历年联赛题-2005年全国高中数学联赛
2005-2016高中数学联赛试题汇总
2005年全国高中数学联赛试卷1．使关于x 的不等式x －3+6－x ≥k 有解的实数k 的最大值是2．空间四点A 、B 、C 、D 满足|→AB |＝3，|→BC |＝7，|→CD |＝11，|→DA |＝9．则→AC ·→BD 的取值有 个 3．△ABC 内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于A 1、B 1、C 1，则AA 1·cos A 2+BB 1·cos B 2+CC 1·cosC2sin A +sin B +sin C的值为4．如图，ABCD －A 'B 'C 'D '为正方体，任作平面α与对角线AC '垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S ，周长为l ，则 ( ) A ．S 为定值，l 不为定值 B ．S 不为定值，l 为定值 C ．S 与l 均为定值 D ．S 与l 均不为定值5．方程x 2sin 2－sin 3+y 2cos 2－cos 3＝1表示的曲线是焦点在 轴上的 6．记集合T ＝{0，1，2，3，4，5，6}，M ＝{a 17+a 272+a 373+a 474| a i ∈T ，i ＝1，2，3，4}，将M 中的元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )A ．57+572+673+374B ．57+572+673+274C ．17+172+073+474D ．17+172+073+3747．将关于x 的多项式f (x )＝1－x +x 2－x 3+…－x 19 +x 20表为关于y 的多项式g (y )＝a 0+a 1y +a 2y 2+…+a 19y 19+a 20y 20，其中y ＝x －4，则a 0+a 1+…+a 20＝ ； 8．已知f (x )是定义在(0，+∞)上的减函数，若f (2a 2+a +1)＜f (3a 2－4a +1)成立，则a 的取值范围 是 ； 9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜2π，若对于任意x ∈R ，cos(x +α)+cos(x +β)+cos(x +γ)＝0，则γ－α＝10．如图，四面体DABC 的体积为16，且满足∠ACB ＝45︒，AD +BC +AC2＝3，则CD ＝11．若正方形ABCD 的一条边在直线y ＝2x －17上，另外两个顶点在抛物线y ＝x 2上，则该正方形面积的最小值为12．如果自然数a 的各位数字之和等于7，那么称a 为“吉祥数”．将所有“吉 祥数”从小到大排成一列a 1，a 2，a 3，…，若a n ＝2005，则a 5n ＝13．数列{a n }满足a 0＝1，a n +1＝7a n +45a n 2－362，n ∈N ，证明：⑴ 对任意n ∈N ，a n 为正整数；⑵ 对任意n ∈N ，a n a n +1－1为完全平方数．14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各放一个小球，设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S ，求使S 达到最小值的放法的概率．(注：如果某种放法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)15．过抛物线y ＝x 2上一点A (1，1)作抛物线的切线，分别交x 轴于点D ，交y 轴于点B ，点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足AE EC ＝λ1；点F 在线段BC 上，满足BFFC ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD 与EF 交于点P ，当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程．A'B'C'D'DC B A 45°ADCB加试卷一、如图，在△ABC 中，设AB ＞AC ，过点A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以点A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于点D ；交直线l 于点E 、F ．证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心．二、设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足cy +bz ＝a ，az +cx ＝b ，bx +ay ＝c ．求函数f (x ，y ，z )＝x 21+x +y 21+y +z 21+z 的最小值．三、对每个正整数n ，定义函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，当n 为完全平方数，[1{n }]，当n 不为完全平方数．(其中[x ]表示不超过x 的最大整数，{x }＝x －[x ])．试求k ＝1∑240f (k )的值．2006年全国高中数学联合竞赛试题1．已知△ABC ，若对任意t ∈R ，||→BA －t →BC ≥||→AC ，则△ABC 形状为 ．2．设log x (2x 2＋x －1)＞log x 2－1，则x 的取值范围为 3． A ＝{x |5x －a ≤0}，B ＝{x |6x －b ＞0}，a ，b ∈N ，且A ∩B ∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a ，b )的个数为 ． 4．在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1．已知G 与E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)．若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为 ． 5．设f (x )＝x 3＋log 2(x ＋x 2＋1)，则对任意实数a ，b ，a ＋b ≥0是f (a )＋f (b )≥0的 条件 6．数码a 1，a 2，a 3，…，a 2006中有奇数个9，则2007位十进制数－2a 1a 2…a 2006的个数为 ． 7. 设f (x )＝sin 4x －sin x cos x ＋cos 4x ，则f (x )的值域是 ．8. 若对一切θ∈R ，复数z ＝(a ＋cos θ)＋(2a －sin θ)i 的模不超过2，则实数a 的取值范围为 ． 9．已知椭圆x 216＋y 24＝1的左右焦点分别为F 1与F 2，点P 在直线l ：x －3y ＋8＋23＝0上. 当∠F 1PF 2取最大值时，比|PF 1||PF 2|的值为 ．10．底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3． 11．方程(x 2006＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2004)＝2006x 2005的实数解的个数为 ．12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为 ．13. 给定整数n ≥2，设M 0(x 0，y 0)是抛物线y 2＝nx －1与直线y ＝x 的一个交点. 试证明对于任意正整数m ，必存在整数k ≥2，使(x 0m ，y 0m)为抛物线y 2＝kx －1与直线y ＝x 的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x 1，x 2，x 3，x 4，x 5之和．记S ＝1≤i ＜j ≤5Σx i x j ．问：⑴ 当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最大值；⑵ 进一步对任意1≤i ，j ≤5有||x i －x j ≤2，当x 1，x 2，x 3，x 4，x 5取何值时，S 取到最小值.说明理由．15．设 f (x )＝x 2＋a . 记f 1(x )＝f (x )，f n (x )＝f (f n －1(x ))，n ＝1，2，3，…，M ＝{a ∈R |对所有正整数n ，||f n (0)≤2}．证明，M ＝[－2，14]．2006年全国高中数学联合竞赛加试试题一、以B 0和B 1为焦点的椭圆与△AB 0B 1的边AB i 交于点C i (i ＝0，1). 在AB 0的延长线上任取点P 0，以B 0为圆心，B 0P 0为半径作圆弧P 0Q 0⌒交C 1B 0的延长线于Q 0；以C 1为圆心，C 1Q 0为半径作圆弧Q 0P 1⌒交B 1A 的延长线于点P 1；以B 1为圆心，B 1P 1为半径作圆弧P 1Q 1⌒交B 1C 0的延长线于Q 1；以C 0为圆心，C 0Q 1为半径作圆弧Q 1P 0'⌒，交AB 0的延长线于P 0'. 试证：⑴ 点P 0'与点P 0重合，且圆弧P 0Q 0⌒与P 0Q 1⌒相内切于点P 0； ⑵ 四点P 0，Q 0，Q 1，P 1共圆．二、已知无穷数列{a n }满足a 0＝x ，a 1＝y ，a n ＋1＝a n a n －1＋1a n ＋a n －1，n ＝1，2，…．⑴ 对于怎样的实数x 与y ，总存在正整数n 0，使当n ≥n 0时a n 恒为常数？ ⑵ 求通项a n ．三、解方程组⎩⎨⎧x －y ＋z －w ＝2，x 2－y 2＋z 2－w 2＝6，x 3－y 3＋z 3－w 3＝20，x 4－y 4＋z 4－w 4＝66，B 1B 0C 1P 1P 0Q 1Q 0AC 02007年全国高中数学联合竞赛一试试卷1. 如图，在正四棱锥P −ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A −PB −C的平面角的余弦值为_______2. 设实数a 使得不等式|2x −a |+|3x −2a |≥a 2对任意实数 x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是_______3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
