您的位置：360文档中心› 2012年高考数学试卷(全国卷理科大纲版)

2012年高考数学试卷(全国卷理科大纲版)

合集下载

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为 ．　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．　4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　3　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为　1830　．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD ；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

高考-2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

高考-2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，∈F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（）A．B．C．D．（0，2] 10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，∈ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为∈ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+asinC ﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，∈ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1∈BD（1）证明：DC1∈BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F 为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∈BFD=90°，∈ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为∈ABC边AB，AC的中点，直线DE交∈ABC的外接圆于F，G两点，若CF∈AB，证明：（1）CD=BC；（2）∈BCD∈∈GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B 中所含元素的个数为（）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∈z===﹣1﹣i，∈，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，∈F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用∈F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∈∈F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∈|PF2|=|F2F1|∈P为直线x=上一点∈∈故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∈a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∈a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∈a1=﹣8，a10=1，∈a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∈a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（）。

2012年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版)(含答案及解析)

2012年全国统一高考真题数学试卷(理科)(大纲版)(含答案及解析)

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或33．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x 10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1 11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【解答】解：===1+2i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3C．1或D．1或3【考点】1C：集合关系中的参数取值问题．【专题】5J：集合．【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B⊆A，再由集合的包含关系得出参数所可能的取值．3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD∴V A=×S△EBD×h=×2×h=﹣BDE∴h=1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题5．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A．B．C．D．【考点】85：等差数列的前n项和；8E：数列的求和．【专题】11：计算题．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选：A．【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选：A．【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα﹣cosα=是关键，属于中档题．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1【考点】53：函数的零点与方程根的关系；6D：利用导数研究函数的极值．【专题】11：计算题．【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．【解答】解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；所以排列方法共有：×2×1×1=12种，故选：A．【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大简化解答过程．12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16B．14C．12D．10【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质；IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】13：作图题；16：压轴题．【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z 的几何意义，属于基础试题14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin （x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：56【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【考点】LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，则=，=，=∵，∴=（）•（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HP：正弦定理．【专题】11：计算题．【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1∴sinAsinC=①由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②①②联立可得，∵0＜C＜π∴sinC=a=2c即a＞c【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．【专题】11：计算题．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P （A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3 P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144P（ξ=2）=P（B）=0.352P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．【点评】本题考查相互独立事件的概率，考查离散型随机变量的期望，确定变量的取值，计算相应的概率是关键．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx﹣（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），当a≤时，有①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当时，=1+≤1+sinx综上，a≤．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M （1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D 的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式；8I：数列与函数的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，可以证明2≤x k+1＜x k+2＜3，从而结论成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造b n=x n﹣3，可得是以﹣为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为当y=0时，∴，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为当y=0时，∴∵2≤x k＜x k+1＜3，∴＜x k+2∴x k+1＜x k+2＜3∴2≤x k+1即n=k+1时，结论成立由①②可知：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得设b n=x n﹣3，∴∴∴是以﹣为首项，5为公比的等比数列∴∴∴．【点评】本题考查数列的通项公式，考查数列与函数的综合，解题的关键是从函数入手，确定直线方程，求得交点坐标，再利用数列知识解决．。

2012年高考理科数学试题(全国大纲卷)【学生试卷】

2012年高考理科数学试题(全国大纲卷)【学生试卷】

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷 )理科数学 (必修＋选修Ⅱ )第 I 卷(选择题 )一、选择题：共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．〖 2012 全国大纲卷〗复数13i＝ ( )1iA．2i B．2iC．12i D．12i2．〖 2012 全国大纲卷〗已知集合A{1,3,m} ，B{1,m} ，A B A ，则m＝()A．0 或3B．0或 3C．1 或3D．1或33．〖 2012 全国大纲卷〗椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x 4 ，则该椭圆的方程为()A．x2y216112B．x2y21218C．x2y2814D．x2y212144．〖 2012 全国大纲卷〗已知正四棱柱ABCD A1B1C1 D1中，AB 2，CC1 2 2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为( )A．2B．3C．2D．15．〖 2012 全国大纲卷〗已知等差数列{ a n } 的前 n 项和为 S n， a55， S515，则数列 {1} 的前anan 1100 项和为 ()A ．1009999101101B． C ．D．1001011006．〖 2012 全国大纲卷〗ABC 中，AB 边的高为CD ．若CB a，CA b，a b0 ，|a| 1，| b |2，则 AD ＝()A ．11a b33B．2 a 2 b33C ．3 a 3 b55D ．4 a 4 b557．〖 2012 全国大纲卷〗已知为第二象限角，sin cos3)，则 cos2 ＝(3A ．5B．539C ．5D ．5938．〖 2012 全国大纲卷〗已知F1、F2为双曲线C：x2y2 2 的左、右焦点，点P 在 C 上，|PF1| 2 | PF2 | ，则 cos F1PF2＝()1B．334A． C ．4D ．4559．〖 2012 全国大纲卷〗已知x ln， y log 5 2 ，1z e 2，则()A．x y zB．z x yC．z y xD．y z x10．〖 2012 全国大纲卷〗已知函数y x33x c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则 c ＝()A．?2 或 2B．–9 或 3C．–1 或 1D．–3 或 111．〖 2012 全国大纲卷〗将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( )A．12 种B．18 种C．24 种D．36 种12．〖 2012 全国大纲卷〗正方形ABCD的边长为1，点 E在边 AB上，点 F 在边 BC上，AE BF 3P 从 E 出发沿直线向 F 运动，．动点7每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点 P 第一次碰到 E 时， P 与正方形的边碰撞的次数为 ()A． 16B． 14C． 12D．10第 II卷 (非选择题共 90分 )二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20分．13．〖 2012 全国大纲卷〗若x、y满足约束条件x y1≥ 0x y 3 ≤ 0 ，则 z 3x y 的最小值为．x 3 y3≥ 014．〖 2012 全国大纲卷〗当函数y sin x 3 cos x (0≤x≤2)取得最大值时，x＝．15．〖 2012 全国大纲卷〗若( x1) n的展开式中第3x1项与第7 项的二项式系数相等，则该展开式中的x2系数为．16．〖 2012 全国大纲卷〗三棱柱ABC A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1CAA160 ，则异面直线AB1与 BC1所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．〖 2012 全国大纲卷〗ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、b、c ，已知 cos( A C ) cos B 1 ，a 2c ，求 C ．18．〖 2012 全国大纲卷〗如图，四棱锥P ABCD中，底面 ABCD 为菱形， PA ⊥底面 ABCD ，AC 2 2 ，PA＝2，E是PC上的一点，PE 2EC ．(Ⅰ )证明：PC⊥平面 BED ；(Ⅱ )设二面角 A PB C 为90°，求 PD 与平面PBC 所成角的大小．19．〖 2012 全国大纲卷〗乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在 10 平前，一方连续发球 2 次后，对方再连续发球 2 次，依次轮换．每次发球，胜方得1 分，负方得0 分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1 分的概率为0．6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(Ⅰ )求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为 1 比 2 的概率；(Ⅱ )表示开始第 4 次发球时乙的得分，求的期望．20．〖 2012 全国大纲卷〗设函数 f (x) ax cos x ，x [0, ]．(Ⅰ )讨论f (x)的单调性；(Ⅱ )设f (x)≤1sin x ，求 a 的取值范围．21．〖 2012 全国大纲卷〗已知抛物线 C ：y(x 1)2与圆 M ：(x 1)2( y1)2r 2(r 0)有一个公2共点 A ，且在 A 处两曲线的切线为同一直线l ．(Ⅰ )求r；(Ⅱ )设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线， m 、 n 的交点为 D ，求 D 到 l 的距离．22．〖 2012 全国大纲卷〗函数f ( x) x22x 3 ．定义数列 { x n } 如下： x1 2 ， x n 1是过两点P(4,5) ，Q n ( x n , f ( x n )) 的直线 PQ n与 x 轴交点的横坐标．(Ⅰ )证明：2≤x n x n 1 3 ；(Ⅱ )求数列{ x n}的通项公式．。

2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) [理科数学](新课标)含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) [理科数学](新课标)含答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷) [理科数学]（新课标）含答案一．选择题：本大题共12小题：每小题5分。

1.已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 102.将2名教师：4名学生分成2个小组：分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动：每个小组由1名教师和2名学生组成：不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种3.下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 344.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点：P 为直线32a x =上一点：∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形：则E的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 455.已知{}n a 为等比数列：472a a +=：568a a =-： 则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -76.如果执行右边的程序框图：输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ：输出,A B ：则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数7.如图：网格纸上小正方形的边长为1：粗线画出的是某几何体的三视图：则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 188.等轴双曲线C 的中心在原点：焦点在x 轴上：C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点：AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B()C 4 ()D 89.已知0ω>：函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)附送答案

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(大纲版)附送答案

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i2．（5分）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m的值为（）A．0或B．0或3 C．1或D．1或33．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．4．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2 B．C．D．15．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x10．（5分）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或111．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16 B．14 C．12 D．10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．14．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为．16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．（12分）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．21．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．22．（12分）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2012•大纲版）复数=（）A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．【解答】解：===1+2i．故选C．2．（5分）（2012•大纲版）已知集合A={1，3，}，B={1，m}，A∪B=A，则m 的值为（）A．0或B．0或3 C．1或D．1或3【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B⊆A，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项．【解答】解：由题意A∪B=A，即B⊆A，又，B={1，m}，∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B．3．（5分）（2012•大纲版）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选C．4．（5分）（2012•大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2 B．C．D．1【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD∴V A=×S△EBD×h=×2×h=﹣BDE∴h=1故选D5．（5分）（2012•大纲版）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为（）A． B． C． D．【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求a1，d，进而可求a n，代入可得==，裂项可求和【解答】解：设等差数列的公差为d由题意可得，解方程可得，d=1，a1=1由等差数列的通项公式可得，a n=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×1=n∴===1﹣=故选A6．（5分）（2012•大纲版）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选D7．（5分）（2012•大纲版）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α【解答】解：∵sinα+cosα=，两边平方得：1+sin2α=，∴sin2α=﹣，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα=，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）=（﹣）×=﹣．故选A．8．（5分）（2012•大纲版）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选C．9．（5分）（2012•大纲版）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．10．（5分）（2012•大纲版）已知函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则c=（）A．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c 的图象与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c 的值．【解答】解：求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．∵函数y=x3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，∴极大值等于0或极小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故选：A．11．（5分）（2012•大纲版）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（）A．12种B．18种C．24种D．36种【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．【解答】解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；所以排列方法共有：×2×1×1=12种，故选A12．（5分）（2012•大纲版）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．16 B．14 C．12 D．10【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰撞点为H，且DH=，作图，可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．故选B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效）13．（5分）（2012•大纲版）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣114．（5分）（2012•大纲版）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．15．（5分）（2012•大纲版）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为56．【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的系数【解答】解：由题意可得，∴n=8展开式的通项=令8﹣2r=﹣2可得r=5此时系数为=56故答案为：5616．（5分）（2012•大纲版）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即可【解答】解：如图，设=，，，棱长均为1，则=，=，=∵，∴=（）•（）=﹣++﹣+=﹣++=﹣1++1=1||===||===∴cos＜，＞===∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为三.解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）（2012•大纲版）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，a=2c，求C．【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得cosB=﹣cos（A+C）∴cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC=1∴sinAsinC=①由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②①②联立可得，∵0＜C＜π∴sinC=a=2c即a＞c18．（12分）（2012•大纲版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA ⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°19．（12分）（2012•大纲版）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1，根据P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，即可求得结论；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2；A表示事件：第3次发球，甲得1分；B表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则B=A0A+A1∵P（A）=0.4，P（A0）=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48∴P（B）=0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352；（Ⅱ）P（A2）=0.62=0.36，ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3 P（ξ=0）=P（A2A）=0.36×0.4=0.144P（ξ=2）=P（B）=0.352P（ξ=3）=P（A0）=0.16×0.6=0.096P（ξ=1）=1﹣0.144﹣0.352﹣0.096=0.408∴ξ的期望Eξ=1×0.408+2×0.352+3×0.096=1.400．20．（12分）（2012•大纲版）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a 进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx﹣（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a﹣sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π﹣arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤．令g（x）=sinx﹣（0≤x），则g′（x）=cosx﹣当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），当a≤时，有①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当时，=1+≤1+sinx综上，a≤．21．（12分）（2012•大纲版）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为22．（12分）（2012•大纲版）函数f（x）=x2﹣2x﹣3，定义数列{ x n}如下：x1=2，x n+1是过两点P（4，5），Q n（x n，f（x n））的直线PQ n与x轴交点的横坐标．（Ⅰ）证明：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）求数列{ x n}的通项公式．【分析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为，当y=0时，可得；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为，当y=0时，可得，根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，可以证明2≤x k+1＜x k+2＜3，从而结论成立．（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，构造b n=x n﹣3，可得是以﹣为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x n}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：①n=1时，x1=2，直线PQ1的方程为当y=0时，∴，∴2≤x1＜x2＜3；②假设n=k时，结论成立，即2≤x k＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为当y=0时，∴∵2≤x k＜x k+1＜3，∴＜x k+2∴x k+1∴2≤x k＜x k+2＜3+1即n=k+1时，结论成立由①②可知：2≤x n＜x n+1＜3；（Ⅱ）由（Ⅰ），可得设b n=x n﹣3，∴∴∴是以﹣为首项，5为公比的等比数列∴∴∴．。

