电路分析中动态电路的电路方程
电学中动态电路分析
电学中动态电路分析一、知识点回顾1.电路特点【练习】1. 在探究电路的电流规律实验时用了图8中的某个电路，已知R 1＝R 2＜R 3，电流表的读数分别是：A 1为0.3A 、A 2为0.15A 、A 3为0.45A ．测量时的电路图应是（ ）2. 某电器的内部电路如右图所示，其中R 1=12Ω。
当在A 、B 两个接线端口接入电压为10V 的电源时，电流表的示数为0.5A ；而把此电源（电压恒定）接在C 、D 两个接线端口时，电流表的示数为1A ，则下列判断中正确的一项是：A ．可求出R2和R3的阻值，分别为R2= 8Ω，R3=2ΩB ．可求出R2和R3的阻值，分别为R2= 8Ω，R3=12ΩC ．只能求出R2和R3阻值的比值，R2 ：R3=1 ：2D ．电路发生了变化，不符合控制变量法，无法计算3.如图所示电路，当开关闭合时，电压表示数为6V ，已知灯L2电阻为6Ω，电源电压为18V ，则L1的电阻为（ ） A. 1Ω B.2Ω C.3ΩD.4Ω4．电源电压保持不变，灯L 电阻为8Ω，滑动变阻器最大阻值为20Ω。
当变阻器滑片P 滑到A 端时，闭合开关S1和S2，则通过L 与滑动变阻器的电流之比为（ ）A. 2 : 5B. 5 : 2C. 3 ：2D.2 ：35. 图8所示的电路中，电源两端的电压保持不变，电阻R 2与R 3的阻值均为10Ω.闭合开关S ，电流表A 1和A 2的示数之比为2∶3.若把电流表A 1和A 2分别换成电压表V 1和V 2后，电压表V 1的示数为U 1，电压表V 2的示数为U 2.则下列选项正确的是（ ）A ．R 1＝5ΩB ．R 1＝20ΩC ．U 1∶U 2＝3∶4D ．U 1∶U 2＝4∶3图56．在练习用电压表测量的实验中，小明同学遇到了一个难题：他想测量一个电压约为18V 的电源电压，可手边只有：量程为3V 的电压表、开关、阻值为R 1＝10Ω、R 2＝20Ω、R 3＝140Ω的电阻各一只。
《电路分析》第单元精讲
t 0.5s,t 4s u( t ) u( t ) 1 t idξ t C 0.5s t 1s 如 ： 0.5s t 1s t 1s t 2s uc ( t ) uc ( 0.5 ) 2 10d 0.5 2s t 4s U 20t - 10 电压波形如图4-3(c)所示 15
线性电容的q~u 特性是过原点的直线 C= q/u
8
第四章 动态电路
2、线性电容的电压、电流关系： u, i 取关联参考方向 i + u – + – C
t u( t ) 1 i( ξ )dξ C
22:37:56
dq du i C dt dt
微分形式
积分形式
通常假设 t = t0 为计时起始时刻，上式可写为：
10A i ( t ) - 2.5A 0
0.5s t 1s 2s t 4s 其它
14
第四章 动态电路
10
is /A
10+U
22:37:56
uc /V
-2.5 0 1
2
3
4
U
2 0 1 ( c)
3
(b)
t/s
4 t/s
由积分形式的伏安关系可求得各时段的电压
U U 20t - 10 uc ( t ) U 10 U 20 - 5t
第四章 动态电路
3. 电容的储能
22:37:56
du p ui u C dt t t du 1 2 1 2 1 2 WC Cu dξ Cu (ξ ) Cu ( t ) Cu ( ) dξ 2 2 2 若u ( ) 0 1 2 1 2 Cu ( t ) q (t ) 0 2 2C
第04章动态电路的分析
5103 t t
V
5103 t
1.1e
A
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
(4)画出uC, uR, i的曲线如图:
（5） 当 t 1ms 10 3 s 时
uC 220 (1 e uR 220 e i 1.1e
5103 103
由KVL有: uR+uL=Us。 根据元件的伏安关系得
di iL R L U s dt L diL Us iL R dt R
故
t
uC (60 s ) 10 2 10 3 e
60 120
8576V 8.6k V
600 120
uC (600 s ) 10 2 10 3 e
95 .3V
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
二、 RL电路的零输入响应
由KVL得
uR u L 0
换路瞬间等效电路
第4章
动态电路分析
