北京高考数学真题与答案
2022年北京市高考数学试题(含答案解析)
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出以 为球心，5为半径的球与底面 的截面圆的半径后可求区域的面积.
【详解】
设顶点 在底面上的投影为 ，连接 ，则 为三角形 的中心，
且 ，故 .
因为 ，故 ，
故 的轨迹为以 为圆心，1为半径的圆，
而三角形 内切圆的圆心为 ，半径为 ，
故 的轨迹圆在三角形 内部，故其面积为
当 ， 时，因 ,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.
故选：D
8.若 ，则 （）
A. 40B. 41C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用赋值法可求 的值.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
故 ，
故选：B.
9.已知正三棱锥 的六条棱长均为6，S是 及其内部的点构成的集合．设集合 ，则T表示的区域的面积为（）
C.当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D.当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】
【分析】根据 与 的关系图可得正确的选项.
【详解】当 ， 时， ，此时二氧化碳处于固态，故A错误.
当 ， 时， ，此时二氧化碳处于液态，故B错误.
当 ， 时， 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，
2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案
2023高考数学北京卷导数的计算历年真题及答案一、第一题已知函数f(x) = x^3 - 2x + 1，求f(x)的导数f'(x)。
解答过程：首先，根据导数的定义，我们知道f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)] / h。
代入f(x) = x^3 - 2x + 1，得到f'(x) = lim(h→0) [(x+h)^3 - 2(x+h) + 1 - x^3 + 2x - 1] / h。
展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [3x^2h + 3xh^2 + h^3 -2h] / h。
再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (3x^2 + 3xh + h^2 - 2)。
在h→0的极限下，只有常数项-2保留，得到导数 f'(x) = 3x^2 - 2。
所以，f(x)的导数为 f'(x) = 3x^2 - 2。
二、第二题已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(x)的导数f'(x)及f''(x)。
解答过程：首先，计算f(x)的导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = lim(h→0)[f(x+h) - f(x)] / h。
代入f(x) = 2x^2 + 3x - 5，得到f'(x) = lim(h→0) [2(x+h)^2 + 3(x+h) -5 - (2x^2 + 3x - 5)] / h。
展开并进行化简计算，得到f'(x) = lim(h→0) [2x^2 + 4xh + 2h^2 + 3x + 3h - 5 - 2x^2 - 3x + 5] / h。
再一次化简，得到f'(x) = lim(h→0) (4xh + 2h^2 + 3h) / h。
化简后消去h，得到 f'(x) = lim(h→0) (4x + 2h + 3)。
2023年高考数学真题试卷(北京卷)附详细解答
2023年北京市高考数学试卷一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.1. 已知集合{20},{10}M x x N x x =+≥=-<∣∣,则M N ⋂=（ ）A. {21}xx -≤<∣ B. {21}x x -<≤∣ C. {2}x x ≥-∣D. {1}x x <∣2. 在复平面内,复数z 对应的点的坐标是(-,则z 的共轭复数z =（ ）A. 1B. 1-C.1-+D. 1-3. 已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=-,则22||||a b -=（ ） A. 2-B. 1-C. 0D. 14. 下列函数中,在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =- B. 1()2xf x =C. 1()f x x=-D. |1|()3x f x -=5. 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）． A. 80-B. 40-C. 40D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,点M 在C 上．若M 到直线3x =-的距离为5,则||MF =（ ）A. 7B. 6C. 5D. 47. 在ABC ∆中,()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-,则C ∠=（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 若0xy ≠,则“0x y +=”是“2y xx y+=-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一,蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓,展现造型之美．如图,某坡屋顶可视为一个五面体,其中两个面是全等的等腰梯形,两个面是全等的等腰三角形．若25m,10m AB BC AD ===,且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD ,则该五面体的所有棱长之和为（ ）A. 102mB.112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=-+=,则（ ） A. 当13a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立 B. 当15a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数6M ≤,使得n a M <恒成立 C. 当17a =时,{}n a 为递减数列,且存在常数6M >,使得n a M >恒成立 D. 当19a =时,{}n a 为递增数列,且存在常数0M >,使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 已知函数2()4log xf x x =+,则12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________．12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)-和(2,0),,则C 的方程为____________． 13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角,且αβ>,则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________,β= _________．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史,战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ,该数列的前3项成等差数列,后7项成等比数列,且1591,12,192a a a ===,则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15. 设0a >,函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<-⎧=-≤≤>⎪⎩,给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a -+∞上单调递减； ②当1a ≥时,()f x 存在最大值； ③设()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x xa ≤>,则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x x a Q x f x x a <-≥-．若||PQ 存在最小值,则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC,1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面P AB ； （2）求二面角A PC B --的大小．17. 设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．（1）若(0)f =求ϕ的值． （2）已知()f x 在区间π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,再从条件①、条件①、条件①这三个条件中选择一个作为已知,使函数()f x 存在,求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭条件①：π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭； 条件①：()f x 在区间ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求,第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分．18. 为研究某种农产品价格变化的规律,收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据,如下表所示．在描述价格变化时,用“+”表示“上涨”,即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”,即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”,即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天,试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为3,A 、C 分别是E 的上、下顶点,B ,D分别是E 的左、右顶点,||4AC =． （1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点,直线PD 与直线BC 交于点M ,直线PA 与直线2y =-交于点N ．求证：//MN CD ．20. 设函数3()e ax b f x x x +=-,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y ． （1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=,求()g x 的单调区间； （3）求()f x 的极值点个数．21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >,且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ,并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈,定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣,其中,max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======,求0123,,,r r r r 的值； （2）若11a b ≥,且112,1,2,,1,j j j r r r j m +-≤+=-,求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈,满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．2023年北京市高考数学试卷解析一、选择题：本题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1. A解：由题意,{20}{|2}M xx x x =+≥=≥-∣,{10}{|1}N x x x x =-<=<∣ 根据交集的运算可知,{|21}M N x x =-≤<.故选：A 2. D解：z 在复平面对应的点是(-,根据复数的几何意义,1z =-+由共轭复数的定义可知,1z =-. 故选：D 3. B解：向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=-=- 所以22||||()()2(2)311a b a b a b -=+⋅-=⨯-+⨯=-.故选：B 4. C解：对于A,因为ln y x =在()0,∞+上单调递增,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减,故A 错误； 对于B,因为2xy =在()0,∞+上单调递增,1y x=在()0,∞+上单调递减 所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减,故B 错误； 对于C,因为1y x=在()0,∞+上单调递减,y x =-在()0,∞+上单调递减 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增,故C 正确；对于D,因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --===== 显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调,D 错误.故选：C. 5. D解：512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r rr r r r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令521r -=得2r =所以512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C --=故选：D 6. D解：因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ,准线方程为2x =-,点M 在C 上所以M 到准线2x =-的距离为MF 又M 到直线3x =-的距离为5 所以15MF +=,故4MF =. 故选：D. 7. B解：因为()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +-=-所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +-=-,即222a c ab b -=-则222a b c ab +-=,故2221cos 222a b c ab C ab ab +-===又0πC <<,所以π3C =. 故选：B. 8. C解：因为0xy ≠,且2x yy x+=- 所以222x y xy +=-,即2220x y xy ++=,即()20x y +=,所以0x y +=.所以“0x y +=”是“2x yy x+=-”的充要条件. 故选：C 9. C解：如图,过E 做EO ⊥平面ABCD ,垂足为O ,过E 分别做EG BC ⊥,EM AB ⊥,垂足分别为G ,M ,连接,OG OM由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠所以5tan tan EMO EGO ∠=∠=. 因为EO ⊥平面ABCD ,BC ⊂平面ABCD ,所以EO BC ⊥ 因为EG BC ⊥,,EO EG ⊂平面EOG ,EO EG E ⋂= 所以BC ⊥平面EOG ,因为OG ⊂平面EOG ,所以BC OG ⊥ 同理：OM BM ⊥,又BM BG ⊥,故四边形OMBG 是矩形所以由10BC =得5OM =,所以EO 所以5OG =所以在直角三角形EOG 中,EG ==在直角三角形EBG 中,5BG OM ==,8EB ===又因为55255515EF AB =--=--=所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C 10.B解：因为()311664n n a a +=-+,故()311646n n a a +=-- 对于A ,若13a =,可用数学归纳法证明：63n a -≤-即3n a ≤ 证明：当1n =时,1363a -=≤--,此时不等关系3n a ≤成立； 设当n k =时,63k a -≤-成立 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫-∈--- ⎝=⎪⎭,故136k a +≤--成立由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()20144651149n a --=-≥>,60n a -<,故10n n a a +-<,故1n n a a +< 故{}n a 为减数列,注意1063k a +-≤-< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +-=≤-=-⨯--,结合160n a +-< 所以()16694n n a a +--≥,故119634n n a +-⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭,故119634n n a +-⎛⎫≤- ⎪⎝⎭若存在常数0M ≤,使得n a M >恒成立,则19634n M -⎛⎫-> ⎪⎝⎭故16934n M --⎛⎫> ⎪⎝⎭,故9461log 3Mn -<+,故n a M >恒成立仅对部分n 成立 故A 不成立. 对于B ,若15,a 可用数学归纳法证明：106n a --≤<即56n a ≤<证明：当1n =时,10611a ---≤≤=,此时不等关系56n a ≤<成立；设当n k =时,56k a ≤<成立 则()31164416,0k k a a +⎛⎫-∈-⎪⎝=⎭-,故1106k a +--≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=---=---⎢⎣-⎥⎦()201416n a --<,60n a -<,故10n n a a +->,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 若6M =,则6n a <恒成立,故B 正确.对于C ,当17a =时, 可用数学归纳法证明：061n a <-≤即67n a <≤ 证明：当1n =时,1061a <-≤,此时不等关系成立； 设当n k =时,67k a <≤成立 则()31160,4164k k a a +⎛⎤-∈ ⎥⎝=⎦-,故1061k a +<-≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=--<⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +<,故{}n a 为减数列 又()()()2111666644n n n n a a a a +-=-⨯-≤-,结合160n a +->可得：()111664nn a a +⎛⎫-≤- ⎪⎝⎭,所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,若存在常数6M >,使得n a M >恒成立 则164n M ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立,故()14log 6n M ≤-,n 的个数有限,矛盾,故C 错误.对于D ,当19a =时, 可用数学归纳法证明：63n a -≥即9n a ≥ 证明：当1n =时,1633a -=≥,此时不等关系成立； 设当n k =时,9k a ≥成立则()3162764143k k a a +-≥=>-,故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=-->⎢⎥⎣⎦--,故1n n a a +>,故{}n a 为增数列 又()()()2119666446n n n n a a a a +->=-⨯--,结合60n a ->可得：()11116396449n n n a a --+⎭-⎛⎫⎛⎫-= ⎪⎪⎝⎝⎭> ,所以114963n n a -+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝若存在常数0M >,使得n a M <恒成立,则19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭故19643n M -⎛⎫ ⎪⎝>+⎭,故946log 13M n -⎛⎫<+⎪⎝⎭,这与n 的个数有限矛盾,故D 错误. 故选：B.二、填空题：本题共5小题,每小题5分,共25分．11. 1解：函数2()4log xf x x =+,所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：112. 22122x y -=解：令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ,显然双曲线C 的中心为原点,焦点在x 轴上,其半焦距2c =由双曲线C,得ca=解得a =则b ==所以双曲线C 的方程为22122x y -=.故答案为：22122x y -=13. ①9π4 ① π3解：因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,若00π02<<<αβ,则00tan tan <αβ取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ,即tan tan αβ<令12k k >,则()()()()102012002π2π2πk k k k -=+-+=-+-αβαβαβ因为()1200π2π2π,02k k -≥-<-<αβ,则()()12003π2π02k k -=-+->>αβαβ 即12k k >,则αβ>. 不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ,即9ππ,43αβ==满足题意. 故答案为：9ππ;43. 14. ① 48 ① 384解：设前3项的公差为d ,后7项公比为0q >则4951921612a q a ===,且0q >,可得2q则53212a a d q=+=,即123d +=,可得1d = 空1：可得43733,48a a a q ===空2：()127693121233232338412a a a -=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=-+++15. ②③解：依题意,0a >当x a <-时,()2f x x =+,易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当a x a -≤≤时,()f x =易知其图像是,圆心为()0,0,半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时,()1f x =,易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①,取12a =,则()f x 的图像如下显然,当(1,)x a ∈-+∞,即1,2x ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时,()f x 在1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增,故①错误；对于②,当1a ≥时当x a <-时,()221f x x a =+<-+≤；当a x a -≤≤时,()f x =a ；当x a >时,()112f x =<≤- 综上：()f x 取得最大值a ,故②正确；对于③,结合图像,易知在1x a =,2x a >且接近于x a =处,()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小当1x a =时,()10y f x ==,当2x a >且接近于x a =处,()221y f x =<此时,1211MN y y >->>,故③正确；对于④,取45a =,则()f x 的图像如下因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <-≥-结合图像可知,要使PQ 取得最小值,则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,点Q 在()4455f x x ⎫=-≤≤⎪⎭ 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a 此时,因为()425f x y x x ⎛⎫==+<-⎪⎝⎭的斜率为1,则1OP k =-,故直线OP 的方程为y x =-联立2y x y x =-⎧⎨=+⎩,解得11x y =-⎧⎨=⎩,则()1,1P -显然()1,1P -在()425f x x x ⎛⎫=+<-⎪⎝⎭上,满足PQ 取得最小值 即45a =也满足PQ 存在最小值,故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦,故④错误. 故答案为：②③.三、解答题：本题共6小题,共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. （1）证明见解析 （2）π3【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC所以PA BC ⊥,同理PA AB ⊥ 所以PAB 为直角三角形又因为PB ==,1,BC PC ==所以222PB BC PC +=,则PBC 为直角三角形,故BC PB ⊥ 又因为BC PA ⊥,PA PB P =所以BC ⊥平面PAB . 【小问2详解】由（1）BC ⊥平面PAB ,又AB ⊂平面PAB ,则BC AB ⊥以A 为原点,AB 为x 轴,过A 且与BC 平行的直线为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系如图则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====-设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =,则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩令11x =,则11y =-,所以(1,1,0)m =- 设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =,则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即222200y x y z =⎧⎨+-=⎩ 令21x =,则21z =,所以(1,0,1)n =所以11cos ,22m n m n m n⋅===⨯又因为二面角A PC B --为锐二面角 所以二面角A PC B --的大小为π3. 17. （1）π3ϕ=-. （2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件①可解得1ω=,π6ϕ=-. 【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅== 因为π||2ϕ<,所以π3ϕ=-. 【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><,所以() f x 的最大值为1,最小值为1-.若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1,最小值为1-,所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故条件①不能使函数()f x 存在； 若选条件②：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω== 所以()()sin f x x ϕ=+又因为π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以πsin 13ϕ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭所以ππ2π,Z 32k k ϕ-+=-+∈ 所以π2π,Z 6k k ϕ=-+∈,因为||2ϕπ<,所以π6ϕ=-.所以1ω=,π6ϕ=-；若选条件③：因为() f x 在π2π,33-⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在ππ,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减 所以() f x 在π3x =-处取得最小值1-,即π13f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 以下与条件②相同． 18. （1）0.4 （2）0.168 （3）不变 【小问1详解】根据表格数据可以看出,40天里,有16个+,也就是有16天是上涨的 根据古典概型的计算公式,农产品价格上涨的概率为：160.440= 【小问2详解】在这40天里,有16天上涨,14天下跌,10天不变,也就是上涨,下跌,不变的概率分别是0.4,0.35,0.25于是未来任取4天,2天上涨,1天下跌,1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯=【小问3详解】由于第40天处于上涨状态,从前39次的15次上涨进行分析,上涨后下一次仍上涨的有4次.不变的有9次,下跌的有2次. 因此估计第41次不变的概率最大.19. （1）22194x y +=（2）证明见解析 【小问1详解】依题意,得c e a ==,则c =又,A C 分别为椭圆上下顶点,4AC =,所以24b =,即2b = 所以2224a c b -==,即22254499a a a -==,则29a = 所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=,所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D --因为P 为第一象限E 上的动点,设()(),03,02P m n m n <<<<,则22194m n +=易得022303BC k +==---,则直线BC 的方程为223y x =--033PDn n k m m -==--,则直线PD 的方程为()33n y x m =--联立()22333y x n y x m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩,解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧-+=⎪⎪+-⎨-⎪=⎪+-⎩,即 ()332612,326326n m n M n m n m -+⎛⎫- ⎪+-+-⎝⎭而220PA n n k m m --==-,则直线PA 的方程为22n y x m-=+ 令=2y -,则222n x m --=+,解得42m x n -=-,即4,22m N n -⎛⎫-⎪-⎝⎭又22194m n +=,则22994n m =-,2287218m n =- 所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n -+-+--+-==-+-+-++---+--222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m -+-+-+-+==++---++-- ()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m -+-+-+-+===-+-+-+-+ 又022303CD k +==-,即MN CD k k = 显然,MN 与CD 不重合,所以//MN CD . 20. （1）1,1a b =-= （2）答案见解析 （3）3个 【小问1详解】 因为3R ()e,ax bf x x x x +=-∈,所以()()2313e ax bf x a x x ++'=-因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1+-=x y 所以(1)110f =-+=,(1)1f '=-则()311e 013e 1a b a ba ++⎧-⨯=⎪⎨-+=-⎪⎩,解得11a b =-⎧⎨=⎩ 所以1,1a b =-=. 【小问2详解】由（1）得()()()()231R 13e x g f x x xx x -+'-==∈-则()()1266ex x g x x x -+'+-=-令2660x x -+=,解得3x =±不妨设13x =23x =,则120x x << 易知1e 0x -+>恒成立.所以令()0g x '<,解得10x x <<或2x x >；令()0g x '>,解得0x <或12x x x<<；所以()g x 在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞,单调递增区间为(),0∞-和(3.