二次函数一般式与顶点坐标公式练习
顶点式专题训练(含答案解析)
顶点式专题训练（含答案解析）一、填空题（本大题共3小题，共9.0分）x2−x+3用配方法化成y=a(x−ℎ)2+k的形式是______ ；该二次函数图象的顶点坐标是1.把二次函数y=−14______ ．2.将二次函数y=x2−2x化为顶点式的形式为：______ ．3.把二次函数y=x2−2x−1配方成顶点式为______ ．二、解答题（本大题共12小题，共96.0分）4.已知二次函数y=−2x2+8x−6，完成下列各题：(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k的形式，并写出它的顶点坐标、对称轴；(2)它的图象与x轴交于A，B两点，顶点为C，求S△ABC．5.已知二次函数y=−2x2+8x−4，完成下列各题：(1)将函数关系式用配方法化为y=a(x+ℎ)2+k形式，并写出它的顶点坐标、对称轴．(2)若它的图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，求△ABC的面积．6.已知二次函数y=x2−6x+8．(1)将解析式化成顶点式；(2)写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；(3)x取什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减小．7.已知二次函数y=x2+2x−3．(1)将y=x2+2x−3用配方法化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)求该二次函数的图象的顶点坐标．8.用配方法将二次函数化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴①y=2x2+6x−12②y=−0.5x2−3x+3．9.已知二次函数y=x2−6x+5．(1)将y=x2−6x+5化成y=a(x−ℎ)2+k的形式；(2)求该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；(3)当y>0时，求x的范围．10.已知二次函数y=2x2−8x+6．(1)把它化成y=a(x−ℎ)2+k的形式为：______ ．(2)直接写出抛物线的顶点坐标：______ ；对称轴：______ ．(3)求该抛物线于坐标轴的交点坐标．11.(1)解方程：12x(x−1)−(x−1)=0．(2)已知抛物线y=−2x2+8x−6，请用配方法把它化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并指出此抛物线的顶点坐标和对称轴．12.已知二次函数y=−12x2+x+32．(1)用配方法将此二次函数化为顶点式；(2)求出它的顶点坐标和对称轴方程．13.用配方法把二次函数y=x2−3x−4化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，并写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．14.用配方法把函数y=−3x2−6x+10化成y=a(x−ℎ)2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．15.已知二次函数y=x2−4x+3．(1)将函数化成y=(x−ℎ)2+k的形式；(2)写出该函数图象的顶点坐标和对称轴．答案和解析【答案】(x+2)2+4；(−2,4)1. y=−142. y=(x−1)2−13. y=(x−1)2−24. 解：(1)y=−2x2+8x−6=−2(x2−4x+3)=−2(x2−4x+4−4+3．=−2(x−2)2+2，∴顶点坐标为(2,2)，对称轴为直线x=2．(2)令−2(x−2)2+2=0解得：x1=3，x2=1．∴A(3,0)，B(1,0)∴AB=3−1=2．∴C(2,2)，×2×2=2．∴S△ABC=125. 解：(1)y=−2x2+8x−4=−2(x2−4x)−4=−2(x2−4x+4−4)−4=−2(x−2)2+4.所以，抛物线的顶点坐标为(2,4)，对称轴为直线x=2．(2)令y=0得−2(x−2)2+4=0，(x−2)2=2，所以x−2=±√2，所以x1=2+√2，x2=2−√2．所以与x轴的交点坐标为A(2+√2,0)，B(2−√2,0)．×[(2+√2)−(2−√2)]×4=4√2．∴S△ABC=126. 解：(1)y=x2−6x+8=x2−6x+9−1=(x−3)2−1；(2)开口向上，对称轴是x=3，顶点坐标是(3,−1)；(3)x>3时，y随x的增大而增大；x<3时，y随x增大而减小．7. 解：(1)y=x2+2x−3=x2+2x+1−1−3 =(x+1)2−4．(2)∵y=(x+1)2−4，∴该二次函数图象的顶点坐标是(−1,−4)．8. 解：①y=2x2+6x−12=2(x+32)2−332，则该抛物线的顶点坐标是(−32,−332)，对称轴是x=−32；②y=−0.5x2−3x+3=−12(x+3)2+152，则该抛物线的顶点坐标是(−3,152)，对称轴是x=−3．9. 解：(1)y=x2−6x+5=x2−6x+9−4=(x−3)2−4；(2)∵y=(x−3)2−4，∴该二次函数图象的对称轴是直线x=3，顶点坐标是(3,−4)；(3)x2−6x+5=0，x1=1，x2=5，当x<1或x>5时，y>0．10. y=2(x−2)2−2；(2,−2)；x=211. 解：(1)12x(x−1)−(x−1)=0，分解因式得：(x−1)(12x−1)=0，可化为：x−1=0或12x−1=0，解得：x1=1，x2=2；(2)∵y=−2x2+8x−6=−2(x2−4x+4)+8−6=−2(x−2)2+2，∴此抛物线的顶点坐标是(2,2)，对称轴为直线x=2．12. 解：(1)二次函数y=−12x2+x+32=−12(x−1)2+2；(2)∵二次函数y=−12(x−1)2+2，∴二次函数的顶点坐标为(1,2)，抛物线的对称轴为x=1．13. 解：y=x2−3x−4=(x−32)2−254，则函数图象的开口方向向上，对称轴是x=32，顶点坐标(32,−254).14. 解：∵y=−3x2−6x+10=−3(x+1)2+13，∴开口向下，对称轴x=−1，顶点坐标(−1,13)，最大值13．15. 解：(1)y=x2−4x+4−4+3=(x−2)2−1；(2)图象的顶点坐标是(2,−1)，对称轴是：x=2．【解析】1. 解：y=−14x2−x+3=−14(x2+4x)+3=−14(x+2)2+4，∴顶点(−2,4)．(x+2)2+4，(−2,4)．