人教新课标版数学高二-选修2-3限时练 2.4正态分布
人教新课标版数学高二人教A选修2-3试题 2.4正态分布
选修2-3 第二章 2.4一、选择题1．(2013·河南安阳中学高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] ∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.2．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.3．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] [答案] C[解析] 由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是： 60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人， 60×0.9974≈60人．4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( )A ．7B ．10C ．3D ．6[答案] C[解析] ∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个． 5．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，则P (－3<ξ<5)＝( )(参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974[答案] B[解析] 由ξ～N (1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.6．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎫1－μσD ．2Φ(μ＋σ) [答案] B[解析] 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝P (－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)可向标准正态分布N (0,1)转化． 二、填空题7．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －(x －3)22，x ∈R 的图象关于直线________对称，f (x )的最大值为________．[答案] x ＝312π8．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以正态分布的数学期望是1. 9．(2013·景德镇市高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于________．[答案] 0.3[解析] ∵ξ～N (2，σ2)，∴P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝0.2.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12×[1－2P (ξ≥4)]＝12×[1－2×0.2]＝0.3.三、解答题10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝12π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)．一、选择题11．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝22＝4，∴D (η)＝1.12．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40% [答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1， ∴P (ξ>120)＝0.1，∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)]＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D.[点评]解决正态分布问题，一定要注意抓住其对称轴，若ξ～N(μ，σ2)，则对称轴ξ＝μ.13．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析]根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.二、填空题14．随机变量ξ～N(1,42)，若η＝4－3ξ，则E(η)＝__________________.[答案] 1[解析]由条件知E(ξ)＝1，E(η)＝4－3E(ξ)＝1.15．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．[答案](24.94,25.06)[解析]正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．三、解答题16．某个工厂的工人月收入服从正态分布N(500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？[解析]设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N(500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．17．实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30、40、50、60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818，P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418.所以ξ的分布列为E (ξ)＝30×118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453.。
人教新课标版数学高二-人教数学选修2-3练习 2.4正态分布(备选)
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高中数学 选修2-3 第二章 2.4
1．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，P (ξ≤4)＝0.84，则P (ξ<0)＝( )
A ．0.16
B ．0.32
C ．0.68
D ．0.84
[答案] A
[解析] 由条件知μ＝2，
∴P (ξ<0)＝P (ξ>4)＝1－P (ξ≤4)＝0.16.
2．(2013·玉溪一中月考)设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值等于( )
A ．73
B ．53
C ．5
D ．3 [答案] A
[解析] 已知ξ～N (3,4)，所以μ＝3，
又因为P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，
所以(2a －3)＋(a ＋2)2＝3，解得a ＝73
. 3．已知某种零件的尺寸ξ(单位：mm)服从正态分布，其正态曲线在(0,80)上是增函数，
在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π
. (1)求概率密度函数；
(2)估计尺寸在72mm ～88mm 间的零件大约占总数的百分之几？
[解析] (1)由于正态曲线在(0,80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处取得最大值，因此得μ＝80. 12π·σ＝182π
，所以σ＝8. 故概率密度函数解析式是φμ，σ(x )＝182π
e －(x －80)2128. (2)尺寸在72mm ～88mm 之间的零件的百分率，即在(80－8,80＋8)之间的概率为68.26%.。
人教新课标B版高中数学高二选修2-3学案 2.4 正态分布
学习目标 1.通过实际问题，了解什么是正态曲线和正态分布.2.认识正态曲线的特点及曲线所表示的意义.3.会根据正态曲线的性质求随机变量X在某一范围内的概率．1．概率密度曲线(1)特点：曲线位于横轴的______，它与横轴一起所围成的面积为____．(2)意义：概率密度曲线反映变化规律所起的作用与离散型随机变量分布列的作用是______的．2．正态变量的概率密度函数正态变量概率密度曲线的函数表达式为f(x)＝________，x∈R，其中μ，σ是参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞，μ和σ分别为正态变量的__________和________．3．正态曲线(1)概念：正态变量的概率密度函数的______．(2)性质①曲线在x轴的上方，并且关于直线______对称；②曲线在x＝μ时处于______点，并且由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“____________________”的形状；③曲线的形状由参数____确定，______，曲线越“矮胖”；______，曲线越“高瘦”．4．正态分布在三个特殊区间内取值的概率P(μ－σ<X<μ＋σ)＝______；P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝______；P(μ－3σ<X<μ＋3σ)＝______.类型一正态曲线及其性质例1如图所示的是一个正态曲线，试根据该图象写出其正态分布的概率密度函数的解析式，求出总体随机变量的期望和方差．反思与感悟利用图象求正态分布密度函数的解析式，应抓住图象的两个实质性特点：一是对称轴为x＝μ，二是最大值为1.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f(x)2πσ中便可求出相应的解析式．跟踪训练1设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1>0)和N(μ2，σ22)(σ2>0)的正态曲线如图所示，则有()A．μ1<μ2，σ1<σ2B．μ1<μ2，σ1>σ2C．μ1>μ2，σ1<σ2D．μ1>μ2，σ1>σ2类型二利用正态分布的对称性求概率例2设X～N(1,22)，试求：(1)P(－1<X<3)；(2)P(3<X<5)；(3)P(X>5)．引申探究本例条件不变，若P(X>c＋1)＝P(X<c－1)，求c的值．反思与感悟利用正态分布求概率的两个方法(1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：①P(X<a)＝1－P(X>a)．②P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)．(2)“3σ”法：利用X落在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．跟踪训练2(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于() A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2(2)设X～N(6,1)，求P(4<X<5)．类型三正态分布的应用例3设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．反思与感悟解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．跟踪训练3 有一种精密零件，其尺寸X (单位：mm)服从正态分布N (20,4)．若这批零件共有5 000个，试求：(1)这批零件中尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比；(2)若规定尺寸在24～26 mm 间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的正态曲线如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，下列说法中正确的是( )A ．甲科总体的标准差最小B ．丙科总体的平均数最小C ．乙科总体的标准差及平均数都居中D ．甲、乙、丙总体的平均数不相同2．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．不能确定3．已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1 000名学生的某次考试成绩X 服从正态分布N (90,152)，则此次考试成绩在区间(60,120)内的学生大约有( )A ．997人B ．972人C ．954人D ．683人4．设X ～N ⎝⎛⎭⎫－2，14，则X 落在(－3.5，－0.5)内的概率是( ) A ．95.4% B ．99.7% C ．4.6%D ．0.3%5．设随机变量X ～N (0,1)，求P (X <0)，P (－2<X <2)．1．理解正态分布的概念和正态曲线的性质． 2．正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P (μ－σ<X <μ＋σ)，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)的值． (2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间的面积为1这两个特点． ①正态曲线关于直线x ＝μ对称，从而在关于x ＝μ对称的区间上概率相等． ②P (X <a )＝1－P (X >a )，P (X <μ－a )＝P (X >μ＋a )， 若b <μ，则P (X <μ－b )＝1－P (μ－b <X <μ＋b )2.答案精析知识梳理1．(1)上方 1 (2)相同 2.12πσ22()2e x u σ-- 数学期望 标准差3．(1)图象 (2)①x ＝μ ②最高 中间高，两边低 ③σ σ越大 σ越小 4．68.3% 95.4% 99.7% 题型探究例1 解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x ＝20对称，最大值是12π，所以μ＝20. 由12π·σ＝12π，解得σ＝ 2. 于是概率密度曲线的函数解析式是 f (x )＝12π2(20)4e x --，x ∈(－∞，＋∞)，总体随机变量的期望是μ＝20，方差是σ2＝(2)2＝2. 跟踪训练1 A例2 解 因为X ～N (1,22)， 所以μ＝1，σ＝2.(1)P (－1<X <3)＝P (1－2<X <1＋2) ＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683. (2)因为P (3<X <5)＝P (－3<X <－1)，所以P (3<X <5)＝12[P (－3<X <5)－P (－1<X <3)]＝12[P (1－4<X <1＋4)－P (1－2<X <1＋2)]＝12[P (μ－2σ<X <μ＋2σ)－P (μ－σ<X <μ＋σ)]＝12×(0.954－0.683)≈0.136.(3)P (X >5)＝P (X <－3)＝12[1－P (－3<X <5)]＝12[1－P (1－4<X <1＋4)]＝0.023.引申探究解 因为X 服从正态分布N (1,22)，所以对应的正态曲线关于x ＝1对称．又P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)， 因此(c ＋1)＋(c －1)2＝1，即c ＝1.跟踪训练2 (1)C(2)解 由已知得μ＝6，σ＝1.∵P (5<X <7)＝P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，P (4<X <8)＝P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954. 如图，由正态分布的对称性知，P (4<x <5)＝P (7<x <8)，∴P (4<x <5)＝12[P (4<x <8)－P (5<x <7)]＝12×0.271≈0.136.例3 解 由题可知μ＝110，σ＝20， P (X >90)＝P (X －110>－20)＝P (X －μ>－σ)，∵P (X －μ<－σ)＋P (－σ<X －μ<σ)＋P (X －μ>σ)＝2P (X －μ<－σ)＋0.683＝1， ∴P (X －μ<－σ)＝0.159， ∴P (X >90)＝1－P (X －μ<－σ) ＝1－0.159＝0.841.∴54×0.841≈45(人)，即及格人数约为45. ∵P (X >130)＝P (X －110>20)＝P (X －μ>σ)，∴P (X －μ<－σ)＋P (－σ<X －μ<σ)＋P (X －μ>σ)＝0.683＋2P (X －μ>σ)＝1， ∴P (X －μ>σ)≈0.159， 即P (X >130)≈0.159.∴54×0.159≈8(人)，即130分以上的人数约为8. 跟踪训练3 解 (1)∵X ～N (20,4)， ∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，∴尺寸在18～22 mm 间的零件所占的百分比大约是68.3%. (2)∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，∴尺寸在14～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16～24 mm 间的零件所占的百分比大约是95.4%.∴尺寸在24～26 mm 间的零件所占的百分比大约是99.7%－95.4%2＝2.15%.因此尺寸在24～26 mm 间的零件大约有5 000×2.15%≈107(个)． 当堂训练1．A 2.C 3.C 4.B5．解 对称轴为X ＝0，故P (X <0)＝0.5， P (－2<X <2)＝P (0－2×1<X <0＋2×1)＝0.954.。
人教新课标A版高二数学《选修2-3》2.4 正态分布
O
x
(5)当一定时,曲线随着的变化而沿x轴平移 (6)当一定时,曲线的形状由的确定.
