高考数学所有公式及结论总结大全
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高考数学常用公式及结论200条
1
高考数学常用公式及结论200条
集合
● 元素与集合的关系
U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. ● 德摩根公式
();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.
● 包含关系
A B A A B B =?=U U A B C B C A ???? U A C B ?=ΦU C A B R ?=
● 容斥原理
()()card A B cardA cardB card A B =+-
()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-
()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+.
● 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n
–1个;非空的
真子集有2n
–2个.
● 集合A 中有M 个元素,集合B 中有N 个元素,则可以构造M*N 个从集合A 到集合B 的映射;
二次函数,二次方程
● 二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2
()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2
()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. ● 解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式
()N f x M <[()][()]0f x M f x N --<
?|()|22
M N M N
f x +--
()0()f x N M f x ->- ?
11
()f x N M N
>--. ● 方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 要而不是充分条件.特别地, 方程)0(02 ≠=++a c bx ax 有且只有一个实根在),(21k k 内,等价 于0)()(21 b k k <-<+. ● 闭区间上的二次函数的最值 二次函数)0()(2 ≠++=a c bx ax x f 在闭区间[]q p ,上的最值只能在a b x 2- =处及区间的两端点处取得,具体如下: (1)当a>0时,若[]q p a b x ,2∈- =,则{}min max max ()(),()(),()2b f x f f x f p f q a =-=; 高考数学常用公式及结论200条 2 []q p a b x ,2?- =,{}max max ()(),()f x f p f q =,{}min min ()(),()f x f p f q =. (2)当a<0时,若[]q p a b x ,2∈-=,则{}min ()min (),()f x f p f q =,若[]q p a b x ,2?-=,则 {}max ()max (),()f x f p f q =,{}min ()min (),()f x f p f q =. ● 一元二次方程的实根分布 依据:若()()0f m f n <,则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 . 设q px x x f ++=2)(,则 (1)方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件为0)(=m f 或2402 p q p m ?-≥? ?->??; (2)方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为()()0f m f n <或2 ()0()0402 f m f n p q p m n >??>???-≥? ?<-?或()0()0f m af n =?? >?或()0()0f n af m =??>? ; (3)方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402 p q p m ?-≥? ?-? . ● 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L (形如[]βα,,(]β,∞-,[)+∞,α不同)上含参数的二次不等式 (,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是min (,)0()f x t x L ≥?. (2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是(,)0()man f x t x L ≤?. (3)0)(2 4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0 00a b c ≥??≥??>? 或2040a b ac ?- . 高考数学常用公式及结论200条 3 简易逻辑 ● ● 常见结论的否定形式 ● 四种命题的相互关系 ● 充要条件 (1)充分条件:若p q ?,则p 是q 充分条件. (2)必要条件:若q p ?,则p 是q 必要条件. (3)充要条件:若p q ?,且q p ?,则p 是q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 高考数学常用公式及结论200条 4 函数 ● 函数的单调性 (1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->? []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?>--上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []b a x f x x x f x f ,)(0) ()(2 121在?<--上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则) (x f 为减函数. ● 如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数. ● 奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称;在对称区间上,奇函数的单调性相同,欧函数相反;,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于y 轴对称,那么这个函数是偶函数,如果一个奇函数的定义域包括0,则必有f(0)=0; ● 若函数)(x f y =是偶函数,则)()(a x f a x f --=+;若函数)(a x f y +=是偶函数,则 )()(a x f a x f +-=+. ● 对于函数)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函数)(x f 的对称轴是函数 2b a x +=;两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图象关于直线2 b a x +=对称. ● 若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关于点)0,2 (a 对称; 若)()(a x f x f +-=,则函 数)(x f y =为周期为a 2的周期函数. ● 多项式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=+++的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. ● 函数()y f x =的图象的对称性 (1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=- (2)()f a x f x ?-=. 高考数学常用公式及结论200条 5 (2)函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-=. ● 两个函数图象的对称性 (1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. (2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. (3)函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. ● 若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位,得到函数b a x f y +-=)(的图象;若将曲线 0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位,得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. ● 互为反函数的两个函数的关系 a b f b a f =?=-)()(1. ● 若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11 b x f k y -= -,并不是)([1 b kx f y +=-, 而函数)([1 b kx f y +=-是])([1 b x f k y -= 的反函数. ● 几个常见的函数方程 (1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α =,' ()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+, () (0)1,lim 1x g x f x →==. ● 几个函数方程的周期(约定a>0) (1))()(a x f x f +=,则)(x f 的周期T=a ; (2)0)()(=+=a x f x f ,或)0)(() (1 )(≠=+x f x f a x f , 或1()()f x a f x +=-(()0)f x ≠, 或[]1 (),(()0,1)2 f x a f x =+∈,则)(x f 的周期 T=2a ; (3))0)(() (1 1)(≠+- =x f a x f x f ,则)(x f 的周期T=3a ; (4)) ()(1) ()()(212121x f x f x f x f x x f -+=+且1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<,则)(x f 的周期 T=4a ; (5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++ ()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的周期T=5a ; (6))()()(a x f x f a x f +-=+,则)(x f 的周期T=6a. 