2018江苏高考数学填空中高档题专练
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)
2018年江苏省高考数学试卷(含解析版)2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请将答案填写在答题卡相应位置上。
1.（5分）已知集合A={1.2.8}，B={-1.1.6.8}，则A∩B={1.8}。
2.（5分）若复数z满足i•z=1+2i（其中i是虚数单位），则z的实部为-2.3.（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为74.4.4.（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为20.5.（5分）函数f(x)=√(3-x)的定义域为(-∞。
3]。
6.（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为3/10.7.（5分）已知函数y=sin(2x+φ)（-π/4≤x≤π/4），则φ的值为π/6.8.（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x²/a²-y²/b²=1（a＞b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为1，则其离心率的值为c/a。
9.（5分）函数f(x)满足f(x+4)=f(x)（x∈R），且在区间（-2，2]上，f(x)=|x|，则f(f(15))的值为1.10.（5分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为8.11.（5分）若函数f(x)=2x³-ax²+1（a∈R）在（-∞，+∞）内有且只有一个零点，则f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值的和为4.12.（5分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D。
若D的横坐标为4/3，则C的坐标为(7/3，14/3)。
13.（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为3.14.（5分）已知集合A={x|x=2n-1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}。
(2021年整理)江苏省2018届高三填空题专题训练(不等式,函数,解几教师版)
（完整）江苏省2018届高三填空题专题训练(不等式,函数,解几教师版) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）江苏省2018届高三填空题专题训练(不等式,函数,解几教师版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）江苏省2018届高三填空题专题训练(不等式,函数,解几教师版)的全部内容。
高三填空题专题训练（不等式,函数，解几）1．已知正数x ，y 满足121x y+=，则22log log x y +的最小值为 ． 1．3．由121x y +=得,02y x y =>-,则()222222222log log log log log 22y y x y xy y y -++===-- ()224log 24log 832y y ⎡⎤=-++=⎢⎥-⎣⎦≥． 2．已知正数,a b满足13a b+=，则ab 的最小值为 ．2。
因为,a b 为正数，13a b =+≥有ab ≥1313a b a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即a b ==时,取“=”。
3．设a b c ，，是三个正实数,且()a a b c bc ++=，则a b c+的最大值为 ．3．．由()a a b c bc ++=，得1b c b c aaa a++=⋅，设,b c x y aa==,则1x y xy ++=，1a b c x y =++，因为21()2x y x y xy +++=≤，所以2x y ++≥a b c+．4. 已知0,0x y >>，且2x y +≤，则4122x y x y+++的最小值为 . 4。
2018江苏数学高考真题及答案
2018年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷）数学Ⅰ参考公式：锥体的体积13V Sh =，其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高．一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{0,1,2,8}A =，{1,1,6,8}B =-，那么AB = ▲ ．2．若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示， 那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法,最后输出的S 的值为 ▲ ． 5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ． 7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ．9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩-则((15))f f 的值为 ▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c+的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ,*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥．求证：(1）11AB A B C 平面∥；（2)111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ． (1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1)求椭圆C 及圆O 的方程；（2)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267， 求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点"．（1)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”；（2)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()x b g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点"，并说明理由．20．(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ,公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； (2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立,并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．[2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形，因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1，所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ．因为AB 1⊂平面ABB 1A 1，所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=，因此，27cos22cos 125αα=-=-．（2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈． 又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--, 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ,所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ, 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ)=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14,θ0∈（0，π6）． 当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ，所以sin θ的取值范围是[14,1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600(cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是［14，1）． (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k 〉0)， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ)+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，π2)．设f （θ)= sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0,π2), 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6, 当θ∈（θ0，π6)时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈(π6，π2）时，()<0f θ′,所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时,f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识,考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=． 因为圆O 的直径为12F F ,所以其方程为223x y +=．