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中; 越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散.
若X~N(,2),则对于任何实数a>0,概率
P a X a
dx , a x a
大约应有57人的分数在下列哪个区间内？（ C ）
A.(90,110] B.(95,125] C.(100,120] D.(105,115]
2.已知X~N (0,1)，则X在区间 (, 2) 内取值的概率等于（ D ） A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228
3.设离散型随机变量X~N(0,1),则 P( X
a
P X 0.6826
P 2 X 2 0.9544 P 3 X 3 0.9974
3原则 通常认为服从于正态分布N(,2)的随机变量X只取 (-3,+3)之间的值.
课堂小结
b a
如果对于任何实数a<b,随机变量X满足 b Pa X b , x dx a
则称X的分布为正态分布 记N , 2 X服从正态分布,则记 X ~ N , 2
是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值去
估计；
是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去
第二章 随机变量及其分布
2.4 正态分布
知识回顾
随机变量的方差
性质
意义
D(aX+b)=a2D(X)
若X服从两点分布,则DX=p(1-p)
若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p)
人教新课标版数学高二-高中数学选修2-3效果检测 2.4正态分布
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课堂达标·效果检测1.在某项测量中,测量结果ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4,则ξ在(-∞,4)内取值的概率为( ) A.0.1 B.0.2 C.0.8 D.0.9【解析】选D.正态曲线关于直线x=2对称,则P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4)=0.4,所以P(ξ<4)=P(ξ≤2)+P(2<ξ<4)=0.5+0.4=0.9.2.设随机变量X～N(μ,σ2),则随着σ的增大,概率P(|x-μ|<3σ)将会( ) A.单调增加 B.单调减少C.保持不变D.增减不定【解析】选C.服从正态分布的随机变量X,不论μ,σ怎么变化,P(|x-μ|<3σ)总等于0.9974.3.若随机变量ξ～N(0,1),且ξ在区间(-3,-1)和(1,3)内取值的概率分别为P1,P2,则P1,P2的关系为.【解析】因为随机变量ξ～N(0,1),所以正态曲线关于x=0对称,所以(-3,-1)和(1,3)是两个对称的区间,因为ξ在区间(-3,-1)和(1,3)内取值的概率分别为P1,P2,所以P1=P2.答案:P1=P24.已知某工厂生产的某种型号的卡车轮胎的使用寿命(单位:km)服从正态分布N(36203,48272).一汽车公司一次性从该厂买了500个轮胎,利用正态分布估计使用寿命在36203-2×4827～36203+2×4827范围内的轮胎个数是多少.【解析】因为卡车轮胎的使用寿命服从正态分布N(36203,48272),所以P(36203-2×4827～36203+2×4827)=0.9544.因为汽车公司一次性从该厂买了500个轮胎,所以使用寿命在36203-2×4827～36203+2×4827范围内的轮胎个数是500×0.9544≈477(个).关闭Word文档返回原板块。
人教新课标版数学高二选修2-3学习方略练习2.4正态分布
课时提升卷(十七)正态分布(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共30分)1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=,则这个正态总体的均值与标准差分别是( )A.10与8B.10与2C.8与10D.2与102.(2013·揭阳高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),则c= ( )A.1B.2C.3D.43.(2013·潍坊高二检测)已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2), 且P(ξ<4)=0.8,则P(0<ξ<2)= ( )A.0.6B.0.4C.0.3D.0.24.已知一次考试共有60名同学参加,考生的成绩X～N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A.(90,110]B.(95,125]C.(100,120]D.(105,115]5.(2013·孝感高二检测)如图是正态分布N(0,1)的正态曲线图,下面3个式子中,等于图中阴影部分面积的个数为注:Φ(a)=P(X ≤a) ( )①-Φ(-a) ②Φ(1-a) ③Φ(a)-A.0B.1C.2D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·辽宁师大附中高二检测)如果随机变量X～N(μ,σ2),且E(X)=3,D(X)=1,且P(2≤X≤4)=0.6826,则P(X>4)= .7.下面四种说法:①正态曲线f(x)=关于直线x=μ对称;②正态分布N(μ,σ2)在区间(-∞,μ)内取值的概率小于0.5;③服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的情况在一次试验中几乎不可能发生;④当μ一定时,σ越小,曲线越“矮胖”.其中正确的序号是.8.正态总体N(0,1)中数值落在(-∞,-3)∪(3,+∞)的概率为.三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.设X～N(2,4),试求下面的概率:(1)P(2<X<4).(2)P(-2<X<0).10.若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为.(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式.(2)求正态总体在(-4,4]上的概率.11.(能力挑战题)某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);第二条路较长但不拥挤,X服从正态分布N(6,0.16).有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线?若离点名时间还有6.5分钟,问他应选哪一条路线?答案解析1.【解析】选B.由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.【误区警示】本题易因对正态曲线的函数解析式掌握不牢而出错.2.【解析】选B.由正态分布的特征可知c+1与c-1两数关于直线x=2对称,故=2,故c=2.3.【解题指南】正态曲线的对称轴是x=2,再结合图形求解.【解析】选C.如图,正态分布的密度函数图象如图所示,函数关于直线x=2对称,所以P(ξ<2)=0.5,并且P(0<ξ<2)=P(2<ξ<4),则P(0<ξ<2)=P(ξ<4)-P(ξ<2)=0.8-0.5=0.3.4.【解析】选C.由于X～N (110,52),所以μ=110,σ=5.因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率应分别是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试,所以成绩位于上述三个区间的人数分别是:60×0.6826≈41(人),60×0.9544≈57(人),60×0.9974≈60(人). 5.【解析】选C.因为Φ(-a)=P(X≤-a),所以图中阴影部分面积等于-P(X ≤-a)=-Φ(-a),再根据图象的对称性可知图中阴影部分面积等于P(X ≤a)-=Φ(a)-,故正确的个数为①③两个.6.【解析】因为X～N(μ,σ2),E(X)=3,D(X)=1,故μ=3,σ2=1.又P(2≤X≤4)=P(μ-σ≤X≤μ+σ)=0.6826,故P(X>4)==0.1587.答案:0.15877.【解析】由正态曲线的对称性和小概率事件可知①③正确.②中的概率应为0.5,④中σ越小,曲线越“瘦高”.答案:①③8.【解题指南】利用正态分布的“3σ原则”求解.【解析】P(0-3<ξ<0+3)=99.74%,所以所求概率为1-99.74%=0.26%=0.0026.答案:0.0026【变式备选】设随机变量ξ服从正态分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,则P(|ξ|<1.96)=( )A.0.025B.0.050C.0.950D.0.975【解析】选C.P(|ξ|<1.96)=1-2P(ξ<-1.96)=1-0.050=0.950.9.【解题指南】利用正态分布密度曲线的对称性及3σ原则求解. 【解析】(1)因为P(2<X<4)=P(0<X<4)=P(μ-σ<X<μ+σ)=×0.683=0.3415.(2)P(-2<X<0)=[P(-2<X<6)-P(0<X<4)]=[P(μ-2σ<X<μ+2σ)-P(μ-σ<X<μ+σ)]=×(0.954-0.683)=0.1355.10.【解题指南】要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式,关键是求解析式中的两个参数μ,σ的值,其中μ决定曲线的对称轴的位置,σ则与曲线的形状和最大值有关.【解析】(1)由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以其图象关于y轴对称,即μ=0.由=,得σ=4.故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ,σ(x)=,x∈(-∞,+∞).(2)P(-4<X≤4)=P(0-4<X≤0+4)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826.11.【解题指南】计算两条路线能及时到达的概率大小,依次作出判断. 【解析】还有7分钟时,若选第一条路线, X服从N(5,1),能及时到达的概率P1=P(X≤7)=P(X ≤5)+P(5<X≤7)=+P(μ-2σ<X≤μ+2σ),若选第二条路线,X服从N(6,0.16),能及时到达的概率P2=P(X≤7) =P(X≤6)+P(6<X≤7)=+P(μ-2.5σ<X≤μ+2.5σ)所以P1<P2,选第二条路线.同理,还有6.5分钟时,选第一条路线.。
人教版高中数学选修2-3练习：第二章2.4正态分布
