大学生数学建模--插值与拟合

主程序
p=1.0; for j=1:n %前j个乘积因子的积 if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j)); end
end s=p*y0(k)+s; %加权求和
x0=[10 11 12 13 14 ]; y0=[2.3026 ,2.3979,2.4849,2. 5649 2.6391]; x=10:0.1:15; y=lagrange(x0,y0,x); plot(x0,y0,’+’,x,y)
6
**参考资料**
Matlab操作： [1]司守奎、孙玺,《数学建模算法与应用》，
国防工业大学出版社。 [4]姜启源，《大学数学实验》
数学原理： [2]韩中庚，《数学建模方法与应用》， [3]《数值分析》
7
课后小作业（每队交一份；两周以后交纸质版）
测得0点到7点气温为（其中4点气温数据缺失） 12，9，9，10，？，18 ，24，28，
end
y(i)=s;
end
12
四.误差估计与龙格现象
• 如果f充分光滑， x
x0 x1
那么可以证明
Y=f(x) y0 y1
存在 (a,b)
使得误差
……. xn …….. yn
Rn ( x)
f ( x) Ln ( x)
f (n1) ( )
(n 1)!
n
( x xi )
i 1
• 随n的增大，误差的绝对值会越来越小吗？
13
四.误差估计与龙格现象
例(龙格(Runge)).
f
(
x)
1
1 25源自文库2
,
1 x 1
• 可以证明对满足|x|>0.73的x，Ln (x) 发散.
14
四.误差估计与龙格现象
避免 Runge 现象的常用方法：
将插值区间分成若干小区间，在小区 间内用低次插值.如分段线性插值、三 次样条插值、分段三次Hermite插值.
1)分别用插值（多种方法）和拟合推测0点到 7点各个时间的温度（以一刻钟为间隔）；
2)用拟合方法推测8点温度。
二.插值方法理论依据
理论依据 定理. 闭区间上的任何连续函数可用多项式函
数逼近.
9
三.拉格朗日多项式插值
x
x0 x1
Y=f(x) y0 y1
……. xn …….. yn
寻找基函数 l0 x,l1 x,l2 x,,ln x
( x xn ) ( xk xn )
11
三.拉格朗日多项式插值
建立m文件
function y=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m %计算第i个格点的函数值 z=x(i); s=0.0; for k=1:n %计算第k个基函数的值
用分段线性插值估计11.5处的函数值
分段线性插值：
clear
matalb调用格式：
x0=[10 11 12 13 14y]i;=interp1(x,y,xi,’linear’)
y0=[2.3026 12.3979 32.4849 22.5649 28.6391 ];
x=10:0.2:15;
y1=interp1(x0,y0,x,’linear’); yy1=interp1(x0,y0,11.5,’linear’); %求11.5处的函数值 plot(x0,y0,’+’,x,y1,11.5,yy1,’rO’) %”+”画曲线，”o”描出 %11.5处的一个点
x xi xi1 xi
xi x xi1
这种插值称为分段线性插值，即“折线段带代替曲 线”.
五.常用分段低次插值
分段线性插值
分段线性 插值特点：
曲线的光滑性较差
在节点处不可导
但如果增加节点的数量 会改善插值效果
运算速度快
例
x 10 11
12 13
14
y 2.3026 12.3979 32.4849 22.5649 28.6391
使得
0, i k
l
(
k
x
i
)
1,
ik
n
则函数(x) l0(x) y0 l1(x) y1 ln(x) yn yklk (x)
k0
满足 (xk ) yk , k 1, 2,..., n
10
三.拉格朗日多项式插值
• 一种表示是
lk
(x)
( x x0 ) ( xk x0 )
( x xk1 )( x xk1 ) ( xk xk1 )( xk xk1 )
• 插值忽略观测误差的影响， • 而拟合考虑观测误差的影响。 • 拟合可以用于“外推”趋势，而插值不行 • 观测误差客观上总是存在，因此要正确揭
示事物的内在规律，需要进一步的统计分 析。
5
**学习目标**
• 理解插值问题和拟合问题；正确地判断、选择 插值或拟合方法。 •了解高次插值的Runge 现象及避免方法。 • 熟悉Matlab中一维插值(interp1) • 熟悉Matlab中多项式拟合(polyfit)、最小二乘曲 线拟合(lsqcurvefit)命令。
2
一.插值问题与拟合问题
对问题1：假设浓度的测量是准确的，浓度随深度连续 变化，则问题1转化为
求连续函数函数p(x)，使p(xi) = yi 。 如果没有现成物理公式可用，或者现有公式都不能很好 的描述浓度变化，或难以进行机理分析，那么
运用插值建模是一种解决办法。
定义.插值问题的提法、插值区间、 插值节点、插值函
例如：做三次样条插值可得
15
四.误差估计与龙格现象
16
五.常用分段低次插值
分段线性插值
设f(x)是定义在[a,b]上的函数，在[a,b]上节点 a= x0< x1<x2<…<xn-1<xn=b,
的函数值为 y0 , y1 ,y2 ,…yn-1 ,yn 。
(x)
yi
x xi1 xi xi1
yi1
数、被插值函数 3
一.插值问题与拟合问题
(2) 估计井下600米处的瓦斯浓度。
若不清楚瓦斯浓度变化的原理，可将其看作随 机变量，“预测未来”，需从整体上描述其变 化趋势，拟合是一种解决办法 根据具体问题的不同，做预测应采用不同方法， 如：
回归分析、人工神经网络、灰色预测、时间序 列分析等
4
一.插值问题与拟合问题
插值与拟合
1
一.插值问题与拟合问题
例. 矿井中某处的瓦斯浓度 y 与该处距地面的 距离x有关，现用仪器测得从地面到井下500米 每隔50米的瓦斯浓度数据(xi,yi) (i=0,1,…,10)， 根据这些数据完成下列工作:
(1) 寻找一个函数，要求由此函数可近似求得 从地面到井下500米之间任意点处的瓦斯浓 度；