高中文科数学高考解答题解法总结及专项训练资料

数学解答题是高考数学试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．在高考考场上，能否做好解答题，是高考成败的关键，因此，在高考备考中学会怎样解题，是一项重要的内容．从历年高考看这些题型的命制都呈现出显著的特点和解题规律，从阅卷中发现考生“会而得不全分”的大有人在，针对以上情况，本节就具体的题目类型，来谈一谈解答数学解答题的一般思维过程、解题程序和答题格式，即所谓的“答题模板”．
“答题模板”就是首先把高考试题纳入某一类型，把数学解题的思维过程划分为一个个小题，按照一定的解题程序和答题格式分步解答，即化整为零．强调解题程序化，答题格式化，在最短的时间内拟定解决问题的最佳方案，实现答题效率的最优化． 【常见答题模板展示】 模板一 三角函数的图像与性质
试题特点：通过升、降幂等恒等变形，将所给三角函数化为只含一种函数名的三角函数(一般化为，然后再研究三角函数的性质，如单调性、奇偶
性、周期性、对称性、最值等．
求解策略：观察三角函数中函数名称、角与结构上的差异，确定三角化简的方向． 例1【河北省冀州市高三一轮复习检测一】 已知向量，，设函数． （Ⅰ）求函数取得最大值时取值的集合；
（Ⅱ）设，，为锐角三角形的三个内角.若，，求 的值。

思路分析：（Ⅰ）首先运用三角恒等变换（如倍角公式、两角和与差的正弦余弦公式）对其进行化简，然后运用三角函数的图像及其性质即可得出取得最大值所满足的取值的集合；（Ⅱ）由题意可得然后运用已知条件可得出角的大小，再由同角三角函数的基本关系可得，最后由两角和的正弦公式即可得出所求的结果. 解析：（Ⅰ）sin()(0,0)y
A x k A ωϕω=++≠
≠1
(cos 2,
cos )22
m x x x =-31
(1,
sin cos )22
n x x =-()f x =m n ()f x x A B C ABC 3cos 5B =1
()4
f C =
-sin A ()f x x sin(
2)32
C π-=-C sin B 21
()cos 2cos )2
f x x x x =+-高中文科数学高考解答题解题方法总结
要使取得最大值，须满足取得最小值.
当取得最大值时,取值的集合为
点评：高考对三角函数的图像和性质的考查主要围绕三角函数解析式的确定以及三角函数的周期性、单调性、对称性的展开，本题在三角函数解析式的确定上呈现的非常好. 【规律总结】答题模板
第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋h 的形式． 如：
.
第二步：根据f (x )的表达式求其周期、最值．
第三步：由sin x 、cos x 的单调性，将“ωx ＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题． 第四步：明确规范表述结论．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范. 【举一反三】
1. 【湖北】某同学用“五点法”画函数π
()sin()(0,||)2
f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的
图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
．．．．．．．．．．．()x 的解析式； （Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ
(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若
2231cos 2(sin cos cos )44x x x x x =++13(cos 22)
24x x =--+1sin(2).223x π
=
--()f x sin(2)3x π-∴
22,32x k k ππ-
=π-∈Z.∴,12x k k π
=π-∈Z.∴()f x x {|,}.12
x x k k π
=π-
∈Z ()2sin(2)13
f x x π
=+
+
()y g x =图象的一个对称中心为5π
(
,0)12
，求θ的最小值. 【解析】（Ⅰ）根据表中已知数据，解得π
5,2,6
A ωϕ===-. 数据补全如下表：
且函数表达式为()5sin(2)6
f x x =-.
模板二 三角变换与解三角形
试题特点：题中出现边与角的关系或者给定向量的关系式，利用正、余弦定理或利用向量的运算，将向量式转化为代数式，再进行有关的三角恒等变换解三角形．
求解策略：（1）利用数量积公式、垂直与平行的主要条件转化向量关系为三角问题来解决．（2）利用正、余弦定理进行三角形边与角的互化．
例2 【河北省武邑中学高三上学期期末考试】已知ABC ∆的面积为S ，且S AC AB =⋅. (1)求A 2tan 的值；
(2)若4
π
=
B 3=，求AB
C ∆的面积S .
思路分析：（1）利用平面向量的数量积运算法则及面积公式化简已知等式，求出tan A 的值即可；（2）由tan A 与tan B 的值，利用两角和与差的正切函数公式求出tan C 的值，进而求出
sin C 的值，利用正弦定理求出b 的值，再利用三角形面积公式即可求出S ．
(2)3=-CA CB ，即3==c AB ，∵2tan =A ，2
0π
<
<A ，∴552sin =
A ，5
5
cos =A .
