数学模型期末考试试题及答案

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2009数学建模试题与答案

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2009学年第二学期考试科目：数学模型考试类型：（闭卷）考试时间：120分钟学号姓名年级专业1、（13分）设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。

（1）排列1：圆盘中心按正方形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。

（4分）解：圆盘总数：202010022⨯=排列2：圆盘中心按六角形排列（如右图）的尽可能多的圆盘数。

（4分）解：行数：111+=圆盘总数：20111110522-⨯+=（2）设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。

（5分）解：前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106（此题考虑的是当两种方案当两种方案被提出的时候，但仍需改进的时候，应该考虑这两者的综合是否可行，如果可行，则给出方案。

）2、（10分）在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

5分（2）假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。

5分解：设体重w（千克）与举重成绩y （千克）（1）由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以y∝I∝S设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ∝ h2再体重正比于身高的三次方，则w ∝ h3（2）a, 则一个最粗略的模型为更好的模型：()y k w aγ=-3、（10分）在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象了吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。

（1）请写出商品价恪c 与商品重量w 的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w 成正比，有的与表面积成正比，还有与w 无关的因素。

（5分）（2）给出单位重量价格c与w 的关系，并解释。

数学建模基础问题与答案!(有答案).

‘牡丹江师范学院期末考试试题库科目：数学模型与数学实验年级：2006 学期：2008-2009-2 考核方式：开卷命题教师：数学模型与数学实验课程组一、解答题：（每小题30分）x=[0.1 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';n=length(x)X=[ones(n,1) x];Y=[42 43.5 45 45.5 45 47.5 49 53 50 55 55 60]';[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X);b,bint,stats% 预测y=b(1)+b(2)*x%E误差平方和E=sum((Y-y).^2)参考结果：回归直线：ˆ28.4928130.8348=+y x误差平方和：17.4096是否重点：重点难易程度：中知识点所在章节：第十六章第一节检查数据中有无异常点、由x的取值对y作出预测。

解：参考程序(t2.m)：x=[0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.2 0.21 0.23]';Y=[42.0 41.5 45.0 45.0 45 47.5 49.0 55.0 50.0 55.0 55.5 60.5]'; scatter(x,Y);n=length(x)X=[ones(n,1) x];b,bint,stats %残差图 rcoplot(r,rint) % 预测y=b(1)+b(2)*x%剔除异常点重新建模 X(8,:)=[]; Y(8)=[];[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 结果和图：b =27.0269 140.6194 bint =22.3226 31.7313 111.7842 169.4546 stats =0.9219 118.0670 0.0000结果分析：由20.9226,119.2528,P =0.0000R F ==知，2R 接近1，10.5(1,10)F F ->，0.05P <，故x 对y 的影响显著，回归模型可用。

2023_2024学年河南省濮阳市八年级下册期末考试数学试题(附答案)

2023_2024学年河南省濮阳市八年级下册期末考试数学试题留意事项：1.本卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共6页，三大题，满分120分，考试工夫100分钟；2.试题卷上不要答题，请用0.5 毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案有效；3.答题前，考生务必将本人所在学校、姓名、考场、座号、准考证号填写在答题卡面的指置上.一、选一选(每小题3分，共30分) 下列各小题均有四个选项，其中只要一个是正确的.等于1.(−2)2B.- B.-2C.±2D. 162.下列三角形的三条边长中，是直角三角形三边长的是A.1,2,2B.2,3,4C.3,4,6D.1,1, 23.甲、乙两名射击运动员10次射击成绩的平均数均为9.5环，其中甲运动员成绩的方差为0.3，乙运动员成绩的方差为0.5，则下列说确的是A.甲的成绩比乙的成绩更波动B.乙的成绩比甲的成绩更波动C.甲、乙两人的成绩一样波动D.甲、乙两人的成绩不能比较4.下列运算结果错误的是A.12+52=32 B.(3+2)(3−2)=1C.(−2)2×3=23D.a2=a5.已知函数y=kx+4的图象点 A，且y随x的增大而减小，则点A 的坐标可以是A.(1,2)B.(2,4)C.(3,5)D.(4,6)6.爱好运动的小颖同窗利用“运动”这一，连续记录了一周每天的步数(单位:万步)分别为:1.3,1.4,1.7,1.4,1.4,1.8,1.6,则这组数据的中位数A. 1.3B. 1.4C.1.6D. 1.77.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=1, BC=4,D 是AB 边的中点,则 CD 的长为A.B.212C.172D.178.菱形具有而矩形不一定具有的性质是A.对角线互相垂直 B.对角线相等C.对角线互相平分 D.对角相等9.如图,四边形ABCD 为菱形,已知A(0,4),B(-3,0).则点C 的坐标是A.(-3,-4) B.(-2,-4)C.(-3,-5) D.(-4,-5)10.甲、乙两人进行 1500米比赛，在比赛过程中，两人所跑的路程y(米)与所用的工夫x(分)的函数关系如图所示，则下列说确的是A.甲先到达起点B.跑到两分钟时，两人相距 200米C.甲的速度随工夫增大而增大D.起跑两分钟后，甲的速度大于乙的速度二、填空题(每小题3分，共15分)11.代数式在实数范围内有意义，则x 的取值范围是x −212.请写出函数y=-2x 的一条性质. .13.如图,矩形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,点 E 、F 分别是AO 、AD 的中点,若AB=6cm,BC=8cm,则EF 的长为 cm.14.如图,函数y=kx+b 与y=x+2的图象相交于点 P(m,4),则不等式kx+b<x+2的解集是 .15.如图,矩形ABCD 中,将矩形ABCD 沿EF 折叠,点B 与点D 重合,点C 落在点C'处,若AB=8,BC=4,则FC 的长为 .三、解答题(共8个小题，共75分)16.(每题4分,共8分)计算：(1)1345⋅(515+5)(2)8⋅27÷1817.(本题满分9分)已知，函数的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于y =−12x +3点 B.(1)求A 、B 两点的坐标;(2)请你在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(3)求AB 的长.18.(本题满分10分)请你处理下列成绩：(1)如图(1),四边形ABCD 中,∠A=∠C,∠B=∠D.求证:四边形ABCD 是平行四边形.(2)如图(2),连接BD.①作BD 的垂直平分线，交AD 于E ，交BC 于F ；(尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹)②连接BE，DF，判定四边形 BEDF的外形，并给出证明.19.(本题满分9分)为了解先生体育程度，八(1)班的体育老师对全班45名先生进行了体育测试(得分均为整数)，成绩满分为 10分，根据这次测试成绩，制造了统计图和分析表.男生体育成绩条形统计图女生体育成绩扇形统计图八(1)班体育测试成绩分析表平均分方差中位数众数男生a287女生7.92 1.998b根据以上信息，解答下列成绩：(1)这个班女生共有多少人；(2)八(1)班体育模仿测试成绩分析表中,a= ,b= ;(3)你认为在这次体育测试中，八(1)班的男生队、女生队哪个表现更突出一些? 并阐明理由.20.(本题满分9分)当a=2023时,求的值.如图是小亮和小芳的解答过程：a +a 2−2a +1(1) 的解法是错误的；(2)错误的缘由在于未能正确运用二次根式的性质：；(3)当a=2时,求的值.a 2−6a +9+|1−a|21. (本题满分9分)如图,四边形ABCD 中,AC 、BD 是圆O 的直径(直径过圆心O). (1)求证:四边形ABCD 是矩形;(2)若AB=4,∠AOB=60°,求矩形ABCD 对角线的长22.(本题满分 10分)【阅读理解】明朝数学家程大位在数学著作《直指算法统宗》中以《西江月》词牌叙说了一道“荡秋千”成绩：原文：平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素猎奇，算出索有几?译文：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(程度距离)时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索一直拉得很直，试问绳索有多长? (注古代5尺为1步)为了处理这个成绩，需求根据成绩建立数学模型.小明同窗编写出了下列数学成绩：如图，秋千绳索OA 静止的时分，踏板离地高一尺(AC=1尺)，将它往前推进两步(EB=10尺)，此时踏板升高离地五尺(BD=5尺).已知:OC⊥CD于点C,BD⊥CD于点D,BE⊥OC于点 E,OA=OB.求:秋千绳索(OA 或OB)的长度.请你解答下列成绩(1)四边形 ECDB是( )A.普通平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形(2)求 OA的长.23.(本题满分11分)学习正方形时，王老师带领同窗们探求了课本上的一道几何题.【课本原型】(1)人教版八年级下册数学课本P₆₂《拓广探求》第 15题.如图,四边形ABCD是正方形,点G为BC上的任意一点, DE⊥AG于点E、BF∥DE,交AG于F.求证:AF-BF=EF.请你写出证明过程.【成绩处理】(2)如图(1),正方形ABCD中,点G为CB延伸线上的任意一点,DE⊥AG交GA延伸线于点E,BF∥DE交AG于点 F.试探求AF、BF、EF之间的数量关系,并给出证明.(3)如图(2),四边形ABCD是正方形,点G为BC上的一点,DE⊥AG于点E,连接BE,若AE=4,请直接写出△ABE的面积.参考答案阐明：1.本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，老师可根据试题的次要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2.对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4. 只给整数分数，选一选和填空题不给两头分.一、选一选(共10个小题，共30分)题号12345678910答案A D A D A B C A C B二、填空题(共5个小题，共15分)题号1112131415答案x≥2答案不5x>23备注：第12题参考答案：y随x得增大而减小三、解答题(共8个小题，共75分)16. (本题共2小题，每小题4分，共8分)(1)解:原式 (2)=1335(555+5)分=5(5+5)=10………………………………………………………………………………………………………………4分(2)解:原式 (2)分=22−33−132……………………………………………………………………………………………=23………………4分17. (本题满分9分)解: (1)令y=0得, −12x +3=0解得:x=6所以A(6,0)令x=0得,y=3,所以B(0,3)…………………………………………………………………………………4分(2)画出函数图像如图所示…………………………………………………………………………………6分(3)由图可知: OA=6, OB=3所以 ……………………………………………………………AB =OA 2+OB 2=32+62=359分18. (本题满分10分)(1)证明: 在四边形ABCD中, ∠A+∠B+∠C+∠D=360°∵∠A=∠C,∠B=∠D∴2∠A+2∠B=360°,2∠A+2∠D=360° (2)分∴∠A+∠B=180° , ∠A+∠D=180°∴AD∥BC,AB∥CD………………………………………………………………………………………………3分(2)①如图所示…………………………………………………………………………………………………6分②四边形BEDF是菱形，证明如下：∵EF垂直平分 BD∴EB=ED,OB=OD,∠EOD=∠BOF=90°…………………………………………………7分∵AD∥BC∴∠EDO=∠FBO……………………………………………………………………………………………………8分在△DOE和△BOF中{∠EOD=∠BOFOB=OD∠EDO=∠FBO∴△DOE≌△BOF(ASA)∴DE=BF……………………………………………………………………………………………………………9分∵AD∥BC∴四边形BEDF是平行四边形∵EB=ED∴四边形BEDF是菱形 (10)分19. (本题满分9分)解: (1) 这个班男生人数: 1+2+6+3+5+3=20(人)这个班女生人数为:45-20=25(人)答：这个班女生共有25人……………………………………………………………………………………3分(2)a=7.9,b=8…………………………………………………………………………………………………7分(3)女生队表现更突出一些. 理由如下：男生队和女生队中位数相反，但是女生队平均成绩更高，并且女生队得方差比男生队小，即女生队成绩比男生队成绩更波动.………………………9分20. (本题满分9分)解:(1)小亮 (2)分(2)a2=|a|…………………………………………………………………………………………………5分(3)解: 原式=(a−3)2+|1−a|∵a=2,∴原式=3-a+a-1=2……………………………………………………………………………………………9分21.(本题满分9分)(1)证明: ∵AC和BD是圆O的直径∴OA=OC, OB=OD∴四边形ABCD是平行四边形………………………………………………………………………………3分∵AC=BD∴四边形ABCD是矩形………………………………………………………………………………………4分(3) ∵四边形ABCD是矩形∴OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形………………………………………………………………………………………7分∴AO=AB=4∴AC=2AO=8……………………………………………………………………………………………………9分22.(本题满分10分)(1)B………………………………………………………………………………………………………………3分(2)解:由题意得 EC=BD=5尺,AC=1尺∴EA=EC-AC=5-1=4尺……………………………………………………………………………………………4分设OA=OB=x尺, 则OE= (x-4)尺∵BE⊥OC∴∠OEB=90°……………………………………………………………………………………………………6分∴在Rt△OEB中, 由勾股定理可得:OE²+EB²=OB²即(x-4)²+10²=x²………………………………………………………………………………………………8分解得: x=14.5即OA的长为14.5尺……………………………………………………………………………………………10分23. (1)证明: ∵四边形ABCD为正方形∴AD=AB,∠BAD=90°∵DE⊥AG∴∠AED=∠DEF=90°……………………………………………………………………………………………2分∵BF∥DE∴∠BFA=∠DEF=90°∴∠ABF+∠BAF=90°又∵∠DAE+∠BAF=90°∴∠ABF=∠DAE…………………………………………………………………………………………………3分在△DAE和△ABF中{∠AED=∠BFA∠ABF=∠DAEAB=AD∴△DAE≌△ABF(AAS)∴BF=AE∴AF-BF=AF-AE=EF即AF-BF=EF………………………………………………………………………………………………………4分(2)AF+BF=EF,证明如下:…………………………………………………………………………………………5分∵四边形ABCD为正方形∴AD=AB,∠BAD=90°∵DE⊥AG∴∠AED=90°……………………………………………………………………………………………………6分∵BF∥DE∴∠BFA=180° -∠AED=90°∴∠ABF+∠BAF=90°又∵∠DAE+∠BAF=90°∴∠ABF=∠DAE…………………………………………………………………………………………………7分在△DAE 和△ABF 中{∠AED =∠BFA∠ABF =∠DAEAB =AD ∴△DAE≌△ABF(AAS)∴BF=AE∴AF+BF=AF+AE=EF即AF+BF=EF………………………………………………………………………………………………………9分……………………………………………………………………………………………(3)S ABE =8…………11分解析: 过点 B 作 BF⊥AG由(1)得BF=AE=4∴S ABE =12×4×4=8。

