非线性回归分析(常见曲线与方程)
非线性回归分析的入门知识
非线性回归分析的入门知识在统计学和机器学习领域，回归分析是一种重要的数据分析方法，用于研究自变量和因变量之间的关系。
在实际问题中，很多情况下自变量和因变量之间的关系并不是简单的线性关系，而是呈现出一种复杂的非线性关系。
因此，非线性回归分析就应运而生，用于描述和预测这种非线性关系。
本文将介绍非线性回归分析的入门知识，包括非线性回归模型的基本概念、常见的非线性回归模型以及参数估计方法等内容。
一、非线性回归模型的基本概念在回归分析中，线性回归模型是最简单和最常用的模型之一，其数学表达式为：$$Y = \beta_0 + \beta_1X_1 + \beta_2X_2 + ... + \beta_pX_p +\varepsilon$$其中，$Y$表示因变量，$X_1, X_2, ..., X_p$表示自变量，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_p$表示模型的参数，$\varepsilon$表示误差项。
线性回归模型的关键特点是因变量$Y$与自变量$X$之间呈线性关系。
而非线性回归模型则允许因变量$Y$与自变量$X$之间呈现非线性关系，其数学表达式可以是各种形式的非线性函数，例如指数函数、对数函数、多项式函数等。
一般来说，非线性回归模型可以表示为：$$Y = f(X, \beta) + \varepsilon$$其中，$f(X, \beta)$表示非线性函数，$\beta$表示模型的参数。
非线性回归模型的关键在于确定合适的非线性函数形式$f(X,\beta)$以及估计参数$\beta$。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型多项式回归模型是一种简单且常见的非线性回归模型，其形式为： $$Y = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2X^2 + ... + \beta_nX^n +\varepsilon$$其中，$X^2, X^3, ..., X^n$表示自变量$X$的高次项，$\beta_0, \beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$表示模型的参数。
非线性回归分析常见模型
非线性回归常见模型一．基本内容模型一xc e c y 21=，其中21,c c 为常数.将xc ec y 21=两边取对数，得x c c e c y xc 211ln )ln(ln 2+==，令21,ln ,ln c b c a y z ===，从而得到z 与x 的线性经验回归方程a bx z +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型二221c x c y +=，其中21,c c 为常数.令a c b c x t ===212,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型三21c x c y +=，其中21,c c 为常数.a cbc x t ===21,,，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型四反比例函数模型：1y a b x=+令xt 1=，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.模型五三角函数模型：sin y a b x=+令x t sin =，则变换后得到y 与t 的线性经验回归方程a bt y +=，用公式求即可，这样就建立了y 与x 非线性经验回归方程.二．例题分析例1．用模型e kx y a =拟合一组数据组()(),1,2,,7i i x y i =⋅⋅⋅，其中1277x x x ++⋅⋅⋅+=；设ln z y =，得变换后的线性回归方程为ˆ4zx =+，则127y y y ⋅⋅⋅=（）A．70e B．70C．35e D．35【解析】因为1277x x x ++⋅⋅⋅+=，所以1x =，45z x =+=，即()127127ln ...ln ln ...ln 577y y y y y y +++==，所以35127e y y y ⋅⋅⋅=.故选：C例2．一只红铃虫产卵数y 和温度x 有关，现测得一组数据()(),1,2,,10i i x y i =⋅⋅⋅，可用模型21e c x y c =拟合，设ln z y =，其变换后的线性回归方程为4zbx =- ，若1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，501210e y y y ⋅⋅⋅=，e 为自然常数，则12c c =________.【解析】21e c x y c =经过ln z y =变换后，得到21ln ln z y c x c ==+，根据题意1ln 4c =-，故41e c -=，又1210300x x x ++⋅⋅⋅+=，故30x =，5012101210e ln ln ln 50y y y y y y ⋅⋅⋅=⇒++⋅⋅⋅+=，故5z =，于是回归方程为4zbx =- 一定经过(30,5)，故ˆ3045b -=，解得ˆ0.3b =，即20.3c =，于是12c c =40.3e -.故答案为：40.3e -.该景点为了预测2023年的旅游人数，建立了模型①：由最小二乘法公式求得的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图.。
