最新全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题及参考答案

一、填空题

1、化简++++++34431

23321

12211…=++20162017201720161

.20171

1- 解：由11

1

)1(1)1).(1(1

)1(11

+-=+-+=+++=+++k k k k k

k k k k k k k k k 可得.

2、若sinx+cosx=22,8

25cos sin 33=+x x . 解:4

121)cos (sin cos sin 2-=-+=x x x x ,82582342)cos (sin cos sin 3)cos (sin cos sin 333=+=

+-+=+x x x x x x x x 3、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 3 ．

解：反向考虑，边长为a 的正方体（体积为a 3）,其最大内接正四面体顶点，由互不共棱的正方体顶点组成，其体积为.3a 13

,333

3==，则令a a 4、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率=e 2

221或． 解：建立坐标系，设椭圆的方程为),0,(),0,(),0(12,12,122

22b B a A b a b

y a x ±=±=>>=+则顶点焦点)0,(2,1c F ±=，准线方程为,,2222,1b a c c

a l -=±=其中据对称性，只要考虑两种情况：（1）、上，的对称点在右准线关于c a x c F a A 221)0,()0,(=-由2

1,22===+-a c e c c a a 得；（2）、 上，的对称点在右准线关于c

a x c F B 2

21)0,()b ,0(=由横坐标.22,202===+a c e c c a 得 5、函数14342++-=x x y 的最小值是5．

解：首先， .06414342≥+-=++->x x x x y 又由),14(9)4(22+=+x x y 即0)9(8064,0)9(8202222≥--=∆=-+-y y y xy x 据判别式，即,52≥y 因y>0,则,5≥y 此值在

求解）（也可以令时取得θtan 2

1.51

==x x . 6、设+++=++22102)1(x a x a a x x n …n n x a 22+，则+++642a a a …=+n

a 2213-n ． 解：令x=0，得a 0=1,再令x=1，得a 0+ a 1+ a 2+…+ a 2n =n 3,又令x=-1，得a 0- a 1+ a 2+…+ a 2n =1，所以

2

132642-=++++n n a a a a . 7、将全体真分数排成这样的一个数列}{n a ：,4

3,42,41,32,31,21…，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项=2017a 65

1． 解：按分母分段，分母为k+1的分数有k 个，因

208026564,201626463=⨯=⨯，因2017属于第64段，则2017a 应是分母为65的第一数，即65

1. 8、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列}{n a ，若2017=n a ，则n=120. 解：数字和为10的两位数ab 有9个；数字和为10的三位数abc ：首位数字a 可取1，2，…，9中任意一个值，当a 取定后，b 可取0，1，…，10-a 这11-a 个数字的任意一个值，而在a,b 确定后，c 的值就唯一确定，因此三位数的个数是54)11(9

1=-∑=a a ；数字和为10的四位数abc 1：a+b+c=9的非负整数解

（a,b,c ）的个数是552

11=C ，数字和为10的四位数abc 2共有2个即2008和2017，故在1，2，…，2017中，满足条件的数有9+54+55+2=120个.

二、解答题（共70分） 9、（本题满分15分）数列}{n a ，}{n b 满足：111==b a ，n n n b a a 21+=+，)1(1≥+=+n b a b n n n ． 证明：（1）、21212<--n n b a ，222>n n b a ；（2）、2211-<-++n

n n n b a b a ． 证明：)2()(2)2(222222121n n n n n n n n b a b a b a b a --=+-+=-++…①由此递推得

n n n n n n n n n n b a b a b a b a b a )1()2()

1()2()(2)2(221211212121121122-=--==--=+-+=-------- …② 因此02,022*********<->---n n n n b a b a 即有,2,2221212><--n

n n n b a b a

据①得22212122n n n n b a b a -=-++…③，由条件知，{}{}

,,n n b a 皆为严格递增的正整数数列， ,0,011>>>>++n n n n b b a a 所以n n n n b a b a 2121

11+<+++…④n

n b b 111<+…⑤ 将③④⑤相乘得2211-<-++n

n n n b a b a 10、

（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数a ，b ，c 使得33b a -，33c b -，33a c -均是2017的倍数；证明：222c b a ++必是c b a ++的倍数． 证：因）

（即2233a )(2017,)(2017b ab b a b a ++--；又由,20170<-

2b 2017…②）（ac c ++22a 2017…③，根据②③，]b a [20172222）（）（bc c ac c ++-++，即

）

（c b b a ++-a )(2017，从而）（c b ++a 2017，因正整数a,b,c 皆小于2017，得a+b+c<3*2017,因此a+b+c=2017或2*2017.又注意222a a c b c b ++++与同奇偶，故只要证）（222a 2017c b ++，将①改写为）（则知））（ac ac c b --+++22b 2017],b a a [2017…④，同理有）（bc -2a 2017，

）（ab -2c 2017…⑤，将①②③④⑤式相加，得）

（222a 32017c b ++于是）（222a 2017c b ++，从而）

（222a )(c b c b a ++++. 11、

（本题满分20分）设P =｛21，22，23，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数n 能够表示为集合P 中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数n 具有P 结构．证明：每个自然数n 都具有P 结构．

证明：首先，我们可以将前十个自然数分别表示为：

22222222222

22222222223

9,318,437,4316,21524,213,43212,11,5430=+-=+-=+--=+==+-=+---==+--= 再考虑区间(]224,3中的数，其中除了16=42之外，其余的数皆可表示为)61(42≤≤-=k k n 形式；并且注意到，在1，2，3，4，5，6中每个数的ｐ结构表示中，凡是表示式中42参与时，42皆以正项形式出现，

于是由)61(42≤≤-=k k n 可知，此时42项便抵消（不会出现242⨯的项）；因此，区间(]224,3中的数

皆具有P 结构表示，也就是2

4≤的每个数都具有P 结构表示，且其中最大项至多为42，而凡是含有42的