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2012年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标)(含解析版)

2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．102．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p44．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣76．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．188．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．89．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则= ．14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为 ．　三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．2012年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）A．3B．6C．8D．10【考点】12：元素与集合关系的判断．【专题】5J：集合．【分析】由题意，根据集合B中的元素属性对x，y进行赋值得出B中所有元素，即可得出B中所含有的元素个数，得出正确选项【解答】解：由题意，x=5时，y=1，2，3，4，x=4时，y=1，2，3，x=3时，y=1，2，x=2时，y=1综上知，B中的元素个数为10个故选：D．【点评】本题考查元素与集合的关系的判断，解题的关键是理解题意，领会集合B中元素的属性，用分类列举的方法得出集合B中的元素的个数．2．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A．12种B．10种C．9种D．8种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有=2种选法；第二步，为甲地选两个学生，有=6种选法；第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法故不同的安排方案共有2×6×1=12种故选：A．【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题3．（5分）下面是关于复数z=的四个命题：其中的真命题为（ ），p1：|z|=2，p2：z2=2i，p3：z的共轭复数为1+i，p4：z的虚部为﹣1．A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4【考点】2K：命题的真假判断与应用；A5：复数的运算．【专题】11：计算题．【分析】由z===﹣1﹣i，知，，p 3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，由此能求出结果．【解答】解：∵z===﹣1﹣i，∴，，p3：z的共轭复数为﹣1+i，p4：z的虚部为﹣1，故选：C．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．　4．（5分）设F1、F2是椭圆E：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，P为直线x=上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】利用△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根据P为直线x=上一点，可建立方程，由此可求椭圆的离心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P为直线x=上一点∴∴故选：C．【点评】本题考查椭圆的几何性质，解题的关键是确定几何量之间的关系，属于基础题．5．（5分）已知{a n}为等比数列，a4+a7=2，a5a6=﹣8，则a1+a10=（ ）A．7B．5C．﹣5D．﹣7【考点】87：等比数列的性质；88：等比数列的通项公式．【专题】11：计算题．【分析】由a4+a7=2，及a5a6=a4a7=﹣8可求a4，a7，进而可求公比q，代入等比数列的通项可求a1，a10，即可【解答】解：∵a4+a7=2，由等比数列的性质可得，a5a6=a4a7=﹣8∴a4=4，a7=﹣2或a4=﹣2，a7=4当a4=4，a7=﹣2时，，∴a1=﹣8，a10=1，∴a1+a10=﹣7当a4=﹣2，a7=4时，q3=﹣2，则a10=﹣8，a1=1∴a1+a10=﹣7综上可得，a1+a10=﹣7故选：D．【点评】本题主要考查了等比数列的性质及通项公式的应用，考查了基本运算的能力．6．（5分）如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1，a2，…，a n，输出A，B，则（ ）A．A+B为a1，a2，…，a n的和B．为a1，a2，…，a n的算术平均数C．A和B分别是a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数D．A和B分别是a1，a2，…，a n中最小的数和最大的数【考点】E7：循环结构．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数．【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知，该程序的作用是：求出a1，a2，…，a n中最大的数和最小的数其中A为a1，a2，…，a n中最大的数，B为a1，a2，…，a n中最小的数故选：C．【点评】本题主要考查了循环结构，解题的关键是建立数学模型，根据每一步分析的结果，选择恰当的数学模型，属于中档题．7．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A．6B．9C．12D．18【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】11：计算题．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据求出几何体的体积即可．【解答】解：该几何体是三棱锥，底面是俯视图，三棱锥的高为3；底面三角形斜边长为6，高为3的等腰直角三角形，此几何体的体积为V=×6×3×3=9．故选：B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，考查几何体的体积的求法，考查计算能力．8．（5分）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于点A和点B，|AB|=4，则C的实轴长为（ ）A．B．C．4D．8【考点】KI：圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，由C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，，能求出C的实轴长．【解答】解：设等轴双曲线C：x2﹣y2=a2（a＞0），y2=16x的准线l：x=﹣4，∵C与抛物线y2=16x的准线l：x=﹣4交于A，B两点，∴A（﹣4，2），B（﹣4，﹣2），将A点坐标代入双曲线方程得=4，∴a=2，2a=4．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．9．（5分）已知ω＞0，函数f（x）=sin（ωx+）在区间[，π]上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ）A．B．C．D．（0，2]【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】法一：通过特殊值ω=2、ω=1，验证三角函数的角的范围，排除选项，得到结果．法二：可以通过角的范围，直接推导ω的范围即可．【解答】解：法一：令：不合题意排除（D）合题意排除（B）（C）法二：，得：．故选：A．【点评】本题考查三角函数的单调性的应用，函数的解析式的求法，考查计算能力．10．（5分）已知函数f（x）=，则y=f（x）的图象大致为（ ）A．B．C．D．【考点】4N：对数函数的图象与性质；4T：对数函数图象与性质的综合应用．【专题】11：计算题．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明【解答】解：设则g′（x）=∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数∴g（x）＜g（0）=0∴f（x）=＜0得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＜0排除A，C，又f（x）=中，，能排除D．故选：B．【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题11．（5分）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（ ）A．B．C．D．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】11：计算题；5F：空间位置关系与距离．【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC 上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．【解答】解：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．∵CO1==，∴OO1==，∴高SD=2OO1=，∵△ABC是边长为1的正三角形，∴S△ABC=，∴V三棱锥S﹣ABC==．故选：C．【点评】本题考查棱锥的体积，考查球内接多面体，解题的关键是确定点S到面ABC的距离．12．（5分）设点P在曲线上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（ ）A．1﹣ln2B．C．1+ln2D．【考点】4R：反函数；IT：点到直线的距离公式．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由于函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，要求|PQ|的最小值，只要求出函数上的点到直线y=x的距离为的最小值，设g（x）=，利用导数可求函数g（x）的单调性，进而可求g（x）的最小值，即可求．【解答】解：∵函数与函数y=ln（2x）互为反函数，图象关于y=x对称，函数上的点到直线y=x的距离为，设g（x）=（x＞0），则，由≥0可得x≥ln2，由＜0可得0＜x＜ln2，∴函数g（x）在（0，ln2）单调递减，在[ln2，+∞）单调递增，∴当x=ln2时，函数g（x）min=1﹣ln2，，由图象关于y=x对称得：|PQ|最小值为．故选：B．【点评】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，注意本题解法中的转化思想的应用，根据互为反函数的对称性把所求的点点距离转化为点线距离，构造很好二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知向量夹角为45°，且，则=　3　．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；9S：数量积表示两个向量的夹角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由已知可得，=，代入|2|====可求【解答】解：∵，=1∴=∴|2|====解得故答案为：3【点评】本题主要考查了向量的数量积定义的应用，向量的数量积性质||=是求解向量的模常用的方法14．（5分）设x，y满足约束条件：；则z=x﹣2y的取值范围为 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】先作出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小，结合函数的图形可求z的最大与最小值，从而可求z的范围【解答】解：作出不等式组表示的平面区域由z=x﹣2y可得，y=，则﹣表示直线x﹣2y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大，z越小结合函数的图形可知，当直线x﹣2y﹣z=0平移到B时，截距最大，z最小；当直线x﹣2y﹣z=0平移到A时，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Z max=3，Z min=﹣3则z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案为：[﹣3，3]【点评】平面区域的范围问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．15．（5分）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，502），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ．【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】先根据正态分布的意义，知三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为，而所求事件“该部件的使用寿命超过1000小时”当且仅当“超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常”和“超过1000小时时，元件3正常”同时发生，由于其为独立事件，故分别求其概率再相乘即可【解答】解：三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N（1000，502）得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为设A={超过1000小时时，元件1、元件2至少有一个正常}，B={超过1000小时时，元件3正常}C={该部件的使用寿命超过1000小时}则P（A）=，P（B）=P（C）=P（AB）=P（A）P（B）=×=故答案为【点评】本题主要考查了正态分布的意义，独立事件同时发生的概率运算，对立事件的概率运算等基础知识，属基础题16．（5分）数列{a n}满足a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，则{a n}的前60项和为　1830　．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；35：转化思想；4M：构造法；54：等差数列与等比数列．【分析】由题意可得a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97，变形可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a7=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，…利用数列的结构特征，求出{a n}的前60项和【解答】解：∵a n+1+（﹣1）n a n=2n﹣1，故有a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a50﹣a49=97．从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a11=2，a16+a14=56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+）=1830【点评】本题考查数列递推式，训练了利用构造等差数列求数列的前n项和，属中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC+ asinC﹣b﹣c=0（1）求A；（2）若a=2，△ABC的面积为；求b，c．【考点】HP：正弦定理．【专题】33：函数思想；4R：转化法；58：解三角形．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后得到sin（A﹣30°）=．即可求出A的值；（2）若a=2，由△ABC的面积为，求得bc=4．①，再利用余弦定理可得b+c=4．②，结合①②求得b和c的值．【解答】解：（1）由正弦定理得：acosC+asinC﹣b﹣c=0，即sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC，即sinA﹣cosA=1∴sin（A﹣30°）=．∴A﹣30°=30°∴A=60°；（2）若a=2，△ABC的面积=，∴bc=4．①再利用余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA=（b+c）2﹣2bc﹣bc=（b+c）2﹣3×4=4，∴b+c=4．②结合①②求得b=c=2．【点评】本题考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．18．（12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得如表：日需求量n14151617181920频数10201616151310以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CS：概率的应用．【专题】15：综合题．【分析】（1）根据卖出一枝可得利润5元，卖不出一枝可得赔本5元，即可建立分段函数；（2）（i）X可取60，70，80，计算相应的概率，即可得到X的分布列，数学期望及方差；（ii）求出进17枝时当天的利润，与购进16枝玫瑰花时当天的利润比较，即可得到结论．【解答】解：（1）当n≥16时，y=16×（10﹣5）=80；当n≤15时，y=5n﹣5（16﹣n）=10n﹣80，得：（2）（i）X可取60，70，80，当日需求量n=14时，X=60，n=15时，X=70，其他情况X=80，P（X=60）===0.1，P（X=70）=0.2，P（X=80）=1﹣0.1﹣0.2=0.7，X的分布列为X607080P0.10.20.7EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44（ii）购进17枝时，当天的利润的期望为y=（14×5﹣3×5）×0.1+（15×5﹣2×5）×0.2+（16×5﹣1×5）×0.16+17×5×0.54=76.4∵76.4＞76，∴应购进17枝【点评】本题考查分段函数模型的建立，考查离散型随机变量的期望与方差，考查学生利用数学知识解决实际问题的能力．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD（1）证明：DC1⊥BC；（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】15：综合题．【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD ；（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°∴DC1⊥DC，DC1⊥BD∵DC∩BD=D∴DC1⊥面BCD∵BC⊂面BCD∴DC1⊥BC（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，∵AC⊂面ACC1A1，∴BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，∴C1O⊥面A1BD而BD⊂面A1BD∴BD⊥C1O，∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角设AC=a，则，，∴sin∠C1DO=∴∠C1DO=30°即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．20．（12分）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【考点】J1：圆的标准方程；K8：抛物线的性质；KI：圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，由△ABD的面积S△ABD=，知=，由此能求出圆F的方程．（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：，得：，由此能求出坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD=，∴=，解得p=2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为x2+（y﹣1）2=8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．【点评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆的性质、导数的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．21．（12分）已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e x﹣1﹣f（0）x+x2；（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若，求（a+1）b的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】15：综合题；16：压轴题；2A：探究型；35：转化思想．【分析】（1）对函数f（x）求导，再令自变量为1，求出f′（1）得到函数的解析式及导数，再由导数求函数的单调区间；（2）由题意，借助导数求出新函数的最小值，令其大于0即可得到参数a，b 所满足的关系式，再研究（a+1）b 的最大值【解答】解：（1）f（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）x+⇒f'（x）=f'（1）e x﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f'（1）e x﹣1﹣x+令x=0，得f（0）=f'（1）e﹣1=1解得f'（1）=e故函数的解析式为f（x）=e x﹣x+令g（x）=f'（x）=e x﹣1+x∴g'（x）=e x+1＞0，由此知y=g（x）在x∈R上单调递增当x＞0时，f'（x）＞f'（0）=0；当x＜0时，有f'（x）＜f'（0）=0得：函数f（x）=e x﹣x+的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）（2）f（x）≥﹣（a+1）x﹣b≥0得h′（x）=e x﹣（a+1）①当a+1≤0时，h′（x）＞0⇒y=h（x）在x∈R上单调递增，x→﹣∞时，h（x）→﹣∞与h（x）≥0矛盾②当a+1＞0时，h′（x）＞0⇔x＞ln（a+1），h'（x）＜0⇔x＜ln（a+1）得：当x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），则F'（x）=x（1﹣2lnx）∴F'（x）＞0⇔0＜x＜当x=时，F（x）max=即当a=时，（a+1）b的最大值为【点评】本题考查导数在最值问题中的应用及利用导数研究函数的单调性，解题的关键是第一题中要赋值求出f′（1），易因为没有将f′（1）看作常数而出错，第二题中将不等式恒成立研究参数关系的问题转化为最小值问题，本题考查了转化的思想，考查判断推理能力，是高考中的热点题型，计算量大，易马虎出错．四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22．（10分）如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：（1）CD=BC；（2）△BCD∽△GBD．【考点】N4：相似三角形的判定．【专题】14：证明题．【分析】（1）根据D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，可得DE∥BC，证明四边形ADCF是平行四边形，即可得到结论；（2）证明两组对应角相等，即可证得△BCD～△GBD．【解答】证明：（1）∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点∴DF∥BC，AD=DB∵AB∥CF，∴四边形BDFC是平行四边形∴CF∥BD，CF=BD∴CF∥AD，CF=AD∴四边形ADCF是平行四边形∴AF=CD∵，∴BC=AF，∴CD=BC．（2）由（1）知，所以．所以∠BGD=∠DBC．因为GF∥BC，所以∠BDG=∠ADF=∠DBC=∠BDC．所以△BCD～△GBD．【点评】本题考查几何证明选讲，考查平行四边形的证明，考查三角形的相似，属于基础题．23．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化；QL：椭圆的参数方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，考查圆的参数方程的运用，属于中档题．24．已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|①当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；②f（x）≤|x﹣4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】17：选作题；59：不等式的解法及应用；5T：不等式．【分析】①不等式等价于，或，或，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．②原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即，可得x≤1；，可得x∈∅；，可得x≥4．取并集可得不等式的解集为{x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．。

