3定轴转动定律 转动惯量
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最全的转动惯量的计算ppt课件
有
l
J0
r 2dm l 2 x2dx l3
l 2
12
将 l m 代入上式，得：
J0
1 12
ml 2
2
（2）当转轴通过棒的一端A并与棒垂直时
A
xO
dx l
J0
r2dm l x2dx 1 ml 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
3
3
例题2）半径为R的质量均匀分布的细圆环，质 量均为m，试分别求出对通过质心并与环面垂 直的转轴的转动惯量。
x
9
常见刚体的转动惯量
J mr 2 J mr2 / 2 J mr2 / 2 J m(r12 r22) / 2
J ml 2 /12
J mr2 / 2
J 2mr 2 / 5 J 2mr 2 / 3
10
例题1 一长为l,质量为m的匀质细杆竖直放置, 其下端与一固定铰链o相连,并可绕其转动.当其 受到微小扰动时,细杆将在重力的作用下由静止
开始绕铰链o转动.试计算细杆转到与铅直线呈
角时的角加速度和角速度.
解:受力分析
取任一状态,由转动定律
M外
1 2
mgl sin
J
P o
J 1 ml2 3
3g sin
2l
11
d d d 3g sin d t d d t 2l
d 3g sind
16
例一静止刚体受到一等于M0（N.m)的不变力矩的 作用,同时又引起一阻力矩M1， M1与刚体转动的 角速度成正比,即| M1 |= a(Nm),(a为常数)。又
已知刚体对转轴的转动惯量为J,试求刚体角速度
定轴转动和转动定律
刚体是一种理想模型，其形状和大小始终保持不变。刚体的运动可分为平动和转动，而定轴转动是刚体上所有点绕同一轴线做瞬时圆周运动。在定轴转动中，各质点的角位移、角速度、角加速度相同，并可通过一系列公式来描述其运动状态。力矩是力对转轴的转动效果，它的大小等于力与力臂的乘积，方向由右手法则确定。转动定律指出，刚体绕定轴转动时，其角加速度与所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。转动惯量是描述刚体转动惯性大小的物理量，它等于各质点的质量与各质点到转轴距离平方的乘积之和。转动惯量的大小受刚体的总质量、质量的分布以及转轴位置的影响。通过计算转动惯量，可以进一步了解刚体的转动特性。此外的理解和应用。
第三章 刚体的定轴转动
令
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
m r
i 1
n
2
i i
=J
1 2 Ek Jω 2
转动动能
ω 对应 v
J 对应 m
1 2 Ek mv 2
质点的动能
二 转动惯量 ( moment of inertia ) 质量 质点惯性大小的量度
J 与 m 对应
转动惯量 刚体转动惯性大小的量度
n
J mi ri
i 1
2
体分布
dm =ρdV dm =σdS dm =λdl
面分布 线分布
J r dm
2 m
单位:
kg · 2 m
说明： J r 2dm
m
1. J 与刚体的质量有关； 2. 质量一定，与质量的分布有关；
3. 与轴的位置有关。因此叫作绕轴的
转动惯量。
转动惯量的计算
例1 质量为m，半径为 r 的均匀细圆环， 对通过其中心并垂直环面的转轴的转动惯量。 解： 根据转动惯量的定义求解。
3. 题 3－2，3－8，3－9。
§3-1
刚体的定轴转动
刚体 ( rigid body ) ：在任何情况下，其形状和大 小都不发生任何变化的物体 刚体是一种理想模型
一 刚体的运动 刚体的运动
｛ 转动
平动
平动 ( translation ) 刚体运动时，其上任意两点的连线 ， 在运动过程中始终保持其方向不变 。 刚体的平动遵从质点运动的规律
ω ω0 αt
1 2 θ θ0 ω0t αt 2 2 2 ω ω0 2α(θ θ0 )
切向加速度 ( tangential acceleration )