计量经济学_詹姆斯斯托克_第8章_非线性的回归模型
Ln(TestScore) = 6.336 + 0.0554 ln(Incomei) (0.006) (0.0021)
假设 Income 从$10,000 增加到$11,000（或者 10%）。
则 TestScore 增加大约 0.0554 10% = 0.554%。
如果 TestScore = 650, 意味着测试成绩预计会增加
非线性的回归模型
非线性的回归函数
“非线性”的含义：
（1）非线性的函数 自变量与解释变量之间的非线性
函 数形式。
（2）非线性的回归 参数与随机项的非线性形式。
非线性的回归函数
一、多项式回归 二、对数回归 三、自变量的交互作用 四、其他非线性形式的回归 五*、非线性回归（参数非线性）
一、多项式回归
1、指数函数曲线
指数函数方程有两种形式：
yˆ aebx yˆ abx
y a＞0，b＞0
a＞0，b＜0
x
图11.1方yˆ 程 aebx 的图象
二、对数函数曲线
对数函数方程的一般表达式为：
yˆ a b ln x
y
b＞0
b＜0
x
图11.2 方程yˆ =a+blnx 的图象
（2）根据拟合程度的好坏来确定（如，利用spss 的相关功能） 在社会科学领域里，阶数不会太高！
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
（2）多项式的本质 泰勒展开
一、多项式回归
形式： Y 0 1X 2 X 2 ...r X r u
Y——收入； D1——性别（1——男；0——女） D2——学历（1——大学学历；0——没有）
新教材高中数学第8章第2课时回归分析及非线性回归模型pptx课件新人教A版选择性必修第三册
2．在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它
们的决定系数R2如下，其中拟合效果最好的模型是(
2为0.98
A．模型1的决定系数R
√
B．模型2的决定系数R2为0.80
C．模型3的决定系数R2为0.50
D．模型4的决定系数R2为0.25
A
[R2越大拟合效果越好．]
)
3．从某省“双一流”大学中随机选出8名女大学生，得到其身高
残差图
观测值等，这样作出的图形称为______．在残差图中，残差点比较
均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的
带状区域的宽度____，说明模型拟合精度越高．
越窄
残差
(3)残差分析：____是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以
判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据
建立两个变量间的非线性经验回归方程．
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)残差平方和越接近0，线性回归模型的拟合效果越好．
(√ )
(2)在画两个变量的散点图时，响应变量在x轴上，解释变量在y轴
上．
( × )
(3)R2越小，线性回归模型的拟合效果越好．
( × )
(4)在残差图中，纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号．( √ )
和幂函数模型的求解过程．(数学运算、数学建模)
01
必备知识·
情境导学探新知
设某幼苗从观察之日起，第x天的高度为y cm，测得的一些数据如表
所示：
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度y/cm
0
4
7
9
非线性回归方程公式详解
非线性回归方程公式详解一、非线性回归的定义和方程1、非线性回归非线性回归是回归函数关于未知回归系数具有非线性结构的回归。
常用的处理方法有回归函数的线性迭代法、分段回归法、迭代等。
非线性回归分析的主要内容与线性回归分析相似。
2、回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。
其基本步骤是：（1）画散点图；（2）求回归直线方程；（3）用回归直线方程作预报。