故答案为：y=−14利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标．此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点公式．2. 解：y=x2−2x=x2−2x+1−1=(x−1)2−1，故答案为y=(x−1)2−1．利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式．本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式．3. 解：y=x2−2x−1=(x2−2x+1)−1−1=(x−1)2−2，故选答案为y=(x−1)2−2．由于二次项系数为1，所以直接加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).4. (1)利用配方法整理成顶点式，然后写出顶点坐标和对称轴即可；(2)令y=0解关于x的一元二次方程，即可得到与x轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式计算即可；本题考查了二次函数的三种形式，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握配方法的操作整理成顶点式形式求出顶点坐标和对称轴更加简便．5. (1)利用配方法即可解决问题；(2)求出A、B、C三点坐标即可解决问题；本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．6. (1)利用配方法将解析式化成顶点式；(2)根据二次函数的性质解答；(3)根据抛物线的开口方向、对称轴以及二次函数的性质解答．本题考查的是二次函数的三种形式、配方法的应用以及二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．7. 本题考查了二次函数的性质以及二次函数的三种形式.二次函数的解析式有三种形式：①一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；②顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；③交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).(1)利用配方法先加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，再把一般式转化为顶点式即可；(2)根据顶点坐标的求法，得出顶点坐标即可；8. ①②利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式，可把一般式转化为顶点式，从而得出顶点坐标和对称轴．此题考查了二次函数表达式的一般式与顶点式的转换，并要求熟练掌握顶点公式和对称轴公式．9. (1)利用配方法把一般式化为顶点式；(2)根据二次函数的性质解答；(3)求出x2−6x+5=0的解，解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，灵活运用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．10. 解：(1)y=2x2−8x+6=2(x2−4x+4)−8+6=2(x−2)2−2；(3)∵y=2x2−8x+6，∴当y=0时，2x2−8x+6=0，解得x1=1，x2=3，∴抛物线与x轴的交点坐标为(1,0)，(3,0)；当x=0时，y=6，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,6)．故答案为y=2(x−2)2−2；(2,−2)，x=2．(1)利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式；(2)根据二次函数的性质，利用二次函数的顶点式即可求出抛物线的顶点坐标与对称轴；(3)把y=0代入y=2x2−8x+6，解方程求出x的值，从而得到抛物线与x轴的交点坐标；把x=0代入y=2x2−8x+6，求出y的值，从而得到抛物线与y轴的交点坐标．本题考查了二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).同时考查了二次函数的性质以及抛物线与坐标轴交点坐标的求法．11. (1)先将把方程左边化为两个一次因式积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出方程的解即可得到原方程的解；(2)先利用配方法提出二次项系数，加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式，再根据二次函数的性质即可写出抛物线的对称轴和顶点坐标．本题考查了二次函数解析式的三种形式，二次函数的性质及解一元二次方程−因式分解法，难度适中．12. (1)利用配方法将二次函数的一般式变形为顶点式，此题得解；(2)根据二次函数的顶点式，结合二次函数的性质即可得出顶点坐标以及对称轴．本题考查了二次函数的三种形式以及二次函数的性质，利用配方法将二次函数的一般式变形为顶点式是解题的关键．13. 运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质解答即可．本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键，14. (1)这个函数的二次项系数是−3，配方法变形成y=(x+ℎ)2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数−3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．(2)二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a(x−ℎ)2+k(a≠0，且a，h，k是常数)，它的对称轴是x=ℎ，顶点坐标是(ℎ,k)．本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是中考中经常出现的问题．15. (1)把一般式利用配方法化为顶点式即可；(2)利用顶点式求得顶点坐标和对称轴即可．此题考查二次函数的解析式的三种形式：(1)一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)；(2)顶点式：y=a(x−ℎ)2+k；(3)交点式(与x轴)：y=a(x−x1)(x−x2).。
二次函数的几种表达式
x O B
?