指数与对数 高考数学常用公式及结论200条 6 ● 分数指数幂 (1)m n a = (0,,a m n N * >∈,且1n >).(2)1m n m n a a - = (0,,a m n N * >∈,且1n >). ● 根式的性质 (1 )n a =.(2)当n a =;当n ,0 ||,0a a a a a ≥?==?- . ● 有理指数幂的运算性质 (1) (0,,)r s r s a a a a r s Q +?=>∈. (2) ()(0,,)r s rs a a a r s Q =>∈. (3)()(0,0,)r r r ab a b a b r Q =>>∈. 注: 若a >0,p 是一个无理数,则a p 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用. ● 指数式与对数式的互化式 log b a N b a N =?=(0,1,0)a a N >≠>. ● 对数的换底公式 log log log m a m N N a = (0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >). 推论 log log m n a a n b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >). ● 对数的四则运算法则 若a >0,a ≠1,M >0,N >0,则 (1)log ()log log a a a MN M N =+;(2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. ● 设函数)0)((log )(2≠++=a c bx ax x f m ,记ac b 42 -=?.若)(x f 的定义域为R ,则0>a , 且0;若)(x f 的值域为R ,则0>a ,且0≥?.对于0=a 的情形,需要单独检验. ● 对数换底不等式及其推广 若0a >,0b >,0x >,1 x a ≠ ,则函数log ()ax y bx = (1)当a b >时,在1(0,)a 和1 (,)a +∞上log ()ax y bx =为增函数. , (2)当a b <时,在1(0,)a 和1 (,)a +∞上log ()ax y bx =为减函数. 推论:设1n m >>,0p >,0a >,且1a ≠,则 (1)log ()log m p m n p n ++<.(2)2 log log log 2 a a a m n m n +<. ● 平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为N ,平均增长率为p ,则对于时间x 的总产值y ,有(1)x y N p =+. 39.数列的同项公式与前n 项的和的关系 11 , 1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =++ +). 高考数学常用公式及结论200条 7 数列 ● 等差数列的通项公式* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈; 其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. ● 等比数列的通项公式1* 11()n n n a a a q q n N q -==?∈; 其前n 项的和公式为 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1 n n a a q q q s na q -?≠? -=??=?. ● 等比差数列{}n a :11,(0)n n a qa d a b q +=+=≠的通项公式为 1(1),1(),11n n n b n d q a bq d b q d q q -+-=?? =+--?≠?-? ; 其前n 项和公式为 (1),(1) 1(),(1)111n n nb n n d q s d q d b n q q q q +-=??=-?-+≠?---? . ● 分期付款(按揭贷款) 每次还款(1)(1)1 n n ab b x b +=+-元(贷款a 元,n 次还清,每期利率为b ). 三角函数 ● 常见三角不等式 (1)若(0, )2x π∈,则sin tan x x x <<.(2) 若(0,)2 x π ∈ ,则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. ● 同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=,tan θ= θ θ cos sin ,tan 1cot θθ?=. ● 正弦、余弦的诱导公式 21 2(1)sin ,sin()2(1)s , n n n co απαα-? -?+=??-? 高考数学常用公式及结论200条 8 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±=. 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-. sin cos a b αα+)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). ● 半角正余切公式:sin sin tan ,cot 2 1cos 1cos α αα ααα = = +- ● 二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.22tan tan 21tan α αα = -. ● 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin()sin()33ππ θθθθθθ=-=-+. 3cos34cos 3cos 4cos cos()cos()33ππ θθθθθθ=-=-+. 323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33 θθππ θθθθθ-==-+-. ● 三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+,x ∈R 及函数cos()y x ω?=+,x ∈R(A,ω,?为常数,且A ≠0,ω>0)的周期2T π ω = ;函数tan()y x ω?=+,,2 x k k Z π π≠+ ∈(A,ω,?为常数,且A ≠0,ω>0)的周期T πω = . ● 正弦定理 2sin sin sin a b c R A B C ===. ● 余弦定理 2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-;2222cos c a b ab C =+-. ● 面积定理 (1)111 222a b c S ah bh ch = ==(a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高). (2)111 sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===. (3)OAB S ?=● 三角形内角和定理 在△ABC 中,有()A B C C A B ππ++=?=-+ 222 C A B π+? =-222()C A B π?=-+. ● 在三角形中有下列恒等式: 高考数学常用公式及结论200条 9 ① sin()sin A B C += ②tan tan tan tan .tan .tan A B C A B C ++= ● 简单的三角方程的通解 sin (1)arcsin (,||1)k x a x k a k Z a π=?=+-∈≤. s 2arccos (,||1)co x a x k a k Z a π=?=±∈≤. tan arctan (,)x a x k a k Z a R π=?=+∈∈. 特别地,有 sin sin (1)()k k k Z αβαπβ=?=+-∈. s cos 2()co k k Z αβαπβ=?=±∈. tan tan ()k k Z αβαπβ=?=+∈. ● 最简单的三角不等式及其解集 sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ>≤?∈++-∈. sin (||1)(2arcsin ,2arcsin ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈--+∈. cos (||1)(2arccos ,2arccos ),x a a x k a k a k Z ππ>≤?∈-+∈. cos (||1)(2arccos ,22arccos ),x a a x k a k a k Z πππ<≤?∈++-∈. tan ()(arctan ,),2 x a a R x k a k k Z π ππ>∈?∈++ ∈. tan ()(,arctan ),2 x a a R x k k a k Z π ππ<∈?∈- +∈. ● 角的变形:2()() 2()()()ααβαββαβαβααββ =-++=+--=+- 向量 ● 实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数,那么 (1) 结合律:λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律:(λ+μ)a =λa +μa;(3)第二分配律:λ(a +b )=λa +λb . ● 向量的数量积的运算律: (1) a ·b= b ·a (交换律);(2)(λa )·b= λ(a ·b )=λa ·b = a ·(λb ); (3)(a +b )·c= a ·c +b ·c. ● 平面向量基本定理 如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1、λ2,使得a=λ1e 1+λ2e 2. 