第二章随机变量及其散布2.4正态散布A 级基础稳固一、选择题．设随机变量X ～N(1，2，则1X ＝()1 2 ) D 2A ．4．21D．1B C.2分析：由于 X～ N(1，22)，因此 D(X)＝4.11因此 D 2X ＝4D(X)＝1.答案： D．设两个正态散布22μ，σ σ＞0)和 N(μ，σ σ＞0)的密度2N(11)( 122)(2函数图象如下图，则有 ()＜μ，σ＜σ＜μ，σ＞σA．μ1212B．μ1212＞μ，σ＜σ＞μ，σ＞σC．μ1212D．μ1212分析：μ反应的是正态散布的均匀水平，x＝μ是正态密度曲线的对称轴，由图可知μ＜μ；σ反应的正态散布的失散程度，σ越大，12越分别，曲线越“矮胖”，σ越小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知σ＜σ.12答案： A3． (2015 ·山东卷 )已知某批部件的长度偏差(单位：毫米 )听从正态散布 N(0，32)，从中随机取一件，其长度偏差落在区间(3，6)内的概率为()2[附：若随机变量ξ听从正态散布N(μ，σ)，则 P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%]A．4.56%B．13.59%C．27.18%D．31.74%分析：由正态散布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故 P(3＜ξ＜6)＝P（－ 6＜ξ＜6）－ P（－ 3＜ξ＜3）0.954 4－0.682 62＝2＝0.135 9＝13.59%.答案： B4．若随机变量 X 的密度函数为 f(x)＝ 1 ·e－x22，X 在区间 (－2，2π－1)和(1，2)内取值的概率分别为 p1，p2则 p1，p2的关系为 () A．p1＞p2B．p1＜p2C ．1＝p2D．不确立p分析：由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，因此曲线对于直线 x＝0 对称，因此 p1＝p2.答案： C5．已知某批资料的个体强度X 听从正态散布N(200， 182)，现从中任取一件，则获得的这件资料的强度高于182 但不高于 218 的概率为()A．0.997 3B．0.682 6C．0.841 3D．0.815 9分析：由题意知μ＝200，σ＝18，μ－σ＝ 182，μ＋σ＝218，由P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，答案应选B. 答案：B二、填空题16．设 X～N 0，4，则 P(－1＜X＜1)的值为 ________．1分析：由题意可知，μ＝0，σ＝2，故 P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝P(－1＜X＜1)＝0.954 4.答案： 0.954 47．已知正态整体的数据落在区间(－ 3，－ 1)里的概率和落在区间(3，5)里的概率相等，那么这个正态整体的数学希望为________．分析：由题意知区间 (－3，－1)与 (3，5)对于直线 x＝μ对称，因为区间 (－3，－1)和区间 (3，5)对于 x＝1 对称，因此正态散布的数学希望为 1.答案： 12 8．工人制造的部件尺寸在正常状况下听从正态散布N(μ，σ)，在一次正常的试验中，取1 000 个部件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的部件可能有 ________个．分析：由于 P(μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.997 4，因此不属于区间 (μ－3σ，μ＋3σ)内的零点个数可能为 1 000 ×(1－0.997 4)＝2.6 ≈个3()．答案： 3三、解答题9．设 X～N(1， 22)，试求：(1)P(－1＜X ≤3)；(2)P(3＜X ≤5)．解：由于 X ～N(1，22)，因此 μ＝ 1，σ＝2.(1)P(－1＜X ≤3)＝P(1－2＜X ≤1＋2)＝0.682 6.(2)由于 P(3＜X ≤5)＝P(－3＜X ≤－1)， 因此 P(3＜X ≤5)＝ 1－ ＜ ≤ －－ ＜ ≤ ＝1－ ＜2[P(3X 5) P(1X 3)] 2[P(141X ≤1＋ 4)－P(1－2＜X ≤1＋ 2)]＝2[P(1－4＜ X ≤1＋ 4)－ P(1－ 2＜ X ≤1＋2)]＝ 1μ－ σ＜ ≤μ＋ σ－ μ－ σ＜ ≤μ＋ σ ＝ 1－2 [P( 2X2 ) P(X)] 2 (0.954 40.682 6)＝0.135 9.210．在某项丈量中， 丈量结果 ξ听从正态散布 N(1，σ)(σ>0)．若ξ在 (0，1)内取值的概率为 0.4，试求：(1)ξ在(0， 2]内取值的概率；(2)ξ在(2，＋ ∞)内取值的概率；(3)ξ在(0，＋ ∞)内取值的概率．2解：(1)在某项丈量中，丈量结果 ξ听从正态散布 N(1，σ)(σ>0)，正态散布图象的对称轴为 x ＝1，由于 ξ在(0，1]内取值的概率为 0.4，因此随机变量 ξ在(1，2]内取值的概率等于 ξ在(0，1]内取值的概率，也为 0.4，即随机变量 ξ在(0，2]内取值的概率为 0.8.(2)又因正态散布图象的对称轴为 x ＝ 1，得 ξ在(1，＋ ∞)内取值的概率为 0.5，联合随机变量 ξ在(1，2]内取值的概率为 0.4，可求得ξ在 (2，＋ ∞)内取值的概率为 0.5－0.4＝0.1.(3) ξ在(0，＋ ∞)内取值的概率为 0.4＋0.5＝0.9.B 级 能力提高1．以 Φ(x)表示标准正态整体在区间 (－∞，x)内取值的概率，若2随机变量ξ听从正态散布 N(μ，σ)，则概率 P(|ξ－μ|＜σ)等于 () A．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B．Φ(1)－Φ(－1)C．Φ1－μσD．2Φ(μ＋σ)分析：设η＝|ξ－μ|，则σP(|ξ－μ|＜σ)＝P(|η|＜1)＝P(－1＜η＜1)＝Φ(1)－Φ(－ 1)．答案： B2．据抽样统计，在某市的公事员考试中，考生的综合评分X 服从正态散布 N(60，102)，考生共 10 000 人，若一考生的综合评分为80 分，则该考生的综合成绩在全部考生中的名次是第________名．1分析：依题意， P(60－20＜X≤60＋20)＝ 0.954 4，P(X＞ 80)＝2(1－0.954 4)＝0.022 8，故成绩高于 80 分的考生人数为 10 000×0.022 8＝228(人)．因此该生的综合成绩在全部考生中的名次是第229 名．答案： 2293．若在一次数学考试中，某班学生的分数为X，且 X～N(110，2学考试中及格 (不小于 90 分)的人数和 130 分以上 (不包含 130 分)的人数．解：由于 X～N(110，202)，因此μ＝110，σ＝20.P(110－20＜X≤110＋20)＝0.682 6.1因此 X＞130 的概率为2×(1－0.682 6)＝ 0.158 7.因此 X≥90 的概率为 0.682 6＋0.158 7＝0.841 3.因此及格的人数为54×0.841 3 ≈45人( )，130 分以上的人数为54×0.158 7＝ 9 (人)．。
高中数学选修2-3 同步练习 2.4 正态分布(解析版)
第二章 随机变量及其分布2.4 正态分布一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设随机变量212(),N ξ～，则1()2D ξ= A ．4 B ．2 C ．1D ．12 【答案】C【解析】由题可得2()24D ξ==，所以22111()()()()41222D D ξξ==⨯=．故选C ．2．已知随机变量X ～2(3,)N σ，且(4)0.15P X >=，则(2)P X ≥= A ．0.15 B ．0.35 C ．0.85D ．0.3【答案】C【解析】因为随机变量X ～2(3,)N σ，所以正态分布密度曲线的对称轴为3x =，因为(4)0.15P X >=，则由对称性可得(2)1(4)10.150.85P X P X ≥=->=-=，故选C ． 3．已知随机变量X 服从正态分布(,4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数a 的值为 A ．1 B ．3 C ．2D ．4【答案】A【解析】由(1)0.5P X >=可得正态分布密度曲线关于直线1x =对称，故均值1a =，故选A ． 4．设随机变量~(2,9)N ξ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D【解析】因为随机变量，所以正态曲线的对称轴，，因为，所以，则c =4．故选D ．5．已知随机变量ξ服从正态分布2(0,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(02)P ξ<<= A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3D ．0.2【答案】C【解析】由题意知，正态分布曲线的对称轴为0x =，又(2)0.8P ξ<=，所以(2)0.2P ξ≥=，所以(02)=0.50.2=0.3P ξ<<-，故选C ． 6．已知随机变量2(2,)X N σ～，若()0.4P X a <=，则(4)P a X a ≤<-= A ．0.4 B ．0.2 C ．0.1D ． 0.6【答案】B【解析】因为2(2,)X N σ～，()0.4P X a <=，所以(4)0.4P X a ≥-=，所以(4)P a X a ≤<-10.40.40.2=--=．故选B ．7．已知三个正态分布密度函数22()21()e 2i i x i ix μσϕσ--=π(R ∈x ，i =1，2，3)的图象如图所示，则A ．321μμμ=<，321σσσ>=B ．321μμμ=>，321σσσ<=C ．321μμμ<=，321σσσ=<D ．321μμμ=<，321σσσ<=【答案】D【解析】正态曲线关于直线μ=x 对称，且在μ=x 处取得峰值12σπ， 由图易得321μμμ=<，112σ=π212σ>π312σπ，故321σσσ<=．故选D ．8．2018年4月某校高三年级1500名学生参加了教育局组织的统考，已知数学考试成绩2(100,)X N σ～（试卷满分为150分）．统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的35，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为 A ．180 B ．200 C ．220D ．300【答案】D【解析】正态分布密度曲线的对称轴为100x =，根据其对称性可知，成绩不低于120分的学生人数约为311500(1)30052⨯-⨯=人．故选D ． 9．工人制造机器零件的尺寸在正常情况下服从正态分布2(,)N μσ．在一次正常的试验中，取10000个零件，不属于3,3()μσμσ-+这个尺寸范围的零件个数可能为 A ．70个 B ．100个 C ．26个D ．60个【答案】C10．在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影外部（曲线C 为正态分布(0,1)N 的密度曲线的一部分）的点的个数的估计值为A ．3413B ．1193C ．2718D ．6587附：若2(,)X N μσ～，则()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=． 【答案】D【名师点晴】正态分布是随机变量的概率分布中重要的概率分布之一，其曲线具有很多重要性质，在解题中有着重要的作用，因此成为高考和各级各类考试的重要内容与考点．解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息，运用转化与化归的数学思想将问题进行等价转化． 二、填空题：请将答案填在题中横线上．11．已知随机变量ξ服从正态分布(0,2)N ，若(2)P p ξ≥=，则(20)P ξ-<<=________________．【答案】12p - 【解析】依题意有11(20)(02)(2)22P P P p ξξξ-<<=<<=-≥=-． 12．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，若(4)0.7P ξ<=，则(02)P ξ<<=________________．【答案】0.2【解析】(02)(24)(4)(2)0.70.50.2P P P P ξξξξ<<=<<=<-<=-=． 13．已知随机变量2(0,)X N σ～，若(||2)P X a ≤=，则(2)P X >=________________．【答案】12a- 【解析】由题意可得正态分布密度曲线关于直线0x =对称，因为正态分布密度曲线与x 轴围成的面积为1，所以1(2)(2)(1)2P X P X a >=<-=-． 14．某厂生产的零件尺寸服从正态分布220,0).02(N ，为使该厂生产的产品的合格率为95.44%，则该厂生产的零件尺寸允许值的范围为________________． 【答案】19.96,(20.04)【解析】正态分布220,0).02(N 在区间2020.02,2020(02).-⨯+⨯上取值的概率为95.44%，故该厂生产的零件尺寸允许值的范围为19.96,(20.04)．15．已知随机变量X 服从正态分布，其正态分布密度曲线2(2)21()e 2x xf π的图象，若2 01 ()d3 f xx，则(4)P X________________．【答案】16【解析】由已知得函数()f x的图象关于直线2x=对称，且与直线0x=，2x=和0y=围成的图形的面积为13，所以11(4)(12)236P X>=-⨯÷=．16．已知(,)μ-∞+∞∈，0σ>，现给出下列函数：①22()21()e2πxf xμσσ+-=；②2()41()e2πxf xμ--=；③241()e22πxf x-⋅=；④()f x=2()1eπxμ--．则可以作为正态分布密度函数的为________________．（填序号）【答案】①③④综上，可以作为正态分布密度函数的为①③④．。