数学建模期末考试A试的题目与答案

数学建模期末考试A试的题目与答案TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。

该问题中决策为乘船方案，记为d= (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。

(1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）(2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）(3) 写出该问题的状态转移率。

（3分）(4) 利用图解法给出渡河方案. （3分）解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}及他们的5个反状（3分）(2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分）(3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分）(4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。

或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。

（12分）1、二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型：（1）假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年

数学建模精讲_西南交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.Lingo软件是常用的优化问题的求解软件。

参考答案:正确2.0-1规划是整数规划。

参考答案:正确3.求解整数规划一定能得到最优解。

参考答案:错误4.整数规划是指规划问题中的全部变量限制为整数。

参考答案:错误5.所有决策变量均要求为整数的整数规划称为纯整数规划。

参考答案:正确6.整数规划与线性规划不同之处在于增加了整数约束。

参考答案:正确7.分枝定界法是整数规划的常见算法。

参考答案:正确8.原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划也一定有最优解。

参考答案:错误9.整数规划最优解常可以按照实数最优解简单取整而获得。

参考答案:错误10.与线性规划连续的可行域不同，整数规划的可行域是离散的。

参考答案:正确11.整数规划由于限制变量是整数，增加了求解难度，但整数解是有限个，所以有时候可以采用枚举法。

参考答案:正确12.非线性规划已经有一般的适合所有问题的成熟的解法。

参考答案:错误13.非线性规划的局部最优解和全局最优解等价。

参考答案:错误14.多目标规划的目标函数多于1个。

参考答案:正确15.非线性规划是指规划模型的目标函数或者约束条件中至少有一个为非线性表达式。

参考答案:正确16.多目标规划的解法包括分枝定界法，单纯形法。

参考答案:错误17.根据地球上任意两点的经纬度就可以计算这两点间的距离。

参考答案:正确18.如果可能，把非线性规划转换为线性规划是非常好的一个思路，原因是线性规划有比较成熟的算法。

参考答案:正确19.Lingo软件求解非线性规划的结果都是全部最优解。

参考答案:错误20.求解多目标规划的线性加权和法，在确定权系数之前，一般要对目标函数值做统一量纲处理，其目的是避免出现大数吃小数、权系数失去其作用的问题。

参考答案:正确21.哥尼斯堡七桥问题由欧拉证明了是可以走通的。

参考答案:错误22.“健康中国2030”规划纲要其中一项主要指标是将我国人均预期寿命提升至79岁左右。

数学模型(专升本)期末考试答案

数学模型(专升本)期末考试答案1. (单选题) 说明某事物内部各组成部分所占比例应选____。

(本题2.0分)A、率B、构成比C、相对比D、标准差标准答案：B解析：得分： 22. (单选题) 两样本均数比较用t检验,其目的是检验( )(本题2.0分)A、两样本均数是否不同B、两总体均数是否不同C、两个总体均数是否相同D、两个样本均数是否相同标准答案：C解析：3. (单选题) 人该指标的数值,为推断这组人群该指标的总体均值μ与μ0之间的差别是否有显著性意义,若用t检验,则自由度应该是(本题2.0分)A、 5B、28C、29D、 4标准答案：C解析：4. (单选题) 正态分布曲线下,横轴上,从μ-1.96σ到μ+1.96σ的面积为(本题2.0分)A、95%B、49.5%C、99%D、97%标准答案：A解析：5. (单选题) 两样本均数间的差别的假设检验时,查t界值表的自由度为(本题2.0分)A、n-1B、(r-1)(c-1)C、n1+n2-2D、 1标准答案：C解析：6. (单选题) 最小二乘法是指各实测点到回归直线的( )(本题2.0分)A、垂直距离的平方和最小B、垂直距离最小C、纵向距离的平方和最小D、纵向距离最小标准答案：C解析：7. (单选题) 对含有两个随机变量的同一批资料,既作直线回归分析,又作直线相关分析。

令对相关系数检验的t值为tr,对回归系数检验的t值为tb,二者之间具有什么关系?( )(本题2.0分)A、tr>tbB、tr<tbC、tr= tbD、二者大小关系不能肯定标准答案：C解析：8. (单选题) 设配对资料的变量值为x1和x2,则配对资料的秩和检验( )(本题2.0分)A、分别按x1和x2从小到大编秩B、把x1和x2综合从小到大编秩C、把x1和x2综合按绝对值从小到大编秩D、把x1和x2的差数按绝对值从小到大编秩标准答案：D解析：9. (单选题) 四个样本率作比较,χ2>χ20.05,ν可认为( )(本题2.0分)A、各总体率不同或不全相同B、各总体率均不相同C、各样本率均不相同D、各样本率不同或不全相同标准答案：A解析：10. (单选题) 某学院抽样调查两个年级学生的乙型肝炎表面抗原,其中甲年级调查35人,阳性人数4人;乙年级调查40人,阳性人数8人。