2
BC) (BC CD), 即 2 AC BD AD2 BC2 AB2 CD 2 0, AC BD 只 有 一
2
2
2 3
2
, cos(
2 ) cos( 3 ), 2 2
又
0 2
, 3 , cos 2 0, cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 2 2
6
方
程表示的曲线是椭圆。
(sin 2 sin 3 ) (cos 2 cos 3 ) 2 2 sin 2 3 2 3 sin( ) () 2 2 4
x2 y2 1 表示的曲线是 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3
A. 焦点在 x 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的椭圆
B. 焦点在 x 轴上的双曲线 D. 焦点在 y 轴上的双曲线
a3 a4 4 ai T , i 1,2,3,4 ，将 3 7 7
二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题 1. 使关于 x 的不等式 x 3 6 x k 有解的实数 k 的最大值是 A. 6 3 B. 3 C. 6 3 D. 6 2. 空间四点 A, B, C, D ，满足 | AB | 3 、 | BC | 4 、 | CD | 11、 | DA | 9 ， 则 AC BD 的取值 A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个
3
二○○五年全国高中数学联合竞赛 试题参考答案及评分标准 说明： 1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设 6 分和 0 分 两档，填空题只设 9 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请 严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其 它中间档次。 2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤 正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分， 5 分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
2005年全国高中数学联赛试题及解答
1 1 0 4 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
D．
1 1 0 3 + 2+ 3+ 4 7 7 7 7
ak p 表示 k 位 p 进制数，将集合 M 中的每个数乘以 7 4 ，得
M = a1 73 + a2 72 + a3 7 + a4 | ai T , i = 1,2,3,4 = a1a2 a3a4 7 | ai T , i = 1,2,3,4 ．
DA2 = DA = AB + BC + CD
2
(
)
2
= AB 2 + BC 2 + CD 2 + 2 AB BC + BC CD + CD AB
(
)
= AB 2 − BC 2 + CD 2 + 2 BC + AB BC + BC CD + CD AB
(
2
)
= AB2 − BC 2 + CD2 + 2 AB + BC BC + CD ，即 2 AC BD = AD 2 + BC 2 − AB 2 − CD 2 = 0, AC BD 只有
(sin 2 − sin 3) − (cos 2 − cos 3) = 2 2 sin −
2
2− 3 2 + 3 3 3 2+ 3 2− 3 0， ， + ． 0 ，∴ sin 2 2 2 4 4 2 4 2 2+ 3 + ) 0 ，∴ ()式 0. 2 4
5 +1 ． 6 解：由题设知， f ( x) 和式中的各项构成首项为 1，公比为 − x 的等比数列，由等比数列的求和公式，得：
2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛
- 1 -2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛试题一、选择题（每小题6分，共60分） 1．数集{x x x -2,}中x 的取值范围是（ ）A ．),(+∞-∞B ．),0()0,(+∞⋃-∞C ．),2()2,(+∞⋃-∞D ．),2()2,0()0,(+∞⋃⋃-∞2．若012=++z z ，则2005z的值是（ ）A ．1B ．1-C ．i 2321± D ．i 2321±- 3．函数x x y 24sin cos +=的最小正周期为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．π24．随机抛掷一颗6个面分别刻有1，2，3，4，5，6个点的骰子，其出现（即向上一面）的 点数的数学期望值为 （ ） A ．3 B ．3.5 C ．4 D ．4.5 5．函数cx bx ax x f ++=23)(的图像如图，则下面关于c b a ,,符号判断正确的是 （ ）A ．0,0,0<<>c b aB ．0,0,0>>>c b aC ．0,0,0><<c b aD ．0,0,0<><c b a6．16666101192111011111-++++C C C 被8除所得余数是（ ）A ．0B ．2C ．3D ．5 7．不等式31|1log 1|31>+x 的解集为（ ）A ．)81,91(B ．)27,31(C ．)27,3()3,31(⋃ D ．)81,3()3,91(⋃8．当22ππ≤≤-x 时，函数)(x f 满足x x f x f 2sin )(sin 3)sin (2=+-，则)(x f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数- 2 - 9．点P 在双曲线222a y x =-的右支上，21,A A 21122A PA PA A ∠=∠，则21A PA ∠等于（ ） A ．30 B ．5.27C ． 25D ． 5.2210．正四面体ABCD 中，CD CF AB AE 41,41==，则直线DE 和BF 所成角是 （ ）A ．134arccosB ．133arccosC ．134arccos -πD ．133arccos -π二、填空题（每小题6分，共24分）11．已知函数⎩⎨⎧≤<+-<≤---=10,101,1)(x x x x x f ，则1)()(->--x f x f 的解集为 . 12．数列{n a }的前n 项和n S 满足n n a n S 2=，若10031=a ，则2005a 等于 .13．设平面内的两个向量,互相垂直，12==，又k 与t 是两个不同时为零的实数， 若向量b t a x )3(-+=与b t a k y 2+-=互相垂直，则k 的极大值为 .14．在某次商品的有奖销售活动中，有n 人获三等奖（4≥n ），三等奖的奖品共有四种，每 个三等奖获得者随意从四种奖品中挑选了一种，结果有一种奖品无人挑选的概率是 . 三、解答题（共5小题，计66分） 15．（12分）某人购房向银行贷款s 元，年利率为p ，每两年向银行返还一次本息，十年还清，要求每次向银行的付款数相同，那么十年付款的总额是多少？16．（12分）如图，斜三棱柱111C B A ABC -的侧面C C AA 11的面积为23的菱形，1ACC ∠ 为锐角，侧面11A ABB ⊥侧面C C AA 11，且11===AC AB B A .ABC1A 1B 1C- 3 -（1）求证11BC AA ⊥； （2）求11B A 到平面ABC 的距离.17．（12分）设c bx x x f ++=2)(（c b ,为常数），方程x x f =)(的两个实数根为21,x x ，且满足01>x ，112>-x x .（1）求证：)2(22c b b +>；（2）若10x t <<，比较1x 与)(t f 的大小.18．（15分）如图，过原点O 作抛物线px y 22=（0>p ）的两条互相垂直的弦OB OA ,， 再作AOB ∠的平分线交AB 于点C .求点C 的轨迹方程.- 4 -19．（15分）圆周上有800个点，依顺时针方向标号依次为800,,2,1 .它们将圆周分成800个间隙.任意选定一点染成红色，然后按如下规则逐次染红其余的一些点：若第k 号点已被染红，则可按顺时针方向经过k 个间隙，将所到达的那个点染红.如此继续下去，试问圆周上最多可得到多少个红点？证明你的结论.。
2005年全国高中数学联赛试卷及解答
特征方程为x2－7x+1＝0．
解得：x＝ ＝ ＝ ．
令an＝α +β ．由a0＝1，a1＝5解得
α＝ ，β＝ ；
得an＝ [ + ]⑤
注意到 · ＝1， + ＝ ．
有，anan+1－1＝ [ + ]·[ + ]－1
＝ [ பைடு நூலகம் + + －5]
＝ [ + ]2
15．过抛物线y＝x2上一点A(1，1)作抛物线的切线，分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，点E在线段AC上，满足 ＝λ1；点F在线段BC上，满足 ＝λ2，且λ1+λ2＝1，线段CD与EF交于点P，当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方程．
加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E、F．
填 ．
解：V＝ × AC×BCsin45×h≤ AC×BC×ADsin45．
即AC×BC×ADsin45≥1 ×BC×AD≥1．
而3＝AD+BC+ ≥3 ＝3，等号当且仅当AD＝BC＝ ＝1时成立，
故AC＝ ，且AD＝BC＝1，AD⊥面ABC．CD＝ ．
11．若正方形ABCD的一条边在直线y＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线y＝x2上，则该正方形面积的最小值为；
A． + + + B． + + + C． + + + D． + + +
二、填空题：
2005年全国高中数学联合竞赛试题及解答.