高中数学选修2-3课时作业9：§2.4 正态分布
§2.4正态分布一、选择题1．正态曲线关于y轴对称，当且仅当它所对应的正态总体的均值为()A．1 B．－1C．0 D．不确定2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，则P(X≤0)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.843．如图所示的是当σ取三个不同值σ1，σ2，σ3的三种正态曲线N(0，σ2)的图象，那么σ1，σ2，σ3的大小关系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0D．0<σ1<σ2＝1<σ34．若随机变量X的密度为f(x)＝12πe－x22，X在区间(－2，－1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为()A．p1>p2B．p1<p2 C．p1＝p2D．不确定5．对于总体密度曲线是函数f(x)＝12πσe－(x－μ)22σ2，x∈R的图象的正态总体有以下问题：①正态曲线关于直线x＝μ对称；②正态曲线关于直线x＝σ对称；③正态曲线与x轴一定不相交；④正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是()A．②④B．①④C．①③D．②③6．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于() A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2二、填空题7．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c的值为________．8．设随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，若P(ξ>3)＝P(ξ＜－1)，则E(ξ)＝________.9．据抽样统计显示，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．10．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为________．三、解答题11．已知随机变量X～N(μ，σ2)，且其正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上为减函数，且P(72<X≤88)＝0.6826.(1)求参数μ，σ的值．(2)求P(64＜X≤72)．12.在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110]上的概率是多少？(2)若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在(80,100]间的考生大约有多少人？13．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2) ；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8 , 212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.[答案]精析1．C [均值即为其对称轴，∴μ＝0.]2．A [由X ～N (2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为直线x ＝2，则P (X ≤0)＝P (X ≥4)＝1－P (X <4)＝1－0.84＝0.16.]3．D [当μ＝0，σ＝1时，正态曲线f (x )＝12πe －x 22在x ＝0处取最大值12π，故σ2＝1.由正态曲线的性质，当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，反之越“矮胖”．故选D.]4．C [由正态曲线的对称性及题意知：μ＝0，σ＝1，所以曲线关于直线x ＝0对称，所以p 1＝p 2.]5．C [利用正态函数图象的基本特征判断．]6．C [∵P (ξ<4)＝0.8，∴P (ξ≥4)＝0.2.由题意知图象的对称轴为直线x ＝2，P (ξ≤0)＝P (ξ≥4)＝0.2，∴P (0<ξ<4)＝1－P (ξ≤0)－P (ξ≥4)＝0.6.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝0.3.] 7．2[解析] ∵c ＋1与c －1关于ξ＝2对称，∴(c ＋1)＋(c －1)2＝2，∴c ＝2. 8．1[解析] 根据题意ξ～N (μ，σ2)，∴μ＝3＋(－1)2＝1，∴E (ξ)＝μ＝1. 9．229[解析] 依题意，P (60－20<x ≤60＋20)＝0.9544，P (X >80)＝12(1－0.9544)＝0.0228， 故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．10.38[解析] 设元件1,2,3的使用寿命超过1000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12， ∴该部件的使用寿命超过1000小时的事件为(A B ＋A B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1000小时的概率P ＝(12×12＋12×12＋12×12)×12＝38. 11．解 (1)由于正态曲线在(－∞，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，所以正态曲线关于直线x ＝80对称，即参数μ＝80.又P (72<x ≤88)＝0.6826.结合P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，可知σ＝8.(2)因为P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝P (64<X ≤96)＝0.9544.又因为P (X ≤64)＝P (X >96)，所以P (X ≤64)＝12(1－0.9544) ＝12×0.0456＝0.0228. 所以P (X >64)＝0.9772.又P (X ≤72)＝12[1－P (72<X ≤88)] ＝12×(1－0.6826)＝0.1587， 所以P (X >72)＝0.8413，P (64<X ≤72)＝P (X >64)－P (X >72)＝0.1359.12．解 ∵ξ～N (90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.(1)由于ξ在区间(μ－2σ，μ＋2σ]内取值的概率是0.9544，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110]内的概率就是0.9544.(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100，由于ξ在区间(μ－σ，μ＋σ]内取值的概率是0.6826，一共有2000名考生，所以考试成绩在(80,100]间的考生大约有2000×0.6826≈1365(人)．13．解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z＜200＋12.2)＝0.6826.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100，0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.。
人教版高中数学选修2-3练习：2.4正态分布
学业分层测评(建议用时： 45 分钟 )[ 学业达标 ]一、选择题1．设随机变量ξ～ N(2,2)，则 D 1ξ2＝()A．1B． 2 1D． 4 C.2【分析】∵ξ～ N(2,2)，∴ D(ξ)＝2.∴D 1111ξD(ξ)＝4×2＝2.2【答案】C2．以下函数是正态密度函数的是()A．f(x)＝1 e2σπx－μ222σ，μ，σ(σ>0)都是实数x22π－2 B．f(x)＝2πeC．f(x)＝1x－2e－4 2 2π1x2D．f(x)＝e2π2【分析】对于 A ，函数的系数部分的二次根式包括σ，并且指数部分的符号是正的，故 A 错误；对于 B，切合正态密度函数的分析式，此中σ＝ 1，μ＝0，故 B 正确；对于 C，从系数部分看σ＝2，但是从指数部分看σ＝ 2，故 C 不正确；对于 D，指数部分缺乏一个负号，故 D 不正确．【答案】B221，σ12，σ23．(2015 ·湖北高考 )设 X～ N(μ)，Y～N(μ)，这两个正态散布密度曲线如图 2-4-6 所示，以下结论中正确的选项是 ()图 2-4-6A．P(Y≥μ2) ≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2) ≤P(X≤σ1)C．对随意正数 t， P(X≥t) ≥P(Y≥t)D．对随意正数 t， P(X≤t) ≥P(Y≤t)1【分析】由图象知，μ1＜μ2，σ1＜σ2，P(Y≥μ2)＝2，1P(Y≥μ1)＞2，故 P(Y≥μ2)＜ P(Y≥μ1)，故 A 错；因为σ1＜σ2，因此P(X≤σ2)＞P(X≤σ1)，故B错；对随意正数 t，P(X≥t)＜P(Y≥t)，故 C 错；对随意正数 t，P(X≤t)≥P(Y≤t)是正确的，应选 D.【答案】D4．某厂生产的部件外直径X～N(8.0,0.022 5)，单位： mm，今从该厂上、下午生产的部件中各随机拿出一个，测得其外直径分别为7.9 mm 和 7.5 mm，则可以为()A．上、下午生产状况均为正常B．上、下午生产状况均为异样C．上午生产状况正常，下午生产状况异样D．上午生产状况异样，下午生产状况正常【分析】依据 3σ原则，在 (8－3×0.15,8＋3×0.15]即(7.55,8.45]以外时为异常．联合已知可知上午生产状况正常，下午生产状况异样．【答案】C5． (2015 ·山东高考 )已知某批部件的长度偏差(单位：毫米 ) 听从正态散布N(0,32)，从中随机取一件，其长度偏差落在区间(3,6)内的概率为 ()2(附：若随机变量ξ听从正态散布N(μ，σ)，则 P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P(μ－2σ<ξ<μ＋ 2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D． 31.74%【分析】由正态散布的概率公式知P(－ 3＜ξ＜ 3)＝0.682 6，P(－ 6＜ξ＜ 6)＝ 0.954 4，故 P(3＜ξ＜ 6)＝P－6＜ξ＜－P－3＜ξ＜＝20.954 4－0.682 6＝0.135 9＝ 13.59%，应选 B.2【答案】B二、填空题6．已知正态散布落在区间 (0.2，＋∞)内的概率为 0.5，那么相应的正态曲线f(x)在 x＝ ________时达到最高点 . 【导学号： 97270054】【分析】由正态曲线对于直线x＝μ对称且在 x＝μ处达到峰值和其落在区间 (0.2，＋∞)内的概率为 0.5，得μ＝0.2.【答案】 0.27．已知正态整体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间 (3,5)里的概率相等，那么这个正态整体的数学希望为________．