曲线方程求法
直线和曲线的简单方程求解方法
直线和曲线的简单方程求解方法一、直线方程求解方法1.1 点斜式方程点斜式方程是直线上任意一点和斜率来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
1.2 两点式方程两点式方程是利用直线上的两点来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两点。
1.3 截距式方程截距式方程是直线在坐标轴上的截距来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：x/a + y/b = 1，其中a为x轴截距，b为y轴截距。
1.4 一般式方程一般式方程是直线方程的通用形式，其一般形式为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B不同时为0。
二、曲线方程求解方法2.1 圆的方程圆的方程是利用圆心和半径来表示圆的一种形式，其一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
2.2 椭圆的方程椭圆的方程是利用椭圆的长轴、短轴和焦距来表示椭圆的一种形式，其一般形式为：x²/a² + y²/b² = 1，其中a为半长轴，b为半短轴。
2.3 双曲线的方程双曲线的方程是利用双曲线的实轴、虚轴和焦距来表示双曲线的一种形式，其一般形式为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为实半轴，b为虚半轴。
2.4 抛物线的方程抛物线的方程是利用抛物线的焦点、准线和顶点来表示抛物线的一种形式，其一般形式为：y² = 4ax 或 x² = 4ay，其中a为焦点到顶点的距离。
三、求解方法3.1 直线方程求解直线方程求解主要是通过解析式来求出直线上任意一点的坐标。
求曲线方程的常用方法
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法二：（代入法）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（ ）,根据中点坐标公式得 ，因为N在圆上，所以
（x≠0），
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法三：（参数法）设P点坐标为（x，y），直线ON的方程为：y=kx，
由 消去y得：(1+k2)x2-4x=0，
参数法是借助中间变量，间接得到x、y关系的方法。在预先无法判断曲线的类型，又不容易直接找到x、y关系的情况下，就必须使用参数法。参数法的关键是参数的选择。有时用一个中间变量，有时则用多个。平时提到的代入法、点差法、交轨法都属于参数法。使用参数法时，不一定要得到参数方程，在适当的时机消去参数即可。
本课通过对一个题目的多种解法，复习求曲线方程的常用方法，并通过一题多变，让学生体验各种方法的适用条件。学会具体问题具体分析，培养学生发散思维能力和创新能力。
的几种形式，圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程等。使用公式法的前提是：知道曲线的类型。有时并不告诉曲线的类型，但是根据定义能够判断出曲线的类型，再利用公式（有些书上称为定义法）。在使用公式时，有时可以一一求出公式中的系数，再代入公式。有时则要带着系数运算，直到最后求出系数（这就是所谓的待定系数法）。
因为PC⊥PO，所以|OP|=|OC| =2 ，于是 ， ，P点轨迹的参数方程为
，消去参数得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法九：（参数法——点差法）设P点坐标为（x，y），直线ON与圆的两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），则
， ，两式作差得
注意到x1+x2=2x，y1+y2=2y， ，代入整理得：
变化一：（变化圆心和转动点）
(完整版)求曲线方程的六种常用方法
(完整版)求曲线方程的六种常用方法求曲线方程的六种常用方法在数学中，求解曲线方程是一个非常重要的问题。
这篇文档将介绍六种常用的方法，帮助你解决这个问题。
方法一：代数法代数法是求解曲线方程最常用的方法之一。
它的基本思想是将给定的曲线方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程来得到曲线方程的解。
方法二：几何法几何法是另一种常用的求解曲线方程的方法。
它的基本思想是通过几何性质和图形的特点来确定曲线方程的形式和参数。
方法三：微积分法微积分法在求解曲线方程中也起到了非常重要的作用。
它利用微积分的工具和技巧来对曲线进行分析和求解。
通过求导、积分等操作，我们可以推导出曲线的方程式。
方法四：插值法插值法是一种通过已知的离散数据点来推测出未知数据点的方法。
利用插值法，我们可以找到曲线方程经过的点，并进而求解出曲线方程。
方法五：拟合法拟合法和插值法类似，它也是一种通过已知的数据点来求解曲线方程的方法。
拟合法通常通过根据给定的数据点，选择合适的曲线方程形式，使得曲线与这些数据点最为接近。
方法六：数值计算法数值计算法是一种通过数值计算的方式来求解曲线方程的方法。
它利用计算机的高速计算能力，通过迭代等方法快速求解出曲线方程的解。
通过掌握这六种常用的方法，相信你能更加轻松地求解曲线方程。
选择适合你的方法，并进行实践，相信你一定能够取得理想的结果。
结论本文介绍了六种常用的求解曲线方程的方法，包括代数法、几何法、微积分法、插值法、拟合法和数值计算法。
通过掌握这些方法，你能够更加有效地求解曲线方程，解决数学问题。
希望这些方法能够对你有所帮助。
人教版数学选修2-1：曲线方程课件求曲线方程的四种常用方法(共19张PPT)
二、参数法求曲线方程
例5 过点 P( 2 ,4) 作两条相互垂直的直线 l1, l2 ，若 l1 交 x 轴于点A，l2
交y 轴于点B，求线段AB的中点M的轨迹方程。
解析：设点M (x, y) 。
① 当直线 l1 的斜率垂直且不为0时，可设其方程为：y 4 k(x 2)
因为
l1 l2
建立适当的坐标系，求这条曲线的方程。
解析：如图：取直线 l 为轴，过点F且垂直于 直线 l 的直线为y轴，建立坐标系 xOy. 设点 M (x, y) 是曲线上任意一点，作MB x 轴
垂足为B，则M属于集合
P M || MF | | MB| 2 x2 (y 2)2 y 2 x2 (y 2)2 (y 2)2
③（四川卷）已知两定点 A(2,0), B(1,0) ,若动点P满足|PA|=2|PB|， 则点P的轨迹所围成的图形的面积等于（ ）
A B 4 C 8 D 9
二、直接法求曲线方程
例3 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
二、相关点法求曲线方程
例4 在圆 x2 y2 4 上任取一点P，过点P作 x 轴的垂线段PD，D为垂
足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设 M (x, y), P(x0, y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以 x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x 带入上式得：x2 4 y2 4.
