容斥问题公式及运用
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容斥问题公式及运用
在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算,研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1:两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类,那么,先把A、B两个集合的元素个数相加,发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次,所以要减去。
如下图所示。
【示例1】一次期末考试,某班有15人数学得满分,有12人语文得满分,并且有4人语、数都是满分,那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人?
解:数学得满分人数→A,语文得满分人数→B,数学、语文都是满分人数→A∩B,至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23,共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2:三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次,三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示,灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B ∩C都被重复计算了1次,黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次,因此总数A∪B∪C=A+B+C-(A∩B-A∩B∩C)-(B∩C-A∩B∩C)-(C∩A-A ∩B∩C)-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到:
【示例2】某班有学生45人,每人都参加体育训练队,其中参加足球队的有25人,参加排球队的有22人,参加游泳队的有24人,足球、排球都参加的有12人,足球、游泳都参加的有9人,排球、游泳都参加的有8人,问:三项都参加的有多少人?
解:参加足球队→A,参加排球队→B,参加游泳队→C,足球、排球都参加的→A∩B,足球、游泳都参加的→C∩A,排球、游泳都参加的→B ∩C,三项都参加的→A∩B∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
例1 在1到1000的自然数中,能被3或5整除的数共有多少个?不能被3或5整除的数共有多少个?
分析:显然,这是一个重复计数问题(当然,如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数,5的倍数)。
我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素,能“同时被3或5整除的数(15的倍数)”就是被重复计算的数,即“既是A类又是B类的元素”。
求的是“A类或B类元素个数”。
我们还不能直接计算,必须先求出所需条件。
1000÷3=333……1,能被3整除的数有333个(想一想,这是为什么?)同理,可以求出其他的条件。
例2 某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后,有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀,其余每人至少有一项达到了优秀,达到了优秀的这部分学生情况如下表:
求这个班的学生共有多少人?
分析:这个班的学生数,应包括达到优秀和没有达到优秀的。
4+17+18+15-6-6-5+2=39(人)
例 3 在一根长的木棍上有三种刻度线,第一种刻度线将木棍分成10等份,第二种将木棍分成12等份,第三种将木棍分成15等份。
如果沿每条刻度线将木棍锯断,木棍总共被锯成多少段?
分析:很显然,要计算木棍被锯成多少段,只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线,在此基础上加1就是段数了。
若按将木棍分成10等份的刻度线锯开,木棍有9条刻度线。
在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线,显然刻度线有重复的,如5/10和6/12都是1/2。
同样再加上将木棍分成15等份的刻度线,也是如此。
所以,我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。
用容斥原理的那一个呢?想一想,被计数的事物有那几类?每一类的元素个数是多少?
解答:
解一:[10,12,15]=60,设木棍60厘米
60÷10=6厘米,60÷12=5厘米,60÷15=4(厘米
10等分的为第一种刻度线,共10-1=9(条)
12等分的为第二种刻度线,共12-1=11(条)
15等分的为第三种刻度线,过15-1=14(条)
第一种与第二种刻度线重合的[6,5]=30,60÷30-1=2-1=1(条)
第一种与第三种刻度线重合的[6,4]=12,60÷12-1=5-1=4(条)
第二种与第三种刻度线重合的[5,4]=20,60÷20-1=3-1=2(条)
三种刻度线重合的没有,[6、5、4]=60
因此,共有刻度线9+11+14-1-4-2=27条,木棍总共被锯成
27+1=28段。
解二:总长看成单位1分别分成10、12、15段。
1/10与1/12的最小公倍数1/2,1/10与1/15的最小公倍数1/5,1/12与1/15的最小公倍数1/3,1/10,1/12和1/15的最小公倍数为1,有10+12+15-(2+5+3)+1=28
解三:10、12、15的最小公倍数是60,假设木棍就是长60,
1、那么,分成10等份的每份6,刻度就是
0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60
2、分成12等分的每份就是5,
0,5,10,15,20,25,30,35,40,45,50,55,60
3、分成15等分的每份就是4,
0,4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,
56,60
4、把相同刻度的合并,就是有刻度如下:
0,4,5,6,8,10,12,15,16,18,20,24,25,28,30,
32,35,36,40,42,44,45,48,50,52,54,55,56,60。