dv at dt d (rω) dt dω r dt
定轴转动和转动定律
应用场景：定轴转动、 行星运动、弹簧振子 等。
实例分析：单摆运动 中，摆球在摆动过程 中机械能守恒，可以 求出摆球摆动的最大 高度等。
结论：机械能守恒定 律是物理学中一个非 常重要的基本规律， 在许多实际问题中有 广泛的应用。
实例分析
实例名称：单摆
实例分析：根据定轴转动的机械能 守恒定律，单摆的摆动周期与振幅 无关，只与摆长有关。
定轴转动和转动定律
汇报人：XX
定轴转动的定义 转动定律 转动惯量 定轴转动的动能和势能
定轴转动的机械能守恒定律
定轴转动的定义
定义
定轴转动是指刚体 绕某一固定轴线转 动的运动。
定轴转动时，刚体 的角速度矢量与转 动轴线重合。
定轴转动时，刚体 上任意一点绕固定 轴线的速度大小不 变。
定轴转动时，刚体 上任意一点绕固定 轴线的加速度大小 不变。
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
实例描述：单摆在摆动过程中，由 于只有重力做功，所以机械能守恒。
实例结论：通过实例分析，验证了 定轴转动的机械能守恒定律的正确 性。
THANK YOU
汇报人：XX
公式：Iω=M，其中I是转动惯量，ω是角速度，M是外力矩矢量。
意义：定轴转动定律描述了质点系在转动过程中动量矩矢量的变化规律， 是经典力学的基本定律之一。
应用：在工程、物理、天文等领域中，定轴转动定律被广泛应用于分析旋 转运动系统的动力学特性和运动规律。
转动定律的应用
描述定轴转动的 物体在转动过程 中受到的力矩和 角速度的变化关 系。
转动惯量的大小 与质量、转动半 径有关
转动惯量具有方 向性，与转轴的 选取有关
转动惯量是刚体 转动时动量矩的 量度
52--定轴转动定律
dt
Mdt d(J) 刚体定轴转动角动量定理微分形式
t
J
Mdt
t0
J00 d(J) J J00
刚体定轴转动角动量定理积分形式
4
L (miviri ) (miri2 ) ( miri 2 ) J
J miri 2 称为刚体对转轴的转动惯量
3
L J
于是有 M d(J) J d J
dt
dt
刚体定轴转动定理： M J
F ma
对 M d (J) 进行处理得到：
大小：M Fr sin
M
F
Or
d
Pr
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
二、刚体定轴转动定理
在以角速度ω作定轴转动的刚体
内取一质点 mi ，则其对OZ轴
的角动量为：
o ri
v
P
Li miviri
对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的 方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所 有质点的角动量求和。
刚体转动定律
1
一、作用于定轴刚体的外力矩
1 .力对固定点的矩
M
rF
2 .力对固定轴的矩
（1）力直于转轴
这种情况相当于质点绕固 定点O转动的情形。
（2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴
的分量和垂直于转轴的分量。
平行转轴的力不产生转动效果，
该力对转轴的 力矩 为零。 M r F
Mdt d(J) 刚体定轴转动角动量定理微分形式
t
J
Mdt
t0
J00 d(J) J J00
刚体定轴转动角动量定理积分形式
4
L (miviri ) (miri2 ) ( miri 2 ) J
J miri 2 称为刚体对转轴的转动惯量
3
L J
于是有 M d(J) J d J
dt
dt
刚体定轴转动定理： M J
F ma
对 M d (J) 进行处理得到：
大小：M Fr sin
M
F
Or
d
Pr
z
F∥
or
F θ F⊥
转轴
转动平面 2
二、刚体定轴转动定理
在以角速度ω作定轴转动的刚体
内取一质点 mi ，则其对OZ轴
的角动量为：
o ri
v
P
Li miviri