（2)①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ,得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（＊）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==．因此,点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为267,所以21 267AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*)得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．19．解：(1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x —2，则f ′（x ）=1，g ′（x )=2x +2．由f （x )=g （x ）且f ′(x ）= g ′(x ),得222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解，因此，f (x ）与g (x ）不存在“S ”点．（2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =，则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x )与g （x ）的“S "点,由f （x 0）=g (x 0)且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-,即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e 2a =时，120e x -=满足方程组（＊）,即0x 为f （x )与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x )的图象是不间断的,所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =,令0302e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()x bf x x ag x x =-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x-=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩(＊*) 此时,0x 满足方程组（*＊），即0x 是函数f (x )与g (x )在区间（0，1)内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0,存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”． 20．解：(1）由条件知:112(,)n n n a n d b -=-=．因为1||n n a b b -≤对n =1,2，3，4均成立，即1 12|()1|n n d ---≤对n =1,2，3，4均成立，即1≤1，1≤d ≤3，3≤2d ≤5，7≤3d ≤9，得7532d ≤≤．因此,d 的取值范围为75[,]32．（2)由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ,使得1||n n a b b -≤(n =2，3，···，m +1)成立， 即1111 |1|2,3,,(1())n b n d b qb n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时,d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为q ∈,则112n mqq -<≤≤,从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-,对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时,有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>．因此,当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x 〉0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<，所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时,111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-, 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为mq m ．因此,d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ（附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．［选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点,过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =,求 BC 的长．B ．[选修4-2：矩阵与变换］（本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；(2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．［选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．[选修4—5：不等式选讲］（本小题满分10分）若x ,y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分,共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2,点P ,Q 分别为A 1B 1，BC 的中点． （1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； (2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．（本小题满分10分）设*n ∈N ,对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1,2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，（3,1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求34(2),(2)f f 的值;（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式（用n 表示)．数学Ⅱ（附加题)参考答案21．【选做题】A ．[选修4-1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ．又因为PC =23,OC =2，所以OP =22PC OC +=4．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．[选修4-2：矩阵与变换］本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆，从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ,y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ，因此,点P 的坐标为（3,–1）． C ．［选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0）,倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ,则∠OAB =π6． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2，所以π4cos 236AB ==．因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．［选修4—5:不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力．满分10分．证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++,所以2224x y z ++≥，当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ,OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ．因为AB =AA 1=2， 所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,,2)22P -，从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--，故111|||14|310|cos ,|20||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-+===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020．(2）因为Q 为BC 的中点，所以1,0)2Q ，因此33(,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==．设n =（x ，y ，z )为平面AQC 1的一个法向量，则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即30,2220.y y z +=⎪+=⎩不妨取1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为θ，则111||sin |cos |,|||CC CC CC |θ==⋅⋅==n n n ，所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为．23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：(1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1,2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，,所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此,4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ,所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-． 为计算1(2)n f +，当1,2，…，n 的排列及其逆序数确定后,将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+．当n ≥5时, 112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．。
