03 矩阵的对角化与Jordan标准形
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型是线性代数中一种重要的矩阵标准形式。
在特定的线性代数问题中，通过进行一系列的矩阵转换，可以将一个复杂的矩阵转化为Jordan标准型，从而更方便地研究和处理其性质。
本文将介绍矩阵化Jordan标准型的详细步骤。
第一步：寻找特征值和特征向量要完成矩阵化Jordan标准型的转换，首先需要寻找给定矩阵的特征值和特征向量。
对于一个n阶矩阵A，特征值λ可以通过求解方程|A-λI|=0来得到。
然后，对于每个特征值λ，求解方程(A-λI)x=0，得到对应的特征向量x。
第二步：求解Jordan块的大小对于每个特征值λ，我们需要计算其对应的Jordan块的大小。
设矩阵A的特征值λ的代数重数为m，几何重数为r。
根据矩阵理论，λ的Jordan块大小为m个，其中r个Jordan块大小为1，剩余的m-r个Jordan块大小不超过r。
第三步：构造Jordan块对于每个特征值λ，根据其对应的Jordan块大小，我们可以构造出对应的Jordan块。
一个大小为r的Jordan块可以用一个r阶方阵表示，其对角线为特征值λ，上方为1的次对角线。
将所有特征值λ对应的Jordan块按照特征值的顺序拼接起来，得到一个大的Jordan矩阵J。
第四步：寻找相似矩阵现在我们需要找到一个相似矩阵P，使得A=JPJ^-1，其中J是步骤三中构造的Jordan矩阵。
为了找到P，我们需要找到一组线性无关的特征向量v，并通过P=[v1,v2,...,vn]来构造相似矩阵P。
特征向量的选择要满足A−λI)v=0，其中λ是A的特征值。
第五步：求解逆矩阵通过步骤四，我们可以求得相似矩阵P。
接下来，需要求解矩阵P的逆矩阵P^-1。
根据矩阵理论，P的逆矩阵可以通过求解线性方程组P^-1P=I得到。
第六步：矩阵化Jordan标准型最后一步是将给定矩阵A转化为Jordan标准型。
根据矩阵相似性的定义，我们有A=JPJ^-1，即A可以通过矩阵P和J进行表示。
Jordan矩阵介绍
矩阵的Jordan 标准形一、矩阵的相似对角化定义1 设A 、B 是两个n 阶方阵，如果存在阶可逆矩阵n P ，使得 B AP P =−1则称B 相似于A ，记为B A ~，可逆矩阵P 称为将A 变成B 的相似变换矩阵。
如果矩阵A 能与一个对角矩阵Λ相似，则称矩阵A 可相似对角化，也说矩阵A 可对角化。
若方阵A 不能与对角矩阵相似，则称矩阵A 不能相似对角化，也说矩阵A 不能对角化。
线性代数课程已给出了矩阵A 可对角化的充要条件：定理1（1）阶方阵n A 可对角化的充要条件是A 有个线性无关的特征向量。
n （2）若阶方阵n A 有个互不相同的特征值n n λλλ,,,21L ，则A 可对角化。
把阶方阵n A 对角化的步骤如下：（1）求出A 的特征值，设互不相同的特征值为s λλλ,,,21L ；（2）对每个特征值i λ（s i ≤≤1），求齐次方程组 0x =−)(E A i λ 的基础解系，得到对应于i λ的线性无关特征向量组{}k i i i p p p L ,,21；若全体线性无关特征向量的个数小于，则矩阵n A 不可对角化。
若线性无关特征向量的个数为，则进行下一步骤。
n （3）将对应于互不相同特征值 s λλλ,,,21L 的特征向量全体作为个列向量构成方阵，则 n ()n P p p p ,,,21L =Λ=−AP P 1为对角矩阵，其对角线上元素为A 的特征值，方阵P 的列向量的顺序与对角矩阵Λ对角线上元素顺序相对应。
二、矩阵的Jordan 标准形一个阶方阵不一定有个线性无关的特征向量，因此不一定存在与之相似的对角矩阵。
我们问：如果一个阶方阵不能与对角矩阵相似，它能否与一个分块对角矩阵相似呢？ Jordan 标准形就是为了解决这个问题。
n n n 本段中的λ可以为复数。
定义2 形如m m J ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=λλλλλ1111)(O 的阶方阵称为一个阶Jordan 块，其中m m λ为复数。
定义矩阵相似度的方法
矩阵相似度可以通过多种方法进行定义和计算。
以下是一些常见的方法：
1. 特征值比较：如果两个矩阵的特征值相同，则它们可能相似。
然而，需要注意的是，相同的特征值并不一定意味着两个矩阵相似。
2. 矩阵对角化：对角化是一种判断矩阵相似的常用方法。
如果两个矩阵都可以被对角化，且它们的对角矩阵相同（即相同的特征值在对角线上），则这两个矩阵相似。
3. Jordan标准型：Jordan标准型是另一种判断矩阵相似性的方法。
将矩阵转换为Jordan标准型后，可以直接比较它们的Jordan块。
如果两个矩阵的Jordan标准型相同（包括相同的Jordan块和对应的特征值），则这两个矩阵相似。
4. Frobenius范数：这是一种矩阵的范数，表示矩阵中所有元素的平方和的平方根。
对于两个矩阵A和B，它们的Frobenius范数之差，即||A-B||F，可以作为它们的相似度的度量。
若两个矩阵A和B的Frobenius范数之差越小，则说明它们越相似。
这些方法在不同场景下都有应用，具体使用哪种方法取决于问题的特定需求和上下文。
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矩阵论系列课件05 对角化与Jordan标准形
