函数图像过定点问题

函数图像过定点的研究

题1:

求证:拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点,并求出定点的坐标.

归纳:

第一步:对含有变系数的项集中;

第二步:然后将这部分项分解因式,使其成为一个只含系数与常数的因式与一个只含x与常数的因式之积的形式;

第三步:令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化,都“失效”了);

第四步:解此方程,得到x的值x0(定点的横坐标),将它代入原函数式(也可以就是其变式),即得到一个y的值y0(定点的纵坐标),于就是,函数图象一定过定点(x0,y0);

第五步:反思回顾,查瞧关键点、易错点,完善解题步骤.

题2:

(2001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数,二次函数的图像总过的点就是( )

A、 (1,3)

B、 (1,0)

C、 (－1,3)

D、 (－1,0)

巩固练习:

1.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m的图象总就是过定点 ( )

A. (1,3)

B. (1,0)

C. (﹣1,3)

D. (﹣1,0)

2.对于关于x的二次函数y=ax2﹣(2a﹣1)x﹣1(a≠0),下列说法正确的有( )

①无论a取何值,此二次函数图象与x轴必有两个交点; ②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间的距离为;③当a＞0时,函数在x＜1时,y随x的增大而减小;④当a＜0时,函数图象截x轴所得的线段长度必大于2.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

3、(2012•鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3(m≠0)的图象发现,随着m 的变化,这个二次函数的图象形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点,请您写出这两个定点的坐标: _________ .

4.某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2(m≠0)的图象发现,随着m的变化,这个二次函数图象的形状与位置均发生变化,但这个二次函数的图象总经过两个定点.请您写出这两个定点的坐标: _________ .

5.(2009•宜宾县一模)二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2,则这个函数的图象一定经过某一个定点,这个定点就是_________ .

6.无论m为何实数,二次函数y=x2﹣(2﹣m)x+m的图象总就是过定点_________ .

7.已知一个二次函数具有性质(1)图象不经过三、四象限;(2)点(2,1)在函数的图象上;(3)当x＞0时,函数值y随自变量x的增大而增大.试写出一个满足以上性质的二次函数解析式: _________ .

8、证明无论m为何值,函数y=mx-(4m-3)图像过定点,求出该定点坐标

9、(南京2011年24题7分)已知函数y=mx2－6x＋1(m就是常数).

⑴求证:不论m为何值,该函数的图象都经过y轴上的一个定点;

⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点,求m的值.

10.已知二次函数的顶点坐标为(﹣,﹣),与y轴的交点为(0,n﹣m),其顶点恰好在直线

y=x+1

2

(1﹣m)上(其中m、n为正数).

(1)求证:此二次函数的图象与x轴有2个交点;

(2)在x轴上就是否存在这样的定点:不论m、n如何变化,二次函数的图象总通过此定点？若存在,求出所有这样的点;若不存在,请说明理由.

函数图像过定点的研究

题1:

求证拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点,并求出定点的坐标.

审题视角有些函数的图象具有过定点的性质,这就是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的,例如,直线y＝kx＋b(k≠0),当b确定时,无论k取不等于0的任何值,它总过定点(0,b);物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0),当c确定时,无论a、b取何值,它总过定点(o,c).

本题中可以把函数解析式整理变形,使含字母k的项组合于一组,赋值为零,可以求的自变量的值,而后代入函数解析式,再求得相对应的函数值,即得定点的坐标.

解:整理抛物线的解析式,得

y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1

＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k

＝3x2－2x－1－k(x2 －x－2)(k≠3),

上式中令x2－x－2＝0,得x

1＝－1,x

2

＝2、

将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2),

解得y

1＝4,y

2

＝7,

把点(－1,4)、(2,7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2),

无论k取何值,等式总成立,

即点(－1,4)、(2,7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上,

即拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1,4)、(2,7).

归纳:

第一步:对含有变系数的项集中;

第二步:然后将这部分项分解因式,使其成为一个只含系数与常数的因式与一个只含x与常数的因式之积的形式;

第三步:令后一因式等于0,得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化,都“失效”了);

第四步:解此方程,得到x的值x0(定点的横坐标),将它代入原函数式(也可以就是其变式),即得到一个y的值y0(定点的纵坐标),于就是,函数图象一定过定点(x0,y0);

第五步:反思回顾,查瞧关键点、易错点,完善解题步骤.

题2:(2001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数,二次函数的图像总过的点就是( )

A、 (1,3)

B、 (1,0)

C、 (－1,3)

D、 (－1,0)