2018年江苏省高考数学试卷及解析
2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．17．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．214．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．3（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C 过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB 的面积为，求直线l的方程．19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在4x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．5B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin （﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内6作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．72018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，8∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．9【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：≥1，10解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，11故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k ∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．128．（5.00分）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F （c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f （x）=，则f（f（15））的值为．【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．13【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f （）=cos （）=cos =，即f（f（15））=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，14多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x ﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x （3x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x ∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零15点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x ＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f （）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D ．若=0，则点A的横坐标为3．16【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D 的坐标，结合=0求得a值得答案．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C （，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c 的最小值为9．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，17即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n+1成立的n的最小值为27．【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32．S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，18所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32．S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，故答案为：27．【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【分析】（1）由⇒AB∥平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，19由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣求得tan（α+β），利用tan（α20﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；21（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．=（40sinθ+10）•80cosθ【解答】解：（1）S矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP =•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，22则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．答：（1）S=800（4sinθcosθ+cosθ），矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；θ=时总产值y最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．2318．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C 过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB 的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得．，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，24O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．即可【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C 的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l 的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，25可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P 的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k ＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．2619．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x ）得=2ax，得x=，f （）=﹣=g （）=﹣lna2，得a=；27（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；28（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d ≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d ≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，29下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m 时，﹣==，当1＜q ≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m 时，=≤（1﹣）=f （）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的30运算能力，综合性较强，难度较大．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长．【解答】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以OC⊥CP．因为圆O的半径为2，，所以BO=OC=2，，所以，31所以∠COP=60°，所以△COB为等边三角形，所以BC=BO=2．【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【分析】（1）矩阵A=，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A﹣1．（2）设P（x，y），通过•=，求出=，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）矩阵A=，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=．（2）设P（x，y），则•=，所以=A﹣1=，32因此点P的坐标为（3，﹣1）．