u3
H H u2 u2 u2 un un H H un u2 un un
相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于 A1 ，其特征值为 2 , , n ，与 上相同，可得一个酉矩阵 U1 ，使得
2 0 H U1 AU 1 1 0
u1H u1H u1 u1H u2 H H u u u uH u H 2 U 0 U 0 u1 u2 un 2 1 2 2 H H H un un u1 un u2 对 A 进行酉相似变换： u1H H u H U 0 AU 0 2 A u1 u2 un uiH Au j nn H un
T T
复矩阵 A ，若满足 A A AA ，则 A 为复正规矩阵。
H H
显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。 5. 相似矩阵具有相同的特征多项式 相同的特征值、迹、行列式。
det( I P 1 AP ) det[ P 1 ( I A) P ] det( P 1 ) det( I A) det( P ) det( P 1 ) det( P ) det( I A) det( I A)
tij 0
0 1 2 H U AU 0 n 0 1 2 H ，要证 A 为正 必要性：已知存在酉矩阵 U 使 U AU 0 n
规矩阵。
H U H AAHU H H H U A AU
A2 ( n2)( n2)
依次类推，分别可找到酉矩阵 U 2 ,U 3, ,U n 2 使
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan标准形的两种方法矩阵的Jordan标准形是线性代数中一个重要的概念，它是将矩阵分解为初等因子的一种形式。
这里将介绍两种求矩阵Jordan标准形的方法，一种是基于初等行变换的行阶梯形，另一种是基于特征值的特征多项式。
方法一：基于初等行变换的行阶梯形步骤1：将矩阵A放置在矩阵M中，并选取一个新的矩阵B，其大小至少与A 相同。
步骤2：对矩阵M进行初等行变换，使得A成为行阶梯形。
这意味着对A进行一系列的行交换和行简化操作，使得矩阵A的左上角成为一个单位矩阵。
步骤3：对行阶梯形的矩阵A进行进一步的行变换，使得它成为Jordan标准形。
这通常涉及到将矩阵A的某些行乘以非零常数，然后将这些行与位于它们下方的行相加。
步骤4：最终得到的矩阵A就是Jordan标准形。
这种方法需要熟练掌握初等行变换的操作，包括交换、简化、提公因子等。
同时需要注意在进行行变换的过程中保持其他行的状态不变。
方法二：基于特征值的特征多项式步骤1：首先计算矩阵A的特征值。
这些特征值可以通过解方程组Ax = λx 得到，其中x为特征向量，λ为特征值。
步骤2：对于每个特征值λ，求解方程组(λE - A)x = 0，其中E为单位矩阵。
这个方程组可以用来找到对应于特征值λ的线性独立的特征向量v。
步骤3：将找到的特征向量v组成一个矩阵V，使得V的每一列都是一个对应的特征向量。
同时选取一个可逆矩阵P，使得P^{-1}AP = V。
步骤4：计算矩阵V的特征多项式f(λ) = |λE - V|。
可以证明f(λ)是一个整系数多项式，并且f(λ) = f(A)。
步骤5：对f(λ)进行因式分解，得到f(λ) = Product_{i=1}^{n}(λ -λ_i)。
其中λ_i是f(λ)的根，也就是矩阵V的特征值。
步骤6：令f(λ) = 0，解出λ的值。
这些值就是矩阵A的特征值。
根据特征值的性质，可以确定矩阵A的Jordan标准形。
这种方法需要理解矩阵的特征值和特征向量的概念和性质，掌握求解特征值和特征向量的方法，同时还需要熟悉多项式的因式分解和求解根的方法。
矩阵论-Jordan标准型
d1
dm
={|(iI A) 0},由亏加秩定理得：
dimE(i )= dim N (i I A)
n r(iI A)
n r(P1(i I A)P)
n r(i I P1AP)
n r(iI D)
n (n di ) di.
3) 1),在E(i )(1 i m)中各取一组基，合起来有n个向量，
第三节 Jordan标准型
一、可对角化矩阵
定义：n阶方阵A若相似于一个对角阵，则称A为可对 角化矩阵（或称单纯矩阵）
注1：对角阵的和，积，逆（若存在）仍是对角阵， 其对角线的元就是它的特征值.
注2：若线性变换T的矩阵为可对角化矩阵，等价 于T在某基下的矩阵为对角阵.
定理1: 设A Cnn , A的全部互异特征根为1, , m ,
定理4：A() B() A()与B()有完全一致的不变因子.
初等因子： C上多项式可分解成一次因子的幂的乘积,设A()的不变 因子d1(), , dr ()的分解为：
dd21
( (
) )
( (
)e11 1
)e21 1
( (
2 2
)e12 )e22
dr () ( 1)er1 ( 2 )er2
1 0 -2 T（e1, e2, e3）=（e1, e2, e3） 0 0 0 ，
-2 0 4 问：1）T可否对角化；
2）若T可对角化，试求满秩阵P，使P-1AP为对角阵.
例3：若A Fnn ,且A2 =A（幂等阵），则A必可对角化.
证明：设()=2 -=(-1),由条件知(A)=0，所以 m A()|(), m A()无重根，故结论成立.
例6，例7
定理6：设A,B Cnn ,则A与B相似当且仅当I-A与I-B 等价，即A B I-A I-B.
