温度应力问题的基本解法(谷风教育)
温度应力资料
温度应力
一、概述
温度应力是指受热场作用下物体产生的内部应力，是由于温度变化引起的张力和压应力的总和。
温度应力是一种常见的工程问题，在材料工程、结构工程、航空航天等领域都有广泛的应用。
二、温度应力的形成原因
1. 材料的热膨胀性质
材料在受热或冷却时会发生体积变化，导致内部应力的产生。
不同材料的热膨胀系数不同，会影响温度应力的大小。
2. 材料的结构特性
材料的结构特性，如晶体结构、晶粒取向等，也会影响温度应力的形成。
不同的结构特性会导致不同的热膨胀行为，进而产生不同的温度应力。
三、温度应力的影响
1. 对材料性能的影响
温度应力会导致材料的变形、破裂等问题，对材料的力学性能和使用寿命造成影响。
2. 对结构安全的影响
在工程结构中，温度应力可能导致结构的破坏，影响结构的安全性和稳定性。
四、减缓温度应力的方法
1. 选择合适的材料
通过选择具有较小热膨胀系数的材料可以减少温度应力的产生。
2. 设计合理的结构
在工程设计中，可以通过合理的结构设计来减少温度应力的影响，如增加局部支撑、缓冲器等。
五、结语
温度应力是一种常见的工程问题，需要在设计和使用过程中引起足够的重视。
通过合理的材料选择和结构设计，可以有效减缓温度应力的影响，提高工程结构的安全性和稳定性。
温度应力问题
K=
1+ ν α∆T 4(1 − ν )
2GK (2 ln b − 2 ln r − 1) ln b − ln a
d 2 T 1 dT 1 d dT ∇ T= 2 + = r r dr r dr dr dr
2
=0
•
•
其通解为
T=C1lnr+C2 lnr+C
• 边界条件
(T )r =a = Ta′ − T0 = Ta
Tb − Ta C1 = ln (b a )
(T )r =b = Tb′ − T0 = Tb
• 不满足边界条件
(σ ′r )r = a
1 = −2GK 2 + = − q1 ln b − ln a
2GK = −q 2 ln b − ln a
(σ ′r )r =b = −
• 求齐次解：在圆筒内外壁分别受均匀拉力q1和q2 • 最终解为
2 αETa ln b − ln r b 2 − r 2 a σr = − − ln b − ln a b 2 − a 2 r 2(1 − ν )
∂v ∂u ∂v ∂v ∂v ∂w αE∆T λθl + G l + m + n + G l + m + n − m=0 ∂x ∂y ∂y ∂z ∂y ∂y 1 − 2ν
∂w ∂w ∂w ∂v ∂w αE∆T ∂u λθl + G l+ m+ n + G l + m + n − n=0 ∂x ∂y ∂z ∂z ∂z ∂z 1 − 2ν
温度应力
3、 建筑物的环境温度由空气温度加上太阳热辐射在建筑物表面产生的日照温度组成。要注意的是，建筑物的表面温度通常与空气温度不相同；而因为日照具有方向性和直接性，所以，日照温度对建筑物来说是一个非均匀分布的温度场。
9、 温度作用影响的可控性。控制温度作用的影响，就是要首先减小温度变形，着眼点应是控制结构长度或结构工作温度变化量。对于超长结构，可以利用后浇带来实现。
10、 由于温度计算的复杂性以及模型简化的相对性，所以计算结果更多的是参考作用，构造措施和正确施工更为重要。正如基坑现在越来越重视信息化施工一样，对于温度应力，实际的测试结果我想应该具有更大的说服力。以下是一个超长结构（156mX16m，且两端16米范围内各加宽成34米）无缝设计后进行实地测试后的一些重要结论（详参考文献4）：
14、 温度变化引起的应力有一定的滞后性。比如，温度最高的月份是8月，但应力峰值一般在9月。
15、 在今后的结构设计中，有必要考虑立面不同辐射的影响，进行配筋或构造设计，协调结构的温度应力和或变形。
参考文献：
1、 樊小卿。温度作用与结构设计。建筑结构学报。1999年第二期
2、 樊小卿，吴为。武汉国际会展中心的温度作用设计。建筑结构。2002年第一期
3.温度应力计算更重要的是了解温度应力集中的部位，以便有的放矢地采取构造措施。
4.楼上的问题一般是由忽略了第一条引起的,你可以查查看
温度应力2010-06-30 11:121、构筑物抗震规范，钢结构设计手册（沈祖炎等编写），烟囱设计规范等都把温度荷载作为可变荷载。
温度应力计算
温度应力计算B.6.1自约束拉应力的计算可按下式计算：式中：σz(t)——龄期为t时，因混凝土浇筑体里表温差产生自约束拉应力的累计值(MPa)；△T1i(t)——龄期为t时，在第i计算区段混凝土浇筑体里表温差的增量(℃)。
