正态分布

2?
（1）证明f(x)是偶函数；
（2）求f(x)的最大值；
（3）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。
3、若一个正态分布的概率函数是一个偶函数且该函
1
数的最大值等于 4 2? ，求该正态分布的概率密度函数 的解析式。
题型二、正态曲线的性质
1、把一个正态曲线 a沿着横轴方向向右移动 2个单位， 得到新的一条曲线 b。下列说法中不正确的是（ ）
f (x) ?
1
2? ?
?
e
(x? ? )2
2? 2
x?
(??
,??
)
y
（1）当x = μ 时,函数值为最大 .
1
x=μ
（2）f (x) 的值域为
(0,
]
2? ?
x (3) f (x) 的图象关于 =μ 对称. -3 -2 -1 0 1 2 3 x
（4）当x∈（－∞，μ] 时f (x)为增函数. 当x∈（μ，+∞） 时f (x)为减函数.
A. f (x) ?
1
(x? ? )2
e 2? 2 , ? ,? (? ? 0)都是实数
2??
B.
f (x) ?
2?
x2 ?
e2
wenku.baidu.com
2?
C. f (x) ?
1
( x ? 1)2 ?
e4
2 2?
D. f (x) ?
1
x2
e2
2?
2、标准正态总体的函数为
f (x) ?
1
? x2
e 2 , x ? (?? , ?? ).
例2、在某次数学考试中，考生的成绩 ? 服从一个 正态分布，即 ? ~N(90,100). （1）试求考试成绩 ? 位于区间(70,110)上的概率是
多少？
（2）若这次考试共有 2000名考生，试估计考试成绩 在(80,100) 间的考生大约有多少人？
练习：1、已知一次考试共有 60名同学参加，考生的
成绩X~(100,5 2 )，据此估计，大约应有 57人的分
数在下列哪个区间内？（ A）
A. (90,110] B. (95,125] C. (100,120] D.(105,115]
2、已知X~N (0,1)，则X在区间 (?? , ? 2) 内取值的概率
等于（ D ）
A.0.9544 B.0.0456 C.0.9772 D.0.0228 3、设离散型随机变量 X~N(0,1),则P(X ? 0)= 0.5 ,
练
归纳小结
1 正态总体函数解析式：
f (x) ?
1
e?
( x? ? )2 2? 2
2? ?
2 正态曲线
x ? (?? ,?? )
μ= -1
y σ=0.5
y
μ=0 σ=1
y μ=1 σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
b
? P(a ? X ? b) ? a ? ? ,? (x)dx
2.正态分布的定义:
如果对于任何实数 a<b, 随机变量X满足:
b
? P(a ? X ? b) ? a ? ? ,? (x)dx
则称X 服从正态分布. 正态分布由参数μ、σ唯一 确定.正态分布记作N（ μ，σ2）.其图象称为正态 曲线.
有0.3 ％。
当 a ? 3? 时正态总体的取值几乎总取值于区间
(? ? 3由? 于, ?这? 些3?概) 之率内值,很其小他（区一间般取不值超几过乎5不％可能），.在通实常
称际这运些用情中况就发只生考为虑这小个概区率间事件,称。为 3? 原则.
题型一、正态分布函数的考查
1、下列函数是正态密度函数的是（ B ）
正态曲线的性质
1
? ? ?? (x) ?
y
2??
μ= -1
σ=0.5
( x ? ? )2
e? 2? 2
y
μ=0
, x ? (?? ,?? )
y μ=1
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0 1 2 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
（1）曲线在 x轴的上方，与 x轴不相交 . （2）曲线是单峰的 ,它关于直线 x=μ对称. （3）曲线在 x=μ处达到峰值 (最高点) 1
归纳小结
3 正态曲线的性质
（1）曲线在x轴的上方，与 x轴不相交.
（2）曲线关于直线 x=μ对称.
（3）曲线在x=μ时位于最高点 .
（4）当 x<μ时，曲线上升；当 x>μ时，曲线下降 . 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以轴为渐近线， 向它无限靠近 .
(5)当μ一定时，曲线的形状由 σ确定 . σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 .
如果把球槽编号 ,就可以考察到底是落在 第几号球槽 中.重复进行高尔顿板试验 ,随着试验次数的增加,掉入 各个球槽内的小球的个 数就 越来越多,堆积的高度也 会越来越高 .各个球 槽的堆积高度反映了小 球掉入各 球槽的个数多少 ?
为了更好地考察随着试 验次数的增加 ,落在在各 个球槽内的小球分布情 况,我们进一步从频率的 角度探究一下小球的分 布规律 .以球槽的编号为 横坐标,以小球落 入各个球槽内的频率值 为纵坐
1
2??
? (x?? )2
e 2? 2 x? (?? ,?? )
式中的实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示 总体的平均数与标准差，称f( x)为正态密度函 数， f( x) 的图象称为正态曲线
Y
a
bc
d
平均数
X
若用X表示落下的小球第 1次与高尔顿板底部接触时 的坐标,则X是一个随机变量 .X落在区间 (a,b] 的概率为 :
如果随机变量X服从正态分布， 则记作 X~ N（ μ，σ2）
正态总体的函数表示式
f (x) ?
1
2? ?
?
e
(x? ? )2 2? 2
x?