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤矩阵化Jordan标准型步骤在线性代数中，Jordan标准型是可逆矩阵与相似变换的重要概念之一。
通过将一个矩阵转换为Jordan标准型，我们可以更好地理解线性变换在向量空间中的表现，这对于解析和计算矩阵的特征值和特征向量非常有用。
本文将详细介绍将一个矩阵转换为Jordan标准型的步骤。
步骤1：找到矩阵的特征值。
首先，我们需要找到矩阵的特征值。
一个nxn矩阵A的特征值是一个标量λ，满足方程Ax=λx，其中x是非零向量。
为了找到矩阵的特征值，我们需要解决特征方程A-λI =0，其中I是单位矩阵，λ是特征值。
步骤2：找到每个特征值对应的特征向量。
接下来，我们需要找到每个特征值对应的特征向量。
对于每个特征值λ，我们需要解决方程组(A-λI)x=0，其中x是特征向量。
注意，特征向量不为零，因为特征向量的零向量在任何情况下都不是非零向量。
步骤3：计算矩阵的几何重数。
在计算Jordan标准型之前，我们需要计算矩阵的几何重数。
矩阵的几何重数是特定特征值的线性无关特征向量的数量。
在计算几何重数时，我们应该将特征向量进行标准化处理。
步骤4：根据特征值的代数重数创建块。
接下来，我们需要根据每个特征值的代数重数创建Jordan块。
矩阵的代数重数是特征值在特征多项式中的幂的最高次数。
对于每个特征值λ，我们创建一个与特征值的代数重数相对应的Jordan块。
Jordan块是一个形如λI+aJ的方阵，其中λ是特征值，I是单位矩阵，J是Jordan块的大小（有J^r个非零元素的r x r方阵）。
步骤5：将Jordan块连接成一个矩阵。
接下来，我们需要将所有的Jordan块连接成一个矩阵，以得到矩阵的Jordan标准型。
具体而言，我们按照如下的方式将Jordan块排列在一起：⎡J1 ⎡⎡⎡⎡J2 ⎡⎡⎡⎡J3 ⎡这样，我们就得到了一个与原始矩阵具有相同特征值和特征向量的Jordan 标准型矩阵。
步骤6：计算矩阵的Jordan标准型。
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化jordan标准型步骤
矩阵化Jordan标准型的步骤如下：
1. 对于给定的矩阵A，计算其特征值λ和对应的特征向量。
2. 将矩阵A对角化，即找到一个可逆矩阵P使得P^-1·A·P得
到一个对角矩阵D，其中对角线上的元素是特征值λ。
3. 对于每个特征值λ，计算其对应的几何重数，即特征值λ对
应的特征向量线性无关的个数。
假设几何重数为k。
4. 对于特征值λ，如果几何重数等于代数重数（特征值λ的代
数重数即λ在特征多项式中出现的次数），则将λ对应的特征向量按列排列形成一个矩阵Ak。
如果几何重数小于代数重数，需要构建一个Jordan块，即由λ和其相关的线性无关向量组成。
5. 将所有特征值λ对应的特征向量矩阵Ak拼接形成一个矩阵P。
6. 计算可逆矩阵P的逆矩阵P^-1。
7. 计算矩阵A的Jordan标准型矩阵J = P^-1·A·P。
需要注意的是，在第4步中构建Jordan块时，需要按照一定
的规则填充向量。
具体规则如下：
- Jordan块的对角线元素为特征值λ；
- 块的数量等于特征值λ的代数重数减去几何重数；
- 每个块的大小等于块所对应的线性无关向量的数量减1。
最后得到的矩阵J即为矩阵A的Jordan标准型矩阵。
矩阵的Jordan标准型及其求解方法
矩阵的Jordan标准型及其求解方法矩阵是线性代数中的重要概念，它在数学和工程领域中扮演着重要的角色。
在矩阵理论中，Jordan标准型是一种重要的矩阵分解形式，它可以帮助我们更好地理解和求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题。
一、Jordan标准型的定义和性质在矩阵理论中，Jordan标准型是指一个矩阵可以通过相似变换转化为一个由Jordan块组成的对角矩阵。
Jordan块是一个由特征值和特征向量构成的方阵，它具有一些特殊的性质。
首先，Jordan块是一个上三角矩阵，即除了对角线上的元素外，其余元素都为零。
其次，对于一个Jordan块，对角线上的元素都是特征值，而其余元素则是1或0。
这些1的位置与特征向量有关，具体来说，特征向量在Jordan块中的位置决定了1的个数和位置。
Jordan标准型的重要性在于它可以将一个复杂的矩阵分解为一组简单的Jordan 块，从而更容易求解相关问题。
例如，通过Jordan标准型，我们可以求解线性方程组的解、计算矩阵的幂等等。
二、求解Jordan标准型的方法求解矩阵的Jordan标准型有多种方法，其中最常用的方法是通过特征值和特征向量来进行计算。
首先，我们需要计算矩阵的特征值。
特征值是一个标量，它代表了矩阵的某种性质或特征。
通过求解矩阵的特征值，我们可以确定矩阵是否可逆、是否存在特殊结构等。
特征值的计算可以通过求解矩阵的特征多项式来进行，具体计算方法可以使用特征值分解、特征向量分解等。
接下来，我们需要计算矩阵的特征向量。
特征向量是一个非零向量，它与矩阵相乘后等于特征值与特征向量的乘积。
通过求解矩阵的特征向量，我们可以确定矩阵的行与列之间的关系，从而进一步求解Jordan标准型。
在求解特征向量时，我们可以使用多种方法，例如高斯消元法、雅可比迭代法等。
这些方法可以帮助我们求解特征向量的近似解或精确解，从而进一步求解Jordan标准型。
三、应用举例Jordan标准型在实际问题中有着广泛的应用。
矩阵相似对角化条件
矩阵相似对角化条件矩阵的相似对角化是矩阵分析中一个重要的概念。
对于一个方阵A，如果存在一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵，那么我们就说矩阵A是可对角化的。
矩阵相似对角化的条件可以从多个角度来考虑，以下是主要的几个：1. 特征值条件：矩阵A是可对角化的当且仅当A的特征值都是实数，并且对于每个特征值$\lambda$，都有恰好对应于$\lambda$的线性无关的特征向量$v_1, \ldots, v_n$。
2. 几何重数等于代数重数：对于一个给定的矩阵A，其特征值的几何重数（即特征向量的个数）必须等于其代数重数（即特征值的重数）。
如果这两个数量不相等，那么矩阵A无法被对角化。
3. 满秩条件：如果矩阵A的秩等于其最小多项式的次数，那么A是可对角化的。
这是因为最小多项式的次数等于矩阵的特征值的个数，而矩阵的秩等于其最大线性无关组的个数，所以如果秩等于特征值的个数，那么就存在一组特征向量，它们可以线性无关并且覆盖所有特征值，这样就可以找到一个可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP$是对角矩阵。