【小问3详解】 由（1）得()31R ()ex f x x x x -+=-∈,()()23113e x f x x x -+'-=-由（2）知()f x '在()10,x ,()2,x +∞上单调递减,在(),0∞-,()12,x x 上单调递增当0x <时,()24011e f '-=<-,()010f '=>,即()()010f f ''-<所以()f x '在(),0∞-上存在唯一零点,不妨设为3x ,则310x -<<此时,当3<x x 时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当30x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞-上有一个极小值点； 当()10,x x ∈时,()f x '在()10,x 上单调递减则()(()131120f x f f '''=<=-<,故()()100f f x ''< 所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点,不妨设为4x ,则410x x <<此时,当40x x <<时,0)('>x f ,则()f x 单调递增；当41x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点； 当()12,x x x ∈时,()f x '在()12,x x 上单调递增则()(()23310f x f f '''=>=>,故()()120f x f x ''< 所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点,不妨设为5x ,则152x x x <<此时,当15x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递减；当52x x x <<时,()0f x '<,则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=>时,()232330x x x x -=-<所以()()231013ex f x x x-+'=->-,则()f x 单调递增所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上：()f x 在(),0∞-和()12,x x 上各有一个极小值点,在()10,x 上有一个极大值点,共有3个极值点.21. （1）00r =,11r =,21r =,32r = （2）,n r n n =∈N （3）证明见详解 【小问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ======== 当0k =时,则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=,故00r =； 当1k =时,则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=,故11r =； 当2k =时,则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =； 当3k =时,则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>,故32r =； 综上所述：00r =,11r =,21r =,32r =. 【小问2详解】由题意可知：n r m ≤,且n r ∈N因为1,1n n a b ≥≥,则111,1n n A a B b ≥=≥=,当且仅当1n =时,等号成立 所以010,1r r ==又因为112i i i r r r -+≤+,则11i i i i r r r r +--≥-,即112101m m m m r r r r r r ----≥-≥⋅⋅⋅≥-= 可得11i i r r +-≥反证：假设满足11n n r r +->的最小正整数为11j m ≤≤- 当i j ≥时,则12i i r r +-≥；当1i j ≤-时,则11i i r r +-=则()()()112100m m m m m r r r r r r r r ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()22m j j m j ≥-+=-又因为11j m ≤≤-,则()2211mr m j m m m m ≥-≥--=+> 假设不成立,故11n n r r +-=即数列{}n r 是以首项为1,公差为1的等差数列,所以01,n r n n n =+⨯=∈N .【小问3详解】（①）若m m A B ≥,构建,1n n n r S A B n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≥,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≥ 则1,0K K K r K r A B m A B +-≥-<,可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≤-. ①若存在正整数N ,使得0N N N r S A B =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+； ①若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y X r Y r A B A B -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+； （①）若m m A B <,构建,1n n r n S B A n m =-≤≤,由题意可得：0n S ≤,且n S 为整数 反证,假设存在正整数K ,使得K S m ≤- 则1,0K K r K r K B A m B A +-≤--> 可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=-=---> 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾,故对任意1,n m n ≤≤∈N ,均有1n S m ≥-. ①若存在正整数N ,使得0N N r N S B A =-=,即N N r A B = 可取0,,N r p q N s r ====,使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ,使得0N S = 因为{}1,2,,1n S m ∈--⋅⋅⋅-,且1n m ≤≤ 所以必存在1X Y m ≤<≤,使得X Y S S = 即X Y r X r Y B A B A -=-,可得Y X X r Y r A B A B +=+ 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====,使得p s q r B B A A +=+；综上所述：存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得ps q r B B A A +=+．。
2022年新高考北京卷数学高考真题(解析版)
2022年新高考北京卷数学高考真题一、单选题1．已知全集{33}U x x =-<<，集合{21}A x x =-<≤，则U A =ð（ ）A ．(2,1]-B ．(3,2)[1,3)--U C ．[2,1)-D ．(3,2](1,3)--U 【答案】D【分析】利用补集的定义可得正确的选项．【详解】由补集定义可知：{|32U A x x =-<≤-ð或13}x <<，即(3,2](1,3)U A =--U ð，故选：D ．2．若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（ ）A ．1B ．5C ．7D ．253．若直线210x y +-=是圆22()1x a y -+=的一条对称轴，则=a （ ）A ．12B ．12-C ．1D ．1-4．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ）A ．()()0f x f x -+=B ．()()0f x f x --=C ．()()1f x f x -+=D ．1()()3f x f x --=5．已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在,412ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．()f x 在0,3π⎛⎫⎪上单调递减D ．()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪上单调递增6．设{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，则“{}n a 为递增数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，0n a >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T 和lg P 的关系，其中T 表示温度，单位是K ；P 表示压强，单位是bar ．下列结论中正确的是（ ）A ．当220T =，1026P =时，二氧化碳处于液态B ．当270T =，128P =时，二氧化碳处于气态C ．当300T =，9987P =时，二氧化碳处于超临界状态D ．当360T =，729P =时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【分析】根据T 与lg P 的关系图可得正确的选项.【详解】当220T =，1026P =时，lg 3P >，此时二氧化碳处于固态，故A 错误.当270T =，128P =时，2lg 3P <<，此时二氧化碳处于液态，故B 错误.当300T =，9987P =时，lg P 与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C 错误.当360T =，729P =时，因2lg 3P <<, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D 正确.故选：D8．若443243210(21)x a x a x a x a x a -=++++，则024a a a ++=（ ）A ．40B ．41C ．40-D ．41-9．已知正三棱锥-P ABC 的六条棱长均为6，S 是ABC V 及其内部的点构成的集合．设集合{}5T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（ ）A ．34πB ．πC ．2πD ．3π【答案】B【分析】求出以P 为球心，5为半径的球与底面ABC 的截面圆的半径后可求区域的面积.【详解】在底面上的投影为O ，连接BO ，则23623⨯⨯=，故3612PO =-=10．在ABC V 中，3,4,90AC BC C ==∠=︒．P 为ABC V 所在平面内的动点，且1PC =，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ）A ．[5,3]-B ．[3,5]-C ．[6,4]-D ．[4,6]-【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，表示出PA u u u r ，PB u u u r，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C ，()3,0A ，()0,4B ，二、填空题11．函数1()f x x=+的定义域是_________．13．已知数列{}n a 各项均为正数，其前n 项和n S 满足9(1,2,)n n a S n ⋅==L ．给出下列四个结论：①{}n a 的第2项小于3； ②{}n a 为等比数列；③{}n a 为递减数列； ④{}n a 中存在小于1100的项．其中所有正确结论的序号是__________．三、解答题14．在ABC V 中，sin 2C C ．(1)求C ∠；(2)若6b =，且ABC V 的面积为ABC V 的周长．15．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BCC B 为正方形，平面11BCC B ⊥平面11ABB A ，2AB BC ==，M ，N 分别为11A B ，AC 的中点．(1)求证：MN ∥平面11BCC B ；(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线AB 与平面BMN 所成角的正弦值．条件①：AB MN ⊥；条件②：BM MN =．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，可证平面//MKN 平面11BCC B ，从而可证//MN 平面11BCC B .（2）选①②均可证明1BB ⊥平面ABC ，从而可建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量可求线面角的正弦值.【详解】（1）取AB 的中点为K ，连接,MK NK ，由三棱柱111ABC A B C -可得四边形11ABB A 为平行四边形，而11,B M MA BK KA ==，则1//MK BB ，而MK ⊄平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，故//MK 平面11BCC B ，而,CN NA BK KA ==，则//NK BC ，同理可得//NK 平面11BCC B ，233⨯．以上16．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到950m ．）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、（含950m乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；丙：9.85，9.65，9.20，9.16．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）∴38727()0123202020205E X =⨯+⨯+⨯+⨯=（3）丙夺冠概率估计值最大.因为铅球比赛无论比赛几次就取最高成绩.比赛一次，丙获得9.85的概率为14，甲获得9.80的概率为110，乙获得9.78的概率为16.并且丙的最高成绩是所有成绩中最高的，比赛次数越多，对丙越有利.17．已知椭圆：2222:1(0)x y E a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)A ，焦距为(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(2,1)P -作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当||2MN =时，求k 的值．18．已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x '=，讨论函数()g x 在[0,)+∞上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t ∈+∞，有()()()f s t f s f t +>+．19．已知12:,,,k Q a a a L 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈L ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥L ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=L ，则称Q 为m -连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；(2)若12:,,,k Q a a a L 为8-连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a L 为20-连续可表数列，且1220k a a a +++<L ，求证：7k ≥．【答案】(1)是5-连续可表数列；不是6-连续可表数列．(2)证明见解析．(3)证明见解析．【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++<L 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1-，然后分类讨论验证不行即可．【详解】（1）21a =，12a =，123a a +=，34a =，235a a +=，所以Q 是5-连续可表的几项如果符合必然是{1,2,3,4,5,6}-的一个排序，可验证这组数不合题．四、双空题20．若函数()sin f x A x x =的一个零点为3π，则A =________；12f π⎛⎫= ⎪⎝⎭________．21．设函数()()21,,2,.ax x a f x x x a -+<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩若()f x 存在最小值，则a 的一个取值为________；a 的最大值为___________．【答案】 0（答案不唯一） 1【分析】根据分段函数中的函数1y ax =-+的单调性进行分类讨论，可知，0a =符合条件，a<0不符合条件，0a >时函数1y ax =-+没有最小值，故()f x 的最小值只能取2(2)y x =-的最小值，根据定义域讨论可知210a -+≥或()2212a a -+≥-， 解得 01a <≤.【详解】解：若0a =时，21,0(){(2),0x f x x x <=-≥，∴min ()0f x =；若a<0时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递增，当x →-∞时，()f x →-∞，故()f x 没有最小值，不符合题目要求；若0a >时，当x a <时，()1f x ax =-+单调递减，2()()1f x f a a >=-+，当x a >时，min 20(02)(){(2)(2)a f x a a <<=-≥∴210a -+≥或2212a a -+≥-（），解得01a <≤，综上可得01a ≤≤；故答案为：0（答案不唯一），1。
2024年北京市高考数学试卷
2024年北京市高考数学试卷A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x＞-3}C．{x|-3＜x＜4}D．{x|x＜4}A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+iA．B．2C．3D．3（2024•北京）已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N=（ ）答案：C解析：结合并集的定义，即可求解．解答：解：集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N={x|-3＜x＜4}．故选：C．（2024•北京）若复数z满足=-1-i ，则z=（ ）z i答案：C解析：结合复数的四则运算，即可求解．解答：解：=-1-i，则z=i（-1-i）=1-i.故选：C．z i（2024•北京）圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为（ ）√2√2答案：D解析：求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心（1，-3），圆x 2+y 2．故选：D．√2A．6B．-6C．12D．-12A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件（2024•北京）在的展开式中，x 3的系数为（ ）（x -）√x 4答案：A解析：利用二项式定理，求解即可．解答：解：的通项公式为：（-1）r •，4-r +=3，可得r=2，二项展开式中x 3的系数：•（-1）2=6．故选：A．（x -）√x4C 4r •x 4-r x r2r 2C 42（2024•北京）设a ，b 是向量，则“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =-b 或a =b ”的（ ）→→→→→→→→→→答案：B解析：根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．解答：解：（a +b ）•（a -b ）=0，则-=0，即|a |=|b |，|a |=|b |不能推出a =b 或a =-b ，充分性不成立，a =b 或a =-b 能推出|a |=|b |，必要性成立，故“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =b 或a =-b ”的必要不充分条件．故选：B．→→→→a →2b →2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2024•北京）设函数f（x）=sinωx（ω＞0）．已知f（x 1）=-1，f（x 2）=1，且|x 1-x 2|的最小值为，则ω=（ ）π2A．1B．2C．3D．4A．3N 2=2N 1B．2N 2=3N 1C．=D．=答案：B解析：由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．解答：解：因为f（x）=sinωx,则f（x 1）=-1为函数的最小值，f（x 2）=1为函数的最大值，又|-==，所以T=π，ω=2．故选：B．x 1x 2|minπ2T 2（2024•北京）生物丰富度指数d =是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）S -1lnNN 22N 13N 23N 12答案：D解析：根据已知条件可得=2.1，=3.15，化简即可求解．S -1lnN 1S -1lnN 2解答：解：根据个体总数由N 1变为N 2可列式，=2.1，=3.15，所以2.1lnN 1=3.15lnN 2，约分可得2lnN 1=3lnN 2，故=，所以=．故选：D．S -1lnN 1S -1lnN 2lnN 12lnN 23N 12N 23（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为（ ）√2A．1B．2C．D．A．lo ＜C．lo ＜+D．lo ＞+√2√3答案：D解析：根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求解．解答：解：由题意知△PAB为正三角形，因为PC 2+PD 2=CD 2，所以PC⊥PD，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，则PE 2+PF 2=EF 2，所以PE⊥PF，过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF ⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF．又PG ⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF ⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高，因为PE •PF =EF •PC ，所以PG ===．故选：D．√31212PE •PF EF 2×2√34√3（2024•北京）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则（ ）g 2+y 1y 22+x 1x 22g 2+y 1y 22x 1x 2g 2+y 1y 22x 1x 2答案：BA．d=3，S＜1B．d=3，S＞1C．d =，S ＜1D．d =，S ＞1解析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．解答：解：（x 1，y 1），（x 2，y 2）是y=2x 上的点，则=，=，+≥2=2，当且仅当x 1=x 2时，等号成立，故＞，两边同时取对数可得，lo ＞．故选：B．y 12x1y 22x22x12x2√•2x 12x 2√2+x 1x 2+y 1y 222+x 1x22g 2+y 1y 22+x 1x 22（2024•北京）已知M={（x,y）|y=x+t（x 2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）√10√10答案：C解析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．解答：解：集合{y|y=x+t（x 2-x），0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，d =|AB |==，S ＜=×（4-2）×（2-1）=1．故选：C．√（2-1+（4-1）2）2√10S △ABC 12（2024•北京）抛物线y 2=16x的焦点坐标为 （4，0）．答案：见试题解答内容解析：根据抛物线的标准方程计算可得．解答：解：抛物线y2=16x的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[，]，则cosβ的最大值为．π6π3答案：见试题解答内容解析：先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．解答：解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ=β，k∈Z，cosβ=cos（α+π+2kπ）=-cosα，α∈[，]，cosα∈[，]，，-]，故当α=，β=2kπ+，k∈Z时，cosβ的最大值为-．故答案为：-．π6π312√32212π34π31212（2024•北京）若直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则k的一个取值为x24y2答案：见试题解答内容解析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．解答：解：联立，化简可得（1-4k2）x2+24k2x-36k2-4=0，因为直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，故1-4k2=0，或Δ=（24k2）2+4（1-4k2）（36k2+4）=0，解得k=±或k无解，{-=1y=k（x-3）x24y2x24y212当k=±时，符合题意．故答案为：（或-）．121212（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325 mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 23mm,升量器的高为 57.5mm.（不计量器的厚度）答案：见试题解答内容解析：根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．解答：解：斛量器的体积为V 3=π••230，则斗量器的体积为V 2=V 3=π••23，所以斗量器的高为23mm；设升量器的高为h,由升量器的体积为V 1=V 2=π••2.3=π••h,解得h=57.5，所以升量器的高为57.5mm；所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm,23mm.故答案为：23，57.5．（）32522110（）32522110（）32522（）6522（2024•北京）设{a n }与{b n }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M={k|a k =b k ，k∈N*}，给出下列四个结论：①若{a n }与{b n }均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{a n }与{b n }均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，则M中最多有1个元素．其中正确结论的序号是 ①③④．答案：见试题解答内容解析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．解答：解：对于①，{a n }，{b n }均为等差数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以M中至多一个元素，故①正确；对于②，令=，=-（-2，满足{a n }，{b n }均为等比数列，但当n为偶数时，===-（-2，此时M中有无穷多个元素，故②错误；对于③，设=A （Aq ≠0，q ≠±1），a n =kn+b（k≠0），若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq n =kn+b至少有4个不同的正数解，若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aq n =kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq n =kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n =kn+b,方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，否则Akln|q|＜0，因为y=A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个偶数解，当Aq n =kn+b有奇数解，此方程即为-A|q|n =kn+b,方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，否则Akln|q|＞0，因为y=-A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个奇数解，因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，若q＞0，q≠1，则由y=Aq n 和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aq n =kn+b至多有两个不同的解，矛盾；故Aq n =kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．对于④，因为{a n }为单调递增，{b n }为递减数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．故答案为：①③④．a n 2n -1b n ）n -1a n 2n -1b n ）n -1b n q n （2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7，sin 2B．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=；条件③：csinA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．7131452√3答案：（1）；（2）条件①不符合要求；选②，；选③，．2π315√3415√34解析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；（2）分析选条件①不符合要求；选条件②，由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解即可；选条件③，由（1）及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可；．解答：解：（1）因为sin 2B=2sinBcosB，因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，在△ABC中，由正弦定理得=，因为A为钝角，所以A=．（2）若选条件①，因为b=7，a=7，所以B=A=，与A+B+C=π矛盾，此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；若选条件②，因为cosB=，所以sinB==在△ABC中，由正弦定理得=，所以b=•sinB=×+（-）×所以△ABC的面积为S=absinC=×7×3×若选条件③，由（1）知A=，因为csinA=，所以c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA，714a sinAb sinB22π32π31314√1-B cos 214a b a sinA7sin 2π3141312141412121442π352√3即72=b 2+52-2b×5×cos ，解得b=3，所以△ABC的面积为S=bcsinA=×3×5×sin =．2π312122π315√34（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE=PE=2．（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．答案：见试题解答内容解析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．解答：（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM=ED，因为AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC=ED，所以FM∥BC，且FM=BC，即四边形BCMF为平行四边形，所以BF∥CM，因为BF ⊄平面PCD，CM ⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD．