《三角形全等的判定和性质综合应用》PPT课件(县级优课)
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三角形全等的判定ppt
边角边定理
两边对应相等，且夹角也相等的两 个三角形全等。
角边角定理
两角对应相等，且夹边也相等的两 个三角形全等。
角角边定理
两角对应相等，且另一组对应角也 相等的两个三角形全等。
运用全等解决实际问题
利用全等解决测量问题
通过测量三角形各边的长度和角度，可以计算出未知量，如 高度、角度等。
利用全等解决设计问题
角边角定理（ASA）
总结词
两角对应相等且夹边相等的两个三角形全等。
详细描述
角边角定理也是三角形全等的判定方法之一。它表明只要两个三角形的两个角对 应相等，并且这两个角所夹的边也相等，那么这两个三角形就全等。
角角边定理（AAS）
总结词
两角对应相等且一边相等的两个三角形全等。
详细描述
角角边定理是三角形全等的重要判定方法之一。它表明只要两个三角形的两 个角对应相等，并且其中一个角所对应的一条边也相等，那么这两个三角形 就全等。
随着科学技术的发展，全等三角形的判定方法将 会在更多的领域得到应用和发展。
THANKS
谢谢您的观看
结论
全文总结
01
本文介绍了三角形全等的概念和重要性，并详细阐述了三角形 全等的判定方法。
02
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
通过对比不同判定方法的优缺点，总结了不同情况下应选择的
判定方法。
重点强调了全等三角形的性质和应用，为解决实际问题提供了
03
基础和保障。
对未来学习的建议
建议学习者在学习本部分内容之前，先了解全 等图形的概念及作用，以便更好地理解全等三 角形的判定方法。
04
与三角形全等相关的定理和推论
重要的定理和推论
SAS定理
三角形全等的判定ppt课件
形状、大小相同的图形放在一起能 够完全重合，能够完全重合的两个 图形叫做全等形
要符合逻辑
如果△ABC ≌△ A′B′ C′,那么它们的对应边相等，对应角相等
AB =A′B ∠A =∠A′
BC =B′C′ ∠B =∠B′
∠C =∠C′ AC =A′C′
根据全等三角形的定义，如果△ABC 与△ A′B′C′,满足三条 边分别相等，三个角分别相等，即
O'C'=OC ， ∵ O'D'=OD ，
C'D'=CD ，
∴ ∠C'O'D'= ∠COD. 即∠A'O'B' = ∠AOB
练习
工人师傅常用角尺平分一个任意角. 做法如下： 如图，∠AOB是一个任意角，在边 OA,OB上分别取OM=ON，移动角 尺，使角尺两边相同的刻度分别与 M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即 是∠AOB的平分线.为什么？
△COM≌ △CON（ SSS ） 性质
∠COM= ∠CON
理由： 在△COM 与△CON 中， OM =ON ，
∵ CM=CN ， OC=OC，
∴ △COM ≌ △CON（ SSS ）． ∴ ∠COM = ∠CON.
∴ 射线OC即是∠AOB的平分线
课堂小结 探索三角形全等的条件，其基本思路和方法是什么？
（2）在（1）的基础上，求证：AB∥EF
同学们，下课
参考答案
1. △ABC 和△ADC 全等，两个三角形符合 “SSS”的判定法则.
2.（1）FD=BC 或 FC=BD； （2）由△ABC≌△EFD 可知，∠B=∠F，则 AB//EF
对两个三角形来说，以下六个条件中至少要满足 几个条件，才能确保两个三角形全等呢？
三角形全等判定ppt课件
求证：∠B=∠C
证明： ∵ D是BC的中点
∴BD＝CD
在△ABD和 △ ACD中
｛AB＝AC BD＝CD
B
AD＝AD
∴△ A BD≌ △ ACD﹙SSS﹚
A
D
C
∴∠B=∠C （全等三角形的对应角相等）
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11
由三边分别相等的两个三角形全等的 只用无刻度的直尺和圆规
结论，还可以得到：
作图的方法称为尺规作图
作一个角等于已知角的方法.