∴10
10
3225522552sin cos cos sin )sin(sin =⋅+⋅=
+=+=B A B A B A C . 由正弦定理知：
5sin sin sin sin =⋅=⇒=B C
c
b B b C
c ， 35523521sin 21=⋅⋅=
=A bc S . 点评：解三角形的两条思路要牢记：边角互化与使用三角恒等变换公式，其中正、余弦定理是常使用的，其作用就是边角互化，用一句话概括：“化边化角整体待，三角变换用起来” 【规律总结】答题模板
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的方向． 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化． 第三步：求结果．
第四步：回顾反思，在实施边角互化的时候应注意转化的方向，一般有两种思路：一是全部转化为边之间的关系；二是全部转化为角之间的关系，然后进行恒等变形. 【举一反三】
【湖南】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，tan a b A =，且B 为钝角. （1）证明：2
B A π
-=
；
（2）求sin sin A C +的取值范围.
模板三 概率的计算问题
试题特点：主要考查古典概型、几何概型，等可能事件的概率计算公式，互斥事件的概率加法公式，对立事件的概率减法公式，相互独立事件的概率乘法公式等内容．
求解策略：（1）搞清各类事件类型，并沟通所求事件与已知事件的联系．（2）涉及“至多”、“至少”问题时要考虑是否可通过计算对立事件的概率求解．（3）在概率与统计的综合问题中，能利用统计的知识提取相关信息用于解题．
例3 【江西省吉安市第一中学高三上学期第四次周考】甲、乙两位同学从,,,A B C D 共四所高校中，任选两所参加自主招生考试（并且只能选两所高校），但同学甲特别喜欢A 高校，他
除选A高校外，再会在余下的3所中随机选1所；同学乙对4所高校没有偏爱，在4所高校中随机选2所.
（1）求乙同学选中D高校的概率；
（2）求甲、乙两名同学恰有一人选中D高校的概率.
思路分析：（1）利用列举法写出乙同学选择高校的所有基本事件，从中找出乙同学选择D高校的基本事件，利用基本事件个数比求概率；（2）根据题意，利用列举法写出甲、乙两位同学选择高校的所有基本事件，从中找出恰有一人选中D高校的基本事件，利用基本事件个数比求概率．
点评：解决概率问题首先要考虑是考查哪种概率类型；其次要弄清互斥事件、相互独立事件的概率计算.
【规律总结】答题模板
第一步：记事件．
第二步：指出事件性质，即指出是互斥事件、相互独立事件，古典概型．
第三步：求各个事件的概率．
第四步：求出所求概率．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．
【举一反三】
【安徽】某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]
（Ⅰ）求频率分布图中a的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.
模板四 立体几何中位置关系的证明及体积的计算问题
试题特点：立体几何解答题主要分两类：一类是空间线面关系的判定和推理证明，主要是证明平行和垂直；另一类是空间几何量(几何体体积与面积)的计算．
求解策略：（1）利用“线线⇔线面⇔面面”三者之间的相互转化证明有关位置关系问题：①由已知想未知，由求证想判定，即分析法与综合法相结合来找证题思路；②利用题设条件的性质适当添加辅助线(或面)是解题的常用方法之一．（2）空间几何量的计算，常用方法是依据公理、定理以及性质等经过推理论证，作出所求几何量并求之．一般解题步骤是“作、证、求”．
例4 【河北省衡水中学高三上学期七调考试】已知在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，若,SB AC SA SC ⊥=. （1）求证：平面SBD ⊥平面ABCD ；
（2）若12,3,cos ,608
AB SB SCB SAC ==∠=-∠=︒，求四棱锥S ABCD -的体积.
