反函数知识点总结讲义教案
反函数知识点总结讲义教案
一、教学目标1. 理解反函数的概念及其与原函数的关系。
2. 学会求解基本函数的反函数。
3. 掌握反函数的性质及其在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 反函数的概念：反函数是指如果两个函数的定义域和值域相同，且它们的自变量和因变量互换位置后，这两个函数仍然相等，这两个函数互为反函数。
2. 反函数的求解方法：对于基本函数（如线性函数、指数函数、对数函数等），可以通过交换自变量和因变量来求解其反函数。
3. 反函数的性质：反函数的定义域等于原函数的值域，反函数的值域等于原函数的定义域；反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x 对称。
三、教学重点与难点1. 重点：反函数的概念、求解方法及其性质。
2. 难点：反函数在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入：通过复习原函数的概念，引出反函数的概念。
2. 讲解：讲解反函数的定义、求解方法及其性质。
3. 例题：求解线性函数、指数函数、对数函数等的基本函数的反函数。
4. 练习：让学生独立求解一些基本函数的反函数。
五、课后作业a) y = 2x + 3b) y = 3^xc) y = log2(x)2. 运用反函数解决实际问题，如：已知一个函数的图像经过点(2, 3) 和(4, 5)，求该函数的反函数。
六、教学策略1. 采用案例教学法，通过具体的例题来引导学生理解和掌握反函数的概念和求解方法。
2. 利用数形结合的方法，通过反函数的图像来帮助学生理解反函数的性质。
3. 鼓励学生进行自主学习，通过课后作业和实际问题来巩固反函数的知识。
七、教学评价1. 通过课堂讲解和例题练习，评价学生对反函数概念的理解程度。
2. 通过课后作业和实际问题的解决，评价学生对反函数求解方法和性质的掌握情况。
3. 通过课堂提问和小组讨论，评价学生对反函数在实际问题中应用的理解和运用能力。
八、教学拓展1. 引导学生思考反函数与原函数的关系，探讨反函数在数学和其他学科中的应用。
2. 引导学生探究反函数的性质，如反函数的单调性、奇偶性等。
反函数学习知识重点情况总结讲义教案
反函数学习知识重点情况总结讲义教案反函数是函数概念中非常重要的一个内容，也是数学分析中的一项基本知识。
理解和掌握反函数的概念和性质对于学习高等数学、微积分等学科都有着重要的意义。
下面就反函数学习的知识重点情况进行总结。
一、反函数的基本概念反函数是指在给定函数的定义域上，使得函数值与自变量交换位置后而取得的新的函数。
如果函数f的定义域为A，值域为B，对于B中的每一个元素y，若在A中存在唯一的一个元素x满足f(x)=y，则在B上由f所确定一个函数g，使得g(y)=x，在这种情况下，函数g叫做函数f的反函数，记作f^{-1}。
二、反函数的存在性要想确保一个函数的反函数存在，必须满足两个条件：1.函数f是一个双射函数，即函数f是一一对应的。
2.函数f的定义域和值域是两个数集。
三、反函数的性质1.如果函数f的反函数存在，则它是唯一的。
2.函数f的反函数的定义域与f的值域相同，值域与f的定义域相同。
3.函数f的反函数与给定函数f具有相同的图像，只是坐标交换了。
四、求反函数的方法1.假设函数f的反函数存在，令y=f(x)，并通过解这个算式得到x 关于y的表达式。
2.求解这个方程并确定反函数的定义域和值域。
五、反函数的特殊情况1.对于反比例函数f(x)=a/x(a≠0)，其反函数为g(y)=a/y。
2.对于幂函数f(x)=x^n(n≠0)，其反函数为g(y)=y^{1/n}。
六、反函数的应用1.解方程：可以使用反函数来解方程，通过将方程两边应用反函数，可以得到原方程解的集合。
2.求导：如果已知原函数的导数，可以通过求反函数的导数来得到导数的倒数。
在反函数的学习过程中，需要注意的重点有：1.理解反函数的基本概念，并能够辨别函数的反函数是否存在。
2.掌握求反函数的方法，包括对特殊函数的反函数的求解。
3.理解反函数的性质，包括唯一性、图像的关系等。
4.理解反函数的应用，包括解方程和求导等方面。
通过对反函数学习重点情况的总结，可以帮助学生更好地理解和掌握反函数的基本概念、性质和求解方法，提高数学思维能力和解题能力。
高中数学反函数教案人教版
高中数学反函数教案人教版1. 知识与技能：理解反函数的概念，掌握求反函数的方法，并能够应用反函数解决问题。
2. 过程与方法：通过讲解、示范、练习等方式，引导学生建立正确的反函数概念及求解方法。
3. 情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新思维和解决问题的能力。
二、教学重、难点1. 教学重点：理解反函数的概念，掌握求反函数的方法。
2. 教学难点：理解反函数与原函数之间的关系，正确求解反函数。
三、教学准备1. 教学资源：教材、多媒体设备等。
2. 教学内容：反函数的概念、求反函数的方法、反函数与原函数的关系等。
3. 教学步骤：引入、概念讲解、示范演练、练习等。
四、教学过程1. 引入：通过实例引入反函数的概念，如f(x) = 2x + 3，问学生如何求出反函数。
2. 概念讲解：解释反函数的概念及原函数与反函数的关系，引导学生理解反函数的定义和特点。
3. 示范演练：通过几个具体的例题，向学生展示求反函数的方法，并让学生跟随演示过程，逐步掌握反函数的求解技巧。
4. 练习：让学生进行练习，巩固所学知识，检验理解程度。
可以设置不同难度的练习题，帮助学生提高解题能力。
5. 总结：总结本节课的重点内容，强调反函数的重要性和应用价值，鼓励学生多加练习，提高解题能力。
五、作业布置1. 完成课堂练习，并对错题进行复习和订正。
2. 自主练习，巩固所学知识，提高解题能力。
六、教学反思本节课主要围绕反函数的概念和求解方法展开，通过引入、讲解、演示和练习等环节，帮助学生建立正确的反函数概念，掌握反函数的求解方法。
在教学过程中，要注重引导学生灵活应用所学知识，提高解题能力，激发学生对数学的兴趣，达到提高学生学习能力和解决问题能力的目的。
大学生高数反函数讲解教案
课时：2课时教学目标：1. 理解反函数的概念，掌握求反函数的方法。
2. 能够求出给定函数的反函数，并判断其定义域和值域。
3. 了解反函数的性质，并能够运用反函数解决实际问题。
教学重点：1. 反函数的概念和求法。
2. 反函数的性质和应用。
教学难点：1. 反函数的求法。
2. 反函数的性质和应用。
教学准备：1. 多媒体课件。
2. 练习题。
教学过程：第一课时：一、导入1. 回顾函数的定义和性质。
2. 引入反函数的概念。
二、新课讲解1. 反函数的定义：设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。
如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得f(x)=y，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数。
2. 求反函数的步骤：（1）确定函数y=f(x)的定义域和值域；（2）由原函数的表达式，求x关于y的表达式；（3）互换x和y，得到反函数的解析式y=f^(-1)(x)；（4）写出反函数的定义域（原函数的值域）。
三、例题讲解1. 求函数y=2x+1的反函数。
2. 求函数y=x^2（x≥0）的反函数。
四、课堂练习1. 求函数y=3x-2的反函数。
2. 求函数y=√x（x≥0）的反函数。
五、课堂小结1. 总结反函数的概念和求法。
2. 强调反函数的性质和应用。
第二课时：一、复习1. 回顾反函数的概念和求法。
2. 复习反函数的性质。
二、新课讲解1. 反函数的性质：（1）反函数的图像与原函数的图像关于直线y=x对称；（2）反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域；（3）反函数与原函数的复合函数为恒等函数。
2. 反函数的应用：（1）求函数的值域和定义域；（2）判断函数的单调性和奇偶性；（3）解决实际问题。
三、例题讲解1. 求函数y=3x^2-2x+1的值域和定义域。
2. 判断函数y=x^3的奇偶性。
四、课堂练习1. 求函数y=2x+3的值域和定义域。
2. 判断函数y=x^2+1的奇偶性。
反函数知识点总结讲义教(学)案
1 ax
a
a( y 1)
a(x 1)
由题知： f (x) f 1(x) ， 1 x 1 ax ，∴ a 1． a(x 1) 1 ax
3．若 (2,1) 既在 f (x) mx n 的图象上，又在它反函数图象上，求 m, n 的值．
解：∵ (2,1) 既在 f (x) mx n 的图象上，又在它反函数图象上，
（ y ∈A)叫做函数 y f (x) ( x ∈D)的反函数.记作： x f 1( y)
反函数 x f 1( y) 中，x 为因变量，y 为自变量，为和习惯一致，将 x , y 互换得：y f 1( x)
( x∈A). 注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函
（１）若 f 1(x) g(x) ，求 x 的取值范围 D ；
（２）设函数 H (x) g(x) 1 f 1(x) ，当 x D 时，求 H (x) 的值域.