【分析】正态整体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等，此外，因为区间(－ 3，－ 1)和区间 (3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的，我们需要找出对称轴．因为正态曲线对于直线 x＝μ 对称，μ的概率意义是希望，因为区间 (－3，－ 1)和区间 (3,5) 对于 x＝1 对称 (－1 的对称点是 3，－ 3 的对称点是 5)，因此数学希望为 1.【答案】128．已知正态散布 N(μ，σ)的密度曲线是f(x)＝1x－μ2， x∈R.给出以下四个命题：e－22πσ2σ①对随意 x∈R， f( μ＋ x)＝f( μ－ x)建立；②假如随机变量2，且＝，那么是上的增X 听从 N(μ，σF(x)P(X<x)F(x)R)函数；③假如随机变量 X 听从 N(108,100)，那么 X 的希望是 108，标准差是 100；2，1，P(X>2)＝p，则 P(0<X<2) ＝1－2p.④随机变量 X 听从 N(μ，σ＝)P(X<1)2此中，真命题的序号是 ________． (写出全部真命题的序号 )2【分析】画出正态散布 N(μ，σ)的密度曲线以以下图：由图可得：①图象对于 x＝μ对称，故①正确；②跟着 x 的增添， F(x) ＝P(ξ<x)也跟着增添，故②正确；③假如随机变量ξ听从 N(108,100)，那么ξ的希望是 108，标准差是 10；④由图象的对称性，可得④正确．故填①②④.【答案】①②④三、解答题29．在一次测试中，丈量结果 X 听从正态散布 N(2，σ)( σ >0)，若 X 在(0,2]内取值的概率为 0.2，求：(1)X 在(0,4]内取值的概率；(2)P(X>4)．【解】2(1)因为 X ～ N(2，σ)，对称轴 x＝2，画出表示图如图．因为 P(0<X≤2)＝P(2<X≤4)，因此 P(0<X≤4)＝ 2P(0<X≤2)＝2×0.2＝0.4.11(2)P(X>4)＝2[1－ P(0<X≤ 4)]＝2(1－0.4)＝0.3.10．一建筑工地所需要的钢筋的长度X ～N(8,22)，质检员在检查一大量钢筋的质量时，发现有的钢筋长度小于 2 米，这时，他是让钢筋工持续用切割机截钢筋呢，仍是停下来检修切割机？【解】因为 X ～N(8,22)，依据正态散布的性质可知，正态散布在 (8－ 3×2,8 ＋ 3×2)以外的取值概率仅为 0.3%，长度小于 2 米的钢筋不在 (2,14)内，因此质检员应让钢筋工立刻停止切割，并对切割机进行检修．[ 能力提高 ]1．(2015 ·南高考湖 )图 2-4-7在如图 2-4-7 所示的正方形中随机扔掷10 000 个点，则落入暗影部分(曲线C为正态散布 N(0,1)的密度曲线 )的点的个数的预计值为 ()A．2 386B． 2 718C．3 413 D．4 7722附：若 X ～N(μ，σ)，则 P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682 6，P( μ－2σ <X≤μ＋2σ)＝0.954 4.【分析】由 P(－ 1<X≤1)＝0.682 6，得 P(0<X≤1)＝ 0.341 3，则暗影部分的0.341 3面积为 0.341 3，故预计落入暗影部分的点的个数为10 000 ×1×1＝3 413，应选C.【答案】C2．已知一次考试共有 60 名同学参加，考生的成绩 X ～N(110，52)，据此估计，大概应有57 人的分数在以下哪个区间内 ()A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120]D． (105,115]57【分析】由60＝0.95，切合 P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，因此在 (100,120]内．应选 C.【答案】C3．设随机变量ξ听从正态散布 N(0,1)，则以下结论正确的选项是 ________．(填序号 )①P(| ξ|<a)＝P(ξ<a)＋P(ξ>－a)(a>0)；②P(| ξ|<a)＝2P(ξ<a)－1(a>0)；③P(| ξ|<a)＝1－ 2P(ξ<a)(a>0)；④P(| ξ|<a)＝1－ P(| ξ|>a)(a>0)．【分析】因为 P(| ξ|<a)＝ P(－a<ξ<a)，因此①不正确；因为 P(| ξ|<a)＝P(－ a<ξ<a)＝ P(ξ<a)－P(ξ<－a)＝ P(ξ<a)－P(ξ>a)＝ P(ξ<a)－(1－ P(ξ<a))＝2P(ξ<a)－ 1，因此②正确，③不正确；因为 P(| ξ|<a)＋P(| ξ|>a)＝ 1，因此 P(| ξ|<a)＝1－P(| ξ|>a)(a>0)，因此④正确．【答案】②④4．(2014 全·国卷Ⅰ )从某公司生产的某种产品中抽取500 件，丈量这些产品的一项质量指标值，由丈量结果得以下频次散布直方图：图 2-4-8(1)求这 500 件产质量量指标值的样本均匀数－2x和样本方差 s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 )；(2)由直方图能够以为，这类产品的质量指标值Z 听从正态散布2 N(μ，σ)，－22此中μ近似为样本均匀数 x，σ 近似为样本方差s .①利用该正态散布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该公司购置了100 件这类产品，记X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间 (187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X) ．附：150≈12.2.2若 Z～ N(μ，σ)，则 P( μ－σ <Z<μ＋σ)＝0.682 6，P( μ－ 2σ <Z<μ＋2σ)＝0.954 4.【解】(1)抽取产品的质量指标值的样本均匀数－2分别为x和样本方差 s－x ＝ 170×0.02＋ 180×0.09 ＋ 190×0.22＋ 200×0.33＋ 210×0.24 ＋ 220×0.08＋230×0.02＝ 200，s2＝ ( － 30)2×0.02 ＋ ( － 20)2×0.09 ＋ ( － 10)2×0.22 ＋ 0×0.33 ＋ 102×0.24 ＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由 (1)知， Z～N(200,150)，进而 P(187.8<Z<212.2)＝ P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝ 0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6，依题意知 X ～ B(100，0.682 6)，因此 E(X) ＝100×0.682 6＝68.26.。
数学人教A版选修2-3课后训练：2.4 正态分布 含解析 精
2.4 正态分布练习一、选择题1．设两个正态分布N(μ1，σ12)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有()．A．μ1＜μ2，σ1＜σ2 B．μ1＜μ2，σ1＞σ2 C．μ1＞μ2，σ1＜σ2 D．μ1＞μ2，σ1＞σ22．已知随机变量X服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X≤4)＝0.682 6，则P(X＞4)＝()．A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 53．已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，则E(2ξ＋1)与D(2ξ＋1)的值分别为()．A．13,4 B．13,8 C．7,8 D．7,164．设随机变量X服从正态分布N(2,9)，若P(X＞C＋1)＝P(X＜C－1)，则C＝()．A．1 B．3 C．2 D．55．某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)服从X～N(50,102)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为()．A．0.682 6 B．0.997 4 C．0.317 4 D．0.954 4二、填空题6．已知正态分布总体落在区间(0.2，＋∞)内的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝__________时达到最高点．7．设随机变量X～N(1,22)，则Y＝3X－1服从的总体分布可记为__________．8．某班有50名学生，一次考试的成绩ξ(ξ∈N)近似服从正态分布N(100,102)，已知P(90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班数学成绩在110分以上的人数为__________．三、解答题9．在一次测试中，测量结果X服从正态分布N(2，σ2)(σ＞0)，若X在(0,2)内取值的概率为0.2.(1)求X在(0,4)内取值的概率；(2)求P(X＞4)．10．商场经营的某种包装的大米质量X服从正态分布N(10,0.12)(单位：kg)，任取一袋大米，质量在10 kg～10.2 kg的概率是多少？参考答案1答案：A 解析：根据正态分布密度曲线的性质：正态分布密度曲线是一条关于x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“瘦高”，结合图象可知μ1＜μ2，σ1＜σ2.故选A.2答案：B 解析：P (X ＞4)＝12[1－P (2≤X ≤4)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7. 3答案：D 解析：由已知E (ξ)＝3，D (ξ)＝4，得E (2ξ＋1)＝2E (ξ)＋1＝7，D (2ξ＋1)＝4D (ξ)＝16.4答案：C 解析：∵X ～N (2,9)，∴P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜3－C )．又P (X ＞C ＋1)＝P (X ＜C －1)，∴3－C ＝C －1.∴C ＝2.5答案：D 解析：∵X ～N (50,102)，μ＝50，σ＝10，∴P (30＜X ≤70)＝P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ)＝0.954 4.6答案：0.2 解析：∵P (X ＞0.2)＝0.5，∴P (X ≤0.2)＝0.5，即直线x ＝0.2是正态曲线的对称轴．∴当x ＝0.2时，φμ，σ(x )达到最高点．7答案：Y ～N (2,62) 解析：由已知E (X )＝1，D (X )＝4，∴E (Y )＝3E (X )－1＝2，D (Y )＝9×4＝36＝62.∴Y ～N (2,62)．8答案：10 解析：考试的成绩ξ服从正态分布N (100,102)，∴考试的成绩ξ关于ξ＝100对称．∵P (90≤ξ≤100)＝0.3，∴P (100≤ξ≤110)＝0.3.∴P (ξ＞110)＝0.2.∴该班数学成绩在110分以上的人数约为0.2×50＝10.9解：(1)由X ～N (2，σ2)，知对称轴x ＝2，画出示意图：∵P (0＜X ＜2)＝P (2＜X ＜4)，∴P (0＜X ＜4)＝2P (0＜X ＜2)＝2×0.2＝0.4.(2)P (X ＞4)＝12[1－P (0＜X ＜4)]＝12×(1－0.4)＝0.3. 10解：∵X ～N (10,0.12)，∴μ＝10，σ＝0.1.∴P (9.8＜X ≤10.2)＝P (10－2×0.1＜X ≤10＋2×0.1)＝0.954 4.又正态曲线关于直线x ＝μ＝10对称，∴P(10＜X≤10.2)＝12P(9.8＜X≤10.2)＝0.477 2.∴质量在10 kg～10.2 kg的概率为0.477 2.。
人教版高中数学选修2-3《2.4正态分布》
频率 组距
一.引入
总体密度曲线.
a
b
x
高尔顿钉板试验频率分布直方图
一.