宁波职业技术学院信息学院电子教研室
根据KVL, uR=uC=Ri, 而i=-C(duC/dt)(式中负号表明iC与
uC的参考方向相反)。将i=-C(duC/dt)代入uC=Ri得
duC RC uc 0 dt uC Ae pt RCpAe pt Ae pt 0 ( RCp 1) Ae pt 0 RCp 1 0 p 1 RC
t RC
由换路定律知： uC(0+)=uC(0-)=U0, 即 将A=U0代入上式，得
uC Ae pt Ae
U0 Ae
0 RC
第三章 动态电路分析
1. 动态电路
动态电路分析
3.1 动态电路的基本概念
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。 动态元件电容 的电路称动态电路 当动态电路状态发生改变时（换路）需要 当动态电路状态发生改变时（换路） 特点 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这 经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。 过渡过程。 个变化过程称为电路的过渡过程 个变化过程称为电路的过渡过程。 电路结构、 换路 电路结构、状态发生变化 过渡过程产生的原因 电路内部含有储能元件L 电路内部含有储能元件 、C，电路在换路时能量发生 ， 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。 支路接入或断开 电路参数变化
③电感的初始条件
iL(0＋)= iL(0－) ψL (0＋)= ψL (0－)
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流 换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 磁链）换路前后保持不变。 （磁链）换路前后保持不变。
4. 换路定律
qc (0+) = qc (0－) uC (0+) = uC (0－)
表明
τ大
t
τ 大→过渡时间长； τ 小→过渡时间短 过渡时间长 过渡时间短 t 0 τ 2τ 3τ 5τ
uc =U0e
−
0
τ小
τ
t
U0 U0 e -1
U0 e -2
U0 e -3
U0 e -5
U0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.007U0
电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。工程上认 所需的时间。 电容电压衰减到原来电压 所需的时间 过渡过程结束。 为, 经过 3τ－5τ , 过渡过程结束。
电路分析第13讲：电感,动态方程
电感的VAR关系
dψ di u = = L dt dt
t t i(t) = 1 ∫− ∞ udξ = 1 ∫− ∞ udξ + 1 ∫tt udξ L L L = i(t ) + 1 ∫tt udξ L
0 0 0 0
20120514
北语信科院2011级计算机、数媒专业
3
讨论
(1) u的大小取决与 i 的变化率，与 i 的大小无关； u = L di 的大小无关； 的大小取决与 的变化率， (微分形式 微分形式) 微分形式 (2) 电感元件是一种记忆元件；(积分形式 电感元件是一种记忆元件； 积分形式 积分形式) (3) 当 i 为常数 直流 时，di/dt =0 → u=0。 为常数(直流 直流)时 。 电感在直流电路中相当于短路； 电感在直流电路中相当于短路； (4) 表达式前的正、负号与 ，i 的参考方向有关。当 表达式前的正、负号与u， 的参考方向有关。 u，i为关联方向时，u=Ldi/dt； 为关联方向时， ， 为关联方向时 u，i为非关联方向时，u= –Ldi/dt 。 ， 为非关联方向时， 为非关联方向时
U=RI ⇔ I=GU
20120514
I=U/R ⇔ U=I/G
北语信科院2011级计算机、数媒专业
10
知识拓展
电磁感应的应用
知识拓展：电磁感应的应用
20120514
北语信科院2011级计算机、数媒专业
12
喇叭的工作原理
20120514
北语信科院2011级计算机、数媒专业
13
喇叭的工作原理：续
21
建立动态方程的一般步骤
根据电路建立KCL和KVL方程，写出各元件 的伏安关系； 在以上方程中消去中间变量，得到所需变量 的微分方程。
专题04欧姆定律之动态电路分析
