人教八年级数学下册-变量与函数(附习题)

x
3.小明带着10元钱去文具商店买日记本.已 知每本日记售价2元，则小明剩余的钱数y(元) 与所买日记本的本书x(本)之间的关系可以表示 为y=10-2x.在这个关系式中， x、y 是变 量， 10，-2 是常量.
综合应用
随堂演练
如图，在一个半径为18cm的圆面上， 从中心挖去一个小圆面，当挖去小圆的 半径由小变大时，剩下的一个圆环面积 也随之发生变化.在这个变化过程中，变 量有哪些？
你能从中得到什 么结论吗？
定义：一般地，在一个变化过程中， 如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个 确定的值，y都有唯一确定的值与其对应， 那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标
x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，
它们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
解：行驶路程x是自变量，油箱中的油 量y是x的函数，它们的关系为：
y=50-0.1x
像y=50-0.1x这样，用关于自变量的数学 式子表示函数与自变量之间的关系，这种式 子叫做函数的解析式.
0.1x表示什 么意思？
y=50-0.1x
0.1x 表 示 行 驶 过 程 中消耗的总油量.
y 1 2x 1
x为任意实数 ∵x-1≥0
∵2x+1≠0
∴x≥1
∴x≠ - 1
2
3.当x=-3时，函数y=x2-3x-7的函数值为多少？
y=x2-3x-7=(-3)2-3 ×(-3)-7=11
随堂演练
基础巩固
1. 在函数y= - 1 中，自变量x的取值范围是( C ) x2
A. x≠2 B. x≤-2 C. x≠-2 D. x≥-2
不可以.在函数中对于x的每一个确 定的值，y都有唯一确定的值与其对应.
会不会存在自变量x的多个值 对应的函数y的值都相同呢？
会.对于自变量x取不同的数值，与 之对应的y值不一定不同，只要是有唯 一值与之对应即可.
练习
1.下列关系式中，y不是x的函数的是( B )
A.y+x=0
B.|y|=2x
C.y=|2x|
y=50-0.1x
解析：仅从式子y=50-0.1x看，x可以取 任意实数.但是考虑到x代表的实际意义为行 驶路程，因此x不能取负数.行驶中的耗油量 为0.1x，它不能超过邮箱中现有油量50，即： 0.1x≤50.
因此，自变量x的取值范围是0≤x≤500.
像这样，使函数有意义的自变量的取值 叫做自变量的取值范围.
特别 提醒
1.判断一个量是变量还是常量的关键：看 这个量所在的变化过程中，该量的值是否发 生变化(或者是否会取不同的数值).
2.指出一个变化过程中的常量时，应连同 它前面的符号.
基础巩固
随堂演练
1.某人要在规定的时间内加工100个零件，则工作
效率p与时间t之间的关系，下列说法正确的是(C )
A.数100和p，t都是变量 B.数100和p都是常量
(1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？
拓展延伸
提出概念所用的时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
(2)根据表格中的数据，你认为提出
概念所用时间为几分钟时，学生的接受能
力最强？
0=50-0.1x x=500
答：汽车行驶500千米时，油量耗尽.
练习
1.梯形的上底长2cm，高3cm，下底长 xcm大于上底长，但不超过5cm.写出梯形面 积S关于x的函数解析式及自变量x的取值范围.
S=
1 2
(2+x)
×3；
2＜x≤5
2.写出下列函数中自变量x的取值范围.
y=2x-3
y x1
19.1.1 变量与函数
第1课时 变量
新课导入 汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程 为s km，行驶时间为t h.
今在天这我个们过就程来中学，习哪“些变量量变” 化，哪些量不变？
这些量之间有什么关系？
学习目标
知道常量、变量，感受两个变量之间的变 化关系.
推进新课
知识点 1 变量与常量
练习
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是 自变量的函数？试写出函数的解析式.
(1)改变正方形的边长x，正方形的面积S 随之改变.
S=x2 自变量 自变量的函数
练习
(2)每分钟向一水池注水0.1m3，注水量y(单位：
m3)随注水时间x(单位：min)的变化而变化.
自变量
y=0.1x
自变量的函数
(3)秀水村的耕地面积是106m2，这个村人均占有
小圆半径 小圆面积 圆环面积
课堂小结
变量
数值发生变化的量
常量
数值始终不变的量
拓展延伸 心理学家发现，学生对概念的接受能力y
与提出概念所用的时间x(单位：分)之间有如 下关系(其中0≤x≤30)：
提出概念所用的时间(x) 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力(y) 47.8 53.5 56.3 59 59.8 59.9 59.8 58.3 55
2.某地手机通话费为0.2元/min.李明在手 机话费卡中存入30元，记此后他的手机通话 时间为 t min，话费卡中的余额为w元.
变量：通话时间 t min，话费卡中的余额w元； 常量：通话费0.2元/min.
3.水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的 半径为r，圆周长为C，圆周率(圆周长和直径 之比)为π.
D.y=2x2+4
2.下列有序实数对中，是函数y=2x-1中自变量x与
函数值y的一对对应值的是( D )
A.(-2.5，4)
B.(-0.25，0.5)
C.(1，3)
D.(2.5，4)
3.在下表中，设x表示乘公共汽车的站数(站)， y表示应付的票价(元).
பைடு நூலகம்
x(站) 1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
y(元) 1
2.下表是我国人口数统计表，年份与人口数 可以分别记作两个变量x和y.对于表中每一个确定 的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
年份 1984 1989 1994 1999 2010
人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 13.71
1中每个时间x都对应一个生物 电流y；2中每个年份都对应一 个确定的人口数.