2
解：∵ f (x) 3x 1 ，∴ f 1(x) log3(x 1) ．
（１）∵ f 1(x) g(x) 即 log3(x 1) log9(3x 1) ∴ log9(x 1)2 log9(3x 1) ，
数才有反函数； 三．主要方法： 1．求反函数的方法步骤： ①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域；
②由 y f (x) 反解出 x f 1( y) (把 x 用 y 表示出来)；
③将 x , y 互换得： y f 1( x) ，并写出反函数的 定义域
2． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数.
x 1(1 x 0) ．
x (0 x 1)
反函数知识点总结讲义教案
反函数知识点总结讲义教案一、教学目标1. 理解反函数的概念，掌握反函数的性质和运算法则。
2. 学会求解反函数，并能应用反函数解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。
二、教学内容1. 反函数的概念：什么是反函数，反函数的定义和性质。
2. 反函数的求解方法：如何求解一个函数的反函数。
3. 反函数的应用：反函数在实际问题中的应用举例。
4. 反函数的运算法则：反函数的组合和复合。
5. 反函数的局限性：反函数存在的条件和不存在的条件。
三、教学重点与难点1. 教学重点：反函数的概念、性质、求解方法和应用。
2. 教学难点：反函数的求解方法和反函数的运算法则。
四、教学方法与手段1. 教学方法：讲授法、案例分析法、问题驱动法。
2. 教学手段：黑板、PPT、数学软件。
五、教学过程1. 引入：通过一个实际问题引入反函数的概念。
2. 讲解：讲解反函数的定义、性质和求解方法。
3. 案例分析：分析一些实际问题，让学生了解反函数的应用。
4. 练习：让学生做一些练习题，巩固反函数的知识。
5. 总结：总结本节课的主要内容和知识点。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对反函数概念的理解程度。
2. 练习题：布置一些有关反函数的练习题，检查学生掌握反函数性质和求解方法的情况。
3. 小组讨论：让学生分组讨论反函数在实际问题中的应用，评估学生对反函数应用的理解。
七、教学拓展1. 反函数与其他数学概念的联系：例如，反函数与对数函数、反三角函数等的关系。
2. 反函数在科学研究和实际生活中的应用：例如，反函数在优化问题、信号处理等方面的应用。
八、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、透彻，是否涵盖了反函数的所有重要知识点。
2. 反思教学方法：评估所采用的教学方法是否有效，是否能够帮助学生理解和掌握反函数知识。
3. 反思学生反馈：根据学生的课堂表现和练习情况，调整教学策略，以便更好地满足学生的学习需求。
九、课后作业1. 完成课后练习题：巩固反函数的基本概念和求解方法。
反函数知识点总结讲义教案
反函数知识点总结讲义教案一、引入老师可以通过提问让学生回顾一下函数的定义及性质，引出反函数的概念。
二、概念反函数是指一个函数的自变量和因变量互换位置后得到的新函数。
假设函数f有定义域为X，值域为Y，如果对于一个y∈Y，总可以找到一个x∈X，使得f(x)=y且f(x)仅与x有关，那么称f的反函数为f的逆函数，记作f^(-1)。
三、求解方法1.使用代数方法求解。
设函数f的表达式为y=f(x)，则将y和x互换位置，并解方程得到f^(-1)(x)。
2.使用图像方法求解。
可以通过观察函数f的图像，将图像关于y=x进行对称得到f^(-1)(x)的图像。
四、性质1.函数f和f^(-1)互为反函数。
2.函数f和f^(-1)的定义域和值域互换。
3.函数f和f^(-1)的图像关于y=x对称。
五、例题讲解老师可以选择一些简单的函数和反函数的例题进行讲解，演示如何求解和验证反函数。
例题1：求函数f(x)=2x+3的反函数f^(-1)(x)。
解析：首先我们将x和y互换位置得到2y+3=x，然后解方程得到y=(x-3)/2，所以反函数为f^(-1)(x)=(x-3)/2例题2：求函数g(x)=x^2的反函数g^(-1)(x)是否存在。
解析：当函数g(x)是二次函数时，其反函数g^(-1)(x)的存在与函数g(x)的定义域和值域有关。
由于定义域是实数集，值域是非负实数集，所以g(x)=x^2的反函数不存在。
六、练习题将几道反函数的练习题给学生，让他们进行课堂练习。
并在课后检查答案。
七、总结老师针对反函数的定义、求解方法、性质、例题和练习题进行总结回顾，并提醒学生熟练掌握反函数的概念和求解方法。
在以后的学习中，要灵活运用反函数的性质和求解方法，理解和解决与反函数相关的问题。
反函数的教案设计
反函数的教案设计一、教学目标1.了解反函数的概念、性质及其与原函数之间的关系。
2.能够掌握反函数的求法及其应用。
3.能够灵活运用反函数的相关知识，解决实际问题。
二、知识导入1.通过示例，介绍什么是函数的反函数。
2.通过一定的问题和分析，引导学生研究反函数的性质和应用。
三、教学过程1.理解反函数的概念基本概念：定义域上的函数 f 和值域上的函数 g，若对于所有x∈D（f）都有 f (x) =y，则对于所有y∈R,f 中恰好存在一个唯一的 x 满足 f (x) =y.则称 g(x)=y 为 f(x)=y 的反函数，记作 g=f^-1。
2.反函数的求法（1）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递增函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，最后再把dy换成dx即可。
（2）对于 y=f (x)，如果 y=f(x)是严格单调递减函数，先把f(x)对y求导，然后解出dx/dy，然后把dx取相反数即可得到反函数的导数。
3.反函数的性质（1）反函数与原函数的图像关于一条直线相互对称。
（2）反函数的导数等于原函数导数的倒数。
（3）反函数与原函数之间的对应关系是一一对应的。
4.反函数的应用（1）求解反函数使得它们可以互相转化；（2）使用反函数的定义特性进行不等式求解；（3）应用反函数解决函数复合问题；（4）使用反函数解决实际问题四、教学方法1.课堂讲解法2.启发式探究法3.案例教学法五、教学重点和难点1.教学重点反函数与原函数的关系，反函数的求法及应用。
2.教学难点反函数的理解及应用。
六、教学反思1.课时的安排比较紧张；2.应用案例多讲练习。
3.加强学生的实际应用能力。
4.帮助学生提高数学素养、掌握思维方法。
七、教学评估1.小测验2.课后作业3.学生参与度4.课程效果参考文献1.李瑞兰.数学分析(修订版) [M].北京: 中国科学技术大学出版社,2001.2.程志之.高等数学(第五版) [M].北京:科学出版社,2010.3.张慕智.数学分析 [M].上海: 华东师范大学出版社,2003.。
反函数精品讲义
1.几何定义：．互为反函数的两个函数y f (x) 与y f 1 (x) 在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x 对称.2 ．求反函数的步骤：（ 1 ）解关于 x 的方程y f (x) ，得到x f 1 (y) .（ 2 ）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y f 1 (x) .（3 ）求出并说明反函数的定义域〔即函数y f (x) 的值域〕3 ．一些结论: 1定义域上的单调函数必有反函数；2奇函数若存在反函数，则其反函数也是奇函数；3定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数 .4周期函数在整个定义域内不存在反函数 .（ 5 ）互为反函数的两个函数具有相同的单调性．例 1. （2004 年北京高考）函数C.在区间上存在反函数的充要条件是（c ）.D一.反函数存在的充要条件类型反函数B.A.※反函数存在的充要条件是该函数在某一区间上是一一映射；例 2. （ 2005 年全国卷）函数 的反函数是（ ）A. B. C..解析 ：由 可得 ，故 从 解得 因 所以 即其反函数是故选（ B ）。
例 3. （ 2004 年北京春季）若 为函数 的反函数，则 的值域为_________。