3、回归直线如果具有相关关系的两个变量的一组数据(x1,y1)(x1,y1)，(x2,y2)(x2,y2)，⋯⋯，(xn,yn)(xn,yn)大致分布在一条直线附近，那么我们称这样的变量之间的关系为线性相关关系，这条直线就是回归直线，记为yˆ=bˆx+aˆy^=b^x+a^。
4、回归直线方程的求法——最小二乘法设具有线性相关关系的两个变量xx，yy的一组观察值为(xi,yi)(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)(i=1,2,⋯,n)，则回归直线方程yˆ=bˆx+aˆy^=b^x+a^的系数为bˆ=b^=∑ni=1(xi−x¯¯¯)(yi−y¯¯¯)∑ni=1(xi−x¯¯¯)2=∑ni=1(xi−x¯)(yi−y¯)∑ni=1(xi−x¯)2=∑ni=1xiyi−nx¯¯¯y¯¯¯∑ni=1x2i−nx¯¯¯2∑ni=1xiyi−nx¯ y¯∑ni=1xi2−nx¯2，aˆ=y¯¯¯−bˆx¯¯¯a^=y¯−b^x¯，其中(xi,yi)(xi,yi)为样本数据，x¯¯¯=x¯=1n∑ni=1xi1n∑ni=1xi，y¯¯¯=y¯=1n∑ni=1yi1n∑ni=1yi为样本平均数。
非线性回归分析与曲线拟合方法
非线性回归分析与曲线拟合方法回归分析是一种常见的统计分析方法，用于研究自变量与因变量之间的关系。
在实际应用中，很多数据并不符合线性关系，而是呈现出曲线形式。
这时，我们就需要使用非线性回归分析和曲线拟合方法来更好地描述数据的规律。
一、非线性回归分析的基本原理非线性回归分析是一种通过拟合非线性方程来描述自变量与因变量之间关系的方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更准确地反映数据的特点。
在非线性回归分析中，我们需要选择适当的非线性模型，并利用最小二乘法来估计模型的参数。
二、常见的非线性回归模型1. 多项式回归模型：多项式回归是一种常见的非线性回归模型，它通过多项式方程来拟合数据。
多项式回归模型可以描述数据的曲线特征，但容易出现过拟合问题。
2. 指数回归模型：指数回归模型适用于自变量与因变量呈指数关系的情况。
指数回归模型可以描述数据的增长或衰减趋势，常用于描述生物学、物理学等领域的数据。
3. 对数回归模型：对数回归模型适用于自变量与因变量呈对数关系的情况。
对数回归模型可以描述数据的增长速度，常用于描述经济学、金融学等领域的数据。
4. S形曲线模型：S形曲线模型适用于自变量与因变量呈S形关系的情况。
S形曲线模型可以描述数据的增长或衰减过程，常用于描述市场营销、人口增长等领域的数据。
三、曲线拟合方法曲线拟合是一种通过选择合适的曲线形状来拟合数据的方法。
在曲线拟合过程中，我们需要根据数据的特点选择适当的拟合方法。
1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的曲线拟合方法，通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定拟合曲线的参数。
2. 非线性最小二乘法：非线性最小二乘法是一种用于拟合非线性模型的方法，它通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和来确定模型的参数。
3. 曲线拟合软件：除了手动选择拟合方法，我们还可以使用曲线拟合软件来自动拟合数据。
常见的曲线拟合软件包括MATLAB、Python的SciPy库等。
四、应用实例非线性回归分析和曲线拟合方法在实际应用中有着广泛的应用。
非线性回归分析常见曲线及方程)
非线性回归分析回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理 两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S 型曲线(Logistic) 对数曲线、指数曲线等，以这些变量之间的曲线相关关系，拟合相应的 回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析常见非线性规划曲线1. 双曲线1b a y x =+2.二次曲线 3.三次曲线 4.幂函数曲线 5.指数函数曲线(Gompertz) 6.倒指数曲线y=a /e b x 其中a>0， 7.S 型曲线(Logistic) 1e x y a b -=+ 8.对数曲线 y=a+b log x,x >0 9. 指数曲线y =a e bx 其中参数a >01．回归：（1）确定回归系数的命令[beta ，r ，J]=nlinfit （x,y,’model’,beta0）（2）非线性回归命令：nlintool （x ，y ，’model’, beta0，alpha ）2．