(2)汽车行驶200km时，油箱中还有多少汽油？
解析：汽车行驶200km时，油箱中的汽 油量是函数y=50-0.1x在x=200时的函数值.将
x=200带入y=50-0.1x，得：
y=50-0.1×200=30
答：汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.
思考
汽车行驶多少千米 时，油量耗尽？
解析：油量耗尽，也就是说此时 y=0，将y=0带到解析式y=50-0.1x中得：
1
1
2
2
3
3
3
4
4
根据此表，下列说法正确的是( A )
A.y是x的函数
B.y不是x的函数
C.x是y的函数
D.以上说法都不对
知识点 2 函数解析式
例 1 汽车油箱中有汽油50L.如果不 再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随 行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗 油量为0.1L/km.
油箱中的剩油量、 汽车耗油量与油箱中原 有油量之间有怎样的数 量关系？
C.p和t是变量
D.数100和t都是常量
2.分别指出下列式子中的变量和常量：
(1)圆的变周量长l=2π常r(其量中l为周长，r为半径)；
(2)式变子量m=(n-常2)量×18变0°量(m为多边形的内角
和，n为边数)；
变量
常量
变量 常量 (3)若矩形的宽为x，面积为36，则这个矩形的
长为y= 36 . 变量
什么是 函数值？
中国人口数统计表
年份 1984 1989 1994 1999 2010
人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 13.71
如果每你当个发x=年现a时份了y对什=b应么，一？那个么人b叫口做数当自变量 的值为a时的函数值.
思考
给出自变量x的一个值，函数y 可以有两个以上的值吗？
指出下列四个问题中的变量和常量： 常量
1.汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶
路程为skm，行驶时间为th.
变量
变量
常量
2. 电 影 票 的 售 价 为 10 元 / 张 . 第 一 场 售 出
150张票，第二场售出205张票，第三场售出
310张票，三场电影的票房收入各为多少？设
一场电影售出x张票，票房收入为y元，y值随
2.能列出函数解析式表示两个变量之间 的关系.
3.能根据函数解析式求函数自变量的取 值范围.
4.能根据问题的实际意义求函数自变量 的取值范围.
推进新课
知识点 1 函数的概念及函数值
思考下面两个问题， 你学到了什么？
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它 们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
t/h 1 2 3 4 5 s/km 60 120 180 240 300
你发现了什么？
四个问题中每个问题的两个变量相互 联系，当其中一个变量取定一个值时，另 一个变量就有唯一确定的值与其对应.
思考
在圆的面积S和半径r中，r每取一 个值，S都有唯一值与它对应吗？
根 据 圆 的 面 积 计 算 公 式 S=πr2 ， 由 于π为常量，所以r每取一个值，S都有 唯一值与它对应.
变量：半径r，圆周长C； 常量：圆周率π.
4.把10本书随意放入两个抽屉(每个抽屉 内都放)，第一个抽屉放入x本，第二个抽屉 放入y本.
变量：第一个抽屉x本，第二个抽屉y本； 常量：10本书.
想一想
问题1 ~ 4中是否各有两 个变量？同一个问题中的变 量之间有什么联系？
汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路 程为skm，行驶时间为th.填写下表：
13分钟
第2课时 函数
新课导入
上节课我们学习了变量与常量， 这节课我们进一步学习函数及函数自 变量的取值范围问题.
试判断下面所给的两个例子中两 个变量是否也存在一一对应的关系.
1.下图是体检时的心电图，图上点的横坐标x 表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它 们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定 的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
定的值，y都有唯一确定的值与其对应吗？
自变量
y是x的函数
2.下表是我国人口数统计表，年份与人口数
可以分别记作两个变量x和y.对于表中每一个确
定的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
指出下列问题中的自变量以及自变量的函数：
1.汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶路程 为skm，行驶时间为th.
t是自变量，s是t的函数. 2.在我国人口数统计表，年份与人口数可以 分别记作两个变量x和y. x是自变量，y是x的函数.
常量 变量
你能从中发现什么呢？
有些量的数值是变化的，例如 时间t，路程s，售出票数x……
有些量的数值是始终不变的，例如 速度60km/h，票价10元/张……
在一个变化过程中，我们称数值发生变化 的量为变量，数值始终不变的量为常量.
练习 指出下列问题中的变量和常量：
1.某市的自来水价为4元/t.现要抽取若干 户居民调查水费支出情况，记某户月用水量 为x t，月应交水费y元. 变量：月用水量x t，月应交水费y元； 常量：自来水价4元/t.
耕地面积y(单位：m2)随这个村人数n的变化而变化.
自变量的函数
y 106 n
自变量
练习 自变量的函数
(4)水池中有水10L，此后每小时漏水0.05L，
水池中的水量V(单位：L)随时间t(单位：h)的
变化而变化.
自变量
V=10-0.05t
知识点 3 自变量取值范围的确定
例1 汽车油箱中有汽油50L.如果不再 加 油 ， 那x的么取油值箱范中围的？油 量 y( 单 位 ： L) 随 行 驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量 为0.1L/km.
x的值变化而变化吗？ 变量
变量
3.水滴落入水中时，产生圆形水波，水 波随时间慢慢扩大，在这一过程中，当圆的 半径r分别为10cm，20cm，30cm时，圆的面 积S分别为多少？ 常量
变量
4.用10m长的绳子围一个矩形.当矩形的 一边长x分别为3m，3.5m，4m，4.5m时，它 的邻边长y分别为多少？
2.下表是我国人口数统计表，年份与人口数 可以分别记作两个变量x和y.对于表中每一个确定 的年份x，都对应着一个确定的人口数y吗？
年份 1984 1989 1994 1999 2010
人口数/亿 10.34 11.06 11.76 12.52 13.71
学习目标
1.了解函数的概念，知道函数是刻画变 量之间对应关系的数学模型.