不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. ● 向量平行的坐标表示 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=. ● a 与b 的数量积(或内积) a ·b =|a ||b |cos θ. ● a ·b 的几何意义 数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. ● 平面向量的坐标运算 (1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a+b=1212(,)x x y y ++. 高考数学常用公式及结论200条 10 (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈,则λa=(,)x y λλ. (5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,则a ·b=1212()x x y y +. ● 两向量的夹角公式 cos θ= (a =11(,)x y ,b =22(,)x y ). ● 平面两点间的距离公式 ,A B d =||AB AB AB = ? =11(,)x y ,B 22(,)x y ). ● 向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ,且b ≠0,则 A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=. ● 线段的定比分公式 设111(,)P x y ,222(,)P x y ,(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数,且12PP PP λ=,则 12 1211x x x y y y λλ λλ +?=??+?+?=?+? ?1 21OP OP OP λλ+=+ ?12 (1)OP tOP t OP =+-(1 1t λ=+). ● 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是 123123 ( ,)33 x x x y y y G ++++. ● 点的平移公式 '''' x x h x x h y y k y y k ??=+=-?????=+=-????'' OP OP PP ?=+ . 注:图形F 上的任意一点P(x ,y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ,且' PP 的坐标为(,)h k . ● “按向量平移”的几个结论 (1)点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点' (,)P x h y k ++. (2) 函数()y f x =的图象C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象' C ,则' C 的函数解析式为 ()y f x h k =-+. (3) 图象' C 按向量a =(,)h k 平移后得到图象C ,若C 的解析式()y f x =,则' C 的函数解析式为 ()y f x h k =+-. (4)曲线C :(,)0f x y =按向量a =(,)h k 平移后得到图象'C ,则' C 的方程为(,)0f x h y k --=. (5) 向量m =(,)x y 按向量a =(,)h k 平移后得到的向量仍然为m =(,)x y . ● 三角形五“心”向量形式的充要条件 设O 为ABC ?所在平面上一点,角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ,则 (1)O 为ABC ?的外心2 2 2 OA OB OC ?==. 高考数学常用公式及结论200条 11 (2)O 为ABC ?的重心0OA OB OC ?++=. (3)O 为ABC ?的垂心OA OB OB OC OC OA ??=?=?. (4)O 为ABC ?的内心0aOA bOB cOC ?++=. (5)O 为ABC ?的A ∠的旁心aOA bOB cOC ?=+. 不等式 ● 常用不等式: (1),a b R ∈?2 2 2a b ab +≥(当且仅当a =b 时取“=”号). (2),a b R + ∈? 2 a b +≥当且仅当a =b 时取“=”号). (3)333 3(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>> (4)柯西不等式 22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈ (5)b a b a b a +≤+≤-. ● 极值定理 已知y x ,都是正数,则有 (1)若积xy 是定值p ,则当y x =时和y x +有最小值p 2; (2)若和y x +是定值s ,则当y x =时积xy 有最大值24 1s . 推广 已知R y x ∈,,则有xy y x y x 2)()(2 2+-=+ (1)若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大; 当||y x -最小时,||y x +最小. (2)若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小; 当||y x -最小时, ||xy 最大. ● 一元二次不等式2 0(0)ax bx c ++><或2 (0,40)a b ac ≠?=->,如果a 与2 ax bx c ++同号, 则其解集在两根之外;如果a 与2 ax bx c ++异号,则其解集在两根之间.简言之:同号两根之外,异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <--<<; 121212,()()0()x x x x x x x x x x <>?--><或. ● 含有绝对值的不等式 当a> 0时,有 2 2x a x a a x a -<<. 22x a x a x a >?>?>或x a <-. 75.无理不等式 (1 ()0()0 ()()f x g x f x g x ≥?? >?≥??>? . (22()0 ()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥?≥?? >?≥?? ?>? 或. 高考数学常用公式及结论200条 12 (3 2()0()()0 ()[()]f x g x g x f x g x ≥?? >?? . ● 指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x >?>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>??>? . (2)当01a <<时, ()()()()f x g x a a f x g x >?<; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >?? >?>?? 直线方程 ● 斜率公式 ①21 21 y y k x x -= -(111(,)P x y 、222(,)P x y ).② k=tanα(α为直线倾斜角) ● 直线的五种方程 (1)点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ,且斜率为k ). (2)斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). (3)两点式 11 2121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)). (4)截距式 1x y a b +=(a b 、分别为直线的横、纵截距,0a b ≠、) (5)一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0). ● 两条直线的平行和垂直 (1)若111:l y k x b =+,222:l y k x b =+ ①121212||,l l k k b b ?=≠; ②12121l l k k ⊥?=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零, ①111 12222 ||A B C l l A B C ?=≠ ; ②两直线垂直的充要条件是 12120A A B B +=;即:12l l ⊥?12120A A B B += ● 夹角公式 (1)21 21 tan | |1k k k k α-=+. 高考数学常用公式及结论200条 13 (111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan | |A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1与l 2的夹角是2 π. ● 1l 到2l 的角公式 (1)21 21 tan 1k k k k α-=+. (111:l y k x b =+,222:l y k x b =+,121k k ≠-) (2)1221 1212 tan A B A B A A B B α-=+. (1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠). 直线12l l ⊥时,直线l 1到l 2的角是 2 π. ● 四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()y y k x x -=-(除直线0x x =),其中k 是待定的系数; 经过定点000(,)P x y 的直线系方程为00()()0A x x B y y -+-=,其中,A B 是待定的系数. (2)共点直线系方程:经过两直线1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=的交点的直线系方程为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=(除2l ),其中λ是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线y kx b =+中当斜率k 一定而b 变动时,表示平行直线系方程.