北京市海淀区2023-2024学年高三上学期期末考试数学含答案

海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}1,2,3B =，则()U A B = ð（）A ．{}2,4,5,6B ．{}4,6C ．{}2,4,6D ．{}2,5,62．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，则复数12z z ⋅的虚部为（）A ．i-B ．1-C ．3i -D ．3-3．已知直线1:12yl x +=，直线2:220l x ay -+=，且12l l ∥，则a =（）A ．1B ．1-C ．4D ．4-4．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上，4MF =，O 为坐标原点，则MO =（）A ．B ．4C ．5D ．5．在正四棱锥P ABCD -中，2AB =，二面角P CD A --的大小为4π，则该四棱锥的体积为（）A ．4B ．2C ．43D ．236．已知22:210C x x y ++-= ，直线()10mx n y +-=与C 交于A ，B 两点．若ABC △为直角三角形，则（）A ．0mn =B ．0m n -=C ．0m n +=D ．2230m n -=7．若关于x 的方程log 0xa x a -=（0a >且1a ≠）有实数解，则a 的值可以为（）A ．10B ．eC ．2D ．548．已知直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，倾斜角分别为1α，2α，则“()12cos 0->αα”是“120k k >”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，n S 为其前n 项和．若对任意的*N n ∈，11n a S q<-恒成立，则（）A ．{}n a 是递增数列B ．{}n a 是递减数列C ．{}n S 是递增数列D ．{}n S 是递减数列10．蜜蜂被誉为“天才的建筑师”．蜂巢结构是一种在一定条件下建筑用材面积最小的结构．下图是一个蜂房的立体模型，底面ABCDEF 是正六边形，棱AG ，BH ，CI ，DJ ，EK ，FL 均垂直于底面ABCDEF ，上顶由三个全等的菱形PGHI ，PIJK ，PKLG 构成．设1BC =，GPI IPK ∠=∠KPG =∠=θ10928'≈︒，则上顶的面积为（）（参考数据：1cos 3=-θ，tan2=θ）A ．B ．2C ．2D ．4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11．在51x ⎫-⎪⎭的展开式中，x 的系数为______．12．已知双曲线221x my -=0y -=，则该双曲线的离心率为______．13．已知点A ，B ，C 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则AB BC ⋅=______；点C 到直线AB 的距离为______．14．已知无穷等差数列{}n a 的各项均为正数，公差为d ，则能使得1n n a a +为某一个等差数列{}n b 的前n 项和（1n =，2，…）的一组1a ，d 的值为1a =______，d =______．15．已知函数()cos f x x a =+．给出下列四个结论：①任意a ∈R ，函数()f x 的最大值与最小值的差为2；②存在a ∈R ，使得对任意x ∈R ，()()π2f x f x a +-=；③当0a ≠时，对任意非零实数x ，ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝+⎭≠；④当0a =时，存在()0,πT ∈，0x ∈R ，使得对任意n ∈Z ，都有()()00f x f x nT =+．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．（本小题13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ABB A 是正方形，平面11ABB A ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，12AD DC AB ==，M 为线段AB 的中点，1AD B M ⊥．（Ⅰ）求证：1C M ∥平面11ADD A ；（Ⅱ）求直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值．17．（本小题14分）在ABC △中，2cos 2c A b a =-．（Ⅰ）求C ∠的大小；（Ⅱ）若c =ABC △存在，求AC 边上中线的长．条件①：ABC △的面积为条件②：1sin sin 2B A -=；条件③：2222b a -=．注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题13分）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：场次12345678910甲8101071288101013乙9138121411791210丙121191111998911（Ⅰ）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；（Ⅱ）在上述10场比赛中，从甲得分不低于10分的场次中随机选择两场，设X 表示乙得分大于丙得分的场数，求X 的分布列和数学期望()E X ；（Ⅲ）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率．甲、乙、丙三人接下来又将进行6场投篮比赛，设1Y 为甲获胜的场数，2Y 为乙获胜的场数，3Y 为丙获胜的场数，写出方差()1D Y ，()2D Y ，()3D Y 的大小关系．19．（本小题15分）已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）过点()3,0A ，焦距为（Ⅰ）求椭圆E 的方程，并求其短轴长；（Ⅱ）过点()1,0P 且不与x 轴重合的直线l 交椭圆E 于两点C ，D ，连接CO 并延长交椭圆E 于点M ，直线AM 与l 交于点N ，Q 为OD 的中点，其中O 为原点．设直线NQ 的斜率为k ，求k 的最大值．20．（本小题15分）已知函数()2sin f x ax x x b =-+．（Ⅰ）当1a =时，求证：①当0x >时，()f x b >；②函数()f x 有唯一极值点；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 在某公共点处的切线重合，则称该切线为1C 和2C 的“优切线”．若曲线()y f x =与曲线cos y x =-存在两条互相垂直的“优切线”，求a ，b 的值．21．（本小题15分）对于给定的奇数m （3m ≥），设A 是由m m ⨯个实数组成的m 行m 列的数表，且A 中所有数不全相同，A 中第i 行第j 列的数{}1,1ij a ∈-，记()r i 为A 的第i 行各数之和，()c j 为A 的第j 列各数之和，其中{},1,2,,i j m ∈⋅⋅⋅．记()()()()2212m r r m f r A -++⋅⋅⋅+=．设集合()()(){}{},00,,1,2,,ij ij H i j a r a c j i m i j =⋅<⋅<∈⋅⋅⋅或，记()H A 为集合H 所含元素的个数．（Ⅰ）对以下两个数表1A ，2A ，写出()1f A ，()1H A ，()2f A ，()2H A 的值；1A 2A （Ⅱ）若()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数．求证：()2H A mt ms ts ≥+-；（Ⅲ）当5m =时，求()()H A f A 的最小值．海淀区2023—2024学年第一学期期末练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1．A 2．D 3．B 4．D 5．C 6．A7．D8．B9．B10．D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11．5-12．213．1-514．11（答案不唯一）15．②④三、解答题（共6小题，共85分）16．（共13分）解：（Ⅰ）连接1AD ．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11CDD C 为平行四边形，所以11C D CD ∥，11C D CD =．因为AB CD ∥，12CD AB =，M 为AB 中点，所以CD AM ∥，CD AM =．所以11C D AM ∥，11C D AM =．所以四边形11MAD C 为平行四边形．所以11MC AD ∥．因为1C M ⊄平面11ADD A ，所以1C M ∥平面11ADD A ．（Ⅱ）在正方形11ABB A 中，1AA AB ⊥．因为平面11ABB A ⊥平面ABCD ，所以1AA ⊥平面ABCD ．所以1AA AD ⊥．因为1AD B M ⊥，1B M ⊂平面11ABB A ，1B M 与1AA 相交，所以AD ⊥平面11ABB A ．所以AD AB ⊥．如图建立空间直角坐标系A xyz -．不妨设1AD =，则()0,0,0A ，()11,2,1C ，()10,2,2B ，()0,0,1M ．所以()11,2,1AC = ，()111,0,1C B =- ，()11,2,0MC =．设平面11MB C 的法向量为(),,n x y z = ，则1110,0,n C B n MC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即0,20.x z x y -+=⎧⎨+=⎩令2x =，则1y =-，2z =．于是()2,1,2n =-．因为1116cos ,9AC n AC n AC n⋅==⋅，所以直线1AC 与平面11MB C 所成角的正弦值为69．17．（共14分）解：（Ⅰ）由正弦定理sin sin sin a b cA B C==及2cos 2c A b a =-，得2sin cos 2sin sin C A B A =-．①因为πA B C ++=，所以()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+．②由①②得2sin sin sin 0A C A -=．因为()0,πA ∈，所以sin 0A ≠．所以1cos 2C =．因为()0,πC ∈，所以π3C =．（Ⅱ）选条件②：1sin sin 2B A -=．由（Ⅰ）知，π2ππ33B A A ∠=--∠=-∠．所以2πsin sin sin sin 3B A A A -=--⎛⎫⎪⎝⎭31cos sin sin 22A A A =+-31cos sin 22A A =-πsin 3A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以π1sin 32A ⎛⎫-=⎪⎝⎭．因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππ,333A ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭．所以ππ36A -=，即π6A =．所以ABC △是以AC 为斜边的直角三角形．因为c =2πsin sin 3AB AC C ===．所以AC 边上的中线的长为1．选条件③：2222b a -=．由余弦定理得223a b ab +-=．设AC 边上的中线长为d ，由余弦定理得2222cos 42b ab d a C =+-⋅2242b ab a =+-2222342b a b a +-=+-1=．所以AC 边上的中线的长为1．18．（共13分）解：（Ⅰ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场．设A 表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则()310P A =．（Ⅱ）根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲得分不低于10分的场次有6场，分别是第2场，第3场，第5场，第8场，第9场，第10场，其中乙得分大于丙得分的场次有4场，分别是第2场、第5场、第8场、第9场．所以X 的所有可能取值为0，1，2．()202426C C 10C 15P X ===，()112426C C 81C 15P X ⋅===，()022426C C 22C 5P X ===．所以X 的分布列为X 012P11581525所以()1824012151553E X =⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）()()()213D Y DY D Y >>．19．（共15分）解：（Ⅰ）由题意知3a =，2c =．所以c =，2224b a c =-=．所以椭圆E 的方程为22194x y +=，其短轴长为4．（Ⅱ）设直线CD 的方程为1x my =+，()11,C x y ，()22,D x y ，则()11,M x y --．由221941x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()22498320m y my ++-=．所以122849m y y m -+=+．由()3,0A 得直线AM 的方程为()1133y y x x =-+．由()11331y y x x x my ⎧=-⎪+⎨⎪=+⎩，得11123y y x my -=+-．因为111x my =+，所以12y y =-，112122y my x m ⎛⎫⎭-=⎪⎝- =+．所以112,22my y N --⎛⎫ ⎪⎝⎭．因为Q 为OD 的中点，所以221x my =+，所以221,22my y Q +⎛⎫⎪⎝⎭．所以直线NQ 的斜率()212212221212884922128112912249m y y y y m m k my my m m y y m m -+++====+--+-+--+．当0m ≤时，0k ≤．当0m >时，因为912m m+≥=，当且仅当2m =时，等号成立．所以281299m k m =≤+．所以当2m =时，k取得最大值9．20．（共15分）解：（Ⅰ）①当1a =时，()()2sin sin f x x x x b x x x b =-+=-+．记()sin g x x x =-（0x ≥），则()1cos 0g x x '=-≥．所以()g x 在[)0,+∞上是增函数．所以当0x >时，()()00g x g >=．所以当0x >时，()()sin f x x x x b b =-+>．②由()2sin f x x x x b =-+得()2sin cos f x x x x x '=--，且()00f '=．当0x >时，()()1cos sin f x x x x x '=-+-．因为1cos 0x -≥，sin 0x x ->，所以()0f x '>．因为()()f x f x ''-=-对任意x ∈R 恒成立，所以当0x <时，()0f x '<．所以0是()f x 的唯一极值点．（Ⅱ）设曲线()y f x =与曲线cos y x =-的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为1x ，2x ，其斜率分别为1k ，2k ，则121k k =-．因为()cos sin x x '-=，所以1212sin sin 1x x k k ⋅==-．所以{}{}12sin ,sin 1,1x x =-．不妨设1sin 1x =，则1π2π2x k =+，k ∈Z ．因为()1111112sin cos k f x ax x x x '==--，由“优切线”的定义可知111112sin cos sin ax x x x x --=．所以1124ππa x k ==+，k ∈Z ．由“优切线”的定义可知2111111sin cos x x x b x x ⋅-+=-，所以0b =．当24ππa k =+，k ∈Z ，0b =时，取1π2π2x k =+，2π2π2x k =--，则()11cos 0f x x =-=，()22cos 0f x x =-=，()11sin 1f x x ='=，()22sin 1f x x ='=-，符合题意．所以24ππa k =+，k ∈Z ，0b =．21．（共15分）解：（Ⅰ）()110f A =，()112H A =；()212f A ，()215H A =．由定义可知：将数表A 中的每个数变为其相反数，或交换两行（列），()H A ，()f A 的值不变．因为m 为奇数，{}1,1ij a ∈-，所以()1r ，()2r ，…，()r m ，()1c ，()2c ，…，()c m 均不为0．（Ⅱ）当{}0,s m ∈或{}0,t m ∈时，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,i m =⋅⋅⋅．若0t =，结论显然成立；若0t ≠，不妨设()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则(),i j H ∈，1,2,,i m =⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()H A mt ≥，结论成立．当{}0,s m ∉且{}0,t m ∉时，不妨设()0r i >，1,2,,i s =⋅⋅⋅，()0c j >，1,2,,j t =⋅⋅⋅，则当1s i m +≤≤时，()0r i <；当1t j m +≤≤时，()0c j <．因为当1,2,,i s =⋅⋅⋅，1,2,,j t t m =++⋅⋅⋅时，()0r i >，()0c j <，所以()()()()()()20ij ij ij a r i a c j a r i c j ⋅=⋅⋅⋅<⋅．所以(),i j H ∈．同理可得：(),i j H ∈，1,2,,m i s s =++⋅⋅⋅，1,2,,j t =⋅⋅⋅．所以()()()2H A s m t m s t mt ms st ≥-+-=+-．（Ⅲ）当5m =时，()()H A f A 的最小值为89．对于如下的数表A ，()()89H A f A =．下面证明：()()89H A f A ≥．设()1r ，()2r ，…，()r m 中恰有s 个正数，()1c ，()2c ，…，()c m 中恰有t 个正数，{},0,1,2,3,4,5s t ∈．①若{}0,5s ∈或{}0,5t ∈，不妨设0s =，即()0r i <，1,2,,5i =⋅⋅⋅．所以当1ij a =时，(),i j H ∈．由A 中所有数不全相同，记数表A 中1的个数为a ，则1a ≥，且()()()()251252r r r f A +++⋅⋅⋅+=()252252a a a +--==，()H A a ≥．所以()()819H A f A ≥>．②由①设{}0,5s ∉且{}0,5t ∉．若{}2,3s ∈或{}2,3t ∈，不妨设2s =，则由（Ⅱ）中结论知：()51041011H A t t t ≥+-=+≥．因为()()()()251250122r r r f A -++⋅⋅⋅+<=≤，所以()()118129H A f A ≥>．③由①②设{}0,2,3,5s ∉且{}0,2,3,5t ∉．若{}{},1,4s t =，则由（Ⅱ）中结论知：()25817H A ≥-=．因为()012f A <≤，所以()()178129H A f A ≥>．若s t =，{}1,4s ∈，不妨设1s t ==，()10r >，()10c >，且()()1H A f A<，由（Ⅱ）中结论知：()8H A ≥．所以()()8f A H A >≥．若数表A 中存在ij a （{},2,3,4,5i j ∈）为1，将其替换为1-后得到数表A '．因为()()1H A H A '=-，()()1f A f A '≥-，所以()()()()()()11H A H A H A f A f A f A '-≤<'-．所以将数表A 中第i 行第j 列（,2,3,4,5i j =）为1的数替换为1-后()()H A f A 值变小．所以不妨设1ij a =-（,2,3,4,5i j =）．因为()5528H A ≥+-=，()9f A ≤，。

