第六讲：实体造型技术

图形的实体造型方法几何造型技术„造型技术：研究如何在计算机中建立恰当的模型表示这些物体的技术。

„ „真实世界中存在着千姿百态的物体； 它是计算机图形学的重要研究内容之一。

它是由于计算机辅助设计和制造的需要而发展起来的，现在已广泛应用 于各种造型系统之中。

…其中，实体造型技术关注表示实体的信息的完备性和可操作性，„实体的定义„数学中的点、线、面是其所代表的真实世界中对象的一种抽象，它们之间 存在着一定的差别。

例：„ „数学中平面是二维的，没有厚度，体积为零； 在真实世界中，一张纸无论有多么薄，它也是一个三维的体，具 有一定的体积。

…这种差距造成了在计算机中以数学方法描述的形体可能是无效，即在 真实世界中不可能存在。

• 如右图的立方体的边上悬挂着一张面，立方体是三 维物体，而平面是二维对象，它们合在一起就不是 一个有意义的物体。

通常，实体造型中必须保证物 体的有效性。

现实物体的性质„满足如下性质的物体称为有效物体或实体。

具有一定形状（流体不是实体造型技术描述的对象）。

具有确定的封闭边界（表面）。

是一个内部连通的三维点集。

…„ „如果该物体可分成独立的几个部分，不妨将其看作多个物体。

这条性质排除了下图中的形体作为有效物体的情况， 其中：两个立方体仅以一条棱相接，内部区域是不连通的。

占据有限的空间，即体积有限。

经过任意的运算（如切割、粘合）之后，仍然是有效的物体。

…实体的点集拓扑表示从点集拓扑的角度可给出实体的简洁定义。

…三维物体可看作一个点集，它由内点与边界点共同组成。

„ „内点是指点集中具有完全包含于该点集的充分小邻域的一些点。

边界点就是指那些不具备此性质的点集中的点。

定义点集的正则运算r： r·A=c·i·A。

其中：i为取内点运算，c取闭包运算，A为一个点集，那么，„ „i·A即为A的全体内点组成的集合，称为A的内部，它是一个开集。

c·i·A 为 A的内部闭包，是 i·A 与其边界点的并集，它本身是一个闭 集。

实体的正则运算过程„正则运算即为：先对物体取内点，再取闭包的运算。

…下图示出了正则运算的过程：„对图(a)中的物体做作取内点运算得到图(b)，该运算去掉了物体所有的边 界点，余下的即为物体的内部； 对图(b)中物体的内部作取闭包运算，得到其闭包图(c)，它是一个正则点 集。

„„由上述过程不难看出： 正则运算的作用是去除与物体维数不一致的悬挂 部分或孤立部分：…如：三维物体的悬挂面、线，二维物体的悬挂线等。

(a)带有悬挂边、孤立边 和孤立点的二维物体(b)物体的内部(c)物体内部的闭包实体的正则点集定义„r ·A 称为A的正则点集，…称A为正则点集，如果它满足r·A=A。

下图中由两个立方体组成的物体„ „„问题：正则点集是实体？…这样的物体在真实世界中是不存在的。

这个物体可分成独立的几个部分，不妨将其看作多个物体。

实体的二维流形定义„二维流形是指这样一些面： 其上任一点都存在一个充分小的邻域，该邻域与平面上的圆盘是同构的， (在该邻域与圆盘之间存在连续的1-1映射)„任何客观存在的物体，如立方体，其表面上任一点都存在与圆盘 同构的邻域。

„引入二维流形概念的目的是为排除正则点集中类似于由两个立方体组成的 物体。

…其上的点不存在这样的邻域。

„实体的定义(可计算条件)：…对于一个占据有限空间的正则点集，如果其表面是二维流形，则该正 则点集为实体(有效物体)。

„这个描述中的条件是在计算机中可检测的，对衡量一个模型表示 是否为实体非常有用。

正则集合运算定义„正则集合运算功用：通过对简单实体做适当运算来构造复 杂实体。

…实体可看作点集，对实体进行的运算主要是集合运算 。

对两个实体做普通的集合运算并不能保证其结果仍是 一个实体(右图)。

A op* B= r · (A op B)，两物体的集合运算…„正则集合运算op*：…op是普通的集合运算，…即：∩、∪和－…r为正则运算，op*=∩*、∪*和－*„普通集 合运算正则集 合运算分别称为正则交、正则并和正则差。

„正则集合运算过程： 先对A、B做普通集合运算，再做正则运算。

正则集合运算原理„任一实体S可用其边界bS和其内部iS来表示，即：S=bS∪iS。

由实体定义可知：…边界 bS 是封闭的，它将整个三维空间分成三个区域：S的内部iS， 其自身 bS与S的外部eS。

„边界与实体是一一对应的。

实体A和B正则集合运算A op* B，转化为求其边界b(A op* B) 实体A的边界bA按其位于实体B的内部iB、边界bB、外部eB可分别表示为 ：bA∩iB, bA∩bB, bA∩eB。

即：bA=((bA∩iB)∪(bA∩bB)∪(bA∩eB))。

同理，实体B的边界bB可表示为：„…bB=((bB∩iA)∪(bB∩bA)∪(bB∩eA))。

…bA∩bB=bB∩bA是A与B的公共边界，它可分成两部分： (bA∩bB)同侧、 (bA∩bB)异侧。

„ „(bA∩bB)同侧由这样的边界构成：A与B位于这些边界的同一侧； (bA∩bB)异侧的含义相反。

正则集合运算计算„对于A∩* B，由交的定义可知：…A、B两物体的边界位于对方内部的部分， 即：bA∩iB和bB∩iA是b(A∩* B)的组成部分； A、B两物体的边界位于对方外部的部分， 即：bA∩eB和bB∩eA不是b(A∩* B)的组成部分； 对于A、B的重合边界有：(bA∩bB)同侧∈b(A∩* B)， b(A∩* B)=(bA∩iB)∪(bB∩iA)∪(bA∩bB)同侧。