与直线 0Ax By C ++=平行的直线系方程是0Ax By λ++=(0λ≠),λ是参变量. (4)垂直直线系方程:与直线0Ax By C ++= (A ≠0,B ≠0)垂直的直线系方程是0Bx Ay λ-+=,λ是参变量. ● 点到直线的距离 d = (点00(,)P x y ,直线l :0Ax By C ++=). ● 0Ax By C ++>或0<所表示的平面区域 设直线:0l Ax By C ++=,若A>0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0Ax By C ++<, 0Ax By C ++>,若A<0,则在坐标平面内从左至右的区域依次表示 0Ax By C ++>,0Ax By C ++<, 可记为“x 为正开口对,X 为负背靠背“。(正负指X 的系数A ,开口对指”<>",背靠背指"><") 85. 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域 设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=(12120A A B B ≠),则 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域是: 111222()()0A x B y C A x B y C ++++>所表示的平面区域上下两部分; 111222()()0A x B y C A x B y C ++++<所表示的平面区域上下两部分. 圆 ● 圆的四种方程 高考数学常用公式及结论200条 14 (1)圆的标准方程 2 2 2 ()()x a y b r -+-=. (2)圆的一般方程 2 20x y Dx Ey F ++++=(224D E F +->0). (3)圆的参数方程 cos sin x a r y b r θ θ=+??=+? . (4)圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). ● 圆系方程 (1)过点11(,)A x y ,22(,)B x y 的圆系方程是 1212112112()()()()[()()()()]0x x x x y y y y x x y y y y x x λ--+--+-----= 1212()()()()()0x x x x y y y y ax by c λ?--+--+++=,其中0ax by c ++=是直线AB 的方程,λ是 待定的系数. (2)过直线l :0Ax By C ++=与圆C :2 2 0x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是 22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=,λ是待定的系数. (3) 过圆1C :22 1110x y D x E y F ++++=与圆2C :222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程 是2222 111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=,λ是待定的系数. ● 点与圆的位置关系 点00(,)P x y 与圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-的位置关系有三种 若d = d r >?点P 在圆外;d r =?点P 在圆上;d r ● 直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 2 2 )()(r b y a x =-+-的位置关系有三种: 0??>相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d . 其中2 2 B A C Bb Aa d +++= . ● 两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为O 1,O 2,半径分别为r 1,r 2,d O O =21 条公切线外离421??+>r r d ; 条公切线外切321??+=r r d ; 条公切线相交22121??+<<-r r d r r ; 条公切线内切121??-=r r d ; 无公切线内含??-<<210r r d . 91.圆的切线方程 (1)已知圆2 2 0x y Dx Ey F ++++=. ①若已知切点00(,)x y 在圆上,则切线只有一条,其方程是 0000()() 022 D x x E y y x x y y F ++++ ++=. 当00(,)x y 圆外时, 0000()() 022 D x x E y y x x y y F ++++ ++=表示过两个切点的切点弦方程. 高考数学常用公式及结论200条 15 ②过圆外一点的切线方程可设为00()y y k x x -=-,再利用相切条件求k ,这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y 轴的切线. ③斜率为k 的切线方程可设为y kx b =+,再利用相切条件求b ,必有两条切线. (2)已知圆222 x y r +=. ①过圆上的000(,)P x y 点的切线方程为2 00x x y y r +=; ②斜率为k 的圆的切线方程为y kx =±. 椭圆 高考数学常用公式及结论200条 16 ● 椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=?. ● 椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 1PF a ex =+,2PF a ex =-,12,F F 分别为左右焦点 ● 焦点三角形:P 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点,则三角形12PF F 的面积S=2 12tan ; 2 PF F b ∠?特别地,若12,PF PF ⊥此三角形面积为2 b ; ● 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上存在点P ,使12PF PF ⊥的条件是c≥b,即椭圆的离心率e 的范 围是2 ; ● 椭圆的的内外部 (1)点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部22 00 221x y a b ? +<. (2)点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200 22 1x y a b ? +>. ● 椭圆的切线方程 (1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b +=. (2)过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00221x x y y a b +=. (3)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222 A a B b c +=. 高考数学常用公式及结论200条 17 双曲线 ● 双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式 21|()|a PF e x c =+,2 2|()|a PF e x c =-. ● 双曲线的内外部 (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22 00 2 21x y a b ? ->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200 22 1x y a b ? -<. ● 双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x (0>λ,焦点在x 轴上,0<λ, 焦点在y 轴上). ● 双曲线的切线方程 (1)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y a b -=. (2)过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y y a b -=. (3)双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22222 A a B b c -=. ● 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b 值) 高考数学常用公式及结论200条 18 抛物线 ● 焦点与半径 22(0),(,0),; 44 (0),(),; 44 a a y ax a x a a ay a =≠=-=≠=-抛物线焦点是准线抛物线x 焦点是0,准线y ● 焦半径公式 抛物线2 2(0)y px p =>,C 00(,)x y 为抛物线上一点,焦半径02 p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=21212 2.对焦点在y 轴上的抛物线有类似结论。 ● 设点方法 抛物线px y 22 =上的动点可设为P 200(,)2y y p 或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ,其中 2 002y px =. ● 二次函数 2 2 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线: (1)顶点坐标为2 4(,)24b ac b a a --; (2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-; (3)准线方程是241 4ac b y a --=. ● 抛物线的内外部 高考数学常用公式及结论200条 19 (1)点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)y px p =>的内部2 2(0)y px p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)y px p =>的外部2 2(0)y px p ?