E i(t)——第i计算区段，龄期为t时，混凝土的弹性模量(MPa)；α——混凝土的线膨胀系数；H i(t，τ)——龄期为τ时，在第i计算区段产生的约束应力，延续至t时的松弛系数，可按表B.6.1取值。
表B.6.1 混凝土的松弛系数注：τ为龄期，H(t，τ)为在龄期为τ时产生的约束应力，延续至t时的松弛系数。
B.6.2混凝土浇筑体里表温差的增量可按下式计算：式中：j——为第i计算区段步长(d)。
B.6.3在施工准备阶段，最大自约束应力可按下式计算：式中：σzmax——最大自约束应力(MPa)；△T1max——混凝土浇筑后可能出现的最大里表温差(℃)；E(t)——与最大里表温差△T1max相对应龄期t时，混凝土的弹性模量(MPa)；H(t，τ)——在龄期为τ时产生的约束应力，延续至t时(d)的松弛系数。
B.6.4外约束拉应力可按下式计算：式中：σx(t)——龄期为t时，因综合降温差，在外约束条件下产生的拉应力(M Pa)；△T2i(t)——龄期为t时，在第i计算区段内，混凝土浇筑体综合降温差的增量(℃)。
μ——混凝土的泊松比，取0.15；R i(t)——龄期为t时，在第i计算区段，外约束的约束系数。
L——混凝土浇筑体的长度(mm)；H——混凝土浇筑体的厚度，该厚度为块体实际厚度与保温层换算混凝土虚拟厚度之和(mm)；C x——外约束介质的水平变形刚度(N／mm3)，可按表B.6.4取值。
表B.6.4 不同外约束介质的水平变形刚度取值(10-2N／mm3)。
温度应力问题的基本解法教学课件
压力容器和管道的温度应力分析
背景介绍
问题建模
压力容器和管道是工业领域中的重要设备 ，温度变化会导致压力容器和管道产生温 度应力，可能引发安全问题。
分析压力容器和管道的温度分布特点，建 立温度应力与材料属性、几何尺寸和压力 载荷之间的关系模型。
数值模拟分析
解决策略
利用有限元方法对压力容器和管道进行温 度应力模拟，预测温度变化对压力容器和 管道的影响。
02
温度应力基础理论
热膨胀和温度应力的关系
热膨胀系数的定义
热膨胀系数是描述物质在温度升高时尺寸变化程度的物理量。
热膨胀对温度应力的影响
在温度变化过程中，物体内产生的应力与热膨胀系数密切相关。
各向同性材料的热膨胀系数
各向同性材料在三个方向上的热膨胀系数相同。
材料力学性能对温度应力的影响
弹性模量的定义
对采集到的数据进行处理 和分析，提取有用的信息 。
实验结果分析和解释
结果汇总和整理
将处理后的数据整理成表格或图 表形式，便于分析和比较。
数据分析
对整理好的数据进行分析，研究温 度应力与材料性能之间的关系。
结论和讨论
根据分析结果，进行讨论并得出结 论，对温度应力问题有更深入的认 识。
06
结论与展望
温度应力问题的基本解法教 学课件
目 录
• 引言 • 温度应力基础理论 • 温度应力分析方法 • 工程实例分析 • 温度应力问题的实验研究 • 结论与展望 • 参考文献
01
引言
温度应力问题的背景和重要性
温度应力问题在工程领域具有普遍性和重要性，尤其在大型基础设施建设和机械 设计中，掌握温度应力问题的解决方法对提高工程质量和安全具有重要意义。
温度应力分析资料
详细的。考虑了气温、
太阳辐射、逆辐射等每
日和季节变化的因素。
BS规范T型、Π型梁沿
梁高方向的温差分布
§6.2.2 温度应力分析
我国公路桥梁规范（1985）规定T型、Π型梁桥面板与
其它部位的温差分布为5℃（矩形图式，升温）。 其它国家规范中也有按沿顶板厚度方向线性温差分布。 我国铁路桥梁规范规定同本书介绍。
0
与
§6.2.2 温度应力分析
2）纵向外约束应力 截面自约束作用，桥梁构件将发生变形 当结构为超静定时，多余约束将引起内力及应力
（2）横向温差应力
T型与Π型梁一般不考虑横向温差应力问题
箱梁横向温差应力计算有两个方面：
与日照温差荷载对应的温差应力；
与寒流降温温差荷载对应的温差应力。
§6.2.2 温度应力分析
不管哪方面，横向温差应力计算应分成横向自约束应力 和横向框架应力两部分。 1）板厚范围内非线性温差的自约束应力 箱梁各板在板厚范围内的非线性温差荷载有两种情况： 日照引起的沿梁高、宽两厚范围内的非线性分布荷载。 自约束应力的分析方法同纵向自约束应力
§6.2.2 温度应力分析
6.2.2.1 桥梁上部结构的温差荷载与温差应力 1、T型与Π型桥梁的温差荷载 在日照作用下，T型与Π型梁底部的很小温差分布和肋
板水平方向的温差一般被略去，温差分布近似地简化
为一支单向温差分布曲线
式中：
—梁顶、底的温差（一般取值约20℃）；