所以点M的轨迹方程是 x2 4y2 4. 。
相关点法—知识总结与练习
求曲线方程的几种常用方法
求曲线方程的几种常用方法宜君县高级中学 马卫娟已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。
下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。
一.直接法：即课本中主要介绍的方法。
若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式,从而得到轨迹方程。
例1.在直角△ABC 中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C 的轨迹方程。
解法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C 的坐标为(x,y) 则满足条件的点C 的集合为}/{222AB BCAC C P =+=所以()()()22222222)()(a ya x ya x =+-+++即222a y x =+因为当点C 与A 、B 重合时，直角△ABC 不存在，所以轨迹中应除去A 、B 两点，既ax ±≠。
故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y) ∵A C ⊥BC ∴1-=⋅BC AC K K∴1-=-⋅+ax y ax y （1）化简得：222a y x =+（2）由于a x ±≠时，方程(1)与(2)不等价,所以所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y) 连接CO ，则有：AB CO 21=所以a a yx =⋅=+22122即222ay x =+轨迹中应除去A ，B 两点（理由同解法一） 故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。
说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤(1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M 的坐标; (2) 写出适合条件P 的点M 的集合P={M\p(m)}; (3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4) 化方程f(x,y)为最简形式;(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
求曲线方程方法讲解
y ( x, y) 由中点坐标公式可知
x1 y1
x 2 y 2
A
∵AB 边上的中线 CD=3
D
∴ (x1 4)2 y12 9
B
化简整理得 (x 8)2 y2 36
∴点 A 的轨迹方程为 (x 8)2
y2
0
36
.
y
0C
Mx
法二: 添辅助线 MA,巧用图形性质, 妙极了! 注:这种求轨迹方程的方法叫做相关点坐标分析法(代入法)
变式练习
若三角形ABC的两顶点C，B的坐标分别是C（0，0），
B（6，0），顶点A在曲线y=x2+3上运动，求三角形ABC
重心G的轨迹方程.
y 10
8
y=x2+3
6
A
4
2
M
OB
x
-2
-4
四 例 3.经过原点的直线 l 与圆 x2 y2 6x 4 y 9 0 相交于
√√ 4.化简方程 f (x, y) 0 为最简形式;
5.证明(查漏除杂).
以上过程可以概括为一句话:建．设．现．(．限．)．代．化．.
知识回顾
在什么条件下，方程f(x，y)＝0是曲线C 的方程，同时曲线C是该方程的曲线？
（1）曲线C上的点的坐标都是方程 f(x，y)＝0的解；(纯粹性)
（2）以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点 都在曲线C上. (完备性)
简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲 线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点 满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之 间的坐标。
变 变式 .△ABC 的顶点 B、C 的坐标分别为(0,0)、(4,0), 式 A B 边上的中线的长为 3,求顶点 A 的轨迹方程.
求曲线方程的五种方法
求曲线方程的五种方法曲线方程是数学中的一个重要的概念，它是表示一个曲线的方程。
曲线方程可以有多种形式，可以用任意数量的参数来确定。
求曲线方程的方法也是各种数学软件的一个重要的功能，下面我们来看看其中的五种求曲线方程的方法：第一种是直接由点法得到曲线方程，通常是根据已知点计算曲线方程，也就是由点求式，即问题中大多数可能给定的曲线方程。
如果我们知道曲线上两个点并且想要求得这条曲线的方程，可以采用此方法。
事实上，只要有足够的点，就可以根据点求出曲线的方程。
第二种是利用偏导数，如果我们知道曲线上某一点的梯度，我们就可以通过求偏导数确定曲线的方程。
另外，我们也可以使用积分法对曲线去求其方程。
第三种方法是根据它与其他曲线的关系来求曲线方程，如果我们知道两条曲线的关系（比如二次函数与指数函数的关系），我们就可以求出曲线的方程。
第四种方法是根据曲线的特征和性质，比如曲线的斜率，拐点和极值，以及曲线的对称性，都可以作为曲线方程求解的重要根据。
最后，第五种方法是利用计算机软件辅助的方法，如通过利用数学软件和GIS软件等，可以轻松地求出曲线方程。
上述是求曲线方程的五种方法，由于曲线方程的形式和参数不同，求曲线方程的方式也有多种，比如，我们可以根据点求式，根据偏导数，根据它与其他曲线的关系，根据曲线的特征和性质，以及利用计算机软件辅助求解曲线方程。
此外，还有很多其他的求曲线方程的方法，但是最重要的还是要仔细分析问题，熟悉各种求曲线方程的具体方法，才能把握出该问题的解决方案。
综上所述，求曲线方程的五种方法是根据点法得到曲线方程，利用偏导数，根据它与其他曲线的关系，根据曲线的特征和性质，以及利用计算机软件辅助求解曲线方程。
此外，求解曲线方程的关键在于仔细分析问题，熟悉各种求曲线方程的具体方法。
曲线方程求法
抚松一中 姜民和
学习目标：
1.曲线的方程、方程的曲线； 2.总结求曲线的方程的方法和步 骤；
•
定义：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种
条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数
解建立了如下的关系：
•
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
•
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
5
2
mx 2 ny 2 1
直接法（第二定义）
3.已知点P到定点F (3,0)的距离与到l：x 25的距离之比 3
为 3，求P的轨迹方程 5
基本步骤： 建，设，现，代，化
4.已知过圆 x2 y2 25上的动点 p向x轴做垂线，垂足为 Q 点R满足PR 1 PQ,求点R的轨迹方程
5
5.已知点P在直线y 164 上移动，直线l过点A(0,4)且与 9
分析作业：
已知曲线的类型，可 先设出曲线的方程
曲线与方程
和 x2 y2 25交于点P, Q过点P作x轴的平行线 l1, 过点Q做 x轴的垂线 l2 , l1交l2与点R，求点 R的轨迹方程。
方法小结：
求曲线的轨迹方✓参数法 ✓定义法
所求动点随另 一动点在已知 曲线上的运动 而运动，称为 相关点法.