>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部2 2(0)y px p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)y px p =->的外部2 2(0)y px p ?>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =>的内部2 2(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =>的外部2 2(0)x py p ?>>. (4) 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =>的内部2 2(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线2 2(0)x py p =->的外部2 2(0)x py p ?>->. ● 抛物线的切线方程 (1)抛物线px y 22 =上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. (2)过抛物线px y 22 =外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是00()y y p x x =+. (3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是2 2pB AC =. ● 过抛物线 px y 22=(p>0)的焦点 F 的直线与抛物线相交于 2211221212(,)(,),,4, 1 (4 A x y B x y y y p x x p O =-=OA OB 则有即k .K =-为原点) 22112212121 (,)(,),,4,(4 A x y B x y y y p x x p O =-=OA OB 则有即k .K =-为原点) ; 圆锥曲线共性问题 ● 两个常见的曲线系方程 (1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是 12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数). (2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22 2 21x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222 min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线. ● 直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB = 1212||||AB x x y y ==-=- (弦端点A ),(),,(2211y x B y x 高考数学常用公式及结论200条 20 由方程?? ?=+=0 )y ,x (F b kx y 消去y 得到02 =++c bx ax ,0?>,α为直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率) . ● 涉及到曲线上的 点A ,B 及线段AB 的中点M 的关系时,可以利用“点差法:,比如在椭圆中: 112222 112222 2222 22 012122212120(,),(,),M(0,0),: 1(1)1(2)(1)(2)()() A x y B x y x y x y a b x y a b x y y x x b b x x y y a y a +=+=-+-?=?-=?---中点则有 ● 圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=. (2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是 2222 2()2() (,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B ++++- -=++. ● “四线”一方程 对于一般的二次曲线2 2 0Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=,用0x x 代2 x ,用0y y 代2 y ,用 00 2 x y xy +代xy ,用 02x x +代x ,用02y y +代y 即得方程 0000000222 x y xy x x y y Ax x B Cy y D E F ++++?++?+?+=,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方 程均是此方程得到. 立体几何 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径 高三数学必背公式总结 高三数学必背公式总结汇总 一、对数函数 log.a(MN)=logaM+logN loga(M/N)=logaM-logaN logaM^n=nlogaM(n=R) logbN=logaN/logab(a>0,b>0,N>0 a、b均不等于1) 二、简单几何体的面积与体积 S直棱柱侧=c*h(底面周长乘以高) S正棱椎侧=1/2*c*h′(底面的周长和斜高的一半) 设正棱台上、下底面的周长分别为c′,c,斜高为h′,S=1/2*(c+c′)*h S圆柱侧=c*l S圆台侧=1/2*(c+c′)*l=兀*(r+r′)*l S圆锥侧=1/2*c*l=兀*r*l S球=4*兀*R^3 V柱体=S*h V锥体=(1/3)*S*h V球=(4/3)*兀*R^3 三、两直线的位置关系及距离公式 (1)数轴上两点间的距离公式|AB|=|x2-x1| (2) 平面上两点A(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式 |AB|=sqr[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2] (3) 点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式 d=|Ax0+By0+C|/sqr (A^2+B^2) (4) 两平行直线l1:=Ax+By+C=0,l2=Ax+By+C2=0之间的距离d=|C1- C2|/sqr(A^2+B^2) 同角三角函数的基本关系及诱导公式 sin(2*k*兀+a)=sin(a) tan(2*兀+a)=tana sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana sin(2*兀-a)=-sina,cos(2*兀-a)=cosa,tan(2*兀-a)=-tana sin(兀+a)=-sina sin(兀-a)=sina cos(兀+a)=-cosa cos(兀-a)=-cosa tan(兀+a)=tana 四、二倍角公式及其变形使用 1、二倍角公式 sin2a=2*sina*cosa cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2*(cosa)^2-1=1-2*(sina)^2 tan2a=(2*tana)/[1-(tana)^2] 2、二倍角公式的变形 (cosa)^2=(1+cos2a)/2 (sina)^2=(1-cos2a)/2 tan(a/2)=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina 五、正弦定理和余弦定理 正弦定理: a/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理: a^2=b^2+c^2-2bccosA b^2=a^2+c^2-2accosB c^2=a^2+b^2-2abcosC cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac cosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab tan(兀-a)=-tana sin(兀/2+a)=cosa sin(兀/2-a)=cosa 高考数学常用公式及结论200条(一) 湖北省黄石二中 杨志明 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.包含关系 A B A A B B =?= U U A B C B C A ???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 4.容斥原理 ()()card A B cardA cardB card A B =+- ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++- ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+ . 5.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.解连不等式()N f x M <<常有以下转化形式 ()N f x M <[()][()]0f x M f x N --< ?|()|2 2 M N M N f x +-- ()0() f x N M f x ->- ? 11()f x N M N > --. 8.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 最实用最有效的高考数学常用公式及结论 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 2.U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=ΦU C A B R ?= 3.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; ② 顶点式 2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 4.