（2）解：因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，1212则P（0，0，2），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），所以AB =（1，0，0），AP =（0，1，2），PC =（1，0，-2），CD =（-1，2，0），设平面PAB的一个法向量为m =（x 1，y 1，z 1），则，取z 1=-1，则m =（0，2，-1），设平面PCD的一个法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则，取z 2=1，则n =（2，1，1），设平面PAB与平面PCD夹角为θ，则cosθ===→→→→→⎧⎨⎩m •AB ==0m •AP =+2=0→→x 1→→y 1z1→→⎧⎨⎩n •PC =-2=0n •CD =-+2=0→→x 2z 2→→x 2y 2→m •n →→|m |•|n |→→2-1×√5√630（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数1234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）答案：见试题解答内容解析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E（X）；（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．解答：解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P （A ）==；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题可得P （ξ=0）==，P （ξ=0.8）==，P （ξ=1.6）==，P （ξ=2.4）==，P （ξ=3）==，所以E （ξ）=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278，因为毛利润是保费与赔偿金额之差，故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；（ii）由（i）知未赔偿的概率为P （ξ=0）==，至少赔偿一次的概率为1-=，故保费的变化为0.4××（1-4%）+0.4××（1+20%）=0.4032，设Y为保单下一保险期的毛利润，故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．所以E（X）＜E（Y）．60+30+10800+100+60+30+10110800100045100100011060100035030100031001010001100451103503100110080010004545154515（2024•北京）已知椭圆方程E：+=1（a ＞b ＞0），以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．x 2a 2y 2b 2√2答案：见试题解答内容解析：（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b,c,再结合椭圆的性质，即可求解；（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．解答：解：（1）椭圆方程C：+=1（a ＞b ＞0），焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，则b =c，故a 2=b 2+c 2=2，解得a =；a ==2，所以椭圆方程为+=1，离心率为e（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，设AB：y=kx+t,（t ＞），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，化简并整理得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2-4=0，由题意可知，Δ=16k 2t 2-8（2k 2+1）（t 2-2）=8（4k 2+2-t 2）＞0，即k,t应满足4k 2+2-t 2＞0，由韦达定理可知，+=，=，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（-x 2，y 2），故AD ：y =（x -）+，令x=0，则====+t ==1，解得t=2，此时k满足，解得k＞或k＜-，综上所述，t=2满足题意，此时k的取值范围为{k|k ＜kx 2a 2y 2b 2√2√2√+b 2c 2x 24y 222√2{y =kx +t +=1x 24y 22x 1x 2-4kt 1+2k 2x 1x 22-4t 22+1k 2-y 1y 2+x 1x 2x 1y 1y C+x 1y 2x 2y 1+x 1x 2（k +t ）+（k +t ）x 1x 2x 2x 1+x 1x 22k +t （+）x 1x 2x 1x 2+x 1x 24k （-2）t 2-4kt2t {k ≠04+2-=4-2＞0k 2t 2k 2√22√2222（2024•北京）设函数f（x）=x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y=f（x）在点（t,f（t））（t ＞0）处的切线．（1）当k=-1，求f（x）单调区间；（2）证明：l不经过（0，0）；（3）当k=1时，设点A（t,f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S △ACO 与S △ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S △ACO =15S △ABO 成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）答案：见试题解答内容解析：（1）直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），将（0，0）代入再设新函数F （t ）=ln （1+t ）-，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S △ABO 得到13ln （1+t ）-2t -15=0，再设新函数h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0）研究其零点即可．k 1+tt 1+tt 1+t15t 1+t 解答：解：（1）f（x）=x-ln（1+x），f ′（x ）=1-=（x ＞-1），当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）f ′（x ）=1+，l的斜率为1+，故切线方程为y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），代入（0，0），-f （t ）=-t （1+），f （t ）=t （1+），t +kln （1+t ）=t +t ，则ln （1+t ）=，ln （1+t ）-=0，令F （t ）=ln （1+t ）-，若l过（0，0），则F（t）在t∈（0，+∞）存在零点．F ′（t ）=-=＞0，故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）=0，不满足假设，故l不过（0，0）．（3）k=1，f（x）=x+ln（1+x），f ′（x ）=1+=＞0，=tf （t ），设l与y轴交点B为（0，q），t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．由（2）知q≠0，∴q＞0，则切线l的方程为y -t -ln （t +1）=（1+）（x -t ），令x=0，则y =q =ln （1+t ）-，11+x x 1+xk 1+x k 1+tk 1+tk 1+t k 1+tk 1+t t 1+t t 1+tt 1+t11+t 1+t -t （1+t ）2t （1+t ）211+xx +21+x S △ACO 1211+tt t +1A．{x|-1≤x＜1}B．{x|x＞-3}C．{x|-3＜x＜4}D．{x|x＜4}A．-1-iB．-1+iC．1-iD．1+i∵2S △ACO =15S △ABO ，则2tf （t ）=15t [ln （1+t ）-]，∴13ln （1+t ）-2t -15×=0，记h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0），∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点． h′（t）=-2-===，t ∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；t ∈（，4）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t∈（4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；∵h（0）=0，h（）＜0，h（4）=13ln5-20＞13×1.6-20=0.8＞0，h （24）=13ln 25-48-=26ln 5-48-＜26×1.61-48-=-20.54＜0，∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在（，4）上必有一个零点，在（4，24）上必有一个零点．综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A有两个．t t +1t 1+t15t 1+t 131+t 15（t +1）213t +13-2（+2t +1）-15t 2（t +1）2-2+9t -4t 2（t +1）2（-2t +1）（t -4）（t +1）212121215×242572572512（2024•北京）已知集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N=（ ）答案：C解析：结合并集的定义，即可求解．解答：解：集合M={x|-3＜x＜1}，N={x|-1≤x＜4}，则M∪N={x|-3＜x＜4}．故选：C．（2024•北京）若复数z满足=-1-i ，则z=（ ）z i答案：CA．B．2C．3D．3A．6B．-6C．12D．-12A．充分不必要条件B．必要不充分条件解析：结合复数的四则运算，即可求解．解答：解：=-1-i ，则z=i（-1-i）=1-i.故选：C．zi（2024•北京）圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心到x-y+2=0的距离为（ ）√2√2答案：D解析：求解圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式求解即可．解答：解：圆x 2+y 2-2x+6y=0的圆心（1，-3），圆x 2+y 2．故选：D．√2（2024•北京）在的展开式中，x 3的系数为（ ）（x -）√x 4答案：A解析：利用二项式定理，求解即可．解答：解：的通项公式为：（-1）r •，4-r +=3，可得r=2，二项展开式中x 3的系数：•（-1）2=6．故选：A．（x -）√x4C 4r •x 4-r x r2r 2C 42（2024•北京）设a ，b 是向量，则“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =-b 或a =b ”的（ ）→→→→→→→→→→C．充要条件D．既不充分也不必要条件A．1B．2C．3D．4A．3N 2=2N 1B．2N 2=3N 1C．=D．=答案：B解析：根据已知条件，依次判断充分性，必要性的判断，即可求解．解答：解：（a +b ）•（a -b ）=0，则-=0，即|a |=|b |，|a |=|b |不能推出a =b 或a =-b ，充分性不成立，a =b 或a =-b 能推出|a |=|b |，必要性成立，故“（a +b ）•（a -b ）=0”是“a =b 或a =-b ”的必要不充分条件．故选：B．→→→→a →2b →2→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→（2024•北京）设函数f（x）=sinωx（ω＞0）．已知f（x 1）=-1，f（x 2）=1，且|x 1-x 2|的最小值为，则ω=（ ）π2答案：B解析：由已知结合正弦函数的性质即可直接求解．解答：解：因为f（x）=sinωx,则f（x 1）=-1为函数的最小值，f（x 2）=1为函数的最大值，又|-==，所以T=π，ω=2．故选：B．x 1x 2|minπ2T 2（2024•北京）生物丰富度指数d =是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N 1变为N 2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）S -1lnNN 22N 13N 23N 12A．1B．2C．D．答案：D解析：根据已知条件可得=2.1，=3.15，化简即可求解．S -1lnN 1S -1lnN 2解答：解：根据个体总数由N 1变为N 2可列式，=2.1，=3.15，所以2.1lnN 1=3.15lnN 2，约分可得2lnN 1=3lnN 2，故=，所以=．故选：D．S -1lnN 1S -1lnN 2lnN 12lnN 23N 12N 23（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2，该棱锥的高为（ ）√2√2√3答案：D解析：根据题意分析可知平面PEF⊥平面ABCD，可知PG⊥平面ABCD，再结合等体积法，即可求解．解答：解：由题意知△PAB为正三角形，因为PC 2+PD 2=CD 2，所以PC⊥PD，分别取AB，CD的中点E，F，连接PE，EF，PF，则PE=2，PF=2，EF=4，则PE 2+PF 2=EF 2，所以PE⊥PF，√3A．lo ＜C．lo ＜+D．lo ＞+A．d=3，S＜1B．d=3，S＞1C．d =，S ＜1D．d =，S ＞1过点P作PG⊥EF，垂足为G．易知CD⊥PF，CD⊥EF，EF，PF ⊂平面PEF，且EF∩PF=F，所以CD⊥平面PEF．又PG ⊂平面PEF，所以CD⊥PG．又PG⊥EF，CD，EF ⊂平面ABCD，CD∩EF=F，所以PG⊥平面ABCD，所以PG为四棱锥P-ABCD的高，因为PE •PF =EF •PC ，所以PG ==．故选：D．1212PE •PF EF 4√3（2024•北京）已知（x 1，y 1），（x 2，y 2）是函数y=2x 的图象上两个不同的点，则（ ）g 2+y 1y 22+x 1x 22g 2+y 1y 22x 1x 2g 2+y 1y 22x 1x 2答案：B解析：根据已知条件，结合基本不等式的公式，以及对数的运算性质，即可求解．解答：解：（x 1，y 1），（x 2，y 2）是y=2x 上的点，则=，=，+≥2=2，当且仅当x 1=x 2时，等号成立，故＞，两边同时取对数可得，lo ＞．故选：B．y 12x1y 22x22x12x2√•2x12x2√2+x 1x2+y 1y 222+x 1x22g 2+y 1y 22+x 1x 22（2024•北京）已知M={（x,y）|y=x+t（x 2-x），1≤x≤2，0≤t≤1}是平面直角坐标系中的点集．设d是M中两点间的距离的最大值，S是M表示的图形的面积，则（ ）√10√10答案：C解析：根据已知条件，作出图象，结合图象即可得出答案．解答：解：集合{y|y=x+t（x 2-x），0≤t≤1，1≤x≤2}表示的图形如下图阴影部分所示，由图象可知，d =|AB |==，S ＜=×（4-2）×（2-1）=1．故选：C．√（2-1+（4-1）2）2√10S△ABC 12（2024•北京）抛物线y 2=16x的焦点坐标为 （4，0）．答案：见试题解答内容解析：根据抛物线的标准方程计算可得．解答：解：抛物线y 2=16x的焦点坐标是（4，0）．故答案为：（4，0）．（2024•北京）在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于原点对称．若α∈[，]，则cosβ的最大值为 ．π6π3答案：见试题解答内容解析：先求出β的范围，再结合余弦函数的单调性，即可求解．解答：解：α与β的终边关于原点对称可得，α+π+2kπ=β，k∈Z，cosβ=cos（α+π+2kπ）=-cosα，α∈[，]，cosα∈[，，-]，π6π3122212故当α=，β=2k π+，k∈Z时，cosβ的最大值为-．故答案为：-．π34π31212（2024•北京）若直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，则k的一个取值为x 24y 2答案：见试题解答内容解析：根据已知条件，设出直线方程，再与双曲线方程联立，再分类讨论，并结合判别式，即可求解．解答：解：联立，化简可得（1-4k 2）x 2+24k 2x-36k 2-4=0，因为直线y=k（x-3）与双曲线-=1只有一个公共点，故1-4k 2=0，或Δ=（24k 2）2+4（1-4k 2）（36k 2+4）=0，解得k=±或k无解，当k=±时，符合题意．故答案为：（或-）．{-=1y =k （x -3）x 24y 2x 24y 212121212（2024•北京）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱．若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为65mm,325mm,325 mm,且斛量器的高为230mm,则斗量器的高为 23mm,升量器的高为 57.5mm.（不计量器的厚度）答案：见试题解答内容解析：根据题意求出斛量器的体积和斗量器、升量器的体积，再求对应圆柱的高．解答：解：斛量器的体积为V 3=π••230，则斗量器的体积为V 2=V 3=π••23，所以斗量器的高为23mm；设升量器的高为h,由升量器的体积为V 1=V 2=π••2.3=π••h,（）32522110（）32522110（）32522（）6522解得h=57.5，所以升量器的高为57.5mm；所以升量器、斗量器的高度分别57.5mm,23mm.故答案为：23，57.5．（2024•北京）设{a n }与{b n }是两个不同的无穷数列，且都不是常数列．记集合M={k|a k =b k ，k∈N*}，给出下列四个结论：①若{a n }与{b n }均为等差数列，则M中最多有1个元素；②若{a n }与{b n }均为等比数列，则M中最多有2个元素；③若{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，则M中最多有3个元素；④若{a n }为递增数列，{b n }为递减数列，则M中最多有1个元素．其中正确结论的序号是 ①③④．答案：见试题解答内容解析：根据散点图的特征可判断①④的正误，举出反例可判断②的正误，由通项公式的特征以及反证法，即可判断③的正误．解答：解：对于①，{a n }，{b n }均为等差数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，故它们的散点图分布在直线上，而两条直线至多有一个公共点，所以M中至多一个元素，故①正确；对于②，令=，=-（-2，满足{a n }，{b n }均为等比数列，但当n为偶数时，===-（-2，此时M中有无穷多个元素，故②错误；对于③，设=A （Aq ≠0，q ≠±1），a n =kn+b（k≠0），若M中至少四个元素，则关于n的方程Aq n =kn+b至少有4个不同的正数解，若q＜0，q≠±1，考虑关于n的方程Aq n =kn+b奇数解的个数和偶数解的个数，当Aq n =kn+b有偶数解，此方程即为A|q|n =kn+b,方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时Akln|q|＞0，否则Akln|q|＜0，因为y=A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个偶数解，当Aq n =kn+b有奇数解，此方程即为-A|q|n =kn+b,方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时-Akln|q|＞0，即Akln|q|＜0，否则Akln|q|＞0，因为y=-A|q|n ，y=kn+b单调性相反，方程A|q|n =kn+b至多一个奇数解，因为Akln|q|＞0，Akln|q|＜0不可能同时成立，若q＞0，q≠1，则由y=Aq n 和y=kn+b的散点图可得关于n的方程Aq n =kn+b至多有两个不同的解，矛盾；故Aq n =kn+b不可能有4个不同的正数解，故③正确．对于④，因为{a n }为单调递增，{b n }为递减数列，M={k|a k =b k }，{a n }，{b n }不为常数列且各项均不相同，a n 2n -1b n ）n -1a n 2n -1b n ）n -1b n q n前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确．故答案为：①③④．（2024•北京）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c,∠A为钝角，a=7，sin 2B =bcosB ．（1）求∠A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求△ABC的面积．条件①：b=7；条件②：cosB=；条件③：csinA=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．√37131452√3答案：（1）；（2）条件①不符合要求；选②，；选③，．2π315√3415√34解析：（1）由已知等式结合二倍角公式和正弦定理求得sinA，即可得到A；（2）分析选条件①不符合要求；选条件②，由已知结合正弦定理求得b,由sinC=sin（A+B）可求得sinC，再由三角形面积公式求解即可；选条件③，由（1）及已知可求得c,结合余弦定理求得b,再由三角形面积公式求解即可；．解答：解：（1）因为sin 2B=2sinBcosB，因为A为钝角，所以B为锐角，cosB≠0，在△ABC中，由正弦定理得=，因为A为钝角，所以A=．（2）若选条件①，因为b=7，a=7，所以B=A=，与A+B+C=π矛盾，714a sinAb sinB22π32π3此时△ABC不存在，故条件①不符合要求，不选①；若选条件②，因为cosB=，所以sinB==在△ABC中，由正弦定理得=，所以b=•sinB=×+（-）×所以△ABC的面积为S=absinC=×7×3×若选条件③，由（1）知A=，因为csinA=，所以c=5，由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bccosA，即72=b 2+52-2b×5×cos ，解得b=3，所以△ABC的面积为S=bcsinA=×3×5×sin =．1314√1-B cos 214a b a sinA7sin 2π3141312141412121442π352√32π312122π315√34（2024•北京）如图，在四棱锥P-ABCD，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，DE=PE=2．（1）若F为线段PE的中点，求证：BF∥平面PCD．（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值．答案：见试题解答内容解析：（1）设M为PD的中点，连接FM，CM，证明四边形BCMF为平行四边形，即可得BF∥CM，由线面平行的判定定理即可证明；（2）易得CE⊥平面PAD，以E为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．解答：（1）证明：如图，设M为PD的中点，连接FM，CM，因为F是PE中点，所以FM∥ED，且FM=ED，因为AD∥BC，AB=BC=1，AD=3，DE=PE=2，所以四边形ABCE为平行四边形，BC∥ED，且BC=ED，所以FM∥BC，且FM=BC，即四边形BCMF为平行四边形，1212所以BF∥CM，因为BF ⊄平面PCD，CM ⊂平面PCD，所以BF∥平面PCD．（2）解：因为AB⊥平面PAD，所以CE⊥平面PAD，EP，ED，EC相互垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，2），A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），D（0，2，0），所以AB =（1，0，0），AP =（0，1，2），PC =（1，0，-2），CD =（-1，2，0），设平面PAB的一个法向量为m =（x 1，y 1，z 1），则，取z 1=-1，则m =（0，2，-1），设平面PCD的一个法向量为n =（x 2，y 2，z 2），则，取z 2=1，则n =（2，1，1），设平面PAB与平面PCD夹角为θ，则cosθ===→→→→→⎧⎨⎩m •AB ==0m •AP =+2=0→→x 1→→y 1z1→→⎧⎨⎩n •PC =-2=0n •CD =-+2=0→→x 2z 2→→x 2y 2→m •n →→|m |•|n |→→2-1×√5√630（2024•北京）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：索赔次数1234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．（1）估计一份保单索赔次数不少于2的概率；（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望EX；（ii）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中EX估计值的大小，（结论不要求证明）答案：见试题解答内容解析：（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，用频率估计概率后可求得分布列及数学期望，从而可求E（X）；（ii）先算出下一期保费的变化情况，结合（i）的结果可求E（Y）．解答：解：（1）设A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P （A ）==；（2）（i）设ξ为赔付金额，则ξ可取0，0.8，1.6，2.4，3，由题可得P （ξ=0）==，P （ξ=0.8）==，P （ξ=1.6）==，P （ξ=2.4）==，P （ξ=3）==，所以E （ξ）=0×+0.8×+1.6×+2.4×+3×=0.278，因为毛利润是保费与赔偿金额之差，故E（X）=0.4-0.278=0.122（万元）；（ii）由（i）知未赔偿的概率为P （ξ=0）==，至少赔偿一次的概率为1-=，故保费的变化为0.4××（1-4%）+0.4××（1+20%）=0.4032，设Y为保单下一保险期的毛利润，故E（Y）=0.122+0.4032-0.4=0.1252（万元）．所以E（X）＜E（Y）．60+30+10800+100+60+30+10110800100045100100011060100035030100031001010001100451103503100110080010004545154515（2024•北京）已知椭圆方程E：+=1（a ＞b ＞0），以椭圆E的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形．过点（0，t）（t＞）且斜率存在的直线与椭圆E交于不同的两点A，B，过点A和C（0，1）的直线AC与椭圆E的另一个交点为D．（1）求椭圆E的方程及离心率；（2）若直线BD的斜率为0，求t的值．x 2a 2y 2b 2√2答案：见试题解答内容解析：（1）根据已知条件，结合勾股定理，求出b,c,再结合椭圆的性质，即可求解；（2）先设出直线AB的方程，并与椭圆的方程联立，再结合韦达定理，以及判别式，即可求解．解答：解：（1）椭圆方程C：+=1（a ＞b ＞0），焦点和短轴端点构成边长为2的正方形，则b =c，故a 2=b 2+c 2=2，解得a =；a ==2，所以椭圆方程为+=1，离心率为e（2）显然直线AB斜率存在，否则B，D重合，直线BD斜率不存在与题意矛盾，同样直线AB斜率不为0，否则直线AB与椭圆无交点，矛盾，设AB：y=kx+t,（t ＞），A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），联立，化简并整理得（1+2k 2）x 2+4ktx+2t 2-4=0，由题意可知，Δ=16k 2t 2-8（2k 2+1）（t 2-2）=8（4k 2+2-t 2）＞0，即k,t应满足4k 2+2-t 2＞0，由韦达定理可知，+=，=，若直线BD斜率为0，由椭圆的对称性可设D（-x 2，y 2），故AD ：y =（x -）+，令x=0，则====+t ==1，解得t=2，此时k满足综上所述，t=2满足题意，此时k的取值范围为{k|k ＜-或k ＞}．x 2a 2y 2b 2√2√2√+b 2c 2x 24y 222√2{y =kx +t+=1x 24y 22x 1x 2-4kt 1+2k 2x 1x 22-4t 22+1k 2-y 1y 2+x 1x 2x 1y 1y C+x 1y 2x 2y 1+x 1x 2（k +t ）+（k +t ）x 1x 2x 2x 1+x 1x 22k +t （+）x 1x 2x 1x 2+x 1x 24k （-2）t 2-4kt2t {k ≠04+2-=4-2＞0k 2t 2k 222√22√22（2024•北京）设函数f（x）=x+kln（1+x）（k≠0），直线l是曲线y=f（x）在点（t,f（t））（t ＞0）处的切线．（1）当k=-1，求f（x）单调区间；（2）证明：l不经过（0，0）；（3）当k=1时，设点A（t,f（t））（t＞0），C（0，f（t）），O（0，0），B为l与y轴的交点，S △ACO 与S △ABO 分别表示△ACO和△ABO的面积．是否存在点A使得2S △ACO =15S △ABO 成立？若存在，这样的点A有几个？（参考数据：1.09＜ln3＜1.10，1.60＜ln5＜1.61，1.94＜ln7＜1.95）答案：见试题解答内容解析：（1）直接代入k=-1，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），将（0，0）代入再设新函数F （t ）=ln （1+t ）-，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入2S △ACO =15S △ABO 得到13ln （1+t ）-2t -15=0，再设新函数h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0）研究其零点即可．k 1+tt 1+tt 1+t15t 1+t 解答：解：（1）f（x）=x-ln（1+x），f ′（x ）=1-=（x ＞-1），当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，f（x）在（-1，0）上单调递减，当x∈（0，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则f（x）的单调递减区间为（-1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（2）f ′（x ）=1+，l的斜率为1+，故切线方程为y -f （t ）=（1+）（x -t ）（t ＞0），代入（0，0），-f （t ）=-t （1+），f （t ）=t （1+），t +kln （1+t ）=t +t ，则ln （1+t ）=，ln （1+t ）-=0，令F （t ）=ln （1+t ）-，若l过（0，0），则F（t）在t∈（0，+∞）存在零点．F ′（t ）=-=＞0，故F（t）在（0，+∞）上单调递增，F（t）＞F（0）=0，不满足假设，故l不过（0，0）．（3）k=1，f（x）=x+ln（1+x），f ′（x ）=1+=＞0，11+x x 1+xk 1+x k 1+tk 1+tk 1+t k 1+tk 1+t t 1+t t 1+tt 1+t11+t 1+t -t （1+t ）2t （1+t ）211+xx +21+x=tf （t ），设l与y轴交点B为（0，q），t＞0时，若q＜0，则此时l与f（x）必有交点，与切线定义矛盾．由（2）知q≠0，∴q＞0，则切线l的方程为y -t -ln （t +1）=（1+）（x -t ），令x=0，则y =q =ln （1+t ）-，∵2S △ACO =15S △ABO ，则2tf （t ）=15t [ln （1+t ）-]，∴13ln （1+t ）-2t -15×=0，记h （t ）=13ln （1+t ）-2t -（t ＞0），∴满足条件的A有几个即h（t）有几个零点． h′（t）=-2-===，t ∈（0，）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；t ∈（，4）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增；t∈（4，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减；∵h（0）=0，h（）＜0，h（4）=13ln5-20＞13×1.6-20=0.8＞0，h （24）=13ln 25-48-=26ln 5-48-＜26×1.61-48-=-20.54＜0，∴由零点存在性定理及h（t）的单调性，h（t）在（，4）上必有一个零点，在（4，24）上必有一个零点．综上所述，h（t）有两个零点，即满足2S ACO =15S ABO 的A有两个．S △ACO 1211+tt t +1t t +1t 1+t15t 1+t131+t 15（t +1）213t +13-2（+2t +1）-15t 2（t +1）2-2+9t -4t 2（t +1）2（-2t +1）（t -4）（t +1）212121215×242572572512（2024•北京）已知集合M={（i,j,k,w）|i∈{1，2}，j∈{3，4}，k∈{5，6}，w∈{7，8}，且i+j+k+w为偶数}．给定数列A：a 1，a 2，…，a 8和序列Ω：T 1，T 2，…，T s ，其中T t =（i t ，j t ，k t ，w t ）∈M（t=1，2，…，s），对数列A进行如下变换：将A的第i 1，j 1，k 1，w 1项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 1（A）；将T 1（A）的第i 2，j 2，k 2，w 2项均加1，其余项不变，得到的数列记作T 2T 1（A）；……；以此类推，得到数列T s ⋯T 2T 1（A），简记为Ω（A）．（1）给定数列A：1，3，2，4，6，3，1，9和序列Ω：（1，3，5，7），（2，4，6，8），（1，3，5，7），写出Ω（A）；（2）是否存在序列Ω，使得Ω（A）为a 1+2，a 2+6，a 3+4，a 4+2，a 5+8，a 6+2，a 7+4，a 8+4？若存在，写出一个Ω，若不存在，请说明理由；。
2024年北京市高考数学卷含答案 .