解析：利用反函数的值域就是原函数的定义域，立即得 的值域为 。
例 4. 函数A. 奇函数，在（C. 奇函数，在（解析： 函数 的反函数是（ ））上是减函数 B. 偶函数，在（ ）上是减函数）上是增函数 D. 偶函数 ，在（ ）上是增函数 与 具有相同的单调性，奇函数的反函数也为奇函数这两条性质，立即选（ C ）。
D 五. 反函数求值类型 四. 反函数的奇偶性、单调性类型 三. 求反函数定义域、值域类型 二. 反函数的求法类型例 5.1.（ 2005 年湖南省高考）设函数的图象关于点（1 ，2 ）对称，且存在反函数，则 ___________。
解析：由，可知函数的图象过点（4，0）。
而点（4，0）关于点（1，2）的对称点为（-2，4）。
反函数知识点总结讲义教案
反函数知识点总结讲义教案本篇文章将分四个部分介绍反函数的知识点。
首先，我们将介绍反函数的概念和定义。
其次，我们将探讨如何验证一个函数的反函数是否存在。
然后，我们将讨论如何找出一个函数的反函数。
最后，我们将介绍一些与反函数相关的重要概念和应用。
一、概念和定义：反函数是指对于给定函数f(x)，如果存在一个函数g(x)，使得g(f(x))=x对于所有在f的定义域内的x都成立，那么g(x)就是f(x)的反函数。
其中，f(x)称为原函数，g(x)称为反函数。
二、验证反函数存在的条件：一个函数f(x)的反函数是否存在可以通过以下条件进行验证：1.函数f(x)必须是单射函数（一一映射函数），即对于不同的x1和x2，f(x1)≠f(x2)。
2.函数f(x)必须是满射函数，即对于任意的y，存在一个x使得f(x)=y。
3. 函数f(x)必须是可逆的（invertible），即对于每一个y，存在一个x使得f(x) = y。
三、找出反函数的方法：要找到一个函数的反函数，可以按照以下步骤进行：1.假设函数f(x)的反函数为g(x)。
2.将等式g(f(x))=x转换为f(x)=g(x)。
这步转换的过程中需要注意将x和f(x)互换。
3.解出g(x)。
这里的解出指的是将x和f(x)从方程中解出g(x)。
4.验证g(x)是否满足反函数的条件。
四、与反函数相关的重要概念和应用：1.指数函数和对数函数：指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数。
指数函数以一些正常数为底，对数函数以相同的底为指数，两个函数可以相互取消。
2. 反三角函数：反三角函数是指与三角函数相互取消的函数。
例如，sin(x)和arcsin(x)是互为反函数的函数。
3.反函数的图像：函数f(x)的图像关于y=x的对称轴对称，与函数f(x)的图像是关于y=x的镜像。
通过这个性质，我们可以在画出函数f(x)的图像后，通过对称轴找到反函数g(x)的图像。
4.利用反函数求解方程：有时候，我们可以通过利用反函数来求解一些方程。
高中数学反函数教案
高中数学反函数教案一、教学目标1. 理解函数与反函数的概念，能够求解反函数；2. 掌握反函数的性质和求解方法；3. 能够应用反函数解决相关问题。
二、教学重点1. 函数与反函数的概念；2. 反函数的求解方法；3. 反函数的性质。
三、教学内容1. 函数与反函数的概念- 函数的定义和表示：定义域、值域、映射关系；- 反函数的定义：对任意的y，存在唯一的x，使得f(x)=y，则称y关于x的函数为f的反函数，记为$f^{-1}$(y)。
2. 反函数的求解方法- 交换x和y的位置，并解出y，得到反函数表达式；- 注意判断反函数的存在性和唯一性。
3. 反函数的性质- 函数与反函数互为反函数；- 函数与反函数的图像关于y=x对称；- 反函数的定义域与原函数的值域相同，反函数的值域与原函数的定义域相同。
四、教学过程1. 导入：通过实例引入函数与反函数的概念，让学生理解反函数的概念。
2. 讲解：介绍函数与反函数的定义、求解方法和性质，引导学生掌握。
3. 练习：设计反函数的求解问题，让学生灵活运用反函数的概念来解决问题。
4. 总结：归纳反函数的概念和性质，让学生总结学习内容。
五、教学案例已知函数$f(x)=2x+1$，求其反函数。
解：设反函数为$y=f^{-1}(x)$，则有$y=2x+1$，交换x和y的位置可得$x=2y+1$，解出y 得$y=\frac{x-1}{2}$，因此，函数的反函数为$f^{-1}(x)=\frac{x-1}{2}$。
六、课堂练习1. 已知函数$f(x)=3x-2$，求其反函数；2. 若函数$g(x)$的反函数为$h(x)$，求$f(x)=\frac{1}{g(x)}$的反函数。
七、作业布置1. 完成课堂练习；2. 预习下节课内容，复习反函数的概念和性质。
八、教学反思本节课重点介绍了函数与反函数的概念、求解方法和性质，通过实例讲解和课堂练习，学生基本掌握了反函数的相关知识。
下节课将继续深入探讨反函数的应用和拓展，激发学生对数学的兴趣和探索欲望。
初中数学反函数教案
初中数学反函数教案教学目标：1. 理解反函数的概念，掌握反函数的性质和求法。
2. 能够运用反函数解决实际问题，提高解决问题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。
教学重点：1. 反函数的概念和性质。
2. 反函数的求法。
教学难点：1. 反函数的概念的理解。
2. 反函数的求法。
教学准备：1. 反函数的课件或黑板。
2. 反函数的练习题。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾函数的概念，复习已学的函数知识。
2. 提问：我们已经学过哪些类型的函数？它们有什么特点？二、新课讲解（20分钟）1. 介绍反函数的概念：如果函数f的定义域是A，值域是B，那么如果存在一个函数g，它的定义域是B，值域是A，并且对于任意的x属于A，都有g(f(x))=x，那么函数g就被称为函数f的反函数。
2. 讲解反函数的性质：反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；反函数的图像关于直线y=x对称；反函数是原函数的镜像。
3. 讲解反函数的求法：如果已知一个函数的图像或表达式，可以通过以下步骤求出它的反函数：a. 交换x和y的位置。
b. 解出y或x。
c. 确定反函数的定义域和值域。
d. 写出反函数的表达式或图像。
三、实例讲解（15分钟）1. 举例讲解如何求一个函数的反函数。
2. 让学生尝试求一些简单函数的反函数，并解释求法。
四、练习与讨论（10分钟）1. 让学生做一些关于反函数的练习题，巩固所学知识。
2. 引导学生讨论反函数的应用，如何利用反函数解决实际问题。
五、总结与反思（5分钟）1. 让学生总结反函数的概念、性质和求法。
2. 提问：通过本节课的学习，你有什么收获和感悟？教学延伸：1. 引导学生进一步学习复合函数的反函数。
2. 让学生尝试解决一些实际问题，运用反函数的知识。
教学反思：本节课通过讲解反函数的概念、性质和求法，使学生掌握了反函数的基本知识，能够运用反函数解决实际问题。
在教学过程中，要注意引导学生积极参与，让学生通过思考、讨论和练习，加深对反函数的理解。
初中反函数教案
初中反函数教案教学目标：【知识与技能】1. 理解反函数的概念，掌握反函数的性质；2. 学会求一个函数的反函数；3. 能够运用反函数解决实际问题。
【过程与方法】1. 通过实例引导学生认识反函数的概念，培养学生的观察能力和思维能力；2. 利用数学活动，让学生亲身体验反函数的求法，提高学生的动手能力和解决问题的能力；3. 通过解决实际问题，培养学生的应用意识和实践能力。
【情感、态度与价值观】1. 培养学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系；2. 培养学生团队合作的精神，提高学生的人际交往能力。
教学重难点：【重点】反函数的概念及求法。
【难点】反函数的应用。
教学过程：一、导入新课1. 复习旧知识：回顾函数的概念，引导学生思考函数的定义域和值域；2. 提问：如果两个函数互为反函数，那么它们之间的关系是什么？二、探究新知1. 引导学生观察实例，发现反函数的性质；2. 引导学生通过数学活动，总结求反函数的方法；3. 讲解反函数的求法，引导学生理解并掌握。
三、巩固练习1. 让学生独立完成练习题，检验学生对反函数的理解和掌握程度；2. 引导学生总结解题经验，提高学生解决问题的能力。