【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin （﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin （﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x ﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．33D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．34【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，35∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B （，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，∴，．|cos|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q （）∴，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos|==，36∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．【分析】（1）由题意直接求得f3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f4（2）的值；（2）对一般的n（n≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为137的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排为计算f n+1（2）=f n（2）+f n（1）列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f n+1+f n（0）=f n（2）+n，则当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2），则f n（2）（n≥5）的表达式可求．【解答】解：（1）记μ（abc）为排列abc得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排为计算f n+1列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．+1当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）38﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．39。
江苏省普通高等学校2018年高三数学招生考试资源练习：
练习四1. (2017·衡阳期末)已知集合A ＝{x|log 12x ＞－1}，B ＝|x|2x ＞2|，则A ∪B ＝__________．2. (2017·天水三中一模)设复数z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝__________．3. (2017·揭阳一中、潮州金中联考)在双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0，c ＝a 2＋b 2)中，已知c ，2a ，2b 成等比数列，则该双曲线的离心率为________．4. (2017·北京四中期中)从A ，B ，C ，D ，E 这5名学生中随机选出2人，A 被选中的概率为________．5. (2017·绵阳二模)某市在“国际禁毒日”期间，连续若干天发布了“珍爱生命，远离毒品”的电视公益广告，期望让更多的市民知道毒品的危害性，禁毒志愿者为了了解这则广告的宣传效果，随机抽取了100名年龄阶段在[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50)，[50，60]的市民进行问卷调查，由此得到样本频率分布直方图如图所示：则随机抽取的市民中年龄段在[30，40)的人数为__________． 6. (2017·景德镇期末)已知输入的x ＝11，执行如图所示的算法流程图，则输出的x 的值为________．7. (2017·新疆库尔勒四中期中)已知在等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12＝__________．8. (2017·莆田二十四中期中)在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点．若DC ＝3DF ，设AC →＝a ，BD →＝b ，则用a 与b 表示AF →＝________．9. (2017·福州八中三检)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝________．10. (2017·庆阳会宁二中)将函数f(x)＝sin ωx (ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，则ω的最小值是________．11. (2017·玉林陆川中学期末)已知圆C 过点(－1，0)，且圆心在x 轴的负半轴上，直线l ：y ＝x ＋1被该圆所截得的弦长为22，则圆C 的标准方程为____________．12. (2017·铁岭协作体第三次联考)若函数f(x)＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最大值，则实数a 的取值范围是________．13. (2017·北京朝阳区期末)在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，点D 是边BC 上的动点，且|AB →|＝3，|AC →|＝4，AD →＝λAB →＋μAC →(λ＞0，μ＞0)．则当λμ取得最大值时，|AD →|的值为________．14. (2017·淄博桓台二中月考)若定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x －1)＝f(x ＋1)．且当x ∈[－1，0]时，f(x)＝－x 2＋1，如果函数g(x)＝f(x)－a|x|恰有8个零点，则实数a 的值为________．练习四1. (0，＋∞) 解析：∵ 集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|log 12x ＞－1＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|log 12x ＞log 122＝{x|0＜x ＜2}，B ＝{x|2x＞2}＝{x|2x＞212}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＞12，∴ A ∪B ＝{x|x ＞0}＝(0，＋∞)．2. 1＋i 解析：∵ 复数z ＝1＋i ，∴ z 2＝2i ，则2z ＋z 2＝21＋i ＋2i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－i ＋2i ＝1＋i.3. 2 解析：∵ c ，2a ，2b 成等比数列，∴ 2a 2＝2bc ，即e 4－e 2－2＝0，∴ e ＝ 2.4. 25解析：从A ，B ，C ，D ，E 这5名学生中随机选出2人，基本事件总数为10，A 被选中包含的基本事件个数为4，∴ A 被选中的概率为P ＝410＝25.5. 30 解析：由频率分布直方图知，随机抽取的市民中年龄段在[30，40)的频率为1－10×(0.020＋0.025＋0.015＋0.010)＝0.3，即随机抽取的市民中年龄段在[30，40)的人数为100×0.3＝30人．6. 95 解析：由算法流程图，得第一次运行x ＝2×11＋1＝23，第二次运行x ＝2×23＋1＝47，第三次运行x ＝2×47＋1＝95，此时n ＝4，不满足条件，终止运行，输出x ＝95.7. 15 解析：在等差数列{a n }中，∵ a 7＋a 9＝16＝2a 8，∴ a 8＝8.∵ S 11＝992＝11（a 1＋a 11）2＝11a 6，∴ a 6＝92.设公差为d ，则有8＝92＋2d ，∴ d ＝74.∴ a 12＝a 8＋4d ＝15.8. 23a ＋13b 解析：如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，F 是线段DC 上的点，且DC ＝3DF ，∴ DF →＝13DC →＝13(OC →－OD →)＝16(AC →－BD →)，∴ AD →＝OD →－OA →＝12BD →＋12AC →.设AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝AD →＋DF →＝⎝⎛⎭⎫12BD →＋12AC →＋16(AC →－BD →)＝13BD →＋23AC →＝23a ＋13b . 9. －12解析：∵ {a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和，∴ S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.由S 1，S 2，S 4成等比数列，得S 22＝S 1·S 4，即(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.10. 2 解析：将函数f(x)＝sin ωx (ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，可得y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ4的图象，再根据所得图象关于点⎝⎛⎭⎫3π4，0对称，可得ω·3π4－ωπ4＝k π，k ∈Z ，求得ω＝2k ，k ∈Z ，则ω的最小值为2.11. (x ＋3)2＋y 2＝4 解析：设圆心C(x ，0)，则圆的半径r ＝BC ＝|x ＋1|，∴ 圆心C 到直线l 的距离CD ＝|x ＋1|2，弦长为22，则r ＝（x ＋1）22＋2＝|x ＋1|，整理得x ＝1(不合题意，舍去)或x ＝－3，∴ 圆心C(－3，0)，半径为2，则圆C 方程为(x ＋3)2＋y 2＝4.12. (－7，－2] 解析：由题意f(x)＝x 3－3x ，所以f′(x)＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x)＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x)＜0，故x ＝－1是函数f(x)的极大值点，f(－1)＝－1＋3＝2，x 3－3x ＝2，解得x ＝2，所以由题意应有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜6－a 2，a ＜－1，6－a 2＞－1，6－a 2≤2，解得－7＜a ≤－2.13. 52解析：将三角形放入如下图所示的坐标系中，则C(0，4)，B(3，0)．∵ AD →＝λAB→＋μAC →(λ＞0，μ＞0)，∴ λ＋μ＝1，则1＝λ＋μ≥2λμ，即λμ≤14，当且仅当λ＝μ＝12时取等号，此时AD →＝λAB →＋μAC →＝12AB →＋12AC →＝12(3，0)＋12(0，4)＝⎝⎛⎭⎫32，2，则|AD →|＝⎝⎛⎭⎫322＋22＝52.14. 8－215 解析：由f(x ＋1)＝f(x －1)，则f(x)＝f(x －2)，故函数f(x)为周期为2的周期函数．∵ 函数g(x)＝f(x)－a|x|恰有8个零点，∴ f(x)－a|x|＝0在(－∞，0)上有四个解，即f(x)的图象与直线y ＝a|x|在(－∞，0)上有4个交点，如图所示．当x ∈[－1，0]时，f(x)＝－x 2＋1，∴ 当直线y ＝－ax 与y ＝－(x ＋4)2＋1相切时，即可在(－∞，0)上有4个交点．∴ x 2＋(8－a)x ＋15＝0，∴ Δ＝(8－a)2－60＝0，解得a ＝8－215(a ＝8＋215，舍)．。