感悟与反思:
我感触最深的是……
我感到最困难的是…… 我已领悟到……
谢谢指导!
方法1
x
方法2
y
O
方法3
x
二次函数的几种表达式：
①、 y ax (a 0)
2
y
ax c(a 0) 2 ③、 y a( x h) (a 0)
②、 y
④、 y ⑤、 y
2
o
x
a( x h) k (a 0)
2
(顶点式) (一般式)
ax bx c(a 0)
b2-4ac ＜０时,抛物线于x轴没有交点
b2-4ac ≥０时,抛物线于x轴总有交点
用心练一练!
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ B ） A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
学以致用：
1﹑有一个抛物线形的拱形桥，建立如图所示的直 1 角坐标系后，抛物线的解析式为 y＝－ 75 x2－1。 （1）求拱顶离桥面的高度。 （2）若拱顶离水面的高度为27米，求桥的跨度。
y
o
x
A
B
学以致用：
2﹑某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷 出的水呈抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直，如图 建立平面直角坐标系）如果抛物线的最高点M离墙1米， 离地面 40 米，求水流落地点B离墙的距离OB是多少 3 米？
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ A ） A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0 C、a<0,b<0,c=0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象 如图所示，则a、b、c的符号为（ C ） A、a>0,b=0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a>0,b=0,c<0 D、a<0,b=0,c<0
二次函数与曲线的顶点坐标求解技巧
二次函数与曲线的顶点坐标求解技巧二次函数是高中数学中常见且重要的概念，它的图像是一条平滑的曲线，其中最重要的特征之一就是顶点。
顶点坐标的求解对于理解二次函数的性质和解决实际问题非常有帮助。
本文将介绍求解二次函数与曲线的顶点坐标的几种常用技巧。
一、标准式求解顶点坐标二次函数的标准式一般形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a≠0。
通过标准式，我们可以很方便地求解二次函数的顶点坐标。
1. 顶点的横坐标：二次函数的顶点横坐标可通过下式求得：x = -b / (2a)。
这个公式是由于二次函数的横坐标是一个抛物线的对称轴，对称轴的方程可以通过对函数的一阶导数求解得到，即y' = 0，将一阶导数等于0，解得x = -b / (2a)。
2. 顶点的纵坐标：将顶点横坐标代入二次函数的标准式可求得顶点的纵坐标。
例如，二次函数的标准式为y = 3x^2 + 2x + 1，根据上述求解方法，我们可以得到顶点的横坐标 x = -b / (2a) = -2 / (2*3) = -1/3。
将顶点的横坐标代入二次函数的标准式可得顶点的纵坐标 y = 3*(-1/3)^2 + 2*(-1/3) + 1 = 4/3。
因此，二次函数y = 3x^2 + 2x + 1的顶点坐标为(-1/3, 4/3)。
二、顶点形式求解顶点坐标二次函数还可以通过顶点形式的表示来求解顶点坐标。
顶点形式的二次函数表达式为：y = a(x-h)^2 + k，其中(a≠0)。
通过顶点形式，我们可以直接读取顶点的坐标。
例如，二次函数的顶点形式为y = 2(x+3)^2 + 4，从这个式子中我们可以直接读取到顶点坐标为(-3, 4)。
三、图像特征观察法除了数学公式的运算求解，我们还可以通过观察二次函数的图像特征来估算和求解顶点坐标。
1. 面积法：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a>0时，对应的图像是一个开口向上的抛物线。
【教育资料】二次函数顶点坐标公式学习专用
二次函数顶点坐标公式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：(1)一般式：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数，a≠0),则称y为x的二次函数。
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
(2)顶点式：y＝a(x-h)2+k或y=a(x+m)^2+k(a,h,k为常数，a≠0).
