第四讲力矩平衡

与杆平行，杆端A点受四个力F1、F2、F3、F4的作用， 力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的
力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关
系是（
）
O’
（A）M1＝M2＞M3＝M4，
（B）M2＞M1＝M3＞M4，
F2 F3 F4
O
（C）M4＞M2＞M3＞M1， F1 （D）M2＞M1＞M3＞M4。 A ’ A
F 乙
解法一：
G（1.5a cos 30－ 0.5a sin30）
＝Fa cos 30 ，
a
a
aA
aG
F
F
甲
乙
G
解法二：
Gcos 301.5a
＝Fa cos 30 ＋G sin30 0.5a
a
a
aA
aG
F
F
甲
乙
G
例4:有四根相同的刚性长薄片A、B、C、D，质量均 为m，相互交叉成井字形，接触点均在各薄片的中点， 放置在一只水平的碗口边（俯视图如图所示），并在D 薄片右端的N点放上质量也为m的小物体，那么D薄片中 点受到的压力为_____________。
15FND＝17mg
FND＝17mg/15
4FNB＝2FNA＋2mg 8FNC＝4FNB＋4mg 16FND＝8FNC＋8mg 2FNA＝FND＋3mg
C
B
D
N
FNA2L＝mg2L＋FNDL＋mgL A
四．动态平衡：
例：如图所示，一根均匀直棒AB，A端用光滑铰链
固定于顶板上，B端搁在一块表面粗糙的水平板上，现
图所示。现用一始终沿直角边AB且作用
在A点的力F，使BC边慢慢地由水平位 B 置转至竖直位置。在此过程中，力F的
C
大小与α角变化的图线是（ ）
F
F
F
F
α
α
α
α
O
90 O
90 O
设板向上运动而棒AB匀速转动，则木板对棒的弹力说法
正确的是
（）
（A）逐渐变大， （B）先变大后变小，
（C）先变小后变大， （D）逐渐变小。
GLG ＋FNLf ＝FNLN
A
FN＝LsiGnL－sinL/c2os ＝1－G/2cot
FN
B Ff G
练习1：一均匀的直角三直形木板 F
ABC，可绕过C点的水平轴转动，如右 A
C
A
O 2m 30 B
4m
8m
解: G1x1＝G22
G1x2＋G22 ＝FT sin 308 x1＝1.2m x2＝0.4m
C
A x1 O 2m 30
G1
G2
BA
C
FT
O x2 30 B
2m G2G1
例2：一杆秤如图，杆及钩的总重为G，秤砣重为P， 已知秤钩与杆的重心到提纽的距离OA和OG，求：（1） 零刻度的位置，（2）证明刻度是均匀的，（3）讨论若
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（2）重力矩的两种计算方法：
M＝G
a 2
sin
a
G
a
G
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（2）重力矩的两种计算方法：
M＝G2
a 2
sin
M＝G
＋
G 4
a
a 2
sin
sin
a
G
a
G/2 G/4
3．力矩的方向： 力分解法：
F1
F
F2
二．平衡与平衡条件： 1．平衡状态：静止或匀速转动。 2．平衡条件：合外力矩为零。
M顺＝M逆
三．力矩平衡条件的应用：
解题步骤： （1）选取研究对象， （2）受力分析（转动轴上的受力不用分 析）， （3）对无明显转动轴的物体还要选取转 动轴 （4）确定力臂、力矩方向，
（5）列方程解。
例1：均匀板重300 N，装置如图，AO长4 m，OB 长8 m，人重500 N，绳子能承受的最大拉力为200 N， 求：人能在板上安全行走的范围。
秤砣换成2P，某刻度的读数是否为原来的两倍？
A GO B
D
P
解：GOG ＝P OC
WOA＋GOG ＝POB ＝POC ＋P CB
WOA＝P CB
A G OC GP
A G OC B
G
P
W
解： GOG ＝2POC’ C’比C点更左些
WOA＋GOG ＝2POB’ ＝2POC’＋2PC’B’
WOA＝2PC’B’ C’B’为CB的一半
因为15x60/x为常数
所以15x＝60/x时
即x＝2m时
F
F有最小值。 Fmin＝60N。
G2 G1
3．如图，重为G、边长为a的均匀正方形板与长为 2a的轻杆相连，支于轻杆中点，在杆的右端施一竖直向 下的力F，使杆水平，求力F的大小，若为使杆与水平方 向成30角，力F又应多大？
a
a
aG
甲
aA F
FNB2L＝FNAL＋mgL
C
2FNB＝FNA＋mg
B
FNB
A
D
N
mg
A
FNA
பைடு நூலகம்
FNA
mg mg
FND
FNB2L＝FNAL＋mgL 2FNB＝FNA＋mg
C
2FNC＝FNB＋mg 2FND＝FNC＋mg
B
D
N
A
FNA2L＝mg2L＋FNDL＋mgL
2FNB＝FNA＋mg 2FNC＝FNB＋mg 2FND＝FNC＋mg 2FNA＝FND＋3mg
A G OC’
A G OC’ B’
G 2P
G
2P
W
解：GOG ＝2POC’ C’比C点更左些
WOA＋GOG ＝2POB’ ＝2POC’＋2PC’B’
WOA＝2PC’B’ C’B’为CB的一半
A G O C’C B’
B
P G
1.如左图匀质直角尺重为2G，C端为水平轴，不计 摩擦，当BC部分处于水平静止时，试求加在A端的最小 作用力。
系是（
）
（A）M1＝M2＞M3＝M4，
（B）M2＞M1＝M3＞M4，
（C）M4＞M2＞M3＞M1， F （D）M2＞M1＞M3＞M4。A ’
1
F2
F3
F4
O’ O
A
2．力矩计算的两种常用等效转化方法：
（1）将力分解后求力矩，
F
L
M＝FL sin
F
F1
L F2
M＝F1L ＝FL sin
练习：如图所示，直杆OA可绕O点转动，图中虚线
有固定转动轴 物体的平衡
一．力矩： M＝FL 1．力臂：
（1）转动轴到力的作用线的垂直距离，
（2）最大可能值为力的作用点到转动轴 的距离。
练习：如图所示，直杆OA可绕O点转动，图中虚线
与杆平行，杆端A点受四个力F1、F2、F3、F4的作用， 力的作用线与OA杆在同一竖直平面内，它们对转轴O的
力矩分别为M1、M2、M3、M4，则它们力矩间的大小关
A
C
B
解： G
L 2
＋GL ＝F
2L F
A
A
C
B
C
GB
2G
G
2．均匀杆，每米长重30 N，支于杆的左端，在离 左端0.2 m处挂一重为300 N的重物，在杆的右端加一竖 直向上的拉力F，杆多长时使杆平衡所需加的拉力F最 小，此最小值为多大？
F
解： Fx＝G1x/2＋G2l ＝x2/2＋G2l
F＝15x＋60/x，