函数单调性的等价定义 设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212 ()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []1212 ()() 0(),f x f x f x a b x x --在上是减函数. 5.利用导数判断函数单调性 设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=. ②函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. ③函数()y f x =图象关于直线y 轴对称?函数()y f x =为偶函数?)()(x f x f -= ④函数()y f x =图象关于原点对称?函数()y f x =为奇函数?)()(x f x f --= 7.函数()y f x =的周期性: ①若()y f x =满足)()(x f T x f =+,则()y f x =的最小正周期是T ②若()y f x =满足) (1 )()()(x f x f T x f T x f =-=-=+,则()y f x =最小正周期是T 2 8.分数指数幂 n m n m a a =(0,,a m n N * >∈,且1n >).1m n m n a a - = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 9.(1)对数概念: log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>;N a N a =log (对数恒等式) (2)对数的运算性质①N M MN a a a log log log += ②N M N M a a a log log log -= ③M n M a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>0 ④log log m n a a n b b m =. 10.常用两个对数等式:②01log =a ③1log =a a 11.11, 1,2 n n n s n a s s n -=?=? -≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =++ +). 高考公式大总结 根式 当n 为奇数时,a a n n =; 当n 为偶数时,???<-≥==0,0,a a a a a a n n . 正数的正(负)分数指数幂: 1.n m n m a a =1,,0(*>∈>n N n m a ,且) 2.n m n m a a 1 = -1,,0(*>∈>n N n m a ,且). 整数指数幂的运算性质: (1)();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=+ (2)() ()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0; (3)()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. (4)();,,0Q s r a a a a s r s r ∈>=÷- 对数 (1)对数的性质: ① N a N a =log ; ② N a N a =log ; ③ a N N b b a log log log = (换底公式); (2)对数的运算法则: ① ();log log log N M MN a a a += ② ;log log log N M N M a a a -= ③ M n M a n a log log =; 错误! M m n M a n a m log log = ① 常用对数:以10为底的对数叫做常用对 数,并把log 10N 记作_lg 10; ② 自然对数:以_e_为底的对数称为自然对 数,并把loge N 记作ln N . 1.同角三角函数的基本关系 1cos sin 22=+αα αααtan cos sin =(Z k k ∈+≠,2 ππ α) 2.诱导公式的规律: 三角函数的诱导公式可概括为:奇变偶不变,符号看 象限.其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π 2 的 奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化.若是奇数倍,则正、余弦互变;若是偶数倍,则函数名称不变.“符号看象限”是把α当锐角时,原三角函数式中的2πα?? + ??? 所在象限的原三角函数值的符号. 二倍角公式: αααcos sin 22sin =; ααα22sin cos 2cos -==1cos 22-α =α2sin 21-; α α α2 tan 1tan 22tan -= 三角恒等变换 ()βαβαβαsin cos cos sin sin ±=±; ()βαβαβαsin sin cos cos cos =±; ()β αβ αβαtan tan 1tan tan tan ±= ±; 解三角形 1.正弦定理: R C c B b A a 2sin sin sin === 正弦定理的三种变式: 高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积,表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内,都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论:在ABC △内,若tan A +tan B +tan C <0,则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线,两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法:隐函数求导 推论:①过圆222)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为2 00))(())((r b y b y a x a x =--+-- ①过椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ①过双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程:平面内一点引曲线的两条切线,两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ①椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ①双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x ①抛物线)0(22 >=p px y 的切点弦方程为)(00x x p y y += ①二次曲线的切点弦方程为02 22000000=++++++++F y y E x x D y Cy x y y x B x Ax 9.①椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =+ ②双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线)0·(0≠=++B A C By Ax 相切的条件是22222C b B a A =- 高考数学常用公式集锦(2007.2) 1. B 符合 A B ;B 符合 A∪B=A ;B 符合 A B。 2 A BAABBABC U BC U A A C U B C U ABR 3. 若A={ a1, a2 , a3 a n}, 则A的子集有2n个 , 真子集有 ( 2n- 1) 个 , 非空真子集有 ( 2n- 2) 个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式 f (x) ax2bx c(a 0) ;②顶点式 f ( x) a( x h)2k(a0) ; ②函数 y f (mx a) 与函数 y f (b mx) 的图象关于直线 x a b 对称 . 2m 特殊地 : y f ( x a) 与函数 y f ( a x) 的图象关于直线x a 对称 ③函数 y f ( x) 的图象关于直线 x a 对称的解析式为y f (2a x) ④函数 y f ( x) 的图象关于点 ( a,0) 对称的解析式为y f (2a x) ⑤函数 y f (x) 和 y f 1 ( x) 的图象关于直线y=x对称. m n a m( a 8. 分数指数幂 a n 0, m, n N ,且n 1 ). m 1 a n ( a 0, m, n N ,且 n 1 ). ③零点式 f ( x) a(x x1 )( x x2 )(a 0) . 三次函数的解析式的三种形式①一般式f ( x) ax3 bx2 ②零点式 f ( x) a(x x1)( x x2 )( x x3 )(a 0) 5.设 x 1 x 2 a,b , x1 x2那么( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f (x2 ) x1 x2 0 数; ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x1 ) f (x2 ) x1 x2 0 cx d (a0) f ( x)在 a,b 上是增函 f ( x) 在 a,b 上是减函 m a n a b 9. log a N b N (a 0, a 1,N 0) . log a M log a N log a MN ( a 0.a 1,M 0, N 0) log a M log a N log a M (a 0.a 1,M 0, N 0) N log m N . 推论log a m b n n log a b . 10. 对数的换底公式log a N log m a m 对数恒等式a log a N N ( a 0, a 1 ) 数 . 设函数 y f (x) 在某个区间内可导,如果 f ( x)0 ,则 f ( x) 为增函数;如果 f (x) 0,则 f (x) 为减函数. 6. 函数y f ( x) 的图象的对称性: 11. a s1, n 1 a1 a2 a n). (数列 { a n} 的前n项的和为 s n n s n s n 1 , n 2 12. 等差数列a n 的通项公式 a n a1 ( n 1)d dn a1 d (n N*); ①函数y f (x) 的图象关于直线 x a f ( a ) x ( f fa( 2ax x) f x ②函数y f ( x) 的图象关于直 a b x f ( a ) x ( f f b( a x b ) x.