数学建模期末答案

《数学建模》期末考试A卷姓名：专业：学号：学习中心：成绩：一、判断题（每题3分，共15分）1、模型具有可转移性。

------------------------------（√）2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。

------（√）3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。

---------------------------------------------（√）4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。

-------（√）5、数学模型是原型的复制品。

-------------------- （×）二、不定项选择题（每题3分，共15分）1、下列说法正确的有AC 。

A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。

B、模型误差是可以避免的。

C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。

D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。

2、建模能力包括ABCD 。

A、理解实际问题的能力B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力D、试验调试的能力3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。

A、传染病模型B、代数模型C、几何模型D、微分模型E、生态模型4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。

A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法5、一个理想的数学模型需满足AC 。

A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。

（10分）四、建模题（每题15分，共60分）1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？解：4条腿能同时着地（一）模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

因此对这个问题我们假设:(1)地面为连续曲面(2)长方形桌的四条腿长度相同(3)相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的(4)方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。

那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。

福建师范大学2020年秋作业《数学建模》期末考试A卷答案

《数学建模》期末考试A卷姓名：专业：学号：学习中心：一、判断题（每题3分，共15分）1、模型具有可转移性。

------------------------------（对）2、一个原型，为了不同的目的可以有多种不同的模型。

----（对）3、一个理想的数学模型需满足模型的适用性和模型的可靠性。

-------------------------------------------（对）4、力学中把质量、长度、时间的量纲作为基本量纲。

------（对）5、数学模型是原型的复制品。

----------------- （错）二、不定项选择题（每题3分，共15分）1、下列说法正确的有AC 。

A、评价模型优劣的唯一标准是实践检验。

B、模型误差是可以避免的。

C、生态模型属于按模型的应用领域分的模型。

D、白箱模型意味着人们对原型的内在机理了解不清楚。

2、建模能力包括ABCD 。

A、理解实际问题的能力B、抽象分析问题的能力C、运用工具知识的能力D、试验调试的能力3、按照模型的应用领域分的模型有AE 。

A、传染病模型B、代数模型C、几何模型D、微分模型E、生态模型4、对黑箱系统一般采用的建模方法是 C 。

A、机理分析法B、几何法C、系统辩识法D、代数法5、一个理想的数学模型需满足AB 。

A、模型的适用性B、模型的可靠性C、模型的复杂性D、模型的美观性三、用框图说明数学建模的过程。

（10分）答：概括的说，数学模型就是一个迭代的过程，其一般建模步骤用框架图表示如下：四、建模题（每题15分，共60分）1、四条腿长度相等的椅子放在起伏不平的地面上，4条腿能否同时着地？解：4条腿能同时着地（一）模型假设对椅子和地面都要作一些必要的假设：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。

数学模型期末考试考试题及答案

山东轻工业学院08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷<本试卷共4页）说明：本次考试为开卷考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相互借用。

一、简答题<本题满分16分，每小题8分）1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<1）式，写出与<2）式的差别，并解释这个差别；2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；二、简答题<本题满分16分，每小题8分） ?1、对于§5.1传染病的SIR模型，叙述当时的变化情况并加以证明。

2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，即，请问如何达到最大经济效益？三、简答题<本题满分16分，每小题8分）1、在§9.3随机存储策略中，请用图解法说明为什么是方程的最小正根。

2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？四、<本题满分20分）某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有316人，三年级有465人。

现要选20名校级优秀学生，请用下列办法分配各年级的优秀学生名额：<1）按比例加惯例的方法。

<2）Q 值法。

另外如果校级优秀学生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。

五、<本题满分16分）大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个就业岗位可供选择。

层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为，，。

请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。

六、<本题满分16分）某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止<退保）。

2021数学建模期末试卷A及答案

2021数学建模期末试卷A及答案2021《数学建模》期末试卷A考试形式：开卷考试时间：120分钟姓名：学号：成绩： ___ 1．（10分）叙述数学建模的基本步骤，并简要说明每一步的基本要求。

2．（10分）试建立不允许缺货的生产销售存贮模型。

设生产速率为常数k，销售速率为常数r，r?k。

在每个生产周期T内，开始一段时间（0边生产边销售，后一段时间（T0?t?T?t?T0））只销售不生产，存贮量q(t)的变化如图所示。

设每次生产开工费为c1，每件产品单位时间的存贮费为c2，以总费用最小为准则确定最优周期T，并讨论r??k和r?k的情况。

3．（10分）设x(t)表示时刻t的人口，试解释阻滞增长（Logistic）模型x?dx?r(1?)x?xm?dt?x(0)?x0?中涉及的所有变量、参数，并用尽可能简洁的语言表述清楚该模型的建模思想。