2012年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案

2012年高考真题——数学理(全国卷新课标版)word版含答案

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解】选D（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解】选A（3）下面是关于复数21z i =-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z =22:2p z i=3:p z的共轭复数为1i +4:p z的虚部为1-()A 23,p p ()B12,p p ()C ,p p 24()D ,p p 34【解】选C（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F P F 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12 ()B 23 ()C 34 ()D 45【解】选C （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5()D -7【解】选D（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,na a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和()B 2A B+为12,,...,na a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的 是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解】选B（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线xy162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解】选C（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年高考数学全国卷大纲版(理科)

2012年高考数学全国卷大纲版(理科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）第I 卷（60分）一、 选择题 1、复数=++-ii131 （A ）i +2 （B ）i -2 （C ）i 21+ （D ）i 21-2、已知集合{}{}m B m A ,1,,3,1==，A B A = ，则=m （A ）0或3 （B ）1或3 （C ）1或3 （D ）1或3 3、椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4-=x ，则该椭圆的方程为(A)1121622=+y x (B) 181222=+y x (C) 14822=+y x (D) 141222=+y x 4、已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中，22,21==CC AB ，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为(A)2 (B) 3(C) 2(D)15、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，15,555==S a ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n a a 的前100项和为(A)101100 (B) 10199(C) 10099 (D) 100101 6、在ABC ∆中，AB 边的高为CD，若210,,===⋅==，则=(A)b a 3131- (B)b a 3232- (C) b a 5353- (D) b a 5454-7、已知α为第二象限角，33cos sin =+αα，则=α2cos (A)35-(B) 95- (C) 95 (D) 35 8、已知21,F F 为双曲线2:22=-y x C 的左、右两个焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21cos PF F(A)41 (B)53 (C)43 (D)54 9、已知215,2log ,ln -===e z y x π，则(A)z y x << (B)y x z << (C)x y z << (D)x z y <<10、已知函数c x x y +-=33的图象与x 轴恰有两个公共点，则=c(A)2-或2 (B)9-或3 (C)1-或1 (D)3-或111、将字母c c b b a a ,,,,,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排法共有(A)12种 (B)18种 (C)24种 (D)36种 12、正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，73==BF AE 。

2012年全国高考理科数学试题及答案-(新课标)

2012年全国高考理科数学试题及答案-(新课标)

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）理科数学及答案注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（ ）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形221332()224c P F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（ ）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（ ）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012高考真题理数大纲全国卷

2012高考真题理数大纲全国卷

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II ）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至2页，第II 卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I 卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题⑴、复数131ii-++= （A ）i +2 (B) i -2 (C ) i 21+ (D) i 21-⑵、已知集合{}m A ,3,1=，{}m B ,1= ,A B A = , 则=m A 0B 0或3C 1D 1或3⑶ 椭圆的中心在原点，焦距为4 ，一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为（A ） 216x +212y =1 (B) 212x +28y =1(C ) 28x +24y =1 (D) 212x +24y =1(4) 已知正四棱柱1111D C B A ABCD -中 ，2=AB ，221=CC ，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （A ）2 (B)(C ) (D) 1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55=a ，155=S ，则数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+a a n n 11的前100项和为 (A)100101 (B) 99101(C) 99100 (D) 101100（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若a =→CB ，0,=•=b a b ，2,1==b a ，则=AD(A)b a 3131- （B ）b a 3232- (C)b a 5353- (D)b a 5454- （7）已知∂为第二象限角，33cos sin =∂+∂，则=∂2cos(A) （B ） (C)（8）已知21F F 、为双曲线:C 222=-yx 的左、右焦点，点P 在C 上，212PF PF =，则=∠21PF F cos (A)14 （B ）35 (C)34 (D)45（9）已知πln =x ，2log 5=y ，ez 21-=，则(A)z y x << （B ）y x z << (C)x y z << (D)x z y <<(10) 已知函数c x y x+-=33的图像与x 恰有两个公共点，则=c（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母c c b b a a ,,,,,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD D 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，73==BF AE ，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A ）16 （B ）14 （C ）12 (D)102012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅱ卷注意事项：1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。

2012年高考数学试卷(全国卷理科大纲版).doc

2012年高考数学试卷(全国卷理科大纲版).doc

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝{1.3. ，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0B 0或3C 1D 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为A 2BCD 1（5）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A)（B）(C)(D)（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβcos2α=(A) （B）(C)（8）已知F1、F2为双曲线C：x²-y²=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则cos∠F1PF2=(A)14（B）35(C)34(D)45（9）已知x=lnπ，y=log52，12z=e，则(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x(10) 已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝73。

2012年高考理科数学试题(全国大纲卷)【学生试卷】

2012年高考理科数学试题(全国大纲卷)【学生试卷】

2012年普通高等学校招生全国统一考试 (全国大纲卷)理科数学(必修＋选修Ⅱ) 第I 卷(选择题)一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．〖2012全国大纲卷〗复数13i1i-++＝( ) A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -2．〖2012全国大纲卷〗已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，A B A =U ，则m ＝( )A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或33．〖2012全国大纲卷〗椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为( )A ．2211612x y +=B ．221128x y +=C ．22184x y +=D ．221124x y +=4．〖2012全国大纲卷〗已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，122CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为( )A ．2B ．3C 2D ．15．〖2012全国大纲卷〗已知等差数列{}na 的前n 项和为nS ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为( ) A ．100101B ．99101C ．99100D ．1011006．〖2012全国大纲卷〗ABC ∆中，AB 边的高为CD ．若CB =u u u ra ，CA =u u u rb ，0⋅=a b ，||1=a ，||2=b ，则AD u u u r＝()A ．1133-a bB ．2233-a bC ．3355-a bD ．4455-a b7．〖2012全国大纲卷〗已知α为第二象限角，sin cos αα+=则cos2α＝( ) A．-B．-C．9D．38．〖2012全国大纲卷〗已知1F 、2F 为双曲线C ：222x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠＝()A ．14B ．35C ．34D ．459．〖2012全国大纲卷〗已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则( )A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<10．〖2012全国大纲卷〗已知函数33y xx c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点，则c ＝( ) A ．‒2或2 B ．–9或3 C ．–1或1 D ．–3或111．〖2012全国大纲卷〗将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种12．〖2012全国大纲卷〗正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==．动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为( )A ．16B ．14C ．12D ．10第II 卷(非选择题共90分) 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．〖2012全国大纲卷〗若x 、y 满足约束条件1030330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥≤≥，则3z x y =-的最小值为．14．〖2012全国大纲卷〗当函数sin y x x =-(02x π≤≤)取得最大值时，x ＝．15．〖2012全国大纲卷〗若1()n x x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为．16．〖2012全国大纲卷〗三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ∠=∠=o，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．〖2012全国大纲卷〗ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos()cos 1A C B -+=，2a c =，求C ．18．〖2012全国大纲卷〗如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，PA ⊥底面ABCD，AC =PA ＝2，E 是PC 上的一点，2PE EC =．(Ⅰ)证明：PC ⊥平面BED ；(Ⅱ)设二面角A PB C--为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．〖2012全国大纲卷〗乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0．6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．(Ⅰ)求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望．20．〖2012全国大纲卷〗设函数()cosf x ax x=+，[0,]xπ∈．(Ⅰ)讨论()f x的单调性；(Ⅱ)设()1sinf x x+≤，求a的取值范围．21．〖2012全国大纲卷〗已知抛物线C：2(1)y x=+与圆M：2221(1)()2x y r-+-=(0r>)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．(Ⅰ)求r；(Ⅱ)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．22．〖2012全国大纲卷〗函数2()23f x x x=--．定义数列{}n x如下：12x=，1n x+是过两点(4,5)P，(,())n n nQ x f x的直线n PQ与x轴交点的横坐标．(Ⅰ)证明：123n nx x+<<≤；(Ⅱ)求数列{}nx的通项公式．。

2012年全国大纲高考数学理科试卷(带详解)

2012年全国大纲高考数学理科试卷(带详解)

