2018-2019学年高二上学期开学考试数学试题

一、选择题（本大题共12小题，毎小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知全集U ={1，2，3，4，5}，A ={1，3}，则U A C =（ ）

A ．∅

B ．{1，3}

C ．{2，4，5}

D ．{1，2，3，4，5}

2．下列函数中，既是奇函数又在（0，+∞）单调递增的是（ ）

A ．x x y e e -=+

B ．()

ln 1y x =+

C ．sin x

y x

=

D ．1y x x

=-

3．若3

4

12a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12

34b ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

，c =log 23，则a ，b ，c 大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．b ＜c ＜a D ．c ＜b ＜a

4．已知α为第二象限的角，且3

tan 4

α=-

，则sinα+cosα=（ ） A ．75- B ．34- C ．15- D ．15

5．已知△ABC 的边BC 上有一点D 满足3BD DC =，则AD 可表示为（ ） A ．

23AD AB AC =-+ B ．

31

44

AD AB AC =

+ C ．13

44

AD AB AC =

+ D ．21

33

AD AB AC =

+ 6．一个几何体的三视图如图，其左视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）

A ．

(4

3

π+ B ．

(86

π+ C ．

(83

π+ D ．(4π+7．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知a 1=S 3=3，则S 4的值为（ ） A ．﹣3

B ．0

C ．3

D ．6

8．设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且 a =1，B =2A ，则b 的取值范围为（ ）

A ．

B ．(

C ．

)

2 D ．()0,2

9．已知变量x ，y 满足约束条件206010x y x y x -+≤⎧⎪

+-≤⎨⎪-≥⎩

，则2x ﹣y 的最小值是（ ）

A ．2

B ．﹣2

C ．﹣3

D ．﹣1

10．若直线220mx ny --=（m ＞0，n ＞0）过点（1，﹣2），则

12

m n

+最小值（ ） A ．2

B ．6

C ．12

D ．3+2

11．已知函数()11x x f x e e +-=+，则满足()221f x e -<+的x 的取值范围是（ ）

A ．x ＜3

B ．0＜x ＜3

C ．1＜x ＜e

D ．1＜x ＜3

12．设等差数列{}n a 满足222222

222727

18sin cos cos cos sin sin 1sin()

a a a a a a a a -+-=+，公差

()1,0d ∈-，若当且仅当n =11时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范

围是（ ）

A ．9,10ππ⎛⎫

⎪⎝⎭ B ．11,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．9,10ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

D ．11,10π

π⎛⎫

⎪⎝⎭

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．设向量()1,0a =，()1,b m =-．若()

a ma

b ⊥-，则m = ． 14．已知1cos 123πθ⎛⎫-=

⎪⎝⎭，则5sin 12πθ⎛⎫

+ ⎪⎝⎭

的值是 ． 15．函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0≤φ＜2π）在R 上的部分图象如图所示，则f （2018）的值为 ．

16．已知直线l

：30mx y m ++=与圆x 2+y 2=12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D

两点，若AB =|CD |= ．

三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）

如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，∠ADB =90°，CB =CD ，点E 为棱PB 的中点． （Ⅰ）若PB =PD ，求证：PC ⊥BD ；

（Ⅱ）求证：CE ∥平面P AD ．

18．（12分）

已知{}n a 的前n 项和24n S n n =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列72n n

a -⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和T n ．

19．在平行四边形ABCD 中，设边AB 、BC 、CD 的中点分别为E 、F 、G ，设DF 与AG 、EG 的交点分别为H 、K ，设AB a =，BC b =，试用a 、b 表示GK 、AH ．

20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos 6b A a B π⎛⎫

=- ⎪⎝

⎭

． （Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）设a =2，c =3，求b 和sin （2A ﹣B ）的值．

21．已知方程x 2+y 2﹣2x ﹣4y +m =0．

（Ⅰ）若此方程表示圆，求实数m 的取值范围；

（Ⅱ）若（Ⅰ）中的圆与直线x +2y ﹣4=0相交于M ，N 两点，且坐标原点O 在以MN 为直径的圆的外部，求实数m 的取值范围．

22．已知函数()•,x

x

f x e a e x R -=+∈.

（Ⅰ）当1a =时，证明： ()f x 为偶函数；

（Ⅱ）若()f x 在[

)0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）若1a =，求实数m 的取值范围，使()()221m f x f x ⎡⎤+≥+⎣⎦在R 上恒成立.