2024年北京市高考数学卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合M ={x|−4<x ≤1} N ={x|−1<x <3} 则M ∪N =（ ）。
A ．{x|−4<x <3}B ．{x|−1<x ≤1}C ．{0,1,2}D ．{x|−1<x <4}2．已知zi =i −1，则z =（ ）。
A ．1−iB ．−iC ．−1−iD ．13．求圆x 2+y 2−2x +6y =0的圆心到x −y +2=0的距离（ ）。
A ．2√3B ．2C ．3√2D ．√64．(x −√x)4的二项展开式中x 3的系数为（ ）。
A ．15B ．6C ．−4D ．−13 5．已知向量a ⃗ 和b ⃗ ，则(a +b ⃗ )·(a −b⃗ )=0是a ⃗ =b ⃗ 或a ⃗ =−b ⃗ 的（ ）条件。
A ．必要而不充分条件 B ．充分而不必要条件 C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知f(x)=sinωx(ω>0) f(x 1)=−1 f(x 2)=1 |x 1−x 2|min =π2则ω=（ ）。
A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．记水的质量为d =S−1lnn并且d 越大水质量越好。
若S 不变 且d 1=2.1 d 2=2.2 则n 1与n 2的关系为（ ）。
A ．n 1<n 2 B ．n 1>n 2C ．若S <1，则n 1<n 2；若S >1，则n 1>n 2；D ．若S <1，则n 1>n 2；若S >1，则n 1<n 2；8．已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥。
四条侧棱分别为4 4 2√2 2√2。
则该四棱锥的高为（ ）。
A ．√22B ．√32C ．2√3D ．√39．已知(x 1,y 1)，(x 2,y 2)是函数y =2x 图象上不同的两点，则下列正确的是（ ）。
北京卷2023高考数学试卷真题及参考答案
北京卷2023高考数学试卷真题及参考答案2023北京高考数学试题2023北京高考数学试题参考答案2023北京高考时间是几月几日2023年北京市高考统一考试时间安排在6月7日-10日。
2023北京高考具体科目时间安排1、6月7日：语文9:00-11:30，数学15:00-17:00;2、6月8日：外语笔试15:00-16:40，其他外语(含听力考试)15:00-17:00 ;3、6月9日(学考等级考)：物理8:00-9:30，政治11:00-12:30，化学15:30-17:00;4、6月10日(学考等级考)：历史8:00-9:30，生物11:00-12:30，地理15:30-17:00。
北京高考科目包括，统考科目语文、数学、外语3门，每科目满分150分。
普通高中学业水平等级性考试科目为思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，由考生自主选择3门参加考试，选考科目成绩按要求进行折算，每科目满分100分。
2023北京高考注意事项有哪些1、考生入场、接受身份验证和安检注意事项(1)凭《准考证》和身份证，按规定时间和地点参加考试。
主动接受身份验证，排队间隔不低于1米。
接受身份验证时，要事先准备好身份证，验证时将身份证放置在身份证验证器上，当验证电脑显示出考生相片并经考务工作人员确认后，迅速有序地进入考点或大楼;如若电脑未能读取或显示考生身份证相片时，服从工作人员安排，通过人工验证核实身份后再入场参加考试。
(2)考生在同一个考场参加语文、数学、英语考试，其它三科学业水平选择性考试考场不尽相同，考生须仔细阅读准考证，并按准考证上的考场和座号参加各科考试。
(3)禁止携带手机、智能穿戴设备(如智能眼镜、智能手环)、无线电发射和接收设备、存储录放设备、计算器、钟表(含手表)、涂改液、修正带、管制器具和其他非考试用品进入考点。
考生在进入考点前须将此类物品交由带队教师或家长保管;考点入口设置物品存放处的，可以按照考点指定的方式存放。
2024年北京市高考数学真题试卷含答案
2024年北京高考数学一、单选题1．已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ）A ．{}11x x -≤<B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <2．已知1i i z=--，则z =（ ）．A ．1i --B ．1i-+C ．1i -D ．1i+3．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）A B ．2C ．3D ．4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．6B ．6-C ．12D ．12-5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =- 或a b = ”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．生物丰富度指数 1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =8．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD == ）.A ．1B ．2C D 9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+-≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >C ．d =，1S <D ．d =，1S >二、填空题11．抛物线216y x =的焦点坐标为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于原点对称.若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则cos β的最大值为 ．13．若直线()3y k x =-与双曲线2214xy -=只有一个公共点，则k 的一个取值为 ．14．汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ．15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素；③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素.其中正确结论的序号是 .三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．17．如图，在四棱锥P ABCD -中，//BC AD ，1AB BC ==，3AD =,点E 在AD 上，且PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．(2)若AB ⊥平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值．18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表： 赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.（i ）记X 为一份保单的毛利润，估计X 的数学期望()E X ；（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i ）中()E X 估计值的大小．（结论不要求证明）19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线．(1)当1k =-时，求()f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10<<，1.60ln51.61<<，1.94ln71.95<<）21．已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．2024年北京高考数学一、单选题1．已知集合{|31}M x x =-<<，{|14}N x x =-≤<，则M N ⋃=（ ）A ．{}11x x -≤<B ．{}3x x >-C ．{}|34x x -<<D ．{}4x x <【答案】C【详解】根据题意得{}|34M x x N ⋃=-<<.故选C.2．已知1i i z=--，则z =（ ）．A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i+【答案】C【详解】根据题意得()i 1i i 1z =--=-.故选C.3．圆22260x y x y +-+=的圆心到直线20x y -+=的距离为（ ）4．在(4x 的展开式中，3x 的系数为（ ）5．设 a ，b 是向量，则“()()·0a b a b +-=”是“a b =-或a b =”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件6．设函数()()sin 0f x x ωω=>.已知()11f x =-，()21f x =，且12x x -的最小值为π2，则ω=（ ）7．生物丰富度指数 1ln S d N-=是河流水质的一个评价指标，其中,S N 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由1N 变为2N ，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（ ）A ．2132N N =B ．2123N N =C ．2321N N =D ．3221N N =PC PD == ）.分别取,AB CD 的中点,E F ，连接则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE 可知AB ⊥平面PEF ，且AB 所以平面PEF ⊥平面ABCD 过P 作EF 的垂线，垂足为9．已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（ ）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+10．已知()(){}2,|,12,01M x y y x t xx x t ==+-≤≤≤≤是平面直角坐标系中的点集.设d 是M中两点间距离的最大值，S 是M 表示的图形的面积，则（ ）A ．3d =，1S <B ．3d =，1S >可知任意两点间距离最大值故选C.二、填空题2中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称若ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣，则cos β的最大值为 ．13．若直线()3y k x =-与双曲线2214x y -=只有一个公共点，则k 的一个取值为．器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 65mm,325mm,325mm ，且斛量器的高为230mm ，则斗量器的高为 mm ，升量器的高为 mm ．15．设{}n a 与{}n b 是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合{}*|,N k k M k a b k ==∈，给出下列4个结论：①若{}n a 与{}n b 均为等差数列，则M 中最多有1个元素；②若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则M 中最多有2个元素；③若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，则M 中最多有3个元素；④若{}n a 为递增数列，{}n b 为递减数列，则M 中最多有1个元素.三、解答题16．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，A ∠为钝角，7a =，sin 2cos B B =．(1)求A ∠；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：7b =；条件②：13cos 14B =；条件③：sin c A =注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．PE AD ⊥，2PE DE ==．(1)若F 为线段PE 中点，求证：//BF 平面PCD ．因为2ED =，故1AE =，故故四边形AECB 为平行四边形，故而,PE ED ⊂平面PAD ，故故建立如图所示的空间直角坐标系，则()()0,1,0,1,1,0,A B C --18．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：赔偿次数01234单数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.E X；（i）记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望()（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下E X估计值的大小．（结论不要求证明）一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中()故()0.1220.40320.40.1252E Y =+-=（万元），因此()()E X E Y <.19．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点()(0,t t >且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点,A B ，过点A 和()0,1C 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；从而设(:,AB y kx t k =+联立22142x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，化简并整理得(22Δ168k t =-20．设函数()()()ln 10f x x k x k =++≠，直线l 是曲线()y f x =在点()()(),0t f t t >处的切线．(1)当1k =-时，求()f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点()0,0.(3)当1k =时，设点()()(),0A t f t t >，()()0,C f t ，()0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S =△△成立？若存在，这样的点A 有几个？1.09ln31.10<<1.60ln51.61<<1.94ln71.95<<21．已知集合(){}{}{}{}{},,,1,2,3,4,5,6,7,8,M i j k w i j k w i j k w =∈∈∈∈+++且为偶数．给定数列128:,,,A a a a ，和序列12:,,s T T T Ω ，其中()(),,,1,2,,t t t t t T i j k w M t s =∈= ，对数列A 进行如下变换：将A 的第1111,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到的数列记作()1T A ；将()1T A 的第2222,,,i j k w 项均加1，其余项不变，得到数列记作()21T T A ；……；以此类推，得到()21s T T T A ，简记为()A Ω．(1)给定数列:1,3,2,4,6,3,1,9A 和序列()()():1,3,5,7,2,4,6,8,1,3,5,7Ω，写出()A Ω；(2)是否存在序列Ω，使得()A Ω为123456782,6,4,2,8,2,4,4a a a a a a a a ++++++++，若存在，写出一个符合条件的Ω；若不存在，请说明理由；(3)若数列A 的各项均为正整数，且1357a a a a +++为偶数，求证：“存在序列Ω，使得()A Ω的各项都相等”的充要条件为“12345678a a a a a a a a +=+=+=+”．【答案】(1)():3,4,4,5,8,4,3,10A Ω(2)不存在符合条件的Ω，理由见解析(3)见解析【分析】解法一：利用反证法，假设存在符合条件的Ω，由此列出方程组，进一步说明方程组无解即可；解法二：对于任意序列，所得数列之和比原数列之和多4，可知序列Ω共有8项，可知：()()2122128,1,2,3,4n n n n b b a a n --+-+==，检验即可；解法一：分充分性和必要性两方面论证；解法二：若12345678a a a a a a a a +=+=+=+，分类讨论1357,,,a a a a 相等得个数，结合题意证明即可；若存在序列Ω，使得()ΩA 为常数列。
2023北京卷高考数学试题真题及参考答案解析(图片版)
2023北京卷高考数学试题真题及参考答案解析(图片版)2023北京高考数学试题2023北京高考数学试题参考答案2023北京高考时间具体是哪天2023年北京高考全国统考于6月7日开始举行，北京高考具体时间及科目安排如下：语文：6月7日09:00-11:30数学：6月7日15:00-17:00英语(笔试):6月8日15:00-16:30其他外语(含听力考试):6月8日15:00-17:00物理:6月9日08:00-09:30思想政治:6月9日11:00-12:30化学:6月9日15:30-17:00历史:6月10日08:00-09:30生物:6月10日11:00-12:30地理:6月10日15:30-17:002023年北京高考总分及各科满分北京2023年高考采取的是3+3模式，总分是750分。
而第一个“3”是指语文、数学(文/理)、外语是3门必考科目，每门满分是150分，而第二个“3”是指从物理、历史、政治、地理、生物、化学六门任意选择3门，每门科目满分是100分。
语文、数学、外语以原始分成绩计入总分，物理、历史、政治、地理、生物、化学以等级换算分计入总分。
2023北京高考难度全国排名第几根据往年经验，2023北京高考不难，预计高考难度全国排名第31。
全北京就4万+的考生，但是一本、985、211高校数量雄踞全国前列，清华北大录取率更是夸张。
4万+北京考生中，清北就录取了500多个学生，而近80万广东考生中，清北只录取不到300人，这差距的确挺大。
未来2-3年，北京的高考优势、友好程度，也是显而易见，全国第一。
但是北京和上海面临同样的问题，即人口大量涌入。
2000年以来，出生人口大量增加，现在的高考考生还是4万多人，但10年后，或许就会超过10万人。
2024北京高考语文+数学试卷(真题+答案)
2024年北京市高考语文试题一、本大题共5小题,共18分。
阅读下面材料,完成1-5题。
材料一气候的波动变化对文明发展产生了重要影响，重建古代气候变化过程具有重要意义。
由于缺乏合适的温度代用指标，我国古温度重建结果分辨率较低,且多以定性记录为主，定量的古温度重建相对较少。
全球历史温度变化曲线的重建主要借助冰芯、深海沉积物和树轮的记录，而我国是传统的农耕文明社会，陆地上的沉积记录才能更好地反映我国历史气候变化。
随着技术的革新,微生物分子化石的研究蓬勃发展,微生物分子化石中的一类化合物——brGDGTs(支链甘油二烷基甘油四醚酯)——被用于古气候研究。
brGDGTs是细菌细胞膜的组成部分，其分子结构中有4到6个甲基和0到2个环戊烷。
如同人天冷需要加衣、天热需要减衣一样,寒冷的气候条件下细菌倾向于合成更多的甲基,而温暖的环境下合成的甲基数量则减少。
微生物活体死亡后,细胞膜中的brGDGTs等大分子能在地质体中长期保留下来,可以通过brGDGTs结构中的甲基个数推断当时的温度。
六盘山北联池靠近中华文明核心区，由中国科学院、南京大学、兰州大学等单位的研究人员组成的联合团队选取这里的沉积物样品，借助brGDGTs，通过定量分析，重建了5000年以来我国北方更高分辨率的暖季(4月至10月)温度变化过程。
结合山西某地沉积物的孢粉重建的降水记录，联合团队获得了我国北方地区5000年以来完整的气候演变历程。
从重建的温度与降水结果来看，我国北方地区的气候呈现出不断变冷、变干的大趋势。
大约前3000年变化缓慢,之后的2000年变化加速。
这主要与太阳辐射变化有关，太阳辐射能量在过去5000年间持续下降。
另外，过去2000年以来的快速冷干现象还可能与太阳活动、局部火山活动等因素有关。
而且这一时期内区域植被中木本植物逐渐减少,导致地表反射率上升,也可能加快了气候变冷变干的速度。
研究人员将气候重建的结果与中国历史朝代相对应，发现不同历史时期的气候呈现出冷暖交替的特点。
2024年北京高考数学真题(详解版)
2024年北京⾼考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________⼀、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】A【分析】直接根据并集含义即可得到答案.【详解】由题意得，故选：A.2．已知，则（）．A．B．C．D．1【答案】C【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.【详解】由题意得，故选：C.3．求圆的圆⼼到的距离（）A．B．2C．D．【答案】C【分析】求出圆⼼坐标，再利⽤点到直线距离公式即可.【详解】由题意得，即，则其圆⼼坐标为，则圆⼼到直线的距离为，故选：C.4．的⼆项展开式中的系数为（）A．15B．6C．D．【答案】B【分析】写出⼆项展开式，令，解出然后回代⼊⼆项展开式系数即可得解.【详解】的⼆项展开式为，令，解得，故所求即为.故选：B.5．已知向量，，则“”是“或”的（）条件．A．必要⽽不充分条件B．充分⽽不必要条件C．充分且必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.【详解】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成⽴；若，即，⽆法得出或，例如，满⾜，但且，可知充分性不成⽴；综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.故选：A.6．已知，，，，则（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据三⻆函数最值分析周期性，结合三⻆函数最⼩正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：为的最⼩值点，为的最⼤值点，则，即，且，所以.故选：B.7．记⽔的质量为，并且d越⼤，⽔质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（）A．B．C．若，则；若，则；D．若，则；若，则；【答案】C【分析】根据题意分析可得，讨论与1的⼤⼩关系，结合指数函数单调性分析判断.【详解】由题意可得，解得，若，则，可得，即；若，则，可得；若，则，可得，即；结合选项可知C正确，ABD错误；故选：C.8．已知以边⻓为4的正⽅形为底⾯的四棱锥，四条侧棱分别为4，4，，，则该四棱锥的⾼为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平⾯平⾯，可知平⾯，利⽤等体积法求点到⾯的距离.【详解】如图，底⾯为正⽅形，当相邻的棱⻓相等时，不妨设，分别取的中点，连接，则，且，平⾯，可知平⾯，且平⾯，所以平⾯平⾯，过作的垂线，垂⾜为，即，由平⾯平⾯，平⾯，所以平⾯，由题意可得：，则，即，则，可得，所以四棱锥的⾼为.当相对的棱⻓相等时，不妨设，，因为，此时不能形成三⻆形，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.9．已知，是函数图象上不同的两点，则下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故A正确，B错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误，故选：A.10．若集合表示的图形中，两点间最⼤距离为d、⾯积为S，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平⾯区域，结合图形分析求解即可.【详解】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平⾯区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最⼤值；阴影部分⾯积.故选：C.【点睛】⽅法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到⼼中有图，⻅数想图，以开拓⾃⼰的思维．使⽤数形结合法的前提是题⽬中的条件有明确的⼏何意义，解题时要准确把握条件、结论与⼏何图形的对应关系，准确利⽤⼏何图形中的相关结论求解．⼆、填空题11．已知抛物线，则焦点坐标为．【答案】【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.【详解】由题意抛物线的标准⽅程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.12．已知，且α与β的终边关于原点对称，则的最⼤值为．【答案】/【分析】⾸先得出，结合三⻆函数单调性即可求解最值.【详解】由题意，从⽽，因为，所以的取值范围是，的取值范围是，当且仅当，即时，取得最⼤值，且最⼤值为.故答案为：.13．已知双曲线，则过且和双曲线只有⼀个交点的直线的斜率为．【答案】【分析】⾸先说明直线斜率存在，然后设出⽅程，联⽴双曲线⽅程，根据交点个数与⽅程根的情况列式即可求解.【详解】联⽴与，解得，这表明满⾜题意的直线斜率⼀定存在，设所求直线斜率为，则过点且斜率为的直线⽅程为，联⽴，化简并整理得：，由题意得或，解得或⽆解，即，经检验，符合题意.故答案为：.14．已知三个圆柱的体积为公⽐为10的等⽐数列．第⼀个圆柱的直径为65mm，第⼆、三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的⾼为230mm，求前两个圆柱的⾼度分别为．【答案】【分析】根据体积为公⽐为10的等⽐数列可得关于⾼度的⽅程组，求出其解后可得前两个圆柱的⾼度.【详解】设第⼀个圆柱的⾼为，第⼆个圆柱的⾼为，则，故，，故答案为：.15．已知，，不为常数列且各项均不相同，下列正确的是.①，均为等差数列，则M中最多⼀个元素；②，均为等⽐数列，则M中最多三个元素；③为等差数列，为等⽐数列，则M中最多三个元素；④单调递增，单调递减，则M中最多⼀个元素.【答案】①③④【分析】利⽤两类数列的散点图的特征可判断①④的正误，利⽤反例可判断②的正误，结合通项公式的特征及反证法可判断③的正误.【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上，⽽两条直线⾄多有⼀个公共点，故中⾄多⼀个元素，故①正确.对于②，取则均为等⽐数列，但当为偶数时，有，此时中有⽆穷多个元素，故②错误.对于③，设，，若中⾄少四个元素，则关于的⽅程⾄少有4个不同的正数解，若，则由和的散点图可得关于的⽅程⾄多有两个不同的解，⽭盾；若，考虑关于的⽅程奇数解的个数和偶数解的个数，当有偶数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个偶数解，且有两个偶数解时，否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个偶数解，当有奇数解，此⽅程即为，⽅程⾄多有两个奇数解，且有两个奇数解时即否则，因单调性相反，⽅程⾄多⼀个奇数解，因为，不可能同时成⽴，故不可能有4个不同的正数解，故③正确.对于④，因为为单调递增，为递减数列，前者散点图呈上升趋势，后者的散点图呈下降趋势，两者⾄多⼀个交点，故④正确.故答案为：①③④【点睛】思路点睛：对于等差数列和等⽐数列的性质的讨论，可以利⽤两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等⽐数列的公⽐可能为负，此时要注意合理转化.