底。
这种搜索可以用LIFO queue也就是栈实现。
3）Best-First Search：最佳优先搜索，最佳优先搜索算法是一种启发式搜索算法（Heuristic Algorithm），其基于广度优先搜索算法，不同点是其依赖于估价函数对将要遍历的节点进行估价，选择代价小的节点进行遍历，直到找到目标点为止。
这种搜索可以用优先队列priority queue来实现。