—指数系数（一般取为5，以米计）。
计算内容
§6.2.2 温度应力分析
3）温差荷载效应分析也与桥梁类别相联系
公路箱梁桥的桥面较宽，顶板完全敞开，顶、底板厚 度相差较大，横截面竖向温差比铁路桥要大。 公路箱梁的竖向温差在25℃以上，在竖向和横向温差 荷载的共同作用下，顶板内表拉应力约达到2~3MPa。
工程的温度应力计算
工程的温度应力计算温度应力是指由于温度变化引起的物体内部的应力。
在工程领域中，温度应力的计算对于材料的选择、结构设计和工程的安全性评估都具有重要意义。
本文将介绍温度应力的计算方法以及常见的应用案例。
温度应力的计算方法主要有两种：线性热弹性法和非线性热塑性法。
线性热弹性法是一种基于线性弹性理论的计算方法，适用于温度变化幅度较小、材料线性弹性行为较好的情况。
该方法的基本步骤如下：1.确定温度应变：根据温度变化情况和材料的线膨胀系数，计算出温度应变。
2.确定材料的弹性模量：根据材料的力学特性和温度，选择适当的弹性模量。
3.计算温度应力：根据线性弹性理论，利用得到的温度应变和弹性模量，计算出温度应力。
非线性热塑性法是一种基于材料的非线性力学行为的计算方法，适用于温度变化幅度较大、材料非线性行为较明显的情况。
该方法的基本步骤如下：1.确定温度应变：根据温度变化情况和材料的热膨胀系数，计算出温度应变。
2.确定材料的本构关系：根据材料的热塑性行为，选择适当的本构关系。
3.进行有限元分析：利用有限元分析软件，建立模型并进行计算。
4.计算温度应力：根据模型的计算结果，得到温度应力。
温度应力的计算在工程中有许多应用案例。
以下是一些常见的案例：1.管道的热应力计算：管道在运行过程中由于温度变化会产生应力，如果应力超过材料的强度极限，就会导致管道的破裂。
因此，计算管道的热应力是管道工程设计的重要环节。
2.钢结构的温度应力计算：钢结构在夏季高温和冬季低温的环境中，由于温度变化会产生应力，如果应力过大，就会引起结构的变形和破坏。
因此，计算钢结构的温度应力是钢结构工程设计的重要内容。
3.复合材料的热应力计算：复合材料由于材料的组分不同，在温度变化时会产生不同的热应力。
对于复合材料的设计，需要计算不同温度下的热应力，以保证材料的安全性。
4.太阳能电池板的温度应力计算：太阳能电池板在太阳光的照射下会发生温度变化，如果温度应力过大，就会影响电池板的性能和寿命。
温度应力分析
箱型桥墩横向约束应力的计算同箱梁一样，即分为 箱壁板非线性温差的自约束应力和横向框架约束应 力： 第一部分自约束应力计算方法同上部结构
第二部分横向框架约束应力也可用结构力学方法
或有限单元法计算
§6.2.2 温度应力分析
4、关于桥墩温差荷载效应的讨论 在采用固定支座传递的柔性墩体系中，简支墩的日照 温差应力数值，一般超过号混凝土的容许拉应力，而 接近20号混凝土的极限拉应力；且拉应力的分布区域 很宽，达到整个截面厚度的。
§6.2.3 温度效应分析示例
箱外、内温差 10~0º 时的横向应力（t/m2=1/100MPa） C
§6.2.3 温度效应分析示例
箱外、内温差 10~0º 时的横向应力（t/m2=1/100MPa） C
§6.2.3 温度效应分析示例
箱外、内温差 10~0º 时的横向应力（t/m2=1/100MPa） C
4、关于桥墩温差荷载效应的讨论 温差荷载在箱型墩横向产生温差约束应力，其影响往 往超过活载效应，尤其在角隅附近因实际结构应力集
中的影响，可能会发生温度裂缝。
在箱型桥墩的设计中，应充分考虑温差应力的影响， 并在构造处理上减少不必要自约束作用。
§6.2.2 温度应力分析
从温差应力角度考虑，即使墩顶设置活动支座也总
§6.2.2 温度应力分析
以上应变差产生的自约束应变为：
( y) T ( y) ( y) T ( y) ( 0 y)
自约束应力为：
( y) E ( y) ET ( y) ( 0 y)
截面自约束应力处于自平衡状态 利用 N 0 ， M 0 可解得
§6.2.3 温度效应分析示例
顶板升温 0~10º 时的腹板应力（t/m2=1/100MPa） C
应用弹塑性力学ch8-温度应力问题
（8-2）
表明：热流密度矢量 q 在任一方向上的投影，等于导热系数乘 以温度在该方向上的递减率。
§8-2
1. 热传导微分方程
热传导微分方程
（1） 热平衡原理 在任意一段时间内，物体的任一微小部分所积蓄的热量（亦即温度升高 所需的热量），等于传入该微小部分的热量加上内部热源所供给的热量。 （2） 温度升高积蓄的热量 取如图微元体 dxdydz ，设微元体 在dt时间内，温度由 T 升高到： —— 热平衡原理