2005年全国高中数学联合竞赛一试一、选择题：本大题共6个小题，每小题6分，共36分。
2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解得实数k 的最大值为A.36- B.3C.36+ D.6◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x，可得62≤y，即6max =y，所以6≤k 2005*2、空间四点D C B A ,,,3=7=11=9=，则BD AC ⋅的取值A.只有一个B.有二个C.有四个D.有无穷多个◆答案：A★解析：注意到,9711301132222+==+由于,0 =+++则22DA DA ==-=⋅+⋅+⋅+++=++22222)(2)(AB AB CD CD BC BC AB CD BC AB CD BC AB +++-=⋅+⋅+⋅+++CD BC AB BC CD BC (2)(2222222),()CD BC BC +⋅即,022222=--+=⋅CD AB BC AD BD AC ⋅∴只有一个值为0，故选A。
2005*3、ABC ∆内接于单位圆，三个内角C B A ,,的平分线延长后分别交此圆于111,,C B A .则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++++的值为A.2B.4C.6D.8◆答案：A★解析：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A A B C B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-所以B C B C A C B A A C B A AA sin sin 2cos 2cos 2cos 22cos 22cos 1+=-++-+=⎪⎭⎫⎝⎛-=，C A B BB sin sin 2cos 1+=,B A CCC sin sin 2cos 1+=。
所以()C B A CCC B BB A AA sin sin sin 22cos 2cos 2cos 111++=++，即可求得。
2005年全国高中数学联赛试题及答案
二○○五年全国高中数学联合竞赛试题一.选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于xk 有解的实数k 的最大值是（ ） A． BC ．63+D ．62．空间四点A 、B 、C 、D 满足||3,||7,||11,||9,AB BC CD DA ====则AC BD ⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个 3．ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。
则CB A CCC B BB A AA sin sin sin 2cos2cos 2cos 111++⋅+⋅+⋅ 的值为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．84．如图，D C B A ABCD ''''-为正方体。
任作平面α与对角线C A ' 垂直，使得α与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面 多边形的面积为S ，周长为l .则（ ）A ．S 为定值，l 不为定值B ．S 不为定值，l 为定值C ．S 与l 均为定值D ．S 与l 均不为定值5.方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在x 轴上的双曲线 C ．焦点在y 轴上的椭圆 D ．焦点在y 轴上的双曲线6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a aa M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
2005年全国高中数学联赛(浙江赛区)预赛试卷及详细解答
(D) 4
2 是以任何正实数为周期的周期函数；
1
f 2 ( x) 不是周期函数。 因为 sin x 是以 T1 2 为周期的周期函数, cos 2 x 是以 T2
为周期的周期函数, 而 T1 与 T2 之比不是有理数，故 f 2 ( x ) 不是周期函数。
2 2
f 3 ( x) 不是 周期 函数 。因 为 sin T2 2 2
2
(C)
12
2
(D) 13
2 2
答： 【 C 】
c t1 a t 2 b c 6t1 8t 2 t1 t 2
169 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 25 144 (t1 3) 2 (t 2 4) 2 144
当 t1 3, t 2 4 时， c t1 a t 2 b
联合（1） （2）消去 f ( ) ，可得
――――――――― （2）
1 x
f ( x) x 和命题 Q: 对任何 x R ， x 4cx 1 0 有且仅有一个成立，则实 数 c 的取值范围是
2
2
1 1 , 0 , 1 。 2 2
1 1 a1 a12 ，而 a1 0 ，故 a1 1 。 2 2
因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 2005 。 y 12. 根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从 原点 O 沿正东偏北 （ 0
）方向行走一段时 2
P(x,y) A
间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟，则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。
a n 1
2005年全国高中数学联赛试题及详细解析
2005年全国高中数学联赛试题及详细解析说明：1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。
选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每小题均给出A ，B ，C ，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。
请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。
每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于x k 有解的实数k 的最大值是（ ）A 2．空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC 则⋅的取值（ ）A ．只有一个B ．有二个C ．有四个D ．有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（ ）A ．43273767575+++ B ．43272767575+++ C ．43274707171+++ D ．43273707171+++二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。
7.将关于x 的多项式2019321)(x x x x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数，若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立，则a 的取值范围是 。
2005年全国高中数学联赛二试及解答
2005年全国高中数学联赛试题（二）一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 二、（本题满分50分）设正数a 、b 、c 、x 、y 、z 满足.;,c ay bx b cx az a bz cy =+=+=+求函数zz y y x x z y x f +++++=111),,(222的最小值. 三、（本题满分50分）对每个正整数n ，定义函数⎪⎩⎪⎨⎧=.]}{1[,0)(不为平方数当为平方数当n n n n f（其中[x ]表示不超过x 的最大整数，]).[}{x x x -= 试求：∑=2401)(k k f 的值.2005年全国高中数学联赛试题（二）参考答案一、（本题满分50分） 如图，在△ABC 中，设AB>AC ，过A 作△ABC 的外接圆的切线l ，又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线l 于E 、F 。
证明：直线DE 、DF 分别通过△ABC 的内心与一个旁心。
（注：与三角形的一边及另两边的延长线均相切的圆称为三角形的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
） 证明：（1）先证DE 过△ABC 的内心。
如图，连DE 、DC ，作∠BAC 的平分线分别交DC 于G 、DE 于I ，连IC ，则由AD=AC ， 得，AG ⊥DC ，ID=IC. 又D 、C 、E 在⊙A 上， ∴∠IAC=21∠DAC=∠IEC ，∴A 、I 、C 、E 四点共圆， ∴∠CIE=∠CAE=∠ABC ，而∠CIE=2∠ICD ， ∴∠ICD=21∠ABC.∴∠AIC=∠IGC+∠ICG=90°+21∠ABC ，∴∠ACI=21∠ACB ，∴I 为△ABC 的内心。
2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题
2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1. 函数 的图像按向量 平移后, 得到的图像的解析式为. 那么 的解析式为A. B. C. D.2. 如果二次方程 N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个3. 设 , 那么 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 54. 设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面A. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个5. 设数列 : , N*, 则被64 除的余数为A. 0B. 2C. 16D. 486. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 11 m的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有A. 个B. 个C. 个D. 个二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7. 设向量 绕点 逆时针旋转 得向量 , 且 , 则向量8. 设无穷数列 的各项都是正数, 是它的前 项之和, 对于任意正整数 , 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为9. 函数 R) 的最小值是10. 在长方体 中, , 点 、、分别是棱 、 与 的中点, 那么四面体 的体积是11. 由三个数字 、、 组成的 位数中, 、、 都至少出现 次, 这样的 位数共有12. 已知平面上两个点集 R},R}. 若 , 则 的取值范围是三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13. 已知点 是 的中线 上的一点, 直线 交边 于点, 且 是 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示).14. 求所有使得下列命题成立的正整数 : 对于任意实数 ,当 时, 总有 ( 其中 ).15. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦点 且不与轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 ,使 为正三角形, 求椭圆的离心率的取值范围, 并用 表示直线 的斜率.16. (1) 若 N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于2005,求的最小值, 并说明理由；(2) 若 N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002, 求的最小值, 并说明理由.。
2005年全国高中数学联赛山东赛区预赛
因为 x1 < 0 , x2 < 0 ,所以 ,
b = x1 + x2 < 0 , a
① ②
c = x1 x2 > 0. a
由式 ①、 ② 知 a、 b、 c 同号 .
6. D. 6 + C11 6 + C11 6 + …+ C11 6 - 1
图4
11 11 = (6 + 1) - 2 = 7 - 2. 11 1 10 2 9 10
32 7 - 2=7 +1- 3 10 9 = (7 + 1) (7 - 7 + …- 7 + 1) - 3 10 9 = 8 (7 - 7 + …- 7) + 5.