4. Jordan标准型：任何一个方阵都可以通过初等行变换变为Jordan标准型。
如果这个Jordan标准型只包含不同特征值的块，那么这个矩阵就是可对角化的。
5. 多项式矩阵：对于一个多项式矩阵$f(x)$，如果存在一个可逆矩阵P，使得$f(x)=P^{-1}XP$，那么我们就说f(x)是可对角化的。
在这种情况下，我们可以找到一个多项式矩阵S，使得$f(x)=S^{-1}x^nS$，其中x^n是n阶单位矩阵。
这些条件从不同的角度提供了对于矩阵是否可以相似对角化的判断方法。
在实际应用中，我们通常会使用其中的一个或多个条件来判断一个给定的矩阵是否可以相似对角化。
对角化与Jordan标准形
第五讲对角化与Jordan标准形一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄M特<Hermite）矩阵实对称矩阵：实矩阵，。
实反对称矩阵：实矩阵，。
厄M特<Hermite）矩阵：复矩阵，反厄M特<Hermite）矩阵：复矩阵.， 2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵）。
，<酉矩阵：复矩阵.<）， 3. 正交相似变换和酉相似变换设为正交矩阵，为实矩阵，称的为对正交相似变换；1 / 27设为酉矩阵，为复矩阵，称为对的酉相似变换。
4. 正规矩阵称为实正规矩，则实矩阵，若满足阵；称为复正规，则复矩阵，若满足矩阵。
实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均1：注为实正规矩阵；特矩阵、酉矩阵均为：注2厄M特矩阵、反厄M 复正规矩阵。
相似矩阵的性质5.相似矩阵具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值、迹、行列式。
【证】2 / 27二、酉对角化1. Schur定理：的特征值为设<1），则存在酉，使矩阵为，值的特征且）<2设，则存在正交矩阵，使.3 / 27【证】只证<1）结论，<2）的证明类似. 对矩阵的阶数施行数学归纳法.当时，结论显然成立.阶矩阵结论成立.假定对下面证明对阶矩阵.结论也成立即值征是设于的属特的，向征特量，扩充为，将的一组标准正交基,令，则4 / 27即为酉矩阵.对进行酉相似变换：其第列元素：，.相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于阶，根据归纳法假设，存，其特征值为矩阵 5 / 27 ，使得.在阶酉矩阵，记，即则是酉矩阵，且]证毕[什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵☆呢？2. 定理：酉相似于对角矩阵的充要条），则设1<件是：为正规矩阵；6 / 27 设，且的特征值都是实数，则正<2）交相似于对角矩阵的充要条件是：为正规矩阵。
【证】只证<1）结论，<2）的证明类似. 必要性：设存在酉矩阵，使得<对角矩阵），则有即为正规矩阵.即，，规矩阵由正设:分充性为，使得定理，存在酉矩阵Schur7 / 27其中是的特征值。
求矩阵jordan标准型
求矩阵jordan标准型矩阵Jordan标准型是线性代数中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和分析线性变换。
在这篇文档中，我们将详细介绍求解矩阵Jordan标准型的方法，希望能够帮助到正在学习线性代数的同学们。
首先，我们来了解一下什么是矩阵Jordan标准型。
矩阵Jordan标准型是指，对于任意一个n阶方阵A，都存在一个可逆矩阵P，使得P^-1AP是一个特殊形式的矩阵，这个特殊形式就是Jordan标准型。
具体来说，Jordan标准型是一个分块对角矩阵，每个对角块都是一个Jordan块，而Jordan块是一个形如λI+N的矩阵，其中λ是A的特征值，N是一个特殊的矩阵，称为Jordan块。
接下来，我们来介绍如何求解矩阵Jordan标准型。
首先，我们需要求出矩阵A的特征值和特征向量。
假设矩阵A有n个互不相同的特征值λ1,λ2,...,λn，对应的特征向量分别为v1,v2,...,vn。
然后，我们将这些特征向量按照特征值进行分组，得到线性无关的特征向量组成的矩阵P。
接下来，我们可以利用P^-1AP的形式化简出Jordan标准型。
具体来说，我们可以按照以下步骤来求解矩阵Jordan标准型：1. 求出矩阵A的特征值和特征向量。
2. 将特征向量按照特征值进行分组，组成矩阵P。
3. 计算P^-1AP，得到矩阵的Jordan标准型。
需要注意的是，当矩阵A的特征值重复时，我们需要使用Jordan块的形式来表示特征向量。
具体来说，假设特征值λ的代数重数为k，几何重数为r，那么对应于λ的Jordan块的大小为r×r，且其上对角线元素全为λ，下对角线元素全为1。
通过这种方式，我们可以得到矩阵A的Jordan标准型。
最后，我们来举一个具体的例子来说明如何求解矩阵Jordan标准型。
假设我们有一个3阶方阵A，其特征值为λ1,λ2,λ3，对应的特征向量为v1,v2,v3。
我们按照特征值进行分组，得到矩阵P=[v1,v2,v3]，然后计算P^-1AP，就可以得到矩阵A 的Jordan标准型。
求矩阵的Jordan标准形的两种方法
求矩阵的Jordan 标准形的两种方法方法1. 利用矩阵的初等因子原理: 由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan 块相对应, 反之亦然。
求出全部的初等因子即可得出其Jordan 标准形.方法2. 利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.原理： 在复数域上， 每一个矩阵都与一个Jordan 标准形相似， 即存在可逆矩阵T 使得AT T 1-为Jordan 标准形.例. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411301621A ， 分别用两种方法求A 的Jordan 标准形.解: 方法1。
.)1(00010001120011000123101100014111102310411316212222)1(232132⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+---−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+----→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----+--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---+=-++--λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλr r r r r r A E 得A 的初等因子为2)1(,1--λλ, 于是A 的Jordan 标准形为.11001000121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=J JJ方法2。