模块四电学专题04 欧姆定律之动态电路分析*知识与方法一、由滑动变阻器引起的电路中物理量的变化1.串联电路：解题方法：对于串联电路，一般的分析顺序为：滑动变阻器电阻R p的变化→电路总电阻R总的变化（R总=R+R P）→ 电路电流I的变化（U不变，I总RU=）→定值电阻R两端电压U1的变化（U1=IR）→滑动变阻器两端电压U2的变化（U2 =U−U1）快速巧解方法：根据串联电路分压规律，R p增大时，U2增大。
2.并联电路：解题方法：①电源两端电压U不变⇒通过R的电流I1不变（I1RU=）；②P的移动方向⇒滑动变阻器阻值的变化⇒滑动变阻器所在支路电流I2的变化（U不变，I2PRU=）①②⇒干路电流I的变化（I = I1+I2）二、由开关引起的电路中物理量的变化R PAV2V1SR解题方法：① 画等效电路图：分析闭合不同开关时，分别有谁连入电路；② 分析电表：电压表、电流表分别测谁；③ 根据欧姆定律、串并联电路规律和电源电压不变的条件，判断电表示数的变化。
三、由敏感电阻（光敏电阻、热敏电阻、气敏电阻、压敏电阻等）、与浮力杠杆等(加油、称体重等) 结合的应用型动态电路分析分析思路基本与“由滑动变阻器引起的电路中物理量的变化”相同四、利用变化量求定值电阻 1.U 1 = IR ，U ′1 = I ′R ，U ′1—U 1=（I —I ′）R ，ΔU 1=ΔIR2.∵U 不变，∴ΔU 1=ΔU 2∴ΔU 2=ΔIR*针对训练一、单选题1．（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）热敏电阻的阻值是随环境温度的增大而减小的．要想设计一个通过电表示数反映热敏电阻随环境温度变化的电路，要求温度升高时电表示数减小，以下电路符合要求的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】A ．由电路图可知，热敏电阻与R 0并联，电流表测并联电路干路电流．当温度升高时，热敏电阻R P AV 2 V 1 SR阻值变小，干路电流变大，故A不符合题意．B．热敏电阻与R0并联，电流表测热敏电阻的电流，当温度升高时，热敏电阻阻值变小，由IUR=可知，通过热敏电阻的电流变大，电流表示数变大，故B不符合题意．C．已知热敏电阻与R0串联，电压表测R0两端的电压，当温度升高时，热敏电阻阻值变小，根据串联电路分压原理，电压表示数变大，故C不符合题意．D．已知热敏电阻与R0串联，电压表测热敏电阻两端的电压，当温度升高时，热敏电阻阻值变小，根据串联电路分压原理，电压表示数变小，故D符合题意为答案．2．（2023秋·河北保定·九年级统考期末）如图所示是一种温度测试仪的电路，R1为定值电阻，R2为热敏电阻（阻值随温度升高而减小）。
电路分析中动态电路的电路方程
电路分析中动态电路的电路方程引言在电路分析中，我们经常遇到动态电路，即电路中存在变化的参数或信号。
为了准确地描述和分析这些动态电路，我们需要建立电路方程。
本文将介绍动态电路的电路方程的基本原理和推导过程。
电路方程的定义电路方程是描述电路中相互联系的电压和电流的方程。
对于静态电路来说，电压和电流都是常数，电路方程很简单。
但对于动态电路来说，电压和电流的值会随着时间的变化而变化，因此需要建立包含时间变化的方程。
动态电路的模型动态电路的模型一般由电感、电容和电阻组成。
其中，电感和电容是动态电路的主要元件，可以存储和释放电能。
电阻用于限制电流的流动。
根据这些元件的特性，我们可以建立动态电路的方程。
电感和电容的数学模型电感和电容在电路中的作用原理和数学模型如下：电感电感是由导体所围成的线圈或线圈所固定的绕组，当电流通过时，会产生磁场。
根据电感的特性，我们有以下数学模型：•电感的电压-电流关系：根据欧姆定律和电感的数学描述，我们可以得到电感的电压与电流的关系式为：V_L = L * dI / dt其中，V_L表示电感的电压，L表示电感的感值，dI/dt表示电流随时间的变化率。
电容电容是由两个导体之间的绝缘体隔开的装置，当电压施加在电容上时，会储存电荷。
根据电容的特性，我们有以下数学模型：•电容的电流-电压关系：根据欧姆定律和电容的数学描述，我们可以得到电容的电流与电压的关系式为：I_C = C * dV / dt其中，I_C表示电容的电流，C表示电容的电容值，dV/dt表示电压随时间的变化率。
动态电路的求解了解了电感和电容的数学模型后，现在我们可以开始建立动态电路的电路方程。
一般来说，我们可以遵循以下步骤：1.根据电路图，确定电路中的元件和其连接关系。