例：已知∠AOB 求作：∠A′O′B′=∠AOB
DB
作一个角 等于已知 D′ B′ 角的根据
是：SSS
作法O：1、以C点O为A圆心，任O意′ 长为C半′ 径画弧A，′ 分别交OA，OB于
点C、D；
2、画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画
弧，交O′A′于点C′；
1、判断两个三角形是否全等至 少要三对对应相等的条件(除特 殊直角三角形外）
2、全等三角形的判定（一） 三边对应相等的两个三角形全等
简写：SSS
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14
随堂测试
如图，C是AB的中点，
A
AD=CE,CD=BE， 求证:∠D=∠E
C D
B
E
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15
分层作业： 1.课本43页1题 2.做练习册相关习题
求证△ABD≌△ACD．
证明： ∵ D是BC的中点
∴BD＝CD
A
在△ABD和 △ ACD中
｛AB＝AC BD＝CD
BD
C
AD＝AD
∴△ A BD≌ △ ACD﹙SSS﹚
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10
课本36页例1的变式：想一想，你能行！
三角形全等的判定ppt课件
尺
作图区
规
例题解析
例1 已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB。
求证：∠A=∠C
D
要证明∠A=∠C,需先证明△ABD和△CDB
全等, 然后由全等三角形的性质定理得到结论.A
证明:
在△ABD和△CDB中, AB=CD (已知) AD=CB (已知) BD=DB (公共边)
∴△ABD≌△CDB (SSS)
B E CF
＿＿AC＿=DF ( 已知 )
BC=＿E＿F (已证 ) ∴△ABC≌△DEFS(SS )
新知探究
如图,在∠CAB中，AF=DE, DF=DE. 求证:AD是∠CAB的角平分线.
C
1 2
A
D B
例题解析
已知∠BAC，用直尺和圆规∠BAC的角平分线AD
C
C
作法:
A
D
B
A
B
1、以点A为圆心，适当的长为半径，与角的两边分别交于E、F两点;
注意几何语言规范
2.三角形具有稳定性。房屋的人字架、大桥的钢梁、 起重机的支架、自行车的车座等，采用三角形结构， 起到稳固的作用。
课堂小结
内容
有三边对应相等的 两个三角形全等
边 边边
应用
思路分析
结合图形找隐含条件和 现有条件，证准备条件
书写步骤 四个步骤
注意
1. 说明两三角形全等所需的条 件应按对应边的顺序书写. 2. 结论中所出现的边必须在所 证明的两个三角形中.
A
D
C
B
E
图1
图2
新知探究
如图 ,把两根木条的一端用螺栓固定在一起,木条可以自由转动.在转 动过程中,连结另两个端点所成的三角形的形状、大小随之改变.如 果把另两个端点用螺栓固定在第三根木条上,那么构成的三角形的形 状、大小就完全确定.
人教版《三角形全等的判定》PPT全文课件
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动2
0
探究一：探索三角形全等的条件
建立模型，探索发现
只给定一条边相等：
只给定一个角相等：
3cm
3cm
3cm
30°
30°
30°
满足一个条件相等时，两个三角形不一定全等.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
活动3
0
探究一：探索三角形全等的条件
问题：两个三角形满足六个条件中的两个条件，两个三角形全等吗？两个条件有几种情况?
证明：连接AC，
【解题过程】
如图, 在四边形ABCD中, AB=AD, CB=CD, 求证:∠B=∠D.
∴∠B=∠D．(全等三角形对应角相等)
【思路点拨】先连接AC, 由于AB=AD, CB=CD, AC=AC, 利用SSS可证△ABC≌△ADC, 于是∠B=∠D. 要求学生从“形”思维到“质”的思维飞跃, 实现将“文字语言”, “图形语言”转化为“符号语言”.
∥
∵BC=DE, ∴BC+CD=DE+CD. 即BD=CE.
【数学思想】 数形结合思想，分类讨论思想.
∴ ∠ADB＝∠FEC，AD=EF (全等三角形对应角相等) ∴AD∥EF(同位角相等，两直线平行)
在△ABD和△FCE中
∴△ABD≌△FCE (SSS).