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（大纲卷）第Ⅰ卷考生注意： 1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目． 2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．．．．．．．．．． 3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式： 如果事件A B ，互斥，那么 球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R = 如果事件A B ，相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径一、 选择题.1．复数13i1i-+=+ （ ） A ．2i + B ．2i - C ．12i + D ．12i -【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出两个复数的分式形式，利用复数的四则运算法则运算. 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】()()()()13i 1i 13i 24i12i 1i 1i 1i 2-+--++===+++-.2．已知集合{{},1,A B m ==,,A B A = 则m = （ ）A ．0B ．0或3C ．1D ．1或3 【测量目标】集合的含义和基本运算.【考查方式】给出两个集合，利用集合的并集运算、元素与集合的关系求元素. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】,A B A = B A ∴⊂，{{},1,A B m ==m A ∴∈，故m =3m =，解得0m =或3m =或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =. 3．椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （ ）A ．2211612x y += B ．221168x y += C ．22184x y += D ．221124x y += 【测量目标】椭圆的标准方程和简单几何性质.【考查方式】给出焦距，准线方程，利用椭圆的简单几何性质求方程. 【难易程度】容易 【参考答案】C【试题解析】因为242,c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上且22448a a c c=⇔==，，所以222844b a c =-=-=.故选答案C. 4．已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12,AB CC E ==为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为 （ ） A ．2 BCD ．1 【测量目标】线面距离.【考查方式】将线面的距离，转化为点到面的距离求解. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】因为底面的边长为2，高为且连接,AC BD ，得到交点为O ，连接EO ，1EO AC ，则点1C 到平面BED 的距离等于C 到平面BED 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三角形OCE 中，利用等面积法，可得1CH =，故选答案D.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为55,5,15n S a S ==，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为（ ）A ．100101 B ．99101C ．99100D ．101100 【测量目标】等差数列的通项公式和前n 项和.【考查方式】给出某一项和前5项的和，利用等差数列的通项公式和前n 项和的公式，裂项求和.【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】由55,5,15n S a S ==可得：1114515415152n a d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩，()1111111n n a a n n n n +∴==-++，（步骤1） 10011111110011223100101101101S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（步骤2） 6．ABC △中，AB 边上的高为CD ，若0,1,2,CB CA =====a,b,a b a b 则AD =（ ）A ．1133-a b B ．2233-a b C ．3355-a b D ．4455-a b 【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】运用向量的加、减法和特殊直角三角形求解. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】由0=a b 可得90ACB ︒∠=，故AB =5CD =，所以5AD =，故()44445555AD AB CB CA ==-=- a b ，故选答案D. 7．已知α为第二象限角，sin cos αα+=，则c o s 2α= （ ）A． B．- CD【测量目标】同角三角函数的基本关系，二倍角公式.【考查方式】运用三角函数中两角和差的公式以及二倍角公式求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】sin cos αα+=，两边平方可得121sin 2sin 233αα+=⇒=-,（步骤1）α 是第二象限角，因此sin 0,cos 0αα><，cos sin αα∴-===, ()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα∴=-=+-=（步骤2） 8．已知12,F F 为双曲线22:2C x y -=的左右焦点，点P 在C 上，122PF PF =，则12cos F PF ∠= （ ）A ．14 B ．35 C ．34 D ．45【测量目标】双曲线的定义和简单几何性质，余弦定理.【考查方式】给出双曲线的方程和线段关系，利用双曲线的性质，结合余弦定理求余弦值. 【难易程度】容易 【参考答案】中等【试题解析】由题意可知，,2a b c =∴=，(步骤1) 设122,PF x PF x ==，则122PF PF x a -===故12124PF PF F F ===，(步骤2)利用余弦定理可得12cos F PF ∠=2222221212124324PF PF F F PF PF +-+-==.(步骤3)9．已知125ln π,log 2,e x y z ===，则 （ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y x <<D ．y z x <<【测量目标】对数函数的化简及运算.【考查方式】化简所给值，采用中间值大小比较方法. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】ln π>ln e=1，551log 2log 2<=，121e 2z ==>=，故选答案D.10．已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = （ ） A ．2-或2 B ．9-或3 C ．1-或1 D ．3-或1 【测量目标】函数图象的判断，利用导数求函数的极值. 【考查方式】已知函数图象，利用导数求值. 【难易程度】中等 【参考答案】A【试题解析】因为三次函数的图象与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图象，可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而()()()233311f x x x x '=-=-+，当1x =±时取得极值由()10f =或()10f -=可得20c -=或20c +=，即2c =±.11．将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同则不同的排列方法共有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．36种【测量目标】排列、组合的应用.【考查方式】给出字母，利用分步计数原理计算. 【难易程度】容易 【参考答案】A【试题解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有32212⨯⨯=.12．正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==，动点P 从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角.当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为A ．16B ．14C ．12D ．10 【测量目标】反射原理与三角形相似.【考查方式】通过相似判断反射后的点落的位置，结合图象分析. 【难易程度】较难 【参考答案】B【试题解析】结合已知中的点E ,F 的位置，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可.第II 卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 13．若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩………，则3z x y =-的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，作出可行域，平移目标函数求最值. 【难易程度】容易 【参考答案】1-【试题解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点()3,0时，目标函数最大，当目标函数过点()0,1时最小为1-.14．当函数()sin 02πy x x x =<…取得最大值时，x = . 【测量目标】三角函数的定义域、值域，两角差的正弦. 【考查方式】给出三角函数及定义域求值域. 【难易程度】中等 【参考答案】5π6【试题解析】由πsin 2sin 3y x x x ⎛⎫==-⎪⎝⎭,（步骤1）由ππ5π02π333x x <⇔--<剟可知π22sin 23x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭剟,（步骤2）当且仅当π3π32x -=即11π6x =时取得最小值，ππ32x -=时即5π6x =取得最大值. （步骤3）15．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x 的系数为 .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出二项式，利用二项式的通项公式求系数. 【难易程度】容易 【参考答案】56【试题解析】根据已知条件可知26C C 268n n n =⇔=+=，（步骤1）所以81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为8218C r r r T x -+=，令8225r r -=-⇔=所以所求系数为58C 56=.（步骤2）16．三棱柱111ABC A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，1160BAA CAA ︒∠=∠=，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .【测量目标】异面直线所成的角，向量的数量积运算. 【考查方式】借助向量的数量积运算求异面直线所成的角. 【难易程度】较难【参考答案】6【试题解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有1111,AB AB AA BC AC AA AB =+=+-，则()22221111222cos603AB AB AA AB AB AA AA ︒=+=++=+=()22222111112222BC AC AA ABAC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++--=（步骤1）而()()1111AB BC AB AA AC AA AB =++-11111AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =+-++-11111112222=+-++-=111111cos,6AB BCAB BCAB BC∴===（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．．．．）ABC△的内角A B C、、的对边分别为a b c、、，已知()cos cos1,2A CB a c-+==，求C.【测量目标】正弦定理、两角和与差的余弦，诱导公式.【考查方式】给出关于边角的等式，利用正弦定理、两角和与差的余弦、诱导公式解三角形. 【难易程度】容易【试题解析】由()ππA B C B A C++=⇔=-+，（步骤1）由正弦定理及2a c=可得sin2sinA C=所以()()()()()() cos cos cos cosπcos cosA CB AC A C A C A C-+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin2sin sinA C A C A C A C A C=+-+=（步骤2）故由()cos cos1A C B-+=与sin2sinA C=可得22sin sin14sin1A C C=⇒=（步骤3）而C为三角形的内角且2a c c=>，故π2C<<，所以1sin2C=，故π6C=.（步骤4）18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）[如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC=，2,PA E=是PC上的一点，2PE EC=.（1）证明：PC⊥平面BED；（2）设二面角A PB C--为90︒，求PD与平面PBC所成角的大小.第18题图【测量目标】线面垂直的判定，线面的夹角，空间直角坐标系，空间向量及其运算.【考查方式】运用空间直角坐标系，结合向量证明线面垂直，求夹角.【难易程度】中等【试题解析】设AC BD O = ,以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则())(),,A CP ，设()()()0,,0,0,,0,,,B a D a E x y z -.（Ⅰ）证明：由2PE EC =得23E ⎫⎪⎪⎝⎭，（步骤1）所以()2PC =-，2,3BE a ⎫=⎪⎪⎝⎭，()0,2,0BD a =，所以()22,033PC BE a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，()()20,2,00PC BD a =-=. 所以,PC BE PC BD ⊥⊥,所以PC ⊥平面BED ；（步骤2）（Ⅱ） 设平面PAB 的法向量为(),,x y z =n ，又())0,0,2,,0AP AB a ==-，由0,=0AP AB = n n得⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n ，（步骤3）设平面PBC 的法向量为(),,x y z =m，又)(),0,BC a CP ==-，由0,0BC CP == m m，得1,⎛= ⎝m ，由于二面角A PB C --为90︒，所以0= m n，解得a =所以)2PD =-，平面PBC的法向量为(1,=-m ，（步骤4）所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为12PD PD =m m ， 所以PD 与平面PBC 所成角为π6.（步骤5）第19题图19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换，每次发球，胜方得1分，负方得0分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中，甲先发球.（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率； （2）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，求ξ的期望.【测量目标】独立事件的概率，分布列和期望【考查方式】列出几种可能事件，结合独立事件概率公式求解，进而求期望值. 【难易程度】中等【试题解析】记i A 为事件“第i 次发球，甲胜”， i =1,2,3， 则()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===.（Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得：()123123123P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.352=即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352. （步骤1）（Ⅱ）由题意0,1,2,3,4ξ=.()()12300.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=；()()12312312310.40.60.40.60.40.40.60.60.60.408P P A A A A A A A A A ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；()20.352P ξ==；()()12330.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=；（步骤2）所以0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯ （步骤3） 20．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()[]cos ,0,πf x ax x x =+∈. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()1sin f x x +…，求a 的取值范围.【测量目标】利用导数判断或求函数的单调区间，利用导数解决不等式问题. 【考查方式】给出函数，利用导数求函数的单调区间，结合三角函数的性质证明不等式成立.【难易程度】较难 【试题解析】()sin f x a x'=-.（Ⅰ）因为[]0,πx ∈，所以0sin 1x剟.（步骤1）当1a …时，()0f x '…，()f x 在[]0,πx ∈上为单调递增函数； 当0a …时，()0f x '…，()f x 在[]0,πx ∈上为单调递减函数； 当01a <<时，由()0f x '=得arcsin x a =或πarcsin x a =-， 由()0f x '>得0arcsin x a <剎或πarcsin πa x -<…； 由()0f x '<得arcsin πarcsin a x a <<-.所以当01a <<时()f x 在[]0,arcsin a 和[]πarcsin ,πa -上为为单调递增函数； 在[]arcsin ,πarcsin a a -上为单调递减函数. （步骤2） （Ⅱ）因为()1sin cos 1sin 1sin cos f x x ax xx ax x x +⇔++⇔+-剟?当0x =时，01sin 0cos00+-=…恒成立; 当0πx <…时，min1sin cos 1sin cos 1sin cos x xx x ax x x axx +-+-⎡⎤+-⇔⇔⎢⎥⎣⎦剟, （步骤2）令()()1sin cos 0πx xg x x x+-=<…，则()()()()22cos sin 1sin cos 1cos 1sin 1x x x x x x x x x g x x x +--+++--'==.（步骤3）又令()()()1cos 1sin 1c x x x x x =++--，则()()()()cos 1sin sin 1cos sin cos c x x x x x x x x x x '=-+++-=-+.（步骤4） 则当3π0,4x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，sin cos 0x x +>，故()0c x '<，()c x 单调递减； 当3π,π4x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，sin cos 0x x +<，故()0c x '…，()c x 单调递增， 所以()c x 在()0,πx ∈时有最小值3π14c ⎛⎫=⎪⎝⎭，（步骤5）而()()()0lim 10cos 001sin 010,x c x +→=++--=()()()πlim π1π10,x c x c -→==-+-< 综上可知[]0,πx ∈时，()()00c x g x '<⇒<，故()g x 在区间[]0,π单调递减，（步骤6）所以()()min2ππg x g ==⎡⎤⎣⎦故所求a 的取值范围为2πa ….（步骤7）另解：由()1sin f x x +…恒成立可得()2π1π11πf a a ⇔-⇔剟?（步骤1） 令()2sin 0π2g x x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭剟，则()2cos πg x x '=-当20,arcsinπx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2πarcsin ,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '< 又()π002g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()0g x …，即2πsin 0π2x x x ⎛⎫⎪⎝⎭剟?故当2πa …时，有()2cos πf x x x +…（步骤2） ①当π02x⎛⎫⎪⎝⎭剟时，2sin ,cos 1πx x x 剟，所以()1sin f x x +…②当ππ2x ⎛⎫⎪⎝⎭剟时，()22ππcos 1sin 1sin ππ22f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭剟综上可知故所求a 的取值范围为2πa ….（步骤3） 21．（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 已知抛物线()2:1C y x =+与圆()()2221:102M x y r r ⎛⎫-+-=> ⎪⎝⎭ 有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l .（1）求r ；（2）设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，,m n 的交点为D ，求D 到l 的距离. 【测量目标】圆锥曲线的综合应用，导数的几何意义，点到直线的距离公式.【考查方式】给出抛物线和圆的方程及两个曲线的关系，运用导数，直线的方程及点到直线的距离公式求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）设()()200,1A x x +，对()21y x =+求导得22y x '=+，故直线l 的斜率：()021k x =+，当01x =时，不合题意，所心01x ≠，（步骤1）圆心为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，MA 的斜率()2001121x k x +-'=-，由l MA ⊥知1kk '=-，即()()20001122111x x x +-+⨯=--，解得00x =，故()0,1A ，所以r MA ===.（步骤2）（2）设2(,(1))a a +为C 上一点，则在该点处的切线方程为：()()()2121y a a x a -+=+-， 即()2211y a x a =+-+.（步骤2）若该直线与圆M相切，则圆心M=22(46)0a aa --=， 求解可得0120,22a a a ===（步骤3） 抛物线C 在点()()()2,10,1,2i i a a i +=处的切线分别为,,l m n ，其方程分别为：21y x =+① ()211211y a x a =+-+② ()222211y a x a =+-+③②-③得1222a a x +==，将2x =代入②得1y =-，故()2,1D -（步骤4）所以D 到直线l 的距离为5d ==（步骤5） 22．（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．） 函数()223f x x x =--.定义数列{}n x 如下：112,n x x +=是过两点()()()4,5,,n n n P Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （1）证明：123n n x x +<<…；（2）求数列{}n x 的通项公式.【测量目标】不等式的证明，数列的通项公式, 函数解析式，数学归纳法的应用.【考查方式】给出函数及点，综合直线方程，函数与数列等知识求通项公式，利用数学归纳法证明不等式. 【难易程度】较难 【试题解析】（1）为()244835f =--=，故点()4,5P 在函数()f x 的图象上，故由所给出的两点()()()4,5,,n n n P Q x f x ，可知，直线n PQ 斜率一定存在. （步骤1） 故有直线n PQ 的直线方程为()()5544n n f x y x x --=--，令0y =，可求得()228435544422n n n n n n x x x x x x x x x --+--=-⇔=-⇔=-++，所以1432n n n x x x ++=+； （步骤2）下面用数学归纳法证明23n x <…，当1n =时，12x =，满足123x <…， （步骤3） 假设n k =时，23k x <…成立，则当1n k =+时，1435422k k k k x x x x ++==-++， 由23425k k x x <⇔+<剟551151243,2442k k x x ⇔<⇔<-<++剟 即23k x <…也成立；（步骤4）综上可知23k x <…对任意正整数恒成立. （步骤5） 下面证明1n n x x +<，由()2211443432222n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x +--+++---=-==+++由()2231120143n n n x x x <⇒-<⇒<--+剟?，故有10n n x x +->即1n n x x +<综上可知123n n x x +<<…恒成立. （步骤6）（2）由1432n n n x x x ++=+得到该数列的一个特征方程432x x x +=+即2230x x --=，解得3x =或1x =-，∴14333322n nn n n x x x x x ++--=-=++ ①（步骤7） ()143551122n nn n n x x x x x +++--=+=++ ② 两式相除可得11331151n n n n x x x x ++--=⨯++,而1132311213x x --==-++故数列31n n x x ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以13-为首项以15为公比的等比数列.所以1311135n n n x x --⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,故()()()11195143351351n n n n x ---⨯-==-⨯+⨯+.（步骤8）。