最新-江苏省2018届高考数学填空题“精选巧练”22 苏教
2018届江苏高考数学填空题“精选巧练”221．△ABO 中,设,OA OB ==a b ,OD 是AB 边上的高,若AD AB λ=,则实数λ＝ ． （用含a,b 的式子表示）．2．某人1999年元月1日到银行存入a 元,第二年开始取出本利再加a 元一并存入,银行存款的年利率r 保持不变,到2018年元月1日全部取出时,本利总共有 （本利=本金+利息）3．设函数()y f x =在(),-∞+∞上满足()(4),(4)(10)f x f x f x f x -=+-=+,且在闭区间[]0,7上,()0f x =仅有两个根1x =和3x =,则方程()0f x =在闭区间[]2011,2011-上根的个数有 ．4．给出以下四个命题：①函数)(x f y =在R 上是增函数的充分不必要条件是0)('>x f 对x ∈R 恒成立； ②等比数列4,16,1}{351±===a a a a n 则中，；③把函数)22sin(x y -=的图像向左平移1个单位,则得到的图象对应的函数解析式为x y 2sin -=；④若数列{a n }是等比数列,则a 1＋a 2＋a 3＋a 4,a 5＋a 6＋a 7＋a 8,a 9＋a 10＋a 11＋a 12也一定成等比数列.其中正确的是 ▲ ．5．已知两个正实数b a ,满足3≤+b a ,若当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x 时,恒有2)()(22≥-+-b y a x ,则以b a ,为坐标的点),(b a 所形成的平面区域的面积等于______．6. 若过点(,)A a a 可作圆2222230x y ax a a +-++-=的两条切线,则实数a 的取值范围是 .7. 已知函数bx ax x x f -+=2331)(（R b a ∈,）,若)(x f y =在区间[]2,1-上是单调减函数,则b a +的最小值为 .8．设曲线1*()n y x n N +=∈在点（1,1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,则12n x x x ⋅⋅⋅的值为 ．9．设椭圆21)0,0(12222=>>=+e b a by a x 的离心率,右焦点F （c,0）,方程02=-+c bx ax 的两个根分别为x 1,x 2,则点P （x 1,x 2）在圆 内．10．已知])9,1[(2log )(3∈+=x x x f ,则函数)()]([22x f x f y +=的最大值是_______．11．函数f (x )=2x ,对x 1,x 2∈R +,x 1≠x 2,1x x λαλ+=+12,1x x λβλ+=+21(1λ>),比较大小：f (α)+f (β)__________f (x 1)+f (x 2).12．已知函数是定义在(0,)+∞上的单调增函数,当n *∈N 时,()f n *∈N ,若[()]3f f n n =,则f (5)的值等于 ．13．如果关于x 的方程213ax x+=有且仅有一个正实数解,则实数a 的取值范围是 ． 14．已知()2x f x =可以表示成一个奇函数()g x 与一个偶函数()h x 之和,若关于x 的不等式()(2)0ag x h x +≥对于[1,2]x ∈恒成立,则实数a 的最小值是 ▲ ．15．已知数列{}n a 满足：*12211,(),||n n n a a x x N a a a ++==∈=-,若前2010项中恰好含有666项为0,则x 的值为 ▲ .参考答案（22）1、解析：,AB =-b a ∴(),()AD OD OA AD λλ=-∴=+=+-b a a b a ,∵OD ⊥AB , ∴0OD AB =,即2()()0λ-+-=a b a b a ,∴λ＝2()||--a a b a b ． 2、13[(1)(1)]a r r r +-+；3、818；4、①③；6、3312a a <-<<或；7、32； 8、11n +；9、222=+y x ；10、13；11、<；12、8；13、{|0a a ≤或2}a =； 14、176-；15、8或9.。
江苏省高考数学填空解答题专项拔高训练 基本不等式问题 答案
专题09 基本不等式问题考情分析年份2014 2016 2017 2018题号14 14 10 13真题再现1.（2018·江苏卷）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的平分线交AC于点D，且则的最小值为______．【答案】9【解析】解：由题意得，即得得当且仅当即时，取等号，故答案为：9．2.（2017·江苏卷）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元次，一年的总存储费用为4x万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是______．【答案】30【解析】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和万元．当且仅当时取等号．故答案为：30．核心要点1．常用的几个重要不等式(1) a 2＋b 2≥2ab (a 、b ∈R )； (2)a ＋b2≥ab ； (3) b a ＋ab ≥2(a 与b 同号)； (4) ab ≤_(a ＋b 2)2(a 、b ∈R )；(5) 21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a 、b ∈(0，＋∞)(两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数之间的大小关系)． 2．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1) 如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2P (简记：积定，和有最小值)． (2) 如果和x ＋y 的定值为S ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值14S 2(简记：和定，积有最大值)．拔高训练1. （2019·苏州模拟）若且则使得取得最小值的实数______．【答案】 【解析】解：且那么：当且仅当时即取等号．联立解得：．故答案为：．2. （2019·常州模拟）已知则的最小值是______．【答案】4【解析】解：考察基本不等式当且仅当时取等号整理得即又所以当且仅当时取等号则的最小值是4故答案为：4．3.（2019·无锡模拟）设正实数x，y，z满足则当取得最大值时的最大值为．【答案】1【解析】解：因为根据基本不等式得当且仅当取等号，此时取最大值1当时取最大值1．故答案为1．4.（2019·镇江模拟）a，b为正实数，且则的最小值为【答案】【解析】解：b为正实数，且两边同时除以得即当且仅当时，即时等号成立，故的最小值为．故答案为．5.（2019·徐州模拟）设为函数图象上一动点，记则当m取最小值时，点P的坐标为________．【答案】【解析】解：由题意，，当且仅当即时，m取得最小值为8 ，，，，故答案为．6.（2019·宿迁模拟）已知正实数x，y满足则的最小值为______ ．【答案】1【解析】解：正实数x，y满足则时等号成立的最小值为1故答案为：17.（2019·南通模拟）若实数x，y满足且则的取值范围是______ ．【答案】【解析】解：设则即为表示个圆弧AB，令则的范围是则当时取最小值2，此时取最大值2，且的最小值为的最大值为此时或即或此时取最小值的最大值为的取值范围是故答案为：8.（2019·连云港模拟）设x，y均为正实数，且则xy的最小值为______ ．【答案】16【解析】解：由化为整理为y均为正实数解得即当且仅当时取等号．的最小值为16．故答案为：16．9.（2019·扬州模拟）已知正项等比数列满足若存在两项使得则的最小值为________．【答案】【解析】解：设的公比为由正项等比数列满足可得．．当且仅当即时取等号．故的最小值为．故答案是．10.（2019·泰州模拟）设正实数x，y满足则y的最小值是．【答案】【解析】解：由题意可知即当且仅当时，取等号；由可知解得．故答案为．11.（2019·无锡模拟）若实数满足则的最小值为_________．【答案】【解析】解：令则由得当时取等号，所以故答案为．12.（2019·淮安模拟）已知且则的最小值为________．【答案】【解析】解：因为所以因为所以当且仅当即时取等号．故答案为．13.（2019·苏州模拟）若正数x、y满足则的最大值为．【答案】【解析】解：正数x、y满足解得当且仅当时等号成立，的最大值为．故答案为．14.（2019·淮安模拟）已知且则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：且解得．则当且仅当时取等号．的最小值为．故答案为：．15.（2019·南通模拟）已知则的最小值是______ ．【答案】【解析】解：由得当且仅当时取等号，即的最小值为故答案为：．16.（2019·无锡模拟）已知且则的最小值为______ ．【答案】【解析】解：且则由可得当且仅当时，取得等号．则原式．当且仅当时，取得等号．则所求最小值为．故答案为：．17.（2019·镇江模拟）已知则的最小值为_______．【答案】6【解析】解：设当且仅当且时，即当等号成立，故答案为6．18.（2019·徐州模拟）已知则的最小值是．【答案】4【解析】解：当且仅当时取等号整理得：即又当且仅当时取等号则的最小值是4．故答案为4．19.（2019·宿迁模拟）在斜三角形ABC中，若则sin C的最大值为．【答案】【解析】解：由得即化简得．由正弦定理可得由余弦定理可得即所以当且仅当时等号成立．所以cos C的最小值为因为故sin C的最大值为．故答案为．20.（2019·连云港模拟）已知正实数满足则的最小值为______．【答案】【解析】解：因为所以那么：因为当且仅当时取等号．所以：故：的最小值为故答案为．共11页第11页。