在dt时间内，微元体 dxdxydz 净传入的总热量：
y
2T 2T 2T x 2 y 2 z 2 dxdydzdt
qx
y
dy
q x qx dx x
z x
2Tdxdydzdt
（4） 物体内热源产生的热量 z
O
x dx
dz
设热源强度为：W（单位时间、单位体积内供给的热量），则dt时间内，
T
t t0
f ( x, y , z ) T
t t0
（8-5） （8-6）
若初始为均匀分布，则：
C
其中：C 为常数。
2. 边界条件
（1） 第一类边界条件 已知物体表面上任一点在所有各瞬时的温度，即
Ts f ( x, y , z , t ) ( x, y , z , S 边界)
（8-7）
T n
取等温面的法线方向单位矢量为 n0，沿温度增加方向。
（5） 温度梯度
为表示温度 T 在某一点 P 处的变化率，在 P 点取一 矢量，称为温度梯度， 用ΔT 表示。
ΔT： 方向： 沿等温面的法线方向，即指温度增加的方向；
温度应力、装配应力
两端用刚性块连接在一起的两根 相同的钢杆1、 2（图a），其长度 l =200 mm，直径d =10 mm。求将 长度为200.11 mm，亦即e=0.11 mm的铜杆3（图b）装配在与杆1和 杆2对称的位置后（图c）各杆横截 面上的应力。已知：铜杆3的横截 面为20 mm×30 mm的矩形，钢的弹 性模量E=210 GPa，铜的弹性模量 E3=100 GPa。
解：
F
x
0， FN3 2FN1 0
(d)
变形协调方程（图c）为
F l F l N1 N3 利用物理关系得补充方程： e EA E3 A3
将补充方程与平衡方程联立求解得： eE3 A3 eEA 1 ， FN 3 FN1 FN 2 l 1 2 EA l E3 A3 各杆横截面上的装配应力如下：
1 2
FN1 74.53 MPa(拉) A
l1 l3 e
1 EA 1 3 3 2 EA
3
FN3 19.51 MPa（压） A3
§2.12 应力集中的概念
应力集中：由于杆件外形突 然变化而引起局部应力急剧
增大的现象。
Ⅱ Ⅰ
2
2
FS A FS 4F A 2d 2 4 15 103 3 2 2 20 10 23.9 MPa
Fbs bs bs Abs Fbs F bs Abs 1.5dt
15 103 12 10 3 20 10 3 62.5 MPa bs
目录
F F F
n
F F
F 2
n
F
m m m FS m
F F
温度应力问题的基本解法
） s
m（1
）T
（2）
这是按位移求解温度应力平面应力问题的应力边界条件。
位移边界条件仍然为：
us u，vs v
将式(1)、(2)与第二章§2-8中式(1)、(2)对比，可见
第十九页
E T 及 E T 1 x 1 y
代替了体力分量 X 及 Y ，而：
l ET 及m ET
1
1
代替了面力分量X 及 Y 。
r r
第二十九页
几何方程简化为
r
dur dr
,
ur r
x
1 E
[
x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( z
x )] T
z
1 E
[ z
( x
y )] T
第十四页
yz
2(1 E
)
yz
zx
2(1 E
) zx
xy
2(1 E
)
xy
对于平面应力的变温问题，上式简化为
x
1 E
[ x
y ] T
y
1 E
[
y
x ] T
xy
2(1 E
y2 ） b2
b
o
b
x
其中的T0 是常量。若 a》b ，试求其温
度应力。
y
解：位移势函数 所应满足的微分方程为
2
（1
）T（0 1
y2 b2
）
取
Ay2 By2
代入上式，得
2A 12By 2
（1
）T（0 1
y2 b2
）
比较两边系数，得 A （1 ）T0 ，B （1 ）T0
混凝土构件温度应力的计算原理
混凝土构件温度应力的计算原理
混凝土构件在使用过程中会受到温度的影响，由于混凝土的热膨胀系
数很小，因此在温度变化时会产生较大的应力。
在设计混凝土构件时，需要考虑温度应力的影响，以保证结构的安全性和可靠性。
温度应力的计算原理可以分为以下几个方面：
1.热膨胀系数的确定
混凝土的热膨胀系数是指单位温度变化时混凝土的长度、面积或体积
的变化量与原长度、面积或体积的比值。
热膨胀系数的大小与混凝土
的配合比、骨料种类、水胶比、水泥品种等因素有关。
一般情况下，
混凝土热膨胀系数的取值范围在10×10^-6/℃~15×10^-6/℃之间。
2.温度应力的计算公式
温度应力的计算公式为σ=αEΔT，其中σ为混凝土构件的温度应力，
