最新第3章 工程随机数学基础习题_答案

解：（1）
（2）
6．已知在有一级品2件，二级品5件，次品1件的口袋中，任取其中的3件，用 表示所含的一级品件数， 表示二级品件数。试求：
(1) 的联合分布律；
(2)关于 和关于 的边缘分布律；
(3) 。
解：(1)按古典概型计算，从8件中取3件，共有 种取法。在取出的三件中，一级品有i件，二级品有j件，剩下3-i-j件为次品，且其不超过1件。
(n)(n)
1
2
3
4
0
1/10
0
0
0
1
0
4/10
2/10
1/10
2
0
0
0
2/10
4．设随机变量 的联合概率密度为
(1)确定常数k；(2)求 ；
(3)求 ；(4)求 。
(1)由概率密度的性质知：
,
即8k=1∴k=1/8;
(2)
(3)
;
(4)
。
5．设二维随机变量(，)的联合分布函数为：
试求(1)联合概率密度 ；(2) 。
即有
若利用公式
知仅当
时，上述积分的被积函数才不等于0，如图知
即有
20．设 的联合概率密度为 试求 的概率密度。
第3章 多
习题 3
1．设二维随机变量 只能取下列数组中的值：
(0，0)，(-1，1)，(-1，1/3)，(2，0)。
且取这些组值的概率依次为1/6，1/3，1/12，5/12，求表示这二维随机变量的联合分布律的矩形表格。
解：
0
-1
2
0
1/6
0
5/12
1
0
1/3
0
1/3
0
1/12
0
2．一口袋中装有三个球，它们依次标有数字1，2，2。从这袋中任取一球，不放回袋中，再从袋中任取一球。设每次取球时，袋中各个球被取到的可能性相同。以 分别记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求 的联合分布律。
0
1
0
1
2
3
p
0.7
0.3
p
0.4
0.2
0.1
0.3
试求：(1) 的联合分布律；(2) 的分布律。
解：（1）对ξ=0,1， =0,1,2,3
0
1
0
0.28
0.12
1
0.14
0.06
2
0.07
0.03
3
0.21
0.09
有：
（2） 的可能取值有0,1,2,3,4，概率如下：
分布律如下：
0
1
2
3
4
p
0.28
有
所以 得联合分布律如下：
0
1
2
0
0
0
1/56
1
0
5/28
5/56
2
5/28
5/14
0
3
5/28
0
0
(2)关于 的边缘分布律：
0
1
2
P
5/14
15/28
3/28
关于 的边缘分布律
0
1
2
3
P
1/56
15/56
15/56
5/28
(3)
P{<1.5，<2.5}=P{=0，=0}+P{=1，=0}+P{=0，=1}+P{=1，=1}+
-2
-1
0
-1
1/12
1/12
3/12
1/2
2/12
1/12
0
3
2/12
0
2/12
试求(1) ；(2) ；(3) 的分布律。
解：（1） 的取值有-3，-2， ，-1， ，1，2，3.设 =k.
同理易得k取其他值时的概率， 的分布律如下：
-3
-2
-1
1
2
3
p
0
0
（2） 的取值有
与（1）同理，得 得分布律：
-1
0
1
3
4
5
P
0
0
(3) 的取值有
与(1) (2)同理，易知 的分布律：
-3
-2
5
6
7
p
0
0
17．已知 ， 与 独立。试确定a，b的值；并求出 的联合分布律以及 的分布律。
解：（1）易知
（2）相互独立的随机变量 与 的分布律为：
1
2
3
P
-1
-2
-3
P
设
因 独立易知
求出 的联合分律如下：
ξ
1
2
3
-1
-2
-3
（3） 的取值有-2，-1,0,1,2设k= ，有：
的分布律如下：
-2
-1
0
1
2
P
18．已知二维随机变量 的联合概率密度为
试求待定系数A； ； （其中 ）。
解：
=
当z>0时
19．设 与 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为：
试求 的概率密度。
解：利用公式
按函数 的定义知，仅当
即
时，上述积分的被积函数才不等于0，如图3-2知
亦即
而
其中G由曲线 所围成（如图3-1），即有
15．设 的联合概率密度为
，
(1)求待定系数k；
(2)求关于 和关于 的边缘概率密度；
(3)判定 的独立性。
解：
(1)
因为
，
故有
；
因此
。
（2） 和关于 的边缘概率密度计算如下：
，
类似地，可求得
（3）因为
，
故与相互独立。
16．设二维随机变量 的联合分布律为：
P{=0，=2}+P{=1，=2}=40/56
P{≤2}=1，P{<0}=0。
7．已知二维随机变量 的联合概率密度为
试确定待定系数c，并求关于 的边缘概率密度。
解：
（1）根据 解得c=
（2）关于 的边缘概率密度，有
同理
8．设二维随机变量 在区域G上服从均匀分布，其中 试求 的联合概率密度及 和 的边缘概率密度。
1
11．设二维随机变量 的联合概率密度为
试求(1)条件概率密度 ；(2) 。
解：（1）由 为在 条件下， 的条件概率密度，则先求出 为：
当 时
当y<0时
可知
（3）因有
从而得：
12．设随机变量 的概率密度为
求条件概率密度 。
解：
∴
当0<x<1时
当-1<y<1时
。
13．已知相互独立的随机变量 的分布律为：
解： 为区域G的面积
故
9．已知 服从参数 的(0-1)分布，且在 及 下，关于 的条件分布分别如下表表示：
1
2
3
1
2
3
1/4
1/2
1/4
1/2
1/6
1/3
求二维随机变量 的联合概率分布，以及在 时关于 的条件分布。
解：因 服从参数 的(0-1)分布，有 B（1，0.6）
知
易知
，x取1，2，3
有
则二维随机变量（ ， ）的联合概率为：
0.26
0.13
0.24
0.09
14．设 和 是两个独立的随机变量， 在[0，1]上服从均匀分布， 的概率密度为
(1)求 和 的联合概率密度；
(2)设含有a的二次方程为 试求a有实根的概率。
解：（1）因X的概率密度为
且X和Y相互独立，故（X，Y）的概率密度为
（2）a的二次方程 有实根的充要条件为判别式为
解：
1
2
1
0
1/3
2பைடு நூலகம்
1/3
1/3
3．一整数n等可能地在1，2，3，…，10十个值中取一个值，设 是能整除n的正整数的个数， 是能整除n的素数的个数(注意：1不是素数)，试写出 和 联合分布律。
解：
依题意有：
n
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(n)
1
2
2
3
2
4
2
4
3
4
(n)
0
1
1
1
1
2
1
1
1
2
因此=1，2，3，4；=0，1，2。由此易求得和联合分布律为：
0
1
1
1/10
3/10
2
1/5
1/10
3
1/10
1/5
在 1时，
0
1
2
1/3
1/6
3
1/6
1/3
10．在第2题中的两个随机变量 与 是否独立？当 时， 的条件分布是什么？
解：重写联合分布律如下：
1
2
1
0
1/3
1/3
2
1/3
1/3
2/3
1/3
2/3
1
因 ， 和 并不独立
=1时， 条件分布如下：
1
2
P
0