电路分析中动态电路的电路方程

R1R2 )C duC R1 ? R2 dt
? uC
?
R2 R1 ? R2
uS
(7 ? 20)
这是以电容电压为变量的一阶微分方程。
图7-22
解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路 代替，得到图(b)所示电路，其中
Ro
?
R3 ?
R1 R 2 R1 ? R2
u oc ?
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R2 R1 ? R2
?
R1C
duC dt
?
uS
(1)
?
? ??
?
R1iL
?
R1C
duC dt
?
uC
?
0
(2)
从式(2)得到
iL
?
C
duC dt
?
1 R1 uC
将iL(t)代入式(1)中
图7-23
LC
d 2uC dt2
?
L R1
duC dt
?
(R1 ?
R2
)C
duC dt
?
(
R1
? R1
R2
)
uC
?
R1C
duC dt
?
d
u
2 C
dt
(t
2
)
?
(L ?
R1
R2C
)
d
uC (t dt
)
?
(R1 ?
R 2 )uC (t) ?
R1u S (t )
R1SCUs+Us
I2 (S)= -------------------------
R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1
R 1 LC
d
i
2 L
(
t
)
dt2
?
(L
?
R
1
R
2C
uS
图7－22(b)电路与图7－20(a)相同，直接引用式7－17可以 所得到与式7－20相同的的微分方程。
例7-11 电路如图7-23所示，以uC(t)为变量列出电路的微分 方程。
图7-23
解：以iL (t)和iC (t)为网孔电流，列出网孔方程
? ?
L
?
diL dt
?
( R1
?
R2 )iL
?
R1iC
? ??
(
R
1
?
R2 )i1 ?
R 2C
duC dt
?
uS
(1)
?
? ??
?
R 2 i1
?
(R2
?
R 3 )C
duC dt
?
uC
?
0
(2)
图7-22
从式(2)中写出i1(t)的表达式
i1 ?
( R 2 ? R 3 )C R2
duC dt
?
1 R2 uC
将 i1(t)代入式(1)，得到以下方程
(R3 ?
)
d
iL d
( t
t
)
?
(R1 ?
R2 )iL (t ) ?
R 1C
duS(t) ? dt
uS (t)
***** 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 *****
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名称
时间
名称
时间
1 电容的电压电流波形 4:16 2 电感的电压电流波形
?
R 2 iL
?
0
(2)
由式(2)求得
i1 ?
L ?diL R2 dt
? iL
代入式(1)得到
( R1
? R2)L R2
diL dt
?
( R1
?
R2 )iL
?
R2iL
?
uS
整理
(R1 ? R2 )L R2
d iL dt
?
R1iL
?
uS
(7 ? 19 )
图7-21
解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图 (b)电 路，其中
例7－8 列出图7－20所示电路的一阶微分方程。
图7-20
图7-20
解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程
uS (t) ? uR (t) ? uC (t) ? Ri(t) ? uC (t)
在上式中代入: 得到
i(t) ? C duC (t) dt
RC
duC (t) ? dt
uC (t )＝ u S (t )
?
uS
?? ? R1iL ? R1iC ? u C ? 0
? ?
L
?
diL dt
?
( R1
?
R2 )iL
?
R1iC
?
uS
?? ? R1iL ? R1iC ? u C ? 0
代入电容的VCR 方程
iC
?
C
duC dt
得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程
? ??
L
diL dt
?
(R1 ?
R 2 )iL
uS
经过整理得到以下微分方程
LC
d 2uC dt2
?
L ( R1
?
R2C
)
duC dt
?
(R1 ? R2 ) R1
uC
?
uS
这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。
L7-11s Circuit Data
元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件
类型 编号 结点 结点 支路 符 号 符 号
§7－3 动态电路的电路方程
含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然 受到KCL 、KVL 的拓扑约束和元件特性 VCR 的约 束。一般来说，根据 KCL 、KVL 和VCR 写出的电 路方程是一组微分方程。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由n阶微分方程描述的电路称为 n阶电路。
V110
Us
L212
L
R323
R1
C423
C
R530
R2
独立结点数目 = 3 支路数目 = 5
----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 -----
R1Us
U4 (S)= -------------------------
R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1
R1 LC
解一：列出网孔方程
图7-22
?( R1 ? R 2 )i1 ? R 2iC ? uS
? ?
?
R 2 i1
?
(R2
?
R 3 )iC
?
uC
?
0
? ( R1 ? R 2 )i1 ? R 2iC ? u S
? ?
?
R 2 i1
?
(R2
?
R 3 )iC
?
uC
?
0
补充方程
iC
?
C
duC dt
得到以i1(t)和u C (t)为变量的方程
Ro ?
R1R2 R1 ? R2
i SC
?
uS R1
图7-21
图7－21(b)电路与图7－20(b)电路完全相同，直接引用
式7－18可以得到
(
R
＋
1
R
2
)
L
d iL
R1R2
dt
? iL ?
uS R1
此方程与式7－19相同，这是常系数非齐次一阶微分方 程，图(a)是一阶电路。
例7-10 电路如图7-22(a)所示，以uC(t)为变量列出电路的微 分方程。
iL ( t )＝ iS ( t )
(7 ? 18 )
这是常系数非齐次一阶微分方程。图 (b) 是一阶电路。
例7-9 电路如图7－21(a)所示，以iL为变量列出电路的微分 方程。
图7-21
解一：列出网孔方程
? ?
(
R
1
?
R 2 )i1
?
R 2 iL
?
uS
(1)
? ?? ?
R 2 i1
?
L
d iL dt
(7－17 )
这是常系数非齐次一阶微分方程，图 (a) 是一阶电路。
图7-20
对于图(b)所示RL 并联电路，可以写出以下方程
iS(t) ? iR (t) ? iL (t) ? GuL (t) ? iL (t)
在上式中代入 ：
uL (t) ?
L
diL (t) dt
得到
GL
d iL (t ) dt
?