2012年高考理科数学大纲卷(含答案解析)

2012年高考理科数学大纲卷(含答案解析)

数学试卷 第1页（共16页）数学试卷 第2页（共16页）绝密★启用前 2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷1至2页.第Ⅱ卷3至4页.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷注意事项：1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效．．．．．．．．．. 3.第Ⅰ卷共12小题,每小题5分,共60分.每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.一、选择题1.复数-13i1i=＋＋( )A .2i ＋B .2i －C .2i 1＋D .2i 1－ 2.已知集合{1,3,}A m =,{1,}B m =,A B A =,则m =( )A .0或3B .0或3C .1或3D .1或33.椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为4x =-,则该椭圆的方程为 ( )A .2211612x y +=B .221128x y +=C .22184x y +=D .221124x y += 4.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,2AB =,122CC =,E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为( )A .2B .3C .2D .15.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,55a =,515S =,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为( ) A .100101B .99101C .99100D .1011006.ABC △中,AB 边的高为CD ,若CB =a ,CA =b ,0=a b ,1=|a |,2=|b |,则AD =( )A .1133－a bB .2233－a bC .3355－a b D .4455－a b7.已知α为第二象限角,3sin cos 3αα+=,则cos2α=( ) A .53-B .59-C .59D .538.已知F 1、F 2为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点,点P 在C 上,122PF PF =,则 12cos F PF ∠=( ) A .14B .35C .34D .459.已知ln πx =,5log 2y =,12e z -=,则( )A .x y z <<B .z x y <<C .z y x <<D .y z x << 10.已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =( ) A .-2或2B .-9或3C .-1或1D .-3或111.将字母a ,a ,b ,b ,c ,c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名 ______ 准考证号 ___同,则不同的排列方法共有( ) A .12种B .18种C .24种D .36种12.正方形ABCD 的边长为1,点E 在边AB 上,点F 在边BC 上,37AE BF ==.动点P 从E 出发沿直线向F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点P 第一次碰到E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为( ) A .16B .14C .12D .102012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)第Ⅱ卷注意事项：1.答题前,考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考 证号填写清楚,然后贴好条形码.请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.2.第Ⅱ卷共2页,请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内 作答,在试．．题．卷上作答无效．．．．．．. 3.第Ⅱ卷共10小题,共90分.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中横线上. （注意：在试．．题．卷上作答无效．．．．．．） 13.若x 、y 满足约束条件1030330x y x y x y -+⎧⎪+-⎨⎪+-⎩≥，≤，≥，则3z x y =-的最小值为 .14.当函数sin 3cos (02π)y x x x =-<≤取得最大值时,x = .15.若1()n x x +的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数 为 .16.三菱柱111ABC A B C -中,底面边长和侧棱长都相等,o 1160BAA CAA ∠=∠=,则异面直 线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 .三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） ABC △的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、,已知()cos cos 1,2A C B a c -+==, 求C .18.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为菱形,PA ⊥ 底面ABCD ,22AC =,2PA =,E 是PC 上的一点,2PE EC =.（Ⅰ）证明：PC ⊥平面BED ；（Ⅱ）设二面角A PB C --为90,求PD 与平面 PBC 所成角的大小.19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.（Ⅰ）求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望. 20.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 设函数()cos f x ax x =+,[0,π]x ∈. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()1sin f x x +≤,求a 的取值范围.21.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）数学试卷 第5页（共16页）数学试卷 第6页（共16页）已知抛物线2:(1)C y x =+与圆()2221:1()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ,且在A 处两曲线的切线为同一直线l .（Ⅰ）求r ； （Ⅱ）设,m n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线,m n 、的交点为D ,求D 到l 的距离.22.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 函数2()23f x x x =--,定义数列{}n x 如下：12x =,1n x +是过两点P （4,5）、(,())n n n Q x f x 的直线n PQ 与x 轴交点的横坐标. （Ⅰ）证明：123n n x x +<<≤； （Ⅱ）求数列{}n x 的通项公式.2012年普通高等学校招生全国统一考试（大纲卷）理科数学(必修＋选修Ⅱ)答案解析第Ⅰ卷一、选择题1.【答案】C【解析】13i (13i)(1i)24i12i 1i (1i)(1i)2-+-+-+===+++- 故选答案C ．【提示】把13i1i-++的分子分母都乘以分母的共轭复数，得(13i)(1i)(1i)(1i)-+-+-，由此利用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果 【考点】复数 2.【答案】B 【解析】AB A =，B A ⊆，{1,3,}A m =，{1,}B m =，m A ∈，故m m =或3m =，解得0m =，或3m =，或1m =，又根据集合元素的互异性1m ≠，所以0m =或3m =． 故选答案B ．【提示】由题设条件中本题可先由条件AB A =得出B A ⊆，由此判断出参数m 可能的取值，再进行验证即可得出答案选出正确选项 【考点】集合 3.【答案】C【解析】因为242c c =⇔=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上且22448a a c c=⇔==，所以222844b a c =-=-=． 故选答案C ．【提示】确定椭圆的焦点在x 轴上，根据焦距为4，一条准线为4x =-，求出几何量，即可求得椭圆的方程【考点】椭圆的标准方程和简单几何性质． 4.【答案】D【解析】因为底面的边长为2，高为22，且连接AC ，BD ，得到交点为O ，连接EO ，1EOAC ，则点1C 到平面BED 的距离等于C 到平面BED 的距离，过点C 作CH OE ⊥，则CH 即为所求，在三角形OCE 中，利用等面积法，可得1CH = 故选答案D ．【提示】先利用线面平行的判定定理证明直线1C A BDE ∥平面，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可 【考点】线面距离． 5.【答案】A【解析】由n S ，55a =，515S =可得：1114515415152na d a a n d a d +=⎧=⎧⎪⇔⇒=⎨⎨⨯=+=⎩⎪⎩，()1111111n n a a n n n n +==-++10011111110011223100101101101S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【提示】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求1a ，d ，进而可求n a ， 代入可得()1111111n n a a n n n n +==-++，裂项可求和 【考点】等差数列6.【答案】D【解析】由0a b =可得90ACB ︒∠=，故5AB =，用等面积法求得255CD =，所以455AD =，故()44445555AD AB CB CA a b ==-=-，故选答案D ．【提示】由题意可得，CA CB ⊥，CD AB ⊥，由射影定理可得，2AC AD AB =可求AD ，进而可求ADAB，从而可求AD 与AB 的关系，进而可求 【考点】向量 7.【答案】A【解析】3sin cos 3αα+=，两边平方可得121sin2sin233αα+=⇒=-，（步骤1）α是第二象限角，因此s i nα>，cos 0α<，2215cos sin (cos sin )133αααα-=--=-+=-，225cos2cos sin (cos sin )(cos sin )3ααααααα∴=-=+-=-．（步骤2） 【提示】由α为第二象限角，可知sin 0α>，cos 0α<，从而可求得15cos sin 3αα-=-，利用cos2(cos sin )(cos sin )ααααα∴=+-可求得cos2α 【考点】三角函数 8.【答案】C【解析】由题意可知，2a b ==，2c =，(步骤1)设12PF x =，2PF x =，则12222PF PF x a -===，故142PF =，222PF =，124F F =，(步骤2)利用余弦定理可得22222212121122(42)(22)43||24222242P P F PF F F PF F F PF P =+-+-==⨯⨯．(步骤3)【提示】根据双曲线的定义，结合122||PF PF =，利用余弦定理，即可求12cos F PF ∠的值【考点】双曲线 9.【答案】D【解析】ln π>lne=1，551log 2log 52<=，12111e 2e 4z ==>=，故选答案D ． 【提示】利用ln π>lne=1，510log 22<<，1211e 2z ->=>，即可得到答案【考点】对数函数 10.【答案】A【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点，结合该函数的图像，可得极大值或者极小值为零即可满足要求．而2()333(1)(1)f x x x x '=-=-+，当1x =±时取得极值由()0f x =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=，即2c =±．【提示】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数33y x x c -=+的图像与x 轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c 的值【考点】函数图像的判断，利用导数求函数的极值． 11.【答案】A【解析】利用分步计数原理，先填写最左上角的数，有3种，再填写右上角的数为2种，在填写第二行第一列的数有2种，一共有32212⨯⨯=．【提示】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比更简洁 【考点】排列，组合的应用． 12.【答案】B【解析】结合已知中的点E ，F 的位置，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞14次即可．【提示】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可数学试卷 第9页（共16页）数学试卷 第10页（共16页）【考点】反射原理，三角形相似．第Ⅱ卷二、填空题 13.【答案】1-【解析】利用不等式组，做出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1-．【提示】做出不等式组表示的平面区域，由3z x y =-可得3y x z =-，则z -表示直线30x y z --=在y 轴上的截距，截距越大z 越小，结合图形可求【考点】二元线性规划求目标函数的最值． 14.【答案】5π6【解析】由πsin 3cos 2sin 3y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，（步骤1）由ππ5π02π333x x ≤<⇔-≤-<可知π22sin 23x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，（步骤2）当且仅当π3π32x -=即11π6x =时取得最小值，ππ32x -=时即5π6x =取得最大值 【提示】利用辅助角公式将sin 3cos y x x =-化为π2sin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(02π)x ≤<，即可求得sin 3cos y x x =-，(02π)x ≤<取得最大值时x 的值 【考点】三角函数的定义域，值域，两角差的正弦 15.【答案】56【解析】根据已知条件可知26C C 268nnn =⇔=+=，（步骤1）所以81x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项为8218C r rr T x -+=，令8225r r -=-⇔=所以所求系数为58C 56=．（步骤2）【提示】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n 的值，根据通项可求满足条件的系数【考点】二项式定理． 16.【答案】66【解析】设该三棱柱的边长为1，依题意有11AB AB AA =+，11BC AC AA AB =+-，则22221111()222cos603AB AB AA AB AB AA AA ︒=+=++=+=2222211111()2222BC AC AA AB AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+-=+++--=而1111()()AB BC AB AA AC AA AB =++-11111AB AC AB AA AB AB AA AC AA AA AA AB =+-++-11111112222=+-++-= 11111116cos ,623AB BC AB BC AB BC ∴===⨯【提示】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值即可【考点】异面直线所成的角，向量的数量积运算． 三、解答题 17.【答案】π6C =【解析】由ππ()A B C B A C ++=⇔=-+，（步骤1） 由正弦定理及2a c =可得sin 2sin A C =所以cos()cos cos()cos[π()]cos()cos()A C B A C A C A C A C -+=-+-+=--+cos cos sin sin cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C A C A C =+-+=（步骤2）故由cos()cos 1A C B -+=与sin 2sin A C = 可得22sin sin 14sin 1A C C =⇒=（步骤3） 而C 为三角形的内角且2a c c =>，故π02C <<，所以1sin 2C =，故π6C =．（步骤4）【提示】由cos()cos cos()cos()1A C B A C A C -+=--+=，可得2sin sin 1A C =，由2a c =及正弦定理可得sin 2sin A C =，联立可求C【考点】正弦定理，两角和与差的余弦，诱导公式．18.【答案】（Ⅰ）证明见解析 （Ⅱ）π6【解析】设ACBD O =，以O 为原点，OC 为x 轴，OD 为y 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0)A -，(2,0,0)C ，(2,0,2)P -，设(0,,0)B a -，(0,,0)D a ，(,,)E x y z ．（Ⅰ）证明：由2PE EC =得22,0,33E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，（步骤1） 所以()22,0,2PC =-，22,,33BE a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)BD a =，所以22(22,0,2),,033PC BE a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，(22,0,2)(0,2,0)0PC BD a =-=．所以PC BE ⊥，PC BD ⊥，所以PC ⊥平面BED ；（步骤2）（Ⅱ）设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，又(0,0,2)AP =，(2,,0)AB a =-，由0n AP =，=0n AB 得21,,0n a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，（步骤3） 设平面PBC 的法向量为(,,)m x y z =，又(2,,0)B C a =，(22,0,2)CP =-，由0m B C =0m C P =，得21,,2m a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 由于二面角A PB C --为90︒，所以0m n =，解得2a =．所以(2,2,2)PD =-，平面PBC 的法向量为(1,1,2)m =-，（步骤4）所以PD 与平面PBC 所成角的正弦值为12PD mPD m =，所以PD 与平面PBC 所成角为π6．（步骤5）【提示】（Ⅰ）先由已知建立空间直角坐标系，设(2,,0)D b ，从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC BE ⊥，PC DE ⊥，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（Ⅱ）先求平面PAB 的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b 的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角 【考点】线面垂直的判定，线面的夹角，空间直角坐标系，空间向量． 19.【答案】（Ⅰ）0.352（Ⅱ）0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯【解析】记i A 为事件“第i 次发球，甲胜”，1,2,3i =，则()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===． （Ⅰ）事件“开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2”为123123123A A A A A A A A A ++，由互斥事件有一个发生的概率加法公式得：123123123()P A A A A A A A A A ++0.60.40.60.40.60.60.40.40.4=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ 0.352=即开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率为0.352（步骤1） （Ⅱ）由题意0,1,2,3,4ξ=．()()12300.60.60.40.144P P A A A ξ===⨯⨯=；123123123(1)()0.40.60.40.60.40.40.60.60.60.408P P A A A A A A A A A ξ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=(2)0.352P ξ==；123(3)()0.40.40.60.096P P A A A ξ===⨯⨯=；（步骤2）所以0.40820.352+30.096=1.4E ξ=+⨯⨯（步骤3）【提示】（Ⅰ）记i A 表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，0i =，1，2；A 表示事件：第3次发球，甲得1分；B 表示事件：开始第4次发球，甲、乙的比分为1比2，则01B A A A A =+，根据()()()1230.6,0.6,0.4P A P A P A ===，即可求得结论；（Ⅱ）ξ表示开始第4次发球时乙的得分，可取0，1，2，3，计算相应的概率，即可求得ξ的期望。