11 11
中 等 数 学
DE = a +
2 2
1 a 4
2
-
1 2 13 2 a cos 60° = a . 2 16
所以 ,原式被 8 除余数为 5. 7. D. 原不等式即为 log 1 x +1≠ 0, 3
2006 年第 2 期
31
2
12. 数列 { an } 满足 S n = n an . 若有 a1 = 1 003 ,则 a2 005 = . 13. 设平面内的两个向量 a 与 b 互相垂
直 ,且| a | = 2 ,| b | = 1 , 又 k 与 t ( t ≥ 0) 是两 个不同时为零的实数 . 若向量 2 x = a + (3 - t ) b 与 y = - k a + t b 互相垂直 ,则 k 的最大值为 . 14. 在某次商品的有奖销售活动中 , 有 n ( n ≥4 ) 人获三等奖 . 三等奖的奖品共有四 种 ,每个三等奖获得者随意从四种奖品中挑 选一种 ,结果有一种奖品无人挑选的概率是 . 三、 解答题 ( 共 66 分) 15. (12 分 ) 某人购房向银行贷款 s 元 , 年利率为 p ,每两年向银行返还一次本息 ,十 年还清 ( 要求每次向银行的付款数相同) . 那 么 ,十年付款的总额是多少 ? 16. (12 分) 如 图 3 , 斜三棱柱 ABC - A 1 B 1 C1 的侧 面 AA 1 C1 C
2005年全国高中数学联赛天津赛区预赛(含解答)
2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(每小题5分，共30分)1．在△ABC 中，如果a 2＋b 2＝6c 2，则(cot A ＋cot B ) tan C 的值等于( ) (A)51 (B)52 (C)71 (D)72 2．已知f (x )是定义在R 上的不恒为0的函数．如果对于任意的a 、b ∈R 都满足f (ab )＝af (b )＋bf (a )，则函数f (x )( )(A)是奇函数(B)是偶函数(C)既是奇函数又是偶函数(D)既不是奇函数也不是偶函数3．设由正整数有序数对(x ，y )组成如下数列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，按x ＋y 的值由小到大的顺序排列，当x ＋y 的值相等时，按x 的值由小到大的顺序排列．则有序数对(m ，n )(m ，n 均为正整数)在该数列中的位置是( )(A)第2m +n －1位(B)第2m +n －2位 (C)第m n m n m ++-+2))(1(位(D)第m n m n m +-+-+2)1)(2(位4．如图1，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、AA 1的中点．则平面CEB 1与平面D 1FB 1所成二面角的平面角的正弦值为( )(A)21(B)22 (C)23 (D)15．将A 、B 、C 、D 、E 五种不同的文件放入一排编号依次为1，2，3，4，5，6，7的七个抽屉内，每个抽屉至多放一种文件．若文件A 、B 必须放入相邻的抽屉内，文件C 、D 也必须放入相邻的抽屉内，则文件放入抽屉内的满足条件的所有不同的方法有( )种(A)60(B)120(C)240(D)4806．设集合M ＝{a |a ＝tyx +，2x ＋2y ＝2t ，其中x 、y 、t 、a 均为整数}．则集合M 中的所有元素的和等于( )AD D A C C F B 图11111(A)1 (B)4 (C)7 (D)8二、填空题(每小题5分，共30分)1．已知定点A (4，7)．若动点P 的抛物线y 2＝4x 上，且点P 在y 轴上的射影为点M ，则|P A |－|PM |的最大值为_________________．2．已知函数f (x )是定义在(－∞，3]上的减函数，且对于x ∈R ，f (a 2－sin x )≤f (a ＋1＋cos 2x )恒成立，则实数a 的取值范围是_________________．3．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a n +a n +1＝1(n ∈N +)．若S n 为数列{a n }的前n 项和，那么，S 2 003－2S 2 004＋S 2 005的值是_________________．4．如图2，菱形ABCD 的边长为1，∠ABC ＝120°，若E 为BC 延长线上任意一点，AE 交CD 于点F ，则向量BF 与ED 和夹角的大小为_________________度．5．如图3(a )，已知正方体八个顶点分别赋值为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h ，然后，将与每个顶点相邻的正方体的三个顶点所赋值的算术平均值a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，h 放在另一个正方体的相应顶点处，如图3(b )．若a ＝9，b ＝8，c ＝11，d ＝10，e ＝13，f ＝12，g＝15，h ＝14，则a ＋g 的值为_________________．6．已知二次函数f (x )满足f (－1)＝0，且x ≤f (x )≤21(x 2＋1)对一切实数x 恒成立，那么，函数f (x )的解析式为_________________．三、(20分)已知函数f (x )＝x11． (1)是否存在实数a 、b (a ＜b )，使得函数f (x )的定义域和值域都是[a 、b ]？若存在，请求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．(2)若存在实数a 、b (a ＜b )，使得函数f (x )的定义域是[a 、b ]，值域是[ma 、mb ](m ≠0)，图2ehdacbfgeh d acbfg 图3(b )图3(a )求实数m 的取值范围．四、(20分)已知椭圆22ax ＋22b y ＝1(a ＞b ＞0)，其长轴为A 1A ，P 是椭圆上不同于点A 1、A 的一个动点，直线P A 、P A 1分别与同一条准线l 交于M 、M 1两点．试证明：以线段MM 1为直径的圆必经过椭圆个的一个定点．五、(20分)若P 是一个由数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成的2n 位正整数，并同时满足如下两个条件：(1)数字1，2，…，n 在P 中各出现两次；(2)每两个相同的数字i (i ＝1，2，…，n )之间恰有i 个数字．此时，我们称这样的正整数P 为“好数”．例如，当n ＝3时，P 可以是312 132． 试确定满足条件的正整数n 的值，并各写出一个相应的好数P ．2005年全国高中数学联赛天津赛区初赛参考答案一、选择题： 1．B ． 原式＝B A B A sin sin )sin(⋅+·C C cos sin ＝B A C sin sin sin 2⋅·C cos 1＝ab c 2·2222cb a ab-+＝22222c b a c -+＝22262c c c -＝52． 2．A ． 由f (－1)＝－f (1)＋f (－1)有f (1)＝0，而f (1)＝－2f (－1)，∴f (－1)＝0，∴f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)＝－f (x )． 3．D ． 按x ＋y 的值分组，x ＋y ＝m ＋n 时为第m ＋n －1组，故该数列的前m ＋n －2组共有有序数对2)1)(2(-+-+n m n m (个)，而对于有序数对(m ，n )，当x ＝m 时，为第m ＋n －1组中的第m 位，故有序数对(m ，n )在该数列的第m n m n m +-+-+2)1)(2(位．4．C ．延长CE 、D 1F 、DA 交于一点G ，设棱长为1，可知B 1C ＝2，B 1G ＝3，CG ＝5，故B 1G ⊥B 1C ；同理，B 1D 1⊥B 1G ，∴∠CB 1D 1即为所求二面角的平面角，易求∠CB 1D 1＝60°，其正弦值为23． 5．C ．将AB 、CD 、E 及两个空抽屉视为5个元素，全排列为55A ．由于AB 、CD 的排列数均为22A ，而两个空抽屉为相同元素，故共有2222255A A A ⋅⋅=240种．6．D ． 不妨设x ≤y ，有2t ＝2x ＋2y ≤2y ＋2y =2y +1．则t ≤y ＋1．由2x ＞0，得2t ＝2x ＋2y ＞2y ，则t ＞y ，∴y ＜t ≤y ＋1．又知x ，y ，t 均为整数，则t ＝y ＋1，有2y +1＝2x ＋2y ，故x ＝y ＝t －1．于是a ＝t y x +＝2－t2，这里a 、t ∈Z ，可得t ＝±1，±2，则a ＝0，1，3，4．故集合M 中所有元素的和为8． 二、填空题： 1．5． 联结PM 并延长交准线于N ，则|PM |＝|PN |－|MN |＝|PF |－1，则|P A |－|PM |＝|P A |－(|PF |－1)＝(|P A |－|PF |)＋1≤|AF |＋1＝4＋1＝5．2．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--2101,2．由已知a ＋1＋cos 2x ≤a 2－sin x ≤3对x ∈R 恒成立，即⎩⎨⎧++≥-+≤xx a a xa sin cos 1sin 3222对x ∈R 恒成立，解不等式组可得． 3．3．