2.应用基本电路定律（如欧姆定律、基尔霍夫定律）建立节点方程或回路方程。
3.根据电感和电容的数学模型，将其结合到节点方程或回路方程中。
4.将电路方程转化为微分方程。
动态电路分析1
例1、如图当滑动变Biblioteka 阻器滑片P向右移A
动电压表V1的示
数_变__小__，电压表 V2的示数_变__大__,
V1
R1
R2
电流表的示数
V2
_变__小_
例2、如图，当滑片向左移动时，电
表的示数将（ B ）
A. V1变 V2变大
V1
B. V1变大 V2变小
C. V1不变 V2变大 D. V1不变 V2变大
R
10Ω，R2阻值为20Ω，当开关S1闭合，S2断开
时，电流表示数为
A，当开关S2闭合，
S1断开时，电流表示数为
A。
R1
S1
R1
S1
S2 R2
A
并联 S2 R2
A
R1
S1
串联S2 R2
A
解决此类问题的方法是：
1．利用“电流表相当于导线，电压 表相当于断路，可去除”的特点多 进行一些电路的等效变换训练。
√Ａ．电流表示数减小，电压表示数增大
Ｂ．电流表示数减小，电压表示数减小 Ｃ．电流表示数增大，电压表示数增大 Ｄ．电流表示数增大，电压表示数减小
变式一： F
传感器 变阻器
R2
V
R1
A
变式二：电阻温度变化
变阻器
(08昆明)如图所示电路中，R是一个定值电
阻，Rt是一个半导体材料制成的热敏电阻，其阻 值随温度变化的曲线如图所示，当开关闭合且电
U R' =U- UR
（2）技巧性处理方案
（主要针对电压表）
串联分压和 电阻成正比
A.分压法：R'
UR'
B.规律法：对于这样的串联电路，
当总电阻发生变化时：
电路与电子学基础_电路的动态分析
解: t<0,S闭合时: iL(0-)=4(a), uc(0-)=4(v) t>0,S打开时,根据换路定律有: uc(0+)=uc(0-)=4(v), iL(0+)=iL(0-)=4(a) t=0+时的等效电路如图（b）所示，由图可知 ic(0+)=6-uc(0+)/1=2(a) i(0+)=ic(0+)+iL(0+)=6(a) uL(0+)=6-3iL(0+)=-6（v） diL/dt(0+)=(1/L)uL(0+)=-1.5(a/s) duC/dt(0+)=(1/C)ic(0+)=0.4(v/s) t→∞时，由图(c)可知 iL(∞)=i(∞)=6/3=2(a), uc(∞)=6(v)
5.2 RC电路的动态分析 5.2.1 RC电路的零输入响应 RC(duc∕dt)+uc=0 uc=U0e-t∕RC , i=(U0∕R) e-t∕RC , τ=RC
5.2.2RC电路的零状态பைடு நூலகம்应 RC(duc∕dt)+uc=Us uc=Us(1- e-t∕RC) , i=(Us∕R) e-t∕RC
第5章 电路的动态分析
• • • • • • • 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 换路定律、初始值、稳态值 RC电路的动态分析 微分电路和积分电路 一阶电路的三要素法 RL电路的动态分析 阶跃信号和阶跃响应 二阶电路的动态分析
5.1 换路定律、初始值、稳态值
5.1.1 换路定律
5.2.3RC电路的全响应 全响应=零输入响应+零状态响应 uc=U0e-t∕RC +Us(1- e-t∕RC)=Us+(U0-US )e-t∕RC
物理电学动态电路计算公式
物理电学动态电路计算公式动态电路是指电路中的元件参数随时间变化的电路。
在动态电路中，电流、电压和电荷都是时间的函数，因此需要使用微分方程来描述电路中的动态特性。
在本文中，我们将讨论动态电路中常见的计算公式和相关的物理概念。
1. 电压和电流的关系。
在动态电路中，电压和电流的关系可以通过欧姆定律来描述。
欧姆定律表示电路中的电压和电流成正比，即电压等于电阻乘以电流。
数学公式可以表示为：V = R I。
其中V表示电压，R表示电阻，I表示电流。
这个公式适用于直流电路和交流电路中的电阻元件。
2. 电容和电感的动态特性。
在动态电路中，电容和电感是常见的元件，它们具有储存电荷和能量的特性。
电容的电压和电流的关系可以通过以下公式描述：I = C dV/dt。
其中I表示电流，C表示电容，dV/dt表示电压随时间的变化率。
这个公式表示电容的电流与电压的变化率成正比。
而对于电感元件，电压和电流的关系可以通过以下公式描述：V = L di/dt。
其中V表示电压，L表示电感，di/dt表示电流随时间的变化率。