α为混凝土的热膨胀系数，E为混凝土的弹性模量，ΔT为温度变化量。
在实际计算中，需要考虑温度应力的分布情况和混凝土构件的几何形状，一般采用有限元法或者解析法进行计算。
3.温度应力的控制
为了保证混凝土构件在使用过程中不会发生温度开裂或者温度变形过大的情况，需要采取一定的控制措施。
一方面可以采用降低混凝土的热膨胀系数的方法，比如在混凝土中添加一定比例的矿渣粉、粉煤灰等掺合料，或者采用高强度、高模量的混凝土。
另一方面可以采取降低温度应力的方法，比如增加混凝土构件的截面尺寸、采用预应力或者钢筋混凝土等方法。
总之，混凝土构件的温度应力计算是一个复杂的问题，需要考虑多种因素的综合影响。
只有通过科学的计算和合理的控制措施，才能够保证混凝土结构的安全性和可靠性。
混凝土结构的温度应力分析方法
混凝土结构的温度应力分析方法一、概述混凝土结构在使用过程中会受到温度的影响，温度变化会引起混凝土内部的应力变化，进而影响结构的稳定性和安全性。
因此，在混凝土结构的设计和施工中，需要考虑温度应力的影响。
本文将介绍混凝土结构的温度应力分析方法。
二、温度应力产生原因温度变化会引起混凝土内部的温度变化，从而引起混凝土内部的体积变化。
当混凝土受到约束时，体积变化会引起内部应力的变化，从而产生温度应力。
温度应力的大小与混凝土的线膨胀系数、温度变化量、混凝土的约束程度等因素有关。
三、温度应力分析方法1. 温度应力计算公式根据基本力学原理，可以得到混凝土结构的温度应力计算公式：σ = αΔT E其中，σ为温度应力，α为混凝土的线膨胀系数，ΔT为温度变化量，E为混凝土的弹性模量。
2. 温度应力分析步骤（1）确定温度变化量在进行温度应力分析前，首先需要确定温度变化量。
通常情况下，可以根据气象资料和历史数据来确定设计温度范围。
（2）确定混凝土的线膨胀系数混凝土的线膨胀系数是影响温度应力大小的关键因素之一。
一般情况下，可以根据混凝土的配比和试验数据来确定混凝土的线膨胀系数。
（3）确定混凝土的约束程度混凝土的约束程度也是影响温度应力大小的关键因素之一。
混凝土的约束程度越大，温度应力就越大。
一般情况下，可以根据混凝土的结构形式和施工方式来确定混凝土的约束程度。
（4）计算温度应力根据上述公式和确定的参数，可以计算出混凝土结构在温度变化下的应力分布情况。
四、温度应力分析案例以下是一个混凝土结构的温度应力分析案例：假设某混凝土结构的线膨胀系数为1.2×10^-5/℃，设计温度范围为-10℃~30℃，混凝土的约束程度为中等程度。
根据上述参数，可以计算出该混凝土结构在温度变化下的应力分布情况。
（1）确定温度变化量根据设计温度范围，温度变化量为40℃。
（2）确定混凝土的线膨胀系数已知混凝土的线膨胀系数为1.2×10^-5/℃。
水泥混凝土路面温度应力的计算与分析
水泥混凝土路面温度应力的计算与分析水泥混凝土路面的温度应力是路面施工和使用过程中需要考虑的一个重要问题，它对路面的稳定性和耐久性有着直接的影响。
在本篇文章中，我将详细介绍水泥混凝土路面温度应力的计算与分析方法，并分享我的观点和理解。
一、温度应力的原因与表现水泥混凝土路面温度应力主要由两个原因引起：温度变化和限制条件。
当路面受到温度变化的作用时，水泥混凝土路面会产生热胀冷缩效应，从而产生内部的温度应力。
路面的几何限制条件（如交通荷载、边界约束等）也会导致温度应力的产生。
这些温度应力在路面表面的表现形式是裂缝和变形。
由于水泥混凝土的有限的抗拉强度，温度引起的应力超过其抗拉强度时，路面就会产生裂缝。
由于温度应力的作用，路面可能会出现变形现象，如变形、凸起等。
二、温度应力的计算与分析方法下面我将介绍两种常用的水泥混凝土路面温度应力的计算与分析方法。
1. 数值模拟方法数值模拟方法是目前常用的一种计算水泥混凝土路面温度应力的方法。
它基于有限元原理，通过将路面划分为小的单元，对每个单元进行温度场和应力场的计算，最后通过求解大量单元的方程组得到整体的温度应力分布。
数值模拟方法的优点在于能够考虑复杂的边界条件和材料性能，并且计算结果准确可靠。
然而，该方法需要较为复杂的数值计算技术，对计算机硬件和软件要求较高，而且计算过程较为繁琐。
2. 经验公式方法经验公式方法是另一种计算水泥混凝土路面温度应力的方法。
该方法基于已有的实测数据和经验公式，通过简化计算过程，得到大致的温度应力估计值。
这种方法的优点是简单易行，不需要复杂的计算过程和专业的数值模拟技术。
然而，由于经验公式方法忽略了一些影响因素和细节，因此计算结果可能不够精确。
该方法更适用于一般性的工程设计和初步评估。