正态曲线
像这种具有“中间高，两头低”的特征的总体密 度曲线,称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.
y
总体密度曲线
二.正态曲线
O
x
正态曲线对应的函数为： ( x )2 1 2 2 ( x ) e ,xR 2
-
95.45%
+
P ( 2 X 2 ) 0.9545
2.28% 2.28%
-2
99.73%
+2
P ( 3 X 3 ) 0.9973
0.13%
0.13%
-3
+3
五.特殊区间的概率
正态总体几乎总取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ) 之内，在此区间以外取值的概率只有0.0026.像这 种概率很小（一般不超过5 ％ ）的情况发生称为 小概率事件，我们认为这种情况几乎不可能发生。 3σ原则——实际生活中，服从正态分布N(μ，σ2) 的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值．
C
)
七. 小结
你能总结一下这节课学了什么内容吗？ 1.··· 2.··· 3.···
八. 布置作业
《高中新课程学习指导》作业与测评（38） A级—2,3,4,6,8,9 B 级— 2 ，6 C级
【例1】(成才P119例1)如图是一个正态曲线， 试根据图象写出其正态分布概率密度函数的解析 式,并求出总体随机变量的数学期望和方差.
六.典型例题 题型一 .正态曲线及性质 y
1 2
5 10 15
20 25 30 35
人教新课标版数学高二-人教选修2-3练习2-4正态分布
选修2-3 2.4一、选择题1．下列函数中，可以作为正态分布密度函数的是( )A ．f (x )＝12πe －(x －1)22 B ．f (x )＝12π·σe (x －2)22σ2 C ．f (x )＝12πσe －(x －μ)22σ2 D ．f (x )＝12πe －(x －μ)22π[答案] A2．已知ξ～N (0,62)，且P (－2≤ξ≤0)＝0.4，则P (ξ>2)等于( )A ．0.1B ．0.2C ．0.6D ．0.8[答案] A[解析] 由正态分布曲线的性质知P (0≤ξ≤2)＝0.4，∴P (－2≤ξ≤2)＝0.8，∴P (ξ>2)＝12(1－0.8)＝0.1，故选A.3．若随机变量ξ～N (2,100)，若ξ落在区间(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，则k 等于( )A ．2B ．10 C. 2D ．可以是任意实数 [答案] A[解析] 由于ξ的取值落在(－∞，k )和(k ，＋∞)内的概率是相等的，所以正态曲线在直线x ＝k 的左侧和右侧与x 轴围成的面积应该相等，于是正态曲线关于直线x ＝k 对称，即μ＝k ，而μ＝2.∴k ＝2.5．(2010·山东理，5)已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)＝( )A ．0.477B ．0.628C ．0.954D ．0.977[答案] C[解析] ∵P (ξ>2)＝0.023，∴P (ξ<－2)＝0.023，故P (－2≤ξ≤2)＝1－P (ξ>2)－P (ξ<－2)＝0.954.6．以φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布(μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．φ(μ＋σ)－φ(μ－σ)B ．φ(1)－φ(－1)C ．φ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－μσD ．2φ(μ＋σ)[答案] B[解析] 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝φ(1)－φ(－1)．[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)向标准正态分布N (0,1)转化．7．给出下列函数：①f (x )＝12πσe －(x ＋μ)22σ2；②f (x )＝12πe －(x －μ)24；③f (x )＝12·2πe －x 24；④f (x )＝1πe －(x －μ)2，其中μ∈(－∞，＋∞)，σ＞0，则可以作为正态分布密度函数的个数有( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C[解析] 对于①，f (x )＝12πσe －(x ＋μ)22σ2.由于μ∈(－∞，＋∞)，所以－μ∈(－∞，＋∞)，故它可以作为正态分布密度函数；对于②，若σ＝1，则应为f (x )＝12πe －(x －μ)22.若σ＝2，则应为f (x )＝12π·2e －(x －μ)24，均与所给函数不相符，故它不能作为正态分布密度函数；对于③，它就是当σ＝2，μ＝0时的正态分布密度函数；对于④，它是当σ＝22时的正态分布密度函数．所以一共有3个函数可以作为正态分布密度函数．8．(2008·安徽)设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析]根据正态分布的性质：对称轴方程x＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可得，故选A.二、填空题10．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析]正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x＝1对称，所以正态分布的数学期望就是1.11．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(1，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为____________．[答案]0.8[解析]∵μ＝1，∴正态曲线关于直线x＝1对称．∴在(0,1)与(1,2)内取值的概率相等．12．(2010·福安)某厂生产的零件尺寸服从正态分布N(25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．[答案](24.94,25.06)[解析]正态总体N(25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．。
人教新课标版数学高二人教A选修2-3试题 2.4正态分布 (2)
2.4正态分布基础梳理1．正态曲线函数φμ，σ(x)＝12πσe－（x－μ）22σ2，x∈(－∞，＋∞)(其中实数μ和σ(σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．2．正态分布(1)如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝b aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X 服从正态分布．(2)记作：X～N(μ，σ2)．3．正态曲线的性质(1)曲线在x轴上方，与x轴不相交．(2)曲线是单峰的，关于直线x＝μ对称．(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π．(4)曲线与x轴之间的面积为1.(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．(6)如图所示：当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“辞矮”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．4．3σ原则：正态总体几乎取值于区间(μ－3σ，μ＋3σ)之内，而在此区间以外取值的概率只有0.002_6，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．自测自评1．设有一正态总体，它的正态分布密度曲线是函数f (x )的图象，且f (x )＝18πe －（x －10）28，则这个正态总体的均值与标准差分别是(B )A ．10与8B ．10与2C ．8与10D ．2与10 解析：把函数f (x )＝18πe －（x －10）28化简成正态密度函数为f (x )＝12π×2e －（x －10）22×22，易知这个正态总体的均值与标准差分别是10与2.2．如图，曲线C 1：f (x )＝12πσ1e －（x －μ1）22σ21(x ∈R )，曲线C 2：φ(x )＝12πσ2e －（x －μ2）22σ22(x ∈R )，则(D )A ．μ1＜μ2B ．曲线C 1与x 轴相交 C ．σ1＞σ2D ．曲线C 1、C 2分别与x 轴所夹的面积相等3．(2013·惠州一模)设随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 的值为 (A )A.73B.53C ．5D ．3 解析：因为随机变量ξ服从正态分布N (3，4)，因为P (ξ<2a －3)＝p (ξ>a ＋2)，所以2a －3与a ＋2关于x ＝3对称，所以2a －3＋a ＋2＝6，所以3a ＝7，所以a ＝73.故选A.不能正确应用正态分布的对称性致误【典例】 随机变量ξ服从正态分布N (0，1)，如果P (ξ≤1)＝0.841 3，求P (－1<ξ≤0)． 解析：如图所示，因为P (ξ≤1)＝0.413，所以P (ξ>1)＝1－0.413＝0.158 7.所以P (ξ≤－1)＝0.158 7，所以P (－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.【易错剖析】本题易有如下错解： P (－1<ξ≤0)＝12[1－P (ξ≤1)]＝12(1－0.841 3)＝0.0793 5.这是用错正态分布的对称性造成的．由于ξ～N (0，1)，所以对称轴为x ＝0，所以与(－1，0)对称的区间应为(0，1)，与(1，＋∞)对称的区间为(－∞，－1)．基础巩固1．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且P (X ≤c )＝P (X >c )，则c 的值是(C) A ．－μ B ．0 C ．μ D ．σ22．已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于(D) A.15 B.14 C.13 D.12解析：∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.3．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)，若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤ 2)＝(C) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954 D ．0.977 解析：∵ξ～N (0，σ2)，∴μ＝0，即图象关于y 轴对称，∴P (－2≤ ξ≤ 2)＝1－P (ξ<－2)－P (ξ>2)＝1－2P (ξ>2)＝1－2× 0.023＝0.954.4．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －（x －3）22，x ∈R 的图象关于直线x ＝3对称，f (x )能力提升5.工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为(C)A ．7B ．10C ．3D ．6解析：∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个．6．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1，4)，则P (－3<ξ<5)＝ (参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)(B)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974解析：由ξ～N (1，4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.7. 一批灯泡的使用时间X (单位：小时)服从正态分布N (10 000，4002)，则这批灯泡使用时间在(9 200，10 800]内的概率是________．解析：μ＝10 000，σ＝400，所以P (9 200<X ≤10 800)＝P (10 000－2×400<X ≤10 000＋2×400)＝0.954 4.答案：0.954 4 8．设X ～N (0，1)：①P (－ε＜X ＜0)＝P (0＜X ＜ε)； ②P (X ＜0)＝0.5；③若P (－1＜X ＜1)＝0.683，则P (X ＜－1)＝0.158 5； ④若P (－2＜X ＜2)＝0.954，则P (X ＜2)＝0.977； ⑤若P (－3＜X ＜3)＝0.997，则P (X ＜3)＝0.998 5. 其中正确的有①②③④⑤(填序号)．9．某个工厂的工人月收入服从正态分布N (500，202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少．解析：设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500，202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20，500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440，560)． 因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)． 10．已知某种零件的尺寸X (单位：mm)服从正态分布，其正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数，且f (80)＝182π. (1)求正态分布的概率密度函数的解析式；(2)估计尺寸在72～88 mm(不包括72 mm ，包括88 mm)间的零件大约占总数的百分比． 解析：(1)因为正态分布曲线在(0，80)上是增函数，在(80，＋∞)上是减函数． 所以正态分布关于直线x ＝80对称，且在x ＝80处达到峰值，所以μ＝80. 又12πσ＝182π，所以σ＝8， 故正态分布的概率密度函数的解析式为f(x)＝182πe－（x－80）2128.(2)由μ＝80，σ＝8，得μ－σ＝80－8＝72，μ＋σ＝80＋8＝88.所以零件的尺寸X位于区间(72，88]内的概率为0.682 6.故尺寸在72～88 mm(不包括72 mm，包括88 mm)间的零件大约占总数的68.26%.。