思路分析：（1）本题证明面面垂直，比较简单，已经有AC SB ⊥，又有SA SC =，设
AC BD O =，则O 是AC 中点，于是有AC SO ⊥，从而有线面垂直，再有面面垂直；
（2）要求棱锥体积，作SH BD ⊥，垂足为H ，由（1）可得SH 就是四棱锥的高，同样由（1）可得ABCD 是菱形，因此可在SBC ∆中由余弦定理求得SC ，又SAC ∆是正三角形，这样,SO AC 已知了，于是求得BO （ABCD S 可得了），SBO ∆的边BO 边上的高SH 也可求得，从而得体积．
解析：.（1）设AC BD O ⋂=，连接SO ，
,.,SA SC AC SO SB AC SO SB S AC =∴⊥⊥⋂=∴⊥平面SBD ，AC ⊂平面
ABCD ，∴平面SBD ⊥平面ABCD
点评：寻找立体几何的解题思路重点把握好以下几点：一是要有转化与化归的意识，即将线线关系、线面关系、面面关系之间的问题相互转化；二是要有平面化的思想，即将空间问题转化到某一平面处理；三是割补的意识，即将原几何体分割或补形，使之成为新的、更方便处理的几何体；四是要用好向量这个强有力的工具. 【规律总结】答题模板 第一步：根据条件合理转化．
第二步：写出推证平行或垂直所需的条件，条件要充分． 第三步：写出所证明的结论．
第四步：观察几何体的形状，选择求几何体的面积与体积的方法． 第五步：求几何体的面积与体积．
第六步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范． 【举一反三】
【北京】如图，在三棱锥V C -AB 中，平面V AB ⊥平面C AB ，V ∆AB 为等边三角形，
C C A ⊥B
且C C A =B =O ，M 分别为AB ，V A 的中点．
（I ）求证：V //B 平面C MO ； （II ）求证：平面C MO ⊥平面V AB ； （III ）求三棱锥V C -AB 的体积．
模板五 数列通项公式及求和问题
试题特点：数列解答题一般设两到三问，前面两问一般为容易题，主要考查数列的基本运算，最后一问为中等题或较难题，一般考查数列的通项和前项和的求法、最值等问题．如果涉及递推数列，且与不等式证明相结合，那么试题难度大大加强．
求解策略：（1）利用数列的有关概念求特殊数列的通项与前项和．（2）利用转化与化归思想(配凑、变形)将一般数列转化为等差、等比数列(主要解决递推数列问题)．（3）利用错位相减、裂项相消等方法解决数列求和．（4）利用函数与不等式处理范围和最值问题．
n n
例5【江西省吉安市第一中学高三上学期第四次周考】已知数列n a 的前n 项和为n S ，且
21n n S a n N
.
（1）求数列n a 的通项公式；
（2）设+113
1
,log 1
n n n
n
n
b b b
c a n n
，求数列n c 的前n 项和n T .
思路分析：（1）根据11,1
,2n n
n a n a S S n -=⎧=⎨
-≥⎩，即可求出数列n a 的通项公式；（2）由（1）可
得1
,n
b n
，可得11
1
,1
1
n n n
c n
n n n 然后再采用裂项相消即可求出结果. 点评：高考数列大题常常以等差和等比数列为背景进行设置，以递推式为载体，与相关知识交汇的力度在加大，总体上难度有所上升.重点考查仍然是数列的通项、求和、累加法、累乘法、错位相减法、数列与函数的关系、数列与导数的关系、不等式的放缩等. 【规律总结】答题模板
第一步：令n ＝1，由S n ＝f (a n )求出a 1.
第二步：令n ≥2，构造a n ＝S n －S n －1，用a n 代换S n －S n －1(或用S n －S n －1代换a n ，这要结合题目特点)，由递推关系求通项．
第三步：验证当n ＝1时的结论是否适合当n ≥2时的结论． 如果适合，则统一“合写”；如果不适合，则应分段表示． 第四步：写出明确规范的答案．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．本题的易错点，易忽略对n ＝1和n ≥2分两类进行讨论，同时忽视结论中对二者的合并.
【举一反三】
【新课标1】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2
n n a a +=43n S +.