(3)交点式（与x轴）：y=a(x-x1)(x-x2)
(4)两根式：y＝a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是抛物线与x
轴的交点的横坐标，即一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个根，a≠0.
说明：
(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝
a(x-h)2+k，抛物线的顶点坐标是(h,k)，h＝0时，抛物线y ＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时，抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时，抛物线y＝ax2的顶点在
原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c＝0有实数根x1和x2存在时，根据二次三项式的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝
ax2+bx+c可转化为两根式y＝a(x-x1)(x-x2).。
广东省广州市 人教版 九年级上 数学 二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题
二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式一．基础知识：1.（1）完全平方公式：222a ab b ±+=()2a ±——（2）()226_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=-（4）()222____x x x ++=+ （5）()224____x x x -+=-二、基础知识练习1.类型一：1,a b ==偶数例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。
举一反三：用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。
类型二：1,a b ==奇数例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。
举一反三：求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。
类型三：1a ≠例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值举一反三：求二次函数23123y x x =--的最小值。
例4.求抛物线21232y x x =--+的顶点坐标。
举一反三：求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。
三、过关练习：1.求抛物线243y x x =--的顶点坐标2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（ ）A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()214y x =--3.已知抛物线228y x x =+。
（1）化成顶点式为_________ (2)顶点坐标为_________ (3)当x ________时，y 的最_______值__________;(4)当x________时，y 随x 的增大而增大。
4.二次函数2112y x x =---的图像可由抛物线212y x =-怎样平移得到？5.抛物线222y x x =-++。
九年级数学 二次函数顶点公式
二次函数顶点公式对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)交点式：y=a(x-x₁)(x-x ₂) [仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B（x₂，0）的抛物线]其中x1，2= -b±√b^2－4ac顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a= （x₁+x₂）/2 k=(4ac-b^2)/4a 与x轴交点：x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a抛物线y=ax²+bx+c 的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；(2)当△=b²-4ac>0，图象与x轴交于两点A( ,0)和B( ,0)，其中的 , 是一元二次方程y=ax²+bx+c(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=| - |.当△=0,图象与x轴只有一个交点；当△<0,图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0)．(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0)．二次函数顶点坐标公式及推导过程二次函数顶点式及推导过程二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0) 二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)2二次函数的其他表达式交点式[仅限于与x轴即y=0有交点时抛物线，即b2-4ac≥0] a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。
《公式法求顶点坐标》学生用
（ 4）
1 2 y x 4x 3 2
4 0.5 3 (4) y小 5 4 0.5
2
解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上
4 x对 4 2 0 .5
顶点坐标：（4 , - 5）
对称轴： x 对 4
当 x 4时， y最小值＝ -5
4 3 0 2 1 y小 43 3
《公式法求顶点坐标》步骤:
1、从二次函数一般式中找出a b c的值； 2、把a b c的值代入顶点坐标公式；
1 1 顶点坐标为 , 3 3
1 1 当x 时，y最小值＝3 3
1 对称轴x 3
x对
b 2a
对称轴x 1
当x 1时，y最大值＝ 1
（ 3）
y 2 x 8x 8
2
2
解: a = －2 < 0抛物线开口向下
4 （ 2） （ 8） 8 8 x对 2 y大 0 2 (2) 4 （ 2）
顶点坐标为 2, 0
对称轴x 2
4ac b y大（小） 4a
2
3、按题的要求写出结果。 注意：a>0有小值；a<0有大值。
（ 2）
y x 2x
2
解: a = －1 < 0抛物线开口向下
2 x对 1 2 (1)
4 （ 1 ） 0 （ 2） y大 1 4 （ 1 ）
2
顶点坐标为 1,1
注意：一般式化成顶点式的步骤。 二次函数的一般式：y＝ax2 +bx+c化成顶点式：y=a(x-h)2 +k
三、用配方法:求二次函数y＝－2x2－4x＋1 的对称轴、顶点坐标、大（小）值．
二次函数典型例题及练习题
二次函数专题一：二次函数的图象与性质考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移 2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了 下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号） 5.函数Y=X 2+2X-3(-2≦X ≦2)的最大值和最小值分别是_______. 6．已知二次函数y=-x 2+bx-8的最大值为8，则b 的值为_______. 7、已知函数y=21x 2-x-12，当函数y 随x 的增大而减小时，x 的取值范围是_______ 专题二：二次函数表达式的确定考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标. 专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）图22- 1- 012 yx13x =ABC D图1菜园墙A.y=2a （x-1）B.y=2a （1-x ）C.y=a （1-x 2）D.y=a （1-x ）2 专题三：二次函数与一元二次方程的关系考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x <<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.练习：已知抛物线y=12x 2+x-52． （1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B ，求线段AB 的长．考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k的取值范围是________. 2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．图2图13.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4.不论x 为何值,函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,△>0; B.a>0, △<0; C.a<0, △<0; D.a<0, △<05. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题： （1）写出方程20ax bx c ++=的两个根． （2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围． 专题四 二次函数的应用例4 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x （元）•与产品的日销售量y （件）之间的关系如下表：x （元） 15 20 30…y （件） 25 20 10…若日销售量y 是销售价x 的一次函数．（1）求出日销售量y （件）与销售价x （元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？•此时每日销售利润是多少元？练习：1、如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是【 】A ．1<x<5-B ．x>5C ．x<1-且x>5D ．1<x -或x>5x y33 2 2 1 14 1- 1- 2-O 图3x y3-2、教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系为21(4)312y x =--+，由此可知铅球推出的距离是 m 。