四、应用拓展1. 让学生尝试解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力；2. 引导学生思考反函数在其他领域的应用，拓宽学生的知识视野。
五、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，让学生总结反函数的概念和求法；2. 强调反函数在实际生活中的应用价值。
六、作业布置1. 让学生复习本节课所学内容，巩固反函数的概念和求法；2. 布置一些实际问题，让学生运用反函数解决。
教学反思：本节课通过实例引导学生认识反函数的概念，让学生通过数学活动体验反函数的求法，最后运用反函数解决实际问题。
在教学过程中，要注意关注学生的学习情况，及时解答学生的疑问，提高学生的学习兴趣和动手能力。
同时，要注重培养学生的团队合作精神，提高学生的人际交往能力。
【高中数学】反函数性质总结教案
反函数性质总结教案一、反函数的定义在高中数学中，小学时我们就学习了函数。
函数是一种数学关系，可以对应一个自变量和一个因变量，把自变量的某个值代入函数中，就可以得到相对应的因变量的值。
反函数就是将函数的自变量和因变量两个变量的角色调换，得到一个新的函数。
例如，对于一个函数y = 3x + 2，我们可以把自变量x看作输入，因变量y看作输出，如果我们把输入x代入函数中得到的输出y是一个确定的唯一值。
如果我们反过来，把因变量y作为输入，自变量x作为输出，我们得到的就是一个新的反函数x = (y-2) / 3。
二、反函数的性质1.反函数是一个对称轴在函数和反函数之间，自变量和因变量的角色是相反的，相当于一条直线将自变量和因变量分隔开来。
这条直线称为“y = x”线，因为当自变量的值与因变量的值相等时，这条直线是它们的交点。
由于函数和反函数是通过将这条直线翻转得到的，所以这条直线是反函数的对称轴。
2.反函数和原函数在对称轴处的交点处对称反函数和原函数通过对称轴进行反射得到，因此当一条直线与对称轴相交时，它们在对称轴处的交点是关于对称轴对称的。
这就是说，对于原函数和反函数，它们在对称轴处的交点是关于对称轴对称的。
3.互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称因为原函数和反函数的图象是通过对称轴进行反射得到的，所以互为反函数的两个函数的图象关于直线y = x对称。
三、反函数的求法在我们学习反函数的时候，需要掌握如何求反函数。
我们可以通过如下的四步来求一个函数的反函数：1.将函数中的自变量和因变量调换；2.把调换后的式子用y来表示；3.把y与x进行换位，然后解出y；4.把y和x交换位置，得到反函数的表达式。
例如：如果有一个函数 y = 2x - 3，我们要求它的反函数，可以按照以下步骤：1.将自变量x和因变量y调换，得到 x = 2y - 3；2.将式子用y表示，得到 y = (x + 3) / 2；3.将y与x换位，得到 x = (y + 3) / 2，然后解出y，得到 y = 2x - 6；4.将y和x交换位置，得到反函数为 x = 2y - 6。
数学教案：反函数
学年第学期课程名称：数学班级周节次日期课题3-3反函数课型新授课教学地点教学目标（知识目标、能力目标、职业素养与行为习惯等）知识目标：掌握反函数的概念，掌握求函数反函数的方法能力目标：通过对反函数的学习，培养学生用辩证的观点分析问题解决问题的能力。
职业素养与行为习惯：用辩证的观点分析数学问题，培养学生正确的人生观和世界观教学重点反函数的概念，求已知函数反函数的方法教学难点反函数概念的理解，求已知函数的反函数教学方法与教学手段启发引导法多媒体辅助教学板书设计3-3反函数一、引入三、例题二、反函数定义四、练习五、小结教学内容与过程（教学环节与时间分配）师生活动例1求下列函数的反函数：(1)32,y x x R =+∈；(2)1,,11x y x R x x -=∈≠-+且；(3)[)1,1,y x x =-∈+∞.解：(1)从32y x =+解出23y x -=，把,x y 对调，就得函数32y x =+的反函数是2,3x y x R -=∈.(2)从11x y x -=+解出11y x y +=-，把,x y 对调，就得函数11x y x -=+的反函数是1,,11xy x R x x+=∈≠-.(3)从1y x =-解出21x y =+，把,x y 对调，就得函数1y x =-的反函数是[)21,0,y x x =+∈+∞.例2作出函数2()y x x R =∈和它的反函数的图像.解：从2y x =解出2yx =，把,x y 对调，就得函数2y x =的反函数是,2xy x R =∈.函数2()y x x R =∈的图像是经过()0,0和()1,2的直线；而它的反函数,2xy x R =∈的图像是经过()0,0和()2,1的直线，如图3-12.从图3-14可以看出，反函数2xy =的图像上的点()2,1Q 与函数2y x =的图像上的点()1,2P 关于直线y x =是对称的；同样，点1(1,)2N 与点1(,1)2M 也关图3-12于直线y x =对称.由此可知，函数2y x =和它的反函数2xy =的图像是以直线y x =为对称轴的对称图形.一般地，函数()y f x =的图像和它的反函数1()y fx -=的图像关于直线y x =对称.练一练：(1)函数2()y x x R =∈有反函数吗？为什么？(2)求函数2(0)y x x =≥的反函数；(3)求函数2(0)y x x =<的反函数；(4)在图3-13中画出2(0)y x x =≥的反函数的图像四、课堂练习求下列函数的反函数(1)3()f x x =；(2)4()1f x x =-；(3)()2f x x =+.五、小结1、反函数的概念2、求反函数的步骤六、课后作业习题3-3学生练习，教师根据学生反馈出的情况进行讲解学生独立完成，教师讲解教学反思。
反函数教案
反函数教案教学目标1.知识与技能：理解1()y f x -=的概念，并且了解()y f x =与1()y f x -=的性质与图像关系，即定义域、值域间的关系；2.过程与方法：通过指数函数以及对数函数，归纳总结反函数的定义，体会反函数的变化，逐步培养学生的观察、比较、分析的能力；3.情感、态度与价值观：培养学生的求知欲，增强学生学习的主动性。
教学重点、难点1.重点：反函数概念与它的性质，反函数的图像。
2.难点：原函数与反函数之间的转换及灵活应用。
教学过程 一、 新课引入1. 对数函数的定义2. 对数函数图像及性质 二、 讲解新课1. 问题思考：对数函数与指数函数以及图像之间的关系 指数函数与对数函数的关系2、反函数定义：一般地，对于函数()x f y =，设它的定义域为D ，值域为A ，如果对A 中任意一个值y ，在D 中总有唯一确定的x 值与它对应，且满足()x f y =，这样得到的x 关于y 的函数，叫做()x f y =的反函数，记作：()A y y fx ∈=-,1.习惯上，自变量常用x 表示，而函数用y 表示，所以改写为()A x x f y ∈=-,1思考交流：一个函数存在反函数的前提条件是什么?例如2y x =的反函数为2y x =（x R ∈）；函数56y x =-的反函数为6y x =+（x R ∈）。
概念分析：1）反函数也是函数；2）对应法则为互逆运算（类比加减运算）；3）定义中的“如果”意味着对于一个任意的函数y=f(x)来说不一定有反函数； 4）函数y=f(x)的定义域、值域分别是函数x=f 1-(y)的值域、定义域； 5）函数y=f(x)与x=f 1-(y)互为反函数；6）要理解好符号f 1-；7）交换变量x 、y 的原因． 函数与其反函数的关系⑵反函数的性质：①互为反函数两个函数的图像关于直线y x =对称；②函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一对应的；③一个函数与它的反函数在相应的区间上单调性一致；④反函数具有唯一性，原函数与反函数之间是相互的，即若函数()y f x =有反函数1()y f x -=，那么函数1()y fx -=的反函数也就是()y f x =。
高考数学一轮复习 2.5 反函数教案