当n 为偶数时，a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝1，…，a n －1＋a n ＝1，则S n ＝2n，S 2004＝1002；当n 为奇数时，a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＝1，…，a n －1＋a n ＝1，则S n ＝a 1＋21-n ＝23+n ，∴S 2003＝1003，S 2005＝1004；∴S 2 003－2S 2 004＋S 2 005＝3．4．120． 以B 为原点，BC 方向为x 轴建立直角坐标系，设E (a ，0)(a ＞1)，由直线CD 与AE 方程解出交点F (a a 21+，a a 2)1(3-)，于是＝(a a 21+，a a 2)1(3-)，＝(221a-，23)，∴·＝a a a 212+--，||＝aa a 12+-，||＝12+-a a ，可解得夹角120°．5．20．a ＝3e d b ++，…，h ＝3g e d ++，则a ＝(b ＋d ＋e )－2g ，g ＝(c ＋f ＋h )－2a ，∴a ＋g ＝20．6．41(x ＋1)2 ． 三、(1)不存在实数a 、b (a ＜b )满足条件．事实上，若存在实数a 、b (a ＜b )满足条件，则有x ≥a ＞0．故f (x )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≥-10,111,11x xx x(i)当a 、b ∈(0，1)时，f (x )＝11-x 在(0，，1)上为减函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(a b f b a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11a bb a由此推得a ＝b ，与已知矛盾，故此时不存在实数a 、b (a ＜b )满足条件．(ii)当a 、b ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 11-在[1，+∞)上为增函数，所以⎩⎨⎧==,)(,)(b b f a a f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11b ba a于是a 、b 为方程x 2－x ＋1＝0的实根．而此时方程无实根，故此时也不存在实数a 、b (a ＜b )满足条件 (iii)当a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，显然1∈[a ，b ]，而f (1)＝0，所以0∈[a ，b ]，矛盾． 综上可知，不存在实数a 、b (a ＜b )满足条件． (2)若存在实数a 、b (a ＜b )满足f (x )定义域是[a 、b ]，值域是[ma 、mb ](m ≠0)，易得m ＞0，a ＞0．仿(1)知，当a 、b ∈(0，1)或a ∈(0，1)，b ∈[1，＋∞)时，满足条件的实数a 、b 不存在．只有当a 、b ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 11-在[1，＋∞)上为增函数，有⎩⎨⎧==,)(,)(mb b f ma a f即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-.11,11mb bma a 于是a 、b 为方程mx 2－x ＋1＝0的两个大于1的实根．∴⎪⎩⎪⎨⎧>-±=>-=∆,12411,041m mx m 只须⎪⎩⎪⎨⎧>-->->,2411,041,0m m m m 解得0＜m ＜41， 所以m 的取值范围为0＜m ＜41． 四、由已知，可设A 1(－a ，0)，A (a ，0)，一条准线l 的方程为x ＝ca 2，椭圆上动点P的坐标为(x 0，y 0)，且y 0≠0，则l P A ：y ＝ax y -00(x －a )， 与x ＝2a c 联立解得M (2a c ，00()()a a c y c x a --)，l P A 1：y ＝00y x a +(x ＋a )，与x ＝2a c 联立解得M 1(2a c ，00()()a a c y c x a ++)，设线段MM 1的中点为Q (x 1，y 1)，则x 1＝2a c，y 1＝12[00()()a a c y c x a --＋00()()a a c y c x a ++]＝200220()()a x c y c x a --＝2002202()()a x c y a y c b--＝200()b x c cy --． 故MM 1＝|00()()a a c y c x a ++－00()()a a c y c x a --|＝|2002202()()ay cx a c x a --|＝|20022022()()ay cx a a y c b--|＝|22002()b cx a acy -|． 因此，以MM 1为直径的圆的方程为(x －2a c )2＋[y －200()b c x cy -]2＝[2200()b cx a acy -]2．令y ＝0，化简得(x －2a c )2＝－[200()b c x cy -]2＋[2200()b cx a acy -]2 ＝4222b ac y [(cx 0－a 2)2－a 2(c －x 0)2]＝42b c ． ∴x ＝2a c ±2b c ，即x ＝c 或x ＝22a b c+．可见，以线段MM 1为直径的圆必经过椭圆外的一个定点(22a b c+，0)．当l 为左准线x ＝－2a c时也有相应的结论．五、由好数的定义，可知n ≤9．对于好数P 中的数字位置按由左到右的顺序考虑，如果数字i (i ＝1，2，…，n )第一次出现的位置记作a i ，那么根据题意，数字i (i ＝1，2，…，n )第二次出现的位置应该是a i ＋(i ＋1)，于是：1ni i a =∑＋1[(1)]ni i a i =++∑＝21nk k =∑，记S ＝1ni i a =∑，则S ＋S ＋[2(1)]2n n ++＝2(12)2n n +，即S ＝(31)4n n -．因为S 是正整数，可得n (3n －1)能被4整除．又n 为正整数，所以n ＝3或4或7或8． 当n ＝3时，题目中已给出；当n ＝4时，好数P 可以是41 312 432；当n ＝7时，好数P 可以是71 316 435 724 625； 当n ＝8时，好数P 可以是8 131 573 468 524 726．。
2005年全国高中数学联赛加试第2题的溯源与解法
∑
表示循环和，由条件得， b( az + cx ) + c(bx + ay ) − a( cy + bz ) = b 2 + c 2 − a 2 ，即
2 bcx = b 2 + c 2 − a 2 ，所以 x =
西不等式，有
b2 + c2 − a2 c2 + a 2 − b2 a2 + b2 − c2 ，同理 y = , z= ，应用柯 2bc 2 ca 2 ab
、
A B C A B C + tan 2 + tan 2 ≥ 2 − 8 sin sin sin 2 2 2 2 2 2
(2)
R(4 R + r )2 ≥ 2s 2 (2 R − r )
其中， R, r , s 分别为 ∆ABC 的外接圆半径、内切圆半径及半周长。 （参见[4]或[11，56]） 。
（7）
很显然（7）就是（1） 。只是当时陶先生在证明（7）与 G-B 不等式（2）等价时并没用我们前面介 绍的三角变换，而是通过作代换 u = cot A, v = cot B, w = cot C , 将（2）和（7）均化为代数不等式而证 得的．那时陶先生正提出了“三角形不等式的一个证题系统” [9 ] ：即对涉及三角形内角的不等式，作代换
给出了(2) 的一个简单的证明：设 λ1 = tan
A B C A B , λ2 = tan , λ3 = tan ，并注意到 ∑ tan tan = 1 及 2 2 2 2 2
，有 ∑ sin A = 4cos 2 cos 2 cos 2 ，应用（6）
A
B
C
∑ tan
2
A B C B C A ≥ 2∑ tan tan cos A = 2∑ tan tan (1 − 2sin 2 ) 2 2 2 2 2 2
2005年全国高中数学联合竞赛一试试题解析
11. 若正方形 ABCD 的一条边在直线 y = 2x − 17 上，另外两个顶点在抛物线
y = x2 上，则该正方形面积的最小值为
.
解答
设 A(t, t2)，直线 AB : y − t2 = 2(x − t) ⇒ y = 2x + t2 − 2t. y = x2,
联立 y = 2x + t2 − 2t ⇒ x2 − 2x = t2 − 2t ⇒ (x − 1)2 = (t − 1)2 √
2 A1I AI
AA1
a b+c−a b+c
+
=2
2
AA1
=
2 AA1
⇒
AA1
cos
A 2
= b + c. 2
于是
AA1
cos
A 2
+
BB1
cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
=
sin A
a+b+c + sin B +
sin C
=
2R
=
2.
所以选
A.
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()
A.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
C.
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
解答
B.
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
D.