……(bA∩bB)异侧则不属于b(A∩* B)。

由此得到：„同理，可得到A、B正则并和差的边界表达式： b(A∪* B)=(bA∩eB)∪(bB∩eA)∪(bA∩bB)同侧。

b(A -* B)=(bA∩eB)∪(bB∩iA)∪(bA∩bB)异侧。

(bA∩bB) bB)异侧 bB∩iA P4 P3 P2 P1 (bA∩bB) bB)同侧 (b). A∪*B的边界 (c). AA-*B的边界 bA∩iB bB∩eA bB∩eA bA∩eB bA∩eB bB∩iA (bA∩bB) bB)异侧(bA∩bB) bB)同侧 (a). A∩*B的边界几何模型的定义„图形对象的描述需要大量图形信息和非图形信息，…对象及构成它的点、线、面的位置及其相互间关系和几何尺寸等都 是图形信息； 表示这些对象图形的线型、颜色、亮度以及供分析和模拟用的质量 、比重和体积等数据是有关对象的非图形信息。

…• 图形信息常从拓扑信息和几何信息两方面 考虑。

– 几何信息：指形体在欧氏空间中的位 置和大小； – 拓扑信息：是形体各分量的数目及其 相互之间的连接关系。

几何元素定义：点„点是0维几何元素。

在形体定义中一般不允许存在孤立点。

一维空间中的点用一元组{t}表示； 二维空间中的点用二元组{x, y}或{x(t), y(t)}表示； 三维空间中的点用三元组{x, y, z}或{x(t), y(t), z (t)}表示。

n维空间中的点在齐次坐标系下用n+1维表示。

自由曲线、曲面或其他形体均可用有序的点集表示。

计算机存储、管理、输出形体的实质就是对点集及其连接关系的处理。

①控制点。

用来确定曲线和曲面的位置与形状，相应曲线和曲面不一定经 过的点； ②型值点。

用来确定曲线和曲面的位置与形状，相应曲线和曲面一定经过 的点； ③插值点：为提高曲线和曲面的输出精度，在型值点之间插入的一系列点 。

„点是几何造型中的最基本元素， „在自由曲线和曲面的描述中常用三种类型的点，即：………几何元素定义：边和面„边是一维几何元素…是两个邻面(正则形体)或多个邻面(非正则形体)的交界。

„ „直线边由其端点（起点和终点）定界； 曲线边由一系列型值点或控制点表示，也可用显式、隐式方程表示。

„面是二维几何元素…是形体上一个有限、非零的区域，由一个外环和若干个内环界定其范围。

„一个面可以无内环，但必须有一个且只有一个外环。

若一个面的外法矢向外，此面为正向面；反之，为反向面。

…面有方向性，一般用其外法矢方向作为该面的正向。

„ „…区分正向面和反向面在面面求交、交线分类、真实图形显示等方面都很 重要。

几何造型中常分平面、二次面、双三次参数曲面等形式。

几何元素定义：环„环： 有序、有向边(直线或曲线段)组成的(面的)封闭边界。

环中的边不能相交，相邻两条边共享一个端点。

„环有内外之分： 确定面的最大外边界的环称之为外环，通常其边按逆时针方向排序。

把确定面中内孔或凸台边界的环称之为内环，其边相应外环排序方向 相反，通常按顺时针方向排序。

„在面上沿一个环前进，其左侧总在面内，右侧总在面外。

外环内环几何元素定义：体„体是三维几何元素 由封闭表面围成的空间； 是欧氏空间中非空、有界的封闭子集，其边界是有限面的并集。

常用的体素采用三种定义形式：…„„„从实际形体中选择出来， 可用一些确定的尺寸参数控制其最终位置和形状的一组单元，如长 方体、圆柱体、圆锥体、圆环体、球体等； 由参数定义的一条（或一组）截面轮廓线沿一条（或一组）空间参数曲 线作扫描运动而产生的形体； 用代数半空间定义的形体。

几何分量间的关系„对于不同的用户，感兴趣的几何分量并不相同。

…笔划式输入输出设备中以描述形状的轮廓线为主，形体顶点的几何信息较为 实用； 光栅扫描型输入输出设备中主要处理具有明暗度和阴影的图，形体的面几何 信息较为实用。

只用几何信息来表示形体还不充分，常常还会出现形体表示的二义性„……形体的表示除了几何信息外，还应提供几何分量之间的连接关系，即拓 扑关系。

f1∩f2∩f3 v1∪v2∪v3 点v e1∩e2 v1∪v2f1∩f2 面f e1∪e2 形体几何分量间的相互关系 边e拓扑信息的形式„拓扑信息指的是顶点、边和面之间的连接关系。

…多面体的拓扑关系可用九种不同的形式描述。

v v v e v e e f v→{f} 面相邻性 f e f e→{f} 面边相邻性 f f v f→{v} 面点包含性 f→{e} 面边包含性 f→{f} 面相邻性 f f fv v→{v} 顶点相邻性 v e vv→{e} 点边相邻性 e e e e ee→{v} 点边包含性 v f v ve→{e} 边相邻性 e e f e e拓扑信息的应用„不同的用户对不同的拓扑关系感兴趣。

…对画线的图形系统来说，知道： v→{v}, e→{v}, f→{v}这些拓扑关系 就可知道从顶点如何连接成边、面等几何单元； 在消隐线、面的算法中，则希望知道面的相邻性： „ 即：f→{f}； 在形体的拼合运算中，则希望知道顶点的邻接面： „ 即：v→{f}。