研究生数值分析 样条插值

0.50000 0.50000
0.60976 0.64316
0.80000 0.84340 0.91743 0.94090 1.00000 1.00000
y 1.5 1.0
0.5
y L10 ( x) y f (x)
1
0
1x
从图中可以看出，用 L10(x) 近似代替 f (x) 时， 只有当 x 在区间 [-0.2,0.2] 内，逼近程度较好，在 其它地方误差就很大，特别在端点附近，误差就更 大。如
若采用分段插值，虽计算简单，也具有一致收 敛性，但光滑性比较差.
有些实际问题，比如：船体放样，飞机的机翼 设计等要求二阶光滑度(有二阶的连续导数)。过去， 工程师制图时，往往用一根富有弹性的木条（称为 样条），Baidu Nhomakorabea它用压铁固定在样点上，其他地方让它 自由弯曲，然后画一条曲线，称为样条曲线。
它实际上是由分段三次曲线连接而成，在连接 点处有二阶连续导数。我们对工程师描绘的样条曲 线，抽象成数学模型，得出的函数称为样条函数， 它实质上是分段多项式的光滑连接。
f (0.86) 0.05131, L10 (0.86) 0.88808; f (0.96) 0.04160, L10 (0.96) 1.80438
对于高次插值所发生的这种现象，称为龙格 (Runge) 现象。它表明加密节点并不能保证所得到 的插值多项式能更好地逼近 f (x) 。由于以上原因， 一般都避免使用高次插值，常用的方法就是分段 低次插值。
§3 样条插值
1、高次插值的误差分析
从多项式插值的余项估计式
Rn (x)
f ( (n1) )
(n 1)!
n 1
(
x
)
可以看出余项的大小既与插值节点的个数n+1
有关，也与 f (x) 的高阶导数有关。
以拉格朗日插值为例,如果f (x)在区间[a，b] 上存在任意阶导数，且存在于 n 无关的常数 M
使得
10
L10 (x) g (xi )li (x) i0
1
g(xi ) 1 25xi2 , li (x)
10 j0
x xj xi x j
j i
计算结果列于下表，并作草图
x
1 1 25x2
L10 (x)
-1.00 0.03846 0.03846
-0.96 0.04160 1.80438
-0.90 0.04706 1.57872
max f (n1) ( x) M
a xb
则由⑦式有
max
axb
f (x) Ln (x)
M (b a)n1 0 (n 1)!
(n )
可以看出，当插值节点的个数越多，误差越
小，我们还不能简单的认为对所有的插值问题当
插值节点的个数越多，误差就越小。
上面的估计式是有条件的。
即在 [a，b]上函数 f(x) 要有高阶导数，而
-0.86 0.05131 0.88808
-0.80 0.05882 0.05882
-0.76 0.06477 -0.20130
-0.70 0.07547 -0.22620
-0.66 0.08410 -0.10832
-0.60 0.10000 0.1000
-0.56 0.11312 0.19873
-0.50 0.13793 0.25376
下面我们主要讨论常用的三次样条插值函数。
定义4 对于给定函数表
x
x0
x1
…
xn
f (x) y0
y1
…
yn
其中 a x0 x1 xn b ，若函数 S(x) 满足条件
（1）S(x)在每个子区间 [xi1, xi ], (i 1, 2, , n)
上都是不高于三次的多项式；
（2 ） S(x), S(x), S(x) 在区间[a,b]上都连续；
L2 (x)
i 1
[ yk
k i1
i 1
(
j i 1
x xj xk x j
)]
jk
这种分段低次插值叫分段二次插值。
在几何上就是用分段抛物线代替曲线，故分 段二次插值又称为抛物线插值。
3、三次样条插值 对于给定的n+1个节点，求函数的近似值，可以
作 n次插值多项式，当n较大时，高次插值不仅计算 复杂，而且还可能出现高阶导数不一致收敛的现象;
2、分段线性插值与分段二次插值
当给定了n+1个节点 x0< x1< x2<…< xn上的函 数值 y0，y1，y2 , … , yn 后，若要计算点 x（x ≠ xi） 处函数 f(x) 的近似值，可先选取两个节点 xi-1和 xi
使 x [xi1, xi ]
然后在区间 [xi1, xi ] 上作线性插值，即得
且高阶导数要有一致的界。
例如，对于给定区间[-1,1]上的函数
1 g(x) 1 25x2
可以证明
max g (n) ( x) 1 (
1 x1
26
5 )n n! 26
取等距节点，譬如把[-1,1]等分，分点为
xj
1
2j 10
j 0,1, ,10
可以构造10次插值多项式，用拉格朗日公式有
其中
（3） S (x i ) yi , (i 0,1, 2, , n)
则称 S(x) 为函数 f(x) 关于节点 x0 , x1, , xn
的三次样条插值函数。
10 条件（1）表明S(x)是一个分段三次多项式。
若用 Si (x) 表示S(x)在第i个子区间 [xi1, xi ] 上的表达式，则 Si (x) 形如
f (x)
L1(x)
yi 1
x xi xi1 xi
yi
x xi1 xi xi1
这种分段低次插值称为分段线性插值。
在几何上就是用折线代替曲线，故分段线 性插值又称为折线插值。
类似地，为求f(x)的近似值，也可选取距点x
最近的3个节点 xi1, xi , xi1 进行二次插值，即取
f
(x)
Si (x) ai bi x ci x2 di x3
x [xi1, xi ]
其中 ai , bi , ci , di 为待定系数。 子区间共有n个，这样的待定系数共有4n个。
20 根据条件（2）和（3），要求分段三次 多项式函数 S(x) 及其一、二阶导数 S'(x), S''(x) 在区间 [a , b] 上都连续，只要它们在各个子 它们在各个子区间的连接点 xi, (i 1,2, , n 1) 上连续即可。
x
-0.46 -0.40 -0.36 -0.30 -0.26 -0.20 -0.16 -0.10 -0.06 -0.00
1 1 25x2
L10 (x)
0.15898 0.24145 0.20000 0.19999 0.23585 0.18878 0.30769 0.23535
0.37175 0.31650