二次函数常用公式、结论及训练
初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练一、 常用公式或结论（1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。
纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。
（2）点轴距离：点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。
（3）两点间的距离公式：若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则 AB=221212()()x x y y -+- （4）点到直线的距离：点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为：0022Ax By Cd A B++=+（5）中点坐标公式:若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212,22x x y y ++）（6）直线的斜率公式：若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：1212=AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论：已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2①若l 1//l 2,则k 1=k 2；②若k 1=k 2，且b 1 ≠b 2，则 l 1//l 2。
（8）两直线垂直的结论：已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 1┴l 2，则k 1•k 2 =-1；②若k 1•k 2 =-1，则l 1┴l 2（9）直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长公式：【初高中数学重要衔接内容之一，设而不求的思想】直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）截得的弦长公式是：AB=2121x x k -∙+=2122124)(1x x x x k -+∙+证明如下：设直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）交于A （x 1, y 1）, B （x 2, y 2）两点，由两点间的距离公式可得：AB=221221)()(y y x x -+-，因为A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点是直线y=kx+n 与抛物线抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）的交点，所以 A （x 1, y 1）,B （x 2, y 2）两点也在直线y=kx+n 上，∴y 1=kx 1+n, y 2=kx 2+n, ∴y 1-y 2=（kx 1+n ）—（kx 2+n ）=kx 1-kx 2=k （x 1-x 2）， ∴AB=2212221)()(x x k x x -+-=2212))(1(x x k -+=2121x x k -∙+=2122124)(1x x x x k -+∙+而x 1, x 2显然是直线y=kx+n 与抛物线y=ax 2+bx+c （或双曲线y=m/x ）组成方程组后，消去y （用代入法）所得到的那个一元二次方程的两根，从而运用韦达定理x 1+x 2 , x 1∙x 2可轻松求出，进而直线与抛物线（或双曲线）截得的弦长就很容易计算或表示出来。
初二数学二次函数抛物线顶点式&顶点坐标公式
初二数学二次函数抛物线顶点式&顶点坐标公式初二数学二次函数抛物线顶点式顶点坐标公式顶点式：y=a(x-h)^2+k(a≠0，k为常数，x≠h)顶点坐标公式顶点坐标：(-b/2a),(4ac-b^2)/4a)二次函数y=ax2;，y=a(x-h)2;，y=a(x-h)2;+k，y=ax2;+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：解析式y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c顶点坐标[0，0][h，0][h，k][-b/2a,(4ac-b2)/4a]对称轴x=0x=hx=hx=-b/2a当h0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2;向右平行移动h个单位得到，当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到.当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;当h0,k0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;因此，争论抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象供应了便利.2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象：当a0时，开口向上当a0时,开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是[-b/2a,(4ac-b2)/4a]3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小;当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大.若a0，当x≤-b/2a 时，y随x的增大而增大;当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴确定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b2-4ac0，图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的`距离AB=|x2-x1|=.当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax2+bx+c的最值：假如a0(a0)，则当x=时，y最小(大)值=.顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x)(x-x2)(a≠0).7.二次函数学问很简洁与其它学问综合应用，而形成较为简洁的综合题目。
二次函数知识点总结及典型例题和练习(极好)
二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【例1】 已知函数y=x 2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2） 交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
二次函数知识点总结及典型例题和练习
二次函数知识点总结及典型例题和练习（极好）知识点一：二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。
2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。
3、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。
【例1】 已知函数y=x 2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。
然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说 出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2） 交点式：当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
用公式求二次函数的顶点与对称轴(3.5).