预测和预测误差估计：[Y ，DELTA]=nlpredci （’model’, x，beta ，r ，J ）求nlinfit 或lintool 所得的回归函数在x 处的预测值Y 及预测值的显著性水平为1-alpha 的置信区间Y ，DELTA.例2 观测物体降落的距离s 与时间t 的关系，得到数据如下表，求s关于t 的回归方程2ˆct bt a s++=. 解：1. 对将要拟合的非线性模型y=a /e b x ，建立M 文件volum.m 如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输入数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.5910.60 10.80 10.60 10.90 10.76];beta0=[8 2]';3．求回归系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得回归模型为：1.064111.6036e x y-=4．预测及作图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r')2．非线性函数的线性化。
非线性回归分析(常见曲线及方程)
非线性返回分解之阳早格格创做返回分解中，当钻研的果果闭系只波及果变量战一个自变量时，喊干一元返回分解；当钻研的果果闭系波及果变量战二个或者二个以上自变量时，喊干多元返回分解.别的，返回分解中，又依据形貌自变量取果变量之间果果闭系的函数表白式是线性的仍旧非线性的，分为线性返回分解战非线性返回分解.常常线性返回分解法是最基原的分解要领，逢到非线性返回问题不妨借帮数教脚法化为线性返回问题处理二个局面变量之间的相闭闭系并没有是线性闭系，而浮现某种非线性的直线闭系，如：单直线、二次直线、三次直线、幂函数直线、指数函数直线(Gompertz)、S型直线(Logistic) 对于数直线、指数直线等，以那些变量之间的直线相闭闭系，拟合相映的返回直线，修坐非线性返回圆程，举止返回分解称为非线性返回分解罕睹非线性筹备直线1.单直线1bay x =+2.二次直线3.三次直线4.幂函数直线5.指数函数直线(Gompertz)6.倒指数直线y=a/e b x其中a>0，7.S型直线(Logistic)1e x ya b-=+8.对于数直线y=a+b log x,x>09.指数直线y=a e bx其中参数a>01．返回：（1）决定返回系数的下令[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）（2）非线性返回下令：nlintool（x，y，’model’, beta0，alpha）2．预测战预测缺点预计：[Y，DELTA]=nlpredci（’model’, x，beta，r，J）供nlinfit 或者lintool所得的返回函数正在x处的预测值Y 及预测值的隐著性火仄为1-alpha的置疑区间Y，DELTA.例2 瞅测物体降降的距离s取时间t的闭系，得到数据如下表，供s闭于t的返回圆程2ˆctbtas++=.解：1. 对于将要拟合的非线性模型y=a/e b x，修坐M文献如下：function yhat=volum(beta,x)yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);2．输进数据：x=2:16;y=[6.42 8.20 9.58 9.5 9.7 10 9.93 9.99 10.49 10.59 10.60 10.80 10.60 10.90 10.76]; beta0=[8 2]'; 3．供返回系数：[beta,r ,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)； beta即得返回模型为： 1.064111.6036e xy -=4．预测及做图：[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r ,J)； plot(x,y,'k+',x,YY,'r') 2．非线性函数的线性化直线圆程直线图形变更公式变更后的线性函数by ax＝ln ln ln c a v x u y ＝＝＝u c bv +＝bx y ae ＝ln ln c a u y ＝＝u c bv +＝b xey a ＝1ln ln x c a v u y =＝＝u c bv +＝ln y a b x +＝ln v x u y ＝＝u bv +＝a。
非线性回归模型
• 由于逻辑表达式只能是1或0，于是 当X<=0时，结果为1*0+0*X+0*1=0 当X>0&X<1时,结果为0*0+1*X+0*1=X 当X>1时, 结果为0*0+0*X+1*1=1 • 字符串变量也可以用于逻辑表达式,如:
(city=‘New York’)*costliv+(city=Washington)*0.59*costliv
缺点：a.计算复杂；b.初始值不适当时，估计不准确.