高考数学一轮复习 2.5 反函数教案●知识梳理1.反函数定义：若函数y =f （x ）（x ∈A ）的值域为C ，由这个函数中x 、y 的关系，用y 把x 表示出来，得到x =ϕ（y ）.如果对于y 在C 中的任何一个值，通过x =ϕ（y ），x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x =ϕ（y ）就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数.这样的函数x =ϕ（y ）（y ∈C ）叫做函数y =f （x ）（x ∈A ）的反函数，记作x =f －1（y ）. 在函数x =f －1（y ）中，y 表示自变量，x 表示函数.习惯上，我们一般用x 表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x =f －1（y ）中的字母x 、y ，把它改写成y =f －1（x ）.2.互为反函数的两个函数y =f （x ）与y =f －1（x ）在同一直角坐标系中的图象关于直线y =x 对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x 的方程y =f （x ），得到x =f －1（y ）.（2）把第一步得到的式子中的x 、y 对换位置，得到y =f －1（x ）. （3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y =f （x ）的值域〕. ●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y =－11+x （x ≠－1）的反函数是 A.y =－x1－1（x ≠0） B.y =－x1+1（x ≠0）C.y =－x +1（x ∈R ）D.y =－x －1（x ∈R ）解析：y =－11+x （x ≠－1）⇒x +1=－y 1⇒x =－1－y 1.x 、y 交换位置，得y =－1－x1.答案：A2.函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为A.y =2x －1－1（x ＞1）B.y =2x －1+1（x ＞1）C.y =2x +1－1（x ＞0）D.y =2x +1+1（x ＞0）解析：函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的值域为{y |y ＞1}，由y =log 2（x +1）+1，解得x =2y －1－1.∴函数y =log 2（x +1）+1（x ＞0）的反函数为y =2x －1－1（x ＞1）. 答案：A3.函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的反函数 A.在［－21，+∞）上为增函数 B.在［－21，+∞）上为减函数 C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f （x ）=－12+x （x ≥－21）的值域为{y |y ≤0}，而原函数在［－21，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f （x ）=－x 2（x ∈（－∞，－2］）的反函数f －1（x ）=______________.解析：y =－x 2（x ≤－2），y ≤－4.∴x =－y -.x 、y 互换，∴f －1（x ）=－x -（x ≤－4）. 答案：－x -（x ≤－4） 5.若函数f （x ）=2+x x ，则f －1（31）=___________. 解法一：由f （x ）=2+x x ，得f －1（x ）=x x -12.∴f －1（31）=311312-⋅=1. 解法二：由2+x x =31，解得x =1.∴f －1（31）=1. 答案：1评述：显然解法二更简便. ●典例剖析【例1】 设函数f （x ）是函数g （x ）=x 21的反函数，则f （4－x 2）的单调递增区间为 A.［0，+∞） B.（－∞，0］ C.［0，2） D.（－2，0］解析：f （4－x 2）=－log 2（4－x 2）.x ∈（－2，0］时，4－x 2单调递增；x ∈［0，2）时，4－x 2单调递减.答案：C 深化拓展1.若y =f （x ）是［a ，b ］上的单调函数，则y =f （x ）一定有反函数，且反函数的单调性与y =f （x ）一致.2.若y =f （x ），x ∈［a ，b ］（a ＜b ）是偶函数，则y =f （x ）有反函数吗？（答案：无）【例2】 求函数f （x ）=⎩⎨⎧->+-≤+)1(1),1(12x x x x 的反函数.解：当x ≤－1时，y =x 2＋1≥2，且有x =－1-y ，此时反函数为y =－1-x （x ≥2）. 当x ＞－1时，y =－x +1＜2，且有x =－y +1，此时反函数为y =－x +1（x ＜2）.∴f （x ）的反函数f －1（x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥--).2(1),2(1x x x x评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】 已知函数f （x ）是函数y =1102+x －1（x ∈R ）的反函数，函数g （x ）的图象与函数y =134--x x的图象关于直线y =x －1成轴对称图形，记F （x ）=f （x ）+g （x ）. （1）求F （x ）的解析式及定义域.（2）试问在函数F （x ）的图象上是否存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直?若存在，求出A 、B 两点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y =1102+x －1（x ∈R ），得10x=y y +-11，x =lg y y +-11.∴f （x ）=lg xx+-11（－1＜x ＜1）.设P （x ，y ）是g （x ）图象上的任意一点，则P 关于直线y =x －1的对称点P ′的坐标为（1+y ，x －1）.由题设知点P ′（1+y ，x －1）在函数y =134--x x的图象上，∴x －1=11)1(34-++-y y .∴y =21+x ，即g （x ）=21+x （x ≠－2）. ∴F （x ）=f （x ）+g （x ）=lg x x +-11+21+x ，其定义域为{x |－1＜x ＜1}.（2）∵f （x ）=lg x x +-11=lg （－1+x +12）（－1＜x ＜1）是减函数，g （x ）=21+x （－1＜x ＜1）也是减函数，∴F （x ）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A 、B ，使直线AB 恰好与y 轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓展若F （x ）当x ∈［a ，b ］时是单调函数，则F （x ）图象上任两点A 、B 连线的斜率都不为零.●闯关训练 夯实基础1.（2004年全国Ⅱ）函数y =1-x +1（x ≥1）的反函数是 A.y =x 2－2x +2（x ＜1）B.y =x 2－2x +2（x ≥1）C.y =x 2－2x （x ＜1）D.y =x 2－2x （x ≥1）解析：y =1-x +1（x ≥1）⇒y ≥1，反解x ⇒x =（y －1）2+1⇒x =y 2－2y +2（y ≥1），x 、y 互换⇒y =x 2－2x +2（x ≥1）.答案：B2.（文）（2004年全国Ⅲ，文3）记函数y =1+3－x的反函数为y =g （x ），则g （10）等于 A.2 B.－2 C.3 D.－1解析：g （10）的值即为10=1+3－x 中x 的值⇒3－x =32，∴x =－2. 答案：B（理）（2004年全国Ⅳ，理2）函数y =e 2x（x ∈R ）的反函数为 A.y =2ln x （x ＞0） B.y =ln （2x ）（x ＞0）C.y =21ln x （x ＞0）D.y =21ln （2x ）（x ＞0） 解析：y =e 2x⇒2x =ln y ⇒x =21ln y ，x 、y 互换⇒y =21ln x （x ＞0）.答案：C3.（2004年北京，5）函数y =x 2－2ax －3在区间［1，2］上存在反函数的充要条件是 A.a ∈（－∞，1］ B.a ∈［2，+∞）C.a ∈［1，2］D.a ∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：存在反函数的充要条件是函数在［1，2］上是单调函数.