这个公式表示电感的电压与电流的变化率成正比。
3. 电路的动态特性。
在动态电路中，电路的动态特性可以通过微分方程来描述。
微分方程可以表示电路中的电压、电流和电荷随时间的变化关系。
例如，对于一个包含电阻、电容和电压源的电路，可以通过以下微分方程描述电路的动态特性：V = L di/dt + R i + 1/C ∫i dt。
其中V表示电压源的电压，L表示电感，R表示电阻，C表示电容，i表示电流。
这个微分方程描述了电路中电压、电流和电荷的动态变化关系。
4. 交流电路中的计算公式。
在交流电路中，电压和电流的关系可以通过复数形式的欧姆定律来描述。
复数形式的欧姆定律表示电压和电流之间的关系是一个复数阻抗的乘积。
数学公式可以表示为：V = Z I。
其中V表示电压，Z表示复数阻抗，I表示电流。
这个公式适用于交流电路中的电阻、电容和电感元件。
动态电路的分析——电表示数的变化
A．电流表A1的示数变小，电压表的示数变大 B．电压表与电流表A2的示数之比变大 C．电流表A2与电流表A1的示数之差变大 D．电压表与电流表A1的示数之比变小
动态电路分析——电表示数变化
练习2.如图的电路图，开关S闭合后，以下说法正确的是（ ）
A．再将S2闭合，若向左移动滑片，电压表的示数将变小 B．再将S2闭合，若向右移动滑片，电流表的示数将变小 C．闭合S2前后电压表示数变化量与电流表示数变化量的比值变小 D．闭合S2前后电压表示数变化量与电流表示数变化量的比值不变
A．滑片P向左移动，电压表V2的示数变小 B．滑片P向左移动，电压表V1与V2的示数之差变大 C．滑片P向右移动，电压表V2与电流表A的示数之比不变
动态电路分析——电表示数变化
练 习 3 . 如 图 所 示 的 电路 中 ，电 源 电压 保 持不 变 且元 件 完好 。 只闭 合 S 1，两 电 表均 有 示数 。 则下 列 判断正确的是（ ）
② 滑片移动时，电路中电阻的变化情况（R滑R总）
③ 根据欧姆定律
串联电路：I
=I =I 12
U = U 1+U2
并联电路：I =I +I 12
U =U1 =U 2
分析电路中各个电表示数的变化
动态电路的分析——电表示数的变化
例1.
D
动态电路的分析——电表示数的变化 例2.
D
动态电路分析——电表示数变化
动态电路的分析 ——电表示数的变化
动态电路的分析——电表示数的变化
动态电路：
由于电路中开关的闭合或断开 或滑动变阻器滑片位置的改变
电路动态分析五步法
电路动态分析五步法作者：赵亮来源：《中学生数理化·教研版》2009年第12期电路动态分析问题是电学知识的一个重要知识点.它考察电路的基本知识,综合性很强.许多材料的解释复杂,学生无法下手,打不开思路.在教学中,我对这类题进行了对比,总结出了一种简单流畅、有效实用的方法,我称其为“电路动态分析五步法”.下面将此法介绍给大家.一、五步法内容总总内外拓展一外2拓展二:I=I2二、内容解释第一步:电路某阻值变化与总阻值变化相同.总其他=R2(1+R2第二步:总电流变化与总阻值变化相反.总第三步:内压变化与总电流变化相同.内=Ir第四步:外压与内压变化相反.内外第五步:拓展一:外压等于各部分电压之和.外+U2拓展二:总电流等于并联各支路电流之和.2注意:(1)拓展一和拓展二相互利用.(2)前四步简单易懂,关键是对第五步的理解运用.三、“五步法”的应用例1 如图2,电路中、R2、和皆为定值电阻为可变电阻,电源的电动势为E,内阻为设电流表A的读数为I,电压表V的读数为U.当的滑动触点向图中a 端移动时().变大,U变小变大,U变大变小,U变大变小,U变小解:当触点总向图中a端移动时减小.总总内外拓展一外外拓展二总=I2I22总=I2答案为例2 如图3,电路中,A、B、C、D是四只相同的电灯,当滑动变阻器的滑片向上滑动时,下列说法正确的是().灯变亮灯变亮灯变亮灯变亮解:滑片向上滑动增大.总总内外外所以A灯变亮.拓展一总.总B灯变暗.拓展二外外C灯变亮.拓展三D灯变暗.答案为AC.通过“五步法”的理解可以总结一些小规律,应用起来解决问题非常快捷.规律变化与其两端电压变化相同.规律变化与其流过的电流变化相反.。
电路的动态分析
V
V
A
R0
V2 V I总
U E Ir
U2
A
R3
A2
A1
V2
U2
V1
2.“串反并同”结论法
①所谓“串反”，即某一电阻增大时，与它串联或间接串联
的电阻中的电流、两端电压、电功率都将减小，反之则增大；
R4 R3
R1
R2
R1、R2直接串联 R1、R3间接串联