(1) 首先求A 的特征值。
3)1(||-=-λλA E ， 所以特征值为1,1，1。
(2) 求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组0)(=-X A E 的全部解：.000000311311311622⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-A E相应的特征向量为)0,1,1(1-=α, )1,0,3(2=α. 1α,2α为特征值空间V 1的基.(3) 求出一组基, 使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形。
由于A 不能对角化, 所以必存在一组基321,,βββ使得A 在此基下的矩阵为Jordan 标准形. 再考虑到A 有两个线性无关的特征向量, 所以A 有一个二阶的Jordan 块. 即11ββ=A , 322βββ+=A ， 33ββ=A .可见131,V ∈ββ， 需要求出向量322)(βββ=-E A 满足。
矩阵论 Jordan标准形介绍讲解
例题2 设A R4×4 ，mA（ )=( 1 ) ( 2 )2
求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。
例题3 设 g( ) ( 1 ) ( 2 ) ( 4 )
是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩阵。
2 . 性质（定理2 . 7）
• AX = 0 X g(A)X= g(0 )X
• P -1 AP =B P -1 g(A)P= g(B)
A1
•A
A2
g( A1 )
Ak
g( A)
g( A2 )
g( Ak )
f ( ) I A ( 1 )k1( 2 )k2 ( s )ks
T可以对角化T有n个线性无关的特征向量。 dimVi =n dimVi =ki
定理2. 4(p39)
T可以对角化T的变换矩阵A可以对角化。
例题2 已知{1，2 ，3 }是空间V3（F） 的基，T是空间上如下定义的线性变换，
使Ak ( kn)降阶至不超过n-1次的多项式。
f（ 0） 0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。 对线性变换T，f ( T)=0，即f（ T ）为零变换。
三、最小多项式
1 定义（P.54， 定义2 . 5）
mA（ ）是最小多项式
mA（ A） =0 mA（ ）在化零多项式中次数最低。 mA（ ）最高次项系数是1。
g（J）的结构特点： 由第一行的元素生成
例题1 设 g( ) 3 42 5 1
对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。
03 矩阵的对角化与Jordan标准形
u1
x1 ，并由其扩充为一组标准正交向量 u1 , u 2 , L , un x1
0 i j uH u i j 1 i j
令 U 0 u1
u2 L u n ， U0 为酉矩阵
H u1 u1 H u u un 2 1 M H u n u1 H u1 u2 H u2 u2 M H un u2
实矩阵 A ，若满足 A T A AA T ，则 A 为实正规矩阵； 复矩阵 A ，若满足 A H A AA H ，则 A 为复正规矩阵。 显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。
5. 相似矩阵具有相同的特征多项式 相同的特征值、迹、行列式。
x, y y, x
x, y z x, y x, z
kx, y k x, y
or
x, ky k x, y
x, x 0 ，当且仅当 x 0 时， x, x 0
则称 x, y 为 x 与 y 的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。 以 n 维向量空间为例， A 为厄米（ A H A ）正定（ x H Ax 0 ） 矩阵，
w2 O
0 wn
更一般的，对实对称矩阵 A ， x, y x T Ay 也满足内积的定义。 正定： （1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于 0
2. 酉空间：
设 V 是复线性空间（ k C ） ，对于 V 中任何两个元素 x 、y 均按某 一规则
29
存在一个实数与之对应，记为 x, y ，若它满足 （1）交换律 （2）分配律 （3）齐次律 （4）非负性
03 第三讲 对角化与Jordan标准形
第三讲 矩阵对角化与Jordan 标准形引例:如何解线性微分方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=n nn n n nnn n n x a x a x a dtdx x a x a x a xx a x a x a x 22112222121212121111dt d dt d 及怎样进行矩阵的高次幂运算等 →矩阵对角化的作用和重要性.** 线性变换的特征值和特征向量所以:T 的特征值与A 的特征值相同,T 的对应于0λ的特征向量的坐标就是A 的对应于0λ的特征向量.即0λ对应的特征向量连同0向量构成的空间----特征子空间一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄米特(Hermite)矩阵 实对称矩阵：实矩阵A TA A = 厄米特矩阵：复矩阵A HA A = 实反对称矩阵：实矩阵A T A A =- 反厄米特矩阵：复矩阵A H A A =- 2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵A TTA A AA I == （1T AA -=） (矩阵的列向量两两正交且为单位向量)酉矩阵：复矩阵A HHA A AA I == （1H A A -=）3. 正交相似变换和酉相似变换P 为正交矩阵，A 为实矩阵，1P AP -为对A 的正交相似变换； P 为酉矩阵，A 为复矩阵，1P AP -为对A 的酉相似变换。
4. 正规矩阵:HHA A AA =实矩阵A ，若满足TTA A AA =，则A 为实正规矩阵； 复矩阵A ，若满足HHA A AA =，则A 为复正规矩阵。