4．（25分）已知8个城市v0，v1，…,v7之间有一个公路网（如图所示），每条公路为图中的边，边上的权数表示通过该公路所需的时间．（1）设你处在城市v0，那么从v0到其他各城市，应选择什么路径使所需的时间最短？（2）求出该图的一棵最小生成树。

5．（15分）求解如下非线性规划:Max z?x1?2x1?x2s.t. 0?x2?x1?2226．（20分）某种合金的主要成分使金属甲与金属乙.经试验与分析, 发现这两种金属成分所占的百分比之和x与合金的膨胀系数y之间有一定的相关关系.先测试了12次, 得数据如下表：表2 xi 37.0 37.5 38.0 38.5 39.0 39.5 40.0 yi xi yi 3.40 3.00 40.5 41.01.70 1.80 3.00 41.5 1.902.27 42.0 2.35 2.10 42.5 2.54 1.83 43.0 2.90 1.53试建立合金的膨胀系数y与两种金属成分所占的百分比之和x的模型。

7．（10分）有12个苹果，其中有一个与其它的11个不同，或者比它们轻，或者比它们重，试用没有砝码的天平称量三次，找出这个苹果，并说明它的轻重情况。

2023-2024学年广东省深圳中学高一学期期末数学试题及答案

深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（）A. 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B. 35-C.45 D. 45-4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（）A.B.C.D. 5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg 为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值④此人的心跳为80次/分.的其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长10个时段占比的中位数为20.2%7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（）A.B.C.D. 8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（）A. 1B. 2C. 3D. 4二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．的的的9. 下列说法中正确的是（）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关10. 下列各式中，值是12的是（）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为8112. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.14. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.15. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--的取值范围是_________．四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1xy ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．深圳中学2023-2024学年度第一学期期末考试试题年级：高一科目：数学参考：以10为底的对数叫常用对数，把10log N 记为lg N ；以()e e 2.718281828=⋯为底的对数叫自然对数，把e log N 记为ln N ．一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 为了解某地区居民使用手机扫码支付的情况，拟从该地区的居民中抽取部分人员进行调查，事先已了解到该地区老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异，而男、女使用手机扫码支付的情况差异不大.在下面的抽样方法中，最合理的是（）A 抽签法B. 按性别分层随机抽样C. 按年龄段分层随机抽样D. 随机数法【答案】C 【解析】【分析】根据抽样方法确定正确答案.【详解】依题意，“居民人数多”， “男、女使用手机扫码支付的情况差异不大”，“老、中、青三个年龄段的人员使用手机扫码支付的情况有较大差异”，所以最合理的是按年龄段分层随机抽样.故选：C 2. 下列与7π4的终边相同的角的表达式中，正确的是（）A. ()2π315Z k k +∈B. ()36045Z k k ⋅-∈C. ()7π360Z 4k k ⋅+∈D. ()5π2πZ 4k k +∈【答案】B 【解析】【分析】AC 项角度与弧度混用，排除AC ；D 项终边在第三象限，排除D.【详解】因为7πrad 3154= ，终边落在第四象限，且与45- 角终边相同，故与7π4终边相同的角的集合.的{}{}31536045360S k k αααα==+⋅==-+⋅即选项B 正确；选项AC 书写不规范，选项D 表示角终边在第三象限.故选：B.3. 角α的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35的值为（）A.35B. 35-C.45 D. 45-【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义以及同角三角函数之间的平方关系即可得出结果.【详解】根据三角函数定义可知3cos 5α=，又22sin cos 1αα+=53cos α===.故选：A4. 已知角()0,πα∈，且1cos 23α=，则sin α的值为（）A.B.C. D. 【答案】B 【解析】【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解.【详解】因为21cos 212sin3αα=-=，所以sin α=，因为()0,πα∈，所以sin α=.故选：B .5. 健康成年人的收缩压和舒张压一般为90~139mmhg 和60~89mmhg ，心脏跳动时，血压在增加或减小，血压的最大值、最小值分别为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数为120/80mmhg为标准值．设某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，其中()P t 为血压（mmhg ），t 为时间（min ）．给出以下结论：①此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ②此人的血压在健康范围内③此人的血压已超过标准值 ④此人的心跳为80次/分其中正确结论的个数为（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据所给函数解析式及正弦函数的性质求出()P t 的取值范围，即可得到此人的血压在血压计上的读数，从而判断①②③，再计算出最小正周期，即可判断④.【详解】因为某人的血压满足函数式()11525sin(160π)P t t =+，又因为1sin(160π)1t -≤≤，所以11525()11525P t -≤≤+，即90()140P t ≤≤，即此人的血压在血压计上的读数为140/90mmhg ，故①正确；因为收缩压为140mmhg ，舒张压为90mmhg ，均超过健康范围，即此人的血压不在健康范围内，故②错误，③正确；对于函数()11525sin(160π)P t t =+，其最小正周期2π1160π80T ==（min ），则此人的心跳为180T=次/分，故④正确；故选：C6. 孩子在成长期间最需要父母的关爱与陪伴，下表为2023年中国父母周末陪孩子日均时长统计图．根据该图，下列说法错误的是（）A. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比大于13B. 2023年父亲周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比大于12C. 2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为28.8%D. 2023父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为20.2%【答案】C 【解析】【分析】根据题意结合统计相关知识逐项分析判断.【详解】由题图可知：2023年母亲周末陪伴孩子日均时长超过8小时的占比为138.7%3>，A 说法正确；2023年父母周末陪伴孩子日均时长超过6小时的占比为131.5%24.2%55.7%2+=>，B 说法正确；2023年母亲周末陪伴孩子日均时长的5个时段占比的极差为38.7% 2.5%36.2%-=，C 说法错误；2023年父母周末陪伴孩子日均时长的10个时段占比的中位数为21.4%19.0%20.2%2+=，D 说法正确．故选：C ．7. 将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()0g x a -=在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，则()12tan x x +=（）A.B. C.D. 【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象的变换可得()π2sin 23g x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即可结合正弦函数的对称性得12πt t +=，进而125π6x x +=，即可求解.【详解】将函数()2sin f x x =图象上所有点的横坐标缩小为原来的12，得到2sin 2y x =的图象，再向右平移π6个单位长度，得到()ππ2sin 22sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象．当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ2π2,333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，令π23x t -=，π2π,33t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则关于t 的方程2sin t a =在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不等的实数根1t ，2t ，所以12πt t +=，即12ππ22π33x x -+-=，则125π6x x +=，所以()125πtan tan 6x x +==．故选：B8. 如果对于任意整数πππ,sin,cos ,tan n n n n k k k都是有理数，我们称正整数k 是“好整数”，下面的整数中哪个是最大的“好整数”（）A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数定义域代入选项逐个验证即可得出结论.【详解】考虑三角函数的定义域，对于选项A ，当1k =时，sin π,cos π,tan πn n n 对于任意整数n ，都是整数，满足题意；对于B ，当2k =时，2ππtantan n n k =对于整数1，没有意义，不满足题意；同理可得对于C 和D ，当3ππtantan n n k =或4ππtan tan n n k =时，代入验证可知不满足题意；所以可知最大“好整数”为1故选：A二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 下列说法中正确的是（）A. 度与弧度是度量角的两种不同的度量单位B. 1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12πC. 根据弧度的定义，180︒一定等于π弧度D. 不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关【答案】ABC 【解析】【分析】根据角度制与弧度制的定义，以及角度制和弧度制的换算公式，以及角的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据角度制和弧度制的定义可知，度与弧度是度量角的两种不同的度量单位，所以A 正确；由圆周角的定义知，1度的角是周角的1360，1弧度的角是周角的12π，所以B 正确；根据弧度的定义知，180︒一定等于π弧度，所以C 正确；无论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短无关，只与弧长与半径的比值有关，故D 不正确.故选：ABC.10. 下列各式中，值是12的是（）A. ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒C.2tan 22.51tan 22.5︒-︒D.22cos 203sin 50-︒-︒【答案】ACD 【解析】【分析】利用两角差的余弦公式，诱导公式，二倍角公式即可逐个选项判断.【详解】ππc s cos sin os n 3i 3x x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ1cos cos 332x x ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，A 正确；tan10tan 35tan10tan 35︒+︒+︒︒()()tan 10351tan10tan 35tan10tan 35=︒+︒-︒︒+︒︒tan 451=︒=，B 不对；22tan 22.512tan 22.511tan 451tan 22.521tan 22.522︒︒==︒=-︒-︒，C 正确；()2311cos 403sin502cos 2012223sin 503sin503sin502-︒-︒-︒===-︒-︒-︒，D 正确.故选：ACD11. 2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．某校组织了“一带一路”知识竞赛，将学生的成绩（单位：分，满分：120分）整理成如图的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表），则（）A. 该校竞赛成绩的极差为70分B. a 的值为0.005C. 该校竞赛成绩的平均分的估计值为90.7分D. 这组数据的第30百分位数为81【答案】BC【解析】【分析】利用频率分布直方图，用样本估计总体，样本的极差、平均值、百分位数相关知识计算即可.【详解】因为由频率分布直方图无法得出这组数据的最大值与最小值，所以这组数据的极差可能为70，也可能为小于70的值，所以A 错误；因为(0.00820.0120.01540.030)10700.651a a a a ++++++⨯=+=，解得0.005a =，所以B 正确；该校竞赛成绩的平均分的估计值550.00510650.00810x =⨯⨯+⨯⨯+750.01210850.01510950.03010⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯10540.0051011520.0051090.7+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=分，所以C 正确．设这组数据的第30百分位数为m ，则(0.0050.0080.012)10(80)0.015100.3m ++⨯+-⨯⨯=，解得2413m =，所以D 错误．故选：BC ．12. 在平面直角坐标系中，已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππsin ,cos 33⎛⎫- ⎪⎝⎭，()cos sin 2sin cos 2f x x x αα=-则下列结论正确的是（）A. 11cos 22α-=B. 2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴C. 将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为sin 2y x=D. ()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有3个零点【答案】AB 【解析】【分析】利用三角函数的定义求得α，从而得到()f x 的解析式，进而利用三角函数的性质与平移的结论，逐一分析各选项即可得解.【详解】因为ππ1sin ,cos 332⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以由三角函数的定义得1sin 2α=，cos α=，所以5π2π,6k k α∈=+Z ，则()()cos sin 2sin cos 2sin 2f x x x x ααα=-=-5π5πsin 22πsin 2,66x k x k ∈⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Z ，A : 22111cos 22sin 222αα⎛⎫-==⨯= ⎪⎝⎭，故A 正确；B ：因为5π62π4ππsin sin 1332f ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π3x =是()y f x =的图象的一条对称轴，故B 正确；C ：将函数()y f x =图象上的所有点向左平移5π6个单位长度，所得到的函数解析式为5π5πsin 2sin 2665π6y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误；D ：令()0f x =，得5πsin 206x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得5π5ππ2π,,6122k x k k x k ∈∈-=⇒=+Z Z ，仅0k =，1，即5π11π,1212x =符合题意，即()y f x =在4π0,3⎛⎫⎪⎝⎭内恰有两个零点，故D 错误.故选：AB三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 某班级有50名同学，一次数学测试平均成绩是92分，如果30名男生的平均成绩为90分，那么20名女生的平均成绩为____分.【答案】95【解析】【分析】利用平均数的求法计算即可.【详解】设所求平均成绩为x ，由题意得5092309020x ⨯=⨯+⨯，∴95x =.故答案为：9514. 已知1cos 7α=，()sin αβ+=，π02α<<，π02β<<，则cos β=________.