( f 2 x ③函数 y f ( x) 的图象关于点 (a,0) 对称 f (x) f (2a x) 函数 y f ( x) 的图象关于点 ( a,b) 对称 f (x) 2b f (2a x) 7.两个函数图象的对称性 : ①函数 y f ( x) 与函数 y f ( x) 的图象关于直线x0 (即 y 轴)对称. 对称13. 等差数列a n 的变通项公式a n a m (n m)d 对于等差数列a n ,若 n m p q ,(m,n,p,q为正整数)则a n a m a p a q。对称14.若数列a n 是等差数列,S n 是其前n 项的和,k N *,那么 S k, S2 k S k ,S 3 k S2 k成等差数列。如下图所示: S 3 k a1 a2 a3 a k a k 1 a 2k a 2k 1 a 3k S k S 2 k S k S 3 k S 2 k 高考理科常用数学公式总结 1. 德摩根公式: ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2. U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ 3. ()()card A B cardA cardB card A B =+- 含有n 个元素的集合的子集个数为2n ,真子集个数为21n -. 4. 二次函数的解析式的三种形式: ①一般式:2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; ② 顶点式:2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式:12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5. 函数单调性:设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []1212 ()()0(),f x f x f x a b x x --在上是减函数. 设函数)(x f y =在某个区间D 内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如 果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. 6. 函数()y f x =的图象的对称性: 奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y 轴对称. ① 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=. ②函数()y f x =的图象关于直线 2 a b x += 对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称,则()(2)2f x f a x b +-=. 7. 两个函数图象间的对称性: ① 函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ② 函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于原点对称. ③ 函数()y f x a =-与函数()y f b x =-的图象关于直线2 a b x += 对称. 8. 分数指数幂 m n a = 0,,a m n N * >∈,且1n >). 1 m n m n a a -= (0,,a m n N * >∈,且1n >). 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. 10.log log log ,log log log a a a a a a M M N M N M N N +=-=,log log n a a M n M =, 对数的换底公式 log log log m a m N N a = .推论 log log m n a a n b b m = . 11log log log a a a N N N ==-. 文科高考数学必背公式 文科高考数学必背公式 高中数学诱导公式全集: 常用的诱导公式有以下几组: 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系:sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα 高中数学公式大全(必备版) 高中数学公式大全(必备版) 篇一 篇二 篇三 公式一: 设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二: 设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三: 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四: 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五: 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六: π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意:在做题时,将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为: 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值, ①当k是偶数时,得到α的同名函数值,即函数名不改变; ②当k是奇数时,得到α相应的余函数值,即sin→cos;cos→sin;tan→cot;cot→tan(奇变偶不变),然后在前面加上把α看成锐 高中数学常用公式精华总结 1. 元素与集合的关系 U x A x C A ∈??,U x C A x A ∈??. 2.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 3.集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n 个;真子集有2n –1个;非空子集有2n –1个;非空的真子集有2n –2个. 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.方程0)(=x f 在),(21k k 上有且只有一个实根,与0)()(21 高考数学必背公式大全 由于高中数学公式很多,同学们复习的时候不方便查阅,下面是我给大家带来的高考必背数学公式,希望能帮助到大家! 高考必背数学公式1 两角和公式 sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosa cos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinb tan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatanb ) ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga ) 倍角公式 tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a 半角公式 sin(a/2)=√((1-cosa)/2)sin(a/2)=-√((1-cosa)/2) cos(a/2)=√((1+cosa)/2)cos(a/2)=-√((1+cosa)/2) tan(a/2)=√((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-√((1-cosa)/((1+cosa)) ctg(a/2)=√((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-√((1+cosa)/((1-cosa)) 高考必背数学公式2 和差化积 1、2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b) 2、2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b) 3、sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4、tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosb 5、ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb 等差数列 1、等差数列的通项公式为: an=a1+(n-1)d(1) 2、前n项和公式为: Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出,an是n的一次数函(d≠0)或常数函数(d=0),(n,an)排在一条直线上,由(2)式知,Sn是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0,a1≠0),且常数项为0. 在等差数列中,等差中项:一般设为Ar,Am+An=2Ar,所以Ar为Am,An的等差中项. , 且任意两项am,an的关系为: an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式. 3、从等差数列的定义、通项公式,前n项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1,k∈{1,2,…,n} 高考数学常用公式(2020.11.10) 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==I U U I . 2.U U A B A A B B A B C B C A =?=????I U U A C B ?=ΦI U C A B R ?=U 3.()()card A B cardA cardB card A B =+-U I ()()card A B C cardA cardB cardC card A B =++-U U I ()()()()card A B card B C card C A card A B C ---+I I I I I . 