2018年高考数学江苏卷(含答案与解析)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页）绝密★启用前江苏省2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学本试卷共160分.考试时长120分钟.参考公式：锥形的体积公式13V Sh =,其中S 是椎体的底面积,h 是椎体的高。
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分. 1.已知集合{0,1,2,8}A =,{1,1,6,8}B =-,那么AB = .2.若复数z 满足i 12i z =+,其中i 是虚数单位,则z 的实部为 .3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为 .4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S 的值为 .5.函数()f x =的定义域为 .6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为 .7.已知函数ππsin(2)()22y x ϕϕ=+-<<的图象关于直线π3x =对称,则ϕ的值是 .8.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>0,的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为2,则其离心率的值是 . 9.函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ,且在区间(2,2]-上,()cos (2)2102x x f x x x π⎧⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩0＜≤，(-2＜≤)，,则((15))f f 的值为 . 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 .11.若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点,则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 .12.在平面直角坐标系xOy 中,A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点,点(5,0)B ,以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若0AB CD =,则点A 的横坐标为 .13.在ABC △中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c ,120ABC ∠=,ABC ∠的平分线交AC 于点D ,且1BD =,则4a c +的最小值为 .14.已知集合{21,}A x x n n ==-∈*N ,{2,}n B x x n ==∈*N .将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ,记n S 为数列{}n a 的前n 项和,则使得112n n S a +＞成立的n 的最小值为 .毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共42页） 数学试卷 第4页（共42页）二、解答题：本大题共6小题,共计90分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)在平行六面体1111ABCD A B C D -中,1AA AB =,111AB B C ⊥. 求证：(Ⅰ)AB ∥平面11A B C ； (Ⅱ)平面11ABB A ⊥平面1A BC .16.(本小题满分14分)已知α,β为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(Ⅰ)求cos2α的值； (Ⅱ)求tan()αβ-的值.数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）17.(本小题满分14分)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O 的一段圆弧MPN (P 为此圆弧的中点)和线段MN 构成,已知圆O 的半径为40米,点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ,大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △,要求点A ,B 均在线段MN 上,C ,D 均在圆弧上.设OC 与MN 所成的角为θ.(Ⅰ)用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积,并确定sin θ的取值范围； (Ⅱ)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3.求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.18.(本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C过点1)2,焦点1(F,2F ,圆O 的直径为12F F .(Ⅰ)求椭圆C 及圆O 的方程；(Ⅱ)设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P .①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点,求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于A ,B 两点.若OAB △,求直线l 的方程.-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________数学试卷 第7页（共42页） 数学试卷 第8页（共42页）19.(本小题满分16分)记()f x ',()g x '分别为函数()f x ,()g x 的导函数.若存在0x ∈R ,满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=,则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”.(Ⅰ)证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； (Ⅱ)若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”,求实数a 的值；(Ⅲ)已知函数2()f x x a =-+,e ()xb g x x=.对任意0a >,判断是否存在0b >,使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”,并说明理由.20.(本小题满分16分)设{}n a 是首项为1a ,公差为d 的等差数列,{}n b 是首项1b ,公比为q 的等比数列. (Ⅰ)设10a =,11b =,2q =若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立,求d 的取值范围； (Ⅱ)若110a b =>,m ∈*N,q ∈,证明：存在d ∈R ,使得1||n n a b b -≤对2,3,1n m =+…,均成立,并求d 的取值范围(用1b ,m ,q 表示).数学试卷 第9页（共42页） 数学试卷 第10页（共42页）数学Ⅱ(附加题)本试卷均为非选择题(第21题~第23题). 本卷满分40分,考试时间为30分钟.21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 四小题,请选定其中两小题并作答．．．．．．．．．．．,若多做,则按作答的前两小题评分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2018江苏高考数学填空中高档题专练2018.5.221. 等比数列｛a n｝的公比大于1, a5—aι= 15, a t—a2= 6,贝U出= ___________ •2. 将函数y = Sin 2x +才的图象向右平移ΦO V φv专个单位后，得到函数f(x)的图象，若函数f(x)是偶函数，则φ的值等于_________ .b3. 已知函数f(x) = ax+ b(a, b∈R, b>0)的图象在点P(1, f(1))处的切线与直线x+ 2y入—1 = 0垂直，且函数f(x)在区间f,+∞ '上单调递增，则b的最大值等于_____________________ .4. 已知f(m) = (3m —1)a+ b —2m ,当m∈[0, 1]时，f(m) ≤1 恒成立，贝U a+ b 的最大值是__________ .2 2 15. △ ABC 中，角A, B, C 的对边分别是a, b, c,若tanA = 2tanB , a —b = §c,贝U G1 X6.已知x+ y = 1,y> 0, X>0,则2x + 的最小值为7. 设f (x)和g'(x)分别是函数f(x)和g(x)的导函数，若f (x) ∙gx) ≤0在区间I上恒成立，则称函数f(x)和g(x)在区间I上单调性相反.若函数f(x) = -x3—2ax与函数g(x) = x2+ 2bx 3 在开区间(a, b)(a> 0)上单调性相反，贝U b—a的最大值等于 _____________ .8. 在等比数列｛a n｝中，若a1= 1, a3a5= 4(a4—1),贝U a?= ________ .9. 已知|a|= 1, |b|= 2, a + b= (1, √2),则向量a, b 的夹角为________________ .10. 直线ax + y+ 1 = 0被圆x2+ y2—2ax+ a= 0截得的弦长为2,则实数a的值是211. 已知函数f(x) = —X + 2x ,则不等式f(log 2x) V f(2)的解集为_____________ .12. 将函数y = sin2x的图象向左平移φ( φ> 0)个单位，若所得的图象过点∏∏, -^ ,则φ的最小值为 _____________ .13. 在厶ABC中，AB = 2, AC = 3,角A的平分线与AB边上的中线交于点0,若AO =XA B + yAC(x , y∈R),贝U X + y 的值为14. 