离散数学期末考试题答案

北京交通大学2007-2008学年第二学期《离散数学基础（信科专业）》期末考试卷（A）学院：____________ _专业：___________________ 班级____________姓名：学号：□选修□必修一、填空题（共10分，每空1分）1.在推理理论中，推导过程中如果一个或多个公式重言蕴涵某个公式，则这个公式就可以引入推导过程中，这一推理规则叫做（T规则）。

2.设A={a，{b}}，则A的幂集是P (A)= {Φ, a，{b}, {a，{b}}；3.设R 是集合A上的二元关系，如果关系R同时具有自反性、反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系。

4.既是满射，又是单射的映射称为1-1映射（双射）。

5.设S为非空有限集,代数系统<P(S),∪>的单位元和零元分别为S和φ。

6.具有n个顶点的无向完全图共有n(n-1)/2条边。

7.简单图是指无环、无重边的图。

8.k-正则图是指所有顶点的度数均为k的的图。

9.Hamilton通路是指通过图中所有顶点一次且仅一次的通路。

10.设G=（E，V）是图，如果G是连通的，则P（G）= 1 。

11.命题公式(P→Q) ∧ (P→R)的主析取范式中包含极小项（ A ）A．P∧Q∧R；B．P∧Q∧⌝R；C ．P ∧⌝Q ∧R ；D ．P ∧⌝Q ∧⌝R12. 下列谓词公式中（ A ）不正确。

A ．(∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →B ； B ．(∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)；C ．(∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)；D ．(∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B ；13. 设S = {2，a ，{3}，4}，R ={{a}，3，4，1}，指出下面的写法中正确的是（ D ）（A ）R=S ； （B ）{a,3}⊆S ； （C ）{a}⊆R ；（D ）φ⊆R ；14. 下列命题公式不是重言式的是 C 。

A. Q →(P ∨Q)；B.(P ∧Q)→P ；C.⌝（P ∧⌝Q ）；D.⌝（⌝P ∧0）。

15. 下列谓词公式中（ ）不正确。

(A) (∃x)(A(x) →B) ⇔ (∃x) A(x) →B ； (B) (∃x)(B →A(x)) ⇔ B →(∃x) A(x)； (C) (∀x)(B →A(x)) ⇔ B →(∀x) A(x)； (D) (∀x)(A(x)∨B) ⇔(∀x)A(x)∨B ； 16. 下列命题中正确的是（ B ）。

(A) φ∪{φ}=φ； (B) {φ,{φ}}-{{φ}}={φ}；(C) {φ,{φ}}-{φ}={φ，{φ}}； (D) {φ,{φ}}-φ={{φ}}； 17. 设A,B,C 为任意三个集合，下列各命题中正确的是（ A ）。

(A) 若A ∈B 且B ⊆C ，则A ∈C ； (B) 若A ∈B 且B ⊆C ，则A ⊆C ；(C) 若A ⊆B 且B ∈C ，则A ∈C ； (D) 若A ⊆B 且B ∈C ，则A ⊆C 。

18. ⎩⎨⎧<-≥=→3 ,23,)( ,: 2x x x x f R R f 设,则,2)(,:+=→x x g R R g =))((x g f A 。

（A ）⎩⎨⎧<-≥+121 )2(2x x x ;（B ）⎩⎨⎧<-≥+323 )2(x x x ;（C ）⎩⎨⎧<-≥+1 21 )2(2x x x ;（D ）⎩⎨⎧<≥+303 )2(2x x x .19. 设R 1，R 2是集合A={a ，b ，c ，d}上的两个关系，其中R 1={（a ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（d ，d ）}，R 2={（a ，a ），（b ，b ），（b ，c ），（c ，b ），（d ，d ）}，则R 2是R 1的（ B ）闭包。

(A) 自反 (B) 对称(C) 传递 (D) 以上都不是20.设偏序关系R是集合A={1，2，3，4，5，6}中数的“整除”关系，则A的极大元、极小元的个数分别是（ C ）。