∴a ≤1或a ≥2. 答案：D4.（2004年福建，7）已知函数y =log 2x 的反函数是y =f －1（x ），则函数y =f －1（1－x ）的图象是解析：y =log 2x ⇔x =2y⇒f －1（x ）=2x ⇒f －1（1－x ）=21－x.答案：C5.若点（2，41）既在函数y ＝2ax ＋b的图象上，又在它的反函数的图象上，则a =___________，b =___________.解析：∵点（2，41）在函数y ＝2ax ＋b的反函数的图象上，根据反函数与原函数的对称关系，∴点（41，2）在函数y ＝2ax ＋b的图象上. 把点（2，41）与（41，2）分别代入函数y ＝2ax ＋b可得.答案：－712 7106.（2004年全国Ⅲ，15）已知函数y =f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）=3x－1，设f （x ）的反函数是y =g （x ），则g （－8）=______________.解析：当x ＞0时，－x ＜0，f （－x ）=3－x－1.又∵f （x ）是奇函数，∴f （－x ）=－f （x ），即－f （x ）=3－x －1.∴f （x ）=1－3－x.∴f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧---x x 3113 ⎩⎨⎧<≥.0,0x x ∴f －1（x ）=⎩⎨⎧<--≥+.0)1(log ,0)1(log 33x x x x∴f －1（－8）=g （－8）=－log 3（1+8）=－log 332=－2.答案：－2 培养能力7.已知函数f （x ）=mx x +-25的图象关于直线y =x 对称，求实数m .解：∵f （x ）的图象关于直线y =x 对称，又点（5，0）在f （x ）的图象上，∴点（0，5）也在f （x ）的图象上，即－m 5=5，得m =－1.8.已知函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），试求函数f －1（x ）的表达式.解：∵函数f （x ）=a +b x －1（b ＞0，b ≠1）的图象经过点（1，3），∴a +b 0=3，a =3－b 0=3－1=2.又函数f －1（x +a ）（a ＞0）的图象经过点（4，2），∴f －1（4+a ）=2.∴f （2）=4+a =4+2=6，即2+b 2－1=6.∴b =4.故f （x ）=2+4x －1.再求其反函数即得f －1（x ）=log 4（x －2）+1（x ＞2）.9.已知函数f （x ）=2（21－11+x a ）（a ＞0，且a ≠1）.（1）求函数y =f （x ）的反函数y =f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）的奇偶性；（3）解不等式f －1（x ）＞1.解：（1）化简，得f （x ）=11+-x x a a .设y =11+-x x a a ，则a x =y y -+11.∴x =log a y y -+11.∴所求反函数为y =f －1（x ）=log axx-+11（－1＜x ＜1）. （2）∵f －1（－x ）=log a x x +-11=log a （x x -+11）－1=－log a xx -+11=－f －1（x ），∴f －1（x ）是奇函数.（3）log a xx-+11＞1.当a ＞1时，原不等式⇒x x -+11＞a ⇒11)1(--++x a x a ＜0.∴11+-a a ＜x ＜1.当0＜a ＜1时，原不等式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+<-+,011,11xx a xx解得⎪⎩⎪⎨⎧<<->+-<.11,111x x aa x 或∴－1＜x ＜a a +-11. 综上，当a ＞1时，所求不等式的解集为（11+-a a ，1）； 当0＜a ＜1时，所求不等式的解集为（－1，11+-a a ）.探究创新10.已知函数f （x ）=（11+-x x ）2（x ＞1）. （1）求f （x ）的反函数f －1（x ）；（2）判定f －1（x ）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1－x ）f －1（x ）＞a （a －x ）对x ∈［161，41］恒成立，求实数a 的取值范围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1，∴0＜y ＜1.∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0. ∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立.显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］. 则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立.由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45. 评述：本题（3）巧用换元法，通过构造一次函数，借助函数图象求解. ●思悟小结1.反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域，因此反函数的定义域不能由其解析式确定，而应当是原函数的值域.2.互为反函数的两个函数具有相同的增减性，它们的图象关于直线y ＝x 对称.3.求y ＝f （x ）的反函数的一般步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；（2）由y ＝f （x ）的解析式求出x ＝f －1（y ）；（3）将x 、y 对换，得反函数的习惯表达式y ＝f －1（x ）. 4.分段函数的反函数，应分别求出各段的反函数，再合成. ●教师下载中心 教学点睛由于本节中的反函数的定义既是重点又是难点，因此复习本节时，针对反函数的定义，教师应渗透如下知识：（1）函数的反函数，本身也是一个函数，由反函数的定义，原来函数也是反函数的反函数.（2）反函数的定义域、值域分别是原来函数的值域与定义域.（3）由反函数定义知：①b =f （a ）⇔a =f －1（b ），这两个式子是a 、b 之间关系的两种不同表示形式.②f ［f －1（x ）］=x （x ∈C ）.③f －1［f （x ）］=x （x ∈A ）. 拓展题例【例1】 （2004年上海，10）若函数y =f （x ）的图象可由y =lg （x +1）的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到，则f （x ）等于 A.10－x－1 B.10x－1 C.1－10－xD.1－10x解析：所求函数与y =lg （x +1）的反函数的图象关于y 轴对称. 答案：A【例2】 若函数y ＝ax ax +-11（x ≠－a1，x ∈R ）的图象关于直线y ＝x 对称，求a 的值. 解法一：由y ＝ax ax +-11，解得x ＝a ay y +-1.故函数y ＝ax ax +-11的反函数为y ＝aax x +-1.∵函数y ＝ax ax+-11的图象关于直线y ＝x 对称， ∴函数y ＝ax ax +-11与它的反函数y ＝a ax x +-1相同.由ax ax +-11＝aax x+-1恒成立，得a ＝1.解法二：∵点（0，1）在函数y ＝axax+-11的图象上，且图象关于直线y =x 对称，∴点（0，1）关于直线y ＝x 的对称点（1，0）也在原函数图象上，代入得a ＝1.【例3】 函数y =xx+12（x ∈（－1，+∞））的图象与其反函数图象的交点坐标为___________________.答案：（0，0），（1，1）。
反函数知识点总结讲义教案
7.已知函数 f (x) 3x 1 的反函数 y f 1(x) ， g(x) log9(3x 1)
（１）若 f 1(x) g(x) ，求 x 的取值范围 D ；
（２）设函数 H (x) g(x) 1 f 1(x) ，当 x D 时，求 H (x) 的值域.
