材料力学 截面几何特性

iy = Iy A
ix =
Ix A
2 I x = ix A
2 I y = iy A
§I-3 惯性矩与惯性积的平行移轴公 式 组合截面的惯性矩和惯性积
一,平行移轴公式 平行移轴公式
y yC x a dA xC C b y x
x = a + xC y = b + yC
I x = ∫ y 2 dA
d (2a ) I x1 = 12 (80 mm )(200 mm )3 = 5 333 ×104 mm 4 = 12
3
对于半圆形
d sin(π / 2) 80mm xc 2 = = = 17.0mm 3×π / 2 3×π / 2
d4 16 I x2 = π / 2 64 9×π / 2
I x = I x1 + 2 I x2 = 5333mm 4 + 2 × 3467 mm 4 = 12270mm 4
§I-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截 面的主惯性轴和主惯性矩
一, 惯性矩和惯性积的转轴公式
y y1 x1
x y
dA y1 x1 x
坐标的旋转变换: 坐标的旋转变换: x1 =xcosα + ysinα y1 = xsinα + ycosα 轴的惯性矩: 对x1轴的惯性矩:
同理: 同理:
I y1 = Ix + Iy 2 Ix Iy 2 cos 2α + I xy sin 2α
I x1 y1 =
Ix Iy 2
sin 2α + I xy cos 2α
I x1 + I y1 = I x + I y = I p
图形对通过同一坐 标原点任意一对相 互垂直坐标轴的两 个轴惯性矩之和为 常量, 常量,等于图形对原 点的极惯性矩
3 3
2
I xC 1 = 120mm × (10mm) / 12 = 1×10 mm
4 4
4 4
I yC 1 = (120mm) ×10mm / 12 = 144 ×10 mm
I xC 1 y C 1 = 0
A2 = 70mm × 10mm = 700mm 2
I xC 1 = (70mm)3 ×10mm / 12 = 28.58 ×10 4 mm 4 I yC 1 = 70mm × (10mm)3 / 12 = 0.58 ×10 4 mm 4 I xC 2 yC 2 = 0
(3)计算形心主惯性矩
I x0 =
Ix + Iy 2
1 2 + ( I x I y ) 2 + 4 I xy 2
4 4Leabharlann = 321.4× 10 mm
I y0 =
Ix + Iy 2
1 2 2 ( I x I y ) + 4 I xy 2
4 4
= 57.4 × 10 mm
�
I x1 = ∫ y12 dA
α
= ∫ ( x sin α + y cos α ) dA
2
= I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = I x cos 2 α 2 I xy sin α cos α + I y sin 2 α
I x1 = Ix + Iy 2 + Ix Iy 2 cos 2α I xy sin 2α
y
I x = ∫ y 2 dA
A
x
I y = ∫ x 2 dA
dA y x
A
ρ
I p = ∫ ρ 2 dA = I x + I y
A
I xy = ∫ xydA
A
惯性矩和极惯矩永远为正,惯性积可能为正,为 惯性矩和极惯矩永远为正,惯性积可能为正, 为零(主惯性轴), ),任何平面图形对于通过 负,为零(主惯性轴),任何平面图形对于通过 其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积 为零 惯性半径 任意形状的截面图形的面积为A,则图形对 轴 任意形状的截面图形的面积为 ,则图形对y轴 和x轴的惯性半径分别定义为 轴的惯性半径分别定义为
A
ρ
= ∫ ( yC + b) 2 dA
A 2 = ∫ ( yC + 2byC + b 2 )dA A
= I xC + 2bS xC + b 2 A
I x = I xC + 2bS xC + b 2 A
因为C为形心 因为 为形心
S xC = AyC = 0
Ix = IxC + b2 A
同理: 同理:
I xC = I xC 1 + A y + I xC 2 + A2 y