①所谓“并同”，即某一电阻增大时，与它并联或间接串并联 的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大，反之则减小；
一.电路的动态分析
1.电路动态变化问题是指由于断开或闭合开关、滑动变阻器
滑片等造成电路结构发生了变化，一处变化引起了一系列的
变化，对它们的分析要熟练掌握闭合电路欧姆定律，部分电 路欧姆定律，串、并联电路的电压、电流关系。
E 闭合电路欧姆定律： I R外 r U 部分电路欧姆定律： I R 串联电路：U1：U 2：U 3： : U n R1：R2：R3： : Rn 1 1 1 1 并联电路：I1：I 2：I 3： : In ： ： ： : R1 R2 R3 Rn
总电阻变大，故灯泡A分得的电压变大，B的电压减小，B灯变
暗；当R3断路后，与R2的断路相反，灯泡B会变亮，而灯A断 路与电阻R2断路的情况相似，灯B也不会变亮，故AC是正确的。
例：在如图所示的电路中，当开关S闭合时，电灯不亮，电 流表无读数，电压表读数接近为电源电压，以下可能的情况 是( )
A． 电流表中断路，L1和L2都完好
2.分析方法
（1）程序法
动态电路方程
4.2.1 方程的建立
图 4.2 – 1 RC串联电路
电路中开关的接通、断开或者电路参数的突然变化等 统称为“换路”。 根据KVL列出电路的回路电压方程为
u R (t ) uC (t ) u s (t )
由于
iC
du C dt
du C dt
, u R Ri RC
uC (0 ) uC (0 ) iL ( 0 ) iL ( 0 )
根据置换定理，在t=t0+ 时，用电压等于u(t0+)的电压
源替代电容元件，用电流等于iL(t0+)的电流源替代电感元件， 独立电源均取t=t0+时的值。
例 4.2-1 电路如图4.2-4(a)所示。已知 t＜0时电路已处 于稳定。在 t=0时，开关S开启，求初始值 uC(0+)、 i1(0+)、
di L dt
将它们代入上式， 整理后可得
di L dt
R L
iL
R L
is
（4.2-2）
图 4.2 – 3 RLC串联电路
图4.2-3所示RLC串联电路，若仍以电容电压uC(t)作为电 路响应，根据KVL可得
u L (t ) u R (t ) uC (t ) u s (t )
(3) 计算非独立初始值。用电压等于 uC(0+)=12 V的电压源
代替电容元件，用电流等于iL(0+)=4A的电流源代替电感元件， 并注意换路后开关S处于位置2，画出0+时刻等效电路如图(c)所
示。 由图(c)电路， 求得非独立初始值为
iR (0 ) u C (0 ) 4 12 4 3A
《电路基础》第8章：线性动态电路分析
对于直流一阶电路，只要知道了电路的时间常 数τ、换路后的初始值y(0+)和稳态值y(∞)，就可以 确定其响应。因此，称时间常数τ、换路后的初始 值y(0+)和稳态值y(∞)为直流一阶电路的三要素。利 用三要素公式求解直流一阶电路的响应的方法，称 为三要素法。 三要素法的关键是确定三要素，其求解方法如下 (1) 利用换路前的动态元件的初始值，换路定律和 t=0+的等效电路求得换路后的初始值。 (2) 由换路后t=∞的等效电路求出换路后的稳态值。 (3) 时间常数只与换路后电路的结构和参数有关， RC电路τ=RC，RL电路τ=L/R，其中电阻R是换 路后，在动态元件外的戴维南等效电路的内阻。
τ= RC
对于RL电路，时间常数为：
L τ= R
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可以看出，时间常数τ与时间t的量纲一样，故 其单位为秒(S)
在动态电路中，外加激励电源为零，而动态 元件有初始储能时，则电路的响应由初始储能产 生，所激发的响应称为零输入响应。 而外加激励电源不为零，而动态元件无初 始储能时，则电路的响应由外加激励产生，所激 发的响应称为零状态响应。
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8.1.2 换路定理
换路：电路工作条件发生变化，如电源的接通 或切断，电路连接方法或参数值的突然变化等 称为换路。 换路定理：电容上的电压uC及电感中的电流iL 在换路前后瞬间的值是相等的，即：
u C (0 ) u C (0 ) iL ( 0 ) i L ( 0 )
uC (¥ ) 24 = A = 2.67A R2 9 uC (¥ ) 24 = A = 1.33A R3 18
