全国中考数学反比例函数的综合中考真题分类汇总附答案

2．如图，已知抛物线 y=﹣x2+9 的顶点为 A，曲线 DE 是双曲线 y= （3≤x≤12）的一部分， 记作 G1 ， 且 D（3，m）、E（12，m﹣3），将抛物线 y=﹣x2+9 水平向右移动 a 个单位， 得到抛物线 G2 ．
（1）求双曲线的解析式； （2）设抛物线 y=﹣x2+9 与 x 轴的交点为 B、C，且 B 在 C 的左侧，则线段 BD 的长为 ________； （3）点（6，n）为 G1 与 G2 的交点坐标，求 a 的值． （4）解：在移动过程中，若 G1 与 G2 有两个交点，设 G2 的对称轴分别交线段 DE 和 G1 于
把（6，2）代入 y=﹣（x﹣a）2+9 得﹣（6﹣a）2+9=2，解得 a=6± ， 即 a 的值为 6± ； （4）抛物线 G2 的解析式为 y=﹣（x﹣a）2+9， 把 D（3，4）代入 y=﹣（x﹣a）2+9 得﹣（3﹣a）2+9=4，解得 a=3﹣ 或 a=3+ ； 把 E（12，1）代入 y=﹣（x﹣a）2+9 得﹣（12﹣a）2+9=1，解得 a=12﹣2 或 a=12+2
交于上 A（m，n）、B，过点 A 的直线交 x 轴正
半轴于点 D，交 y 轴负半轴于点 E，交双曲线
于点 P.
（1）当 m＝2 时，求 n 的值； （2）当 OD：OE＝1：2，且 m＝3 时，求点 P 的坐标； （3）若 AD＝DE，连接 BE，BP，求△ PBE 的面积.
【答案】 （1）解：∵ 点 A（m，n）在双曲线 y＝ 上， ∴ mn＝6， ∵ m＝2，
一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，平行于 y 轴的直尺（一部分）与双曲线 y= （k≠0）（x＞0）相交于点 A、C，与 x 轴相交于点 B、D，连接 AC．已知点 A、B 的刻度分别为 5，2（单位：cm），直尺的宽 度为 2cm，OB=2cm．
（1）求 k 的值； （2）求经过 A、C 两点的直线的解析式； （3）连接 OA、OC，求△ OAC 的面积． 【答案】（1）解：∵ AB=5﹣2=3cm，OB=2cm， ∴ A 的坐标是（2，3），
解析式为 y=﹣ x+5，则 M（a，﹣ a+5），N（a， ），于是利用 MN＜ 得到﹣ a+5
﹣ ＜ ，然后解此不等式得到 a＜4 或 a＞9，最后确定满足条件的 a 的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 y= 的图象与一次函数 y=ax+b 的图象交于点 A（﹣2，3）和点 B（m，﹣2）．
∵ 双曲线的解析式为 y＝ ②，
联立①②解得，
（点 A 的横纵坐标，所以舍去）或
，
∴ P（﹣2，﹣3）；
（3）解：∵ AD＝DE，点 D 在 x 轴坐标轴上，点 E 在 y 轴负半轴上，A（m，n）， ∴ E（0，﹣n），D（ m，0），
∴ 直线 DE 的解析式为 y＝ x﹣n， ∵ mn＝6，
∴ m＝ ，
∵ MN＜ ，
∴ ﹣ a+5﹣ ＜ ， 整理得 a2﹣13a+36＞0，即（a﹣4）（a﹣9）＞0， ∴ a＜4 或 a＞9，
∴ a 的取值范围为 9＜a≤12﹣2 ． 【解析】【解答】解：（2）当 y=0 时，﹣x2+9=0，解得 x1=﹣3，x2=3，则 B（﹣3，0）， 而 D（3，4），
所以 BE=
代入 y= 得 3= ， 解得：k=6 （2）解：OD=2+2=4，
在 y= 中令 x=4，解得 y= ．
则 C 的坐标是（4， ）． 设 AC 的解析式是 y=mx+n，
根据题意得：
，
解得：
，
则直线 AC 的解析式是 y=﹣ x+
（3）解：直角△ AOB 中，OB=2，AB=3，则 S△ AOB= OB•AB= ×2×3=3；
设直线 PQ 的解析式为 y=﹣x+c，
设点 Q（n，﹣ ），
∴ ﹣ =﹣n+c，
∴ c=n﹣ ，
∴ 直线 PQ 的解析式为 y=﹣x+n﹣ ，
∴ P（1，n﹣ ﹣1），