✓待定系数法
AP垂直，通过点B(0,4)及点P的直线m和直线l相交于点Q 求点Q的轨迹方程
一、复习回顾
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 1、建立适当的坐标系，设曲线上任一
点的坐标; 2、找条件，由条件列出方程;
3说、明化所简得方方程程. (可检以验省略)为所求的曲线
方程.
二、求曲线方程的常用方法：
求曲线方程的六种常用方法
求曲线方程的六种常用方法本文介绍了求解曲线方程的六种常用方法，分别是：1. 寻找基本解析式：通过观察曲线的形状和特征，找到与之相对应的基本解析式。
基本解析式可以是各种函数的特定形式，比如直线的解析式是 y = kx + b，圆的解析式是 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 等。
2. 根据已知条件确定系数：如果已知曲线通过某些特定点，或者满足某些特定条件，可以根据这些已知条件来确定方程中的系数。
例如，如果已知曲线通过点 (x1, y1)，可以将这个点的 x 值和 y 值代入方程，然后解方程组得到系数的值。
3. 利用对称性：对于某些曲线，可以利用其对称性来求解方程。
比如，若曲线关于 y 轴对称，则它的方程可以写为一个只包含 x 的函数；若曲线关于原点对称，则它的方程可以写为一个只包含 x^2和 y^2 的函数。
4. 使用切线和法线方程：对于曲线上的一点，可以求出该点处的切线和法线方程，从而得到曲线的方程。
切线方程可通过求导得到，法线方程可以通过求切线方程斜率的倒数得到。
5. 运用参数方程：对于某些曲线，如果能够表示为参数方程的形式，那么可以通过求解参数方程中的参数来得到曲线的方程。
参数方程常用于描述曲线的运动或变化，如抛物线的参数方程为 x =at^2，y = 2at。
6. 通过描点法：对于一些复杂的曲线，可以通过描点法来逼近曲线的方程。
具体做法是在平面上选择一些点，然后将这些点的坐标代入方程，确保曲线经过这些点，进而逐步调整方程的系数，使得曲线更加贴合这些点，最终求得曲线的方程。
综上所述，求解曲线方程的六种常用方法包括寻找基本解析式、确定系数、利用对称性、使用切线和法线方程、运用参数方程以及通过描点法。
在具体应用中，选择合适的方法取决于曲线的特征和已知条件。
希望本文对您求解曲线方程有所帮助。
注意：本文介绍的方法仅供参考，具体问题具体分析，使用时需根据实际情况做出决策，谨慎使用。
求曲线方程的几种常见方法
求曲线方程的几种常见方法求曲线方程的几种常见方法2011-04-20 13:59 来源：文字大小：【大】【中】【小】解析几何研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；(2)通过曲线的方程，研究曲线的性质．所以求曲线的方程是解析几何中的一个重要问题．下文将讨论几种求曲线方程的方法及求曲线方程时应注意的问题．一、直接法若动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何量间的等量关系简单明了且易于表达，我们只要将这些的等量关系变成含，的等式就得到动点的轨迹方程．这种方法不需要其它技巧，故称为直接法．例1已知P，Q是平面内的2个定点，=2,点M为平面内的动点，且M到点P的距离与到点Q的距离的比值为（﹥0），求点M 的轨迹．解析以线段PQ的中点O为坐标原点，线段PQ的垂直平分线为轴建立直角坐标系．点为（-1，0），点为（1，0），设点为（，）．，（﹥0），，，化简可得．（1）时，点的轨迹为轴，其方程为；（2）﹥0且时，点的轨迹方程可化为，即，当﹥0且时，点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆．点评直接法求轨迹的一般步骤为：（1）必要时建立平面直角坐标系（若已有直角坐标系则可以省去这一步），设动点坐标为（，）；（2）根据题设条件列出等量关系式；（3）将上述等量关系式转化为方程式；（4）整理、化简方程式为轨迹方程；（5）必要时进行讨论，以保证轨迹的纯粹性与完备性，并指出轨迹的具体几何意义．二、定义法若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可以根据定义直接求出动点的轨迹方程，这种方法称为定义法．例2 如图,已知两圆，，动圆在圆内且和圆内切，和圆外切，求动圆圆心的轨迹．解析设动圆圆心为，由题意可知．根据椭圆的第一定义，点的轨迹是以点，为焦点的椭圆，其中，动圆圆心的轨迹方程为．点评解答本题的关键在于透过复杂的条件认识到点轨迹是以点，为焦点的椭圆，假若根据几何条件列方程求解就复杂了．三、相关点法有些求轨迹的问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但这一动点随另一动点（称之为相关点）而动．假若相关点所满足的条件是明显的或可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程或关系式，即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫相关点法，也叫转移点法或代入法．例3 已知曲线与直线交于两点和,且﹤．记曲线在点A点B 之间的那段为L，设点P（s,t）是L上的任意一点，且点P与点A和点B均不重合．若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程．解析由，解得A（-1，1），B（2，4）．由中点坐标公式可得点Q的坐标为（），设点M的坐标为（）．于是，，，又-1﹤s﹤2,﹤﹤,即﹤﹤．又点P（s,t）在曲线C上，．将代入得，即（﹤﹤）．点评相关点法是一种常考的方法，用此法求轨迹的大致步骤是：（1）设所求轨迹的动点P的坐标为（），再设在曲线上与动点P相关的点为Q （），所以；（2）找出P,Q的坐标之间的关系式，并表示为（3）将代入，即可得所求的轨迹方程．本题中还要注意所求曲线只是抛物线的一部分．四、交轨法若动点是两条动曲线（含直线）的交点，则可恰当的引入一个或几个参数，写出动曲线的方程，消去参数，即可求得所求的轨迹方程．这种方法叫交轨法．例4 如图，椭圆与轴的交点为A(2,0),B(-2,0),与轴平行的直线交该椭圆于不同的两点M，N，试求直线AM，BN的交点Q 的轨迹方程．解析直线MN的方程为，设M和N的坐标分别为（），（），则，即．M，N为不同的两点，，直线AM，BN的方程分别为因为点Q的坐标满足上式，所以将它们相乘可得，将代入上式可得，即．又交点Q不可能在轴上，．交点Q的轨迹方程是．点评交点Q不可能在轴上，去掉（2，0），（-2，0）两点，确保轨迹的纯粹性不容忽视．五、向量法用向量法求轨迹方程时，可充分利用向量垂直和共线的充要条件，并可以避免讨论直线斜率是否存在，使计算得到简化．例5 如图，设点A、B为抛物线（p﹥0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，M是垂足，求点M的轨迹方程，并说明它表示的曲线类型．