显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。
例:⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1111A 也是正规矩阵5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。
11det()det[()]I P AP P I A P λλ---=-11det()det()det()det()det()det()det()P I A P P P I A I A λλλ--=-=-=-（det()det()det()AB A B =）二、酉对角化1. Schur(舒尔)引理：设数12,,,n λλλ 是n 阶方阵A 的特征值，则存在酉矩阵U ，使1210n U AU λλλ-*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (P 49) 即:任一复数方阵相似于上三角矩阵.(三角相似)[证明] 设1x 是A 的属于特征值1λ的特征向量，即111Ax x λ=，111x u x =，并由其扩充为一组标准正交向量12,,,n u u u 01H ij i ju u i j≠⎧=⎨=⎩ 令[]012n U u u u = ，0U 为酉矩阵[]111121221222001212H H H H n H H H HH n n n H H H Hn n n n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对A 进行酉相似变换：[]()120012H H H H n i j n n H n u u U AU A u u u u Au u ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦第一列：111111011H H Hii i i u Au u u u u i λλλ≠⎧===⎨=⎩()1001(1)(1)H n n U AU A λ-⨯-*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A ，其特征值为2,,n λλ ，与上相同，可得一个酉矩阵1U ，使得()21112(2)(2)00H n n U AU A λ-⨯-*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦依次类推，分别可找到酉矩阵232,,,-n U U U 使()32223(3)(3)0H n n U A U A λ-⨯-*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦12220n Hn n n n UA U λλ----*⎡⎤=⎢⎥⎣⎦令2202120100000n n I I U U U U U --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ U 是酉矩阵，H U U I =?H U AU =220022110010100000n n H H H H n n I I U AU U AU U U U U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦10010H U AU A λ*⎡⎤=⎢⎥⎣⎦11121111112**10100*000000H H U A U U AU A λλλλ⎡⎤**⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12*0H n U AU λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ [得证]什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2. 定理：n 阶方阵A ，酉相似于对角阵的充要条件是：A 为正规阵（实或复）。
02_矩阵论_第二章Jordan 标准形介绍
从而 T 有对角阵表示。
更进一步，若 Vi 为 T 的一维不变子空间，则 Vi，有 T()Vi，所以 T() = ，即 T 在 Vi 上的矩阵是一阶对角矩阵。 推论 Vn(F) 上的线性变换有对角阵表示的充 分必要条件是：Vn(F) 可分解成 T 的一维不变子 空间的直和。
定义 2.3 形如
1 1 J ( ) 1
的 r 阶方阵成为一个 r 阶 Jordan 块。由若干个 Jordan 块 Ji(i) 构成的准对角矩阵
J1 (1 ) J J m ( m )
定理 2.3 线性变换 T 有对角阵表示的充分必 要条件是 T 有 n 个线性无关的特征向量。 证明：必要性：设有基 {1, 2,…, n} 使 T 的 矩阵为对角阵，则有
1 2 T (1 , 2 , , n ) (1 , 2 , , n ) n
应用定理 2.1，我们可以从 T 的一个变换矩 阵 A 求得 T 的特征值与特征向量。计算步骤如下： (1) 选择 Vn(F) 的基 {1, 2, …, n}，求线性 变换 T 关于该基的矩阵 A； (2) 求 A 的特征值：先求 A 的特征多项式 f() = |I A|，f() = 0 的根 1, 2, …, n 即为 A 的全 部特征值； (3) 求矩阵 A 关于 i 的特征向量 Xi，即方程 组 (I A)X = 0 的非零解，它们给出 T 的特征值 i 对应的特征向量关于基 {1, 2, …, n} 的坐标。
定义 2.1 设 T 是线性空间 Vn(F) 上的线性变 换，如果存在 Vn(F) 和数 F ， 0 ，使得 T().= ，则称数 为 T 的特征值，向量 为 T 的对应于特征值 的特征向量。 为分析线性变换 T 的特征值和特征向量的求 法，设 T 在 Vn(F) 的某一组基 {1, 2, …, n} 下 的矩阵为 A(A 不一定为对角阵)， 是关于 的特 征向量，即 T() = ，则有
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第三讲矩阵的对角化与Jordan标准形对任何线性空间，给定基后，我们对元素进行线性变换或线性运算时，只需用元素的坐标向量以及线性变换的矩阵即可，因此，在后面的内容中着重研究矩阵和向量。
对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，比如求解矩阵方程=时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。
对角化的过程实Ax b际上是一个去耦的过程。
以前我们学习过相似变化对角化。