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []1212 ()() 0(),f x f x f x a b x x --在上是减函数. 设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则 )(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②函数()y f x =的图象关于直线2 a b x += 对称()()f a mx f b mx ?+=-()()f a b mx f mx ?+-=. 7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴) 对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称.③函数 )(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 1 m n m n a a - = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. 10.对数的换底公式 log log log m a m N N a = .推论 log log m n a a n b b m =. 11.11 , 1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++L ). 12.等差数列的通项公式* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈; 其前n 项和公式 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-. 高考必背数学公式结论大全 1. ,. 2.. 3. 4.集合的子集个数共有个;真子集有个;非空子集有 个;非空的真子集有个. 5.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式; (2)顶点式;当已知抛物线的顶点坐标时,设为此式 (3)零点式;当已知抛物线与轴的交点坐标为 时,设为此式 4切线式:。当已知抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,设为此式 6.解连不等式常有以下转化形式 . 7.方程在内有且只有一个实根,等价于 或。 8.闭区间上的二次函数的最值 二次函数在闭区间上的最值只能在 处及区间的两端点处取得,具体如下: (1)当a>0时,若,则; ,,. (2)当a<0时,若,则, 若,则,. 9.定区间上含参数的不等式恒成立(或有解)的条件依据 (1)在给定区间的子区间形如,,不同上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (2)在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)恒成立的充要条件是。 (3) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)的有 解充要条件是。 (4) 在给定区间的子区间上含参数的不等式(为参数)有解的充要条件是。 对于参数及函数.若恒成立,则;若 恒成立,则;若有解,则;若有解,则 ;若有解,则.若函数无最大值或最小值的情况,可以仿此推出相应结论 10.如果函数和都是减函数,则在公共定义域内,和函数也 是减函数; 如果函数和都是增函数,则在公共定义域内,和函数 也是增函数; 如果函数和在其对应的定义域上都是 减函数,则复合函数是增函数;如果函数和在其对 应的定义域上都是增函数,则复合函数是增函数;如果函数 和在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数,则复合函数 是减函数. 11.常见函数的图像: 12.若,则函数的图象关于点对称; 若,则函数为周期为的周期函数. 高考数学常用结论集锦 一. 函数 1.函数 ()y f x =的图象的对称性: ①. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②. 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ?=-- 2.两个函数图象的对称性: ①. 函数 ()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②. 函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③. 函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④. 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =. 推论 log log m n a a n b b m =. 对数恒等式log a N a N =(0,1a a >≠) 4. 导数: ⑴导数定义:f(x)在点x 0处的导数记作x x f x x f x f y x x x ?-?+='='→?=)()(lim )(000 00 ; ⑵常见函数的导数公式: ①' C 0=;②1')(-=n n nx x ;③x x cos )(sin '=;④. x x sin )(cos '-=; ⑤a a a x x ln )(' =;⑥x x e e =')(;⑦'1(log )log a a x e x =;⑧. x x 1)(ln '= ; ⑶导数的四则运算法则:;)(;)(;)(2 v v u v u v u v u v u uv v u v u '-'=''+'=''±'='± 二.数列 1. 若数列 {}n a 是等差数列,n S 是其前 n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等差数列。如图所示: k k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+21 1()22d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ,等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ,则'1 212--=n n n n S S b a 。 等比数列 {}n a 的通项公式1*11()n n n a a a q q n N q -== ?∈;等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -= 其前n 项的和公式 11 (1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠? -=??=? 三.三角函数 1. 同角三角函数的基本关系式 2 2sin cos 1θθ+=,tan θ=θ θ cos sin ,tan 1cot θθ ?=2 211tan cos αα += 2. 正弦、余弦的诱导公式: 2 12(1)sin ,sin()2(1)s ,n n n n co n απαα-?-?+=??-?为偶数为奇数 212(1)s ,s()2(1)sin ,n n co n n co n απαα+?-?+=??-? 为偶数为奇数 即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()sin ,sin()cos 22 sin()sin ,cos()cos π π ααααπααπαα +=-+ =-=-=- 3. 和角与差角公式:sin()sin cos cos sin α βαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= . 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B == . 2U U A B A A B B A B C B C A =?=???? U A C B ?=Φ U C A B R ?= 3. 若A={123,,n a a a a },则A的子集有2n 个,真子集有(2n -1)个,非空真子集有(2n -2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠ 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数; []1212()()()0x x f x f x -- []1212 ()() 0(),f x f x f x a b x x --在上是减函数. 设函数)(x f y =在某个区间内可导,如果0)(>'x f ,则)(x f 为增函数;如果0)(<'x f ,则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性: ①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-= ②函数()y f x =的图象关于直2 a b x +=对称()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?=-- 函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ? =-- 7.两个函数图象的对称性: ①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m += 对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =0,,a m n N *>∈,且1n >). 1 m n m n a a - = (0,,a m n N * >∈,且1n >). 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>. log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>> log log log a a a M M N N -=(0.1,0,0)a a M N >≠>>高三数学必背公式总结
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