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8.3 动态电路的电路方程
(a) RC一阶电路
(b) RL一阶电路
动态电路的状态方程
半状态描述 (semi-state description) (semi描述 系统
& Ex = Ax + Cu
E为奇异矩阵
广义系统（ system） 广义系统（Descriptor system）
Descriptor Form
独立完备状态变量 uC和iL选作电路的状态变量 两个术语
全电容回路 仅由电容和电压源组成的回路 全电容回路又称为 全电容回路又称为纯电容回路 又称为纯电容回路
矩阵形式
duC dt 0 di1 = − 1 dt L1 di2 − 1 dt L 2 1 C 0 0 1 C u 0 C 1 0 i1 + i L1 2 1 R − L2 L2 0 u s 0 is R − L2
duC 2 = iL − i dt
i = uC
duC 2 = −uC + iL dt
1Ω 1H
iL
＋
2F
uC
4
1Ω
2 1 3
＋
us
－
－
5
对基本回路列写KVL方程
diL = −uC − iL + us dt
写成标准形式
duC dt −0.5 0.5 uC 0 = i + 1 us diL −1 −1 L dt
＋
u1
is
i1
－
duC 1 1 = i1 + i2 dt C C
di1 1 1 = − uC + us dt L1 L1
di2 1 R R 1 = − uC − i2 − is + us dt L2 L2 L2 L2
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(7－17 )
这是常系数非齐次一阶微分方程，图 (a) 是一阶电路。
图7-20
对于图(b)所示RL 并联电路，可以写出以下方程
iS(t) ? iR (t) ? iL (t) ? GuL (t) ? iL (t)
在上式中代入 ：
uL (t) ?
L
diL (t) dt
得到
GL
d iL (t ) dt
?
uS
经过整理得到以下微分方程
LC
d 2uC dt2
?
L ( R1
?
R2C
)
duC dt
?
(R1 ? R2 ) R1
uC
?
uS
这是常系数非齐次二阶微分方程，图示电路是二阶电路。
L7-11s Circuit Data
元件 支路 开始 终止 控制 元 件 元 件
类型 编பைடு நூலகம் 结点 结点 支路 符 号 符 号
解一：列出网孔方程
图7-22
?( R1 ? R 2 )i1 ? R 2iC ? uS
? ?
?
R 2 i1
?
(R2
?
R 3 )iC
?
uC
?
0
? ( R1 ? R 2 )i1 ? R 2iC ? u S
? ?
?
R 2 i1
?
(R2
?
R 3 )iC
?
uC
?
0
补充方程
iC
?
C
duC dt
得到以i1(t)和u C (t)为变量的方程
?
R1C
duC dt
?
uS
(1)
?
? ??
?
R1iL
?
R1C
duC dt
?
uC
?
0
(2)
从式(2)得到
iL
?
C
duC dt
?
1 R1 uC
将iL(t)代入式(1)中
图7-23
LC
d 2uC dt2
?
L R1
duC dt
?
(R1 ?
R2
)C
duC dt
?
(
R1
? R1
R2
)
uC
?
R1C
duC dt
?
§7－3 动态电路的电路方程
含有储能元件的动态电路中的电压电流仍然 受到KCL 、KVL 的拓扑约束和元件特性 VCR 的约 束。一般来说，根据 KCL 、KVL 和VCR 写出的电 路方程是一组微分方程。
由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。 由二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。 由n阶微分方程描述的电路称为 n阶电路。
例7－8 列出图7－20所示电路的一阶微分方程。
图7-20
图7-20
解：对于图(a)所示RC串联电路，可以写出以下方程
uS (t) ? uR (t) ? uC (t) ? Ri(t) ? uC (t)
在上式中代入: 得到
i(t) ? C duC (t) dt
RC
duC (t) ? dt
uC (t )＝ u S (t )
R1R2 )C duC R1 ? R2 dt
? uC
?