∴ PQ2=（n﹣1）2+（n﹣ ﹣1+ ）2=2（n﹣1）2 ， ∵ A（﹣2，3）．B（3，﹣2）， ∴ AB2=50， ∵ AB=PQ， ∴ 50=2（n﹣1）2 ， ∴ n=﹣4 或 6，
，得
，解得
，
∴ 直线 AB 的表达式为： （2）解：分别过点 A、B 作 AM⊥y 轴，BN⊥y 轴，垂足分别为点 M、N，
则∠ AMO＝∠ BNO＝90°，AM=1，BN=3， ∴ AM//BN，∴ △ ACM∽ △ BCN，
∴ 【解析】【分析】根据反比例函数的解析式可得 m 和 n 的值，利用待定系数法求一次函数 的表达式；作辅助线，构建平行线，根据平行线分线段成比例定理可得结论．
∵ 函数
有-1 和 1 两个不变值，
∴ 其不变长度为 2；
∵ 函数
有 0 和 1 两个不变值，
∴ 其不变长度为 1；
（2）解：① 函数 y=2x2-bx 的不变长度为 0， 方程 2x2-bx=x 有两个相等的实数根，
∴ △ =（b+1）2=0， b=-1，
②∵ 2x2-bx=x，
∴
，
1≤b≤3，
∵ 点 B 在反比例函数 y=﹣ 的图形上， ∴ ﹣2m=﹣6， ∴ m=3， ∴ B（3，﹣2）， ∵ 点 A，B 在直线 y=ax+b 的图象上，
∴
，
∴
，
∴ 一次函数的解析式为 y=﹣x+1
（2）解：∵ 以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是以 AB 为边的平行四边形，
∴ AB=PQ，AB∥ PQ，
轴上，点 E 在 y 轴负半轴上，故 A（m，n），E（0，﹣n），D（ m，0），求得直线 DE
的 解 析 式 为 y ＝ x ﹣ n ， 又 mn ＝ 6 ， 得 y ＝ x ﹣ n ， 与 y ＝ 联 立 得
，即为 P 点坐标，由直线 AB 的解析式为 y＝ x 与双曲线联立解得 B （﹣m，﹣n），再根据 S△ PBE＝ BE×|yE﹣yP|＝ ×m×|﹣n﹣（﹣2n）|求出等于 3.
பைடு நூலகம்
5．如图，在平面直角坐标系 中，直线 A（ ，6）和点 B（-3， ），直线 AB 与 轴交于点 C．
与双曲线
相交于点
（1）求直线 AB 的表达式；
（2）求
的值．
【答案】（1）解：∵ 点 A（ ，6）和点 B（-3， ）在双曲线 ∴ 点 A（1，6），点 B（-3，-2），
，∴ m=1，n=-2，
将点 A、B 代入直线
6．对于某一函数给出如下定义：若存在实数 p，当其自变量的值为 p 时，其函数值等于 p, 则称 p 为这个函数的不变值.在函数存在不变值时,该函数的最大不变值与最小不变值之差 q 称为这个函数的不变长度.特别地,当函数只有一个不变值时,其不变长度 q 为零.例如：下图 中的函数有 0,1 两个不变值,其不变长度 q 等于 1.
∴ Q（﹣4. ）或（6，﹣1） 【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，进而求出点 B 的坐 标，再用待定系数法求出直线解析式；（2）先判断出 AB=PQ，AB∥ PQ，设出点 Q 的坐 标，进而得出点 P 的坐标，即可求出 PQ，最后用 PQ=AB 建立方程即可得出结论．
4．如图，过原点 O 的直线与双曲线
直角△ ODC 中，OD=4，CD= ，则 S△ OCD= OD•CD= ×4× =3．
在直角梯形 ABDC 中，BD=2，AB=3，CD= ，则 S 梯形 ABDC= （AB+DC）•BD= （3+ ）×2=
．
则 S△ OAC=S△ AOB+S 梯形 ABDC﹣S△ OCD=3+ ﹣3= 【解析】【分析】（1）首先求得 A 的坐标，然后利用待定系数法求得函数的解析式； （2）首先求得 C 的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据 S△ OAC=S△ AOB+S 梯形 ABDC﹣S△ OCD 利用直角三角形和梯形的面积公式求解．
∴ y＝ x﹣n③，
∵ 双曲线的解析式为 y＝ ④， 联立③④解得，
∴
（点 A 的横纵坐标，所以舍去）或
，
∴ P（﹣2m，﹣2n），
∵ A（m，n），
∴ 直线 AB 的解析式为 y＝ x⑤.