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
例4
0
探究三：利用三角形全等的判定“SSS”解决问题
△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC中点D的支架，请问AD⊥BC吗？请说明理由．
在△ABD和△ADC中，
∴△ABD≌△ACD (SSS).
三角形全等的判定PPT教育课件优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件
A．4个 B、3个 C、2个 D、1
2、能使两个直角三角形全等条件（ ）
（A） 两直角边对应相等 （B） 一锐角对应相等
（C） 两锐角对应相等 （D） 斜边相等
3、已知为 （ ）
（A） 80° （B） 70° （C） 30° （D）
100°
（1）回顾两个三角形能够经过旋转、 平移、翻折等运动改变判断是否全等；
（2）回顾全等三角形性质； （3）知道一个三角形有三条边、三个
角共六个元素； （4）能分清两个三角形有三个分别对
应相等元素（边或角）有哪几个可能情 况。
第2页
仔细阅读书本P67-P68，回答以下问题： 1、对两个三角形来说，六个元素（三
第4页
条边、三个角）中最少要有几个元素分 别对应相等，两个三角形才会相等呢？ 2、回答“试一试”中（1）和（2）问 题，从而找到两个三角形全等条件。 3、回答P68“思索”中问题
第3页
1、以下命题中正确是（ ）
①全等三角形对应边相等； ②三个角对应相等 两个三角形全等；
③三边对应相等两三角形全等；④有两边对应相等 两三角形全等。
《三角形全等的判定》PPT教学课文课件
例2：如图，是线段的中点，平分∠，平分
∠， = .求证：△ ≌△ .
∵是线段的中点，∴ = ，
又∵平分∠，平分∠，∴∠ = ∠，
故可根据判定两三角形全等，
即：在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ， ∴△ ≌△ ()
=
知识梳理
知识点4：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可简
写为“角边角”或“ASA”）
知识点5：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
（可简写为“角角边”或“AAS”）
知识梳理
例3：如图，在四边形中，是上一点，∠1 = ∠2，∠3 =
在△ 和△ ��中，
=
= ,
=
∴ △ ≌△
∴ ∠ = ∠， ∴ ⫽
知识梳理
知识点2：作一个角等于已知角
已知：∠0.求作：∠′′′ = ∠.
作法：
（1）以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、；
（2）画一条射线0′′，以点′为圆心，长为半径画弧，交0′′于点′；
（3）以点′为圆心，长为半径画弧，与第二步中所画的弧交于点′；
（4）过点′画射线0′′，则∠′′′ = ∠0.
知识梳理
知识点3：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简
写为“边角边”或“SAS”）
′′ = ，∠′ = ∠（即两边和它们的夹角分别相等）。把画
好的△ ′′′剪下来，放到△ 上，它们全等吗？
画一个△ ′′′，使′′ = ，′’ =
，∠′ = ∠：
（1）画∠′ = ∠；
（2）在射线′上截取′′ = ，在
射线′上截取′′ = ；
， = ；
1.画∠′ = 90°；
∠， = .求证：△ ≌△ .
∵是线段的中点，∴ = ，
又∵平分∠，平分∠，∴∠ = ∠，
故可根据判定两三角形全等，
即：在△ 和△ 中，
=
∠ = ∠ ， ∴△ ≌△ ()
=
知识梳理
知识点4：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可简
写为“角边角”或“ASA”）
知识点5：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等
（可简写为“角角边”或“AAS”）
知识梳理
例3：如图，在四边形中，是上一点，∠1 = ∠2，∠3 =
在△ 和△ ��中，
=
= ,
=
∴ △ ≌△
∴ ∠ = ∠， ∴ ⫽
知识梳理
知识点2：作一个角等于已知角
已知：∠0.求作：∠′′′ = ∠.
作法：
（1）以点0为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点、；
（2）画一条射线0′′，以点′为圆心，长为半径画弧，交0′′于点′；
（3）以点′为圆心，长为半径画弧，与第二步中所画的弧交于点′；
（4）过点′画射线0′′，则∠′′′ = ∠0.