（Ⅰ）求{n a }的通项公式； （Ⅱ）设1
1
n n n b a a +=
,求数列{n b }的前n 项和. 模板六 圆锥曲线中的探索性问题
试题特点：主要考查圆锥曲线的基本概念、标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，涉及弦长、中点、轨迹、范围、定值、最值等问题与探索存在性问题．本模板就探索性问题加以总结
求解策略：突破解答题，应重点研究直线与曲线的位置关系，要充分运用一元二次方程根的判别式和韦达定理，注意运用“设而不求”的思想方法，灵活运用“点差法”解题，要善于运用数形结合思想分析问题，使数与形相互转化，根据具体特征选择相应方法．
例7 【山西省康杰中学等四校高三第二次联考】已知椭圆C ：)0(122
22>>=+b a b
y a x 的离心
率为
3
6
，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆与直线0622=+-y x 相切. （1）求椭圆C 的标准方程;
（2）已知点A,B 为动直线)0)(2(≠-=k x k y 与椭圆C 的两个交点,问:在x 轴上是否存在定点E ,使得AB EA EA ⋅+2
为定值?若存在,试求出点E 的坐标和定值;若不存在,请说明理由. 思路分析：(1）确定椭圆标准方程，一般方法为待定系数法，即列出两个独立条件即可：椭圆C 的长轴长等于圆心到切线的距离，6)
2(262
2
=-+=
a ，又3
6
=
e ，因此c=2, 2222=-=c a b （2）存在性问题，一般从假设存在出发，以算代求：假设x 轴上存在定点
E(m,0), 则EB EA EA AB EA AB EA EA ⋅=⋅+=⋅+)(2
，而
()()()21212211)(,,y y m x m x y m x y m x EB EA +--=-⋅-=⋅=()()()()2222
1212124k x x k m x x k m +-++++,到此，
联立直线方程与椭圆方程方程组，利用韦达定理代入求解得
()()
2
222
31210613m
m k m k
-++-+，要
使上式为定值,即与k 无关,须满足(
)
63101232
2
-=+-m m m ,解得3
7=
m .
(2)由⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(12
622x k y y x 得061212)31(2
222=-+-+k x k x k ,设A(x1,y1)、B(x2,y2),所以2
2212221316
12,3112k
k x x k k x x +-=+=+,根据题意,假设x 轴上存在定点E(m,0),使得EB EA EA AB EA AB EA EA ⋅=⋅+=⋅+)(2
为定值.则
()()()21212211)(,,y y m x m x y m x y m x EB EA +--=-⋅-=⋅=
()()()(
)()()
2
222
2
2
212
212
316
10123421k
m k m m m
k x x m k x x k
+-++-=++++-+要使上式为定值,即与k 无关,(
)
63101232
2
-=+-m m m ,得3
7
=
m . 此时, 9
5622-=-=⋅+m AB EA EA ,所以在x 轴上存在定点E(37
,0) 使得AB EA EA ⋅+2为定值,
且定值为9
5
-.
点评：解答存在性问题时可以考虑特殊化方法和逆推法，此类问题对运算能力要求较高，在运算过程中对式子的整理与变形尤为重要，渗透了函数与方程的思想、数形结合思想、转化与化归思想和分类讨论的数学思想. 【规律总结】答题模板 第一步：假设结论存在．
第二步：以存在为条件，进行推理求解．
第三步：明确规范表述结论．若能推出合理结果，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，
即否定假设．
第四步：反思回顾．查看关键点，易错点及解题规范．常常容易忽略这一隐含条件以及忽略直线AB 与x 轴垂直的情况. 【举一反三】
【北京】已知椭圆C ：()222210x y a b a b
+=>>
，点()01P ，
和点()A m n ，()0m ≠都在椭圆C 上，直线PA 交x 轴于点M ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m ，n 表示）；
（Ⅱ）设O 为原点，点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：y 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
（Ⅱ）
(0,1),(,)P B m n -，直线PB 的方程为：11n
y x m
+=
+，直线PB 与x 轴交于
点N ，令0,1m
y x n
==
+，则(
,0)1m
N n
+.设0(0,)
Q y ,
1tan (1)m
m
n OQM y n y -∠==
-, 00(1)
tan 1y y n ONQ m
m
n
+∠=
=
+,
,tan tan OQM ONQ OQM ONQ ∠=∠∴∠=∠,则
0(1)m
n y =-0
(1)y n m
+，所以222
22
212
m m y n m
===-，（注：点()A m n ，()0m ≠在椭圆C 上，22
12m n +=），则02y =±，存在点Q （0，
2）±使得OQM ONQ ∠=∠. 模板七 函数的单调性、最值、极值问题
试题特点：给定函数含有参数，常见的类型有，
0∆>3
2
()f x ax bx cx d =+++
，，根据对函数求导，按参数进行
分类讨论，求出单调性、极值、最值.
求解策略：（1）求解定义域；（2）求导（含二次函数形式的导函数）；（3）对二次函数的二次项系数、△判别式、根的大小进行讨论.
例7【湖南省长沙市雅礼中学高三月考试卷（三）】已知函数()()2
ln x a f x x
-=
（其中a 为常数）
. （1）当a =0时，求函数的单调区间；
（2）当0<a <1时，设函数()f x 的3个极值点为123,,x x x ，且123x x x <<.