三、解答题16．在△ABC中，，A为钝⻆，．(1)求；(2)从条件①、条件②和条件③这三个条件中选择⼀个作为已知，求△ABC的⾯积．①；②；③．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第⼀个解答计分．【答案】(1)；(2)选择①⽆解；选择②和③△ABC⾯积均为.【分析】（1）利⽤正弦定理即可求出答案；（2）选择①，利⽤正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择②，⾸先求出，再代⼊式⼦得，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；选择③，⾸先得到，再利⽤正弦定理得到，再利⽤两⻆和的正弦公式即可求出，最后利⽤三⻆形⾯积公式即可；【详解】（1）由题意得，因为为钝⻆，则，则，则，解得，因为为钝⻆，则.（2）选择①，则，因为，则为锐⻆，则，此时，不合题意，舍弃；选择②，因为为三⻆形内⻆，则，则代⼊得，解得，,则.选择③，则有，解得，则由正弦定理得，即，解得，因为为三⻆形内⻆，则，则，则17．已知四棱锥P-ABCD，，，，，E是上⼀点，．(1)若F是PE中点，证明：平⾯．(2)若平⾯，求平⾯与平⾯夹⻆的余弦值．【答案】(1)证明⻅解析(2)【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平⾏四边形，由线⾯平⾏的判定定理可得平⾯.（2）建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，求出平⾯和平⾯的法向量后可求夹⻆的余弦值.【详解】（1）取的中点为，接，则，⽽，故，故四边形为平⾏四边形，故，⽽平⾯，平⾯，所以平⾯.（2）因为，故，故，故四边形为平⾏四边形，故，所以平⾯，⽽平⾯，故，⽽，故建⽴如图所示的空间直⻆坐标系，则，则设平⾯的法向量为，则由可得，取，设平⾯的法向量为，则由可得，取，故，故平⾯与平⾯夹⻆的余弦值为18．已知某险种的保费为万元，前3次出险每次赔付万元，第4次赔付万元赔偿次数01234单数在总体中抽样100单，以频率估计概率：(1)求随机抽取⼀单，赔偿不少于2次的概率；(2)（i）⽑利润是保费与赔偿⾦额之差．设⽑利润为，估计的数学期望；（ⅱ）若未赔偿过的保单下⼀保险期的保费下降，已赔偿过的增加．估计保单下⼀保险期⽑利润的数学期望．【答案】(1)(2)(i)0.122万元(ii)万元【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，⽤频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从⽽可求.（ⅱ）先算出下⼀期保费的变化情况，结合（1）的结果可求.【详解】（1）设为“随机抽取⼀单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得.（2）（ⅰ）设为赔付⾦额，则可取，由题设中的统计数据可得，，，，故故（万元）.（ⅱ）由题设保费的变化为，故（万元）19．已知椭圆⽅程C：，焦点和短轴端点构成边⻓为2的正⽅形，过的直线l与椭圆交于A，B，，连接AC交椭圆于D．(1)求椭圆⽅程和离⼼率；(2)若直线BD的斜率为0，求t．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，进⼀步得，由此即可得解；（2）说明直线斜率存在，设，，联⽴椭圆⽅程，由⻙达定理有，⽽，令，即可得解.【详解】（1）由题意，从⽽，所以椭圆⽅程为，离⼼率为；（2）显然直线斜率存在，否则重合，直线斜率不存在与题意不符，同样直线斜率不为0，否则直线与椭圆⽆交点，⽭盾，从⽽设，，联⽴，化简并整理得，由题意，即应满⾜，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线⽅程中令，得，所以，此时应满⾜，即应满⾜或，综上所述，满⾜题意，此时或.20．已知在处切线为l．(1)若切线l的斜率，求单调区间；(2)证明：切线l不经过；(3)已知，，，，其中，切线l与y轴交于点B时．当，符合条件的A的个数为？（参考数据：，，）【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为.(2)证明⻅解析(3)2【分析】（1）直接代⼊，再利⽤导数研究其单调性即可；（2）写出切线⽅程，将代⼊再设新函数，利⽤导数研究其零点即可；（3）分别写出⾯积表达式，代⼊得到，再设新函数研究其零点即可.【详解】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线⽅程为，将代⼊则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在⽆零点，与假设⽭盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义⽭盾.由（2）知.所以，则切线的⽅程为，令，则.，则，，记，满⾜条件的有⼏个即有⼏个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，，所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有⼀个零点，在上必有⼀个零点，综上所述，有两个零点，即满⾜的有两个.【点睛】关键点点睛：本题第⼆问的关键是采⽤的是反证法，转化为研究函数零点问题. 21．设集合．对于给定有穷数列，及序列，，定义变换：将数列的第项加1，得到数列；将数列的第列加，得到数列…；重复上述操作，得到数列，记为．若为偶数，证明：“存在序列，使得为常数列”的充要条件为“”．【答案】证明⻅解析【分析】分充分性和必要性两⽅⾯论证.【详解】我们设序列为，特别规定.必要性：若存在序列，使得为常数列.则，所以.根据的定义，显然有，这⾥，.所以不断使⽤该式就得到，，必要性得证.充分性：若.由已知，为偶数，⽽，所以也是偶数.我们设是通过合法的序列的变换能得到的所有可能的数列中，使得最⼩的⼀个.上⾯已经证明，这⾥，.从⽽由可得.同时，由于总是偶数，所以和的奇偶性保持不变，从⽽和都是偶数.下⾯证明不存在使得.假设存在，根据对称性，不妨设，，即.情况1：若，则由和都是偶数，知.对该数列连续作四次变换后，新的相⽐原来的减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2：若，不妨设.情况2-1：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾；情况2-2：如果，则对该数列连续作两次变换后，新的相⽐原来的⾄少减少，这与的最⼩性⽭盾.这就说明⽆论如何都会导致⽭盾，所以对任意的都有.假设存在使得，则是奇数，所以都是奇数，设为.则此时对任意，由可知必有.⽽和都是偶数，故集合中的四个元素之和为偶数，对该数列进⾏⼀次变换，则该数列成为常数列，新的等于零，⽐原来的更⼩，这与的最⼩性⽭盾.综上，只可能，⽽，故是常数列，充分性得证.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对新定义的理解，以及对其本质的分析.。
2023年北京市高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合M={x|x+2≥0}，N={x|x−1<0}.则M∩N=( )A. {x|−2≤x<1}B. {x|−2<x≤1}C. {x|x≥−2}D. {x|x<1}2.在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√ 3)，则z的共轭复数z−=( )A. 1+√ 3iB. 1−√ 3iC. −1+√ 3iD. −1−√ 3i3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足a⃗⃗+b⃗⃗=(2,3)，a⃗⃗−b⃗⃗=(−2,1)，则|a⃗⃗|2−|b⃗⃗|2=( )A. −2B. −1C. 0D. 14.下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−lnxB. f(x)=12x C. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|5.(2x−1x)5的展开式中，x的系数是( )A. −40B. 40C. −80D. 806.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x=−3的距离为5，则|MF|=( )A. 7B. 6C. 5D. 47.在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )A. π6B. π3 C. 2π3D. 5π68.若xy≠0，则“x+y=0”是“xy +yx=−2”的( )第1页，共19页A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9.刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25m，BC=AD=10m，且等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为√ 14.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则所需灯带的长度为( )5A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m(a n−6)3+6，下列说法正确的是( )10.数列{a n}满足a n+1=14A. 若a1=3，则{a n}是递减数列，∃M∈R，使得n>m时，a n>MB. 若a1=5，则{a n}是递增数列，∃M≤6，使得n>m时，a n<MC. 若a1=7，则{a n}是递减数列，∃M>6，使得n>m时，a n>MD. 若a1=9，则{a n}是递增数列，∃M∈R，使得n>m时，a n<M第II卷（非选择题）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
2022年北京高考数学(文科)试题及答案
2022年北京高考数学（文科）试题及答案文科数学第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1.若集合A0,1,2,4，B1,2,3，则AB （）A.0,1,2,3,4B.0,4C.1,2D.32.下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）A.ye某B.y某C.yln某D.y某3.已知向量a2,4，b1,1，则2ab（）A.5,7B.5,9C.3,7D.3,94.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A.1B.3C.7D.15开始否是输出结束5.设a、b是实数，则“ab”是“ab”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件226log2某，在下列区间中，包含f某零点的区间是（）某A.0,1B.1,2C.2,4D.4,6.已知函数f某7.已知圆C:某3y41和两点Am,0，Bm,0m0，若圆C上存在点22P，使得APB90，则m的最大值为（）A.7B.6C.5D.48.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足的函数关系pat2btc（a、b、c是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（）A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟p0.80.70.5O二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.若某ii12i某R，则某.10.设双曲线C的两个焦点为2,0，345t第2部分（非选择题共110分）2,0，一个顶点式1,0，则C的方程为.11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为.22正（主）视图111侧（左）视图俯视图12.在ABC中，a1，b2，coC1，则c；inA.4y113.若某、y满足某y10，则z3某y的最小值为.某y1014.顾客请一位工艺师把A、B两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，学科网再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间粗加工精加工原料915原料A6原料B21则最短交货期为工作日.三、解答题共6小题，共80分。
2023年北京市高考数学试卷含答案解析
绝密★启用前2023年北京市高考数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知集合M=*x|x+2≥0+，N=*x|x−1<0+.则M∩N=( )A. *x|−2≤x<1+B. *x|−2<x≤1+C. *x|x≥−2+D. *x|x<1+2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−1,√ 3)，则z的共轭复数z−=( )A. 1+√ 3iB. 1−√ 3iC. −1+√ 3iD. −1−√ 3i3. 已知向量a⃗，b⃗ 满足a⃗+b⃗ =(2,3)，a⃗−b⃗ =(−2,1)，则|a⃗|2−|b⃗ |2=( )A. −2B. −1C. 0D. 14. 下列函数中在区间(0,+∞)上单调递增的是( )A. f(x)=−lnxB. f(x)=12x C. f(x)=−1xD. f(x)=3|x−1|5. (2x−1x)5的展开式中，x的系数是( )A. −40B. 40C. −80D. 806. 已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M在C上，若M到直线x=−3的距离为5，则|MF|=( )A. 7B. 6C. 5D. 47. 在△ABC中，(a+c)(sinA−sinC)=b(sinA−sinB)，则∠C=( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π68. 若xy≠0，则“x+y=0”是“x y+y x=−2”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 刍曹是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某屋顶可视为五面体ABCDEF，四边形ABFE和CDEF是全等的等腰梯形，△ADE和△BCF是全等的等腰三角形.若AB=25m，BC=AD=10m，且等腰梯形所在的面、.为这个模型的轮廓安装灯带(不计损耗)，则等腰三角形所在的面与底面夹角的正切值均为√ 145所需灯带的长度为( )A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m10. 数列*a n+满足a n+1=1(a n−6)3+6，下列说法正确的是( )4A. 若a1=3，则*a n+是递减数列，∃M∈R，使得n>m时，a n>MB. 若a1=5，则*a n+是递增数列，∃M≤6，使得n>m时，a n<MC. 若a1=7，则*a n+是递减数列，∃M>6，使得n>m时，a n>MD. 若a1=9，则*a n+是递增数列，∃M∈R，使得n>m时，a n<M第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知函数f(x)=4x+log2x，则f(1)=______ ．212. 已知双曲线C的焦点为(−2,0)和(2,0)，离心率为√ 2，则C的方程为______ ．13. 已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α=______ ，β=______ ．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就出现了类似于砝码的用来测量物体质量的“环权”.已知9枚环权的质量(单位：铢)从小到大构成项数为9的数列*a n+，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a 1=1，a 5=12，a 9=192，则a 7= ______ ，数列*a n +的所有项的和为______ ．15. 设a >0，函数f(x)={x +2,x <−a,√ a 2−x 2,−a ≤x ≤a,−√ x −1,x >a.给出下列四个结论，正确的序号为______ ． ①f(x)在区间(a −1,+∞)上单调递减； ②当a ≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x 1,f(x 1))(x 1≤a)，N(x 2,f(x 2))(x 2>a)，则|MN|>1；④设P(x 3,f(x 3))(x 3<−a)，Q(x 4,f(x 4))(x 4≥−a)，若|PQ|存在最小值，则a 的取值范围时(0,12-.三、解答题（本大题共6小题，共85.0分。
2023年北京市高考数学真题及答案
2023年北京市高考数学真题及答案一、选择题1. 已知函数f(x)=2x+1，g(x)=3x-2，则f(g(3))的值为多少？A. 1B. 4C. 5D. 11答案：C2. 在平面直角坐标系中，点A(-3, 4)和B(1, -2)分别为线段AB的两个端点，求线段AB的中点坐标。
A. (-1, 1)B. (-2, 2)C. (2, -1)D. (0, 0)答案：A3. 若等式x²+ 5x + k = 0恰有两个相等实数根，则k的取值范围是？A. k > 5B. k ≥ 5C. k < 5D. k ≤ 5答案：D4. 设集合A = {x | -2 ≤ x < 3}，集合B = {x | x > 0}，则A ∪ B的取值范围是？A. (-2, 3)B. (-2, 0) ∪ (0, 3)C. (-2, 3]D. [-2, 3)答案：C5. 已知正整数a、b满足a² + b² = 280，且a < b，则a的最大可能值是多少？A. 8B. 12C. 16D. 20答案：C二、填空题1. 半径为5cm的圆形的面积是多少？答案：78.5 cm²2. 设实数集合A = {x | 2x + 3 > 0}，则A的取值范围是________。
答案：(-∞, -1.5)3. 已知函数f(x) = log₂x，若f(a) = 2，则实数a的值是________。
答案：4三、解答题1. 已知直线L的斜率为2/3，且L通过点(1, 2)，求直线L的方程。
解答：设直线L的方程为y = kx + b，其中斜率k = 2/3。
由已知直线L通过点(1, 2)，代入得2 = (2/3) * 1 + b，解方程得b = 4/3。
故直线L的方程为y = (2/3)x + 4/3。
2. 某班级共有40人，男生数是女生数的2倍，求男女生各有多少人？解答：设男生人数为x，女生人数为2x。
【高考真题】2023年北京高考数学卷
【高考真题】2023年北京高考数学卷10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的.1．已知集合M ={x ∣x +2≥0}，N ={x ∣x −1<0}，则M ∩N =（ ）A ．{x ∣−2≤x <1}B ．{x ∣−2<x ≤1}C ．{x ∣x ≥−2}D ．{x ∣x <1}2．在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(−1，√3)，则z 的共轭复数z ̅=（ ）A ．1+√3iB ．1−√3iC ．−1+√3iD ．−1−√3i3．已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足a ⃗ +b ⃗ =(2，3)，a ⃗ −b ⃗ =(−2，1)，则|a |2−|b⃗ |2=（ ） A ．−2 B ．−1 C ．0 D ．14．下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是（ ）A ．f(x)=−lnxB ．f(x)=12xC ．f(x)=−1xD ．f(x)=3|x−1|5．(2x −1x)5的展开式中x 的系数为（ ）．A ．−80B ．−40C ．40D ．806．已知抛物线C ：y 2=8x 的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线x =−3的距离为5，则|MF|=（ ） A ．7B ．6C ．5D ．47．在△ABC 中，(a +c)(sinA −sinC)=b(sinA −sinB)，则∠C =（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．若xy ≠0，则“x +y =0”是“y x +xy =−2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形．若AB =25m ，BC =AD =10m ，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面ABCD的夹角的正切值均为√145，则该五面体的所有棱长之和为（）A．102m B．112m C．117m D．125m10．已知数列{a n}满足a n+1=14(a n−6)3+6(n=1，2，3，⋯)，则（）A．当a1=3时，{a n}为递减数列，且存在常数M≤0，使得a n>M恒成立B．当a1=5时，{a n}为递增数列，且存在常数M≤6，使得a n<M恒成立C．当a1=7时，{a n}为递减数列，且存在常数M>6，使得a n>M恒成立D．当a1=9时，{a n}为递增数列，且存在常数M>0，使得a n<M恒成立5小题，每小题5分，共25分．11．已知函数f(x)=4x+log2x，则f(12)=．12．已知双曲线C的焦点为(−2，0)和(2，0)，离心率为√2，则C的方程为．13．已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ．能说明p为假命题的一组α，β的值为α=，β=．14．我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{a n}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a1=1，a5=12，a9=192，则a7=；数列{a n}所有项的和为．15．设a>0，函数f(x)={x+2，x<−a，√a2−x2，−a≤x≤a，−√x−1，x>a.，给出下列四个结论：①f(x)在区间(a−1，+∞)上单调递减；②当a≥1时，f(x)存在最大值；③设M(x1，f(x1))(x1≤a)，N(x2，f(x2))(x2>a)，则|MN|>1；④设P(x3，f(x3))(x3<−a)，Q(x4，f(x4))(x4≥−a)．若|PQ|存在最小值，则a的取值范围是(0，12]．其中所有正确结论的序号是 ．6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过16．如图，在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA =AB =BC =1，PC =√3．（1）求证：BC ⊥平面PAB ； （2）求二面角A −PC −B 的大小．17．设函数f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ(ω>0，|φ|<π2)．（1）若f(0)=−√32，求φ的值．（2）已知f(x)在区间[−π3，2π3]上单调递增，f(2π3)=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在，求ω，φ的值．条件①：f(π3)=√2； 条件②：f(−π3)=−1；条件③：f(x)在区间[−π2，−π3]上单调递减．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18．为研究某种农产品价格变化规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．用频率估计概率．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√53，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是E的左、右顶点，|AC|=4．（1）求E的方程；（2）设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线BC交于点M，直线PA与直线y=−2交于点N．求证：MN//CD．20．设函数f(x)=x−x3e ax+b，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=−x+1．（1）求a，b的值；（2）设函数g(x)=f′(x)，求g(x)的单调区间；（3）求f(x)的极值点个数．21．已知数列{a n}，{b n}的项数均为m(m>2)，且a n，b n∈{1，2，⋯，m}，{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n，并规定A0=B0=0．对于k∈{0，1，2，⋯，m}，定义r k=max{i∣B i≤A k，i∈{0，1，2，⋯，m}}，其中，maxM表示数集M中最大的数.（1）若a1=2，a2=1，a3=3，b1=1，b2=3，b3=3，求r0，r1，r2，r3的值；（2）若a1≥b1，且2r j≤r j+1+r j−1，j=1，2，⋯，m−1，，求r n；（3）证明：存在p，q，s，t∈{0，1，2，⋯，m}，满足p>q，s>t，使得A p+B t=A q+B s．答案解析部分1．【答案】A 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】D 6．【答案】D 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】C 10．【答案】B 11．【答案】112．【答案】x 22−y 22=113．【答案】9π4；π3 14．【答案】48；384 15．【答案】②③16．【答案】（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA ⊥BC ，同理PA ⊥AB ， 所以△PAB 为直角三角形，又因PB =√PA 2+AB 2=√2，BC =1，PC =√3，所以PB 2+BC 2=PC 2，则△PBC 为直角三角形，故BC ⊥PB ， 又因为BC ⊥PA ，PA ∩PB =P ， 所以BC ⊥平面PAB .（2）由（1）BC ⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC ⊥AB ，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，0)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1，0)，PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，1，−1)， 设平面PAC 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x 1，y 1，z 1)，则{m ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗=0m ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{z 1=0，x 1+y 1=0， 令x 1=1，则y 1=−1，所以m ⃗⃗⃗ =(1，−1，0)，设平面PBC 的法向量为n ⃗ =(x 2，y 2，z 2)，则{n ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{y 2=0x 2+y 2−z 2=0，令x 2=1，则z 2=1，所以n ⃗ =(1，0，1)，所以cos⟨m ⃗⃗ ，n ⃗ ⟩=m ⃗⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗ |m ⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12×2=12，又因为二面角A −PC −B 为锐二面角，所以二面角A −PC −B 的大小为π3.17．