R2 R1 ? R2
uS
(7 ? 20)
这是以电容电压为变量的一阶微分方程。
图7-22
解二：将连接电容的含源电阻单口网络用戴维宁等效电路 代替，得到图(b)所示电路，其中
Ro
?
R3 ?
R1 R 2 R1 ? R2
u oc ?
R2 R1 ? R2
V110
Us
L212
L
R323
R1
C423
C
R530
R2
独立结点数目 = 3 支路数目 = 5
----- 结 点 电 压 , 支 路 电 压 和 支 路 电 流 -----
R1Us
U4 (S)= -------------------------
R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1
R1 LC
uS
图7－22(b)电路与图7－20(a)相同，直接引用式7－17可以 所得到与式7－20相同的的微分方程。
例7-11 电路如图7-23所示，以uC(t)为变量列出电路的微分 方程。
图7-23
解：以iL (t)和iC (t)为网孔电流，列出网孔方程
? ?
L
?
diL dt
?
( R1
?
R2 )iL
?
R1iC
?
uS
?? ? R1iL ? R1iC ? u C ? 0
? ?
L
?
diL dt
?
( R1
?
R2 )iL
?
R1iC
?
uS
?? ? R1iL ? R1iC ? u C ? 0
代入电容的VCR 方程
iC
?
C
duC dt
得到以iL(t)和uC(t)为变量的方程
? ??
L
diL dt
?
(R1 ?
R 2 )iL
)
d
iL d
( t
t
)
?
(R1 ?
R2 )iL (t ) ?
R 1C
duS(t) ? dt
uS (t)
***** 符 号 网 络 分 析 程 序 ( SNAP 2.11 ) 成电 七系--胡翔骏 *****
根据教学需要，用鼠标点击名称的方法放映相关录像。
名称
时间
名称
时间
1 电容的电压电流波形 4:16 2 电感的电压电流波形
? ??
(
R
1
?
R2 )i1 ?
R 2C
duC dt
?
uS
(1)
?
? ??
?
R 2 i1
?
(R2
?
R 3 )C
duC dt
?
uC
?
0
(2)
图7-22
从式(2)中写出i1(t)的表达式
i1 ?
( R 2 ? R 3 )C R2
duC dt
?
1 R2 uC
将 i1(t)代入式(1)，得到以下方程
(R3 ?
d
u
2 C
dt
(t
2
)
?
(L ?
R1
R2C
)
d
uC (t dt
)
?
(R1 ?
R 2 )uC (t) ?
R1u S (t )
R1SCUs+Us
I2 (S)= -------------------------
R1SCSL+SL+R1R2SC+R2+R1
R 1 LC
d
i
2 L
(
t
)
dt2
?
(L
?
R
1
R
2C
Ro ?
R1R2 R1 ? R2
i SC
?
uS R1
图7-21
图7－21(b)电路与图7－20(b)电路完全相同，直接引用
式7－18可以得到
(
R
＋
1
R
2
)
L
d iL
R1R2
dt
? iL ?
uS R1
此方程与式7－19相同，这是常系数非齐次一阶微分方 程，图(a)是一阶电路。
例7-10 电路如图7-22(a)所示，以uC(t)为变量列出电路的微 分方程。
?
R 2 iL
?
0
(2)
由式(2)求得
i1 ?
L ?diL R2 dt
? iL
代入式(1)得到
( R1
? R2)L R2
diL dt
?
( R1
?
R2 )iL
?
R2iL
?
uS
整理
(R1 ? R2 )L R2
d iL dt
?
R1iL
?
uS
(7 ? 19 )
图7-21
解二：将含源电阻单口用诺顿等效电路代替，得到图 (b)电 路，其中
iL ( t )＝ iS ( t )
(7 ? 18 )
这是常系数非齐次一阶微分方程。图 (b) 是一阶电路。
例7-9 电路如图7－21(a)所示，以iL为变量列出电路的微分 方程。
图7-21
解一：列出网孔方程
? ?
(
R
1
?
R 2 )i1
?
R 2 iL
?
uS
(1)
? ?? ?
R 2 i1
?
L
d iL dt