证明：
13x x +>思路分析：(1) ()()
22ln 1'ln x x f x x
-=，令()'0f x =，
可得x =然后列表即可求出结果；
(2)利用导数结合函数()f x 的3个极值点为123x x x ，，，构造函数，利用单调性去判断． 解析：(1) ()()
22ln 1'ln x x f x x
-=
，令()'0f x =
，可得x =列表如下：
单调减区间为(
)(0,1,
；增区间为
)
+∞.
(2) 由题，()()22ln 1'ln a x a x x f x x
⎛⎫
-+
- ⎪⎝⎭
=
，对于函数()2ln 1a
h x x x
=+
-，有()2
2'x a h x x -=
，∴函数()h x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增，∵函数()f x 有3个极值点123x x x <<，从而()min 2ln 1022a a h x h ⎛⎫
==+<
⎪
⎝⎭
，
所以a <当01a <<时，()()2ln 0,110h a a h a =<=-<，∴函数()f x 的递增区间有()1,x a 和()3,x +∞，递减区间有()10,x ，()()3,1,1,a x ，此时，函数()f x 有3个极值点，且2x a =；∴当01a <<时，
2()ln f x ax bx c d x =+++2()()x f x ax bx c e =++
⋅
13,x x 是函数()2ln 1a h x x x =+-的两个零点，即有113
32ln 102ln 10a x x a x x ⎧
+-=⎪⎪
⎨⎪+-=⎪⎩，消去a 有
1113332ln 2ln x x x x x x -=-，令()2ln g x x x x =-在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上递
增，
点评：函数的极值、最值问题常常以含参形式出现，要对参数进行讨论，要熟练掌握函数求导公式、运用导数工具研究单调性的方法. 【规律总结】答题模板 第一步：确定函数的定义域． 第二步：求函数f (x )的导数f ′(x )． 第三步：求方程f ′(x )＝0的根．
第四步：利用f ′(x )＝0的根和不可导点的x 的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列出表格．
第五步：由f ′(x )在小开区间内的正、负值判断f (x )在小开区间内的单调性；求极值、最值． 第六步：明确规范地表述结论．
第七步：反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．常常容易易忽视定义域，对a 不能正确分类讨论.
【举一反三】【山东省日照市高三12月校际联合检测】已知二次函数
（为常数，）的一个零点是.函数()()221r x ax a x b =--+,a b ,0,a R a b R ∈≠∈1
2a
-
，设函数.
（1）求的值，当时，求函数的单调增区间； （2）当时，求函数在区间上的最小值；
（3）记函数图象为曲线C ，设点是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作轴的垂线交曲线C 于点N.判断曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由.
（2）当时，由，得，， ①当，即时，在上是减函数，所以在上的最小值为.②当，
即时，
在上是减函数，在上是增函数，所以的最小值为
.③当，即时，在上是增函数，所以
的最小值为.
综上，函数在上的最小值，
（3）设，则点的横坐标为，直线的斜率 ()ln g x x =()()()f x r x g x =-b 0a >()f x 0a <()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
()y f x =()()1122,,A x y B x y ，x 0a <()0f x '=11
2x a
=-
21x =112a ->102a -<<()f x (0,1)()f x 1[,1]2(1)1f a =-11
122a
≤-≤1
12a -≤≤-()f x 11[,]22a
-1
[,1]2a -()f x 11()1ln(2)24f a a a -=-+-1122a -<1a <-()f x 1[,1]2
()f x 113
()ln 2224
f a =-+()f x 1[,1]2
max
13
ln 2,
12411[f(x)]1ln(2),1a 4211,02a a a a
a a ⎧-+<-⎪⎪
⎪=-+--≤≤-⎨⎪⎪
--<<⎪⎩
00(,)M x y N 12
02
x x x +=
AB 21121y y k x x -=
-2212122112
1
[()(12)()ln ln ]a x x a x x x x x x =
-+--+--
，曲线在点处的切线斜率
，假设曲线在点处的切线平行于直线，则，
即
模板八 含参不等式的恒成立问题
试题特点：主要包括等式恒成立问题和不等式恒成立问题．
求解策略：(1)对于可化为二次函数型的等式与不等式恒成立问题，可借助图象列不等式(组)求解．(2)通过移项，等式或不等式左右两边的函数图象易画，可画图求解．(3)将等式或不等式转化为某含待求参数的函数的值域或最值问题求解．
例8【河北省衡水中学高三上学期七调考试】已知函数()()ln 1f x x x =+-. ⑴求()f x 的单调区间；
⑵若k Z ∈，且()311f x x k x ⎛⎫
-+>-
⎪⎝⎭
对任意1x >恒成立，求k 的最大值； ⑶对于在区间()0,1上任意一个常数a ，是否存在正数0x ，使得()
02
012
f x a e x <-
成立？请说明理由.