解析设点A，点B（），M（）．，，，，．,即，．又,即，化简得．又∥,，化简可得．消去可得，又因为A、B异于原点，所以．点M的轨迹方程为，它表示一点（2p，0）为圆心，2p为半径的圆（不包含原点）．点评利用向量可以将几何问题化为代数计算，在此设点A，点B（），而不设点，是为了尽量减少参数．六、参数法动点满足的条件式中含有参数（如角度、斜率、比值等）或动点运动过程中受到某个参数制约，我们建立以这个变量为参数的参数方程，然后消去这个参数，即得轨迹的普通方程，这种求轨迹方程的方法叫参数法．例6 过点P（4，1）的动直线与椭圆交于不同的两点A、B，在线段AB上取点Q，满足,证明：点Q总在某定直线上．证明设点Q，A，B的坐标分别为（），（），（）．由题设知，，，均不为0，记,则﹥0，且．又A，P，B，Q四点共线，从而．于是，，，．从而，………………①．………………②又因为点A、B在椭圆C上，即，………………③，………………④①+2②得，结合③、④得．即点Q（）总在定直线上．点评在此选取比值作参数，得到轨迹的含的参数方程，最后消去参数得到轨迹的普通方程．本题中点Q的轨迹只是直线的一部分．七、点差法例7 给定双曲线，过点A（2，1）的直线与所给双曲线交于两点，求线段中点P的轨迹方程．解析设P（），，，则两式相减得．又．又，，A，P四点共线，，，即所求轨迹方程为．点评点差法是求弦中点形成的轨迹的有效方法．【练习】1．动点与两点连线的斜率之积为（﹤0），求点的轨迹方程，并根据值变化讨论其轨迹是什么曲线．2．已知圆：与定直线，动圆与圆外切，并且与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程．3．已知O为坐标原点，A为椭圆（a﹥b﹥0）上任意一点，且,求点P的轨迹方程．4．如图，设点A、B分别为（-1，0）、（1，0），N为单位圆上的动点（不与点A、B重合），单位圆上过点N的切线与过点A、B的切线分别交于D、C两点，四边形ABCD的对角线AC与BD的交点为P，求交点P的轨迹．5．已知点A（1，0）为圆内的一点，P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？6．过抛物线的顶点O作两条互相垂直的直线，分别交抛物线于A、B两点，求线段AB的中点P的轨迹方程．7.线段AB是经过抛物线焦点的弦，求弦AB的中点的轨迹方程．【参考答案】1．（1）﹤-1时，轨迹方程为（），点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）；（2）时，轨迹方程为，点的轨迹为圆（不含,两点）；（3）-1﹤﹤0时，轨迹方程为，点的轨迹为焦点在轴上的椭圆（不含,两点）．2．3．4．设切点N的坐标为（cos,sin）,则切线CD的方程为，求出点C、D的坐标，进而写出直线BD、AC的方程，消去即可．点P的轨迹为椭圆：除去A、B两点的部分．5．（用向量法和参数法）．6．7．。
求曲线方程的六种常用方法
求曲线方程的六种常用方法1. 解析法解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。
通过观察曲线上的特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。
这种方法通常适用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。
2. 描述法描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。
通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。
例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。
3. 坐标法坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点之间的关系来求解曲线方程的方法。
通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表达式。
例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率和截距，从而求解直线的方程。
4. 几何法几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。
通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。
例如，通过利用直角三角形的性质，可以求解直线的方程。
5. 数值法数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求解曲线方程的方法。
通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。
数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。
6. 近似法近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。
通过将复杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的计算，从而得出曲线的近似方程。
这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。
以上是求曲线方程的六种常用方法。
根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。
求曲线轨迹方程的方法
四、参数法求曲线方程
若过点 P(1，1)且互相垂直的两条直线 l1，l2 分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两点，则 AB 中点 M 的轨迹方程为________．
四、参数法求曲线方程
【审题】 斜率存在时，点斜式设l1的方程→得l2的方程→ 联立方程→求交点坐标→消去参数→得结果→斜率不存在时将
三、相关点法求曲线轨迹方程
基本思路：
①设点：设被动点的坐标 M (x, y)，主动点的坐标 P(x0, y0；) ②求关系式：用被动点的坐标M (x, y) 表示主动点的坐标 P(x0, y0 )，即
得关系式
xy00
g(x, h(x,
y) y)
③代换：将上述关系式带入主动点满足的方程，化简整理可得所求动 点的轨迹方程。
三、相关点法求曲线轨迹方程
x 例 在圆 x2 y2 4上任取一点P，过点P作 轴的垂线段PD，
D为垂足。当点P在圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹方程。
解析：设M (x, y), P(x0 , y0 ),则x
x0 , y
y0 2
.