【高考真题】2012年高考数学(理科)课标卷(Word精校版,含答案解析)

【高考真题】2012年高考数学(理科)课标卷(Word精校版,含答案解析)

2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )A.3B.6C.8D.102.将2名教师,4名学生分成2个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动,每个小组由1名教师和2名学生组成,不同的安排方案共有( )A.12种B.10种C.9种D.8种3.下面是关于复数z=2-1+i的四个命题:p1:|z|=2, p2:z2=2i,p3:z的共轭复数为1+i, p4:z的虚部为-1.其中的真命题为( )A.p2,p3B.p1,p2C.p2,p4D.p3,p44.设F1,F2是椭圆E:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,P为直线x=3a2上一点,△F2PF1是底角为30°的等腰三角形,则E的离心率为( )A.12B.23C.34D.455.已知{a n}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=( )A.7B.5C.-5D.-76.如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,a N,输出A,B,则( )A.A+B为a1,a2,…,a N的和B.A+B为a1,a2,…,a N的算术平均数C.A和B分别是a1,a2,…,a N中最大的数和最小的数D.A和B分别是a1,a2,…,a N中最小的数和最大的数7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为( )A.6B.9C.12D.188.等轴双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=43,则C的实轴长为( )A.2B.22C.4D.89.已知ω>0,函数f(x)=sin ωx+π4在π2,π单调递减,则ω的取值范围是( )A.12,54B.12,34C.0,12D.(0,2]10.已知函数f(x)=1ln (x +1)-x,则y=f(x)的图象大致为( )11.已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上,△ABC 是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且SC=2,则此棱锥的体积为( ) A. 26B. 36C. 23D. 2212.设点P 在曲线y=12e x上,点Q 在曲线y=ln(2x)上,则|PQ|的最小值为( ) A.1-ln 2B. 2(1-ln 2)C.1+ln 2D. 2(1+ln 2)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上) 13.已知向量a,b 夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|= . 14.设x,y 满足约束条件 x -y ≥-1,x +y ≤3,x ≥0,y ≥0,则z=x-2y 的取值范围为 . 15.某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作.设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1 000,502),且各个元件能否正常工作相互独立,那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为 .16.数列{a n }满足a n+1+(-1)na n =2n-1,则{a n }的前60项和为 . 三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知a,b,c 分别为△ABC 三个内角A,B,C 的对边,acos C+ 3asin C-b-c=0. (Ⅰ)求A;(Ⅱ)若a=2,△ABC的面积为3,求b,c.18.(本小题满分12分)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式;(Ⅱ)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差;(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.19.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.2(Ⅰ)证明:DC1⊥BC;(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的大小.20.(本小题满分12分)设抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,准线为l.A为C上一点,已知以F为圆心,FA为半径的圆F交l于B,D两点.(Ⅰ)若∠BFD=90°,△ABD的面积为4,求p的值及圆F的方程;(Ⅱ)若A,B,F三点在同一直线m上,直线n与m平行,且n与C只有一个公共点,求坐标原点到m,n距离的比值.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)满足f(x)=f '(1)e x-1-f(0)x+12x2.(Ⅰ)求f(x)的解析式及单调区间;(Ⅱ)若f(x)≥12x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,D,E分别为△ABC边AB,AC的中点,直线DE交△ABC的外接圆于F,G两点.若CF∥AB,证明:(Ⅰ)CD=BC;(Ⅱ)△BCD∽△GBD.23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是x=2cosφ,y=3sinφ(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为2,π3.(Ⅰ)求点A,B,C,D的直角坐标;(Ⅱ)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围.24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(Ⅰ)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(Ⅱ)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.2012年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷)一、选择题1.D解法一:由x-y∈A,及A={1,2,3,4,5}得x>y,当y=1时,x可取2,3,4,5,有4个;y=2时,x可取3,4,5,有3个;y=3时,x可取4,5,有2个;y=4时,x可取5,有1个.故共有1+2+3+4=10(个),选D.解法二:因为A中元素均为正整数,所以从A中任取两个元素作为x,y,满足x>y的(x,y)即为集合B中的元素,故共有C52=10个,选D.评析考查了分类讨论的思想,由x-y∈A得x>y是解题关键.2.A2名教师各在1个小组,给其中1名教师选2名学生,有C42种选法,另2名学生分配给另1名教师,然后将2个小组安排到甲、乙两地,有A22种方案,故不同的安排方案共有C42A22=12种,选A.评析本题考查了排列组合的实际应用,考查了先分组再分配的方法.3.C z=2-1+i =2(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-1-i,所以|z|=2,p1为假命题;z2=(-1-i)2=(1+i)2=2i,p2为真命题;z=-1+i,p3为假命题;p4为真命题.故选C.评析本题考查了复数的运算及复数的性质,考查了运算求解能力.4.C设直线x=32a与x轴交于点Q,由题意得∠PF2Q=60°,|F2P|=|F1F2|=2c,|F2Q|=32a-c,∴32a-c=12×2c,e=ca=34,故选C.评析本题考查了椭圆的基本性质,考查了方程的思想,灵活解三角形对求解至关重要.5.D由a5a6=a4a7,得a4a7=-8,又a4+a7=2,∴a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,∴q3=-12或q3=-2.当q3=-12时,a1+a10=a4q+a4q6=4-1+4×-122=-7,当q3=-2时,a1+a10=a4q3+a4q6=-2-2+(-2)·(-2)2=-7,故选D.评析本题考查了等比数列的基本运算,掌握等比数列的性质可简化计算.6.C不妨令N=3,a1<a2<a3,则有k=1,A=a1,B=a1,x=a1;k=2,x=a2,A=a2;k=3,x=a3,A=a3,结束.故A=a3,B=a1,选C.评析本题考查了流程图,考查了由一般到特殊的转化思想.7.B由三视图可得,该几何体为如图所示的三棱锥,其底面△ABC为等腰三角形且BA=BC,AC=6,AC边上的高为3,SB⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=13×12×6×3×3=9.故选B.评析本题考查了三视图和三棱锥的体积,考查了空间想象能力.由三视图正确得到该几何体的直观图是求解的关键.8.C如图,AB为抛物线y2=16x的准线,由题意可得A(-4,23).设双曲线C的方程为x2-y2=a2(a>0),则有16-12=a2,故a=2,∴双曲线的实轴长2a=4.故选C.评析本题考查了双曲线和抛物线的基础知识,考查了方程的数学思想,要注意双曲线的实轴长为2a.9.A由π2<x<π得ωπ2+π4<ωx+π4<ωπ+π4,又y=sin α在π2,32π 上递减,所以ωπ2+π4≥π2,ωπ+π4≤32π,解得12≤ω≤54,故选A.评析本题考查了三角函数的单调性,考查了运用正弦函数的减区间求参数的问题.10.B令g(x)=ln(x+1)-x,g'(x)=1x+1-1=-xx+1,∴当-1<x<0时,g'(x)>0,当x>0时,g'(x)<0,∴g(x)max=g(0)=0.∴f(x)<0,排除A、C,又由定义域可排除D,故选B.评析本题考查了函数的图象,考查了利用导数判断单调性,求值域,考查了数形结合的数学思想.11.A设△ABC外接圆的圆心为O1,则|OO1|=OC2-O1C2=1-13=6 3.三棱锥S-ABC的高为2|OO1|=263.所以三棱锥S-ABC的体积V=13×34×263=26.故选A.评析本题考查了三棱锥和球的基本知识,考查了空间想象能力.12.B由y=12e x得e x=2y,所以x=ln 2y,所以y=12e x的反函数为y=ln 2x,所以y=12e x与y=ln 2x的图象关于直线y=x对称,所以两条曲线上的点的距离的最小值是两条曲线上切线斜率为1的切点之间的距离,令(ln 2x)'=1x =1,解得x1=1,令12e x'=1,解得x2=ln 2,所以两点为(1,ln 2)和(ln 2,1),故d=2(1-ln 2),选B.评析本题考查了导数的应用,互为反函数图象的性质,考查了数形结合的思想.二、填空题13.答案32解析|2a-b|=10两边平方得4|a|2-4|a|·|b|cos 45°+|b|2=10.∵|a|=1,∴|b|2-2|b|-6=0.∴|b|=32或|b|=-2(舍去).评析本题考查了向量的基本运算,考查了方程的思想.通过“平方”把向量问题转化为数量积问题是求解的关键.14.答案[-3,3]解析由不等式组画出可行域(如图所示).当直线x-2y-z=0过点B(1,2)时,z min=-3;过点A(3,0)时,z max=3.∴z=x-2y的取值范围是[-3,3].评析本题考查了简单线性规划知识;考查了数形结合的思想方法.15.答案38解析由题意知每个电子元件使用寿命超过1 000小时的概率均为12,元件1或元件2正常工作的概率为1-12×12=34,所以该部件使用寿命超过1 000小时的概率为12×34=38.评析本题考查了正态分布及相互独立事件的概率.16.答案 1 830解析当n=2k时,a 2k+1+a2k=4k-1,当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,∴a2k+1+a2k-1=2,∴a2k+3+a2k+1=2,∴a2k-1=a2k+3,∴a1=a5=…=a61.∴a1+a2+a3+…+a60=(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a60+a61)=3+7+11+…+(2×60-1)=30×(3+119)2=30×61 =1 830.