知识梳理
知识点3：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可简
写为“边角边”或“SAS”）
′′ = ，∠′ = ∠（即两边和它们的夹角分别相等）。把画
好的△ ′′′剪下来，放到△ 上，它们全等吗？
画一个△ ′′′，使′′ = ，′’ =
，∠′ = ∠：
（1）画∠′ = ∠；
（2）在射线′上截取′′ = ，在
射线′上截取′′ = ；
， = ；
1.画∠′ = 90°；
《三角形全等的判定和性质综合应用》PPT课件(湖北省县级优课)
实际问题.
【解】（1）完成作图，字母 标注正确。
证明：∵△ABD和△ACE都是等边 三角形。
∴AD=AB，AC=AE， ∠BAD=∠CAE=600。 ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD
（2）BE=CD 理由同（1）：
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形 ，
∴AD＝AB，AC＝AE， ∠BAD=∠CAE=900 ∴∠CAD=∠EAB ∴＝100
（3）由（1）（2）的解题经验可 知，过A作等腰直角三角形ABD， ∠BAD =900，则AD＝AB＝1000， ∠ABD＝450，
∴BD＝100
连接CD，则由（2）可得BE＝CD。
∵∠ABC＝450， ∴∠DBC＝900，
在Rt△DBC中，BC＝100，
BD＝100
∴CD＝
＝100
∴BE的长为100 米
【方法指导】本题考查了与等边 三角形、正方形的全等应用实践 操作、探究题.图形与几何的实 践、探究题，是新中考比较热点 的命题方向.
中考复习《全 等三角形》
第六题： 【分析】由条件可知AB为两三角 形的公共边，且△AOB为直角三角 形，当△AOB和△APB全等时，则 可知△APB为直角三角形，再分三 种情况进行讨论，可得出P点的坐 标．
第11题：（1）根据题目要求进行 尺规作图，并加以证明其它结论； （2）用三角形全等分析BE与CD相 等关系；（3）构件建几何模型解 （添加辅助线、运用勾股定理）决
【解】（1）完成作图，字母 标注正确。
证明：∵△ABD和△ACE都是等边 三角形。
∴AD=AB，AC=AE， ∠BAD=∠CAE=600。 ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC 即∠CAD=∠EAB ∴△CAD≌△EAB ∴BE=CD
（2）BE=CD 理由同（1）：
∵四边形ABFD和ACGE均为正方形 ，
∴AD＝AB，AC＝AE， ∠BAD=∠CAE=900 ∴∠CAD=∠EAB ∴＝100
（3）由（1）（2）的解题经验可 知，过A作等腰直角三角形ABD， ∠BAD =900，则AD＝AB＝1000， ∠ABD＝450，
∴BD＝100
连接CD，则由（2）可得BE＝CD。
∵∠ABC＝450， ∴∠DBC＝900，
在Rt△DBC中，BC＝100，
BD＝100
∴CD＝
＝100
∴BE的长为100 米
【方法指导】本题考查了与等边 三角形、正方形的全等应用实践 操作、探究题.图形与几何的实 践、探究题，是新中考比较热点 的命题方向.
中考复习《全 等三角形》
第六题： 【分析】由条件可知AB为两三角 形的公共边，且△AOB为直角三角 形，当△AOB和△APB全等时，则 可知△APB为直角三角形，再分三 种情况进行讨论，可得出P点的坐 标．
第11题：（1）根据题目要求进行 尺规作图，并加以证明其它结论； （2）用三角形全等分析BE与CD相 等关系；（3）构件建几何模型解 （添加辅助线、运用勾股定理）决
三角形全等的判定(SSS) ppt课件
两弧交于点A '；
么结论？
3. 连接线段 A'B'、A'C'.