因为点P在圆上，所以x02 y02 4 。
把 x0 x, y0 2x带入上式得：x2 4 y2 4.
二：定义法求轨迹方程
思路：如果动点的轨迹满足某种已知曲线定义，则可由曲 线的定义直接写出方程，利用定义法求轨迹方程要善于抓 住曲线定义的特征。 要点：四种曲线定义及成立条件
方法：建系设点 定型（思考几何关系，进而寻求数量关系） 定方程 定范围
二：定义法求轨迹方程
圆的定义： |PC|=r (r>0) 椭圆的定义：
一：直接法（直译法）求轨迹方程
例 已知一条直线 l 和它上方的一个点F，点F到l 的距离是2.一条曲线 也 l 在的上方，它上面的每一点到F的距离减去到 l 的距离的差都是2，
曲线方程的求法
确定点的位置
通过参数方程可以确定 平面内点的位置，通过 给定参数值计算出对应 的x和y坐标。
解决几何问题
参数方程可以用于解决 几何问题，如求弦长、 切线斜率、面积等。
参数方程在物理问题中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹， 如行星运动轨迹、摆动轨迹等。
总结词：声波传播
详细描述：双曲线方程在声学研究中用于描述声波的传播规律，如声音的传播速 度、衰减等。
抛物线方程在弹道学中的应用
总结词：弹道轨迹
详细描述：抛物线方程在弹道学中用 于描述炮弹、导弹等物体的飞行轨迹 ，是军事领域中非常重要的数学工具 。
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截距式方程
$x/a + y/b = 1$，其中a和b分别是 直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程
标准方程
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)是圆心，r是半径。
参数方程
$x = h + rcostheta$，$y = k + rsintheta$，其中(h, k)是圆 心，r是半径，$theta$是参数。
04
参数方程的应用
参数方程与极坐标方程的转换
参数方程转换为极坐标方程
将参数方程中的x和y代入极坐标公式（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到极坐标方程。
极坐标方程转换为参数方程
将极坐标方程中的ρ和θ代入参数方程（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到参数方程。
参数方程在几何问题中的应用
描述平面曲线
03
曲线方程的求解方法
求曲线方程的常用方法
求曲线方程的常用方法1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。
2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。
（1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。
故只须选择恰当的坐标系，就可直接写出椭圆的方程。
（2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。
当122||a F F =时，P点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。
故只须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。
3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。
4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方法。
5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。
如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。
求曲线方程的常用方法
曲线的方程摘要：通过曲线方程常见题型的分析，归纳总结曲线的方程的解题巧，对于常见的一些问题，给出规律性的解答.关键词：曲线的方程 轨迹曲线的方程是高考中常出现的问题，要熟练掌握求曲线方程的基本步骤，能利用图像将题目中所给的条件转化为数学表达式. 下面介绍五种求解曲线方程的方法.求轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、待定系数法、转移法（或称代入法）、参数法.一、直接法建立适当的坐标系后，设动点为),(y x P ，根据几何条件直接寻求y x ,之间的关系，其一般步骤为：（1）建立坐标系（选取原点位置及坐标轴的方位）；（2）设动点坐标为),(y x P ；（3）依据题意找出等量关系，列出方程；（4）化简方程，并讨论取值范围，说明轨迹曲线特征.【例1】已知两点)0,3(-A ，)0,3(B ，动点M 与A 、B 的连线的斜率之积是32，则点M 的轨迹方程为 .讲解：设点M 的坐标为),(y x ，点M 属于集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⋅=32|MB MA k k M P . 由经过两点的直线的斜率公式，得3233=-⋅+x y x y ，化简，整理得)3(0183222±≠=--x y x . 此即为所求的轨迹方程.练习1：已知两定点)0,1(-A ，)0,2(B ，动点P 满足21||||=PB PA ，求P 点的轨迹方程. 答案：4)2(22=++y x .二、定义法如果所给几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义，则可直接利用这些已知曲线的定义，建立动点的方程，化简整理即得轨迹方程.【例2】一动圆过定点)0,2(-A 且与定圆12)2(22=+-y x 相切. 求动圆圆心C 的轨迹M 的方程.