采用SPSS进行曲线拟合
曲线直线化
Analyze Regression Curve Estimation … 可选Power 、Logarithmic、Exponential、 Quadratic、Cubic 等
非线性回归
Analyze Regression Nonlinear … 设置模型： Model Expression 参数赋初值：Parameters…
Parameter Estimates 95% Confidence Interval Lower Bound Upper Bound .088 .234 .075 .097
Parameter A B
Estimate .161 .086
Std. Error .035 .005
Correlations of Parameter Estimates A B A 1.000 -.990 B -.990 1.000
ANOVAa Source Reg ression Residual Uncorrected Total Corrected Total Sum of Squares 201.543 3.510 205.053 108.796 df 2 19 21 20 Mean Squares 100.771 .185
生物统计学：第10章 多元线性回归分析及一元非线性回归分析
H0 : 1 2 k 0 H A : 至少有一个i 0
拒绝H0意味着至少有一个自变量对因变量是有影 响的。
检验的程序与一元的情况基本相同，即用方差
胸围X2 186.0 186.0 193.0 193.0 172.0 188.0 187.0 175.0 175.0 185.0
体重Y 462.0 496.0 458.0 463.0 388.0 485.0 455.0 392.0 398.0 437.0
序号 体长X1 胸围X2 体重Y 11 138.0 172.0 378.0 12 142.5 192.0 446.0 13 141.5 180.0 396.0 14 149.0 183.0 426.0 15 154.2 193.0 506.0 16 152.0 187.0 457.0 17 158.0 190.0 506.0 18 146.8 189.0 455.0 19 147.3 183.0 478.0 20 151.3 191.0 454.0
R r Y•1,2,,k
yp yˆ p
,
p 1,2,, n
对复相关系数的显著性检验，相当于对整个回 归的方差分析。在做过方差分析之后，就不必再检 验复相关系数的显著性，也可以不做方差分析。
例10.1的RY·1，2为：
RY •1,2
24327 .8 0.9088 29457 .2
从附表（相关系数检验表）中查出，当独立
表示。同样在多元回归问题中，可以用复相关系数表 示。对于一个多元回归问题，Y与X1，X2，… ，Xk 的线性关系密切程度，可以用多元回归平方和与总平 方和的比来表示。因此复相关系数由下式给出，
多项式回归、非线性回归模型
多项式回归、非线性回归模型关键词：回归方程的统计检验、拟合优度检验、回归方程的显著性检验、F 检验、回归系数的显著性检验、残差分析、一元多项式回归模型、一元非线性回归模型一、回归方程的统计检验 1. 拟合优度检验1. 概念介绍SST 总离差平方和total SSR 回归平方和regression SSE 剩余平方和error∑∑∑∑====--=---=ni i ini i ini i ini i iy yy y y yyy R 121212122)()ˆ()()ˆ(12. 例题1存在四点(-2,-3)、(-1,-1)、(1,2)、(4,3)求拟合直线与决定系数。
2. 回归方程的显著性检验)2/()2/()ˆ()ˆ(1212-=---=∑∑==n SSE SSAn yyy yF ni i i ni i i例6（F 检验）在合金钢强度的例1中，我们已求出了回归方程，这里考虑关于回归方程的显著性检验，经计算有：表5 X 射线照射次数与残留细菌数的方差分析表这里值很小，因此，在显著性水平0.01下回归方程是显著的。
3. 回归系数的显著性检验 4. 残差分析二、一元多项式回归模型模型如以下形式的称为一元多项式回归模型：0111a x a x a x a y n n n n ++++=--例1（多项式回归模型）为了分析X 射线的杀菌作用，用200千伏的X 射线来照射细菌，每次照射6分钟，用平板计数法估计尚存活的细菌数。
照射次数记为t ，照射后的细菌数为y 见表1。
试求：（1）给出y 与t 的二次回归模型。
（2）在同一坐标系内作出原始数据与拟合结果的散点图。
（3）预测16=t 时残留的细菌数。
（4）根据问题的实际意义，你认为选择多项式函数是否合适？表1 X 射线照射次数与残留细菌数程序1 t=1:15;y=[352 211 197 160 142 106 104 60 56 38 36 32 21 19 15]; p=polyfit(t,y,2)%作二次多项式回归 y1=polyval(p,t);%模型估计与作图plot(t,y,'-*',t,y1,'-o');%在同一坐标系中做出两个图形 legend('原始数据','二次函数') xlabel('t(照射次数)')%横坐标名 ylabel('y(残留细菌数)')%纵坐标名 t0=16;yc1=polyconf(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法1 yc2=polyval(p,t0)%预测t0=16时残留的细菌数，方法2 即二次回归模型为：8967.3471394.519897.121+-=t t y图1 原始数据与拟合效果的散点图原始数据与拟合结果的散点图如图所示，从图形可知拟合效果较好。