【答案】（1）因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ，ω>0，|φ|<π2所以f(0)=sin(ω⋅0)cosφ+cos(ω⋅0)sinφ=sinφ=−√32，因为|φ|<π2，所以φ=−π3.（2）因为f(x)=sinωxcosφ+cosωxsinφ，ω>0，|φ|<π2，所以f(x)=sin(ωx +φ)，ω>0，|φ|<π2，所以f(x)的最大值为1，最小值为−1.若选条件①：因为f(x)=sin(ωx +φ)的最大值为1，最小值为−1，所以f(π3)=√2无解，故条件①不能使函数f(x)存在；若选条件②：因为f(x)在[−π3，2π3]上单调递增，且f(2π3)=1，f(−π3)=−1所以T 2=2π3−(−π3)=π，所以T =2π，ω=2πT=1， 所以f(x)=sin(x +φ)，又因为f(−π3)=−1，所以sin(−π3+φ)=−1， 所以−π3+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ，所以φ=−π6+2kπ，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ=−π6. 所以ω=1，φ=−π6；若选条件③：因为f(x)在[−π3，2π3]上单调递增，在[−π2，−π3]上单调递减，所以f(x)在x =−π3处取得最小值−1，即f(−π3)=−1.以下与条件②相同．18．【答案】（1）根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的，根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：1640=0.4（2）在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是C 42×0.42×C 21×0.35×0.25=0.168（3）由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次， 因此估计第41次不变的概率最大.19．【答案】（1）依题意，得e =c a =√53，则c =√53a ，又A ，C 分别为椭圆上下顶点，|AC|=4，所以2b =4，即b =2， 所以a 2−c 2=b 2=4，即a 2−59a 2=49a 2=4，则a 2=9， 所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1.（2）因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A(0，2)，C(0，−2)，B(−3，0)，D(3，0)，因为P 为第一象限E 上的动点，设P(m ，n)(0<m <3，0<n <2)，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2−3−0=−23，则直线BC 的方程为y =−23x −2，k PD =n−0m−3=nm−3，则直线PD 的方程为y =n m−3(x −3)，联立{y =−23x −2y =n m−3(x −3)，解得{x =3(3n−2m+6)3n+2m−6y =−12n 3n+2m−6，即M(3(3n−2m+6)3n+2m−6，−12n 3n+2m−6)， 而k PA =n−2m−0=n−2m ，则直线PA 的方程为y =n−2mx +2， 令y =−2，则−2=n−2m x +2，解得x =−4m n−2，即N(−4mn−2，−2)，又m 29+n 24=1，则m 2=9−9n 24，8m 2=72−18n 2， 所以k MN =−12n 3n+2m−6+23(3n−2m+6)3n+2m−6−−4mn−2=(−6n+4m−12)(n−2)(9n−6m+18)(n−2)+4m(3n+2m−6)=−6n 2+4mn −8m +249n 2+8m 2+6mn −12m −36=−6n 2+4mn −8m +249n 2+72−18n 2+6mn −12m −36=−6n 2+4mn−8m+24−9n 2+6mn−12m+36=2(−3n 2+2mn−4m+12)3(−3n 2+2mn−4m+12)=23，又k CD =0+23−0=23，即k MN =k CD ， 显然，MN 与CD 不重合，所以MN//CD .20．【答案】（1）因为f(x)=x −x 3e ax+b ，x ∈R ，所以f ′(x)=1−(3x 2+ax 3)e ax+b ，因为f(x)在(1，f(1))处的切线方程为y =−x +1， 所以f(1)=−1+1=0，f ′(1)=−1， 则{1−13×e a+b =01−(3+a)e a+b =−1，解得{a =−1b =1，所以a =−1，b =1.（2）由（1）得g(x)=f ′(x)=1−(3x 2−x 3)e −x+1(x ∈R)， 则g ′(x)=−x(x 2−6x +6)e −x+1，令x2−6x+6=0，解得x=3±√3，不妨设x1=3−√3，x2=3+√3，则0<x1<x2，易知e−x+1>0恒成立，所以令g′(x)<0，解得0<x<x1或x>x2；令g′(x)>0，解得x<0或x1<x<x2；所以g(x)在(0，x)，(x2，+∞)上单调递减，在(−∞，0)，(x1，x2)上单调递增，1即g(x)的单调递减区间为(0，3−√3)和(3+√3，+∞)，单调递增区间为(−∞，0)和(3−√3，3+√3).（3）由（1）得f(x)=x−x3e−x+1(x∈R)，f′(x)=1−(3x2−x3)e−x+1，由（2）知f′(x)在(0，x1)，(x2，+∞)上单调递减，在(−∞，0)，(x1，x2)上单调递增，当x<0时，f′(−1)=1−4e2<0，f′(0)=1>0，即f′(−1)f′(0)<0所以f′(x)在(−∞，0)上存在唯一零点，不妨设为x3，则−1<x3<0，此时，当x<x3时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x3<x<0时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；所以f(x)在(−∞，0)上有一个极小值点；当x∈(0，x)时，f′(x)在(0，x1)上单调递减，1则f′(x)=f′(3−√3)<f′(1)=1−2<0，故f′(0)f′(x1)<0，1所以f′(x)在(0，x1)上存在唯一零点，不妨设为x4，则0<x4<x1，此时，当0<x<x4时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x4<x<x1时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；所以f(x)在(0，x)上有一个极大值点；1当x∈(x，x2)时，f′(x)在(x1，x2)上单调递增，1则f′(x)=f′(3+√3)>f′(3)=1>0，故f′(x1)f′(x2)<0，2所以f′(x)在(x1，x2)上存在唯一零点，不妨设为x5，则x1<x5<x2，此时，当x1<x<x5时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x5<x<x2时，f′(x)<0，则f(x)单调递增；所以f(x)在(x，x2)上有一个极小值点；1当x>x=3+√3>3时，3x2−x3=x2(3−x)<0，2所以f′(x)=1−(3x2−x3)e−x+1>0，则f(x)单调递增，所以f(x)在(x2，+∞)上无极值点；综上：f(x)在(−∞，0)和(x1，x2)上各有一个极小值点，在(0，x1)上有一个极大值点，共有3个极值点.21．【答案】（1）由题意可知：A0=0，A1=2，A2=3，A3=6，B0=0，B1=1，B2=3，B3= 6，当k=0时，则B0=A0=0，B i>A0，i=1，2，3，故r0=0；当k=1时，则B0<A1，B1<A1，B i>A1，i=2，3，故r1=1；当k=2时，则B i≤A2，i=0，1，2，B3>A2，故r2=2；当k=3时，则B i≤A3，i=0，1，2，3，故r3=3；综上所述：r0=0，r1=1，r2=2，r3=3.（2）由题意可知：r n≤m，且r n∈N，因为a n≥1，b n≥1，则A n≥a1=1，B n≥b1=1，当且仅当n=1时，等号成立，所以r0=0，r1=1，又因为2r i≤r i−1+r i+1，则r i+1−r i≥r i−r i−1，即r m−r m−1≥r m−1−r m−2≥⋅⋅⋅≥r1−r0=1，可得r i+1−r i≥1，反证：假设满足r n+1−r n>1的最小正整数为1≤j≤m−1，当i≥j时，则r i+1−r i≥2；当i≤j−1时，则r i+1−r i=1，则r m=(r m−r m−1)+(r m−1−r m−2)+⋅⋅⋅+(r1−r)0+r0≥2(m−j)+j=2m−j，又因为1≤j≤m−1，则r m≥2m−j≥2m−(m−1)=m+1>m，假设不成立，故r n+1−r n=1，即数列{r n}是以首项为1，公差为1的等差数列，所以r n=0+1×n=n，n∈N.（3）（ⅰ）若A m≥B m，构建S n=A n−B rn，1≤n≤m，由题意可得：S n≥0，且S n整数，反证，假设存在正整数K，使得S K≥m，则A K−B rK ≥m，A K−B rK+1<0，可得b rK+1=B rK+1−B rK=(A K−B rK)−(A K−B rK+1)>m，这与b rK+1∈{1，2，⋅⋅⋅，m}相矛盾，故对任意1≤n≤m，n∈N，均有S n≤m−1.①若存在正整数N，使得S N=A N−B rN =0，即A N=B rN，可取r=p=0，q=N，s=rN，使得A p+B s=A q+B r；②若不存在正整数N，使得S N=0，因为S n∈{1，2m⋅⋅⋅，m−1}，且1≤n≤m，所以必存在1≤X<Y≤m，使得S X=S Y，即A X−B rX =A Y−B rY，可得A X+B rY=A Y+B rX，可取p=X，s=rY，q=Y，r=r X，使得A p+B s=A q+B r；（ⅱ）若A m<B m，构建S n=B rn−A n，1≤n≤m，由题意可得：S n≤0，且S n为整数，反证，假设存在正整数K，使得S K≤−m，则B rK −A K≤−m，B rK+1−A K>0，可得b rK+1=B rK+1−B rK=(B rK+1−A K)−(B rK−A K)>m，这与b rK+1∈{1，2，⋅⋅⋅，m}相矛盾，故对任意1≤n≤m，n∈N，均有S n≥1−m.①若存在正整数N，使得S N=B rN −A N=0，即A N=B rN，可取r=p=0，q=N，s=rN，使得A p+B s=A q+B r；②若不存在正整数N，使得S N=0，因为S n∈{−1，−2，⋅⋅⋅，1−m}，且1≤n≤m，所以必存在1≤X<Y≤m，使得S X=S Y，即B rX −A X=B rY−A Y，可得A X+B rY=A Y+B rX，可取p=X，s=rY，q=Y，r=r X，使得A p+B s=A q+B r；综上所述：存在0≤p<q≤m，0≤r<s≤m使得A p+B s=A q+B r．11/ 11。
2023北京高考真题数学(含答案)
2023北京高考真题数 学本试卷满分150分.考试时间 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{20},{10}M xx N x x =+≥=−<∣∣，则M N ⋂=（ ） A. {21}x x −≤<∣ B. {21}x x −<≤∣ C. {2}xx ≥−∣ D. {1}xx <∣2. 在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(−，则z 的共轭复数z =（ ）A. 1+B. 1−C.1−+D. 1−3. 已知向量a b ，满足(2,3),(2,1)a b a b +=−=−，则22||||a b −=（ ） A. 2−B. 1−C. 0D. 14. 下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. ()ln f x x =− B. ()tan f x x = C. 1()2xf x =D. 1()f x x=−5. 512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）． A. 40−B. 40C. 80−D. 806. 已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，点M 在C 上．若M 到直线3x =−的距离为5，则||MF =（ ） A. 7B. 6C. 5D. 47. 在ABC 中，()(sin sin )(sin sin )a c A C b A B +−=−，则C ∠=（ ） A.π6B.π3C.2π3D.5π68. 若0xy ≠，则“0x y +=”是“2x yy x+=−”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为一个五面体ABCDEF ，若25m,10m AB BC AD ===，四边形ABEF 和四边形CDEF 均为等腰梯形，ADF ∆和BCE ∆均为等腰三角形，且平面BCE 和平面ABEF 与底面夹角正切值均为5，某同学为这个模型的轮廓安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（ ） A. 102mB. 112mC. 117mD. 125m10. 已知数列{}n a 满足()31166(1,2,3,)4n n a a n +=−+=，则（ ） A. 当13a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立 B. 当15a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数6M ≤，使得n a M <恒成立 C. 当17a =时，{}n a 为递减数列，且存在常数6M >，使得n a M >恒成立 D. 当19a =时，{}n a 为递增数列，且存在常数0M >，使得n a M <恒成立二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知函数2()4log xf x x =+12f ⎛⎫=⎪⎝⎭____________． 12. 已知双曲线C 的焦点为(2,0)−和(2,0)，则C 的方程为____________．13. 已知命题:p 若,αβ为第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．能说明p 为假命题的一组,αβ的值为α=__________，β= _________．14. 我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列{}n a ，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且1591,12,192a a a ===，则7a =___________；数列{}n a 所有项的和为____________．15. 设0a >，函数2,,(),1,.x x a f x a x a x a +<−⎧=−≤≤−>⎪⎩，给出下列四个结论：①()f x 在区间(1,)a −+∞上单调递减； ②当1a ≥时，()f x 存在最大值；③设()()()()()()111222,,,M x f x xa N x f x x a ≤>，则||1MN >；④设()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <−≥−．若||PQ 存在最小值，则a 的取值范围是10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦． 其中所有正确结论的序号是____________．三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 如图，在三棱锥−P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1PA AB BC PC ====，（1）求证：BC ⊥平面P AB ；（2）求二面角A PC B −−的大小．17. 设函数π()sin cos cos sin 0,||2f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭．（1）若(0)2f =−，求ϕ的值． （2）已知()f x 在区间π2π,33−⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在，求,ωϕ的值．条件①：π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 条件②：π13f ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭； 条件③：()f x 在区间ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．18. 为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．（1）试估计该农产品价格“上涨”的概率；（2）假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；（3）假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）19. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，||4AC =． （1）求E 的方程；（2）设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线2y =−交于点N ．求证：//MN CD ．20. 设函数3()e ax b f x x x +=−，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =−+． （1）求,a b 的值；（2）设函数()()g x f x '=，求()g x 的单调区间； （3）求()f x 的极值点个数．21. 已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈{}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣，其中，max M 表示数集M 中最大的数.（1）若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值； （2）若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r j m +−≤+=−，求n r ；（3）证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．参考答案一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】先化简集合,M N ，然后根据交集的定义计算.【详解】由题意，{20}{|2}M xx x x =+≥=≥−∣，{10}{|1}N x x x x =−<=<∣， 根据交集的运算可知，{|21}M N x x =−≤<.故选：A 2. 【答案】D【分析】根据复数的几何意义先求出复数z ，然后利用共轭复数的定义计算.【详解】z 在复平面对应的点是(−，根据复数的几何意义，1z =−+，由共轭复数的定义可知，1z =−−. 故选：D 3. 【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答. 【详解】向量,a b 满足(2,3),(2,1)a b a b +=−=−， 所以22||||()()2(2)311a b a b a b −=+⋅−=⨯−+⨯=−. 故选：B 4. 【答案】D【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =−在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =−在()0,∞+上单调递减，故A 错误； 对于B ，y =tan x 在[0，+∞）不单调，B 错误. 对于C ，因为2xy =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减， 所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故C 错误； 对于D ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =−在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=−在()0,∞+上单调递增，故D 正确； 故选：C. 5. 【答案】D【分析】写出512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的通项即可 【详解】512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()55521551212rr r r r r rr T C x C x x −−−+⎛⎫=−=− ⎪⎝⎭令521r −=得2r =所以512x x ⎛⎫− ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为()252251280C −−=故选：D【点睛】本题考查的是二项式展开式通项的运用，较简单. 6. 【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解即可.【详解】因为抛物线2:8C y x =的焦点()2,0F ，准线方程为2x =−，点M 在C 上， 所以M 到准线2x =−的距离为MF ， 又M 到直线3x =−的距离为5， 所以15MF +=，故4MF =. 故选：D. 7. 【答案】B【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解. 【详解】因为()(sin sin )(sin sin )a c A b A B +−=−，所以由正弦定理得()()()a c a c b a b +−=−，即222a c ab b −=−，则222a b c ab +−=，故2221cos 222a b c ab C ab ab +−===，又0πC <<，所以π3C =. 故选：B. 8. 【答案】C 【分析】解法一：由2x yy x+=−化简得到0x y +=即可判断；解法二：证明充分性可由0x y +=得到x y =−，代入x y y x+化简即可，证明必要性可由2x yy x +=−去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入即可，证明必要性可由x yy x+通分后用配凑法得到完全平方公式，再把0x y +=代入，解方程即可.【详解】解法一： 因为0xy ≠，且2x yy x+=−， 所以222x y xy +=−，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=. 所以“0x y +=”是“2x yy x+=−”的充要条件. 解法二：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以x y =−， 所以112x y y y y x y y−+=+=−−=−−， 所以充分性成立； 必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=−， 所以222x y xy +=−，即2220x y xy ++=，即()20x y +=，所以0x y +=.所以必要性成立. 所以“0x y +=”是“2x yy x+=−”的充要条件. 解法三：充分性：因为0xy ≠，且0x y +=，所以()2222222222x y xy x y x y x y xy xy xy y x xy xy xy+−+++−−+=====−，所以充分性成立； 必要性：因为0xy ≠，且2x yy x+=−， 所以()()22222222222x y xy x y x y x y x y xy xy y x xy xy xy xy+−++++−+====−=−， 所以()20x y xy+=，所以()20x y +=，所以0x y +=，所以必要性成立. 所以“0x y +=”是“2x yy x+=−”的充要条件. 故选：C 9. 【答案】C【分析】先根据线面角的定义求得5tan tan EMO EGO ∠=∠=，从而依次求EO ，EG ，EB ，EF ，再把所有棱长相加即可得解.【详解】如图，过E 做EO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过E 分别做EG BC ⊥，EM AB ⊥，垂足分别为G ，M ，连接,OG OM ，由题意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面与底面夹角分别为EMO ∠和EGO ∠，所以tan tan EMO EGO ∠=∠=. 因为EO ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以EO BC ⊥， 因为EG BC ⊥，,EO EG ⊂平面EOG ，EO EG E ⋂=， 所以BC⊥平面EOG ，因为OG ⊂平面EOG ，所以BC OG ⊥，.同理：OM BM ⊥，又BM BG ⊥，故四边形OMBG 是矩形，所以由10BC =得5OM =，所以EO =5OG =，所以在直角三角形EOG 中，EG ===在直角三角形EBG 中，5BG OM ==，8EB ==，又因为55255515EF AB =−−=−−=， 所有棱长之和为2252101548117m ⨯+⨯++⨯=. 故选：C 10. 【答案】B【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD 正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B 的正误. 法2：构造()()31664x f x x =−+−，利用导数求得()f x 的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项n a 所在区间，从而判断{}n a 的单调性；对于A ，构造()()32192647342h x x x x x =−+−≤，判断得11n n a a +<−，进而取[]4m M =−+推得n a M >不恒成立；对于B ，证明n a 所在区间同时证得后续结论；对于C ，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦−，取[]01m m =+推得n a M >不恒成立；对于D ，构造()()32192649942g x x x x x =−+−≥，判断得11n n a a +>+，进而取[]1m M =+推得n a M <不恒成立. 