2
解：∵ f (x) 3x 1 ，∴ f 1(x) log3(x 1) ．
y
y
y
y
O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
4 若函数 y f (x) 的图象经过第三、四象限，且存在反函数，则函数 y f 1 (x) 的图象经过(B)
（A） 第一、二象限 （B） 第二、三象限 （C）第三、四象限 （Ｄ） 第一、四象限
5 设 a 0, a 1 ，函数 y loga x 的反函数和 y log 1 x 的反函数的图象关于 （ B ）
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3． 原函数与反函数的联系
反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若 y f (x) 与 y f 1(x) 互为反函
数，函数 y f (x) 的定义域为 D 、值域为 A ，则 f [ f 1(x)] x(x A) ， f 1[ f (x)] x(x D) ；
B． y 1 log 2 x, x (1,3)
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C． y log 2 (x 1), x (1,3]
D． y 1 log 2 x, x (1,3]
3 若函数 f (x) 是函数 y 2 2x2 0 x 1的反函数，则 f (x) 的图象为 （ B ）
【高中数学】常用函数的反函数教案
高中数学教学中，常用函数的反函数是很重要的知识点之一。
通过理解函数和反函数之间的相互关系，可以更好地提高学生的数学水平和解题的能力。
一、教学目标1.了解常用函数的概念及定义；2.掌握常用函数的图像、性质及应用；3.掌握常用函数的反函数的概念、性质及应用；4.学会通过图像和解析式求出常用函数的反函数。
二、教学内容在教学内容上，我们应该从以下几个方面对常用函数及其反函数进行详细讲解：1.常用函数的概念及定义需要让学生了解函数的定义及其反函数的概念。
在数学中，函数是指任意两个数域之间的一种特殊关系。
对于关系y = f(x)，任何一个x 值都能够唯一对应一个y值。
而反函数就是将 y=f(x) 转化为 x=f(y) 的一种函数，是函数y = f(x) 的反函数。
反函数的意义在于将一个函数的输入与输出对调，以便对某些问题求解。
2.常用函数的图像、性质及应用迎接学生的视觉感知，需要讲解常用函数的图像、性质及应用。
学生需要了解常用函数的图像，例如正比例函数、反比例函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数，了解它们的图像特征及性质，例如增减性、奇偶性、周期性以及特殊点条件等。
同时，学生还需要了解这些函数在实际应用中的意义和应用，例如三角函数在角度计算中的应用、指数函数在人口增长中的应用等。
3.常用函数的反函数的概念、性质及应用学生需要了解常用函数的反函数的概念、性质及其应用。
反函数是一种特殊的函数，其定义域和值域与原函数的值域和定义域相反。
因此，反函数的图像是将原函数的图像沿着y=x对称而得到的。
在应用方面，反函数也具有重要意义。
它可以用来确定某些隐含的变量，解决某些实际问题，例如，一家公司的每日销售额的平均值为500元，反函数就可以用来确定每位购物者平均的购物金额。
4.通过图像和解析式求出常用函数的反函数学生需要学会通过图像和解析式求出常用函数的反函数。
对于图像法，学生需要学会将原函数的图像沿着y=x对称，求出反函数的图像。
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班级：一对一 所授年级+科目： 高一数学 授课教师： 课次：第 次 学生：上课时间：教学目标 理解反函数的意义，会求函数的反函数；掌握互为反函数的函数图象之间的关系，会利用反函数的性质解决一些问题． 教学重难点反函数的求法，反函数与原函数的关系．反函数知识点总结教案【知识整理】 一．函数的定义如果在某个变化过程中有两个变量x 和y ,并且对于x 在某个围的每一个确定的值，按照某个对应法则, y 都有唯一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数， x 就叫做自变量， x 的取值围D 称为函数的定义域，和x 的值对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合A 叫做函数的值域，记为：)(x f y = x ∈D.二．反函数定义一般地，函数)(x f y = (x ∈D),设它的值域为A,我们根据这个函数中x , y 的关系，用y 把x 表示出，得到)(y x ϕ= ,如果对于 y 在 A 中的任何一个值，通过)(y x ϕ= , x 在D 中都有唯一的值和它对应，那么，)(y x ϕ= 就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数)(y x ϕ= （y ∈A)叫做函数)(x f y = ( x ∈D)的反函数.记作：)(1y fx -=反函数)(1y f x -=中，x 为因变量，y 为自变量，为和习惯一致，将x , y 互换得： )(1x f y -=( x ∈A).注：并非所有的函数都有反函数.反函数存在的条件：从定义域到值域上的一一映射确定的函数才有反函数； 三．主要方法：1．求反函数的方法步骤：①求出原函数的值域，即求出反函数的定义域； ②由)(x f y =反解出)(1y f x -= (把x 用y 表示出来)； ③将x , y 互换得： )(1x fy -=，并写出反函数的 定义域2． 分段函数的反函数的求法：逐段求出每段的反函数及反函数的定义域，再合成分段函数. 3． 原函数与反函数的联系反函数的定义域、值域上分别是原函数的值域、定义域，若()y f x =与1()y f x -=互为反函数，函数()y f x =的定义域为D 、值域为A ，则1[()]()f fx x x A -=∈，1[()]()f f x x x D -=∈；函数)(x f y =反函数)(1x f y -=定义域 D A 值 域AD4. 互为反函数的函数图象间的关系一般地，函数)(x f y =的图像和它的反函数)(1x f y -=的图像关于直线y =x 对称，其增减性相同.释意：如果点(a,b)在函数)(x f y =的图像上，那么点(b,a)必然在它的反函数)(1x f y -=的图像上。
换言之，如果函数)(x f y =的图像上有点(a,b)，那么它的反函数)(1x f y -=的图像上必然有点(b,a).1．求下列函数的反函数： （1）2()(1)f x x x x =+≤-； （2）221(01)(){(10)x x f x x x -≤≤=-≤<.解：（1）由2(1)y x x x =+≤-得2211()(1)24y x x =+-≤-，∴211(0)24x y y +=-+≥，∴所求函数的反函数为211(0)24y x x =--+≥． （2）当01x ≤≤时，得1(10)x y y =+-≤≤，当10x -≤<时，得(01)x y y =-<≤，∴所求函数的反函数为1(10)(01)x x y x x ⎧+-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩．2．函数11(,)1ax y x x R ax a-=≠-∈+的图象关于y x =对称，求a 的值． 解：由11(,)1ax y x x R ax a-=≠-∈+得1(1)(1)y x y a y -=≠-+，∴11()(1)(1)xf x x a x --=≠-+，由题知：1()()f x fx -=，11(1)1x axa x ax--=++，∴1a =．