选修2-2第三章-复数全套学案

§3.1.1 数系的扩充与复数的概念

理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.

6062 复习1：实数系、数系的扩充脉络是：

→ → → ， 用集合符号表示为： ⊆ ⊆ ⊆

复习2：判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与∆的关系）： （1）2340x x --= （2）2450x x ++= （3）2210x x ++= （4）210x +=

二、新课导学 ※ 学习探究

探究任务一：复数的定义 问题：方程210x +=的解是什么？

为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .

新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为

z a bi =+（复数的代数形式）

，其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.

试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。

23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0

反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.

对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；

探究任务二：复数的相等

若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.

a bi +=c di + ⇔ ； a bi +=0 ⇔ .

注意:两复数 比较大小.

※ 典型例题

例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

变式：已知复数

222

76

(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）

纯虚数？

小结：数集的关系：

0,0)0)0,0)a a ⎧⎪

≠≠⎧

⎨≠⎨⎪≠=⎩⎩

实数 (b=0)

复数z 一般虚数(b 虚数 (b 纯虚数(b

例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的

实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：

,,a b k 的值.

变式：设复数(,)z a bi a b R =+∈，则z 为纯虚数的

必要不充分条件是（ ）

A ．0a =

B ．0a =且0b ≠

C ．0a ≠且0b =

D ．0a ≠且0b ≠

小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件.

※ 动手试试

练1. 若(32)(5)172x y x y i i ++-=-，求,x y 的值.

练2. 已知i 是虚数单位，复数

2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，

z 是：

（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.

三、总结提升

※ 学习小结

1. 复数的有关概念；

2. 两复数相等的充要条件；

3. 数集的扩充.

※ 知识拓展

复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的

运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同

.

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.

A. 很好

B. 较好

C. 一般

D. 较差

※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1. 实数m 取什么数值时，复数1(1)z m m i =-++是实数（ ）

A ．0

B ．1-

C ． 2-

D ．3- 2. 如果复数a bi +与c di +的和是纯虚数，则有（ ）

A ．0b d +=且0a c +≠

B ．0b d +≠且0a c +=

C ．0a d +=且0b d +≠

D ．0b c +=且0b d +≠

3. 如果222(32)z a a a a i =+-+-+为实数,那么实数a 的值为（ ）

A ．1或2-

B ．1-或2

C ．1或2

D ．1-或2-

4.若2

2

(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数x 的值

是

5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i ++-=+++，则实数 x = ；y =

.

1. 求适合下列方程的实数与的值: (1)(32)(5)172x y x y i i ++-=- (2)(3)(4)0x

y x i +-+-=

2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举

出例子；若不存在,请说明理由.

(1)实部为 (2)虚部为 (3)虚部为

§3.1.2 复数的几何意义

理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量

.

6264

复习1：复数(4)(3)z x y i =++-，当,x y 取何值时z 为实数、虚数、纯虚数？

复习2：若(4)(3)2x y i i ++-=-，试求,x y 的值，（(4)(3)2x y i ++-≥呢？）