光学薄膜理论基础2

（2）在界面1， 2的内侧，不同纵坐标、相同横坐标的两点，只要改变波的位相因子， 就可确定它们在同一瞬时的状况。正向行进的波的位相因子应乘以 exp(i 1 ), 而负 向行进的波的位相因子应乘以 exp(i 1 )，其中
i i 即：E12 E11 e , E12 E11 e ， 所以 k0 E0 k0 ( E11 E11 ) （k0 E12 ）ei （k0 E12 )e i H 0 1 (k0 E11 k0 E11 ) （k0 E12 ）1ei （k0 E12 )1e i
推导
等效介质的等效光学导纳
（ 1）用E和H的切向分量在界面两侧连续的边界条件写出在界面1上：
E0 E11 , E0 E11 E0 E0 E0 E11 E11 E11 H0 H0 H0 H11 H11 H11 于是，可得： k0 E0 k0 ( E11 E11 ) H 0 H11 1 (k0 E11 ) 1 (k0 E11 ) 1 (k0 E11 k0 E11 )
等效介质的等效光学导纳
i sin 1 1 1 cos 1 1 (k0 E0 ) (k0 E2 ) Y i sin 2 cos 1 1 1 i sin 1 1 B cos 1 1 令 , 则上式可改写为： C i sin 2 cos 1 1 1 1 B (k0 E0 ) (k0 E2 ) 解得 Y C B Y C i cos sin 1 1 1 矩阵 称为该膜层的特征矩阵，由薄层参数唯一确定， i1 sin 1 cos 1 它包含了薄膜的全部有用参数，其中 P 分量：1 2
Fra Baidu bibliotek层薄膜的等效界面
单层薄膜的两个界面在数学上可以用一个等效的界面来表示，如 图2。膜层和基底组合的导纳是Y。
根据边界条件，在等效 界面两侧的电场、磁场 强度的切向分量连续， 即：
/ E0 E 2 , / H0 H2 / / 等效介质的光学导纳定 义为Y H 2 E2 H 0 E（已将前两式代入）。 0
等效介质的等效光学导纳
等效介质的等效光学导纳
（5）运用等效界面思想， 建立Y与膜系和基底参数 的的关系 对于介质（基底）有： 2 H 2 2 (k 0 E 2 )； ' ' 又根据等效界面思想， 对于等效介质有： H 2 Y (k 0 E 2 ),根据边界条件（针对 ' ' 等效界面），有 H 2 H 0 , E 2 E0 , 将其带入上式可得： H 0 Y (k 0 E0 )； i k E cos 1 sin 1 k 0 E 2 将H 2 和H 0带入（4）的矩阵 0 0 1 ，即可得 H 0 i1 sin 1 cos 1 H 2 i k 0 E0 cos 1 sin 1 k 0 E 2 1 Y (k 0 E0 ) i1 sin 1 cos 1 2 (k 0 E 2 ) i 1 1 cos 1 sin 1 (k 0 E0 ) (k 0 E2 ) 1 2 Y i sin cos 1 1 1
复习
光学导纳 修正导纳 菲涅尔公式
Y H k0 E N 0 / 0
r
N cos
N 0 / 0 Ny0
TE波： s N cos TM波： p
0 S 1S 0 S 1S 20S tS 0 S 1S
rS
单一界面的反射率和透射率
1 k0 E12 2 写成矩阵形式： 1 k0 E12 2 1 21 k0 E2 1 H2 21
k E k E （4）综合（ 2）和（ 3），建立 0 0 与 0 2 的数值关系 H0 H2 1 1 k 0 E12 2 21 k 0 E 2 将（3）中的矩阵 1 1 k E H 2 12 0 21 2 i i k E e e k 0 E12 可得 带入（2）中的矩阵 0 0 i i 1e k 0 E12 H 0 1e 1 1 i i i k 0 E0 e e 2 21 k 0 E 2 cos 1 sin 1 k 0 E 2 1 i i 1 1 1e H 2 i sin H 0 1e cos 1 H 2 1 1 21 2 上式就把入射界面的 E0 和H 0的切向分量与透过最后 界面的E2 和H 2的切向分量 联系起来。
2

n1d1 cos 1。
等效介质的等效光学导纳
k0 E0 e i e i k0 E12 写成矩阵形式： i i e e H k E 1 0 12 0 1 （3）同理，根据E和H的切向分量在界面 2两侧连续可写出在界面 2上： E12 E12 E2 k0 ( E12 E12 ) k0 E12 k0 E12 k0 E2 H12 H12 H 2 1 (k0 E12 ) 1 ( k0 E12 ) 1 (k0 E12 ) 1 (k0 E12 )H0 H 2 1 1 于是，可得： k0 E12 (k0 E2 ) H2 2 21 1 1 k0 E12 (k0 E2 ) H2 2 21
（ 3）
当膜层参数已知后，其矩阵元就确定了，便可以求出等效光学导纳Y， N1d1 cos 1叫做薄膜的有效位相厚度，把N1d1 cos 叫做