【详解】法1：因为()311664n n a a +=−+，故()311646n n a a +=−−，对于A ，若13a =，可用数学归纳法证明：63n a −≤−即3n a ≤， 证明：当1n =时，1363a −=≤−−，此时不等关系3n a ≤成立；设当n k =时，63k a −≤−成立， 则()3162514764,4k k a a +⎛⎫−∈−−− ⎝=⎪⎭，故136k a +≤−−成立， 由数学归纳法可得3n a ≤成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=−−−=−−−⎢⎣−⎥⎦， ()20144651149n a −−=−≥>，60n a −<，故10n n a a +−<，故1n n a a +<， 故{}n a 为减数列，注意1063k a +−≤−< 故()()()()23111666649644n n n n n a a a a a +−=≤−=−⨯−−，结合160n a +−<， 所以()16694n n a a +−−≥，故119634n n a +−⎛⎫−≥ ⎪⎝⎭，故119634n n a +−⎛⎫≤− ⎪⎝⎭，若存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，则19634n M −⎛⎫−> ⎪⎝⎭，故16934n M −−⎛⎫> ⎪⎝⎭，故9461log 3Mn −<+，故n a M >恒成立仅对部分n 成立， 故A 不成立. 对于B ，若15,a 可用数学归纳法证明：106n a −−≤<即56n a ≤<，证明：当1n =时，10611a −−−≤≤=，此时不等关系56n a ≤<成立； 设当n k =时，56k a ≤<成立， 则()31164416,0k k a a +⎛⎫−∈−⎪⎝=⎭−，故1106k a +−−≤<成立即 由数学归纳法可得156k a +≤<成立. 而()()()()231116666441n n n n n n a a a a a a +⎡⎤=−−−=−−−⎢⎣−⎥⎦， ()201416n a −−<，60n a −<，故10n n a a +−>，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列， 若6M =，则6n a <恒成立，故B 正确.对于C ，当17a =时， 可用数学归纳法证明：061n a <−≤即67n a <≤， 证明：当1n =时，1061a <−≤，此时不等关系成立； 设当n k =时，67k a <≤成立，则()31160,4164k k a a +⎛⎤−∈ ⎥⎝=⎦−，故1061k a +<−≤成立即167k a +<≤ 由数学归纳法可得67n a <≤成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=−−<⎢⎥⎣⎦−−，故1n n a a +<，故{}n a 为减数列， 又()()()2111666644n n n n a a a a +−=−⨯−≤−，结合160n a +−>可得：()111664nn a a +⎛⎫−≤− ⎪⎝⎭，所以1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若1164nn a +⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭，若存在常数6M >，使得n a M >恒成立， 则164nM ⎛⎫−≤ ⎪⎝⎭恒成立，故()14log 6n M ≤−，n 的个数有限，矛盾，故C 错误.对于D ，当19a =时， 可用数学归纳法证明：63n a −≥即9n a ≥， 证明：当1n =时，1633a −=≥，此时不等关系成立； 设当n k =时，9k a ≥成立， 则()3162764143k k a a +−≥=>−，故19k a +≥成立 由数学归纳法可得9n a ≥成立. 而()()21166014n n n n a a a a +⎡⎤=−−>⎢⎥⎣⎦−−，故1n n a a +>，故{}n a 为增数列， 又()()()2119666446n n n n a a a a +−>=−⨯−−，结合60n a −>可得：()11116396449n n n a a −−+⎭−⎛⎫⎛⎫−= ⎪⎪⎝⎝⎭> ，所以114963n n a −+⎛⎫ ⎪⎭≥+⎝，若存在常数0M >，使得n a M <恒成立，则19643n M −⎛⎫ ⎪⎝>+⎭，故19643n M −⎛⎫ ⎪⎝>+⎭，故946log 13M n −⎛⎫<+⎪⎝⎭，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误. 故选：B.法2：因为()3321119662648442n n n n n n n a a a a a a a +−=−+−=−+−， 令()3219264842f x x x x =−+−，则()239264f x x x =−+'，令0f x，得063x <<−或63x >+；令()0f x '<，得6633x −<<+； 所以()f x在,6⎛−∞ ⎝⎭和6,3⎛⎫++∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在6⎛ ⎝⎭上单调递减， 令()0f x =，则32192648042x x x −+−=，即()()()146804x x x −−−=，解得4x =或6x =或8x =，注意到4653<−<，7683<+<， 所以结合()f x 的单调性可知在(),4−∞和()6,8上()0f x <，在()4,6和()8,+∞上()0f x >， 对于A ，因为()311664n n a a +=−+，则()311646n n a a +=−−， 当1n =时，13a =，()32116643a a =−−<−，则23a <， 假设当n k =时，3k a <， 当1n k =+时，()()331311646364k k a a +<−−−<−=，则13k a +<， 综上：3n a ≤，即(),4n a ∈−∞，因为在(),4−∞上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列， 因为()332111916612647442n n n n n n n a a a a a a a +−+=−+−+=−+−， 令()()32192647342h x x x x x =−+−≤，则()239264h x x x '=−+， 因为()h x '开口向上，对称轴为96324x −=−=⨯， 所以()h x '在(],3−∞上单调递减，故()()2333932604h x h ''≥=⨯−⨯+>， 所以()h x 在(],3−∞上单调递增，故()()321933326347042h x h ≤=⨯−⨯+⨯−<， 故110n n a a +−+<，即11n n a a +<−， 假设存在常数0M ≤，使得n a M >恒成立，取[]4m M =−+，其中[]1M M M −<≤，且[]Z M ∈，因为11n n a a +<−，所以[][]2132431,1,,1M M a a a a a a −+−+<−<−<−，上式相加得，[][]()14333M a a M M M −+<−−+≤+−=， 则[]4m M a a M +=<，与n a M >恒成立矛盾，故A 错误； 对于B ，因为15a =， 当1n =时，156a =<，()()33211166566644a a =−+=⨯−+<， 假设当n k =时，6k a <，当1n k =+时，因为6k a <，所以60k a −<，则()360k a −<， 所以()3116664k k a a +=−+<， 又当1n =时，()()332111615610445a a =−+=⨯+−−>，即25a >， 假设当n k =时，5k a ≥，当1n k =+时，因为5k a ≥，所以61k a −≥−，则()361k a −≥−， 所以()3116654k k a a +=−+≥， 综上：56n a ≤<，因为在()4,6上()0f x >，所以1n n a +>，所以{}n a 为递增数列， 此时，取6M =，满足题意，故B 正确； 对于C ，因为()311664n n a a +=−+，则()311646n n a a +=−−， 注意到当17a =时，()3216617644a =−+=+，3341166441664a ⎪⎛⎫⎫+=+ ⎪⎝+−⎭⎭⎛= ⎝，143346166144416a ⎢⎛⎫+=⎡⎤⎛⎫=+−⎢⎥ ⎪⎝+ ⎪⎭⎭⎥⎦⎝⎣猜想当2n ≥时，()1312164k k a −⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当2n =与3n =时，2164a =+与43164a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭满足()1312164nn a −⎛⎫+ ⎪=⎝⎭， 假设当n k =时，()1312164k k a −⎛⎫+ ⎪=⎝⎭，当1n k =+时，所以()()()13113131122311666116664444k k k k a a +−+−⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+−+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦−+=+=， 综上：()()13121624n n a n − =⎛⎫+≥⎪⎝⎭，易知310n−>，则()13121014n −⎛⎫<< ⎪⎝⎭，故()()()1312166,724n n a n −⎛⎪=⎫+∈≥ ⎝⎭，所以(],67n a ∈，因为在()6,8上()0f x <，所以1n n a a +<，则{}n a 为递减数列， 假设存在常数6M >，使得n a M >恒成立，记()0143log 2log 61m M ⎡⎤⎢⎥⎣=+⎦−，取[]01m m =+，其中[]*00001,N m m m m −<≤∈，则()0142log 6133m mM −>=+， 故()()14log 61312m M −>−，所以()1312614m M −⎛⎫ ⎪<⎝−⎭，即()1312164m M −⎛⎫+ ⎪⎭<⎝， 所以m a M <，故n a M >不恒成立，故C 错误； 对于D ，因为19a =， 当1n =时，()32116427634a a ==−>−，则29a >， 假设当n k =时，3k a ≥， 当1n k =+时，()()331116936644k k a a +≥=−−>−，则19k a +>， 综上：9n a ≥，因为在()8,+∞上()0f x >，所以1n n a a +>，所以{}n a 为递增数列， 因为()332111916612649442n n n n n n n a a a a a a a +−−=−+−−=−+−， 令()()32192649942g x x x x x =−+−≥，则()239264g x x x '=−+， 因为()g x '开口向上，对称轴为96324x −=−=⨯， 所以()g x '在[)9,+∞上单调递增，故()()2399992604g x g ≥=⨯−⨯+'>'，所以()()321999926949042g x g ≥=⨯−⨯+⨯−>， 故110n n a a +−−>，即11n n a a +>+， 假设存在常数0M >，使得n a M <恒成立，取[]1m M =+，其中[]1M M M −<≤，且[]Z M ∈， 因为11n n a a +>+，所以[][]213211,1,,1M M a a a a a a +>+>+>+，上式相加得，[][]1191M a a M M M +>+>+−>， 则[]1m M a a M +=>，与n a M <恒成立矛盾，故D 错误. 故选：B.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是根据首项给出与通项性质相关的相应的命题，再根据所得命题结合放缩法得到通项所满足的不等式关系，从而可判断数列的上界或下界是否成立.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分．11. 【答案】1【分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=−=.故答案为：112. 【答案】22122x y −=【分析】根据给定条件，求出双曲线C 的实半轴、虚半轴长，再写出C 的方程作答.【详解】令双曲线C 的实半轴、虚半轴长分别为,a b ，显然双曲线C 的中心为原点，焦点在x 轴上，其半焦距2c =，由双曲线C ，得ca=a =b == 所以双曲线C 的方程为22122x y −=.故答案为：22122x y −=13. 【答案】 ①.9π4 ②. π3【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.【详解】因为()tan f x x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，若00π02<<<αβ，则00tan tan <αβ，取1020122π,2π,,k k k k =+=+∈Z ααββ，则()()100200tan tan 2πtan ,tan tan 2πtan k k =+==+=αααβββ，即tan tan αβ<，令12k k >，则()()()()102012002π2π2πk k k k −=+−+=−+−αβαβαβ，因为()1200π2π2π,02k k −≥−<−<αβ，则()()12003π2π02k k −=−+−>>αβαβ， 即12k k >，则αβ>. 不妨取1200ππ1,0,,43k k ====αβ，即9ππ,43αβ==满足题意. 故答案为：9ππ;43. 14. 【答案】 ①. 48 ②. 384【分析】方法一：根据题意结合等差、等比数列的通项公式列式求解,d q ，进而可求得结果；方法二：根据等比中项求73,a a ，在结合等差、等比数列的求和公式运算求解. 【详解】方法一：设前3项的公差为d ，后7项公比为0q >，则4951921612a q a ===，且0q >，可得2q ，则53212a a d q=+=，即123d +=，可得1d =，空1：可得43733,48a a a q ===，空2：()127693121233232338412a a a −=+++⨯+⋅⋅⋅+⨯=+=−+++方法二：空1：因为{},37n a n ≤≤为等比数列，则527291219248a a a ==⨯=， 且0n a >，所以748a =；又因为2537a a a =，则25373a a a ==； 空2：设后7项公比为0q >，则2534a q a ==，解得2q ，可得()133933456712893319226,3812112a a a a q a a a a a a a a a q a +−−⨯==++++++===−−++，所以12396381384a a a a +++=+−=.故答案为：48；384. 15. 【答案】②③【分析】先分析()f x 的图像，再逐一分析各结论；对于①，取12a =，结合图像即可判断；对于②，分段讨论()f x 的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知MN 的范围；对于④，取45a =，结合图像可知此时PQ 存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，0a >，当x a <−时，()2f x x =+，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当a x a −≤≤时，()f x =()0,0，半径为a 的圆在x 轴上方的图像（即半圆）；当x a >时，()1f x =，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取12a =，则()f x 的图像如下，显然，当(1,)x a ∈−+∞，即1,2x ⎛⎫∈−+∞ ⎪⎝⎭时，()f x 在1,02⎛⎫− ⎪⎝⎭上单调递增，故①错误； 对于②，当1a ≥时，当x a <−时，()221f x x a =+<−+≤；当a x a −≤≤时，()f x =a ；当x a >时，()112f x =<≤−， 综上：()f x 取得最大值a ，故②正确；对于③，结合图像，易知在1x a =，2x a >且接近于x a =处，()()()()()()111222,,,M x f x x a N x f x x a ≤>的距离最小，当1x a =时，()10y f x ==，当2x a >且接近于x a =处，()221y f x =<−，此时，1211MN y y >−>+>，故③正确；对于④，取45a =，则()f x 的图像如下，因为()()()()()()333444,,,P x f x xa Q x f x x a <−≥−，结合图像可知，要使PQ 取得最小值，则点P 在()425f x x x ⎛⎫=+<− ⎪⎝⎭上，点Q 在()4455f x x ⎫=−≤≤⎪⎭， 同时PQ 的最小值为点O 到()425f x x x ⎛⎫=+<− ⎪⎝⎭的距离减去半圆的半径a ， 此时，因为()425f x y x x ⎛⎫==+<−⎪⎝⎭的斜率为1，则1OP k =−，故直线OP 的方程为y x =−， 联立2y xy x =−⎧⎨=+⎩，解得11x y =−⎧⎨=⎩，则()1,1P −，显然()1,1P −在()425f x x x ⎛⎫=+<− ⎪⎝⎭上，满足PQ 取得最小值， 即45a =也满足PQ 存在最小值，故a 的取值范围不仅仅是10,2⎛⎤⎥⎝⎦，故④错误. 故答案为：②③.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得()f x 的图像，特别是当a x a −≤≤时，()f x =的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 【答案】（1）证明见解析 （2）π3【分析】（1）先由线面垂直的性质证得PA BC ⊥，再利用勾股定理证得BC PB ⊥，从而利用线面垂直的判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面PAC 与平面PBC 的法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解. 【小问1详解】因为PA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ， 所以PA BC ⊥，同理PA AB ⊥， 所以PAB 为直角三角形，又因为PB ==1,BC PC ==，所以222PB BC PC +=，则PBC 为直角三角形，故BC PB ⊥， 又因为BC PA ⊥，PA PB P =，所以BC⊥平面PAB .【小问2详解】 由（1）BC⊥平面PAB ，又AB ⊂平面PAB ，则BC AB ⊥，以A 为原点，AB 为x 轴，过A 且与BC 平行的直线为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,0)A P C B ，所以(0,0,1),(1,1,0),(0,1,0),(1,1,1)AP AC BC PC ====−，设平面PAC 的法向量为()111,,m x y z =，则0m AP m AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1110,0,z x y =⎧⎨+=⎩ 令11x =，则11y =−，所以(1,1,0)m =−，设平面PBC 的法向量为()222,,x n y z =，则0n BC n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200y x y z =⎧⎨+−=⎩，令21x =，则21z =，所以(1,0,1)n =， 所以11cos ,22m n m n m n⋅===⨯，又因为二面角A PC B −−为锐二面角， 所以二面角A PC B −−的大小为π3. 17. 【答案】（1）π3ϕ=−. （2）条件①不能使函数()f x 存在；条件②或条件③可解得1ω=，π6ϕ=−. 【分析】（1）把0x =代入()f x 的解析式求出sin ϕ，再由π||2ϕ<即可求出ϕ的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把()f x 的解析式化简，根据() f x 在π2π,33−⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性及函数的最值可求出T ，从而求出ω的值；把ω的值代入()f x 的解析式，由π13f ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭和π||2ϕ<即可求出ϕ的值；若选条件③：由() f x 的单调性可知() f x 在π3x =−处取得最小值1−，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【小问1详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x xx ωϕωϕωϕ=+><所以()()(0)sin 0cos cos 0sin sin f ωϕωϕϕ=⋅+⋅==， 因为π||2ϕ<，所以π3ϕ=−. 【小问2详解】因为π()sin cos cos sin ,0,||2f x x x ωϕωϕωϕ=+><， 所以()π()sin ,0,||2f x x ωϕωϕ=+><，所以() f x 的最大值为1，最小值为1−. 若选条件①：因为()()sin f x x ωϕ=+的最大值为1，最小值为1−，所以π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭无解，故条件①不能使函数()f x 存在；若选条件②：因为() f x 在π2π,33−⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且2π13f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π13f ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭所以2πππ233T ⎛⎫=−−= ⎪⎝⎭,所以2πT =,2π1Tω==, 所以()()sin f x x ϕ=+， 又因为π13f ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，所以πsin 13ϕ⎛⎫−+=− ⎪⎝⎭，所以ππ2π,Z 32k k ϕ−+=−+∈， 所以π2π,Z 6k k ϕ=−+∈，因为||2ϕπ<，所以π6ϕ=−.所以1ω=，π6ϕ=−； 若选条件③：因为() f x 在π2π,33−⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在ππ,23⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以() f x 在π3x =−处取得最小值1−，即π13f ⎛⎫−=− ⎪⎝⎭. 以下与条件②相同． 18. 【答案】（1）0.4 （2）0.168 （3）不变【分析】（1）计算表格中的+的次数，然后根据古典概型进行计算； （2）分别计算出表格中上涨，不变，下跌的概率后进行计算；（3）通过统计表格中前一次上涨，后一次发生的各种情况进行推断第41天的情况. 【小问1详解】根据表格数据可以看出，40天里，有16个+，也就是有16天是上涨的， 根据古典概型的计算公式，农产品价格上涨的概率为：160.440= 【小问2详解】在这40天里，有16天上涨，14天下跌，10天不变，也就是上涨，下跌，不变的概率分别是0.4，0.35，0.25，于是未来任取4天，2天上涨，1天下跌，1天不变的概率是22142C 0.4C 0.350.250.168⨯⨯⨯⨯= 【小问3详解】由于第40天处于上涨状态，从前39次的15次上涨进行分析，上涨后下一次仍上涨的有4次，不变的有9次，下跌的有2次，因此估计第41次不变的概率最大.19. 【答案】（1）22194x y +=（2）证明见解析【分析】（1）结合题意得到3c a =，24b =，再结合222ac b −=，解之即可； （2）依题意求得直线BC 、PD 与PA 的方程，从而求得点,M N 的坐标，进而求得MN k ，再根据题意求得CD k ，得到MN CD k k =，由此得解. 【小问1详解】依题意，得3c e a ==，则3c a =，又,A C 分别为椭圆上下顶点，4AC =，所以24b =，即2b =， 所以2224a c b −==，即22254499a a a −==，则29a =， 所以椭圆E 的方程为22194x y +=.【小问2详解】因为椭圆E 的方程为22194x y +=，所以()()()()0,2,0,2,3,0,3,0A C B D −−，因为P 为第一象限E 上的动点，设()(),03,02P m n m n <<<<，则22194m n+=，易得022303BC k +==−−−，则直线BC 的方程为223y x =−−，033PD n n k m m −==−−，则直线PD 的方程为()33ny x m =−−，联立()22333y x n y x m ⎧=−−⎪⎪⎨⎪=−⎪−⎩，解得()332632612326n m x n m n y n m ⎧−+=⎪⎪+−⎨−⎪=⎪+−⎩，即()332612,326326n m n M n m n m −+⎛⎫− ⎪+−+−⎝⎭，而220PA n n k m m−−==−，则直线PA 的方程为22n y x m −=+， 令=2y −，则222n x m −−=+，解得42m x n −=−，即4,22m N n −⎛⎫−⎪−⎝⎭， 又22194m n +=，则22994n m =−，2287218m n =−， 所以()()()()()()12264122326332696182432643262MNnn m n n m k n m n m n m n m m n m n −+−+−−+−==−+−+−++−−−+−−222222648246482498612369612367218n mn m n mn m n m mn m n m n n m −+−+−+−+==++−−−++−− ()()22222324126482429612363332412n mn m n mn m n mn m n mn m −+−+−+−+===−+−+−+−+， 又022303CD k +==−，即MN CD k k =， 显然，MN 与CD 不重合，所以//MN CD . 20. 【答案】（1）1,1a b =−= （2）答案见解析 （3）3个【分析】（1）先对()f x 求导，利用导数的几何意义得到(1)0f =，(1)1f '=−，从而得到关于,a b 的方程组，解之即可；（2）由（1）得()g x 的解析式，从而求得()g x '，利用数轴穿根法求得()0g x '<与()0g x '>的解，由此求得()g x 的单调区间；（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间(),0∞−，()10,x ，()12,x x 与()2,x +∞上()f x '的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得()f x 的极值点个数.【小问1详解】因为3R ()e ,ax b f x x x x +=−∈，所以()()2313eax bf x a x x++'=−，因为()f x 在(1,(1))f 处的切线方程为1y x =−+， 所以(1)110f =−+=，(1)1f '=−，则()311e 013e 1a ba ba ++⎧−⨯=⎪⎨−+=−⎪⎩，解得11a b =−⎧⎨=⎩， 所以1,1a b =−=. 【小问2详解】由（1）得()()()()231R 13e x g f x x xx x −+'−==∈−，则()()1266ex x g x x x −+'+−=−，令2660x x −+=，解得3x =13x =−，23x =，则120x x <<， 易知1e 0x −+>恒成立， 所以令()0g x '<，解得10x x <<或2x x>；令()0g x '>，解得0x <或12x x x <<；所以()g x 在()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在(),0∞−，()12,x x 上单调递增，即()g x 的单调递减区间为(0,3和()3++∞，单调递增区间为(),0∞−和(3. 