思路分析：本题考查考查导数的应用，（1）求函数的单调区间，就是求出导函数'()f x ，然后解不等式'()0f x >（或'()0f x <）得单调增区间（或减区间）；（2）不等式
()311f x x k x ⎛⎫
-+>- ⎪⎝⎭
恒成立问题，化简不等式为ln 30x x x kx k +-+>，为此设
21
1212
ln ln ()(12)]x x a x x a x x -=++-+
-C N 2000
1()2(12)k f x ax a x '==+--
1212
2
()(12)a x x a x x =++--
+C N AB 12k k =
()ln 3g x x x x kx k =+-+，求它的最小值，由最小值大于0得k 的范围，由
'()ln 2g x x k =+-，在1x >时，ln 0x >，因此要分类，2k ≤或2k >，2k ≤时易得单调
性，2k >时，得2
2()()3k k g x g e
k e --==-极小，问题转化为230k k e -->时求k 的最大值，
最终可得结果；（3）探索性问题，假设存在，不等式()
02012f x a e x <-
转化为02001
102x x a x e
++-<，为此只需找到当0x >时，函数()21
102x a x h x x e
+=+-<的最小值()min h x 满足()min 0h x <即可.
⑵由()311f x x k x ⎛
⎫-+>-
⎪⎝⎭变形，得()3ln 11x x x k x ⎛⎫
--+>- ⎪⎝⎭
,整理得
ln 30x x x kx k +-+>，令()()'ln 3,ln 2g x x x x kx k g x x k =+-+∴=+-，1ln 0x x >∴>,若2k ≤时，()'0g x >恒成立，即()g x 在区间()1,+∞上递增，由
()11
10,120222
g k k k >∴+>∴>-∴-<≤,又k Z k ∈∴的最大值为2.若2k >由
2ln 20k x k x e -+->∴>，
由2ln 201k x k x e -+-<∴<<，即()g x 在()21,k e -上单调递减，在区间()
2,k e -+∞上单调递增，所以()g x 在区间()1,+∞上有最小值，为()
223k k g e k e --=-,于是转化为()2
302k k e
k -->>恒成立，求k 的最大值,令
()()2'233x x h x x e h x e --=-∴=-，当2ln3x >+时，()()'0,h x h x <单调递减,当
22ln3x <<+时，()()'0,h x h x >单调递增.()h x ∴在2ln3x =+处取得最大值.
1ln3232ln34<<∴<+<，()()1
130,2ln 333ln 30h h e
=->+=+>,
()()234120,5150h e h e =->=-<，4,k k ∴≤∴的最大值为4.
⑶假设存在这样的0x 满足题意，则由()
()00220001
11022f x x x a a e
x x e
+<-
⇔+-<*,∴要找一个00x >使()*式成立，只需找到当0x >时，函数()21
102x a x h x x e
+=+-<的最小值()min
h x
满足()min 0h x <即可.
()'1x
h x x a e ⎛
⎫=- ⎪
⎝⎭
，令()'10ln x
h x e x a a =∴=∴=-，取0ln x a =-,在00x x <<时，()'0h x <，在0x x >时，
()()()()()2
'0min 0ln ln ln 12
a h x h x h x h a a a a a >∴==-=
-+- 下面只需证明：在01a <<时，
()2
ln ln 102
a a a a a -+-<成立即可.又令()()()2ln ln 1,0,12a p a a a a a a =-+-∈,则()()()2
'1ln 0,2
p a a p a =>∴在()0,1a ∈时
为增函数.()()010,ln p a p x a ∴<=∴=-符合条件，即存在正数0x 满足条件.
点评：高考函数大题的考查，无论如何变化，都离不开函数单调性的研究，因此在备考中就应该紧紧围绕这个中心问题，进行分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想方法的训练和总结.