薄膜的有效光学厚度。
讨论
单层介质膜的光学特性
i B cos1 sin 1 1 1 C 2 i sin cos1 1 1
0
图1 多层膜的等效界面
等效介质：薄膜系统和基底组合而成。 将入射介质和等效介质之间的界面称为等效界面，即等效界面两 侧分别是入射介质和等效介质。 入射介质的折射率仍旧是N0，等效介质具有等效光学导纳Y。因 此，整个薄膜系统的反射率就是等效界面的反射率，等效界面的 2 反射率计算公式为： Y R 0 0 Y
计算可得
这通常称为四分之一波长法则。此时，
(b)而对于厚度为0 4 的偶数倍，即m=2,4,6….的情形，有：
式中
/ / H2 , E2
图2 单层薄膜的等效界面
根据边界条件可以知道：Y=H0/E0。于是如同单一界面的情形， 2 单层膜的反射率可表示为： 0 Y
R
0 Y
等效介质的等效光学导纳
只要确定了组合导纳Y，就可以方便地计算单层膜的反射和 透射特性。因此问题就归结为求取入射界面上的H0和E0的比 值。下面推导组合导纳的表达式。
首先，根据界面1上的边界条件，建立E0、H0与E11+、 E11-的联系； 然后，根据平面电磁波传播规律，找出E11+、 E11-与E12+、 E12-的关 系，从而建立E0、H0与E12+、 E12- 的联系； 之后，再根据界面2上的边界条件，找出E12+、 E12-与E2、H2的关系， 从而建立E0、H0与E2、H2的联系（具体的数值关系与膜系和基底的 参数N1 、 N2、d1等有关)； 最后，基于等效界面思想，结合等效介质的等效光学导纳Y和基底 光学导纳的定义式，最终建立Y与膜系和基底的参数的关系。
图3 单层薄膜的电场
如图3在薄膜上下界面上都有无数次反射，为便于处理，我 们归并所有同方向的波，正方向取+号，负方向取–号。 E11 和E12 是指在界面 1和2上的E1，符号E11 和E12 ，H11 和H12 等具有
同样的意义。
等效介质的等效光学导纳
若要求出r，必须要先知道Y，下面即为等效光学导纳Y的推导及 计算。其基本过程为：

N1d1 cos 1；对于（TM 波）
N1 ，对于(TE波) S 分量：1 N1 cos 1。以后我们将 cos 1
会看到，在分析薄膜特性是，这一矩阵是非常有用的。
单层介质膜的光学特性
i cos sin B 1 1 1 矩阵 1 C 2 i sin cos 1 1 1 定义为基底和膜层组合的特征矩阵。 进而就可以求得单层介质膜的反射率。 我们把 2
2
0 P 1P 0 P 1P 20 P cos 0 tP 0 P 1P cos 1
rP

E I 2 R r r 2 r 0 1 0 1 Ii Ei 0 1 0 1 N cos 1 Et I T t 1 I i N 0 cos 0 Ei
Y C
B

故振幅反射系数为： 能量反射率为：
（ 4）
B 由 C 矩阵的表达式可以知道，当薄膜的有效光学厚度为1/4波长的整数
倍时，即
或其位相厚度为
2
的整数倍时，即
单层介质膜的光学特性
在参考波长处会出现一系列的极值。(a)对于厚度为 0 4 的 奇数倍，即m=1,3,5….的情形，有：
2 2

1s 2 401 t 2 0 s 0 1
第二章 光学薄膜理论基础
主要内容
等效界面思想 单层薄膜的等效界面 等效介质的等效光学导纳 单层介质膜的光学特性 多层介质膜的光学特性 吸收薄膜的光学特性
等效界面思想
等效界面思想：任意光学多层膜，无论是介质薄膜或是金 属薄膜组合，都可以用一虚拟的等效界面代替，而且等效 界面的导纳为 Y H 0 E ，如图1所示。