【答案】12##0.5【解析】【分析】根据题意，分别求得()sin ,cos ααβ+，再由余弦的差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为π02α<<且11cos c 2πos 73α=<=，则ππ32α<<，又02βπ<<，所以π3παβ<+<，且()sin αβ+=<，所以π2π3αβ<+<，则()11cos 14αβ+==-，sin α==，所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα=+-=+++⎡⎤⎣⎦11111472=-⨯+=.故答案为：1215. 已知函数()()πsin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤⎪⎝⎭是R 上的奇函数，其图象关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，且在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上是单调函数，则ω的值为______.【答案】43【解析】【分析】由函数为奇函数，得0ϕ=，再根据函数图像关于点3,04A π⎛⎫⎪⎝⎭对称，可知43kω=，根据函数的单调性可得04ω<≤，进而得解.【详解】因为函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>≤≤ ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，则()()f x f x -=-，即sin cos cos sin x x ϕωωϕ=-，又因为0ω>，所以sin 0ϕ=，因为π02ϕ≤≤，所以0ϕ=；故()sin f x x ω=；又因为图象关于点3π,04A ⎛⎫⎪⎝⎭对称，则3ππ4k ω=，Z k ∈，所以43k ω=，Z k ∈，因为函数在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数，则12ππ24ω⨯≥，得04ω<≤；所以43ω=，故答案为：43.16. cos()cos cos 1y αβαβ=++--取值范围是_________．【答案】1[4,]2-【解析】【分析】由和角的余弦公式变形给定函数，再利用辅助角公式变形，结合正弦函数的性质用含cos β的关系式表示y ，再借助二次函数最值求解即得.【详解】cos cos sin sin cos cos 1y αβαβαβ=-+--(cos 1)cos (sin )sin (cos 1)βαβαβ=+--+)(cos 1)αϕβ=+-+)(cos 1)αϕβ=+-+由sin()[1,1]αϕ+∈-，得(cos 1)(cos 1)y ββ-+≤≤+，令t =，则t ∈，则22t y t ≤≤--，所以221(42y t t ≥-=-+≥-，当且仅当t =，即cos 1β=时取等号，且2211(22y t t ≤-=-+≤，当且仅当t =，即1cos 2β=-时取等号，的所以y 的取值范围为1[4,]2-.故答案为：1[4,]2-四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17. 已知()()()()3πsin πcos 2πcos 2.πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭（1）化简()f α；（2）若α是第三象限角，且()1sin π5α-=，求()f α的值.【答案】（1）()cos f αα=-（2【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简即可；（2）利用诱导公式及同角三角函数的关系计算即可.【小问1详解】因为()()()()3πsin πcos 2πcos 2πcos sin π2f αααααα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()sin cos sin cos sin sin αααααα⋅⋅-==-⋅，所以()cos fαα=-.【小问2详解】由诱导公式可知()1sin πsin 5αα-=-=，即1sin 5α=-，又α是第三象限角，所以cos α===所以()cos fαα=-=.18. 据调查，某市政府为了鼓励居民节约用水，减少水资源的浪费，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民用水量标准x （单位：吨），月用水量不超过x 的部分按平价收费，超出x 的部分按议价收费．为了了解全市居民用水量分布情况，通过抽样，获得了n 户居民某年的月均用水量（单位：吨），其中月均用水量在(]9,12内的居民人数为39人，并将数据制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求a 和n 的值；（2）若该市政府希望使80%的居民月用水量不超过标准x 吨，试估计x 的值；（3）在（2）的条件下，若实施阶梯水价，月用水量不超过x 吨时，按3元/吨计算，超出x 吨的部分，按5元/吨计算．现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元，则该市居民月用水量最多为多少吨？【答案】（1）1300a =，200n = （2）16.6吨（3）20.64吨【解析】【分析】（1）频率分布直方图总面积为1，由此即可求解.（2）先判断所求值所在的区间，再按比例即可求解.（3）按题意列不等式即可求解.【小问1详解】()0.0150.0250.0500.0650.0850.0500.0200.0150.00531a +++++++++⨯= ，1.300a ∴=用水量在(]9,12频率为0.06530.195⨯=，392000.195n ∴==（户）【小问2详解】()0.0150.0250.0500.0650.08530.720.8++++⨯=< ，()0.0150.0250.0500.0650.0850.05030.870.8+++++⨯=>，0.800.7215316.60.870.72-∴+⨯=-（吨）【小问3详解】设该市居民月用水量最多为m 吨，因为16.6349.870⨯=<，所以m 16.6>，则()16.6316.6570w m =⨯+-⨯≤，解得20.64m ≤，答：该市居民月用水量最多为20.64吨．19. 已知函数()()2πcos 2cos f x x x x =-+．（1）若ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求函数()f x 的值域；（2）若函数()()1g x f x =-在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，求m 的取值范围．【答案】（1）[]0,3（2）5π11π,1212⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用诱导公式以及二倍角公式化简可得()f x 的表达式，结合ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定π26x +的范围，即可求得答案；（2）由π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，确定πππ2[,2666x m +∈-+，根据()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，结合正弦函数的零点，列出相应不等式，即求得答案.【小问1详解】由题意得()()2πcos 2cos f x x x x=-+的πcos 212sin 216x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ5π2[,666x +∈-，则1πsin 2126x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则π02sin 2136x ⎛⎫≤++≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的值域为[]0,3；【小问2详解】由题可得π6m >-，当π,6x m ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2[,2666x m +∈-+，()()π2sin 216g x x f x ⎛⎫+ ⎪⎝=-⎭=，且()g x 在区间π,6m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有且仅有两个零点，而sin y x =在π[,2π)6-有且仅有2个零点，分别为0,π，故π5π11ππ22π,61212m m ≤+<∴≤<，即5π11π,1212m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.20. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k ），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为224m ，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为236m ，凤眼莲的覆盖面积y （单位：2m ）与月份x （单位：月）的关系有两个函数模型()0,1x y ka k a =>>与()120,0y px k p k =+>>可供选择．（1）试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．（参考数据：lg 20.3010,lg 30.4711≈≈）．【答案】（1）选择模型()0,1x y ka k a =>>符合要求，*32323N 2,11,xy x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭ （2）六月份【解析】【分析】（1）根据指数函数与幂函数的增长速度即可选得哪一个模型，再利用待定系数法即可求出该模型的解析式；（2）由（1）结合已知可得3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，再结合已知数据即可得出答案.【小问1详解】函数()0,1x y ka k a =>>与()120,0y pxk p k =+>>在()0,∞+上都是增函数，随着x 的增加，函数()0,1x y kak a =>>的值增加的越来越快，而函数()120,0y px k p k =+>>的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型()0,1x y kak a =>>符合要求，根据题意可知2x =时，24y =；3x =时，36y =，所以232436ka ka ⎧=⎨=⎩，解得32323a k ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故该函数模型的解析式为*32323N 2,11,x y x x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝≤≤∈⎭；【小问2详解】当0x =时，323y =，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是232m 3，由3233210323x ⎛⎫⋅>⨯ ⎪⎝⎭，得3102x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以32lg1011log 10 5.93lg 3lg 20.47110.3010lg 2x >==≈≈--，又*N x ∈，所以6x ≥，即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．21. 已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且直线π2x =-是其图象的一条对称轴．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作()y g x =，已知常数*,n λ∈∈R N ，且函数()()()F x f x g x λ=+在()0,πn 内恰有2023个零点，求常数λ与n 的值．【答案】（1）()cos2f x x =（2）1,1349n λ==【解析】【分析】（1）由周期求得ω，再由对称性求得ϕ得解析式；（2）由图象变换求得()g x ，然后可得()F x 的表达式，令[]sin 1,1t x =∈-，()0F x =化为22210,Δ80t t λλ--==+>，则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，然后分类讨论()0F x =在(0,π)n 上解的个数后得出结论．【小问1详解】由三角函数的周期公式可得()()2π2,sin 2πf x x ωϕ==∴=+，令()π2π2x k k Z ϕ+=+∈，得()ππ422k x k Z ϕ=-+∈，由于直线π2x =-为函数()y f x =的一条对称轴，所以，()πππZ 2422k k ϕ-=-+∈，得()3ππZ 2k k ϕ=+∈，由于0π,1k ϕ<<∴=-，则π2ϕ=，因此，()πsin 2cos22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭；小问2详解】将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到函数ππcos 2cos 2sin242y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数为()sin g x x =，()()()2cos2sin 2sin sin 1F x f x g x x x x x λλλ=+=+=-++ ，令()0F x =，可得22sin sin 10x x λ--=，令[]sin 1,1t x =∈-，得22210,Δ80t t λλ--==+>，【则关于t 的二次方程2210t t λ--=必有两不等实根12t t ､，则1212t t =-，则12t t ､异号，（i ）当101t <<且201t <<时，则方程1sin x t =和2sin x t =在区间()()*0,πNn n ∈均有偶数个根，从而方程22sin sin 10x x λ--=在()()*0,πNn n ∈也有偶数个根，不合乎题意；（ii ）当11t =-时，则212t =，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上有两个实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2024个根，不合乎题意，（iii ）当11t =，则212t =-，当()0,2πx ∈时，1sin x t =只有一根，2sin x t =有两根，所以，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在()0,2π上有三个根，由于202336741=⨯+，则方程22sin sin 10x x λ--=在()0,1348π上有36742022⨯=个根，由于方程1sin x t =在区间()1348π,1349π上只有一个根，方程2sin x t =在区间()1348π,1349π上无实数解，因此，关于x 的方程22sin sin 10x x λ--=在区间()0,1349π上有2023个根，合乎题意；此时，1122λ-+=，1λ=，综上所述：1,1349n λ==．22. 已知二次函数()f x 满足：()()224132,log 231x f x x x g x ⎛⎫+=++=+ ⎪-⎝⎭（1）求()f x 的解析式；（2）求()g x 的单调性与值域（不必证明）；（3）设()ππ2cos cos2,22h x x m x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，若()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦，求实数m 的值．【答案】（1）()2f x x x =+ （2）在()0,∞+上单调递减，值域是()1,+∞．（3）1-【解析】【分析】（1）利用换元法，令1t x =+，代入化简即可求出函数的解析式；（2）可设4231x u =+-，利用复合函数的单调性，即可判定函数的单调性，进而求得值域；（3）由（2）知，()12g =，()12f =，结合()(),f x g x 的单调性可知当1x ≥时，()()2,01f x g x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()f h x g h x ⎡⎤⎡⎤≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即为()1h x ≥恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，只需不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，讨论m 的取值范围即可求解.【小问1详解】由题意()2132f x x x +=++，令1t x =+，则1x t =-，有()()22(1)312f t t t t t =-+-+=+，故()2f x x x =+【小问2详解】函数()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，由420031x x +>⇒>-，即定义域为()0,∞+，且4231x u =+-在()0,∞+上单调递减及2log y u =单调递增所以()24log 231x g x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减．因为()0,x ∞∈+，42231x u =+>-，所以()g x 的值域是()1,∞+【小问3详解】结合（2）结论知()24log 231x g x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭在()0,∞+上单调递减且()12g =，又()2f x x x =+在()0,∞+上单调递增且()12f =故当1x ≥时，()()2,01f xg x x ≥≥<<时，()()2f x g x <<，由()()()1f h x g h x h x ⎡⎤⎡⎤≥⇒≥⎣⎦⎣⎦恒成立，即()22cos 2cos 11x m x +-≥在ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上恒成立，设[]cos 0,1x t =∈，则不等式()22210mt t m +-+≥在[]0,1t ∈上恒成立，①当0m =时，不等式化为210t -≥，显然不满足恒成立；②当0m >时，将0=t 代入得()10m -+≥，与0m >矛盾；③当0m <时，只需()()10,1,12210,1,m m m m m m ⎧-+≥≤-⎧⎪⇒⇒=-⎨⎨+-+≥≥-⎪⎩⎩，综上，实数m 的值为-1．【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出()1h x ≥，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.。