【小问3详解】 由（1）得()31R ()ex f x x x x −+=−∈，()()23113e x f x x x −+'−=−，由（2）知()f x '在()10,x ，()2,x +∞上单调递减，在(),0∞−，()12,x x 上单调递增， 当0x <时，()24011e f '−=<−，()010f '=>，即()()010f f ''−< 所以()f x '在(),0∞−上存在唯一零点，不妨设为3x ，则310x −<<， 此时，当3<x x 时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当30x x <<时，0f x，则()f x 单调递增；所以()f x 在(),0∞−上有一个极小值点； 当()10,x x ∈时，()f x '在()10,x 上单调递减，则()(()131120f x f f '''=<=−<，故()()100f f x ''<， 所以()f x '在()10,x 上存在唯一零点，不妨设为4x ，则410x x <<， 此时，当40x x <<时，0f x，则()f x 单调递增；当41x x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减；所以()f x 在()10,x 上有一个极大值点； 当()12,x x x ∈时，()f x '在()12,x x 上单调递增，则()(()23310f x f f '''=>=>，故()()120f x f x ''<， 所以()f x '在()12,x x 上存在唯一零点，不妨设为5x ，则152x x x <<，此时，当15x x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递减；当52x x x <<时，()0f x '<，则()f x 单调递增；所以()f x 在()12,x x 上有一个极小值点；当233x x >=+>时，()232330x x xx −=−<，所以()()231013ex f x x x−+'=−>−，则()f x 单调递增，所以()f x 在()2,x +∞上无极值点；综上：()f x 在(),0∞−和()12,x x 上各有一个极小值点，在()10,x 上有一个极大值点，共有3个极值点. 【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断()1f x '与()2f x '的正负情况，充分利用()f x '的单调性，寻找特殊点判断即可得解.21. 【答案】（1）00r =，11r =，22r =，33r = （2）,n r n n =∈N （3）证明见详解【分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意分析求解；（2）根据题意题意分析可得11i i r r +−≥，利用反证可得11i i r r +−=，在结合等差数列运算求解； （3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法分析证明. 【小问1详解】由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,3,6A A A A B B B B ========， 当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =； 当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =； 当2k =时，则232,0,1,2,,i B A i B A ≤=>故22r =； 当3k =时，则3,0,1,2,3i B A i ≤=，故33r =； 综上所述：00r =，11r =，2r =，33r =. 【小问2详解】由题意可知：n r m ≤，且n r ∈N ，因为1,1n n a b ≥≥，则111,1n n A a B b ≥=≥=，当且仅当1n =时，等号成立， 所以010,1r r ==，又因为112i i i r r r −+≤+，则11i i i i r r r r +−−≥−，即112101m m m m r r r r r r −−−−≥−≥⋅⋅⋅≥−=， 可得11i i r r +−≥，反证：假设满足11n n r r +−>的最小正整数为11j m ≤≤−， 当i j ≥时，则12i i r r +−≥；当1i j ≤−时，则11i i r r +−=， 则()()()112100mm m m m r r r r r r r r −−−=−+−+⋅⋅⋅+−+()22m j j m j ≥−+=−，又因为11j m ≤≤−，则()2211mr m j m m m m ≥−≥−−=+>，假设不成立，故11n n r r +−=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,n r n n n =+⨯=∈N . 【小问3详解】（ⅰ）若m m A B ≥，构建,1n nn r S A B n m =−≤≤，由题意可得：0n S ≥，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≥，则1,0K K K r K r A B m A B +−≥−<，可得()()111K K K K K r r r K r K r b B B A B A B m +++=−=−−−>， 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≤−. ①若存在正整数N ，使得0N NN r S A B =−=，即N N r A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =， 因为{}1,2,1n S m m ∈⋅⋅⋅−，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =， 即X Y X r Y r A B A B −=−，可得Y X X r Y r A B A B +=+， 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====，使得p s q r B B A A +=+；（ⅱ）若m m A B <，构建,1n nr n S B A n m =−≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤−，则1,0K K r K r K B A m B A +−≤−−>，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B B A B A m +++=−=−−−>， 这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥−. ①若存在正整数N ，使得0N Nr N S B A ==，即N N r A B =，可取0,,N r p q N s r ====，使得p s q r B B A A +=+；②若不存在正整数N ，使得0N S =， 因为{}1,2,,1n S m ∈−−⋅⋅⋅−，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =， 即X Y r X r Y B A B A −=−，可得Y X X r Y r A B A B +=+， 可取,,,Y X p X s r q Y r r ====，使得ps q r B B A A +=+；综上所述：存在0,0p q m r s m ≤<≤≤<≤使得ps q r B B A A +=+．【点睛】方法点睛：对于一些直接说明比较困难的问题，可以尝试利用反证法分析证明.。
2022年高考数学真题试卷(北京卷)及答案
2022年高考数学真题试卷（北京卷）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．2．若复数满足，则（）A．1B．5C．7D．253．若直线是圆的一条对称轴，则（）A．B．C．1D．-14．已知函数，则对任意实数，有（）A．B．C．D．5．已知函数，则（）A．在上单调递增B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增6．设是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数，当时，”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与和的关系，其中表示温度，单位是；表示压强，单位是bar，下列结论中正确的是（）A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态8．若，则（）A．40B．41C．-40D．-419．已知正三棱锥的六条棱长均为6，是及其内部的点构成的集合，设集合，则表示的区域的面积为（）A．B．C．D．10．在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．函数的定义域是．12．已知双曲线的渐近线方程为，则．13．若函数的一个零点为，则；．14．设函数，若存在最小值，则的一个取值为；的最大值为．15．已知数列的各项均为正数，其前项和，满足给出下列四个结论：①的第2项小于3；②为等比数列；③为递减数列；④中存在小于的项。
其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共85分。
16．在中，．（I）求：（II）若，且的面积为，求的周长．17．如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，分别为，的中点．（I）求证：平面；（II）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值。
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2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数 学（理工农医类）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.（1）设集合B A x x B x x A ⋂>=>-=则|},0log |{},01|{22等于（A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-<x x （D ）}11|{>-<x x x 或（2）设5.1344.029.01)21(,8,4-===y y y ，则（A ）y 3>y 1>y 2（B ）y 2>y 1>y 3（C ）y 1>y 2>y 3（D ）y 1>y 3>y 2（3）“232cos -=α”是“Z k k ∈+=,125ππα”的（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件（4）已知α，β是平面，m ，n 是直线.下列命题中不．正确的是 （A ）若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α （B ）若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n（C ）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β（D ）若m ⊥α，β⊂m ，则α⊥β（5）极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是（A ）圆（B ）椭圆（C ）抛物线（D ）双曲线（6）若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是（A ）2（B ）3（C ）4（D ）5（7）如果圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（A ）π2（B ）π23（C ）π332 （D ）π21（8）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（A ）24种（B ）18种（C ）12种（D ）6种（9）若数列{}n a 的通项公式是 ,2,1,2)23()1(23=--++=----n a n n n n n n ，则)(lim 21n n a a a +++∞→ 等于（A ）2411 （B ）2417 （C ）2419 （D ）2425 （10）某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij , 其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为 （A ）k k a a a a a a 2222111211+++++++ （B ）2221212111k k a a a a a a +++++++（C ）2122211211k k a a a a a a +++（D ）k k a a a a a a 2122122111+++第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.（11）函数x tg x h x x x x x x g x x f 2)(.1,2.1||0.1,2)(),1lg()(2=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-<+=+=中，是偶函数.（12）以双曲线191622=-y x 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是（13）如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 .（14）将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 .三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分13分）已知函数.sin cos sin 2cos )(44x x x x x f --= （Ⅰ）求)(x f 的最小正周期； （Ⅱ）若]2,0[π∈x ，求)(x f 的最大值、最小值.（16）（本小题满分13分）已知数列{}n a 是等差数列，且.12,23211=++=a a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令).(R x x a b n n n ∈=求数列{}n b 前n 项和的公式. （17）（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长的3，侧棱AA 1=,233D 是CB 延长线上一点，且BD=BC.（Ⅰ）求证：直线BC 1//平面AB 1D ； （Ⅱ）求二面角B 1—AD —B 的大小； （Ⅲ）求三棱锥C 1—ABB 1的体积.（18）（本小题满分15分）如图，椭圆的长轴A 1A 2与x 轴平行，短轴B 1B 2在y轴上，中心为M （0，r ）（).0>>r b（Ⅰ）写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；（Ⅱ）直线x k y 1=交椭圆于两点);0)(,(),,(22211>y y x D y x C 直线x k y 2=交椭圆于两点).0)(,(),,(44433>y y x H y x G 求证：4343221211x x x x k x x x x k +=+；（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的C ，D ，G ，H ，设CH 交x 轴于点P ，GD 交x 轴于点Q. 求证：|OP|=|OQ|. （证明过程不考虑CH 或GD 垂直于x 轴的情形） （19）（本小题满分14分）有三个新兴城镇，分别位于A ，B ，C 三点处，且AB=AC=a ，BC=2b.今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC 的垂直平分线上的P 点处，（建立坐标系如图）（Ⅰ）若希望点P 到三镇距离的平方和为最小，点P 应位于何处？（Ⅱ）若希望点P 到三镇的最远距离为最小， 点P 应位于何处？ （20）（本小题满分14分）设)(x f y =是定义在区间]1,1[-上的函数，且满足条件： （i ）;0)1()1(==-f f（ii ）对任意的.|||)()(|],1,1[,v u v f u f v u -≤--∈都有 （Ⅰ）证明：对任意的;1)(1],1,1[x x f x x -≤≤--∈都有 （Ⅱ）证明：对任意的;1|)()(|],1,1[,≤--∈v f u f v u 都有（Ⅲ）在区间[－1，1]上是否存在满足题设条件的奇函数)(x f y =，且使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈-=-∈-<-].1,21[,|,||)()(|].21,0[,.|||)()(|v u v u v f u f v u v u v f u f 当当若存在，请举一例：若不存在，请说明理由.2003年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理工农医类）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算. 每小题5分，满分50分. （1）A （2）D （3）A （4）B （5）D （6）B （7）C （8）B （9）C （10）C二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分. （11）)();(x g x f （12） )4(362--=x y（13）)(212b a r +π （14）44+π三、解答题：本大题共6小题，共84分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（15）满分13（Ⅰ）解析：因为x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=2222(cos sin )(cos sin )sin 2cos 2sin 2)4x x x x x x x x π=+--=-=+所以)(x f 的最小正周期.22ππ==T（Ⅱ）解析：因为,20π≤≤x 所以.45424πππ≤+≤x当442ππ=+x 时，)42cos(π+x 取得最大值22；当ππ=+42x 时，)42cos(π+x 取得最小值－1. 所以)(x f 在]2,0[π上的最大值为1，最小值为－.2（16）满分13分.（Ⅰ）解析：设数列}{n a 公差为d ，则 ,12331321=+=++d a a a a 又.2,21==d a所以.2n a n =（Ⅱ）解：令,21n n b b b S +++= 则由,2nn n n nx x a b ==得,2)22(4212n n n nx x n x x S +-++=- ① ,2)22(42132++-+++=n n n nx x n x x xS ② 当1≠x 时，①式减去②式，得,21)1(22)(2)1(112++---=-++=-n nn n n nx xx x nx x x x S x所以.12)1()1(212xnxx x x S n n n ----=+当1=x 时, )1(242+=+++=n n n S n 综上可得当1=x 时,)1(+=n n S n 当1≠x 时，.12)1()1(212xnxx x x S n nn ----=+（17） 满分15分.（Ⅰ）证明：CD//C 1B 1，又BD=BC=B 1C 1， ∴ 四边形BDB 1C 1是平行四边形， ∴BC 1//DB 1.又DB 1⊂平面AB 1D ，BC 1⊄平面AB 1D ，∴直线BC 1//平面AB 1D. （Ⅱ）解析：过B 作BE ⊥AD 于E ，连结EB 1，∵B 1B ⊥平面ABD ，∴B 1E ⊥AD ， ∴∠B 1EB 是二面角B 1—AD —B 的平面角， ∵BD=BC=AB ，∴E 是AD 的中点， .2321==AC BE在Rt △B 1BE 中，.32332311===∠BEB B BE B tg ∴∠B 1EB=60°。
即二面角B 1—AD —B 的大小为60°（Ⅲ）解法一：过A 作AF ⊥BC 于F ，∵B 1B ⊥平面ABC ，∴平面ABC ⊥平面BB 1C 1C ，∴AF ⊥平面BB 1C 1C ，且AF=∴=⨯,323323 AF S V V C B B C BB A ABB C ⋅==∆--1111111131 .827233)323321(31=⨯⨯⨯=即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827解法二：在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，11111111111C B A A B AA C ABB C B AA ABB V V V S S ---∆∆==∴=.827233)3434(313121111=⨯⨯⨯=⋅=∆AA S C B A 即三棱锥C 1—ABB 1的体积为.827（18）满分15分.（Ⅰ）解析：椭圆方程为,1)(2222=-+b r y a x 焦点坐标为),,(),,(222221r b a F r b a F ---离心率.22ab a e -=（Ⅱ）证明：将直线CD 的方程x k y 1=代入椭圆方程，得,)(2221222b a r x k a x b =-+整理得.0)(2)(22222122122=--+b a r a rx a k x k a b 根据韦达定理，得212222222121222121,2k a b b a r a x x k a b r a k x x +-=+=+ 所以rk b r x x x x 12221212-=+ ①将直线GH 的方程x k y 2=代入椭圆方程，同理可得rk b r x x x x 22243432-=+，由①，②得2121222212112x x x x k r b r x x x x k +=-=+所以结论成立. （Ⅲ）证明：设点P （p,0），点Q （q,0），由C 、P 、H 共线，得,221121x k x k p x p x =--解得22112121)(x k x k x x k k p --=，由D 、Q 、G 共线，同理可得 ,)(434322121132213221x x x x k x x x x k x k x k x x k k q +=+--=由变形得421141322132x k x k x x x k x k x x -=--即4211412132213221)()(x k x k x x k k x k x k x x k k --=---所以.|||||,|||OQ OP q p ==即 （19）.满分14分.（Ⅰ）解析：由题设可知，,0>>b a 记,22b a h -=设P 的坐标为（0，y ），则P至三镇距离的平方和为.232)3(3)()(2)(222222b h hy y h y b y f ++-=-++= 所以，当3h y =时，函数)(y f 取得最小值. 答:点P 的坐标是).31,0(22b a - （Ⅱ）解法一：P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|||,||,|,)(222222y h y b y h y h y b y b x g 当当由||22y h y b -≥+解得,222h b h y -≥记,222*hb h y -=于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,|,,)(**22y y y h y y y b y g 当当 当,0222≥-=h b h y n 即b h ≥时，22y b +在[),*+∞y 上是增函数，而]y ,(-||*∞-在y h 上是减函数. 由此可知,当ny y =时,函数)(y g 取得最小值. 当,0222*<-=hb h y 即b h <时,函数22y b +在[),*+∞-y 上,当0=y 时,取得最小值b ,而]y ,(-||*∞-在y h 上为减函数,且 b.||>-y h 可见, 当0=y 时, 函数)(y g 取得最小值. 答当b h ≥时,点P 的坐标为);22,0(2222ba b a --当b h <时,点P的坐标为(0,0),其中,22b a h -=解法二:P 至三镇的最远距离为 ⎪⎩⎪⎨⎧-<+--≥++=.|||,||,|,)(222222y h y b y h y h y b y b y g 当当由||22y h y b -≥+解得,222h b h y -≥记,222*h b h y -=于是 ⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=.|,|,,)(**22y y y h y y y b y g 当当 当g(y)z ,b h ,0*=≥≥时即y 的图象如图(a)，因此，当*y y =时，函数)(y g 取得最小值.当,*y y <即g(y)z ,=<时b h 的图象如图(b)，因此，当0=y 时，函数)(y g 取得最小值.答：当b h ≥时，点P 的坐标为);22,0(2222ba b a --当b h <，点P 的坐标为（0，0），其中.22b a h -=解法三：因为在△ABC 中，AB=AC=,a 所以△ABC 的外心M 在射线AO 上，其坐标为)22,0(2222ba b a --，且AM=BM=CM. 当P 在射线MA 上，记P 为P 1；当P 在射线MA 的反向延长线上，记P 为P 2，若b b a h ≥-=22（如图1），则点M 在线段AO 上， 这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 和P 2A ，且P 1C ≥MC ，P 2A ≥MA ，所以点P 与外心M 重合时，P 到三镇的最远距离最小. 若b b a h <-=22(如图2),则点M 在线段AO 外,这时P 到A 、B 、C 三点的最远距离为P 1C 或P 2A ，且P 1C ≥OC ，P 2A ≥OC ，所以点P 与BC 边中点O 重合时， P 到三镇的最远距离最小为b .答：当b b a h ≥-=22时，点P 的位置在△ABC 的外心)22,0(2222b a b a --；当b b a h <-=22时，点P 的位置在原点O.（20）满分14分.（Ⅰ）证明：由题设条件可知，当]1,1[-∈x 时，有,1|1|)1()(|)(|x x f x f x f -=-≤-=即.1)(1x x f x -≤≤-（Ⅱ）证法一：对任意的 1.|v -u ||f(v)-f(u)|,1||],1,1[,≤≤≤--∈有时当v u v u当0,u ,1|v -u |<⋅>v 时不妨设,0<u 则1,u -0>>v v 且所以，|1||1||)1()(||)1()(||)()(|-++≤-+--≤-v u f v f f u f v f u f.1)(211<--=-++=u v v u 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f证法二：由（Ⅰ）可得，当[0,1],f(x)1-x,x ∈≤时[1,0],|()||()(1)11||.x f x f x f x x ∈-=--≤+=-当时所以，当.||1)(|,]1,1[x x f x -≤-∈时因此，对任意的],1,1[,-∈v u 当1||≤-v u 时，.1|||)()(|≤-≤-v u v f u f 当1||>-v u 时，有0<⋅v u 且.2||||||1≤+=-<v u v u所以.1)||(|2||1||1|)(||)(||)()(|≤+-=-+-≤+≤-v u v u v f u f v f u f 综上可知，对任意的],1,1[,-∈v u 都有.1|)()(|≤-v f u f（Ⅲ）答：满足所述条件的函数不存在.理由如下，假设存在函数)(x f 满足条件，则由],1,21[,|,||)()(|∈-=-v u v u v f u f得.21|121||)1()21(|=-=-f f 又,0)1(=f 所以.21|)21(|=f ①又因为)(x f 为奇数，所以.0)0(=f 由条件],21,0[,|,||)()(|∈-<-v u v u v f u f得 .21|)0()21(||)21(|<-=f f f ② ①与②矛盾，所以假设不成立，即这样的函数不存在.。