全国高中数学联赛江苏赛区2005年-2011年初赛试题汇编(含答案细则)
2005年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题参考答案及评分标准2005年04月03日一．选择题 (本题满分36分, 每小题6分)1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+答: [ B ]解： sin[()]44y x ππ=++, 即 c o s y x =. 故选 B ． 2. 如果二次方程 20(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个答: [ C ]解：由 240,0p q q ∆=+>-<, 知方程的根为一正一负．设 2()f x x px q =--，则 2(3)330f p q =-->, 即 39p q +<.由于 ,p q ∈N*， 所以 1,5p q =≤ 或 2,2p q =≤. 于是共有7组 (,)p q 符合 题意． 故选 C ．3. 设 0a b >>, 那么 21()a b a b +- 的最小值是A. 2B. 3C. 4D. 5答: [ C ]解：由 0a b >>, 可知22210()()424a ab a b b a <-=--≤,所以， 222144()a a b a b a+≥+≥-. 故选 C ．4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 αA. 不存在B. 只有1个C. 恰有4个D. 有无数多个答: [ D ]解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线 为 m 、n , 直线 m 、n 确定了一个平面 β. 作与 β 平行的平面 α, 与四棱锥的各个侧面 相截，则截得的四边形必为平行四边形．而这样 的平面 α 有无数多个．故选 D ．5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被64 除的余数为A. 0B. 2C. 16D. 48答: [ C ]解：数列 {}n a 模 64 周期地为 2，16，－2，－16，……. 又 2005 被 4 除余 1, 故 选 C ．6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1⨯1 m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有A. 830个B. 73025⨯个C. 73020⨯个D. 73021⨯个答: [ D ]解：铺第一列(两块地砖)有 30 种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了 A 、B 两色(如图)，那么，第二列的上格不能铺 A 色．若铺 B 色，则有 (61)- 种铺法；若不 铺 B 色，则有 2(62)- 种方法. 于是第二列上共有 21 种铺法. 同理， 若前一列铺好，则其后一列都有 21 种铺法．因此，共有 73021⨯ 种铺法． 故选 D ．二．填空题 (本题满分36分, 每小题6分)7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2π得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则向量 OB = （－115，235） .解：设 (,)OA m n =, 则 (,)OB n m =-, 所以2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=.D 1C 1B 1A 1DCBAPA B即 27,29.m n m n -=⎧⎨+=⎩ 解得 23,511.5m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因此，23111123(,),(,)5555OA OB ==-.故填 1123(,)55-． 8. 设无穷数列 {}n a 的各项都是正数, n S 是它的前 n 项之和, 对于任意正整数n , n a 与 2 的等差中项等于 n S 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 a n = 4n －2(n ∈N*) .解：由题意知22n a += 即 2(2)8n n a S +=. ……… ① 由 11a S = 得122a +=从而 12a =. 又由 ① 式得211(2)(2)8n n a S n --+=≥, ……… ②于是有 1n n n a S S -=-221(2)(2)(2)88n n a a n -++=-≥,整理得 11()(4)0n n n n a a a a --+--=. 因 10,0n n a a ->>, 故114(2),2n n a a n a --=≥=．所以数列 {}n a 是以 2 为首项、4 为公差的等差数列，其通项公式为 24(1)n a n =+-， 即 42n a n =-. 故填 42(n a n n =-∈N*)．9. 函数 ∈+=x x x y (|2cos ||cos |R ) 的最小值是 22 .解：令 |cos |[0,1]t x =∈，则 2|21|y t t =+-．当1t ≤≤ 时， 2219212()48y t t t =+-=+-，得2y ≤≤； 当0t ≤<时， 2219212()48y t t t =-++=--+，得928y ≤≤． 又 y 可取到2, 故填2．10. 在长方体 1111ABCD A B C D - 中, 12,1AB AA AD ===, 点 E 、F 、G分别是棱 1AA 、11C D 与 BC 的中点, 那么四面体 1B EFG - 的体积是 V B 1－EFG= 38 .解：在 11D A 的延长线上取一点 H ，使 114A H =. 易证，1||HE B G ，||HE 平面 1B FG ． 故 1111B EFG E B FG H B FGG B FH V V V V ----===．而 198B FH S ∆=，G 到平面 1B FH 的距离为 1． 故填 138B E F G V -=．11. 由三个数字 1、2、3 组成的 5 位数中, 1、2、3 都至少出现 1 次, 这样的 5 位数共有 150 个.解：在 5 位数中, 若 1 只出现 1 次，有 11235444()70C C C C ++= 个；若 1 只出现 2 次，有 212533()60C C C += 个；若 1 只出现 3 次，有 315220C C = 个． 则这样的五位数共有 150 个． 故填 150个．12. 已知平面上两个点集{(,)||1|,M x y x y x y =++≥∈R },{(,)||||1|1,,N x y x a y x y =-+-≤∈R }. 若 MN ≠∅, 则 a 的取值范围是[1－6，3+10] ．解：由题意知 M 是以原点为焦点、直线 10x y ++= 为准线的抛物线上及其凹口 内侧的点集，N 是以 (,1)a 为中心的正方形及其内部的点集(如图)．考察 M N =∅ 时, a 的取值范围:令 1y =, 代入方程|1|x y ++=,得 2420x x --=，解出得2x =± 所以，当211a <=时, M N =∅． ………… ③令 2y =，代入方程|1|x y ++=得 2610x x --=. 解出得3x =．所以，当3a > 时, MN =∅． ………… ④因此, 综合 ③ 与 ④ 可知，当13a ≤≤[13a ∈ 时,M N ≠∅．故填[1-.三．解答题 (第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分)13. 已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边 AC 于点N , 且 AB 是 NBC ∆ 的外接圆的切线, 设BC BN λ=, 试求 BMMN(用 λ 表示). 证明：在 BCN ∆ 中，由Menelaus 定理得1BM NA CDMN AC DB⋅⋅=． 因为 BD DC =，所以BM ACMN AN=． ……………… 6分由 ABN ACB ∠=∠，知ABN ∆ ∽ ACB ∆，则AB AC CBAN AB BN==． 所以，2AB AC CB AN AB BN ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭， 即 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=BN BC AN AC ． …………………… 12分 因此， 2⎪⎭⎫ ⎝⎛=BN BC MN BM ． 又BC BN λ=， 故 2BMMNλ=． …………………… 15分14. 求所有使得下列命题成立的正整数 (2)n n ≥: 对于任意实数 12,,,n x x x ,当10nii x==∑ 时, 总有110ni i i x x+=≤∑ ( 其中 11n x x += ).解： 当 2n = 时，由 120x x +=，得 21221120x x x x x +=-≤．所以 2n = 时命题成立. …………………… 3分当 3n = 时，由 1230x x x ++=，得A BCDN M2222123123122331()()2x x x x x x x x x x x x ++-++++=222123()02x x x -++=≤.所以 3n = 时命题成立. ………………… 6分当 4n = 时，由 12340x x x x +++=，得212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x +++=++=-+≤．所以 4n = 时命题成立． ……………… 9分当 5n ≥ 时，令 121x x ==，42x =-，350n x x x ====,则10nii x==∑.但是,1110ni i n x x+==>∑，故对于 5n ≥ 命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是 2,3,4n =. …………… 15分15. 设椭圆的方程为 22221(0)x y a b a b +=>>, 线段 PQ 是过左焦点 F 且不与x 轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 R ,使 PQR ∆ 为正三角形, 求椭圆的离心率 e 的取值范围, 并用 e 表示直线 PQ 的斜率.解： 如图, 设线段 PQ 的中点为 M ． 过点 P 、M 、Q 分别作准线的垂线, 垂足 分别为 'P 、'M 、'Q , 则11|||||'|(|'||'|)()22PF QF MM PP QQ e e =+=+=． …………… 6分假设存在点 R ，则 ||||2RM PQ =， 且 |'|||MM RM <， 即 ||||22PQ PQ e <， 所以，e >………………………… 12分于是，ePQ e PQ RM MM RMM 31||322|||||'|'cos =⋅==∠， 故cot 'RMM ∠=．若 ||||PF QF < (如图)，则131'cot 'tan tan 2-=∠=∠=∠=e RMM FMM QFx k PQ . …………… 18分当3e >时, 过点 F 作斜率为 的焦点弦 PQ , 它的中垂线交左准线于 R , 由上述运算知, ||||2RM PQ =． 故 PQR ∆ 为正三角形. ………… 21分 若 ||||PF QF >，则由对称性得PQ k = ……………… 24分又 1e <, 所以，椭圆 22221(0)x y a b a b +=>> 的离心率 e 的取值范围是e ∈， 直线 PQ 的斜率为16. (1) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 n 的最小值, 并说明理由；(2) 若 (n n ∈ N *) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 20022005, 求 n 的最小值, 并说明理由.解： (1) 因为 3333101000,111331,121728,132197====, 3312200513<<，故 1n ≠.因为 3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在 4n =， 使min 4n ≤． ……………… 6分若 2n =，因 3310102005+<, 则最大的正方体边长只能为 11 或 12，计算33200511674,200512277-=-=，而 674 与 277 均不是完全立方数, 所以2n = 不可能是 n 的最小值. ……………… 9分若 3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为 x , 由 328320053⨯>≥x , 知最大的正方体棱长只能为 9、10、11 或 12.由于 3932005⨯<, 5479220053=⨯-, 0829200533>⨯--, 所以 9x ≠. 由于 510220053=⨯-, 332005109276--=, 332005108493--=,07210200533>⨯--, 所以10x ≠.由于 332005118162--=, 332005117331--=, 06211200533>⨯--, 所以 11x ≠.由于 33200512661--=, 33320051251525--=>, 所以 12x ≠. 因此 3n = 不可能是 n 的最小值.综上所述，4n = 才是 n 的最小值. ……………… 12分 (2) 设 n 个正方体的棱长分别是 12,,,n x x x ， 则3332005122002n x x x +++=．…………… ⑤由 20024(mod9)≡， 341(mod 9)≡，得20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡．…… ⑥ …… 15分又当 x ∈N* 时，30,1(mod 9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod9)， 3312x x + ≡∕4(mod 9)， 333123x x x ++ ≡∕4(mod 9). … ⑦…………… 21分⑤ 式模 9, 由 ⑥、⑦ 可知, 4n ≥．而 33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++．…… 24分因此 4n = 为所求的最小值．2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷2006.4.2 8：00～11：00本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分，共150分第Ⅰ卷（选择题 共36分）一、 选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。
