容斥问题公式及运用

容斥问题公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

一、容斥原理1：两个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

如下图所示。

【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？
解：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。

A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

二、容斥原理2：三个集合的容斥原理
如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。

如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B ∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A ∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

即得到：
【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？
解：参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B ∩C，三项都参加的→A∩B∩C。

三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。

例1 在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？
分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。

我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。

求的是“A类或B类元素个数”。

我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。

1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。

例2 某个班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
求这个班的学生共有多少人？
分析：这个班的学生数，应包括达到优秀和没有达到优秀的。

4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）
例 3 在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种将木棍分成12等份，第三种将木棍分成15等份。

如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？
分析：很显然，要计算木棍被锯成多少段，只需要计算出木棍上共有多少条不同的刻度线，在此基础上加1就是段数了。

若按将木棍分成10等份的刻度线锯开，木棍有9条刻度线。

在此木棍上加上将木棍分成12等份的11条刻度线，显然刻度线有重复的，如5/10和6/12都是1/2。

同样再加上将木棍分成15等份的刻度线，也是如此。

所以，我们应该按容斥原理的方法来解决此问题。

用容斥原理的那一个呢？想一想，被计数的事物有那几类？每一类的元素个数是多少？
解答：
解一：[10，12，15]=60，设木棍60厘米
60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4(厘米
10等分的为第一种刻度线，共10－1=9(条)
12等分的为第二种刻度线，共12－1=11(条)
15等分的为第三种刻度线，过15－1=14(条)
第一种与第二种刻度线重合的[6，5]=30，60÷30－1=2－1=1(条)
第一种与第三种刻度线重合的[6，4]=12，60÷12－1=5－1=4(条)
第二种与第三种刻度线重合的[5，4]=20，60÷20－1=3－1=2(条)
三种刻度线重合的没有，[6、5、4]=60
因此，共有刻度线9+11+14－1－4－2=27条，木棍总共被锯成
27+1=28段。

解二：总长看成单位1分别分成10、12、15段。

1/10与1/12的最小公倍数1/2，1/10与1/15的最小公倍数1/5，1/12与1/15的最小公倍数1/3，1/10，1/12和1/15的最小公倍数为1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28
解三：10、12、15的最小公倍数是60，假设木棍就是长60，
1、那么，分成10等份的每份6，刻度就是
0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，60
2、分成12等分的每份就是5，
0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60
3、分成15等分的每份就是4，
0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，
56，60
4、把相同刻度的合并，就是有刻度如下：
0，4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，
32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，60。