则ΔA'B'C'为所求作的三角形.
ppt课件
10
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。
用上面的结论可以判定两个三角形全等． 判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明
三角形全等．
ppt课件
11
结 论
三边对应相等的两个三角形全等. (简写成“边边边”或“SSS”)
作法： （1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，
OB 于点C、D； B
D
O
C
Appt课件
23
应用所学，例题解析
用尺规作一个角等于已知角． 已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB． 作法： （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半
径画弧，交O′A′于点C′； B
D
②三角形全等书写三步骤：
写出在哪两个三角形中
摆出三个条件用大括号括起来
写出全等结论
ppt课件
14
巩固
1. △ABC与△DEF的各边如图所示，那 么△ABC与△DEF全等吗？为什么？
A
6cm
4cm
B
C
5cm
F
5cm
E
6cm 4cm
注意：字母的对应位置。 D
ppt课件
15
巩固
2.将三根木条钉成一个三角形木架，这 个三角形的形状、大小会改变吗？为什 么？
ppt课件
8
探究活动 三边对应相等的两个三角形会全等吗？
若已知一画个一三个角三形角的形三，条使边它，的你三能边画长出分 别为4cm,5这cm个,7三cm角.形吗？
全等三角形的判定PPT课件共34张
24
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
15
SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
2024/1/30
06
判定全等三角形的注意事项
25
准确理解全等三角形的定义和性质
2024/1/30
全等三角形的定义
两个三角形如果三边及三角分别对应 相等，则称这两个三角形全等。
全等三角形的性质
全等三角形的对应边相等，对应角相 等；全等三角形的周长、面积相等； 全等三角形的对应边上的中线、高线 、角平分线分别相等。
结论
三边分别相等的两个三角 形全等，简称“SSS”。
16
SAS判定法的证明
已知条件
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形。
2024/1/30
证明过程
将其中一个三角形旋转至 与另一个三角形两边重合 ，由于夹角相等，因此两 个三角形全等。
结论
两边和它们的夹角分别相 等的两个三角形全等，简 称“SAS”。
示例
若三角形ABC和三角形DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E ，BC=EF，则三角形ABC全等于三角形DEF。
2024/1/30
14
2024/1/30
04
判定方法的证明与推导
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SSS判定法的证明
01
02
03
已知条件
三边分别相等的两个三角 形。
2024/1/30
证明过程
通过平移或旋转其中一个 三角形，使得两个三角形 的三边分别重合，从而证 明两个三角形全等。
2024/1/30
在计算三角形面积时，如果知道两个三角形全等，那么可以直接得出它们的面积相 等。
9
2024/1/30
03
全等三角形的判定方法
10
边边边判定法（SSS）
定义
三边分别相等的两个三角形全等 。
三角形全等的判定ppt课件
追问1：这个尺规作图的方法利用了上节课中的哪个知识点？
追问2：根据前面的操作，你能探究到什么结论？
例1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 Nhomakorabea上取一个可以
直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，
使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：BD=CD
在Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴ BD=CD
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
（1）
AD = BC
（ HL ）；
（2）
AC = BD
（ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA
（ AAS ）；
（4） ∠DBA = ∠CAB
（ AAS ）．
D
A
C
B
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个三
特殊方法
角形就全等了？
HL定理
SSS
一
般
方
法
SAS
AAS
AAS
直角三角形全等
问题:三角分别相等的两个三角形全等吗？
追问:证明两个三角形全等的方法有哪些？
评价3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
追问2：根据前面的操作，你能探究到什么结论？
例1. 如图，有一池塘，要测池塘两端A、B的距离，可先在平 Nhomakorabea上取一个可以
直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，
使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A、B的距离，为什么?
如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两
个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？
解：BD=CD
在Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
AB=AC
AD=AD
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)
∴ BD=CD
例1.如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：BC =AD．
（1）
AD = BC
（ HL ）；
（2）
AC = BD
（ HL ）；
（3） ∠DAB = ∠CBA
（ AAS ）；
（4） ∠DBA = ∠CAB
（ AAS ）．
D
A
C
B
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个三
特殊方法
角形就全等了？
HL定理
SSS
一
般
方
法
SAS
AAS
AAS
直角三角形全等
问题:三角分别相等的两个三角形全等吗？
追问:证明两个三角形全等的方法有哪些？
评价3.如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D，∠1=∠2.
求证：AB=AD.
∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
三角形全等的判定ppt课件
（2）取出四根硬纸条钉成一个四边形，拉动其中 两边，这个四边形的形状改变了吗？钉成 一个五 边形，又会怎么样？
（3）上面的现象说明了什 么？
三角形的框架，它的大小和形状是固定不变的， 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
你能举几个应用三角形稳定性的例子吗？
练一练 1.如图，已知AB＝AC，AE＝AD，BD＝CE，试说明 △AEB △ADC．
解： BD＝CE， BD－ED＝CE－ED（等式的性质）
即BE＝CD． 在△AEB和△ADC中，
AB＝AC，(已知) AE＝AD，(已知) BE＝CD，(已证) △AEB △ADC(SSS)
2、如图，AB=CD，BF=DE，E，F是AC上两 点，且AE=CF.请你判断BF与DE的位置关系， 并说明理由.
有一个角对应相等的三角形 不一定全等
做一做 2. 给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况？ 每种情况下作出的三角形一定全等吗？
两个条件（两个角） (2)三角形的两个角分别是：30°，50°；
30°
不一定全等
两个条件（两条边） (3)三角形的两条边分别是：4cm，6cm.
不一定全等 两个条件不能保证三角形全等.
这节课你学到了什么？
1. 三角形全等的条件： 三边对应相等的两个三角形全等 (“边边边”或“SSS”)
2. 三角形具有稳定性。
三角形全等的条件：
三边对应相等的两个三角形全等，简 写为“边边边”或“SSS”。
数学表达式： 在△ABC和△A'B'C'中
例题 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A与∠C相等 吗？为什么？
动手做一做
准备几根硬纸条
（1）取出三根硬纸条钉成一个三角形，你能拉动 其中两边，使这个三角形的形状发生变化吗？
三角形全等的判定ppt课件
∴△ABC≌△A1B1C1（AAS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
5.HL（H.L.） 在Rt△ABC与Rt△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知）
BC=B1C1（已证） ∴△ABC≌△A1B1C1（HL）
例题精讲
例：已知:如图，点A，C，B，D在同一条直线上，
AC=BD，AM=CN，BM=DN 求证:AM∥CN，BM∥DN.
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
为BC边的中点，那么图中的全等三角形有哪几对?并选
择一对进行证明
△ABD≌△ACD
证明：∵D为BC边的中点
A
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
E
AB=AC
BD=CD
AD=AD
B
D
C
∴ △ABD≌△ACD（SSS)
拓展延伸
8.如图所示，AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，且D
证明：∵AC=BD ∴AC+CB=BD+BC 即AB=CD
M
N
在△AMB和△CND中 AM=CN
BM=DN
A
C
B
D
AB=CD
∴ △AMB≌△CND（SSS)
∴∠A=∠NCD,∠MBA=∠D ∴AM∥CN，BM∥DN
例：如图，A，E，C，F在同一条直线上，AB=FD，BC=DE，
AE=FC
求证:△ABC≌△FDE.
（2）全等三角形对应角相等
PART II 全等三角形的判定 1.SSS（S.S.S.） 在△ABC与△A1B1C1中，
AB=A1B1（已知） BC=B1C1（已知） AC=A1C1（已证）
∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）
三角形全等的判定ppt课件
A
A′
B
C B′
C′
情境导入
问题：如果已知一个三角形的两角及一边，那么有
几种可能的情况呢？ A
这些条件能判定
两个三角形全等
A
吗？
B
C
“两角及夹边”
B
C
“两角和其中一角的对边”
探究学习
如图，在△ABC和△DEF中，已知∠B=∠E，∠C=∠F，
AB=DE，请说出△ABC≌△DEF的理由.