解：设动圆与定圆的切点为T ，定圆的圆心为B ，由题意知动圆内切于定圆，则22||32||||||||||=>==+=+AB BT CT CB CB CA ，∴点C 的轨迹方程是以A 、B 为焦点的椭圆， 则322=a ，222=c . 3=∴a ，2=c . 12=∴b .∴动圆圆心C 的轨迹M 的方程为1322=+y x . 练习2：ABC ∆中，已知的方程)0,4(-A ，)0,4(B ，且C B A sin 21sin sin =-，则点C 的轨迹方程是（ ） 1124.22=+y x A )0(1124.22<=-x y x B )0(1124.22<=+x y x C )0(14_12.22<=x y x D 答案：B .三、待定系数法当已知动点的轨迹方程是所学过的曲线，如：直线、圆、圆锥曲线等，则可先设出含有待定系数的方程，再根据动点满足的条件，确定待定系数，从而求得动点的轨迹方程，其基本思路是：先定性，再定型，最后定量.【例3】已知二次函数)(x f 同时满足条件：（1）)1()1(x f x f -=+；（2）)(x f 的最大值为15；（3）0)(=x f 的两根的立方和等于17，求)(x f 的解析式.解：由已知，可设)0(15)1()(2<+-=a x a x f ，即152)(2++-=a ax ax x f ，设方程01522=++-a ax ax 的两根分别为21,x x ，由韦达定理得221=+x x ，ax x 15121+=⋅.而aa x x x x x x x x 902151232)(3)(321213213231-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⨯-=+-+=+， 17902=-∴a，6-=∴a . 9126)(2++-=∴x x x f .练习3：已知函数)(x f 是二次函数，不等式0)(<x f 的解集是)5,0(且)(x f 在区间]4,1[-上的最大值是12. 求)(x f 的解析式.答案：)(102)(2R x x x x f ∈-=.四、转移法（或称代入法）若已知动点),(1βαP 在曲线0),(:11=y x f C 上移动，动点),(y x P 依动点1P 而动，它满足关系：（1）⎩⎨⎧==),(),(βαβαy y x x 则关于βα,反解方程组（1）得 （2）⎩⎨⎧==),(),(y x h y x g βα 代入曲线方程0),(1=y x f ，即可得动点P 的轨迹方程0),(:=y x f C .【例4】已知直线134:=+y x l ，M 是直线l 上的一个动点，过点M 作x 轴和y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，求把有向线段AB 分成的比2=λ的动点P 的轨迹方程.解：设),(00y x M ，),(y x P ，则)0,(0x A ，),0(0y B ，点P 分有向线段AB 分成的比2=λ， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=.233,2120,2100000y y x x y y x x 又 )23,3(y x M 在直线134:=+y x l 上， ∴132343=+y x ，即0423=-+y x .练习4：求曲线x y 42=关于点)3,1(M 对称的曲线方程.答案：)2(4)6(2x y -=-.五、参数法当动点),(y x P 中坐标y x ,之间的关系直接找不出时，可设动点),(y x P 满足关于参数t 的方程组⎩⎨⎧==)()(t y y t x x （t 是参数），则由方程消去参数t ，即求得动点),(y x P 的普通方程：0),(=y x f .【例5】设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于A 、B 两点，O 是坐标原点，点P 满足)(21+=，点N 坐标为)21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：动点P 的轨迹方程.解：线l 过点)1,0(M ，设其斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .设),(11y x A ，),(22y x B ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122y x kx y ，得：032)4(22=-++kx x k ， 由韦达定理得：22142k k x x +-=+ ∴22148k y y +=+ 于是，)44,4()2,2()(21222121kk k y y x x OB OA OP ++-=++=+=. 设点P 的坐标为),(y x ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2244,4k y k k x消去参数k 得0422=-+y y x .当斜率不存在时，A 、B 中点为坐标原点)0,0(，也满足上式，所以点P 的轨迹方程为0422=-+y y x .练习5：已知抛物线x y C 4:2=，O 为原点，动直线)1(:+=x k y l 与抛物线C 交于A 、B 两点，求满足+=的点M 的轨迹方程.答案：)2(842>+=x x y .参考文献：[1] 任志鸿《十年高考分类解析与应试策略》南方出版社2006年7月第2版[2] 曲一线《高中习题化知识清单数学》首都师范大学出版社2007年5月第3版[3] 曲一线《5年高考3年模拟》（2009B版）首都师范大学出版社2007年7月第1版[4] 贾鸿玉《高考绿色通道数学》中国致公出版社2007年3月第6版[5] 全日制普通高级中学教科书《数学》第二册（必修）人民教育出版2006年11月第2版。
曲线方程的求解方法
曲线方程的求解方法在几何学中，曲线是指一类可以被完全描述的路径，由连续且无限多的点组成。