非线性回归分析简介
非线性回归分析简介非线性回归分析是一种用于建立非线性关系模型的统计方法。
与线性回归不同，非线性回归可以更好地拟合非线性数据，提供更准确的预测结果。
在许多实际问题中，数据往往呈现出非线性的趋势，因此非线性回归分析在实际应用中具有广泛的应用价值。
一、非线性回归模型的基本形式非线性回归模型的基本形式可以表示为：y = f(x, β) + ε其中，y是因变量，x是自变量，β是模型参数，f(x, β)是非线性函数，ε是误差项。
非线性函数可以是任意形式的函数，如指数函数、对数函数、幂函数等。
二、非线性回归模型的参数估计与线性回归不同，非线性回归模型的参数估计不能直接使用最小二乘法。
常见的非线性回归参数估计方法有以下几种：1. 非线性最小二乘法（NLS）非线性最小二乘法是一种常用的参数估计方法，它通过最小化残差平方和来估计模型参数。
具体而言，通过迭代的方式不断调整参数，使得残差平方和最小化。
2. 非线性广义最小二乘法（GNLS）非线性广义最小二乘法是对非线性最小二乘法的改进，它在最小化残差平方和的同时，还考虑了误差项的方差结构。
通过引入权重矩阵，可以更好地处理异方差性的数据。
3. 非线性加权最小二乘法（WNLS）非线性加权最小二乘法是对非线性广义最小二乘法的进一步改进，它通过引入加权矩阵，对不同数据点赋予不同的权重。
可以根据数据的特点，调整权重矩阵，提高模型的拟合效果。
三、非线性回归模型的评估指标在进行非线性回归分析时，需要对模型进行评估，以确定模型的拟合效果。
常见的评估指标有以下几种：1. 残差分析残差分析是一种常用的评估方法，通过分析残差的分布情况，判断模型是否符合数据的分布特征。
如果残差呈现随机分布，说明模型拟合效果较好；如果残差呈现一定的规律性，说明模型存在一定的问题。
2. 决定系数（R-squared）决定系数是衡量模型拟合优度的指标，其取值范围为0到1。
决定系数越接近1，说明模型对数据的解释能力越强；决定系数越接近0，说明模型对数据的解释能力越弱。
非线性回归
非线性回归一、可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。
如下列模型。
εββ++=x e y 10-------（1） εββββ+++++=p p x x x y 2210--------（2） εe ae y bx =--------------------（3） ε+=bx ae y -------------（4）对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。
对于（4）式，当b 未知时，不能通过对等式两边同时取自然数对数的方法将回归模型线性化，只能用非线性最小二乘方法求解。
回归模型（3）可以线性化，而（4）不可以线性化，两个回归模型有相同的回归函数bx ae ，只是误差项ε的形式不同。
（3）式的误差项称为乘性误差项，（4）式的误差项称为加性误差项。
因而一个非线性回归模型是否可以线性化，不仅与回归函数的形式有关，而且与误差项的形式有关，误差项的形式还可以有其他多种形式。
乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。
非线性回归方程、相关性分析专题 高考数学
并求出线性回归方程.
(4)分析拟合效果：通过计算________或画________图来判断拟合效果.
(5)根据相应的变换，写出________方程.
试卷讲评课件
3.常见的变换
(1)已知函数y = ln bx + a ，左右两边同时取e的指数，得________，
选取函数y = m ⋅ x k m＞0, k＞0 作为年广告费用x和年利润额y的回归
类型.令u = lnx, v = lny，则v = lnm + ku，则对数据作出如下处理：
令ui = lnxi , vi = lnyi ，得到相关数据如表所示：
试卷讲评课件
10
10
10
10
i=1
i=1
i=1
i=1
令t =________，得________
(2)已知函数y = kx −1 + c，令t =________，得________
(3)已知函数y = ebx+a ，左右两边同时取e的对数，得________，令t =
________，得________
(4)已知函数y = aebx ，左右两边同时取e的对数，得________，令t =_
过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列；
+ a与ොy = bz
+ a哪个更合适于
模型(给出判断即可，不必说明理由)？并根据你的判断结果求回归方程；
(ොa，b的结果精确到0.1)
试卷讲评课件
(3)根据第(2)问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销
有效的控制.其中，各大药物企业积极投身到新药的研发中.汕头某药企
常见非线性回归模型
