(完整word版)高等数学第10章课后习题答案(科学出版社)

， ， ，
取逆时针方向．于是
，
其中 表示 的负方向．由格林公式则有
，
其中 为 与 所围成的闭区域．故
．
(5) ，其中 ， 为圆周 取逆时针方向， 是 沿 的外法线方向导数。
解由于 ，其中 是在曲线 上点 处的切线的方向角，故 ．根据两类曲线积分之间的联系及格林公式，有
．
因为 为圆周 ，所以 所围成的圆的面积 ，因此
。
（5） ，其中 为从点 到点 的直线段 ；
解 直线 的方程为
化成参数方程得
， ， ， 从 变到 。
所以
。
（6） ， 为椭圆周 且从 轴正方向看去， 取顺时针方向。
解 的参数方程为
， ， ， 从 变到 ，
。
1.利用曲线积分求下列平面曲线所围成图形的面积:
(1)星形线 ( )；）
解
。
(2)圆 ，（ ）；
5可微函数 应满足什么条件时，曲线积分
与路径无关？
解 令 ， ，则
， 。
当 ，即 或 在整个 面内恒成立时，曲线积分 在整个 面内与路径无关。
习题
1当 为 面内的一个闭区域时,曲面积分 与二重积分有什么关系?
答当 为 面内的一个闭区域 时， 在 面上的投影就是 ，于是有
。
2计算曲面积分 ，其中 是
（1）锥面 及平面 所围成的区域的整个边界曲面；
解 锥面 与平面 的交线为 ，即锥面在 面上的投影区域为圆域 。而
， ，
，
因此
。
（2） 面上的直线段 绕 轴旋转一周所得到的旋转曲面。
解 旋转曲面为 ，故
，
所以
，
其中 是 在 坐标面上的投影区域，利用极坐标计算此二重积分，于是
。
3计算下列曲面积分:
(1) ，其中 是抛物面在 面上方的部分： , ；
解 抛物面 在 面上方的部分在 面上的投影 为圆域 , ,故
解
的方程为 ，则有
．
的方程为 ，则
．
所以 ．
（3） 是从点 沿上半圆周 到点 的一段弧；
解
利用曲线的参数方程计算． 的参数方程为: ，在起点 处参数值取 ，在终点 处参数值相应取0，故 从 到0．则
= ．
（4） ，其中 沿右半圆 以点 为起点，经过点 到终点 的路径；
解利用曲线的参数方程计算． 的参数方程为: ，在起点 处参数值取 ，在终点 处参数值相应取 ，则
．
故所求重心坐标为 ．
1设 为 面内一直线 （ 为常数），证明
。
证明：设 是直线 上从点 到点 的一段，其参数方程可视为
，（ ），
于是
。
2计算下列对坐标的曲线积分：
（1） ，其中 为抛物线 上从点 到点 的一段弧。
解将曲线 的方程 视为以 为参数的参数方程 ，其中参数 从 变到 。因此
。
（2） ，其中 是曲线 从对应于 时的点到 时的点的一段弧；
．
综上所述 ．
（3） ，其中 为圆周 ；
解直接化为定积分． 的参数方程为
, （ ）,
且
．
于是
．
（4） ，其中 为折线段 ，这里 ，
；
解如图所示，
．
线段 的参数方程为 ，则
，
故
．
线段 的参数方程为 ，则
故
，
线段 的参数方程为 ，则
，
故
所以
．
2求八分之一球面 的边界曲线的重心，设曲线的密度 。
解设曲线在 坐标平面内的弧段分别为 、 、 ，曲线的重心坐标为 ，则曲线的质量为 ．由对称性可得重心坐标
解因为 ， ，所以 在整个 面内恒成立，因此，：在整个 面内， 是某一函数 的全微分，即有
。
于是就有
（4）
（5）
由（4）式得
（6）
将（6）式代入（5）式，得
（7）
比较（7）式两边，得
于是 （其中 是任意常数）
代入（6）式便得所求的函数为
。
（3） 。
解 令 ， ，则在全平面上有
，满足全微分存在定理的条件，故在全平面上，
第十章曲线积分与曲面积分习题详解
1计算下列对弧长的曲线积分：
（1） ，其中 是圆 中 到 之间的一段劣弧；
解: 的参数方程为：
，于是
．
（2） ，其中 是顶点为 及 所成三角形的边界；
解: 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有
，
由于 : ， ，于是
，
故 ，
而 ,，于是
．
故
，
同理可知 （ ）， ，则
。
（3） ，其中 和 为连续函数。
解 令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
。
4 验证下列 在整个 面内为某一函数 的全微分，并求出这样的一个 ：
（1） ；
解令 ，
，
∴原式在全平面上为某一函数的全微分，取
，
= =
（2） ；
。
3证明下列曲线积分在整个 面内与路径无关，并计算积分值:
(1) ；
解 令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此，曲线积分 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
。
(2) ；
解 令 ， ，则 在整个 面内恒成立，因此， 在整个 面内与路径无关。为了计算该曲线积分，取如右图所示的积分路径，则有
解设圆的参数方程为 , 从 变到 .那么
。
2利用格林公式计算下列曲线积分:
(1) ，其中 是圆 ，方向是逆时针方向；
解设闭曲线 所围成闭区域为 ，这里
， ， ， ，
由格林公式，得
。
(2) ，其中 是依次连接 三点的折线段，方向是顺时针方向。
解令 ， ，则 ，且线段 ， 由1变化到-1，故有
．
其中 为 所围成的闭区域．
是全微分．
下面用三种方法来求原函数：
解法1 运用曲线积分公式，为了计算简单，如图9－10所示，可取定点 ，动点 与 ，于是原函数为
．
取路径: ，得
．
解法2 从定义出发，设原函数为 ，则有 ，两边对 积分（ 此时看作参数），得
（*）
待定函数 作为对 积分时的任意常数，上式两边对 求偏导，又 ，于是
，
即 ，从而 （ 为任意常数），代入（*）式，得原函数 ．
.
(2) ，其中 是上半球面 , ；
解 上半球面 在 面上的投影 为圆域 ,
,
,故
.
.
（3） ，其中 为平面 在第一卦限的部分；
解 将曲面的方程改写为 ，则
, ，从而
，
图9－12
(3) ，其中 为常数， 为圆 上从点 到点 的一段有向弧；
解如右图所示，设从点 到点 的有向直线段的方程为
， 从 变到 。
则 与曲线 构成一闭曲线，设它所围成闭区域为 ，令
， ，
， ，
由格林公式，得
。
而
，
故
。
(4) ，其中 为椭圆 ，取逆时针方向；
解 令 ， ，则当 时， ，
但积分曲线 所围区域包含点 ， 在该点不具有连续的偏导数，因此不能直接应用格林公式计算，需要将奇点 去掉，为此作半径足够小的圆 : ，使 位于 的内部，如图右所示． 的参数方程为