那么，一个方阵是否总可以通过相似变化将其对角化呢？或者对角化需要什么样的条件呢？如果不能对角化，我们还可以做哪些处理使问题变得简单呢？一、特征值与特征向量1. 定义：对m阶方阵A，若存在数λ，及非零向量（列向量）x，使=λ,则称λ为A的特征值，x为A的属于特征值λ的得Ax x特征向量。
∙特征向量不唯一∙特征向量非零∙(I A)x 0λ-=有非零解，则det(I A)0λ-=，称det(I A)λ-为A 的多项式。
[例1]122A 212221⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求其特征值和特征向量。
[解] 122det(I A)2120221λ---λ-=-λ--=--λ-2(1)(5)0λ+λ-= 121λ=λ=- 35λ=属于特征值1λ=-的特征向量 (I A)x 0--=1232222220222ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥ξ=⎢⎥⎢⎥ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1230ξ+ξ+ξ=1122312ξ=ξ⎧⎪ξ=ξ⎨⎪ξ=-ξ-ξ⎩ 可取基础解系为 11x 01⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦ 20x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦属于5λ=的特征向量 (5I A)x 0-=1234222420224--ξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--ξ=⎢⎥⎢⎥--ξ⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 123ξ=ξ=ξ可取基础解系为 31x 11⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2. 矩阵的迹与行列式nii i 1trA a ==∑ 所有对角元素之和n i i 1det A ==λ∏ ni i 1trA ==λ∑3. 两个定理（1） 设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则 tr(AB)tr(BA)=（2）sylvster 定理：设A 、B 分别为m n ⨯和n m ⨯阶矩阵，则m n m n det(I AB)det(I BA)-λ-=λλ-即：AB 与BA 的特征值只差零特征值的个数，非零特征值相同。
二、 矩阵对角化的充要条件定理：n 阶方阵A 可通过相似变换对角化的充要条件是它具有n 个线性无关的特征向量。
[证明] 充分性：已知A 具有n 个线性无关的特征向量12n x ,x ,,x L ，则 i i i Ax x =λ i 1,2,,n =L [][]12n 1122n n A x x x x x x =λλλLL[]1212n n 0x x x 0λ⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦LO12n x ,x ,,x L 线性无关，故[]12n P x x x =L 为满秩矩阵，令Λ=12n 00λ⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O，则有 AP P =Λ 1P AP -=Λ必要性：已知存在可逆方阵P ，使121n 0P AP 0-λ⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=Λ=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O将P 写成列向量[]12n P P P P =L，n P 为n 维列向量[][]12n 1122n n AP AP AP P P P =λλλLL可见，i λ为A 的特征值，i P 为A 的特征向量，∴A 具有n 个线性无关的特征向量。
推论：n 阶方阵有n 个互异的特征值，则必可对角化。
（充分条件）三、 内积空间 1. Euclid 空间设V 是实线性空间（k R ∈），对于V 中任何两个元素x 、y 均按某一规则存在一个实数与之对应，记为()x,y ，若它满足 （1）交换律 ()()x,y y,x = （2）分配律 ()()()x,y z x,y x,z +=+ (3)齐次律 ()()k x ,y k x ,y =（4）非负性 ()x,x 0≥，当且仅当x 0=时，()x,x 0=则称()x,y 为x 与y 的内积，定义了内积的实线性空间称为Euclid 空间。
对于一个给定的线性空间，可以定义多种内积，较典型的如三维向量空间的数量积就满足以上四条性质，构成内积。
以n 维向量空间为例：[]T12n x =ξξξL，[]T12n y =ηηηL可定义内积()ni i i i 1x,y w ==ξη∑，它满足内积的四条性质：（1）()()n ni i i i i i i 1i 1x,y w w y,x ===ξη=ηξ=∑∑（2）()()()n n ni i i i i i i i i i i 1i 1i 1x,y z w ()w w x,y x,z ===+=ξη+ς=ξη+ξς=+∑∑∑（3）()()n ni i i i i i i 1i 1kx,y w (k )k w k x,y ===ξη=ξη=∑∑（4）()n2i i i 1x,x w 0==ξ≥∑ 当且仅当i x 0=时，()x ,x 0= 该内积可写为：()T x,y x Wy =，其中12n w 0w W 0w ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦O更一般的，对实对称矩阵A ，()T x,y x Ay =也满足内积的定义。
正定：（1）特征值全为正（2）各阶顺序主子式大于0 2. 酉空间：设V 是复线性空间（k C ∈），对于V 中任何两个元素x 、y 均按某一规则存在一个实数与之对应，记为()x,y ，若它满足 （1）交换律 ()()x,y y,x = （2）分配律 ()()()x,y z x,y x,z +=+ （3）齐次律 ()()k x ,y k x ,y =or ()()x,ky k x,y =（4）非负性 ()x,x 0≥，当且仅当x 0=时，()x,x 0=则称()x,y 为x 与y 的内积，定义了内积的复线性空间称为酉空间。
以n 维向量空间为例，A 为厄米（H A A =）正定（H x Ax 0>）矩阵，()n nTj i ij i 1j 1x,y xAy a ====ξη∑∑较常见的比如12n A diag[w w w ]=L ，i w 0>最简单：实 ()T x ,y x y = 复 ()T x ,y x y= 3. 正交性：若()x,y 0=，则称x 与y 正交。