已知函数f(x) = e x—1+ x—2(e为自然对数的底数),g(x) = x2—ax—a+ 3,若存在实数X1, x2 ,使得f(X1)= g(x2)= 0 ,且|X1 —x2∣≤1,则实数a的取值范围是 __________________ .15. 连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字 1 , 2, 3, 4, 5, 6),则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为___________ .16. 将半径为5的圆分割成面积之比为 1 : 2 : 3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥的底面半径依次为「1,「2,「3 ,则门+仪+「3= ____________ .2 r r17. 已知θ是第三象限角，且Sinθ —2cosθ =—匚，贝U Sinθ + cos θ = _________________ .518. 已知｛a n｝是等差数列，a5= 15, a1°=—10,记数列｛a n｝的第n项到第n + 5项的和为T n,则IT n l取得最小值时的n的值为______________ .19. 若直线11：y = x+ a和直线12：y= x+ b将圆(X —1)2+ (y —2)2= 8分成长度相等的四段弧，贝H a2+ b2 = __________ .20. 已知函数f(x) = |sinx| —kx(x ≥0, k ∈R)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大%值为X。
,则(1 + ©血些= _____________________ .1 1 221. 已知ab=1, a, b∈(0, 1),则一+厂;的最小值为____________________ .4 1 —a 1 —b22. 在圆锥Vo中，O为底面圆心，半径OA丄OB,且OA = Vo = 1 ,贝U O到平面VAB的距离为__________ .23. 设厶ABC是等腰三角形，∠ ABC = 120 °,则以A , B为焦点且过点C的双曲线的离心率为_____________ .* *24. 对于数列｛a n｝,定义数列｛b n｝满足：b n= a n+1—a n(n ∈N ),且b n+1—b n= 1(n ∈N ), a3= 1, a4=—1 ,贝U a1 =___________ .25. 已知平面向量α, β满足I β=1 ,且α与β- α的夹角为120 °,贝U α的模的取值范围为__________ .126. 过曲线y = X —-(X > 0)上一点P(x o, y°)处的切线分别与X轴，y轴交于点A , B , OX1是坐标原点，若△ OAB的面积为3,则X0= ________________ .27. 已知圆C: (X —2)2+ y2= 4,线段EF在直线l: y= X + 1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A , B ,使得PA ∙PB≤0,则线段EF长度的最大值是 ______________广 3 2—|x —2x + x|, X V 1,28. 已知函数f(x) =C若对于t ∈R, f(t) ≤kt恒成立，则实数k」nx, x≥1,的取值范围是______________ .29. 已知四棱锥PABCD的底面ABCD是边长为2 ,锐角为60°的菱形，侧棱PA⊥底面ABCD , PA= 3.若点M是BC的中点，则三棱锥MPAD的体积为_______________ .4x + y≤10,1 4x + 3y≤20, 一30. 已知实数x, y满足彳 ______________ 贝U 2x + y的最大值为X ≥ 0, y ≥ 0,4 M r a 7 + *8 + O Q32. ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，且a ι + a 2 = Q a 3+ a 4+ a 5+a 6= 40,则 Q ----------------------------------------- 的值为 ___________ .33. 如图，直角梯形 ABCD 中，AB // CD , ∠ DAB = 90 ° , AD = AB = 4, CD = 1,动 点P 在边 BC 上，且满足 AP = mA → + nAD (m , n 均为正实数)，则m + £的最小值为34. 在平面直角坐标系 Xoy 中，已知圆O : χ2 + y 2= 1, O 1: (X — 4)2+ y 2= 4,动点P 在 直线x + 3y — b = 0上，过P 分别作圆O , O 1的切线，切点分别为 A , B ,若满足PB = 2PA 的点P 有且只有两个，则实数 b 的取值范围是 _____________ .35.已知函数f(x) = P ： ,3x ,x ≤ 0,若不等式f(x) ≥kx 对x ∈ R 恒成立，贝U 实数k 的取e x + e 2, X >0.值范围是_____________31.已知平面向量a = (4x ,2x ), b = 1,七—2 , X ∈ R .若 a ⊥ b ,则 |a — b| =答案1.4 解析：由 a 5— a ι= 15,印—a ? = 6(q>1),得 q = 2, θι= 1，贝U θ3= 4.本题主要考查 等比数列通项公式•本题属于容易题.2. ~ 解析：由函数y = Sin 2x + ~的图象向右平移∏∏∏,f(x) = Sin(2x + — 2 φ)的图象，函数f(x)是偶函数，；一2 φ= — ÷ k π ,而φ为锐角，则k =6 6 2—1时Φ=Π∏•本题主要考查三角函数的图象变换，以及三角函数的奇偶性.本题属于容易题.2 b3. 2 解析：函数f(x) = ax ÷χ(a ，b ∈ R ，b >0)的图象在点P(1，f(1))处的切线斜率为 2, 3 X一1 、 一1 、 f ' (1) = 2,得a — b = 2,由函数f(x)在区间2，÷∞ ;上单调递增，f '(x) ≥0在区间2÷∞ !a 2 上恒成立，得4≥b ,又a = 2÷b ,则b ≤3.本题主要考查导数的几何意义，导数在单调性中 的运用以及恒成立问题•本题属于中等题.7 24. 3 解析：将已知条件变形f(m) = m(3a — 2)÷ b — a ,当3a — 2 = 0时，即a = 3,则有b2 7 2—a ≤ 1,即卩 b ≤ a ÷ 1,所以 a ÷ b ≤2a ÷ 1 = 2 ×3÷ 1 = 3；当 3a — 2> 0,即 a >-时，函数 f(m)3 3 3在［0 , 1］上单调递增，f(m)max = f(1) = 3a — 2÷ b — a = 2a ÷ b — 2≤ 1 ,贝U b ≤ 3— 2a,所以 a ÷ b ≤ a7 2÷ 3 — 2a = 3— a v 彳；当 3a — 2 V 0, 即卩 a v 彳时，函数 f(m)在［0, 1］上单调递减，f(m) max = f(0)3 3 =b — a ≤ 1,贝U b ≤ a ÷ 1 ,所以a ÷ b ≤ 2a ÷ 1 V3.综上所述，a ÷ b 的最大值为本题主要考查 在多元变量中如何变换主元以及借助单调性求最值来解决不等式的恒成立问题. 本题属于中等题.2÷a C bc a 2= 2 × 2了：弊b 2,化简有a 2 — b 2 = fc 2,结合已知条件有C = 1.本题主要考查利用正、 b 十 C — a a 十 C — b 3 余弦定理解三角形以及三角函数中遇切化弦•本题属于中等题.φ O v φv∏个单位后，得到函数5. 1 解析：由 tanA = 2tanB Si nA Si nB=2cosA cosB,结合正、余弦定理转化为边的关系，有7. 1解析：因为g(x) = x 2÷ 2bx 在区间(a , b)上为单调增函数，所以f(x)=我―2ax 在b 2区间(a, b)上单调减，故 x ∈ (a, b),f ' (x) = x 2— 2a ≤ 0,即 a ≥ ?,而 b >a,所以 b ∈ (0,6. 5 解析：将 x ÷y =1 代入2x ÷点中，得X i y ÷x ÷y =2÷2x2则原式=3÷ 丄=2t ÷ 3t ÷ 3 = 1 则原式=2 ÷ 1 ÷ 2t = 2 (1÷ 2t ) = 44 1 5(1÷ 2t ) 1÷5÷ 1=4,当且仅当(1÷ 2t ) 2÷ 2t ÷ 1 ÷4=4心 ÷ 2t) ÷—1~ ,设 y = t > 0,“ 2y X1÷ 2T—÷ 1] ≥ - × 1 ÷ 2t 41 ÷ 2tt =寺寸，即X = 3 y = 1时，取“ =” •本题主要考查利用代数式变形，以及利用基本不等式求最值•本题属于难题.hΛ Λ Λ2), b — a ≤ b — ^2 = - 2(b — 1)2+ 2,当b = 1时，b — a 的最大值为本题主要考查二次函 数的单调性、最值问题和导数在单调性中的运用以及恒成立问题•本题属于难题.8. 4 解析：由a ι= 1, a 3a 5= 4但4一 1)，得q 3= 2,则a ? = a ι(q 3)2= 4.本题考查了等比数 列通项公式，以及项与项之间的关系•本题属于容易题.29. 3 ∏ 解析：由 a + b = (1,2),得(a + b )2= 3,贝 U 1 + 4+ 2 a b = 3, a∙b =-I =Iallb CoS12θ , C0S θ =— 2,贝U θ= 2 ∏ .本题考查了向量数量积的定义，模与坐标之间的关系.本题属 于容易题.10. — 2 解析：由圆X 2+ y 2— 2ax + a = 0的圆心(a , 0),半径的平方为 a 2 — a ,圆心到直 线ax + y + 1 = 0的距离的平方为 a 2 + 1,由勾股定理得a = — 2.本题考查了点到直线的距离公 式，以及利用垂径定理、勾股定理处理弦长问题•本题属于容易题.11. (0, 1) ∪ (4, +∞ )解析：■/ 二次函数 f(x) = — X 2 + 2x 的对称轴为 X = 1,∙'∙ f(0) =f(2),结合二次函数的图象可得 ∣og 2χ<0或log 2X>2 ,解得0<x<1或x>4 , ∙解集为(0,1) ∪ (4, + ∞ ).本题考查了二次函数的图象与性质，以及基本的对数不等式的解法•本题属于中等 题.12. ∏ 解析：易知y = Sin2(x + φ),即P y = Sin(2x + 2 φ), V图象过点 θ∏-,申∣,∙π3ππ 亠 π 2 ππSin — + 2 φ =, ∙ ~ + 2 φ= — + 2k ∏ 或—+ 2 Φ= 丁 + 2k ∏ , k ∈ Z ,即卩 φ= k ∏ 或 φ=~^π+ k ∏ , k ∈乙V φ >0,∙∙∙ φ的最小值为石.本题考查了三角函数的图象变换与性质•本题6属于中等题.5—→13. 5解析：V AQ ABC 的角平分线，∙存在实数λλ≠ 0)使Ao = λ8I 2 λ= x ,即AQ = 1 λ AB + g λ AC ,∙①.