联立④⑤解得， ∴ B（﹣m，﹣n）， ∵ E（0，﹣n）， ∴ BE∥ x 轴，
（点 A 的横纵坐标，所以舍去）或
∴ S△ PBE＝ BE×|yE﹣yP|＝ ×m×|﹣n﹣（﹣2n）|＝ mn＝3. 【解析】【分析】（1）把 A（2，n）代入解析式即可求出 n；（2）先求出 A 点坐标，设 OD＝a，则 OE＝2a，得 D（a，0），E（0，﹣2a），直线 DE 的解析式为 y＝2x﹣2a，把点 A（3，2）代入求出 a，再联立两函数即可求出交点 P；（3）由 AD＝DE，点 D 在 x 轴坐标
=2 ．
故答案为 2 ；
【分析】（1）把 D（3，m）、E（12，m﹣3）代入 y= 得关于 k、m 的方程组，然后解方 程组求出 m、k，即可得到反比例函数解析式和 D、E 点坐标；（2）先解方程﹣x2+9=0 得 到 B（﹣3，0），而 D（3，4），然后利用两点间的距离公式计算 DE 的长；（3）先利用 反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为（6，2），然后把（6，2）代入 y=﹣（x ﹣a）2+9 得 a 的值；（4）分别把 D 点和 E 点坐标代入 y=﹣（x﹣a）2+9 得 a 的值，则利用 图象和 G1 与 G2 有两个交点可得到 3+ ≤a≤12﹣2 ，再利用待定系数法求出直线 DE 的
1≤ ≤2，
函数 y=2x2-bx 的不变长度的取值范围为 1≤q≤2.
（3）1≤m≤3 或 m<【解析】【解答】解（3）依题可得：函数 G 的图像关于 x=m 对称，
∴ 函数 G：y=
，
当 x2-2x=x 时，即 x（x-3）=0，
∴ x3=0，x4=3，
当（2m-x）2-2（2m-x）=x 时，
∴ n＝3；
（2）解：由（1）知，mn＝6， ∵ m＝3， ∴ n＝2， ∴ A（3，2）， ∵ OD：OE＝1：2， 设 OD＝a，则 OE＝2a， ∵ 点 D 在 x 轴坐标轴上，点 E 在 y 轴负半轴上， ∴ D（a，0），E（0，﹣2a）， ∴ 直线 DE 的解析式为 y＝2x﹣2a， ∵ 点 A（3，2）在直线 y＝2x﹣2a 上， ∴ 6﹣2a＝2， ∴ a＝2， ∴ 直线 DE 的解析式为 y＝2x﹣4①，
M、N 两点，若 MN＜ ，直接写出 a 的取值范围．
【答案】（1）把 D（3，m）、E（12，m﹣3）代入 y= 得
，解得
，
所以双曲线的解析式为 y= ； （2）2
（3）解：把（6，n）代入 y= 得 6n=12，解得 n=2，即交点坐标为（6，2）， 抛物线 G2 的解析式为 y=﹣（x﹣a）2+9，
； ∵ G1 与 G2 有两个交点， ∴ 3+ ≤a≤12﹣2 ， 设直线 DE 的解析式为 y=px+q，
把 D（3，4），E（12，1）代入得
，解得
，
∴ 直线 DE 的解析式为 y=﹣ x+5， ∵ G2 的对称轴分别交线段 DE 和 G1 于 M、N 两点，
∴ M（a，﹣ a+5），N（a， ），
（1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）直线 x=1 上有一点 P，反比例函数图象上有一点 Q，若以 A、B、P、Q 为顶点的四边 形是以 AB 为边的平行四边形，直接写出点 Q 的坐标．
【答案】（1）解：∵ 点 A（﹣2，3）在反比例函数 y= 的图形上， ∴ k=﹣2×3=﹣6，
∴ 反比例函数的解析式为 y=﹣ ，
即 x2+（1-4m）x+（4m2-4m）=0，
∴ △ =（1-4m）2-4×（4m2-4m）=1+8m，
当△ =1+8m 0 时，即 m - ， 此方程无解， ∴ q=x4-x3=3-0=3；
（1）分别判断函数 y=x-1，y=x-1,y=x2 有没有不变值？如果有，直接写出其不变长度； （2）函数 y=2x2-bx.
①若其不变长度为零，求 b 的值； ②若 1≤b≤3,求其不变长度 q 的取值范围； （3）记函数 y=x2-2x(x≥m)的图象为 G1 ， 将 G1 沿 x=m 翻折后得到的函数图象记为 G2 ， 函 数 G 的图象由 G1 和 G2 两部分组成，若其不变长度 q 满足 0≤q≤3,则 m 的取值范围为 ________. 【答案】（1）解：函数 y=x-1 没有不变值；