曲线方程是一种数学模型，用来描述任何一条曲线。
它是一种系统的方法，用来确定曲线的特性和位置，也可以用来确定曲线与定义域和值域的关系。
曲线方程求解的方法主要分为三大类：分析求解、数值求解、图像求解。
1、分析求解：分析求解是通过分析曲线方程的形式，把它转换成直观易于理解的形式来解决曲线方程。
当曲线方程表示出来时，它可能是曲线函数的形式，可以用积分来解决。
也可以采用计算曲线函数的局部最大值、最小值和拐点的方法来求解。
2、数值求解：数值求解是指通过近似计算曲线方程的实际值来求解曲线方程。
该方法采用数值求解法，要求用户输入一些参数，然后使用某种数值求解方法来求解曲线方程，如牛顿法、拉格朗日法等。
3、图像求解：图像求解是指通过绘制曲线图像来求解曲线方程，是一种近似的求解方法。
这种求解方法把曲线方程看成一种图形，用图形的方法来求解，如观察图形的拐点、凹点等，从而对曲线方程进行分析。
曲线方程求解是一个涉及到具体求解方法的研究课题，为了得到准确的结果，它需要用到数学分析、计算机科学、计算机图形学等多领域的知识。
另外，曲线方程求解还可以从不同的角度来进行研究，比如可以从结构的角度来求解曲线方程，对其进行模型化建模，结合经典的算法，设计新的求解方法；也可以从表示的角度来求解曲线方程，构建两维、三维的曲线表示方法，用以解决复杂曲线表达、求解曲线上的点和特征点等问题；还可以从应用的角度来求解曲线方程，如机器人导航、游戏设计等，为其开发出具有一定实用价值的曲线求解方法。
总之，曲线方程求解是一项非常重要的研究课题，也是一个相当复杂的技术领域，涉及到许多不同的知识领域，未来仍然有许多可以去挖掘的空间。
求曲线方程的方法
求曲线方程的方法一、已知特征点求曲线方程。
如果已知曲线上的一个或多个特征点，我们可以利用这些特征点来求曲线方程。
例如，如果已知曲线上的一个点坐标和曲线的斜率，我们可以利用点斜式来求出曲线方程。
又如，如果已知曲线上的三个点坐标，我们可以利用三点式来求出曲线方程。
这些方法都是通过已知特征点来确定曲线方程的常用方法。
二、已知曲线性质求曲线方程。
有时候我们知道曲线的一些性质，比如曲线的对称轴、焦点、直角坐标系中的方程等，这些性质可以帮助我们求出曲线方程。
例如，如果已知曲线是关于y轴对称的，那么曲线方程一定是关于x的偶函数；如果已知曲线经过某一点且在该点的切线斜率为2，那么我们可以利用导数的概念来求出曲线方程。
这些方法都是通过已知曲线性质来确定曲线方程的常用方法。
三、已知微分方程求曲线方程。
微分方程是描述曲线的变化规律的一种数学工具，通过微分方程我们可以求出曲线的方程。
例如，如果已知某条曲线上的点的切线斜率与该点的横纵坐标之比等于该点的纵坐标与横坐标之比，那么我们可以利用微分方程来求出曲线方程。
这是通过微分方程来确定曲线方程的常用方法。
总结。
通过以上介绍，我们可以看到求曲线方程的方法有很多种，我们可以根据已知条件的不同来选择合适的方法。
在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来选择合适的方法来求解曲线方程。
希望大家在学习数学的过程中能够灵活运用这些方法，提高数学解题的能力。
以上就是我对求曲线方程的方法的介绍，希望对大家有所帮助。
如果有任何疑问或者补充，欢迎大家留言讨论。
祝大家学习进步，谢谢！。
曲线方程求解方法
曲线方程求解方法
曲线方程求解方法：
1. 极坐标方法：这种方法通过将曲线变换为极坐标方程的形式来求解，在极坐标系中得到定义域和值域的解，继而获得曲线的参数方程和极
坐标方程。
2. 直角坐标方法：这种方法也称为田字型法，它通常用于定位曲线的
拐点及其位置。
具体做法是把曲线裁切成许多小直角矩形，根据曲线
的函数给出的上限和下限，找出它们之间的关系，继而得到曲线方程。
3. 导数方程求解方法：这个方法假设曲线是一种连续函数，以其函数
的连续导数为方程解决，可以解决许多曲线方程求解问题。
4. 霍夫曼变换：霍夫曼变换是一种数学技术，它将一个曲线转换为一
组简单的代数形式的双曲线方程，并可利用这些形式解决曲线方程求
解问题。
5. 幂级数：这种方法使用高次幂级数，用来描述曲线的形状，它可以
有效的解决曲线的复杂曲线方程，并为曲线的拐角和平整度等提供参考。
6. 四边形算法：它使用一种正方形矩形的分割，把曲线分成更小的子
曲线，然后再逐一求解每个子曲线，最后综合各子曲线把整个曲线构
造出来。
7. 马太效应：马太效应是把一个曲线的一部分按一定的定理进行移动，使曲线的某个部分变为定值或等向量，经过移动后的曲线方程和源曲
线方程是等价的，这种方法可以用来解决一些比较复杂的曲线方程。
8. 牛顿迭代法：它是一种求解非线性方程的方法，它可以通过迭代搜
索来求解非线性方程，特别对于曲线方程，可以从参数空间中搜索出
最接近曲线的方程。
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进一步理解曲线的方程和方程的曲线 的概念，掌握求曲线的方程和由方程研究曲 线性质的方法．
2．过程与方法
了解求曲线方程的几种常用方法，能 够利用它们去求曲线的方程．
重点：轨迹方程的求法．
难点：求曲线的方程的思路．
在求轨迹方程时，要注意题设条件对 变量的限制，这一点易被忽视，如求某一三 角形的顶点的轨迹方程时，要排除三点共线 的情况．求出轨迹方程后，将方程所表示的 曲线在原图中大致画一下，看有没有多余的 或漏掉的点．
求曲线方程的常用方法
(1)直接法：也叫直译法，即根据题目 条件，直译为关于动点的几何关系，再利用 解析几何的有关公式进行整理、化简．
(2)定义法：若动点的轨迹满足已知曲 线的定义，可先设定方程，再确定其中的基 本量．
(3)待定系数法：根据条件能知道曲线 方程的类型，可设出其方程形式，再根据条 件确定待定的系数．
[解析] 以 AB 中点为原点，直线 AB 为 x 轴建立直角坐 标系如图，则 A(－3,0)，B(3,0)，
设 M(x，y)，则由M→A·M→B＝－1 得，(－3－x，－y)·(3－x， －y)＝－1，
∴x2＋y2＝8 为所求.