【规律总结】答题模板
第一步：将问题转化为形如不等式f (x )≥a (或f (x )≤a )恒成立的问题． 第二步：求函数f (x )的最小值f (x )min 或最大值f (x )max . 第三步：解不等式f (x )min ≥a (或f (x )max ≤a )． 第四步：明确规范地表述结论．
第五步：反思回顾．查看关键点、易错点及答题规范．如本题重点反思每一步转化的目标及合理性，最大或最小值是否正确. 【举一反三】【福建】已知函数f()ln(1)x x ，(),(k ),g x kx R
(Ⅰ)证明：当0x
x x 时，f()；
(Ⅱ)证明：当1k 时，存在00x ,使得对0(0),x x 任意，恒有f()()x g x ；
(Ⅲ)确定k 的所以可能取值，使得存在0t ，对任意的(0),x ，t 恒有2|f()()|x g x x ．
(2)令G()f()()ln(1),(0,),x x g x x kx x 则有1
(1k)
()
1+1+kx G x k x x
,
当0k
G ()0x ,所以G()x 在[0,)上单调递增, G()(0)0x G ,故对任意正实数
0x 均满足题意.
当0
1k 时，令()0,x G 得11=
10k x k k ．取01
=1x k
，
对任意0(0,),x x 恒有G ()0x ,所以G()x 在0[0,x )上单调递增, G()(0)0x G ,即f()()x g x .综上，当1k 时，总存在0
0x ,使得对任意的0(0),x x ，恒有f()()x g x ．
(3)当1k 时，由（1）知，对于
(0,),x +
()f()g x x x ，
故()f()g x x ，|f()()|()
()k ln(1)x g x g x f x x x ，
令2
M()k ln(1),[0)x x x x x ，+，则
有21-2+(k-2)1
M ()k
2=,11x x k x x x x
故当22(k 2)8(k 1)
0)k x （，时，
M ()0x ,M()x 在22
(k 2)8(k 1)
[0)k ，
上单调递增，故M()M(0)0x ,即
2|f()()|x g x x ,所以满足题意的t 不存在.当1k 时，由（2）知存在0
0x ,使得对任意
的任意的0(0),x
x ，恒有f()()x g x ．此时|f()()|f()()ln(1)k x g x x g x x x ,令
2
N()ln(1)k ,[0)x x x x x ，+
，则有2'
1
-2-(k+2)1
()2=,
11x x k N x k x x x
故当2(+2(k +2)8(1k)
0)k x ）（，时，N ()0x ,M()x 在
2(2)
(k 2)8(1k)[0)k ，
上单调递增，
故N()(0)0x N ,即2
f()()x g x x ,记0x 与
2(2)
(k 2)8(1k)k 中较小的为1x ，则当2
1(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有，
故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),
x 当+|f()()|()()ln(1)x g x g x f x x x ，令2H()
ln(1),[0)x x x x x ，+
，则有
21
-2H ()12=,11x x
x x x x
当0x 时，H ()0x ,所以H()x 在[0+，）
上单调递减，故H()
(0)0x H ,故当0x 时，
恒有2
|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意.综上，=1k .
2f()()x g x x ,记0x 与
1-k 2
中较小的为1x ，则当2
1(0)|f()()|x x x g x x ，时，恒有，故满足题意的t 不存在.当=1k ，由（1）知，(0,),
x 当+|f()()|()()
ln(1)x g x g x f x x x ，令2M()ln(1),[0)x x x x x =-+-∈∞，+，则有
212M ()12,11x x
x x x x
--'=--=++当0x 时，M ()0x ,所以M()x 在[0+∞，）
上单调递减，故M()
M(0)0x ,故当0x 时，恒有2|f()()|x g x x ,此时，任意实数t 满足题意．综
上，=1k .
模板九 探索创新性问题
试题特点：主要包括两个类型：一是自定义的创新题，二是考查知识交汇渗透的情境创新题． 求解策略：(1)对于自定义的创新题，首先应准确理解新概念、新法则的含义，然后根据新概念、新法则把所求问题转化为我们熟悉的问题求解．
(2)对于情境创新题，既要分析每一个知识点在题目中的作用，又要分析它们的交汇点在哪里，应做到两者的有机结合．
例9 【宿迁市高三年级摸底考试数学试题】已知数列是等差数列，其前n 项和为S n ，若
，．
（1）求；
（2）若数列{M n }满足条件： ，当时，－，其中数列单调递增，且，．
①试找出一组，，使得；
②证明：对于数列，一定存在数列，使得数列中的各数均为一个整数的平方．
{}n a 410S =1391S =n S 11t M S =2n ≥n n t M S =1n t S -{}n t 11t =n t *
∈N 2t 3t 2
213M M M =⋅{}n a {}n t {}n M
思路分析：（1）设数列的首项为，公差为，利用基本量表示有关量进行求解；（2）
①先根据固定，再根据，验证是否存在符合题意；②由①的结论。

先猜后证.