(A) 2，1 (B) 2，2 (C) 3，1 (D) 3，2二、计算题（共40分，每小题10分）1.求命题公式（P∧Q）∨（⌝P∧R）的主合取范式。

2.在一个班级的50个学生中，有26人在第一次考试中得到A，21人在第二次考试中得到A。

假如有17人两次考试都没有得到A，问有多少学生两次考试中都得到了A？3.设为一个偏序集，其中，A={1，2，3，4，6，9，24，54}是A上的整除关系。

（1）画出的哈斯图；（2）求R关于A的极大元；（3）求B={4,6,9}的最小上界和最大下界。

4.用逻辑推理方法证明：{P→Q，R→S，P∨R }蕴涵Q∨S。

5.将公式P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))化为主析取范式和主合取范式：解：P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))⇔⌝P∨((⌝P∨Q) ∧ Q∧P)⇔⌝P∨(Q∧P)⇔ (⌝P ∧(Q∨⌝Q)) ∨(Q∧P)⇔ (⌝P ∧Q) ∨(⌝P∧⌝Q) ∨(Q∧P) （主析取范式）P→((P→Q)∧⌝(⌝Q∨⌝P))⇔⌝P∨((⌝P∨Q) ∧ Q∧P)⇔⌝P∨(Q∧P)⇔(⌝P∨Q) ∧(⌝P∨P)⇔⌝P∨Q （主合取范式）6.化简（A-B-C）⋃（（A-B）⋂C）⋃（A⋂B-C）⋃（A⋂B⋂C）解：（A-B-C）⋃（（A-B）⋂C）⋃（A⋂B-C）⋃（A⋂B⋂C）=（A⋂~B⋂~C）⋃（A⋂~B⋂C）⋃（A⋂B⋂~C）⋃（A⋂B⋂C）=（（A⋂~B）⋂（~C⋃C））⋃（（A⋂B）⋂（~C⋃C））=（（A⋂~B）⋂E）⋃（（A⋂B）⋂E）E为全集=（A⋂~B）⋃（A⋂B）= A⋂（~B⋃B）= A⋂E= A7.写出下面有向图（关系图）所表示的关系R的关系矩阵，并求出R的自反闭包和对称闭包。

解：1{,,,,,,,}110001010(){,,,,,,,,,,,}(){,,,,,,,,,}R AR a a a b b c c b M r R R I a a b b c c a b b c c b s R R R a a a b b a b c c b -=<><><><>⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⋃=<><><><><><>=⋃=<><><><><>8. 设图G 中各点的度都是3，且点数n 与边数m 满足2n-3=m 。

问：G 中点数n 和边数m各为多少？ 解：由图G 中各点的度都是3知，)()(v G P v Gd∑∈=3n ，而)()(v G P v Gd∑∈=2m ，故，3n=2m 。

再由已知2n-3=m ，解得n=6，m=9。

9. 张三说李四在说谎，李四说王五在说谎，王五说张三、李四都在说谎。

问张三、李四、王五三人到底谁说真话，谁说假话？解：10. 对102名学生调查表明,有35人学日语,20人学法语,45人学英语,15人既学日语又学英语,8人既学日语又学法语,10人既学法语又学英语,28人不学这三门中的任何一门。

(1) 求三门语言都学的人数； (2) 求至少两门语言的人数；(3) 求只学英语,只学法语,只学日语的人数。

解：REFx15 -x10 -x8-x2+x12+x20+x(1) 45+20+2+x+18=102,1).x=7 (2) 至少学两门的人数为15+4=19,(3) 只学英语27人, 只学法语9人, 只学日语19人,11. 设为一个偏序集，其中，A={1，2，3，4，6，9，24，54}是A 上的整除关系。

（1）画出的哈斯图；（2）求R 关于A 的极大元；（3）求B={4,6,9}的最小上界和最大下界。

12. 设A = {0,1}，B ={1,2}，试确定下列集合： (1) A ×{1}×B ； (2) A 2×B ； (3) (B ×A)2。

解：13. 画出K4的所有非同构的生成子图，其中有几个是连通图？非同构的生成子图有11个,其中六个连通图. 三、 证明题（共28分）1. 用逻辑推理方法证明：{P →Q ， R →S ，P ∨R }蕴涵Q ∨S 。

证明：（1） P ∨R 规则P （2） ⌝R →P 规则Q ，根据（1） （3） P →Q 规则P （4） ⌝R →Q 规则Q ，根据（2）（3） （5） ⌝Q →R 规则Q ，根据（4） （6） R →S 规则P （7） ⌝Q →S 规则Q ，根据（5）（6） （8）Q ∨S 规则Q ，根据（7）2. 证明集合等式（A-B ）∪（B-A ）=（A ∪B ）-（A ∩B ）.3. 设R 是一个关系，用R -1表示R 的逆关系，s(R)表示S 的对称闭包，证明 s(R)=R ∪R -1。

证明：①任取(x,y)∈ R ∪R -1 ，则(x,y)∈ R 或(x,y)∈ R -1，若(x,y)∈ R ，则有(y,x)∈R -1，所以(y,x)∈ R ∪R -1；若(x,y)∈ R -1 ，则有(y,x)∈R ，所以(y,x)∈ R ∪R -1 ， R ∪R -1具有对称性；②显然，R ⊆ R ∪R -1③对A 上任意关系R ''， 若R ⊆ R ''，且R ''是对称的，往证R ∪R -1⊆R ''。

任取(x,y)∈R∪R -1，则(x,y)∈ R 或(x,y)∈ R -1，若(x,y)∈ R ，因为R ⊆ R ''，则(x,y)∈ R '' ；若(x,y)∈ R -1，则有(y,x)∈R ，则(y,x)∈R ''，因为R ''是对称的，所以(x,y)∈R '' ， 因此，R ∪R -1⊆R ''。

4. 设R 是一个二元关系，证明：(1) 若R 是自反的，则s (R )和t (R )是自反的； (2) 若R 是对称的，则r (R )和t (R )是对称的；5.在半群<G,*>中，若对∀a,b∈G，方程a*x=b 和y*a=b都有惟一解，则关于运算*存在单位元。

证明：任意取定a∈G，记方程a*x=a的惟一解为e R。

即a*e R=a。

下证e R为关于运算*的右单位元。

对∀b∈G，记方程y*a=b的惟一解为y。

因为<G,*>是半群，所以运算*满足结合律。

从而b*e R=(y*a)*e R=y*(a*e R)=y*a=b。

故e R 为关于运算*的右单位元。