全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题答案
全国高中数学联赛江苏赛区2005年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．解：按向量(,2)4a π=平移就是向右平移4π个单位且向上平移2个单位，由结果到条件可知：()sin[()]44y f x x ππ==++，即cos y x =；故选B ．2．解：由240, 0p q q ∆=+>-<，可知方程的根为一正一负；设2()f x x px q =--，则2(3)330f p q =-->，即39p q +<； 由于,*p q N ∈，所以1, 5p q =≤或2, 2p q =≤； 于是共有7组(,)p q 符合题意．故选C ．3．解：由0a b >>，可知：22210()()424a ab a b b a <-=--≤；所以，222144()a a b a b a+≥+≥-；故选C ． 4．解：设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为m 、n ，直线m 、n 确定了一个平面β，作与β平行的平面α，与四棱锥的各个侧面相截，则截得的四边形必为平行四边形； 而这样的平面α有无数多个．故选D ．5．解：由012, 16a a ==，得2mod(64)1616632mod(64)02mod(64)2mod(64)a ≡⨯-⨯≡-≡-，于是可知数列{}n a 模64周期为4，循环数为：2，16，2-，16-；又2005被4除余1，故选C ．6．解：铺第一列（两块地砖）有2630A =种方法；其次铺第二列．设第一列的两格铺了A 、B 两色（如图）， 那么，第二列的上格不能铺A 色；若铺B 色，则有(61)-即5种铺法；若不铺B 色，则有2(62)-即16种；于是第二列上共有21种铺法；同理，若前一列铺好，则其后一列都有21种铺法； 因此，共有73021⨯种铺法；故选D ．二、填空题（本题满分36分，每小题6分）7．解：设(,)OA m n =，则(,)OB n m =-；所以2(2,2)(7,9)OA OB m n n m +=-+=； 即2729m n m n -=⎧⎨+=⎩，解得：2311, 55m n ==；因此，1123(,)55OB =-．8．解：由题意可知：22n a +=2(2)8n n a S +=，.…①； 由11a S =，可得：122a +=12a =；又由①式得：211(2) (2)8n n a S n --+=≥，…②；于是有：1n n n a S S -=-221(2)(2) (2)88n n a a n -++=-≥，整理得：11()(4)0n n n n a a a a --+--=；又因10, 0n n a a ->>，故114 (2), 2n n a a n a --=≥=，所以数列{}n a 是以2为首项，4为公差的等差数列； 其通项公式为：24(1)n a n =+-，即42n a n =-；故填：4 2 (*)n a n n N =-∈．A BABCDNM 9．解：令|cos |[0, 1]t x =∈，则2|21|y t t =+-；当1t ≤≤时，2219212()48y t t t =+-=+-2y ≤≤；当0t ≤<2219212()48y t t t =-++=--+98y ≤≤； 所以y取2，故填2． 10．解：在11D A 的延长线上取一点H ，使114A H =，易证，1HE B G ∥，HE ∥平面1B FG ； 所以1111B EFG E B FG H B FGG B FH V V V V ----===，而198B FH S ∆=，所以G 到平面1B FH 的距离为1；故填138B EFG V -=．11．解：在5位数中，若1只出现1次，有11235444()70C C C C ++=个； 若1只出现2次，有212533()60C C C +=个； 若1只出现3次，有315220C C =个； 则这样的五位数共有150个；故填150个．12．解：由题意知M 是以原点为焦点、直线10x y ++=为准线的抛物线上及其凹口内侧的点集， N 是以(, 1)a 为中心的正方形及其内部 的点集（如图）；考察M N =∅时，a 的取值范围：令1y =，代入方程：|1|x y ++=， 得2420x x --=，解出得2x =∴当211a <=M N =∅，……③；令2y =，代入方程|1|x y ++，得2610x x --=，解之可得：3x =∴当3a >MN =∅，………④；因此，综合③与④可知，当13a ≤，即[1 3a ∈时，MN =∅；故填[1 3．三、解答题（第一题、第二题各15分；第三题、第四题各24分）13．证明：在BCN ∆中，由Menelaus 定理得：1BM NA CDMN AC DB⋅⋅=；因为BD DC =，所以BM ACMN AN=；………6分 由ABN ACB ∠=∠，知ABN ∆∽ACB ∆， 则AB AC CB AN AB BN==； 所以，2()AB AC CB AN AB BN ⋅=，即2()AC BC AN BN =．……12分因此，2()BM BC MN BN =；又BC BN λ=，故2BM MNλ=．………………15分14．解：当2n=时，由12x x+=，可得21221120x x x x x+=-≤；所以2n=时命题成立；…………………………………………………………………3分当3n=时，由123x x x++=，可得：2222123123122331()()2x x x x x xx x x xx x++-++++=222123()2x x x-++=≤；所以3n=时命题成立；…………………………………………………………………6分当4n=时，由1234x x x x+++=，可得：212233441132424()()()0x x x x x x x x x x x x x x+++=++=-+≤；所以4n=时命题成立；…………………………………………………………………9分当5n≥时，令121x x==，42x=-，35nx x x====,则1niix==∑；但是，1110ni inx x+==>∑，故对于5n≥命题不成立；综上可知，使命题成立的自然数是：2, 3, 4n=．.…………………………………15分15．设椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>，线段PQ是过左焦点F且不与x轴垂直的焦点弦；若在左准线上存在点R，使P Q R∆为正三角形，求椭圆的离心率e的取值范围，并用e表示直线PQ 的斜率．解：如图，设线段PQ的中点为M；过点P M Q、、分别作准线的垂线，垂足分别为'''P M Q、、；则1|'|(|'||'|)2MM PP QQ=+1||||||()22PF QF PQe e e=+=；………6分假设存在点R，则|||RM PQ，且|'|||MM RM<2所以，e>．………………………………………………………………………………12分于是，|'|||cos'||2MM PQRMMRM e∠===cot'RMM∠=若||||PF QF<（如图），则tan tan'cot'PQk QFx FMM RMM=∠=∠=∠=……18分当e>时，过点F的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述运算知，||||RM PQ=；故PQR∆为正三角形；………………………………20分若||||PF QF>，则由对称性得PQk=；…………………………………………22分又1e<，所以，椭圆22221 (0)x ya ba b+=>>的离心率e的取值范围是e∈，直线PQ的斜率为………………………………………………………………24分Q＇16．（1）若(*)n n N ∈个棱长是正整数的正方体的体积之和为2005，求n 的最小值并说明理由．（2）若(*)n n N ∈个棱长是正整数的正方体的体积之和为20052002，求n 的最小值说明理由． 解：（1）因为3333101000,111331,121728,132197====，3312200513<<，故1n ≠；因为3333200517281251252712553=+++=+++，所以存在4n =，使min 4n ≤；…………………………………………………………6分 若2n =，因3310102005+<，则最大的正方体边长只能为11或12；计算33200511674, 200512277-=-=，而674与277均不是完全立方数；所以2n =不可能是n 的最小值；……………………………………………………9分 若3n =，设此三个正方体中最大一个的棱长为x ，由233200538x ≥>⨯； 知最大的正方体棱长只能为9、10、11、或12；由于3200539<⨯，3200529547-⨯=，3320059280--⨯>，所以9x ≠；由于320052105-⨯=，332005109276--=，332005108493--=，33200510270--⨯>， 所以10x ≠；由于332005118162--=，332005117331--=，33200511260--⨯>， 所以11x ≠；由于33200512661--=，33320051251525--=>，所以12x ≠； 因此3n =不可能是n 的最小值；综上所述，4n =才是n 的最小值．…………………………………………………12分 （2）设n 个正方体的棱长分别是12, , , n x x x ，则3332005122002n x x x +++=；……………………⑤由20024(mod9)≡，341(m )od9≡，可得：20052005668313668200244(4)44(mod9)⨯+≡≡≡⨯≡；……⑥…………………15分 又当*x N ∈时，30, 1(mod9)x ≡±，所以31x ≡∕4(mod9)，3312x x +≡∕4(mod9)，333123x x x ++≡∕4(mod9)……⑦……………21分⑤式模9，由⑥、⑦可知：4n ≥；而33332002101011=+++，则2005200433336683333320022002(101011)(2002)(101011)=⨯+++=⨯+++6683668366836683(200210)(200210)(2002)(2002)=⨯+⨯++；……………24分因此4n =为所求的最小值．。
2005年全国高中数学联赛加试题另解
DI1 交 EF 所在直线于点 F′ , 在 △AI1 F′ 中应
故 IC 为 ∠ACB 的角平分线 . 于是 , I 为 △ABC 的内心 . 联结 CI1 . 因为 AI 是 DC 的中垂线 ,则 ∠ICI1 = ∠IDI1 = ∠FDE = 90° . 由于 IC 为 ∠ACB 的 角 平 分 线 , 所 以 ,
则 AB = c = 2 rcos α,
AC = b = R = 2 rcos β,
故 A、 F、 I1 、 C 四点共圆 . 又 A F = AC ,则 ∠AI1 F = ∠AI1 C . 由 ∠BDI1 = ∠ADF
1 = ( 180° - ∠ACB ) = ∠BCI1 , 2
) , BC = a = 2 rsin (α+ β
2 ,设 ∠BAC 的角平
令 B →B′ ,则点 B′ 在 AC 的延长线上 . 联结 B′ D. 由于 ∠EAB′ = ∠ABC = ∠AB′ D ,因此 ,
B′ D ∥EF.