评析本题考查了数列求和及其综合应用,考查了分类讨论及等价转化的数学思想.三、解答题17.解析(Ⅰ)由acos C+3asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+3sin Asin C-sin B-sin C=0.因为B=π-A-C,所以sin Asin C-cos Asin C-sin C=0.由于sin C≠0,所以sin A-π6=1 2 .又0<A<π,故A=π3.(Ⅱ)△ABC的面积S=12bcsin A=,故bc=4.而a2=b2+c2-2bccos A,故b2+c2=8.解得b=c=2.评析本题考查了正、余弦定理和三角公式,考查了方程的思想.灵活运用正、余弦定理是求解关键.正确的转化是本题的难点.18.解析(Ⅰ)当日需求量n≥16时,利润y=80.当日需求量n<16时,利润y=10n-80.所以y关于n的函数解析式为y=10n-80,n<16,80,n≥16(n∈N).(Ⅱ)(i)X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7.X的分布列为X的数学期望为EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76.X的方差为DX=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. (ii)答案一:花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.Y的方差为DY=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75-76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04.由以上的计算结果可以看出,DX<DY,即购进16枝玫瑰花时利润波动相对较小.另外,虽然EX<EY,但两者相差不大.故花店一天应购进16枝玫瑰花.答案二:花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下:若花店一天购进17枝玫瑰花,Y表示当天的利润(单位:元),那么Y的分布列为Y的数学期望为EY=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4.由以上的计算结果可以看出,EX<EY,即购进17枝玫瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一天应购进17枝玫瑰花.评析本题考查了利用样本频率估计总体概率以及离散型随机变量的期望与方差,掌握期望与方差的意义是解题关键,考查了运算求解能力.19.解析(Ⅰ)由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=1AA1,可得D C12+DC2=C C12,所以DC1⊥DC.2而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.BC⊂平面BCD,故DC1⊥BC.(Ⅱ)由(Ⅰ)知BC ⊥DC 1,且BC ⊥CC 1,则BC ⊥平面ACC 1, 所以CA,CB,CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点,CA 的方向为x 轴的正方向,|CA |为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A 1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C 1(0,0,2). 则A 1D =(0,0,-1),BD =(1,-1,1),DC 1 =(-1,0,1). 设n =(x,y,z)是平面A 1B 1BD 的法向量, 则 n ·BD =0,n ·A 1D =0,即x -y +z =0,z =0. 可取n =(1,1,0).同理,设m 是平面C 1BD 的法向量,则m ·BD =0,m ·DC 1 =0. 可取m =(1,2,1).从而cos<n,m >=n ·m|n |·|m |= 32. 故二面角A 1-BD-C 1的大小为30°.评析 本题考查了直线与平面垂直的证明及二面角的求法.属中等难度题,运算要准确. 20.解析 (Ⅰ)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形,|BD|=2p,圆F 的半径|FA|= 2p. 由抛物线定义可知A 到l 的距离d=|FA|= p. 因为△ABD 的面积为4 2,所以12|BD|·d=4 2,即12·2p·2p=42,解得p=-2(舍去),p=2.所以F(0,1),圆F的方程为x2+(y-1)2=8. (Ⅱ)因为A,B,F三点在同一直线m上, 所以AB为圆F的直径,∠ADB=90°.由抛物线定义知|AD|=|FA|=12|AB|,所以∠ABD=30°,m的斜率为33或-33.当m的斜率为33时,由已知可设n:y=33x+b,代入x2=2py得x2-233px-2pb=0.由于n与C只有一个公共点,故Δ=43p2+8pb=0,解得b=-p6.因为m的截距b1=p2,|b1||b|=3,所以坐标原点到m,n距离的比值为3.当m的斜率为-33时,由图形对称性可知,坐标原点到m,n距离的比值为3.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了分类讨论的方法和数形结合的思想.21.解析(Ⅰ)由已知得f '(x)=f '(1)e x-1-f(0)+x,所以f '(1)=f '(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f '(1)e-1,所以f '(1)=e.从而f(x)=e x-x+12x2.由于f '(x)=e x-1+x,故当x∈(-∞,0)时, f '(x)<0;当x∈(0,+∞)时, f '(x)>0.从而, f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.(Ⅱ)由已知条件得e x-(a+1)x≥b.①(i)若a+1<0,则对任意常数b,当x<0,且x<1-ba+1时,可得e x-(a+1)x<b,因此①式不成立.(ii)若a+1=0,则(a+1)b=0.(iii)若a+1>0,设g(x)=e x-(a+1)x,则g'(x)=e x-(a+1).当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0;当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0.从而g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增. 故g(x)有最小值g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1).所以f(x)≥12x2+ax+b等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1).②因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)[1-2ln(a+1)].所以h(a)在(-1,e 12-1)上单调递增,在(e12-1,+∞)上单调递减,故h(a)在a=e12-1处取得最大值.从而h(a)≤e2,即(a+1)b≤e2.当a=e 1-1,b=e122时,②式成立,故f(x)≥12x2+ax+b.综合得,(a+1)b的最大值为e2.评析本题考查了函数与导数的综合应用,难度较大,考查了分类讨论和函数与方程的思想方法,直线斜率以零为分界点进行分类是解题关键.22.证明(Ⅰ)因为D,E分别为AB,AC的中点,所以DE∥BC.又已知CF∥AB,故四边形BCFD是平行四边形,所以CF=BD=AD.而CF∥AD,连结AF,所以ADCF是平行四边形,故CD=AF.因为CF∥AB,所以BC=AF,故CD=BC.(Ⅱ)因为FG∥BC,故GB=CF.由(Ⅰ)可知BD=CF,所以GB=BD.而∠DGB=∠EFC=∠DBC,故△BCD∽△GBD.评析本题考查了直线和圆的位置关系,处理好两条线段平行的关系是解题的关键.23.解析(Ⅰ)由已知可得A2cosπ3,2sinπ3,B2cosπ3+π2,2sinπ3+π2,C2cosπ3+π,2sinπ3+π,D2cosπ3+3π2,2sinπ3+3π2,即A(1,3),B(-3,1),C(-1,-3),D(3,-1).(Ⅱ)设P(2cos φ,3sinφ),令S=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2,则S=16cos2φ+36sin2φ+16=32+20sin2φ.因为0≤sin2φ≤1,所以S的取值范围是[32,52].评析本题考查了曲线的参数方程和极坐标方程.考查了函数的思想方法.正确“互化”是解题的关键.难点是建立函数S=f(φ).24.解析(Ⅰ)当a=-3时,f(x)=-2x+5,x≤2, 1,2<x<3,2x-5,x≥3.当x≤2时,由f(x)≥3得-2x+5≥3,解得x≤1; 当2<x<3时, f(x)≥3无解;当x≥3时,由f(x)≥3得2x-5≥3,解得x≥4; 所以f(x)≥3的解集为{x|x≤1}∪{x|x≥4}. (Ⅱ)f(x)≤|x-4|⇔|x-4|-|x-2|≥|x+a|.当x∈[1,2]时,|x-4|-|x-2|≥|x+a|⇔4-x-(2-x)≥|x+a|⇔-2-a≤x≤2-a.由条件得-2-a≤1且2-a≥2,即-3≤a≤0.故满足条件的a的取值范围为[-3,0].评析本题考查了含绝对值不等式的解法,运用了零点法分类讨论解含绝对值不等式的方法,考查了学生的运算求解能力.。

2012年高考理科数学(全国卷)含答案详细解析

2012年高考理科数学(全国卷)含答案详细解析

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至2页，第Ⅱ卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题（1）复数131i i-+=+ （A ）2i + （B ）2i - （C ）12i + （D ）12i -（2）已知集合{1,3,}A m =，{1,}B m =，A B A =，则m =（A ）0或3 （B ）0或3 （C ）1或3 （D ）1或3（3）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为（A ）2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）221124x y += （4）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中 ，2AB =，122CC =，E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）1（5）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，515S =，则数列11{}n n a a +的前100项和为（A ）100101 （B ）99101（C ）99100 （D ）101100（6）ABC ∆中，AB 边的高为CD ，若C B a =，CA b =，0a b ⋅=，||1a =，||2b =，则AD =（A ）1133a b - （B ）2233a b - （C ）3355a b - （D ）4455a b - （7）已知α为第二象限角，3sin cos 3αα+=，则cos2α=（A ）53- （B ）59- （C ）59 （D ）53（8）已知1F 、2F 为双曲线22:2C x y -=的左、右焦点，点P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=（A ）14 （B ）35 （C ）34 （D ）45（9）已知ln x π=，5log 2y =，12z e -=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x <<（10）已知函数33y x x c =-+的图像与x 恰有两个公共点，则c =（A ）2-或2 （B ）9-或3 （C ）1-或1 （D ）3-或1（11）将字母,,,,,a a b b c c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种 （B ）18种 （C ）24种 （D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，37AE BF ==。

