温度应力问题的基本解法(谷风教育)

热为W，则该热源在时间dt内所供热量为Wdxdydzdt。
根据热量平衡原理得： c T dxdydzdt 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt
x
化简后得： 记
T 2T W
t c
c
a c
则
T a2T W
t
c
这就是热传导微分方程。
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§6-3 温度场的边值条件
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在 初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已知初瞬时以后物体表面 与周围介质之间热交换的规律，即所谓边界条件。初始条件和边界条件 合称为初值条件。
) zx
xy
2(1 E
) xy
对于平面应力的变温问题，上式简化为
x
1 E
[ x
y ] T
y
1 E
[ y
x ] T
△T
n0
T n
（1）
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4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S
的热量。用
dQ dt
表示。
热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用 q 表示， 则有
q
n0
dQ dt
/S
(2)
其大小为
q dQ / S dt
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5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。 即
q △T
o
T-△TTT+△T x
线方向，温度的变化率最大。
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3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢 量。用△T表示，其大小用Tn 表示。其中n为等温面的法线方
向。温度梯度在各坐标轴的分量为
T T COS（n，x）
x
n
T T COS（n，y）
y
n
T T COS（n，z）
z
n
取 n0 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有
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当弹性体的温度变化时，其体积将趋于膨胀和收缩，若 外部的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不能自由 发生时，结构中就会出现附加的应力。这种因温度变化而引 起的应力称为热应力，或温度应力。
忽略变温对材料性能的影响，为了求得温度应力，需要 进行两方面的计算：（1）由问题的初始条件、边界条件， 按热传导方程求解弹性体的温度场，而前后两个温度场之差 就是弹性体的变温。（2）按热弹性力学的基本方程求解弹 性体的温度应力。本章将对这两方面的计算进行简单的介绍。
述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即所谓温度应力。这个温度应
力又将由于物体的弹性而引起附加的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体
总的形变分量是：
x
1 E
[ x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( z
x )] T
z
1 E
[
z
( x
y )] T
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yz
2(1 E
) yz
zx
2(1 E
温度在该方向的递减率。
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§6-2 热传导微分方程
热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部 分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源 所供给的热量。
y
qx
qx
qx x
dx
x z
取图示微小六面体dxdydz。假定该六面体的温度在dt时
间内由T 升高到T T dt。由温度所积蓄的热量是 Cdxdydz T dt ，
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第六章 温度应力问题的基本解法
§6-1 温度场和热传导的基本概念 §6-2 热传导微分方程 §6-3 温度场的边界条件 §6-4 按位移求解温度应力的平面问题 §6-5 位移势函数的引用 §6-6 轴对称温度场平面热应力问题
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§6-1 温度场和热传导的基本概念
1.温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各百度文库的温度值的总体。用T表示。
初始条件：(T )t0 f (x, y, z)
边界条件分四种形式：
第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即
Ts f (t) 其中Ts 是物体表面温度。
第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即
向。
(qn )s f (t) 其中角码 s 表示“表面”，角码n 表示法
t
t
其中 是物体的密度，C 是单位质量的物体升高一度时所需
的热量——比热容。
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在同一段时间dt内，由六面体左面传入热量qxdydzdt，
由右面传出热量
(qx
qx x
dx)dydzdt
。因此，传入的净热量为
qx dxdydzdt
x
将
qx
T x
代入可见：
由左右两面传入的净热量为：
2T x 2
(3)
称为导热系数。由（1）、（2）、（3）式得
dQ / T S
dt n
可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积 的热流速度”。
由（1）和（3）可见，热流密度的大小
q T
n
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热流密度在坐标轴上的投影
qx
T x
qy
T y
qz
T z
可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以
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第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时 的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时 间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差 成正比的，即
(qn )s (Ts Te )
其中Te是周围介质的温度； 称为运流放热系数，或简称热
系数。
第四类边界条件 已知两物体完全接触，并以热传导方 式进行热交换。即
不稳定温度场或非定常温度场：温度场的温度随时间而变化。
即 T=T（x，y，z，t）
稳定温度场或定常温度场：温度场的温度只是位置坐标的函数。
即 T=T（x，y，z）
平面温度场：温度场的温度只随平面内的两个位置坐标而变。
y
即 T=T（x，y，t）
2.等温面：在任一瞬时，连接温度场
T+2△T
内温度相同各点的曲面。显然，沿着 等温面，温度不变；沿着等温面的法
dxdydzdt
由上下两面传入的净热量为：
2T y 2
dydzdxdt
由前后两面传入的净热量为：
2T z 2
dzdxdydt
因此，传入六面体的总净热量为：
(
2T x 2
2T y 2
2T z 2
)dxdydzdt
简记为：
2Tdxdydzdt
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假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供
Ts Te
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§6-4 按位移求解温度应力的平面问题
设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束，则弹性体
内各点的微小长度，都将产生正应变T （ 是弹性体的膨胀系数），这样， 弹性体内各点的形变分量为
x y z T , yz zx xy 0
但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上