A
D
能不能转化成“ASA”进行证明
（简写成“角角边”或“AAS”）
数学语言表示：
D CE
在△ABC和△DEF中
∠B=∠E 按照角角边的顺序书写
∠C= ∠F
F
AB=DE ∴ΔABC≌ΔDEF（AAS）
探究学习
能不能把“AAS”、“ASA”简述为
“两角和一边对应相等的两个三角形全等”？
例如：
在△ADE和△ABC中
A A ADE B AD BC
∴AD⊥CD（___垂__直__的__定__义_____）
∵PB平分∠ABC，PA⊥AB，PE⊥BC
∴PA=PE （_角__平__分__线__的__性__质___）
同理可得PE=PD ∴PA=PD
归纳总结
两 个 三 角 形 全 等
全等三角形的定义 SSS 判定条件 SAS ASA AAS 关键： 找符合要求的条件
求证： P，AD⊥AB，可以推出什么？
E
P
2.P是∠ABC平分线上的点，那么PA应该等于什么？
证明：如图，作PE⊥BC于点E
C
D
∵ AB∥CD（已知）
∴∠BAD+∠CDA=180（__两__直__线__平__行__，__同__旁__内__角__互__补__）
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《三角形全等的判定》优质课ppt人教 版2-精 品课件 p同在一直线上，DE
∥BF，DE=BF，AE=CF. 求证：AB∥CD.
证明：∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE. ∵AE＝CF， ∴AF＝CE. 在△AFB和△CED中，
∴△ABC≌△ADE（SSS）.
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（2）求证：∠EAC=∠DEB.
（2）由△ABC≌△ADE， 得∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC. ∴∠DAE-∠BAE＝∠BAC-∠BAE， 即∠DAB＝∠EAC. 设AB和DE交于点O. ∵∠DOA＝∠BOE，∠D＝∠B， ∴∠DEB＝∠DAB. ∴∠EAC＝∠DEB.
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4. 如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点 E 在 BC 上.
（1）求证：△ ABC≌△ADE； （2）求证：∠EAC=∠DEB.
证明：（1）在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△DEC（AAS）.
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∴△AFB≌△CED（SAS）. ∴∠A＝∠C. ∴AB∥CD.
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∥BF，DE=BF，AE=CF. 求证：AB∥CD.
证明：∵DE∥BF， ∴∠DEF＝∠BFE. ∵AE＝CF， ∴AF＝CE. 在△AFB和△CED中，
∴△ABC≌△ADE（SSS）.
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（2）求证：∠EAC=∠DEB.
（2）由△ABC≌△ADE， 得∠D＝∠B，∠DAE＝∠BAC. ∴∠DAE-∠BAE＝∠BAC-∠BAE， 即∠DAB＝∠EAC. 设AB和DE交于点O. ∵∠DOA＝∠BOE，∠D＝∠B， ∴∠DEB＝∠DAB. ∴∠EAC＝∠DEB.
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4. 如图，AB=AD，AC=AE，BC=DE，点 E 在 BC 上.
（1）求证：△ ABC≌△ADE； （2）求证：∠EAC=∠DEB.
证明：（1）在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌△DEC（AAS）.
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∴△AFB≌△CED（SAS）. ∴∠A＝∠C. ∴AB∥CD.
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2、旋转型
3、翻转型
4、综合型
判断题： 练习1
1、有两角和一边相等的两个三角形全等。 （）
2、有一边一角对应相等的两个等腰三角
形全等。
（）
3、成中心对称的两个三角形全等。（ ）
4、面积相等的两个三角形全等。 （ ）
5、含有60度角的两个直角三角形全等。 （）
例1、已知：（如图） AB=CD，AE⊥BC， DF⊥BC，CE=BF。
全等三角形
知识梳理
1、 能完全重合的两个三角形叫 ________。 2、全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等； 全等三角形的对应角相等； 全等三角形的对应线段相等； 全等三角形的面积相等。
3、三角形全等的判定
三角形全等
一般三角形
直角三角形
SAS ASA AAS SSS
HL
常见全等变换 1、平移型
一般三角形 判定 SAS
直角三角形 两L
对应角相等；对应面积相等； 性质 对应线段（边，中线，高，角平
分线）相等。
求证：AB∥CD。
B
F
D
A
E C
例2、两个全等的30 ， 0 600 角的三角板 ADE和三角板ABC如图所示放置E， A，C三点在一条直线上，连结BD， 取BD的中点M，连结ME，MC， 试判断⊿EMC的形状，并说明理 由．。
Ｂ Ｍ Ｄ
Ｅ
Ａ
Ｃ
小结反思：全等三角形
定义 能够完全重合的两个三角形。