4
2
-5
5
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-2
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活动一：复习
1、说出下列二次函数图像的开口方向、对称轴 及顶点坐标。
（1 ） y=2(x+3)2+5 抛物线 y=2(x+3)2+5的开口向 上 ，对称轴 是 直线x=-3 ，顶点坐标是 (-3,5) 。 （2）y= -3(x+1)2-2
抛物线 y=-3(x+1)2-2的开口向 下 ，对 称轴是 直线x=-1 ，顶点坐标是(-1,-2)。
b b a x a 2 c 2a 4a
2
2
看 以 下 过 程
b 4a b a x c 交换项的位置 2a 4a 4a 2 2 b 4ac b a x 2a 4a 4a 2 2 b 4ac b 分 a通 x 2a 4a
(1)求抛物线的对称轴和顶点坐标可以 采用配方法，或者是用顶点的坐标公式。
(2) 配方法和坐标公式法可作如下对比：
对
配方法
优 点
比
公式法 不易出错
容易掌握
二次项系数为1 二次项系数较为 的一般式求顶 复杂的一般式求 适 顶点坐标 用 点坐标
范 围
例如： 求y=x2-2x+3 的顶点坐标
例如： 1 2 求 y 2 x 4x 3 的顶点坐标
2 1
2
1 2 5 2、二次函数 y x 3x 的图像是由 2 2 1 2 函数 y x 的图像先向 左 平移
2 3 个单位，再向 下 平移 7 个单位 得到的。
1 2 5 1 分析： y x 3 x x 3 7 2 2 2
人教版九年级上册《二次函数顶点式和一般式》同步练习
二次函数顶点式和一般式课前检测：在同一坐标系内，函数y ＝kx 2和y ＝kx －2(k ≠0)的图象大致如图( )函数y=a （x -h ）2+k （顶点式）的图像和性质1. 抛物线y=（x+1）2+2的顶点坐标是_________，对称轴是________2. 将抛物线y= -（x -2）2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的解析式是________3.抛物线()3-1212+-=x y ，开口向 ，对称轴 ，顶点坐标是 ,当x _____时，y 随x 的增大而增大；当x _____时，y 随x 的增大而减小；当x _____时，函数y 有_____值,这个值是_______。
4.已知A(−1,y1),B(2,y2)是抛物线y=−(x+2)2+1上的两点,则y1,y2的大小关系( )A. y1>y2B. y1≥y2C. y1<y2D. y1≤y25.对于抛物线()31212++-=x y ，下列结论：①抛物线的开口向下 ②对称轴为直线x =1 ③顶点坐标为（—1,3） ④x ＞1时，y 随x 的增大而减小，其中正确的个数为（ ） A 、 1个 B 、2个 C 、 3个 D 、 4个根据顶点、对称轴求抛物线解析式1.把抛物线y=-2(x -1)2向上平移k 个单位使所得的抛物线经过点（-2，-10）.求k 的值.2.抛物线的顶点为（1,2），且形状与y=x2相同，开口向上，求抛物线的解析式。
3.抛物线的顶点为（2,-3），且经过（1，-1），求抛物线的解析式。
4.已知二次函数y=x2+bx+c的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数y=（x-1）2+2．（1）求b，c的值；（2）当1≤x≤4时，求二次函数y=x2+bx+c的最大值和最小值．5.已知二次函数y=(x+m)2+k的顶点为(1,−4)(1)求二次函数的解析式及图象与x轴交于A. B两点的坐标。
(2)将二次函数的图象沿x轴翻折，得到一个新的抛物线，求新抛物线的解析式。
二次函数的顶点坐标公式
二次函数的顶点坐标公式二次函数是代数中的一个常见函数类型，它的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
二次函数的图像为一个抛物线，它的顶点是最值点，对于抛物线向上开口（a>0）的二次函数，顶点为最低点，对于抛物线向下开口（a<0）的二次函数，顶点为最高点。
本文将介绍二次函数的顶点坐标公式，帮助读者理解二次函数的特性以及如何确定顶点坐标。
1. 二次函数的顶点顶点是二次函数图像的最值点，决定了抛物线的开口方向以及最低点或最高点的位置。
我们知道，二次函数的图像是一个平滑的曲线，没有拐点或角点。
而顶点恰好位于平滑曲线的转折点处。
2. 二次函数顶点的横坐标公式要确定二次函数的顶点的横坐标，我们可以通过以下公式计算：x = -b / (2a)其中，a为二次项系数，b为一次项系数。
这个公式可以通过配方法或求导等方式推导得到，但在使用时，我们只需记住该公式的形式即可。
通过将这个公式代入二次函数的横坐标，我们可以轻松地求出顶点的横坐标。
3. 二次函数顶点的纵坐标公式要确定二次函数的顶点的纵坐标，我们可以将顶点的横坐标代入原二次函数中，即将 x = -b / (2a) 代入 f(x) = ax^2 + bx + c。
f(-b / (2a)) = a(-b / (2a))^2 + b(-b / (2a)) + c化简上式可得：f(-b / (2a)) = (-b^2 + 4ac) / (4a)相比于顶点的横坐标公式，顶点的纵坐标公式需要多一些计算步骤，但同样是通过将顶点的横坐标代入原函数来求解。
综上所述，二次函数的顶点坐标公式为：横坐标：x = -b / (2a)纵坐标：y = (-b^2 + 4ac) / (4a)这是求解二次函数顶点坐标的常用公式，可以帮助我们快速准确地确定二次函数的顶点坐标。