若AB 边上的中线与AB 交于点2 3 1l 1λ=y2］上递减，在［2 , 3］上递增，则当t = 2时a 的最小值为2,当t = 1时a 的最大值为3,∙ a 的取值范围为［2 , 3］ •本题考查了函数的单调性，分离参数构造新函数，对数函数的性质以 及换元的应用•本题属于难题.15. 1 解析：连续2次抛掷一枚骰子共有 36种基本事件，则事件"两次向上的数字之 61和等于7”共有6种，则其发生的概率为6∙本题考查用列举法解决古典概型问题，属于容易 题.5 1016. 5 解析：三个圆锥的底面周长分别为 § ∏, § ∏ , 5π ,则它们的半径r 1, % g 依AB + AC , 扁|+两，D ,则 AO = 2xAD-→3 1 + yAC.v c 、Q 、D 三点共线，∙ 2x + y = 1②，由①②得X = 8八= 考查了平面向量的线性表示以及向量的共线定理•本题属于难题.14. [2 , 3]解析：易知函数f(x) = e x —1+ X — 2在R 上为单调增函数且=1 ,则 |1 — X 2∣≤ 1 解得 0≤ x ≤ 2,∙ x 2— ax — a + 3 = 0 在 X ∈ [0 , 2]上有解，∙ a = x + I 在I I 8 4'5 I 卄X +y =8.本题 f(1) = 0 ,∙ X 1X 2+ 3则r ι+「2+ r 3 = 5.本题考查圆锥的侧面展开图中弧长与底面圆周长的关系•本解析：由 Sin θ — 2cos θ = — I , sin 2 θ + cos 2 θ = 1, θ 是第三象限角，得 Sin5731cos θ =— 25，贝y Sin θ + cos θ =—亦•本题考查同角的三角函数关系.本题属于=15(11 — 2n),则IT n l 取得最小值时的 质•本题属于中等题.19. 18解析：由直线∣1和直线 直线∣2之间的距离为4,圆心到直线 则a 2+b 2= 18.本题综合考查了直线和圆的位置关系和点到直线的距离公式•本题属于中等 题.120. 2 解析：由Isinx ∣ — kx = 0有且只有三个根，又0为其中一个根，即y = kx 与y = |sinx| 相切，设切点为(x 0, y o ),由导数的几何意义和斜率公式得— cosx 0 = y0,即得tanX o = x °,.本题综合考查了函数的图象变换, 合性强，属于难题. 4L 代入y = — + 丄=丄 + -8^ ,其中4<a<1,求导得y '(1 — a ) 2 —( 4a 81) 2 = °,贝"a =一 11+1 2 ,代入 y =匚一a +匚一？得 y 的最小值为 4 学.本题综合考查了代数式变形，以及利用导数求最值•本题属于难题.22. -3 解析：设O 到平面VAB 的距离为h ,由V VOAB = V QVAB 得3 ×h ,则h =〒.本题考查了等积法求点到平面的距离，属于容易题.得 a 2 = 4.又 b 2— S = 1,贝V B= — 4,而 B = a 2 — a 1 = 4— a 1 =— 4,贝V a 1 = 8.本题考查了利用列 举法借助递推公式求数列中的项，属于容易题.解析：设厶ABC 中，a = | β= 1, A = 60°, I a I = c ,由正弦定理得.aSi nAC asin^^ 2 13SinC ,则Si n A = c ,即C = -^SinC.又0<sinC ≤ 1,即卩C 的取值范围为 0,次为5 5 5为 6, 3, 2,题属于容易题.31 17 一 —25 λ 24 θ=一 24,容易题.18. 5 或 6 解析：由 a 5= 15, a 10 =— 10,得 d =— 5,贝U a n = 40 — 5n , T n = 3(a ∏+ a ∏+5)n 的值为5或6.本题考查了等差数列的通项公式以及性 ∣2将圆分成长度相等的四段弧， r = 2 .2,知：直线h 和11、直线l 2的距离都为2,可得a = 2 2+ 1, b = 1 — 2 2, 21. 4+ 432 解析：将 b =384a 1 —a 1 —b 1 —a 4a—1 4I2× 2× 2×23. 1； ' 3解析：设AB = BC = 2 ,由题意知2c= 2, 2 3—2= 2a,贝U C= 1, a=χ3 - 则双曲线的离心率为节厂卫.本题考查了双曲线的定义及离心率求法•本题属于容易题.1,24. 8 解析：b3= a4 —a3=—1 —1 = —2,由b3 —b2= 1,J则b2=—3,而b2 = a3 —25.0,,贝U α的模的取值范围为 0, •本题考查了利用正弦定理将向量问题转化成解三角形问题，属于中等题.26. 5解析：题考查了导数的几何意义、直线方程，属于中等题.27. .14 解析：因为圆心C 到直线I 的距离d = ¥>2 ,所以直线I 与圆C 相离.因为点P 在直线I 上，两点 A , B 在圆C 上，所以∣PA ∣>O , ∣F¾∣>0.因为PA ∙ →B = ∣→A ∣ ∙ ∣→B ∣ ∙ cos θ ≤ 0,所以cos θ ≤ 0,所以P A 与 PB 的夹角∠ APB 为钝角或直角.因为圆C 上存在两点 A , B ,使得PA ∙ PB ≤ 0 ,所以只要PA , PB 分别与圆C 都相切时使得∠ APB 为钝角或直角，此 时点P 所在的线段长即为线段 EF 长度的最大值.当 PA , PB 分别与圆C 都相切时，在 Rt △ CAP 中，当∠ APB 为直角时，∠ CPA = 45 ° , CA = 2,贝U PC = 2 2.所以，线段 EF 长度量数量积等内容•本题属于难题.28. 右1 I 解析：① 当t ≥ 1时，f(t) = ∣nt ,即Int ≤ kt 对于t ∈ [1 , +∞ )恒成立，所以 k ≥I nt ,t ∈ [1 ,+∞ ) •令 g(t)=学，贝U g'(t) = 1 t2"t ,当 t ∈ (1, e)时，g ' (t)>0 ,则 g(t)=节 在t ∈(1 , e)时为增函数；当t ∈ (e ,+∞ )时，g ,(t)<0,则g(t)=严在t ∈ (e ,+∞ )时为减函1 1 数•所以 g(t)max = g(e)= 一，所以 k ≥1② 当 0<t<1 时，f(t) = - t(t -1)2,即—t(t - 1)2≤ kt 对 e e于 t ∈ (0 , 1)恒成立，所以 k ≥- (t - 1)2, t ∈ (0, 1),所以 k ≥ 0.③ 当 t ≤ 0 时，f(t) = t(t - 1)2 , 即 t(t — 1)2≤ kt 对于 t ∈ (— ∞, 0]恒成立，所以 k ≤ (t — 1)2, t ∈ (— ∞, 0],所以 k ≤ 1.综上，—≤ k ≤ 1.本题考查了分段函数、禾U 用导数求最值，以及恒成立问题等内容，借助分类讨论使 问题得到解决•本题属于难题.29. .3 解析：三棱锥MPAD 的底面MAD 的面积为，3,高PA = 3,则体积为.3,本 题主要考查锥体的体积公式，属于容易题.30.7.5解析：作出可行域发现最优解为!^, 5 ］则目标函数Z = 2x + y 的最大值为2.5+ 5 = 7.5.本题考查线性规划解决最值问题，属于容易题.31. 2 解析：由 4x + 2x -2 = 0,得 2x = 1 ,所以 X = 0,贝U a -b = (0, 2), |a - b|= 2.本题 考查了指数方程，向量数量积的坐标运算及模的求法•本题属于容易题.44 232. 117解析：设等比数列｛a n ｝的公比为q ,由a 1+ a2 = ^, a 3+ a 4+ a 5+ a6= 40,则^q4 4 4 3 4+ 4= 40， 贝V q = 3, a 1 + a 2+ a 3+ a 4+ a 5+ a θ = 9+ 40, a 1 + a 2 + a 3 + (a 1 + a 2 + a 3)q = ^9+ 40, 得 a 1 + a 2+ a 3= 13，则 9= 9(a 1 + a 2+ a 3)q 6 = 1 × 13 × 9’ = 117.本题考查了等比数列中的整体思想求和，属于中等题.33. 7+ 4 3 解析：(解法 1)设AB = a , AD = b ,则BC =-3a + b ,设BP = λC ,则AP =4 4 AB + BP = 1— 3λa + λ.因为 AP = m a + n b ,所以有 1 —3λ= m , λ= n ,消去 入得 m + ^3nAB 为 X 轴，AD 为 y 轴建系，则 A(0 , 0), B(4 , 0), C(1 , 4),设 BP = λ BC = (-3 λ, 4 λ ), 则AP=1,_+ =m n'= 7^.(解法2)以A 为原点,4= AB + BP = (4 —3λ , 4λ ).因为AP = mA→ + nAD = (4m , 4n),所以有 4 — 3 λ= 4m , 43λ=4n ,消去λ得m + 4n = 1(下同解法1)•本题考查了平面向量的线性表示或坐标运算， 利用基本不等式，运用 “ 1的代换求最值•本题属于中等题.20, 4 解析：设 P 点坐标为(X , y),τ PB = 2PA ,二 PB 2= 4PA 2,即(X — 4)2 3 示一个圆，圆心-4-b2b ∈+ 8x — 16= 0,得4X 2 + (8 — 2b)x + b 2— 16= 0•因为P 点有且只有两个，所以方程有两个不相 等的根，即△ >0,整理得 3b 2+8b — 80<0,所以b ∈ 关系，以及一元二次不等式的解法，的几何图形解决问题；方法当x>0时，e x + e 2≥kx ,同除以x ,即 (X — 1) e x — e 2g(x)的最小值.g'(χ) = X 令 g'(x) =0,即(X — 1)e x — e 2 = 0.令 h(x) = (X — 1)e x — e 2,h ' (x) = xe x >o ,所以 h(x)在 x ∈ (0, + ∞ )上是单调递增函数•显然 X = 2是方程(X — 1)e x — e 2= 0的根，由单调性可知 X = 2 是唯一实数根.当X ∈ (0, 2)时g(x)单调递减，当X ∈ (2, +∞ )时，g(x)单调递增，所以 g(2)是函数g(x)的最小值，且g(2) = e 2,所以k ≤ e 2.综上，实数k 的取值范围是[—3, e 2].本 题突出了函数思想和分类讨思想， 考查了利用导数求最值和恒成立问题. 本题属于难题. 34. + y 2— 4= 4(x 2+ y 2— 1),整理得 3x 2+ 3y 2+ 8x — 16= 0.(方法 1)该方程表 4 8 3，0，r = £•因为P 点有且只有两个，所以直线和圆相交，故 20 4 .(方法2)因为P 在直线x + 3y — b = 0上，所以，3y =— x + b ,代入3x 2+ 3y 2<8 ,解得 320, 4 .本题考查了直线与圆的位置 突出了方程思想和解析法， 其中方法1是利用方程对应 2用代数方法算方程根的个数•本题属于难题.35. [ — 3, e 2]解析：① 当 X = 0 时，0≥ 0,所以 k ∈ R .② 当 x<0 时，2x 2— 3x ≥ kx , 同除以X ,即k ≥ 2x — 3恒成立，所以k ≥— 3•③e x + e 2 e x + e 2k≤ --------- 恒成立，令g(x)= ——，下面只需求出 X X。