2012年高考数学真题(大纲全国卷)理科精编解析word版

2012年高考数学真题(大纲全国卷)理科精编解析word版

大纲全国理科1.(2012大纲全国,理1)复数13i 1i-++=( ).A.2+iB.2-iC.1+2iD.1-2iC 13i 1i-++=(-13i)(1i)(1i)(1i)+-+-=21i 3i 3i 2-++-=24i 2+=1+2i.2.(2012大纲全国,理2)已知集合A B ={1,m },A ∪B =A ,则m =( ).A.0B.0或3C.1D.1或3B ∵A B ={1,m },A ∪B =A ,∴m =3或m ∴m =3或m =0或m =1.当m =1时,与集合中元素的互异性不符,故选B.3.(2012大纲全国,理3)椭圆的中心在原点,焦距为4,一条准线为x =-4,则该椭圆的方程为( ).A.216x +212y =1B.212x +28y =1C.28x +24y =1D.212x +24y =1 C ∵焦距为4,即2c =4,∴c =2.又∵准线x =-4,∴-2a c=-4.∴a 2=8.∴b 2=a 2-c 2=8-4=4.∴椭圆的方程为28x +24y =1,故选C.4.(2012大纲全国,理4)已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,AB =2,CC 1E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为( ).A.2D.1D 连结AC 交BD 于点O ,连结OE ,∵AB =2,∴AC又CC 1则AC =CC 1. 作CH ⊥AC 1于点H ,交OE 于点M .由OE 为△ACC 1的中位线知,CM ⊥OE ,M 为CH 的中点. 由BD ⊥AC ,EC ⊥BD 知,BD ⊥面EOC , ∴CM ⊥BD . ∴CM ⊥面BDE .∴HM 为直线AC 1到平面BDE 的距离. 又△ACC 1为等腰直角三角形,∴CH =2.∴HM =1.5.(2012大纲全国,理5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前100项和为( ). A.100101B.99101C.99100D.101100A S 5=155()2a a +=15(5)2a +=15,∴a 1=1.∴d =5151a a --=5151--=1.∴a n =1+(n -1)×1=n . ∴11n n a a +=1(1)n n +.设11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ,则T 100=112⨯+123⨯+…+1100101⨯ =1-12+12-13+…+1100-1101=1-1101=100101.6.(2012大纲全国,理6)△ABC 中,AB 边的高为CD .若CB =a ,CA =b ,a ·b =0,|a |=1,|b |=2,则AD =( ). A .13a-13bB .23a-23bC .35a-35bD .45a-45bD ∵a·b=0,∴a ⊥b.又∵|a |=1,|b |=2, ∴|AB∴|CD∴|AD∴AD=4AB 5=45(a -b )=45a -45b .7.(2012大纲全国,理7)已知α为第二象限角,sin α+cos α则cos 2α=( ).ABCDA ∵sin α+cos α且α为第二象限角,∴α∈32k ,2k 24ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭(k ∈Z ). ∴2α∈34k ,4k 2ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭(k ∈Z ). 由(sin α+cos α)2=1+sin 2α=13,∴sin 2α=-23.∴cos 2α8.(2012大纲全国,理8)已知F 1,F 2为双曲线C:x 2-y 2=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ). A .14B .35C .34D .45C 设|PF 2|=m,则|PF 1|=2m,由双曲线定义:|PF 1|-|PF 2|=2a,∴∴又∴由余弦定理可得cos ∠F 1PF 2=2221212|PF ||PF |4c 2|PF||PF |+-=34.9.(2012大纲全国,理9)已知x=ln π,y=log 52,z=12e -,则( ). A .x<y<zB .z<x<yC.z<y<xD.y<z<xD∵x=lnπ>1,y=log52>log1 2 ,z=12e-12,且12e-<e0=1,∴y<z<x.10.(2012大纲全国,理10)已知函数y=x3-3x+c的图象与x轴恰有两个公共点,则c=().A.-2或2B.-9或3C.-1或1D.-3或1A y'=3x2-3=3(x+1)(x-1).当y'>0时,x<-1或x>1;当y'<0时,-1<x<1.∴函数的递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间为(-1,1).∴x=-1时,取得极大值;x=1时,取得极小值.要使函数图象与x轴恰有两个公共点,只需:f(-1)=0或f(1)=0,即(-1)3-3×(-1)+c=0或13-3×1+c=0,∴c=-2或c=2.11.(2012大纲全国,理11)将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有().A.12种B.18种C.24种D.36种A当第一行为a b时,有a bb cc b和a bc ab c两种情况,∴当第一行为a,b时,共有4种情况.同理当第一行为a,c时,共有4种情况;当第一行为b,c时,共有4种情况;∴不同的排列方法共有12种.12.(2012大纲全国,理12)正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上,点F在边BC上,AE=BF=37.动点P从E出发沿直线向F运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角.当点P第一次碰到E时,P与正方形的边碰撞的次数为().A.16B.14C.12D.10B结合已知中的点E,F的位置,由反射与对称的关系,可将点P的运动路线展开成直线,如图.当点P 碰到E 时,m 为偶数,且m 33n 77+-=34,即4m=3n. 故m 的最小值为6.n=8,线段PE 与网格线交点的个数为(除E 点外)6+8=14个. (PE 的方程为:y=34x-928,即4y=3x-97,x,y 不能同时为整数,所以PE 不过网格交点)13.(2012大纲全国,理13)若x,y 满足约束条件x y 10,x y 30,x 3y 30,-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩则z=3x-y 的最小值为 .-1 由题意画出可行域,由z=3x-y 得y=3x-z,要使z 取最小值,只需截距最大即可,故直线过A(0,1)时,z 最小.∴z min =3×0-1=-1.14.(2012大纲全国,理14)当函数y=sinx(0≤x<2π)取得最大值时,x = .56π y=sinx=21x x 2sin ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭=2sin x 3π⎛⎫- ⎪⎝⎭. 当y 取最大值时,x-3π=2k π+2π,∴x=2k π+56π.又∵0≤x<2π,∴x=56π.15.(2012大纲全国,理15)若n1x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等,则该展开式中21x 的系数为 .56 ∵2n C =6n C ,∴n=8.T r+1=r8Cx 8-r r1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=r 8C x 8-2r , 当8-2r=-2时,r=5. ∴系数为58C =56.16.(2012大纲全国,理16)三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长和侧棱长都相等,∠BAA 1=∠CAA 1=60°,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .取BC的中点O,连结AO,A1O,BA1,CA1,易证BC⊥AO,BC⊥A1O,从而BC⊥AA1,又BB1∥AA1,BB1⊥BC.延长CB至D,使BD=BC,连结B1D,则B1D∥BC1,设BC=1,则B11=AD=所以,17.(2012大纲全国,理17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C. 解:由B=π-(A+C),得cos B=-cos(A+C).于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin A sin C,由已知得sin A sin C=12.①由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.②由①,②得sin2C=14,于是sin C=-12(舍去),或sin C=12.又a=2c,所以C=6π.18.(2012大纲全国,理18)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2是PC上的一点,PE=2EC.(1)证明:PC⊥平面BED;(2)设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.解法一:(1)证明:因为底面ABCD 为菱形,所以BD ⊥AC.又PA ⊥底面ABCD, 所以PC ⊥BD. 设AC ∩BD=F,连结EF.因为故从而PC FCAC EC因为PC FC=AC EC,∠FCE=∠PCA,所以△FCE ∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°, 由此知PC ⊥EF.PC 与平面BED 内两条相交直线BD,EF 都垂直,所以PC ⊥平面BED. (2)在平面PAB 内过点A 作AG ⊥PB,G 为垂足. 因为二面角A-PB-C 为90°,所以平面PAB ⊥平面PBC. 又平面PAB ∩平面PBC=PB,故AG ⊥平面PBC,AG ⊥BC. BC 与平面PAB 内两条相交直线PA,AG 都垂直, 故BC ⊥平面PAB,于是BC ⊥AB,所以底面ABCD 为正方形设D 到平面PBC 的距离为d.因为AD ∥BC,且AD ⊄平面PBC,BC ⊂平面PBC,故AD ∥平面PBC,A,D 两点到平面PBC 的距离相等,即设PD 与平面PBC 所成的角为α,则sin α=d PD=12.所以PD 与平面PBC 所成的角为30°.解法二:(1)证明:以A 为坐标原点,射线AC 为x 轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.设其中b>0,则P(0,0,2),E 23⎫⎪⎪⎝⎭于是PC BE =2b,3⎫⎪⎪⎝⎭,DE =23⎫⎪⎪⎝⎭, 从而PC ·BE =0,PC ·DE =0, 故PC ⊥BE,PC ⊥DE.又BE ∩DE=E,所以PC ⊥平面BDE.(2)AP =(0,0,2),AB 设m =(x ,y ,z )为平面PAB 的法向量, 则m ·AP =0,m ·AB =0,即2z=0令x =b ,则m =(b 设n =(p ,q ,r )为平面PBC 的法向量, 则n ·PC =0,n ·BE =0,即23r=0,令p =1,则r qn =⎛ ⎝.因为面PAB ⊥面PBC ,故m ·n =0,即b -2b=0,故b于是n DP cos <n,DP >=n?|n||DP |DP =12,<n,DP >=60°.因为PD 与平面PBC 所成角和<n,DP >互余,故PD 与平面PBC 所成的角为30°.19.(2012大纲全国,理19)乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2次,依次轮换.每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (1)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率; (2)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的期望.解:记A i 表示事件:第1次和第2次这两次发球,甲共得i 分,i=0,1,2;A 表示事件:第3次发球,甲得1分;B 表示事件:开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2. (1)B=A 0·A+A 1·A ,P(A)=0.4,P(A 0)=0.42=0.16,P(A 1)=2×0.6×0.4=0.48, P(B)=P(A 0·A+A 1·A ) =P(A 0·A)+P(A 1·A ) =P(A 0)P(A)+P(A 1)P(A ) =0.16×0.4+0.48×(1-0.4)=0.352.。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（必修+选修II ）
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第 I 卷第1至2页，第II 卷第3至 第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I 卷 注意事项：
全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：
1•答题前，考生在答题卡上务必用直径
0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写
清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2•没小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效。

3•第I 卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求
的。

一、选择题
—1 +3i
1、复数
=
1 +i
A 2+I
B 2-I
C 1+2i
D 1- 2i 2、已知集合 A = {1.3.
. m }, B = {1, m} ,A J B = A,则 m=
A 0 或、、3
B 0 或 3
C 1 或 3
D 1 或 3
3椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为x=-4，则该椭圆的方程为
2
2 2 2
x y
x y A — + - =1 B ——=1
16 12
12 8
2 2
2
2
C x
+工 =1 D
x +£=1
8 4
12 4
4已知正四棱柱 ABCD- AB 1C 1D 1中，AB=2, CG=20 E 为CG 的中点，则直线 AG 与平面 BED 的距离为 A 2 B 3 C 、2 D 1
（5）已知等差数列 ©}的前n 项和为S n , a 5=5, S 5=15,则数列
甘=
—0
2
2
3
a - —
—A
A,
一 "一一* ■ *
的前100项和为
(A)
100 101
99 (B)
199
99 101
（6）A ABC 中，AB 边的高为 CD,若
a • b=0, |a|=1 , |b|=2，贝U
(A)(B) (C)5(D)
(7) 已知a为第二象限角，sin a + sin 3 =3，则COS2 a =
3
(A)-
5
弱75
(B) - (C)(D)-
39 93
(8) 已知F,、F2为双曲线C: x2-y2=2的
左、右焦点，点P 在C上，|PF1|=|2PF 2| ,则cos/ F1PF?=
1 3 3 4
(A)1 ( B)3(c)3 (D)4
1
(9) 已知x=ln n , y=log52, z=e2，贝U
(A)x v y v z ( B) z v x v y (C)z< y v x (D)y v z v x
(10) 已知函数y = x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c=
(A) -2 或 2 ( B) -9 或 3 (C) -1 或 1 ( D) -3 或1
(11) 将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，
则不同的排列方法共有
(A) 12 种(B) 18 种(C) 24 种(D) 36 种
(12) 正方形ABCD的边长为1,点E在边AB上，点F在边BC上，AE= BF=-。

动点P从E
3
出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
(A) 16 (B) 14 (C) 12(D)10
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修H)
第n卷
注意事项：
1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填
写清楚，然后贴好条形码。

请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目。

2•第n卷共2页，请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。

3•第n卷共10小题，共90分。

:■。

填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。

(注意：在试题卷上作答无效)
x - +1 0+
，r ■* F - 3 埜0*
(13) 若x, y满足约束条件_________ 则z=3x-y的最小值为。

(14) 当函数「…让｛0二一丄、"取得最大值时，x= _____________________ 。

山+丄r -L
(15) 若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数
为_________ 。

（16）三菱柱ABC-AB i C i中，底面边长和侧棱长都相等，BAA=CAA=50°
则异面直线AB i与BG所成角的余弦值为_________________ 。

三•解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）
△ ABC的内角A、B、C 的对边分别为a、b、c,已知cos（A-C） + cosB=1, a=2c,求c。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA!底面ABCD, AC=^ 2 , PA=2, E是PC上的一点，PE=2EC.
（I）证明：PC丄平面BED
（H）设二面角A-PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小。

19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效.）
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发
球2次，依次轮换。

每次发球，胜方得1分，负方得0分。

设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得
1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。

甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（I）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（n）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。

（20）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
设函数 f （x）=ax+cosx x€ [0, n ]。

(I)讨论f (x)的单调性；
(n)设f (x)w 1+sinx,求a的取值范围。

21.(本小题满分12分)(注意：在试卷上作•答无效.)
1
已知抛物线C: y=(x+1)2与圆M: (x-1) 2+( y )2=r2(r > 0)有一个公共点，且在A处两曲
2
线的切线为同一直线I.
(I)求r;
(H)设m、n是异于I且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D,求D到I的距离。

22 (本小题满分12分)(注意：在试卷上作答无效.)
函数f(x)=x -2x-3，定义数列｛X n｝如下：X1=2, x n+1 是过两点P ( 4,5)、Q n(X n,f(X n))的直线PQ n 与x轴交点的横坐标。

(I)证明：2< x n v 冷+1v 3;
(H)求数列｛X n｝的通项公式。

相关文档
最新文档