人教新课标版数学高二选修2-3检测 2.4正态分布
一、选择题1．关于正态分布N(μ，σ2)，下列说法正确的是()A．随机变量落在区间长度为3σ的区间之外是一个小概率事件B．随机变量落在区间长度为6σ的区间之外是一个小概率事件C．随机变量落在(－3σ，3σ)之外是一个小概率事件D．随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件【解析】∵P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝0.9974，∴P(X＞μ＋3σ或X＜μ－3σ)＝1－P(μ－3σ＜X＜μ＋3σ)＝1－0.9974＝0.0026.∴随机变量落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外是一个小概率事件．【答案】 D2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N(2，σ2)(σ>0)，若ξ在(0,2)内取值的概率为0.4，则ξ在(－∞，4)内取值的概率为()A．0.1B．0.2C．0.8D．0.9【解析】∵μ＝2，∴P(0<ξ<2)＝P(2<ξ<4)＝0.4，∴P(0<ξ<4)＝0.8.∴P(ξ<0)＝12(1－0.8)＝0.1，∴P(ξ<4)＝0.9.【答案】 D3．随机变量ξ～N(2,10)，若ξ落在区间(－∞，k)和(k，＋∞)的概率相等，则k等于()A．1 B．10C．2 D.10【解析】∵区间(－∞，k)和(k，＋∞)关于x＝k对称．∴x＝k为正态曲线的对称轴，∴k＝2.【答案】 C4．设两个正态分布N(μ1，σ21)(σ1＞0)和N(μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图2－4－4所示，则有()图2－4－4A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解析】σ越小，曲线越“瘦高”，故σ1＜σ2，μ为对称轴的位置，由图易知μ1＜μ2.【答案】 A5．(2013·沈阳高二检测)设随机变量ξ～N(0,1)，若P(ξ＞1)＝p，则P(－1＜ξ＜0)＝()A.12＋p B．1－pC．1－2p D.12－p【解析】如图，P(ξ＞1)表示x轴、x＞1与正态密度曲线围成区域的面积，由正态密度曲线的对称性知：x轴、x＜－1与正态密度曲线围成区域的面积也为p，所以P(－1＜ξ＜0)＝1－2p2＝12－p.【答案】 D二、填空题6．(2013·黄冈高二检测)设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ＞c＋1)＝P(ξ＜c－1)，则c的值为________．【解析】c＋1与c－1关于ξ＝2对称，(c＋1)＋(c－1)2＝2，∴c＝2.【答案】 27．已知随机变量X服从正态分布N(0，σ2)，且P(－2≤X≤0)＝0.4，则P(X ＞2)＝________.【解析】P(X＞2)＝12[1－2P(－2≤X≤0)]＝0.5－0.4＝0.1.【答案】0.18．据抽样统计，在某市的公务员考试中，考生的综合评分X服从正态分布N(60,102)，考生共10 000人，若一考生的综合评分为80分，则该考生的综合成绩在所有考生中的名次是第________名．【解析】依题意，P(60－20＜x≤60＋20)＝0.9544，P(X＞80)＝12(1－0.9544)＝0.0228，故成绩高于80分的考生人数为10000×0.0228＝228(人)．所以该生的综合成绩在所有考生中的名次是第229名．【答案】229三、解答题9．设X～N(5,1)，求P(6＜X≤7)．【解】由已知得P(4＜X≤6)＝0.682 6，P(3＜X≤7)＝0.954 4.又∵正态曲线关于直线x＝u＝5对称∴P(3＜X≤4)＋P(6＜X≤7)＝0.954 4－0.682 6＝0.271 8.由对称性知P(3＜X≤4)＝P(6＜X≤7)．所以P(6＜X≤7)＝0.271 82＝0.135 9.10．(2012·天水高二检测)某年级的一次信息技术成绩近似服从正态分布N (70,100)，如果规定低于60分为不及格，不低于90分为优秀，那么成绩不及格的学生约占多少？成绩优秀的学生约占多少？(参考数据：P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.954 4)．【解析】 由题意得：μ＝70，σ＝10，P (μ－σ＜ξ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜ξ≤μ＋2σ)＝0.9544.(1)P (ξ＜60)＝12－12P (60＜ξ≤80)＝12－12×0.682 6＝0.158 7.(2)P (ξ≥90)＝12－12P (50＜ξ≤90)＝12－12×0.954 4＝0.022 8.答：成绩不及格的学生约占15.87%，成绩优秀的学生约占2.28%.11．假设某省今年高考考生成绩ξ服从正态分布N (500,1002)，现有考生25 000名，计划招生10 000名，试估计录取分数线．【解】 这是一个实际问题，由题知其本质就是一个“正态分布下求随机变量在某一范围内取值的概率”问题．设分数线为a ，那么分数超过a 的概率应为录取率，即P (ξ≥a )＝10 00025 000＝0.4，因为ξ～N (500,1002)，所以P (ξ≥a )＝P (ξ－500100≥a －500100)＝1－P (ξ－500100＜a －500100)＝1－Φ(a －500100)．于是有Φ(a －500100)＝1－P (ξ≥a )＝1－0.4＝0.6.从标准正态分布表中查得Φ(0.25)＝0.598 7≈0.6，故a －500100≈0.25，即a ≈525.由此可以估计录取分数线约为525分.。
人教版高中数学选修2-3同步练习：2.4 正态分布
○…………○…………绝密★启用前黑龙江省海林市朝鲜族中学人教版高中数学选修2-3同步练习：2.4 正态分布试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．下面给出了关于正态曲线的4个叙述:①曲线在x 轴上方,且与x 轴不相交;②当x>μ时,曲线下降,当x<μ时,曲线上升;③当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中;④曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,曲线的值位于最高点.其中正确的个数为 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 42．某班有50名学生,一次考试后数学成绩ξ~N (110,102),若P (100≤ξ≤110)=0.34,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为 ( ) A ． 10 B ． 9 C ． 8 D ． 73．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)．且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)等于（ ） A ． 0.6 B ． 0.4 C ． 0.3 D ． 0.24．如果正态总体的数据落在(-3,-1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的数学期望是 ( )A ． 0B ． 1C ． 2D ． 35．如图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的三种正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )A．σ1>1>σ2>σ3>0B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>σ3>0D．0<σ1<σ2=1<σ36．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X～N(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A．(90,110] B．(95,125]C．(100,120] D．(105,115]7．在某市2017年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名8．如果提出统计假设:某工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2).当随机抽取某一个值a时,下列哪种情况可以说明假设不成立()A．a∈(μ-3σ,μ+3σ)B．a∉(μ-3σ,μ+3σ)C．a∈(μ-2σ,μ+2σ)D．a∉(μ-2σ,μ+2σ)9．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量,若一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0,则p0的值为()A．0.954 4B．0.682 6C．0.997 4D．0.977 2○…………外…………○………订……学校:_________考号：_○…………内…………○………订……第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题10．已知随机变量ξ~N (1,σ2),若P (ξ>3)=0.2,则P (ξ≥-1)=____.11．某市有48 000名学生,一次考试后数学成绩服从正态分布,平均分为80,标准差为10,从理论上讲,在80分到90分之间有____人.12．为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ,22),且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为____.三、解答题13．已知随机变量X~N (3,1),且P (2≤X ≤4)=0.682 6,求P (X>4)的值.14．一投资者在两个投资方案中选择一个,这两个投资方案的利润X (万元)分别服从正态分布N (8,32)和N (7,12),投资者要求“利润超过5万元”的概率尽量大,那么他应该选择哪一个方案?15．从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如图所示的频率分布直方图.(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ,σ2),其中μ近似为样本○……○……平均数,σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布,求P (187.8<Z<212.2);②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)上的产品件数,利用①的结果,求E (X ). 附: ≈12.2.若Z~N (μ,σ2),则P (μ-σ<Z<μ+σ)=0.682 6,P (μ-2σ<Z<μ+2σ)=0.954 4.参考答案1．C【解析】【分析】根据正态曲线的性质，分析选项，即可得出结论．【详解】只有③不正确,因为曲线的形状由σ确定,当μ一定时,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散.故选：C【点睛】本题考查正态曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．2．C【解析】【分析】根据考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．得到考试的成绩ξ关于ξ=110对称，根据P（100≤ξ≤110）=0.34，得到P（ξ≥120）=0.16，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．【详解】∵考试的成绩ξ服从正态分布N（110，102）．∴考试的成绩ξ关于ξ=110对称，∵P（100≤ξ≤110）=0.34，∴P（ξ≥120）=P（ξ≤100）=（1﹣0.34×2）=0.16，∴该班数学成绩在120分以上的人数为0.16×50=8．故选：C．【点睛】本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ=110对称，利用对称写出要用的一段分数的频数，题目得解．3．C【解析】∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝0.2，由题意知图象的对称轴为直线x＝2，P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝12P(0<ξ<4)＝0.3视频4．B【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布，图象关于x=μ对称，即可得出结论．【详解】∵随机变量X服从正态分布，X的取值落在区间（﹣3，﹣1）内的概率和落在区间（3，5）内的概率是相等的，∴函数图象关于x==1对称，∴随机变量X的数学期望为1，故选：B．【点睛】本题主要标准正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解．正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值．5．D【解析】【分析】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，可得结论．