2022-2023学年四川省泸州市高三年级上册学期期末模拟考试数学(文)试题【含答案】

泸州市2022-2023学年高三上学期期末模拟考试文科数学本试卷共4页。

考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则{}{}|1|Z 3,0A x x B x x =∈-≤≤=≥A B =A ．B ．C ．D ．[]1,2{}1,2,3[]0,3{}0,1,2,32．已知i 为虚数单位，则()3i 1i ⋅+=A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i3．函数的图象大致为2π1cos 122x y x ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭A．B．C．D．4．已知数列的前项和为．若，，则{}n a n n S 114a =112n n n S S a +=++20S =A ．B ．C ．D ．10201004005．已知一组正数，，的方差，则数据，，的平均数为1x 2x 3x ()22221231123S x x x =++-131x -231x -331x -A ．1B ．3C ．5D ．76．将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇()sin f x x x =()0a a >()g x ()g x 函数，则a 的最小值是A ．B ．C ．D ．512π56π6π3π7．已知双曲线，则下列说法正确的是22126y x -=A ．离心率为2B 0y ±=C ．焦距为D8．新冠肺炎疫情是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间（单位：)(rtI t e =()I tt 天）的变化规律，其中指数增长率，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数扩大到原来的0.38r ≈10倍需要的时间约为（）ln10 2.30≈A ．4天B ．6天C ．8天D ．10天9．在中，角，，的对边分别为，，，若，的值为ABC A B C a b c 222b c a bc +-=tanC =tan B A ．B C D10．抛物线，直线与交于（左侧为，右侧为）两点，若抛物线在()2:20C x py p =>3:2pl y x =+C ,A B A B C 点处的切线经过点，则A ()3,6-N p =A ．B ．C ．D ．24128611．已知△SAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB ＝45°，当三棱锥S ﹣ABC 体积最大时，其外接球的表面积为A ．B ．C ．D ．143π283π103π203π12．已知函数，若不等式有且仅有2个整数解，则实数的取值范围是)(ln )(2x x a x x f --=0)(>x f a A ．B ．C ．D ．l n 2l n 3,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭l n 2l n 3,66⎛⎤⎥⎝⎦l n 2,6⎛⎤-∞⎝⎦l n 2l n 3,33⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．二元一次不等式组表示的平面区域的面积是_________．2,2,1.x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩14．若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________.a b a b = ()2+⊥ a b b a b 15．已知函数，若，则实数的取值范围是______．()1x x f x e e =-()()220f a f a -+≤a 16．已知函数，下列关于函数的说法正确的序号有________.()cos f x x=()f x ①函数在上单调递增；()f x 73,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦②是函数的周期；2π()f x③函数的值域为；()f x [2,1]-④函数在内有4个零点.()f x [2,2]ππ-三、解答题：共70分。

《制作模型》期末考试试题附解答

《制作模型》期末考试试题附解答制作模型期末考试试题附解答一、选择题1. 以下哪项不是制作模型的重要步骤？- A. 研究模型的背景和目标- B. 收集和整理相关数据- C. 制定模型的数学公式- D. 进行模型的参数调整答案：C2. 制作模型时，数据的质量对模型的影响是：- A. 无关紧要- B. 很小- C. 一般- D. 非常重要答案：D3. 在制作模型过程中，以下哪项是最重要的？- A. 创新思维- B. 大量数据- C. 高性能计算机- D. 数学知识答案：A4. 在制作模型时，以下哪项不是常见的模型评价指标？- A. 准确率- B. 精确度- C. 召回率- D. 偏差答案：D5. 制作模型时，以下哪项是必须要考虑的？- A. 模型的复杂度- B. 模型的颜色- C. 模型的尺寸- D. 模型的材质答案：A二、简答题1. 请简述制作模型的基本步骤。

答案：制作模型的基本步骤包括以下几个方面：- 研究模型的背景和目标，明确需要解决的问题。

- 收集和整理相关数据，确保数据的准确性和完整性。

- 制定模型的数学公式，根据问题的需求选择适当的模型类型。

- 进行模型的参数调整，通过实验和验证来优化模型的效果。

- 对模型进行评价，考察模型的准确性、精确度等指标。

- 根据评价结果进行模型的修改和改进，不断优化模型的性能。

2. 在制作模型时，为什么数据的质量很重要？答案：数据的质量对制作模型的结果有很大的影响。

如果数据的质量较差，包括数据的准确性、完整性和一致性等方面存在问题，那么制作出来的模型很可能会出现偏差或错误。

数据质量较差会导致模型的预测能力下降，无法准确地反映实际情况，从而对决策产生误导。

因此，在制作模型时，应该优先考虑数据的质量，确保数据的可靠性和准确性。

3. 制作模型时，创新思维为什么是最重要的？答案：创新思维在制作模型的过程中起着关键的作用。

创新思维可以帮助模型制作者发现问题的本质，提出新颖的解决方法和思路。

(完整版)数学建模期末考试题

班级：通工13**学号：0313****姓名：***成绩：西安邮电大学理学院2014年12月3日一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分)1．模型答:为了一定的目的，人们对原型的一个抽象。

通过抽象和化简，使用数学语言，对实际问题的一个近似描述，以便于人们更深刻的认识所研究的对象。

举例：牛顿定律。

假设：(1)物体为质点，忽略物体的大小和形状。

(2)没有阻力、摩擦力及其他外力。

令x （t ）表示在t 时刻物体的位置，则F =ma =m d 2x dt 22．数学模型答:数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁，在数学发展的进程中无时无刻不留下数学模型的印记。

