第三章第七讲：三角形等高模型与鸟头模型例题精讲

板块一三角形等高模型

我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2

从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.

如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；

如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；

这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生

变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来的一

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样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时

也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.

在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:

①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；

两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

如左图S：S2a:b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ；

反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD .

④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.

【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成:

6个面积相等的三角形.

【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B C和D在同一条直线上.

⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形;

⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍

⑵求三角形ABD 勺面积是三角形 ADC 面积的多少倍

如图，长方形ABCD 的面积是

56平方厘米，点E

、F 、G 分别是长方形 ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积.

【例5】长方形ABCD 的面积为36cm 2

, E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积

是多少

【例6】长方形ABCD 的面积为36, E 、F 、G 为各边中点，H 为AD 边上任意一点，问阴影部分面积是

多少

3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米,

那么图中阴影部分的面积是

平方厘米.

【例

F

【例8】如图，在平行四边形 ABCDK EF 平行AC 连结BE AE CF 、BF

那么与込BEC 等积的三角形一共有

哪几个三角形

【例11】 如图ABCD^—个长方形，点E 、F 和G 分别是它们所在边的中点. 如果长方形的面积是 36个平

【例

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】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC AD 12厘米，DE 3厘米.求三角形 ABO 的面积是三角形

EBC

【解析】 AEC AFC ABF

【例9】（第四届”迎春杯”试题）如图，三角形 ABC 的面积为1,其中AE

3AB ，BD 2BC ，三角形 BDE

的面积是多少

【例10】 （2008年四中考题）如右图，AD DB ，AE EF FC ，已知阴影部分面积为 5平方厘米, ABC

面积的几倍

C

的面积是 _________ 平方厘米.

方单位，求三角形EFG勺面积是多少个平方单位.

【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成•求阴影部分的面积.

I2cm2

:

48cm2

【例13】如图，三角形ABC中，DC 2BD , CE 3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少

【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89, 28, 26 •那么三角形DBE的面积是 ____________

【例15】（第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形BDC 的面积比三角形ABD的面积大10平方分米•已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米.求梯形ABCD勺面积.

G

C

F

B

A

【例16】图中• AOB的面积为15cm2，线段0B的长度为0D的3倍，求梯形ABCD勺面积.

【例17】如图，把四边形ABC戰成一个等积的三角形.

【例18】（第三届“华杯赛”初赛试题）一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2 .问：长方形的面积是多少平方厘米

【例19】O是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是5cm2 , OAB的面积是2cm2，求OBD的面积是多少

【例20】如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米

【例21】如右图，正方形ABCD的面积是20，正三角形BPC的面积是15，求阴影BPD的面积.

【例22】在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰AOB的面积为16，等腰DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影AOC的面积是多少

【例23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形

分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG的面积为15cm2，而BCG的

面积恰好是梯形ABCD面积的—，则梯形ABCD的面积是

20

【例24】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.

【例25】如图，正方形ABC啲边长为6, AE , CF 2•长方形EFGH勺面积为_______________

ABCD 中，E、F

2

cm

D

F