[例 2] 已知△ABC 的两个顶点坐标为 A(－2,0)，B(0， －2)第三个点 C 在曲线 y＝3x2－1 上移动，求△ABC 重心的 轨迹方程．(注：设△ABC 顶点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3， y3)，则△ABC 重心坐标为 G(x1＋x32＋x3，y1＋y32＋y3)．)
[解析] 设C(x1，y1)，重心G(x，y)， 由重心坐标公式得3x＝－2＋0＋x1,3y＝0－2 ＋y1，
即x1＝3x＋2，y1＝3y＋2， ∵C(x1，y1)在曲线y＝3x2－1上， ∴3y＋2＝3(3x＋2)2－1.
化简得y＝9x2＋12x＋3.
故△ABC的重心的轨迹方程为y＝9x2＋ 12x＋3.(不包括和直线AB的交点)
[解析] 解法一：如图所示，设点 A(a,0)，B(0，b)，M(x，
y)，因为 M 为线段 AB 的中点，所以 a＝2x，b＝2y，即 A(2x,0)，
B(0,2y)．因为 l1⊥l2，所以 kAP·kPB＝－1.而 kAP＝24－－20x(x≠1)，
kPB＝42－－20y，
[点评] 1.直译法求轨迹方程是常用的 基本方法，大多数题目可以依据文字叙述的 条件要求，直接“翻译”列出等式整理可 得．
已知⊙O：x2＋y2＝4，P 为⊙O 上任一点，M 在 OP 上， 使得O→M＝3M→P，求点 M 的轨迹方程．
[例3] 求(x－1)2＋
[解析] 设所求对称曲线上任一点的坐标为(x，y)，它关
于 x＋y＝0 的对称点为(x1，y1)，根据对称定义知：
[例5] 已知点A(0,3)点B(3,0)，若曲线C：y＝－x2＋mx－1 与线段AB有两个不同的交点，求实数m的取值范围．
[误解] 线段 AB 所在直线方程为 x＋y－3＝0. 由xy＋ ＝y－－x32＋＝m0，x－1 消去 y 得 x2－(m＋1)x＋4＝0. 因为有两个不同的交点，所以方程 x2－(m＋1)x＋4＝0 有两个不同的实数根， 所以有 Δ＝(m＋1)2－4×1×4>0.解之得 m>3 或 m<－5. 故所求 m 的取值范围是 m>3 或 m<－5.
[辨析] 错误的原因是线段AB，而不是 直线AB.可以求出AB的方程式x＋y＝3，线段 AB的方程为x＋y－3＝0(0≤x≤3)，若抛物线与 线段AB有两个不同交点，等价于两方程组成 的方程组在[0,3]内有两组不同实数解，可借 助一元二次方程根的分布来解决．
[正解] 由错解知，x2＝(m＋1)x＋4＝0 则有
x1＋2 x＋y1＋2 y＝0 yx11－ －yx＝1
，解得xy11＝ ＝－ －yx
∵(x1，y1)在(x－1)2＋(y－1)2＝1上， ∴(x1－1)2＋(y1－1)2＝1 ∴有(－y－1)2＋(－x－1)2＝1， 即(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
[点评] 代入法适用于所求动点与另一动点有密切联 系，(这两个动点可通过具体式子联系起来)，而另一个动 点在已知定曲线上运动(或者另一个动点的几何条件好找的 情形).
(6)交轨法：求两动曲线交点轨迹时， 可由方程直接消去参数，例如求动直线的交 点时常用此法，也可以引入参数来建立这些 动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方 程．
练习
1．解析几何研究的主要问题
(1)根据已知条件表，示求曲出线的方程
；
(2)通过曲线的方程曲，线研的究性质
．
2．求曲线的方程的步骤
[例1] 过点P(2,4)作两条互相垂直的直线 l1、l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线 段AB的中点M的轨迹方程．
2．解题过程中，要注意使用某种形式 时是否受到某些条件的限制而丢掉个别点， 如使用斜率求解时限制条件是斜率存在，因 而可能漏掉斜率不存在的点．必须找一找是 否漏掉了．有时也可能使范围扩大了，多出 了不合要求的点，要通过最后的检验“防失 去伪”．
已知两个定点 A、B 的距离为 6，动点 M 满足条件M→A·M→B ＝－1，求点 M 的轨迹方程．
(4)代入法：动点M(x，y)随着动点P(x1， y1)的运动而运动，点P(x1，y1)在已知曲线C 上运动，可根据P与M的关系用x，y表示x1， y1，再代入曲线C的方程，即可得点M的轨 迹方程．
(5)参数法：选取适当的参数，分别用 参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方 程，消去参数，即得其普通方程．
[例4] 设圆C：(x－1)2＋y2＝1，过原 点O作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹 方程．
方法四：参数法． 设动弦 PQ 的方程为 y＝kx 代入圆方程得(x－1)2＋k2x2＝1 即(1＋k2)x2－2x＝0 ∴x＝x1＋2 x2＝1＋1 k2，y＝kx＝1＋k k2消去 k 即可．
[点评] 本题中的四种方法都是求轨迹方程的常用方 法，在求轨迹方程时，要注意挖掘题目的条件，恰当选取 方法．