x 与y 的夹角：(x,y)cos |x ||y |α=，α称为x 与y 的夹角。
4. Gram-Schmidt 正交化手续设12n x ,x ,,x L 为一组线性无关的元素或向量，可以进行如下正交归一化操作（正交规范化或正交单位化）：o1 111x y |x |=o 2'22211x x k y =+ 选择合适的21k 使'2x 与1y 正交， '21212111(x ,y )(x ,y )k (y ,y )0=+= 2121k (x ,y )=-'22'2x y |x |=o 3'33311322x x k y k y =++ 选择31k 、32k 使'3x 与1y 和2y 均正交''3132(x ,y )(x ,y )0=='313131(x ,y )(x ,y )k 0=+= ()3131k x ,y →=- '323232(x ,y )(x ,y )k0=+= ()3232k x ,y →=- '33'3x y |x |=一般的，i 1'ii ij j j 1x x k y -==+∑ i 1,2,,n =L()ij i j k x ,y =-'ii 'i x y |x |=12n y ,y ,,y L 成为一组正交归一化向量：i i ij 0i j(y ,y )1i j≠⎧=δ=⎨=⎩ 若12n x ,x ,,x L 为一组基元素，则12n y ,y ,,y L 成为标准正交基。
对角化与Jordan 标准形一、正规矩阵1. 实对称矩阵与厄米矩阵实对称矩阵：实矩阵A T A A = 厄米矩阵：复矩阵A H A A = 实反对称矩阵：实矩阵A T A A =- 反厄米矩阵：复矩阵A H A A =- 2. 正交矩阵和酉矩阵正交矩阵：实矩阵A T T A A AA I == （1T A A -=）酉矩阵：复矩阵A H H A A AA I == （1H A A -=） 3. 正交相似变换和酉相似变换P 为正交矩阵，A 为实矩阵，1P AP -为对A 的正交相似变换； P 为酉矩阵，A 为复矩阵，1P AP -为对A 的酉相似变换。
4. 正规矩阵实矩阵A ，若满足T T A A AA =，则A 为实正规矩阵； 复矩阵A ，若满足H H A A AA =，则A 为复正规矩阵。
显然，实对称矩阵、实反对称矩阵、正交矩阵均为实正规矩阵； 厄米矩阵、反厄米矩阵、酉矩阵均为复正规矩阵。
5. 相似矩阵具有相同的特征多项式→相同的特征值、迹、行列式。
11det(I P AP)det[P (I A)P]--λ-=λ-11det(P )det(I A)det(P)det(P )det(P)det(I A)det(I A)--=λ-=λ-=λ-（det(AB)det(A)det(B)=）二、酉对角化1. Schur 引理：设数12n ,,,λλλL 是n 阶方阵A 的特征值，则存在酉矩阵U ，使121n U AU 0-λ*⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O[证明] 设1x 是A 的属于特征值1λ的特征向量，即111Ax x =λ，111x u x =，并由其扩充为一组标准正交向量12n u ,u ,,u LH ij 0i ju u 1i j≠⎧=⎨=⎩ 令[]012n U u u u =L，0U 为酉矩阵[]HH H H 111121n H H H H H221222n 0012n n H H H Hn n 1n 2n n u u u u u u u u u u u u u u U U u u u I u u u u u u u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L L LM M M O M L对A 进行酉相似变换：[]()H1H H H 20012n i jn nH n u u U AU A u u u u Au u ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦LM第一列：H H H i1i111i11i 1u Au u u u u i 1≠⎧=λ=λ=⎨λ=⎩ ()1H 001(n 1)(n 1)U AU A 0-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M ()[]H H H 2222n H 3123n (n 1)(n 1)HH n 2n n H n u u u u u u A A u u u u u u u u -⨯-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦L LM OM M L 相似矩阵具有相同的特征值，因此，对于1A ，其特征值为2n ,,λλL ，与上相同，可得一个酉矩阵1U ，使得()2H 1112(n 2)(n 2)U A U A 0-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M 依次类推，分别可找到酉矩阵23n 2U ,U ,,U -L 使()3H 2223(n 3)(n 3)0U A U A 0-⨯-λ*⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦Mn 1Hn 2n 2n 2n UA U 0----λ*⎡⎤=⎢⎥λ⎣⎦令2n 2012n 210I 0I 0U U 0U 0U 0U --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦L U 是酉矩阵，H U U I =H U AU ?= n 2n 2HH 00H H n 211n 2I 01010I 0U AU U AU 0U 0U 0U 0U ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L L 1H 001U AU 0A λ*⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1112H H 1111112**10100*0U 0A 0U 0U A U 0A λ⎡⎤λ*λ*⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==λ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦12H n *U AU 0λ⎡⎤⎢⎥λ⎢⎥=⎢⎥⎢⎥λ⎣⎦O[得证]什么样的矩阵能够通过酉相似变换成为对角阵呢？2. 定理：n 阶方阵A ，酉相似于对角阵的充要条件是：A 为正规阵（实或复）。