3．若(2,1)既在()f x mx n =+的图象上，又在它反函数图象上，求,m n 的值．解：∵(2,1)既在()f x mx n =+的图象上，又在它反函数图象上，∴(1)2(2)1f f =⎧⎨=⎩，∴221m n m n ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，∴37m n =-⎧⎨=⎩．4．设函数xx x f +-=121)(，又函数)(x g 与1(1)y f x -=+的图象关于y x =对称，求)2(g 的值．解法一：由121x y x -=+得12y x y -=+，∴11()2x f x x --=+，1(1)3x f x x --+=+，∴)(x g 与3x y x -=+互为反函数，由23x x -=+，得(2)2g =-．解法二：由1(1)y fx -=+得()1x f y =-，∴()()1g x f x =-，∴(2)(2)12g f =-=-．5．已知函数()y f x =（定义域为A 、值域为B ）有反函数1()y f x -=，则方程()0f x =有解x a =，且()()f x x x A >∈的充要条件是1()y fx -=满足11()()(0)f x x x B f a --<∈=且．6．已知21()()21x x a f x a R -=∈+，是R 上的奇函数．（1）求a 的值；（2）求()f x 的反函数； （3）对任意的(0,)k ∈+∞解不等式121()log xfx k-+>． 解：（1）由题知(0)0f =，得1a =，此时21212112()()021212112x x x x x x x xf x f x ------+-=+=+=++++，即()f x 为奇函数．（2）∵21212121x x x y -==-++，得12(11)1xy y y +=-<<-，∴121()log (11)1x f x x x-+=-<<-． （3）∵121()log x f x k -+>，∴11111x xx k x ++⎧>⎪-⎨⎪-<<⎩，∴111x k x >-⎧⎨-<<⎩，①当02k <<时，原不等式的解集{|11}x k x -<<， ②当2k ≥时，原不等式的解集{|11}x x -<<．7.已知函数13)(-=xx f 的反函数)(1x f y -=，)13(log )(9+=x x g（１）若)()(1x g x f ≤-，求x 的取值围D ；（２）设函数)(21)()(1x f x g x H --=，当D x ∈时，求)(x H 的值域. 解：∵ 13)(-=x x f ，∴ )1(log )(31+=-x x f ．（１）∵)()(1x g x f≤- 即)13(log )1(log 93+≤+x x ∴)13(log )1(log 929+≤+x x ，∴2(1)31,10.x x x ⎧+≤+⎨+>⎩ 解之得10≤≤x ∴[]1,0=∈D x ．（２）∵ )(21)()(1x f x g x H --=)1(log 21)13(log 39+-+=x x )1(log )13(log 99+-+=x x 113log 9++=x x ． []1,0∈x 令123113+-=++=x x x t ，显然在[0，1]递增，则有21≤≤t ． ∴2log )(09≤≤x H ，即)(x H 的值域为}2log 0{9≤≤y y ．8. 已知函数)(x f y =在其定义域D 是减函数，且存在反函数，求证：)(x f y =的反函数)(1x fy -=在它的定义域E 也是减函数（E 是)(x f y =的值域）．证明：∵)(x f y =在其定义域D 是减函数，∴设D x x ∈21,，且21x x <，有)()(21x f x f >． 令)(),(2211x f y x f y ==，有E y y ∈21,，且21y y >． ∵函数)(x f y =在上D 存在反函数E x x f y ∈=-),(1，∴)(),(212111y fx y fx --==．由题意，)()(21112121y f y f x x y y --<⇔<⇔>，且E y y ∈21,，∴)(1x fy -=在定义域E 是减函数．9.已知函数21()(), 1.1x f x x x -=>+ （1）求()f x 的反函数1()f x -；（2）判定1()f x -在其定义域的单调性；（3）若不等式1(1)()()x f x a a x -->-对11[,]164x ∈恒成立，数a 的取值围.解：（1）由y =（11+-x x ）2，得x =yy -+11. 又y =（1－12+x ）2，且x ＞1， ∴0＜y ＜1 ∴f －1（x ）=xx -+11（0＜x ＜1）.（2）设0＜x 1＜x 2＜1，则1x －2x ＜0，1－1x ＞0，1－2x ＞0.∴f －1（x 1）－f －1（x 2）=)1)(1()(22121x x x x ---＜0，即f －1（x 1）＜f －1（x 2）.∴f －1（x ）在（0，1）上是增函数. （3）由题设有（1－x ）xx -+11＞a （a －x ）.∴1+x ＞a 2－a x ，即（1+a ）x +1－a 2＞0对x ∈［161，41］恒成立. 显然a ≠－1.令t =x ，∵x ∈［161，41］，∴t ∈［41，21］.则g （t ）=（1+a ）t +1－a 2＞0对t ∈［41，21］恒成立.由于g （t ）=（1+a ）t +1－a 2是关于t 的一次函数，∴g （41）＞0且g （21）＞0，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-++>-++,01)1(21,01)1(4122a a a a 解得－1＜a ＜45．【反馈练习】1函数223y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是（ D ）A 、(],1a ∈-∞B 、[)2,a ∈+∞C 、[1,2]a ∈D 、(],1a ∈-∞U [)2,+∞ 2函数)1(12<+=x y x 的反函数是（ A ）A ．)3,1(),1(log 2∈-=x x yB ．)3,1(,log 12∈+-=x x y21,10,x y x>∴=->Q()2110y x x y y=-⇒=+>故所求的反函数是()()110f x x x-=+>1设0,1a a>≠，函数log ay x=的反函数和1logay x=的反函数的图象关于( )()A x轴对称()B y轴对称()C y x=轴对称()D原点对称2已知函数1()()12xf x=+，则1()f x--的图象只可能是（）()A()B()C()D3若函数)(xf的图象上经过点)1,0(-，则函数)4(+xf的反函数的图象上必经过点（ C ）Ａ．)4,1(-Ｂ．)1,4(--Ｃ．)4,1(--Ｄ．)4,1(4已知函数)(xfy=有反函数，则方程axf=)(（a为常数）（ B ）Ａ．有且只有一个实根Ｂ．至多有一个实根Ｃ．至少有一个实根Ｄ．实根的个数无法确定5函数12-=xy（Nx∈）的反函数是（ C ）A．21+=xy（Nx∈）B．21+=xy（Zx∈）C．21+=xy（{}正奇数∈x）D．21-=xy（{}正奇数∈x）6设函数32)(2+-=xxxf，(]1,∞-∈x，则)(1xf-的定义域是（ D ）A．[)+∞,0B．),2(+∞C．(]1,∞-D．[)+∞,27若6y ax=-与13y x b=+的图象关于直线y x=对称，且点(,)b a在指数函数()f x的图象上，则()f x=．8若函数axxxf++=23)(有反函数,则实数a的取值围是_____________．Ra∈且32-≠a.1-xyO2-xyO1xyO1-1-xyO2-教案审核：。