分线 与 DE 、 FD 分 别交 于 点 I 、 I1 , 与 △ABC 的外接圆交 于点 G. 则 ∠DEC
1 = ∠DAC = ∠IAC . 2
知 ∠I1 AC =
y= -
故 AI1 为 ∠BAC 的平分线 , I1 为 △ABC 的一个旁心 , FD 过 △ABC 角 A 内的旁心 . 接下来证明 I 为 △ABC 的内心 .
1 联结 CI . 由 ∠IAC = ∠BA内心 、 旁心分别为
I IA axA + bxB + cx C ayA + byB + cy C , a+ b+ c a+ b+ c
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中等数学
2005 年全国高中数学联赛
一 、选择题 (每小题 6 分 ,共 36 分) 1. 使关于 x 的不等式 x - 3 + 6 - x ≥k
有解的实数 k 的最大值是 ( ) .
(A) 6 - 3
(B) 3
(C) 6 + 3
(D) 6
2. 空间四点 A 、B 、C 、D 满足| AB | = 3 ,
A 2
+ BB1 cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
sin A + sin B + sin C
的值为 ( ) .
(A) 2 (B) 4 (C) 6 (D) 8
4. 如图 1 , ABCD - A′B′C′D′为正方体. 任 作平面 α 与对角线
AC′垂直 ,使得 α 与正
方体 的 每 个 面 都 有 公
a1 7
+
a2 72
+
a3 73
+
a4 74
|
ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4
.
将
M 中的元素按从大到小的顺序排列 ,则第
2 005 个数是 ( ) .
(A)
5 7
+
5 72
+
6 73
+
3 74
(B)
5 7
+
5 72
+
6 73
+
2 74
(C)
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
(D)
2005 年第 12 期
2 a2 + a + 1 > 3 a2 - 4 a + 1. 所以 , a2 - 5 a < 0. 故 0 < a < 5.
结合
a>1或
a<
1 3
,知 0 <
a<
1 3
或
1
<
a < 5.
9. 4π3 .
设 f ( x) = cos ( x +α) + cos ( x +β) + cos ( x +γ) .
| BC| = 7 ,| CD | = 11 ,| DA| = 9. 则 AC·BD
的取值 ( ) .
(A) 只有一个
(B) 有二个
(C) 有四个
(D) 有无穷多个
3. △ABC 内接于单位圆 , 三个内角 A 、
B 、C 的平分线延长后分别交此圆于点 A1 、
B1 、C1 . 则
AA1 cos
1 7
+
1 72
+
0 73
+
4 74
.
二
、7.
521 + 6
1
.
由题设知 ,f ( x) 的表达式中的各项构成首项为
1 、公比为 - x 的等比数列.
由等比数列的求和公式得
f ( x)
=
(
-
x) 21 x-
1
1
=
x21 x
+1 +1
.
令
x
=
y + 4 ,得
g ( y)
=
(y
+ 4) 21 y +5
+ 1.
,当 β-
α=
γ-
β=
2π时 3
,有 β=α+
2π 3
,
γ=α+ 4π3 . 对任意的 x ∈R ,记 x +α=θ. 由于三点
(cos θ,sin θ) ,
cos
θ+
2π 3
,sin
θ+
2π 3
,
cos
θ+
4π 3
,sin
θ+
4π 3
构成单位圆 x2 + y2 = 1 上正三角形的三个顶点 ,其
中心位于原点 ,显然 ,有
cos ( x +γ) = 0 ,则 γ- α=
.
10. 如图 2 ,四面体
DAB C
的体积为
1 6
,且
2005 年第 12 期
满足 ∠ACB = 45°,
AD + BC + AC = 3. 2
则 CD =
.
11. 若 正 方 形
ABCD 的一条 边 在
图2
直线 y = 2 x - 17 上 ,另外两个顶点在抛物线
1 7
+
1 72
+
0 73
+
3 74
二 、填空题 (每小题 9 分 ,共 54 分)
7. 将关于 x 的多项式
f ( x) = 1 - x + x2 - x3 + …- x19 + x20
表为关于 y 的多项式
g ( y) = a0 + a1 y + …+ a20 y20 ,
其中 y = x - 4. 则 a0 + a1 + … + a20 =
cos θ+ cos
θ+
2π 3
+ cos
θ+
4π 3
=0,
即 cos ( x +α) + cos ( x +β) + cos ( x +γ) = 0.
2+ 2
3
+
π 4
.
①
因为
-
π 2
<
22
3
<
0
,
3π 4
<
2+ 2
3
+
π 4
<π,
所以 ,sin
22
3 < 0 ,sin
故式 ①< 0.
2+ 2
3
+
π 4
> 0.
因此 ,sin 2 - sin 3 < cos 2 - cos 3. 则曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆.
6. C. 用[ a1 a2 …ak ] p 表示 k 位 p 进制数 ,将集合 M 中的每个数乘以 74 ,得 M′= { a1 ×73 + a2 ×72 + a3 ×7 + a4| ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4} = { [ a1 a2 a3 a4 ]7 | ai ∈T , i = 1 ,2 ,3 ,4}. M′中的最大数为[ 6 666 ]7 = [2 400 ]10 . 在十进制数中 ,从 2 400 起按从大到小顺序排列 的第 2 005 个数是 2 400 - 2 004 = 396. 而 [ 396 ]10 = [1 104 ]7 ,将此数除以 74 ,便得 M 中的数为
y = x2 上 , 则 该 正 方 形 面 积 的 最 小 值 为
.
12. 如果自然数 a 的各位数字之和等于
7 ,那么 ,称 a 为“吉祥数”. 将所有吉祥数从
小到 大 排 成 一 列 a1 , a2 , a3 , …, 若 an =
2 005 ,则 a5 n =
.
三 、解答题 (每小题 20 分 ,共 60 分)
3. A. 如图 4 ,联结 BA1 ,则
AA1 = 2sin
B
+
A 2
= 2cos
B 2
-
C 2
.
图4
28
故 AA1 cos
A 2
= 2cos
B 2
-
C 2
·cos
A 2
π
π
= cos 2 - C + cos 2 - B
= sin C + sin B .
同理 , BB1 cos
B 2
= sin A + sin
点 B . 点 C 在抛物线上 ,点 E 在线段 AC 上 ,
满足
AE EC
= λ1
,点
F
在线段
BC
上
,满足
BF FC
=
λ2 ,且 λ1 + λ2 = 1 ,线段 CD 与 EF 交于点 P.
当点 C 在抛物线上移动时 ,求点 P 的轨迹
方程.
加试题
一 、(50 分) 如图 3 ,在 △ABC 中 ,设 AB
C,
CC1 cos
C 2
=
sin
A
+
sin
B.
则 AA1 cos
A 2
+ BB1 cos
B 2
+ CC1 cos
C 2
= 2 (sin A + sin B + sin C) .
ห้องสมุดไป่ตู้
4. B.
如图 5 ,将正方体切
去两 个 正 三 棱 锥 A -
A′BD与 C′- D′B′C 后 ,得
到一个以平行平面 A′BD
放置在圆周的九个等分点上 ,每个等分点上
各有一个小球. 设圆周上所有相邻两球号码
之差的绝对值之和为 S . 求使 S 达到最小值
的放法的概率. (注 :如果某种放法 ,经旋转或
镜面反射后可与另一种放法重合 ,则认为是
相同的放法)
15. 过抛物线 y = x2 上的一点 A (1 ,1) 作
抛物线的切线 ,分别交 x 轴于点 D ,交 y 轴于
13. 数列{ an }满足
a0 = 1 , an + 1 = 7 an +