【详解】由正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，可知：当0＜σ＜1时，它与y轴交点的纵坐标大于f（0）=；当σ＞1时，它与y轴交点的纵坐标小于f（0）．结合图象可知选D．故选：D．【点睛】本题考查正态曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，曲线的对称轴由μ确定，曲线的形状由σ确定；σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“高瘦”．6．C【解析】由于X～N(110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.682 6，0.954 4，0.997 4.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是60×0.682 6≈41人，60×0.954 4≈57人，60×0.997 4≈60人．考点：正态分布.视频7．A【解析】【分析】根据随机变量X服从正态分布，图象关于x=μ对称，即可得出结论．【详解】因为理科学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X≥108)=[1-P(88<X<108)]= [1-P(μ-σ<X<μ+σ)]=×(1-0.682 6)=0.158 7,所以0.158 7×9450≈1500,故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.故选：A．【点睛】本本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8．B【解析】【分析】利用正态分布的“3σ”原理处理即可.【详解】如果是正态分布,那么零件尺寸落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为0.997 4,而任取一个值a∉(μ-3σ,μ+3σ),说明不是正态分布,所以假设不成立.【点睛】正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3σ原则．9．D【解析】【分析】变量服从正态分布N（800，502），即服从均值为800，标准差为50的正态分布，适合700＜X≤900范围内取值即在（μ﹣2σ，μ+2σ）内取值，其概率为：95.44%，从而由正态分布的对称性得出不超过900的概率为p0．【详解】由于随机变量X服从正态分布N（800，502），故有μ=800，σ=50，P（700＜X≤900）=0.9544．由正态分布的对称性，可得p0=（P（X≤900）=P（X≤800）+P（800＜X≤900）=+P（700＜X≤900）=0.9772故选：D．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查学生的计算能力，比较基础．10．0.8【解析】【分析】根据随机变量ξ服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且P（ξ＞3）=0.2，依据正态分布对称性，即可求得答案．【详解】随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＞3）=0.2，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞3），∴P（ξ≥﹣1）=1﹣P（ξ＞3）=1﹣0.2=0.8．故答案为：0.8【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．11．16382【解析】【分析】正态总体的取值关于x=80对称，位于70分到90分之间的概率是0.6826，位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半，得到要求的结果．【详解】∵数学成绩近似地服从正态分布N（80，102），P（|x﹣u|＜σ）=0.6826，∴P（|x﹣80|＜10）=0.6826，根据正态曲线的对称性知：位于80分到90分之间的概率是位于70分到90分之间的概率的一半∴理论上说在80分到90分的人数是（0.6826）×48000≈16382．故答案为：16382．【点睛】一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似的服从正态分布，正态分布在概率和统计中具有重要地位且满足3σ原则．12．683【解析】【分析】由题意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，即可得出在这1000名男生中属于正常情况的人数．【详解】由题意，P（58.5＜X＜62.5）=0.683，∴在这1000名男生中不属于正常情况的人数是1000×0.683=683，故答案为：683．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，主要考查正态曲线的对称性，是一个基础题．13．0.1587【解析】【分析】依据正态分布对称性，即可求得答案．【详解】∵随机变量X~N(3,1),∴正态曲线关于直线x=3对称,由P(2≤X≤4)=0.682 6,得P(X>4)=×[1-P(2≤X≤4)]=×(1-0.682 6)=0.1587.故答案为：0.1587【点睛】本本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题.14．见解析【解析】【分析】欲问他应选择哪一个方案，就是要求出他选择两个方案时，各个利润超过5万元的概率哪一个较大，为此只要利用正态分布求出概率即可．【详解】对于第一个方案有X~N(8,32),其中μ=8,σ=3,P(X>5)=+P(5<X≤11)==;对于第二个方案有X~N(7,12),其中μ=7,σ=1,P(X>5)==.显然第二个方案“利润超过5万元”的概率比较大,故他应该选择第二个方案.【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题.15．(1)200,150(2) 0.6826, 68.26【解析】【分析】（1）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（2）①由（1）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；②由①知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．【详解】(1)抽取的产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(2)①由(1)知,可近似认为Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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2.4正态分布
限时练
周；使用时间17 年 月 日 ；使用班级 ；姓名
一、选择题
1．设随机变量X 服从正态分布，且相应的概率密度函数为φ(x )＝16π
244
6
e x x -+-
，则( )
A ．μ＝2，σ＝3
B ．μ＝3，σ＝2
C ．μ＝2，σ＝ 3
D ．μ＝3，σ＝ 3
2．已知随机变量ξ服从正态分布N (0，σ2)．若P (ξ>2)＝0.023，则P (－2≤ξ≤2)等于( ) A ．0.477 B ．0.628 C ．0.954
D ．0.977
3．若随机变量X 服从正态分布，其正态曲线上的最高点的坐标是(10，1
2)，则该随机变量的
方差等于( ) A ．10 B ．100 C.2π
D.
2π
4．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)等于( ) A.1
2＋p B ．1－p C ．1－2p
D.12
－p 5．已知一次考试共有60名学生参加，考生的成绩X ～N (110，52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内？( ) A ．(90,110 B ．(95,125 C ．(100,120
D ．(105,115
6．已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于( ) A ．0.6 B ．0.4 C ．0.3 D ．0.2
7．在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )
A．2 386 B．2 718
C．3 413 D．4 772
二、填空题
8．已知随机变量x～N(2，σ2)，如图所示，若P(x<a)＝0.32，则P(a≤x<4－a)＝________.
9．已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，则实数a的值为________．10．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图所示，若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数约为________．
11．已知某正态分布的概率密度函数为f(x)＝1
2π
2
(1)
2
e
x-
-
，x∈(－∞，＋∞)，则函数f(x)的
极值点为________，X落在区间(2,3内的概率为__________．
三、解答题
12．从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样
本平均数x，σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；
②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．
附：150≈12.2.
若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.
13．假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800,502)的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为p0.
(1)求p0的值；
(2)某客运公司用A，B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次，A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的运营成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于p0的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的运营成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？
参考答案
1．C 2.C 3.C 4.D
5．C ∵X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.
因此考试成绩在区间(105,115，(100,120，(95,125上的概率分别应是0.682 6,0.954 4,0.997 4. 由于一共有60人参加考试，
故成绩位于上述三个区间的人数分别是 60×0.682 6≈41(人)，60×0.954 4≈57(人)， 60×0.997 4≈60(人)．
6．C 7.C 8.0.36 9.1 10.683 11．x ＝1 0.135 9
解析 由正态分布的概率密度函数知μ＝1，σ＝1，所以总体分布密度曲线关于直线x ＝1对称，且在x ＝1处取得最大值．根据正态分布密度曲线的特点可知x ＝1为f (x )的极大值点．由X ～N (1,1)知P (2<X ≤3)＝12P (－1<X ≤3)－P (0<X ≤2)＝1
2P (1－2×1<X ≤1＋2×1)－P (1－1<X
≤1＋1)＝1
2
×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9.
12．解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为
x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，
s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.
(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6. ②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以E (X )＝100×0.682 6＝68.26. 13．解 (1)由于随机变量X 服从正态分布N (800,502)， 故有μ＝800，σ＝50，P (700＜X ≤900)＝0.954 4. 由正态分布的对称性，可得
p 0＝P (X ≤900)＝P (X ≤800)＋P (800＜X ≤900) ＝12＋1
2
P (700＜X ≤900)＝0.977 2. (2)设A 型，B 型车辆的数量分别为x ，y 辆，则相应的营运成本为1 600x ＋2 400y .
依题意，x，y还需满足：x＋y≤21，y≤x＋7，P(X≤36x＋60y)≥p0.
由(1)知，p0＝P(X≤900)，
故P(X≤36x＋60y)≥p0等价于36x＋60y≥900.
于是问题等价于求满足约束条件
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y≤21，
y≤x＋7，
36x＋60y≥900，
x，y≥0，x，y∈N，
且使目标函数z＝1 600x＋2 400y达到最小的x，y.
作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5,12)，Q(7,14)，R(15,6)．
由图可知，当直线z＝1 600x＋2 400y经过可行域的点P时，直线z＝1 600x＋2 400y在y轴上截距
z
2 400最小，即z取得最小值．
故应配备A型车5辆、B型车12辆．。