三、个人观点与理解在我看来，水泥混凝土路面温度应力的计算与分析是确保路面稳定性和耐久性的重要环节。
准确地计算和分析温度应力，不仅可以指导工程设计和施工过程，还可以为路面维护和养护提供依据。
第十章_温度应力
第十章 温度应力前面几章讨论了弹性体在外荷载或边界位移（基础沉降）作用下引起的应力及变形，本章将讨论弹性体由于温度的改变而引起的应力与变形。
当弹性体的温度改变时，它的每一部分都将由于温度的升高或降低而趋于膨胀或收缩，但是，由于弹性体所受到的外在约束，以及弹性体自身各个部分之间的相互约束，使得弹性体的膨胀或收缩并不能自由地发生，于是就产生了应力，这种由于温度改变所产生的应力称之为温度应力。
温度应力是混凝土结构产生裂缝的主要原因之一，温度裂缝对结构造成严重的危害，对结构的安全性与耐久性产生重要影响。
为了确定弹性体内的温度应力，需进行两方面的计算：（1）按照热传导理论，根据弹性体的热学性质、内部热源、初始条件和边界条件，计算弹性体内各点在各瞬时的温度，即确定温度场，前后两个时刻的温度场之差就是弹性体的温度改变。
（2）按照“热弹性力学”，根据弹性体的温度改变来求出体内各点的温度应力，即确定应力场。
关于温度场的计算，在传热学中已有详细讨论，本章仅介绍传热学的基本方程及初始、边界条件。
本章将主要讨论温度应力的计算，暂不考虑荷载或边界位移对应力的影响，对于实际既有荷载作用、边界位移作用以及温度改变作用的弹性力学问题，可分别单独计算单个作用因素下的应力结果，然后应用叠加原理，将单个作用因素下的应力结果叠加起来，即可得到实际问题的解答。
§10-1温度场和热传导方程（1）温度场一般情况下，在热传导的过程中，弹性体内各点的温度随位置和时间而变化，因而温度T 是位置坐标和时间t 的函数：(,,,)T T x y z t = (10.1)在任一瞬时，所有各点的温度值的总体称为温度场。
一个温度场，如果它的温度随时间而变化，如式(10.1)所示，就称为不稳定温度场；如果温度场不随时间而变化，即有：0T t∂=∂，就称为稳定温度场。
在稳定温度场中，温度只是位置坐标的函数，即：(,,)T T x y z = （a ）如果稳定温度场只随着两个位置坐标而变化，即平面稳定温度场为：(,)T T x y = （b ）温度场的等温线可以表示为：(,)T x y C = （c ）式中：C 为常数，平面温度场的等温线如图10-1所示。
温度应力问题
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第七章 薄板小挠度弯曲问题
1 Kirchhoff-Love假定
◆ 假定之一——变形前垂直于中面的任一直线段，在薄板变形后
第七章 薄板小挠度弯曲问题
2 基本关系式和基本方程——本构关系形式之二
6个内力分量的分布集度——薄板的内力
Mx
D
2w x 2
2w y 2
My
D
2w y 2
2w x 2
M
xy
M
yx
D(1
)
2
w
xy
Qx Qy
h/2
h / 2 h/2
h / 2
xzdz yzdz
M x D x y M y D y x
3 2
Qy h
(1
4z2 h2
)
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第七章 薄板小挠度弯曲问题
3 边界条件
薄板弯曲微分方程是一个双调和微分方程，为使该方程有唯一确定 的解，在边界上应提供相应的合适数量的解。对矩形薄板，在每个边 界上应给出两个边界条件。
典型的边界条件可分为三类：
1）几何边界条件
在薄板边界上给定边界挠度 w 和边界切向转角 w ，s表示边界的
x2
xy y2
——弯矩表示的平衡微分方程
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第七章 薄板小挠度弯曲问题
2 基本关系式和基本方程——平衡关系
中面挠度w表示的平衡微分方程
4w x4
2
4w x 2 y 2
温度应力计算公式
温度应力计算公式温度应力是物体在受到温度变化时产生的应力。
当物体处于不均匀温度场中时，由于物体不同部分的膨胀系数不同，就会产生应力，这种应力称为温度应力。
温度应力的大小与物体材料的热膨胀系数、温度变化量以及物体内部的约束情况有关。
温度应力的计算可以使用线性热弹性材料的温度应力公式：\[ \sigma = \alpha \cdot E \cdot \Delta T \]其中，\[ \sigma \] 是温度应力，\[ \alpha \] 是物体的热膨胀系数，\[ E \] 是杨氏模量，\[ \Delta T \] 是温度变化量。