2 1 c1
2 c2
= 1×10 4 mm 4 + 1200mm 2 × (15mm) 2 + 28.58mm 4 + 700mm 2 × (25mm) 2 = 100.33mm
4
I yC = I yC 1 + A1 xc21 + I yC 2 + A2 xc22
形心主轴的确定
如果截面有一根对称轴, 如果截面有一根对称轴,则该轴及与之正交的 形心轴即为形心主轴
y y c x y x c x y x
c
c
如果截面具有三根以上的对称轴, 如果截面具有三根以上的对称轴,过形心的任 意轴及与之正交的形心轴均为形心主轴
y x y x
c
c
如果截面没有对称轴,形心主轴的确定: 如果截面没有对称轴,形心主轴的确定: 1,确定形心位置; 确定形心位置; 过形心取一对正交轴x,y, 2,过形心取一对正交轴 ,利用平行移轴公式计 算截面对这对轴的惯性矩Ix,Iy和惯性积Ixy. 算截面对这对轴的惯性矩 惯性积 3,利用下面的公式计算主轴位置
I x0 y0 =( I x I y 2 sin2α 0 + I xy cos2α 0 )=0
tan 2α 0 =
Ix + Iy
2 I xy Ix Iy
4,利用下面的公式计算主惯性矩
1 2 I x0 = + ( I x I y ) 2 + 4 I xy 2 2 Ix + Iy 1 2 I y0 = ( I x I y ) 2 + 4 I xy 2 2
I x = ∑ I xi
i =1 =1
n
n
I y = ∑ I yi
i =1
I xy = ∑ I xyi
i =1
n
例题Ⅰ 例题Ⅰ- 5 试求图a所 示截面对于x轴的惯性矩Ix , 对于y轴的惯性矩Iy ,以及 y I 对于x,y轴的惯性积Ixy .
(a)
解:将截面看作由一个矩形和两个 半圆形组成, 半圆形组成,对于矩形
= 144 ×10 4 mm 4 + 1200mm 2 × (20mm) 2 + 0.58 ×10 mm + 700mm × (35mm)
4 4 2 2
= 278.33mm
4
I xC yC = A1 xc1 yc1 + A2 xc 2 yc 2
= 1200mm × (15mm) × (20mm)
2
y yC x a dA xC C b y x
I y = I yC + a2 A
I xy = I xC yC + abA
I p = I pC + (a2 + b2 ) A
注意: 点必须为形心 注意: C点必须为形心
ρ
组合截面的惯性矩( 二,组合截面的惯性矩(积): 组合截面对某坐标轴的惯性矩( 组合截面对某坐标轴的惯性矩(积), 等于其中 各部分对同一坐标轴惯性矩 (积)之和. 之和.
材料力学
附录I 附录I 截面的几何性质
§I–1 截面的面积矩和形心 1
截面的面积矩(静矩,一次矩) 一,截面的面积矩(静矩,一次矩)
y
面积矩:是面积与它到轴的距离之积( 面积矩:是面积与它到轴的距离之积(用S表 示).
S y = ∫ xdA
A A
S x = ∫ ydA
x y x dA
同一截面对于不同的坐标 轴面积矩不同 面积矩可正, 面积矩可正,可负也可为 零
∑x A = x A + x x=
i i
1
1
2
A2
A
A1 + A2
40 × 9600 45 × 7700 = = 19.7 mm 9600 7700
∑y A y=
i
i
A
=
y 1 A1 + y 2 A2 A1 + A2
80
x
60 × 9600 65 × 7700 = 39.7 mm = 9600 7700
二,截面的形心
y
∫ xdA x=
A
A
x
dA
∫ ydA y=
A
x
C y
A
y
x
Sy = Ax
Sx = Ay
如果截面对某一轴的面积矩等于零, ①如果截面对某一轴的面积矩等于零,则该轴必过 截面的形心; 截面的形心; 截面对于通过形心的轴的面积矩必等于零. ②截面对于通过形心的轴的面积矩必等于零.
组合截面的静矩与形心: 三,组合截面的静矩与形心:
+ 700mm × (25mm) × (35mm)
2
= 97.25 ×10 4 mm 4
(2)计算主轴位置
tan 2α 0 =
2 I xy Ix Iy
2 × 97.25 ×10 4 mm 4 = 100.33 ×10 4 mm 4 278.33 ×10 4 mm 4 = 1.093