(??
,??
)
当μ= 0，σ=1时
标准正态总体 的函数表示式
x2
f (x) ?
1
2?
?
e2
x ? (?? ,?? )
此时，? ~ ?0，1?
标准正态曲线
3.正态分布 密度函数的性质
2.4 正态分布
你见过高尔顿板吗 ? 图2. 4 ? 1
所示的就是一块高尔顿 板示意
图.在一块木板上钉上若干 排相
互平行但相互错开的圆 柱 形小
木块,小木块之间留有适当的 空
隙作为通道 , 前面挡有一块玻璃 . 让一个小球从高尔顿板 上方的
图2.4 ? 1
通道口落下,小球在下落过 程中
与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方 的某一球槽内.
S(-x1, -x2)
S(x1,x2)=S(-x2,-x1)
? -x1 -x2
x2 x1
5、特殊区间的概率:
若X~N (? ,? 2 ),则对于任何实数a>0,概率
??a
? P(? ? a ? ? ≤ ? ? a) ? ? ? ,? ( x )dx ? ?a
为如图中的阴影部分的面积，对于固定的 ? 和 ? 而言，该面
题型三、求正态区间概率
练习
1、已知X~N(1.4,0.052)，求X落在区间 (1.35,1.45)中的概率
2、已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)的概 率和落在区间(3,5)的概率相等，那么这个 正态分布的均值为_____
3、在某项测量中，测量结果X服从正态分布 N(1,σ2)(σ>0)，若X在区间(0,1)内取值的概 率为0.4，则X在区间(0,2)内取值的概率是 _____
P(? 2 ? X ? 2)= 0.9544 .
例3、某年级的一次信息技术测验成绩近似的服从正
态分布 N (70,102 ) ，如果规定低于 60分为不及格，
求：
（1）成绩不及格的人数占多少？
（2）成绩在 80~90内的学生占多少？
3? 原则应用
例、某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单 位:cm)服从正态分布N(4,0.25)，质检人员 从该厂生产的1000件零件中随机抽查一件 ，测得它的外直径为5.7cm，试问该厂生产 的这批零件是否合格？
积随着? 的减少而变大。这说明 ? 越小, 落在区间
的概率越大，即X集中在 ? 周围概率越大。
(?
?
a,
?
?
a]
特别地有
x=μ P(? ? ? ? X ? ? ? ? ) ? 0.6826,
P(? ? 2? ? X ? ? ? 2? ) ? 0.9544,
P(? ? 3? ? X ? ? ? 3? ) ? 0.9974.
? -a ? +a
区间 （μ －σ ，μ ＋σ ] （μ －2σ ，μ ＋2σ ] （μ －3σ ，μ ＋3σ ]
取值概率 68.3% 95.4% 99.7%
我们从上图看到，正态总体在 ?? ? 2? , ? ? 2? ?以外取
值的概率只有 4.6％，在 ?? ? 3? , ? ? 3? ?以外取值的概率只
图2.4 ? 3
x
这条曲线就是(或近似地)下列函数的图象 :
? ? ? ? φμ,σ x ?
1
?
e
?x ? μ ?2
2σ2
,x
?
? ? ,??
,
2πσ
其中实数μ和σ?σ ? 0?为参数.我们称φμ,σ ?x?的
图象为 正态分布密度曲线 ,简称正态曲线 .
1 、正态曲线的定义：
函数 ?? ,? (x) ?
A.曲D线b仍然是正态曲线；
B.曲线a和曲线b的最高点的纵坐标相等 ;
C.以曲线b为概率密度曲线的总体的期望比以曲线 a为 概率密度曲线的总体的期望大 2;
D.以曲线b为概率密度曲线的总体的方差比以曲线 a为 概率密度曲线的总体的方差大 2。
3、设随机变量X~N(2,9)，若 P(X>c+1)=p(X<c-1)，则c=____
标,频可率 以画出频率分布直方 图 ?图2.4 ? 2?.
0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 槽的编号
图 2.4 ? 2
随着重复次数的增加 , 这个频率直方图的形状
会越来越像一条钟形曲 线?图2.4 ? 3?.
y
O
正态曲线
4、正态曲线的性质
? ? ?? (x) ?
1
( x ? ? )2
e? 2? 2 , x ? (?? , ?? )
2??
y
y
y
μ= -1
μ=1
σ=0.5
μ=0
σ=1
σ=2
x x -3 -2 -1 0 1 2
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
具有两头低、中间高、左右对称 的基本特征
(6)当μ一定时，曲线的形状由 σ确定 . σ 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散； σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中 .
正态曲线下的面积规律
X轴与正态曲线所夹面积恒等于 1 。 对称区域面积相等。
S(-? ,-X)
S(X,? )＝S(-? ,-X)
?
正态曲线下的面积规律
? 对称区域面积相等。
σ 2π
（4）曲线与 x轴之间的面积为 1
正态曲线的性质
y X=μ ? ? ?? ( x) ?
σ=0.5
1
( x ? ? )2
e? 2? 2
2??
σ=1
σ=2
-3 -2 -1 0
12 3 x
（5）当 x<μ时,曲线上升 ;当x>μ时,曲线下降.并且当曲线 向左、右两边无限延伸时 ,以x轴为渐近线 ,向它无限靠近 .