贪心算法经典例题

贪心算法经典例题

引言

贪心算法是一种常见的算法策略，它在求解问题时每一步都选择当前状态下的最优解，从而最终得到全局最优解。本文将介绍一些经典的贪心算法例题，帮助读者更好地理解贪心算法的思想和应用。

背景知识

在讨论贪心算法之前，我们先了解一些背景知识。

1. 贪心算法的特点

贪心算法具有以下特点： - 每一步都选择当前状态下的最优解； - 不进行回溯；- 不保证能得到全局最优解，但通常能得到较优解； - 算法运行效率高。

2. 贪心算法的适用情况

贪心算法适用于满足以下条件的问题： - 具有最优子结构性质：问题的最优解包含子问题的最优解； - 贪心选择性质：局部最优解能导致全局最优解； - 没有后效性：当前的选择不会影响后续的选择。

经典例题1：找零钱问题

问题描述

假设有1元、5元、10元、20元、50元、100元面值的纸币，如何用最少的纸币数量找零给顾客？

对于找零问题，贪心算法可以得到最优解。具体步骤如下： 1. 首先，我们选择最大面额的纸币进行找零。 2. 然后，将选择的纸币数量减去顾客需找的金额，得到剩余金额。 3. 重复步骤1和步骤2，直到剩余金额为0。

实现代码

int[] denominations = {100, 50, 20, 10, 5, 1};

int[] counts = new int[denominations.length];

int amount = 168;

for (int i = 0; i < denominations.length; i++) {

counts[i] = amount / denominations[i];

amount %= denominations[i];

}

System.out.println("找零纸币面额及数量：");

for (int i = 0; i < denominations.length; i++) {

if (counts[i] > 0) {

System.out.println(denominations[i] + "元：" + counts[i] + "张");

}

}

分析与总结

通过贪心算法，我们可以得到找零纸币的最优解。贪心算法的思想是选择当前状态下的最优解，而并不关心后续的选择。在找零问题中，每一步我们都选择面额最大的纸币进行找零，从而得到最少的纸币数量。然而，贪心算法并不能保证能得到全局最优解，对于其他类型的找零问题可能需要使用其他算法。

经典例题2：活动选择问题

问题描述

某个项目需要占用同一资源的若干活动，每个活动都有一个开始时间和结束时间。如何安排这些活动，使得能够安排的活动数量最大？

活动选择问题可以通过贪心算法得到最优解。具体步骤如下： 1. 按照活动的结束时间对活动进行排序，选择结束时间最早的活动。 2. 将选择的活动加入最终的活动集合中。 3. 排除与已选择的活动相互冲突的活动。 4. 重复步骤1、步骤2和步骤3，直到所有活动都排完。

实现代码

class Activity implements Comparable {

int start;

int end;

public Activity(int start, int end) {

this.start = start;

this.end = end;

}

@Override

public int compareTo(Activity o) {

return this.end - o.end;

}

}

public static int maxActivities(Activity[] activities) {

Arrays.sort(activities);

List selected = new ArrayList<>();

selected.add(activities[0]);

for (int i = 1; i < activities.length; i++) {

if (activities[i].start >= selected.get(selected.size() - 1).end) {

selected.add(activities[i]);

}

}

return selected.size();

}

public static void main(String[] args) {

Activity[] activities = {

new Activity(1, 4),

new Activity(3, 5),

new Activity(0, 6),

new Activity(5, 7),

new Activity(3, 8),

new Activity(5, 9),

new Activity(6, 10),

new Activity(8, 11),

new Activity(8, 12),

new Activity(2, 13),

new Activity(12, 14)

};

int max = maxActivities(activities);

System.out.println("最多可以安排的活动数量为：" + max);

}

分析与总结

通过贪心算法，我们可以得到活动选择问题的最优解。贪心算法的思想是选择当前状态下的最优解，从而得到全局最优解。在活动选择问题中，每一步我们选择结束时间最早的活动，并排除与已选择的活动相互冲突的活动，最终得到能够安排的最多活动数量。贪心算法的优势是运行效率高，但并不能保证能得到全局最优解，对于其他类型的活动选择问题可能需要使用其他算法。

经典例题3：区间调度问题

问题描述

给定几个区间，要求选择尽可能多的区间，使得它们互不重叠。

解题思路

区间调度问题可以通过贪心算法得到最优解。具体步骤如下： 1. 按照区间的结束时间对区间进行排序，选择结束时间最早的区间。 2. 将选择的区间加入最终的区间集合中。 3. 排除与已选择的区间相互重叠的区间。 4. 重复步骤1、步骤2和步骤3，直到所有区间都处理完。

实现代码

class Interval implements Comparable {

int start;

int end;