这个公式的前提是物体只受到温度的影响，没有其他外力作用。
如果物体还受到其他外力作用，需要考虑这些外力的影响。
在计算温度应力时，可以采用以下几个步骤：1.确定物体的几何形状和材料性质，包括热膨胀系数和杨氏模量。
这些参数可以通过实验或者查阅相关资料获得。
2.确定温度变化量。
温度应力的计算需要知道物体的初始温度和最终温度之间的差值。
3. 将参数带入温度应力公式，计算出温度应力的数值。
注意单位的一致性，热膨胀系数一般以 \( 1/\text{℃} \) 为单位，杨氏模量一般以 \text{帕斯卡}（\text{Pa}）为单位，温度变化量一般以摄氏度为单位，温度应力的单位为帕斯卡（\text{Pa}）。
温度应力的计算公式可以通过引入热力学和弹性力学的知识推导得到。
在温度变化时，由于物体不同部分的温度不同，就会引起物体的体积膨胀或者收缩。
这种膨胀或者收缩会引起内部的应力分布，从而产生温度应力。
需要注意的是，温度应力只是物体在受到温度变化时产生的瞬时应力，不会一直存在。
一旦温度变化停止，温度应力就会消失。
温度应力的计算方法还有其他的一些公式，比如复杂几何形状的物体可以使用有限元方法进行计算。
不同的方法适用于不同的情况，根据具体的问题选择适合的计算方法。
总之，温度应力的计算是热力学和弹性力学的应用，通过使用温度应力公式，可以计算出物体在受到温度变化时产生的应力。
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述形变并不能自由发生，于是就产生了应力，即所谓温度应力。这个温度应
力又将由于物体的弹性而引起附加的形变，如虎克定理所示。因此，弹性体
总的形变分量是：
x
1 E
[ x
(
y
z )] T
y
1 E
[
y
( z
x )] T
z
1 E
[
z
( x
y )] T
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yz
2(1 E
) yz
zx
2(1 E
o
T-△TTT+△T x
线方向，温度的变化率最大。
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3.温度梯度：沿等温面的法线方向，指向温度增大方向的矢 量。用△T表示，其大小用Tn 表示。其中n为等温面的法线方
向。温度梯度在各坐标轴的分量为
T T COS（n，x）
x
n
T T COS（n，y）
y
n
T T COS（n，z）
z
n
取 n0 为等温面法线方向且指向增温方向的单位矢量，则有
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
第六章 温度应力问题的基本解法
§6-1 温度场和热传导的基本概念 §6-2 热传导微分方程 §6-3 温度场的边界条件 §6-4 按位移求解温度应力的平面问题 §6-5 位移势函数的引用 §6-6 轴对称温度场平面热应力问题
中小教资
3
§6-1 温度场和热传导的基本概念
1.温度场：在任一瞬时，弹性体内所有各点的温度值的总体。用T表示。
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第三类边界条件 已知物体边界上任意一点在所有瞬时 的运流（对流）放热情况。按照热量的运流定理，在单位时 间内从物体表面传向周围介质的热流密度，是和两者的温差 成正比的，即
(qn )s (Ts Te )
其中Te是周围介质的温度； 称为运流放热系数，或简称热
系数。
第四类边界条件 已知两物体完全接触，并以热传导方 式进行热交换。即
不稳定温度场或非定常温度场：温度场的温度随时间而变化。
即 T=T（x，y，z，t）
稳定温度场或定常温度场：温度场的温度只是位置坐标的函数。
即 T=T（x，y，z）
平面温度场：温度场的温度只随平面内的两个位置坐标而变。
y
即 T=T（x，y，t）
2.等温面：在任一瞬时，连接温度场
T+2△T
内温度相同各点的曲面。显然，沿着 等温面，温度不变；沿着等温面的法
Ts Te
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§6-4 按位移求解温度应力的平面问题
设弹性体内各点的温变为T。对于各向同性体，若不受约束，则弹性体
内各点的微小长度，都将产生正应变T （ 是弹性体的膨胀系数），这样， 弹性体内各点的形变分量为
x y z T , yz zx xy 0
但是，由于弹性体所受的外在约束以及体内各部分之间的相互约束，上