在实际问题中，顶点坐标可以提供重要的信息，帮助我们研究函数的特性和解决实际应用问题。
二次函数顶点式练习题和答案
二次函数顶点式练习题和答案一、学习目标：1、能够熟练利用配方法、公式法求出二次函数的顶点坐标和对称轴。
2、会画二次函数的大致图像3、进一步体会数形结合思想在解题中的应用二、例题分析例1、已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图，则下列结论中正确的是A．a＞0B．当x＞1时，y随x的增大而增大C．c＜0 D．3是方程ax＋bx＋c＝0的一个根例2、某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题：当销售单价为每千克55元时，计算销售量和月利润．设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y 与x的函数关系式．销售单价定为多少元时，获得的利润最多？三、巩固训练1、抛物线y=2x2-6x-1的顶点坐标为_______，对称轴为________．2、如果y=xm2?m22是关于x的二次函数，则m=A．-1 B． C．-1或 D．m不存在 13．y=x2-7x-5与y 轴的交点坐标为A．- B． C． D．x图1 、下列关于抛物线y=x2+2x+1的说法中，正确的是5、二次函数y=ax2-bx+c的图象如图1所示，则a，b，c?与零的大小关系为a___0，b___0，c___0．6、若抛物线y=x2+2mx+2m-1的图象的最低点的纵坐标为零，则m=_____．7．已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17，则a=______．8、二次函数y=x2+2的图象开口_______，对称轴是______，顶点坐标是___．A．开口向下 B．对称轴是直线x=1 C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标是9、如图2,用长60?米的篱笆，靠墙围成一个长方形场地，在表示场地面积时，图可以设_______为x米，也可以选择______为x米，相应地面积S的解析式为_____或______．10、使函数y=x2-3x+2的值为零的x的值为_______． 11．函数y=2-3x2的图象，开口方向是____，?对称轴是_____，?顶点坐标是_______．12．无论m为任何实数，总在抛物线y=x2+2mx+m上的点是_____13、抛物线的图象如图3所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是．．A、y=x2-x-B、y=?C、y=?121x??12121x?x?1D、y=?x2?x?222图314、已知二次函数y＝ax＋bx＋c的图象如图4所示，给出以下结论：①abc?0②当x?1时，函数有最大值。
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习
新人教版九年级上二次函数知识点总结与练习新人教版九年级上二次函数知识点总结与练知识点一：二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项。
知识点二：二次函数的图象与性质抛物线的三要素：开口、对称轴、顶点1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质1）二次函数基本形式y=ax2的图象与性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2）y=ax2+c的图象与性质：上加下减。
3）y=a(x-h)2的图象与性质：左加右减。
4）二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质。
3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质1）当a>0时，抛物线开口向上，对称轴为x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a，c-b2/4a)。
当x -b/2a时，y随x的增大而增大；当x=-b/2a时，y有最小值c-b2/4a。
2）当a -b/2a时，y随x的增大而减小；当x=-b/2a时，y 有最大值c-b2/4a。
知识点三：二次函数常见方法指导1）二次函数y=ax2+bx+c图象的画法①画精确图五点绘图法（列表-描点-连线）利用配方法将二次函数y=ax2+bx+c化为顶点式y=a(x-h)2+k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
②画草图抓住以下几点：开口方向，对称轴，与y轴的交点，顶点。
2）二次函数图象的平移平移步骤：①将抛物线解析式转化成顶点式y=a(x-h)2+k，确定其顶点坐标(h,k)；②可以由抛物线a(x-h)2经过适当的平移得到具体平移方法如下：1.平移规律可以概括成“左加右减，上加下减”。
2.求二次函数解析式时，可以选择一般式、顶点式或交点式，根据已知条件选择合适的式子。
3.求抛物线顶点和对称轴的方法有公式法、配方法和对称性法。
4.在抛物线y=ax2+bx+c中，a决定开口方向和大小，b和a共同决定对称轴位置，c决定与y轴的交点位置。
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已知函数
()4
12-
+
=x
y.