常见非线性回归模型1.简非线性模型简介非线性回归模型在经济学研究中有着广泛的应用。
有一些非线性回归模型可以通过直接代换或间接代换转化为线性回归模型, 但也有一些非线性回归模型却无法通过代换转化为线性回归模型。
柯布—道格拉斯生产函数模型εβα+=L AK y其中 L 和 K 分别是劳力投入和资金投入, y 是产出。
由于误差项是可加的, 从而也不能通过代换转化为线性回归模型。
对于联立方程模型, 只要其中有一个方程是不能通过代换转化为线性, 那么这个联立方程模型就是非线性的。
单方程非线性回归模型的一般形式为εβββ+=),,,;,,,(2121p k x x x f y2.可化为线性回归的曲线回归在实际问题当中，有许多回归模型的被解释变量y 与解释变量x 之间的关系都不是线性的，其中一些回归模型通过对自变量或因变量的函数变换可以转化为线性关系，利用线性回归求解未知参数，并作回归诊断。
如下列模型。
（1）εββ++=x e y 10（2）εββββ+++++=p p x x x y 2210（3）ε+=bx ae y(4)y=alnx+b对于（1）式，只需令x e x ='即可化为y 对x '是线性的形式εββ+'+=x y 10，需要指出的是，新引进的自变量只能依赖于原始变量，而不能与未知参数有关。
对于（2）式，可以令1x =x ,2x =2x ,…, p x =p x ,于是得到y 关于1x ,2x ,…, p x 的线性表达式εββββ+++++=p p x x x y 22110对与（3）式，对等式两边同时去自然数对数，得ε++=bx a y ln ln ,令 y y ln =',a ln 0=β,b =1β，于是得到y '关于x 的一元线性回归模型： εββ++='x y 10。
乘性误差项模型和加性误差项模型所得的结果有一定差异，其中乘性误差项模型认为t y 本身是异方差的，而t y ln 是等方差的。
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非线性回归分析
回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。
此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。
通常线性回归分析法是最基本的分析方法，遇到非线性回归问题可以借助数学手段化为线性回归问题处理
两个现象变量之间的相关关系并非线性关系，而呈现某种非线性的曲线关系，如：双曲线、二次曲线、三次曲线、幂函数曲线、指数函数曲线(Gompertz)、S型曲线(Logistic)对数曲线、指数曲线等，以这些
变量之间的曲线相关关系，拟合相应的回归曲线，建立非线性回归方程，进行回归分析称为非线性回归分析
常见非线性规划曲线
1.双曲线1b a yx
2.二次曲线
3.三次曲线
4.幂函数曲线
5.指数函数曲线(Gompertz)
6.倒指数曲线y=a
b/
x
e
其中
a>0，
7.S型曲线(Logistic) y
1 abe
x
8.对数曲线y=a+blogx,x>0
b
x
9.指数曲线y=ae
其中参数a>0
1．回归：
（1）确定回归系数的命令
[beta，r，J]=nlinfit（x,y,’model’,beta0）
（2）非线性回归命令：nlintool（x，y，’model’,beta0，alpha）
2．预测和预测误差估计：
[Y，DELTA]=nlpredci（’model’,x，beta，r，J）
求nlinfit或lintool所得的回归函数在x处的预测值Y及预测值的显著性水平为1-alpha的置信区间Y，DELTA.
例2观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s
关于t的回归方程s?a btct2.
t(s)1/302/303/304/305/306/307/30
s(cm)11.8615.6720.6026.6933.7141.9351.13
t(s)8/309/3010/3011/3012/3013/3014/30
s(cm)61.4972.9085.4499.08113.77129.54146.48
解：
b/x，建立M文件volum.m如下：e
1.对将要拟合的非线性模型y=a
functionyhat=volum(beta,x)
yhat=beta(1)*exp(beta(2)./x);
2．输入数据：
x=2:16;
y=[6.428.209.589.59.7109.939.9910.4910.59
10.6010.8010.6010.9010.76];
beta0=[82]';
3．求回归系数：
[beta,r,J]=nlinfit(x',y','volum',beta0)；
beta
2.
y
11.6036ex即得回归模型为：
4．预测及作图：
[YY,delta]=nlpredci('volum',x',beta,r,J)；
plot(x,y,'k+',x,YY,'r')
2．非线性函数的线性化
曲线方程曲线图形变换公式变换后的线性函数
b y＝ax c＝lna
vlnx
＝
u＝y
ln
u＝cbv
bx y＝ae c＝a
ln
u＝y
ln
u＝cbv
c＝a
ln
y＝a1
b
v
x
x
e
u＝y
ln
u＝cbv
y＝abxvlnx
ln
＝
＝u＝abvuy。