它包括三大特征：1.实践性：有实际背景，有针对性，接受实践的检验。

2.应用性：注意实际问题的要求。

强调模型的实用价值。

3.综合性：数学知识的综合，模型的综合。

举例：管道包扎问题：用带子包扎管道，使带子全部包住管道，且用料最省。

假设：(1)直圆管，粗细一致。

(2)带子无弹性等宽。

(3)带宽小于圆管截面周长。

(4)包扎时不剪断带子且不重叠。

设W 为带宽，C 为截面周长，L 为管长，M 为带长。

则M=+LC W C 2‒W 23．抽象模型答：通过人们对原型的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接存储在大脑中的模型称之谓抽象模型。

举例：如汽车司机对方向盘的操作。

二、简答题（每小题满分8分，共24分）1．模型的分类答：（1）按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。

（2）按研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、经济模型、社会模型等。

（3）按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。

（4）按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。

（5）按应用的离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。

【2017年整理】数学建模试题与答案

【2017年整理】数学建模试题与答案华南农业大学期末考试试卷(A卷)2009学年第二学期考试科目: 数学模型考试类型:(闭卷) 考试时间: 120分钟学号姓名年级专业题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 总分得分评阅人1、 (13分)设已知某正方形板材边长20cm，现将之加工出半径为1cm的得分圆盘，请对下面给出的两种排列方法，写出能加工出的尽可能多的圆盘数。

(1) 排列1:圆盘中心按正方形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。

(4分)2020，,100 解:圆盘总数: 22排列2:圆盘中心按六角形排列(如右图)的尽可能多的圆盘数。

(4分)202,，，解:行数: ，,111,,3，，2011,圆盘总数: 11105，，,22(2) 设计出不同于(1)(2)的方案，且加工出的圆盘更多。

(5分)解:前三行正方形，后八行六角形，圆盘总数为106得分 2、 (10分)在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型:(1) 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。

5分(2) 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。

5分解:设体重w(千克)与举重成绩y (千克)(1) 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y I S2 设h为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S , h32 再体重正比于身高的三次方，则w , h 3ykw, 故举重能力和体重之间关系的模型为:(2) 体重中与成年人尺寸无关的重量为a, 则一个最粗略的模型为 2 3ykwa,,(),更好的模型: ykwa,,()得分3、 (10分)在超币购物时你压意到大包发商品比小包装面品便宜这种现象1了吗,比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这个现象。

(1)请写出商品价恪c与商品重量w的关系，其中价格由生产成本、包装成本和其它成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。

2023届四川省绵阳市绵阳中学资阳育才学校数学高一上期末学业水平测试试题含解析

A.1B.-
C. D.
10．如果，那么下列不等式中，一定成立的是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知，，则的值为
12．若坐标原点在圆的外部，则实数m的取值范围是___
13．已知函数，，则它的单调递增区间为______
14．已知函数的图象过原点，且无限接近直线，但又不与该直线相交，则 ______
考点：几何体的体积
4、A
【解析】根据三角函数定义求解即可.
【详解】角的终边经过点，即，则 .
故选：A.
5、A
【解析】对集合B中的分类讨论分析，再根据集合间的关系判断即可
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
所以，或，或
因为，
所以 .
故选：A
6、D
【解析】作出函数的图像，结合图像即可得出结论.
故选：D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、3
【解析】，故答案为3.
12、
【解析】方程表示圆，得，根据点在圆外，得不等式，解不等式可得结果.
【详解】圆的标准方程为，则，
若坐标原点在圆的外部，则，解得，则实数m的取值范围是，
故答案为：
【点睛】本题考查圆的一般方程，考查点与圆的位置关系的应用，属于简单题.
【详解】由题意分析得：
取函数与中的较小的值，
则，如图所示（实线部分）：
由图可知：函数的值域为： .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了指数函数的性质和应用.考查了数形结合思想.属于较易题.
7、D
【解析】连DE，交AF于G，根据平面几何知识可得，于是

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山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试
卷
（本试卷共4页）
说明：本
次考试为开卷
考试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以使用计算器，但上述物品严禁相互借用。

一、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下（1）式，写出与（2）式的差别，并解释这个差别；
2、试说明在§3.1中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产费用，在什么条件下可以不考虑它；
二、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、对于§5.1传染病的SIR 模型，叙述当σ
1
0>
s 时)(t i 的变化情
况
并加以证明。

2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度E 的减函数，即)0,0(,>>-=b a bE a c ，请问如何达到最大经济效益？
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、在§9.3 随机存储策略中，请用图解法说明为什么s 是方程)()(0S I c x I +=的最小正根。

2、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模的能力？
四、（本题满分20分）
某中学有三个年级共1000名学生，一年级有219人，二年级有 316人，三年级有465人。

现要选20名校级优秀学生，请用下列办
法分配各年级的优秀学生名额：（1）按比例加惯例的方法;（2）Q
值法。

另外如果校级优秀学生名额增加到21个，重新进行分配，并按照席位分配的理想化准则分析分配结果。

五、（本题满分16分）
大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个就业岗位可供选择。

层次结构图如图，已知准则层对目标层的成对比较矩阵
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/15/1213/1531A ，方案层对准则层的成对比较矩阵分别为⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=1272/1147/14/111B ，
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=13/17/1313/17312B ，⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/16/1214/16413B 。

请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。

选择就业岗位
收入发展声誉
岗位1 岗位2 岗位3
六、（本题满分16分）
某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止（退
保）。

保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制定合适的投保金额和理赔金额。

各种状态间相互转移的情况和概率如图。

试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？
0.6
山东轻工业学院 08/09学年 II 学期《数学模型》期末考试A 试卷解答
一、简答题（本题满分16分，每小题8分） 1、答：由（1）得vt m m mr =++2
)
1(22πω
π，。

4分将kn m =代入得)2(22
ωππω++
=
r v
kn
n v
k t ，。

6分
因为ω>>r 所以r r 22≈+ω，则得（2）。

。

8分
2、答：假设每件产品的生产费用为3c ，则平均每天的生产费用为r c 3，每天的平均费用是 r c rT c T c T C 31
211112
)(++=
，。

4分下面求1T 使)(11T C 最小，发现dT
T dC dT T dC )
()(111=，所以 r
c c T T 21
12=
=，与生产费用无关，所以不考虑。

。

8分二、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、答：由（14）
),1(-=s i dt
di
σμ若σ10>s ，
当01s s <<σ时，)(,0t i dt
di >增加; 。

4分当σ1=s 时，)(,0t i dt di =达到最大值m i ；
当σ1<s 时，)(,0t i dt
di <减少且由1.知0=∞i 。

8分 2、答：E bE a S )(-=，则E bE a pEx S T R )(--=-=，。

2分
将)1(0r E N x -=代入，得 2
)()()(E r pN b E a pN E R -+-=，。

5分令0='R 得pN
rb pN
a r E R --⋅=2。

。

8分
三、简答题（本题满分16分，每小题8分）
1、由于方程（4）左边随着S 的增加单调递增，因此)(u J 有唯一驻点x S u -=且为最小值点。

从而
)(u J 是下凸的。

而由)(u J 和)(x I 的表达式的相似性知)(x I 也是下凸的，而且在S x =处达最小值
)(S I 。

。

4分记)}()({0S I c x I x A +≤=， )}()({0S I c x I x B +>=则集合A 与B 的分界点即为订货点s ，此即
方程)()(0S I c x I +=的最小正根。

8分
2、答：（回答要点）培养想象力和洞察力。

。

8分
四、（本题满分20分）
解：20个席位：（1）、
38.4201000219=⨯，32.6201000316=⨯，30.9201000
465
=⨯因此比例加惯例分配结果为5、6、9个。

（2）三方先分得4、6、9个，=⨯=
5421921Q 2398.05，=⨯=7
63162
2Q 2377.52 =⨯=10
94652
3Q 2402.5，3Q 最大，按Q 值法分配结果为4、6、10个。

。

8分
21个席位：（1）599.4211000219=⨯，636.6211000316=⨯，765.9211000
465
=⨯因此比例加惯例分配
结果为4、7、10个。

（2）三方先分得4、6、10个， =⨯='11
104652
3
Q 195.68，1Q 最大，按Q 值法分配结果为5、6、10个。

。

16分显然此例中比例加惯例的方法违背了席位分配的理想化准则1，而Q 值法分配结果恰好也满足准则2，因此Q 值法分配结果是同时符合准则1和准则2.。

。

20分五、（本题满分16分）解：用“和法”近似计算得：
矩阵A 对应的权向量为：T
)12.0,23.0,65.0(，最大特征根为3.003697，0018.0=CI ，0031.0=CR 矩阵1B 对应的权向量为：T )60.0,32.0,08.0(，最大特征根为3.001982，001.0=CI ，0017.0=CR 矩阵2B 对应的权向量为：T )09.0,24.0,67.0(，最大特征根为3.00703，0035.0=CI ，006.0=CR 矩阵3B 对应的权向量为：T )11.0,19.0,70.0(，最大特征根为3.00922，0046.0=CI ，008.0=CR。

12分
组合权向量为T )423664.0,283708.0,292628.0(
因此最佳的岗位为岗位3。

。

16分六、（本题满分16分）
解：由题意，转移概率矩阵为⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡3.06.007.003.001.7.005.015.000100001
，从而知状态“退保”和“死亡”为两个吸收状态，此为吸收链。

。

6分
11
7.06.01.03.0)
(--⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-=Q I M = ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣⎡24
32324 Me y ==T )6,315(，因此在投保时健康或疾病状态下，平均需要经过3
1
5或6年投保人就会出现退保
或死亡的情况。

。

12分
MR F ==⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡34.066.028.072.0，因此在投保时健康状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.72
和0.28；在投保时疾病状态下，被“退保”和“死亡”吸收的概率分别为0.66和0.34。

18分。