（1）该抛物线经过怎样的平移能经过原点.
（2）画出该函数图象，并根据图象回答：当x取何值时，函数值大于0；当x取何值时，函数值小于0.
1、二次函数
k
h
x a
y+
-
=2)
(
的图像和
2
ax
y=
的图
像之间的关系。
2.二次函数y=a(x-h)2+k的性质：
问题一：将一般式转化为顶点式
试将下列函数转化为顶点式，并说出其对称轴，顶点坐标。
（1）262y x x =-- （2）2124
y x x =--+ （3）
2
961y x x =-+ 问题二：顶点坐标公式
将2y ax bx c =++转化为顶点式：
222222
22222424y ax bx c b c a x x a a b b b c a x a a a a b ac b a x a a =++⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
-⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭ 22,24,24y ax bx c b x a
b a
c b a a =++=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭因此，二次函数的图像是
一条抛物线，它的对称轴是直线顶点是 利用顶点坐标公式填写下列表格：
问题三：y=a（x-2）（x+3）与x轴的交点坐标是，二次函数图象的顶点坐标，对称轴，开口方向。
例1当x= 时，二次函数y=x2+2x-2有最小值．
例2、若抛物线y=-x2+4x+k的最大值为3，则k=
试一试：
1、函数
2
1
26
2
y x x
=+-
的顶点坐标为，当x=
时，y取最值为.与坐标轴的交点坐标，分析增减性，用5点作图法完成作图。
2、当x为实数时，代数式x2-2x-3的最小值是
，此时x= .
3、求二次函数62
+--=x x y 的图象与x 轴和
y 轴的交点坐标
五、课后练习：
1、抛物线y=2x 2-4x+3的顶点坐标是
2、二次函数y=x 2+2x-3的图象的对称轴是直线
3、抛物线y=-3x 2+1的顶点坐标是
4、二次函数y=-（x+1）2-2的图象开口向 ，对
称轴为 ，顶点坐标为
6、抛物线y=-2x 2-4x+1的顶点关于x 轴对称的点的坐标为
7、二次函数y=ax 2-2x+1的图象经过点（1，2），则其图象的
开口方向
8、函数y=-x 2+2x-3的对称轴是 ，有最
值，且最值为
9、已知二次函数y=-x 2+2x+c 2的对称轴和x 轴相交于点（m ，
0），则m 的值为
10、抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴是直线x=1，则b 的值为
11、二次函数y=x 2-2x+3的最小值是
12、二次函数y=mx 2-4x+1有最小值-3，则m 等于
13、将抛物线y=x 2-2向左平移3个单位，所得抛物线的函数
表达式为
14、在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-2）2+2的图象
向左平移2个单位，所得图象对应的函数解析式为
15、将抛物线y=x 2+x 向下平移2个单位，所得抛物线的表达
式是
16、把抛物线y=x 2+bx+c 的图象向右平移3个单位，再向下
平移2个单位，所得图象的解析式为y=x 2-2x+3，则b 的值为
17、已知二次函数y=x 2+2mx+2，当x ＞2时，y 的值随x 值
的增大而增大，则实数m 的取值范围是 .
8、二次函数c bx x y ++=2
的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为
122
+-=x x y ，则b 与c 分别等于（ ）
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