（2）①因为，若，
，因为，所以
，，此方程无整数解；若，，因为，所以
点评：(1)求解时，首先弄清其本质，然后转化为我们熟悉的等差(比)数列．理解E 数列A n 的意义是解题的关键．(2)本题常见的错误：①E 数列A n 的意义不明，无从着手；②在证明充分性时，不能运用不等式的性质去绝对值符号，得到a 2 000≤a 1＋1 999思维受阻． 【规律总结】答题模板
第一步：依据E 数列定义，分别求a 2，a 4，a 5进而写出一个E 数列A 5(不唯一)． 第二步：由A n 的单调性，去绝对值，利用等差数列求a n . 第三步：利用不等式的性质，判定a n ＋1－a n ＝1＞0. 第四步：根据充要条件的意义，得证结论．
{}n a 1a d n t *∈N 2t 2213M M M =⋅3t 111M S ==22,t =221312M S S =-=-=()
33332132
t t t M S S +=-=-2
213M M M =⋅()
331342
t t +-=()33114t t +=23,t =231615M S S =-=-=()33333162
t t t M S S +=-=-2
213M M M =⋅
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点及解题规范．
【举一反三】【重庆南开中学高2015级高三9月月考】已知函数满足对任意实数都有成立，且当时，,. （1）求的值；
（2）判断在上的单调性，并证明；
（3）若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，使得当时，
，则称函数在处连续。

试证明：在处连续．
【解析】（1） ；
（2）设，则 ,在
上单调递增；
；当时，必存在使得 取，则当即时，有,而
, 综上，在
处连续．
1.三角解答题（6道） 1．【江西省南昌市第二中学高三上学期第四次考试】已知向量
．
()f x ,x y ()()()1+=++f x y f x f y 0>x ()1>-f x (1)0=f (5)f ()f x R εσ0||σ-<x x 0|()()|ε-<f x f x ()f x 0=x x ()f x 0=x 1)()1(+=+x f x f 44)1()5(=+=∴f f 21x x >1)(11)()()(22211++->++-=x f x f x x f x f )()(21x f x f >∴)(x f ∴R 1)()1(20-<-<---εεx x f *N ∉ε*,N n N m ∈∈n
m n m 1
11+<≤++
ε11++
=n m σσ<-||0x x 11
110++<-<+--n m x x n m )11()()11(0++<-<+--n m f x x f n m f 1111
)11(-≤-++=++εn m n m f 111
1
)11(--≥-+--=+--εn m n m f 1)(10-<-<--∴εεx x f )(x f 0x x
=)2,1(),sin 2cos ,(sin =-=b a θθθ
（Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求的值．
【用到方法】利用共线向量、三角恒等变换.
2．【湖南省长沙市雅礼中学高三月考试卷（三）】在△ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为
a b c ，，.已知2
cos ,sin 3
A B C ==.
（1）求tan C 的值； （2）若a =
c 的长及ABC ∆的面积.
【解析】(1) ∵2
cos 03
A =
>，∴sin A ==()2
sin sin sin cos sin cos cos sin 33
C B A C A C C A C C ==+=+=
+.整理得：tan C = (2) 由(1)可知sin C =
.又由正弦定理知：sin sinC
a c
A =，故c = 对角A 运用余弦定理：2222cos 23
b c a A bc +-==. ② 解①②得：b =3b =(舍
去). ∴△ABC 的面积为：S =
【用到方法】三角恒等变换，正，余弦定理，解三角形. 3．【湖南师范大学附属中学高三上学期月考（三）】已知函数
b a //θtan a b =)4
2sin(π
θ+
2()sin cos )cos f x x x x x ωωωωλ=+--的图象关于直线x π=对称，其中,ωλ为
常数，且1,12ω⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
． （1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）若存在030,
5x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，使0()0f x =，求λ的取值范围． 【用到方法】利用三角恒等变换求出相应的三角函数，结合整体思想和数形结合思想进行求解.
4．【河北省衡水中学高三上学期一调考试】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，
已知()sin sin 2,2
C B A A A π
+-=≠
.
(1)求角A 的取值范围；
(2)若1a =，ABC ∆的面积1
4
S =
，C 为钝角，求角A 的大小.
【解析】（1）由()sin sin 2C B A A +-=
，得
()()
sin sin cos B A B A A A ++-=，即2sin cos cos B A A A =，因为
cos 0A ≠，所以sin B A =. 由正弦定理，得b =，故A 必为锐角，又
0sin 1B <≤，所以0sin 2A <≤
因此角A 的取值范围为0,4π⎛⎤
⎥⎝⎦
.。