2012年北京高考数学试题与答案(理科)已校对

2012年普通高等学校招生全国统一考试

数 学 (理) (北京卷)

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项．

（1）已知集合{320}A x x =∈+>R ，{(1)(3)0}B x x x =∈+->R ，则A B =I

（2）设不等式组02,

02

x y ≤≤⎧⎨

≤≤⎩表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐

标原点的距离大于2的概率是 （3）设a ，b ∈R ．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的

（4）执行如图所示的程序框图，输出的S 值为

（5）如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与交BC 于点E ．则

（A ）(,1)-∞-

（B ）2(1,)3

--

（C ）2(,3)3

-

（D ）(3,)+∞

（A ）

4

π （B ）

2

2

π- （C ）

6

π （D ）

44

π

- （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（A ）2 （B ）4 （C ）8 （D ）16

S=S ∙2k

k=k+1k=0, S=1

k <3是

否输出S

结束

开始

（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数

的个数为

（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的

表面积是 （8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系

如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的 年平均产量最高，m 的值为

（A ）CE CB AD DB ⋅=⋅ （B ）CE CB AD AB ⋅=⋅ （C ）2

AD AB CD ⋅= （D ）2CE EB CD ⋅=

（A ）24 （B ）18

（C ）12

（D ）6

（A ）2865+

（B ）3065+

（C ）56125+

（D ）60125+

（A ）5

（B ）7 （C ）9 （D ）11

俯视图

侧（左）视图

正（主）视图

4324

S n

n

4321567891011O A

D

B

E

C

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）直线2(1x t t y t =+⎧⎨

=--⎩为参数)与曲线3cos (3sin x y α

αα

=⎧⎨=⎩为参数)的交点个数为 ．

（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若11

2

a =，23S a =，则2a = ． （11）在ABC ∆中，若2a =，7

b

c +=，1

cos 4

B =-

，则b = ． （12）在直角坐标系xoy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B

两点，其中，A 点在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60︒，则OAF ∆的面积为 ．

（13）已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅uu u r uu r

的值为 ．

（14）已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若同时满足条件：

①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②(,4)x ∃∈-∞-，()()0f x g x <． 则m 的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共13分）

已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x

f x x

-=

．

（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间．

（16）（本小题共14分）

如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且DE //BC ，2DE =，将A D E ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使1AC CD ⊥，如图2． （Ⅰ）求证：1AC ⊥平面BCDE ； （Ⅱ）若M 是1A D 的中点，

求CM 与平面1A BE 所成角的大小； （Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ，使平面

1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．

（17）（本小题共13分）

近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其 他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取 了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：

“厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱

厨余垃圾 400

100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾

20 20 60

（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；

（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为

,,a b c ，其中0a >，a b c ++=600．当数据,,a b c 的方差2s 最大时，写出,,a b c

的值（结论不要求证明），并求此时2

s 的值． （注：2

22121

[()()s x x x x n

=

-+-+…2()]n x x +-，其中x 为数据12,,,n x x x ⋅⋅⋅的平均数） 图1

图2

A

D

E

C

B A 1

M D

E

C

B