dxdydzdt
由上下两面传入的净热量为：
2T y 2
dydzdxdt
由前后两面传入的净热量为：
2T z 2
dzdxdydt
因此，传入六面体的总净热量为：
(
2T x 2
2T y 2
2T z 2
)dxdydzdt
简记为：
2Tdxdydzdt
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假定物体内部有正热源供热，在单位时间、单位体积供
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当弹性体的温度变化时，其体积将趋于膨胀和收缩，若 外部的约束或内部的变形协调要求而使膨胀或收缩不能自由 发生时，结构中就会出现附加的应力。这种因温度变化而引 起的应力称为热应力，或温度应力。
忽略变温对材料性能的影响，为了求得温度应力，需要 进行两方面的计算：（1）由问题的初始条件、边界条件， 按热传导方程求解弹性体的温度场，而前后两个温度场之差 就是弹性体的变温。（2）按热弹性力学的基本方程求解弹 性体的温度应力。本章将对这两方面的计算进行简单的介绍。
t
t
其中 是物体的密度，C 是单位质量的物体升高一度时所需
的热量——比热容。
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在同一段时间dt内，由六面体左面传入热量qxdydzdt，
由右面传出热量
(qx
qx x
dx)dydzdt
。因此，传入的净热量为
qx dxdydzdt
x
将
qx
T x
代入可见：
由左右两面传入的净热量为：
2T x 2
初始条件：(T )t0 f (x, y, z)
边界条件分四种形式：
第一类边界条件 已知物体表面上任意一点在所有瞬时的温度，即
Ts f (t) 其中Ts 是物体表面温度。
第二类边界条件 已知物体表面上任意一点的法向热流密度，即
向。
(qn )s f (t) 其中角码 s 表示“表面”，角码n 表示法
热为W，则该热源在时间dt内所供热量为Wdxdydzdt。
根据热量平衡原理得： c T dxdydzdt 2Tdxdydzdt Wdxdydzdt
x
化简后得： 记
T 2T W
t c
c
a c
则
T a2T W
t
c
这就是热传导微分方程。
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§6-3 温度场的边值条件
为了能够求解热传导微分方程，从而求得温度场，必须已知物体在 初瞬时的温度，即所谓初始条件；同时还必须已知初瞬时以后物体表面 与周围介质之间热交换的规律，即所谓边界条件。初始条件和边界条件 合称为初值条件。
△T
n0
T n
（1）
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4.热流速度：在单位时间内通过等温面面积S
的热量。用
dQ dt
表示。
热流密度：通过等温面单位面积的热流速度。用 q 表示， 则有
q
n0
dQ dt
/S
(2)
其大小为
q dQ / S dt
中小教资
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5.热传导基本定理：热流密度与温度梯度成正比而方向相反。 即
q △T
) zx
xy
2(1 E
) xy
对于平面应力的变温问题，上式简化为
x
1 E
[ x
y ] T
y
1 E
[ y
x ] T
温度在该方向的递减率。
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§6-2 热传导微分方程
热量平衡原理：在任意一段时间内，物体的任一微小部 分所积蓄的热量，等于传入该微小部分的热量加上内部热源 所供给的热量。
y
qx
qx
qx x
dx
x z
取图示微小六面体dxdydz。假定该六面体的温度在dt时
间内由T 升高到T T dt。由温度所积蓄的热量是 Cdxdydz T dt ，
(3)
称为导热系数。由（1）、（2）、（3）式得
dQ / T S
dt n
可见，导热系数表示“在单位温度梯度下通过等温面单位面积 的热流速度”。
由（1）和（3）可见，热流密度的大小
q T
n
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热流密度在坐标轴上的投影
qx
T x
qy
T y
qz
T z
可见：热流密度在任一方向的分量，等于导热系数乘以