对于整个刚体，各质点对定轴的角动量都具有相同的 方向。则定轴转动刚体的角动量就是对组成刚体的所 有质点的角动量求和。
刚体转动定律
1
一、作用于定轴刚体的外力矩
1 .力对固定点的矩
M
rF
2 .力对固定轴的矩
（1）力直于转轴
这种情况相当于质点绕固 定点O转动的情形。
（2）力与转轴不垂直 可以把力分解为平行于转轴
的分量和垂直于转轴的分量。
平行转轴的力不产生转动效果，
该力对转轴的 力矩 为零。 M r F
刚体的定轴转动定律
刚体的定轴转动定律1. 介绍刚体是物理学中的一个重要概念，它指的是在运动过程中形状和大小保持不变的物体。
刚体的定轴转动定律是描述刚体绕固定轴线转动的规律和性质，对于我们理解刚体的运动和应用相关物理问题具有重要意义。
2. 刚体的转动惯量2.1 定义刚体绕轴线转动时，其转动惯量是衡量刚体抵抗转动运动的特性。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布以及轴线的位置和方向。
2.2 转动惯量的计算方法转动惯量可以通过积分计算得到，对于一个质量为m的刚体，其转动惯量可以用以下公式表示： [ I = r^2 dm ] 其中，r是质量元dm到转轴的距离。
对于一些常见的简单形状的刚体，转动惯量可以通过一些公式直接计算得到，例如：- 细杆绕直线轴线转动：[ I = mL^2 ] - 球体绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ] - 圆环绕直径轴线转动：[ I = MR^2 ]3. 定轴转动的角动量3.1 定义角动量是描述物体转动的物理量，刚体的角动量可以通过转动惯量和角速度的乘积得到。
3.2 角动量的守恒对于一个孤立系统，如果没有外力矩作用，刚体的角动量将保持不变，这就是角动量守恒定律的内容。
3.3 角动量定理角动量定理描述了外力矩对刚体角动量的影响，它可以表示为以下公式： [ = ] 其中，()是作用在刚体上的外力矩，(L)是刚体的角动量。
4. 牛顿第二定律与角加速度4.1 牛顿第二定律牛顿第二定律描述了刚体转动的加速度与作用力的关系，其公式为： [ = I] 其中，()是作用在刚体上的合外力矩，(I)是刚体的转动惯量，()是刚体的角加速度。
4.2 角加速度的计算对于旋转轴与力矩不垂直的情况，我们可以通过以下公式计算刚体的角加速度：[ = ] 其中，()是力矩与旋转轴之间的夹角。
5. 定轴转动的动能5.1 定义刚体的转动动能是由于其转动而具有的能量，它可以通过转动惯量和角速度的平方的乘积得到。
5.2 动能定理动能定理描述了外力对刚体转动动能的影响，它可以表示为以下公式： [ W = K ] 其中，(W)是作用在刚体上的合外力所做的功，(K)是刚体的转动动能。
16定轴转动刚体的角动量转动惯量和定轴转动定律
m
I = I C + md
2
刚体绕质心轴的 转动惯量最小。 转动惯量最小。
12
例5：如图所示刚体对经过棒端且与棒垂直的轴 ： 的转动惯量如何计算？ 棒长为 棒长为L、圆半径为R） 的转动惯量如何计算？(棒长为 、圆半径为 ）
1 2 I L1 = m L L 3 1 I o = mo R 2
1 1 2 I = m LL + moR 3 2
7
.转动惯量的计算 2 .转动惯量的计算
Δm 2 分立质点系 I = ∑( iri ) = ∑ Ii
质量连续分布的刚体
I = ∫ r dm
2
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下： 为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 质量为面分布
dm = λ dl
dm = σ ds 质量为体分布 dm = ρ dV
Fiτ ri + ∑ f iτ r i = ∑ ∆mi ai ri = ∑ ∆mi ri 2 β ∑
∑ F τ r + ∑ f τ r = ∑ ∆m a r = ∑ ∆m r
i i i
2
⇓ 合外力矩
⇓
i
i i i
i i
β
内力矩之和
刚体定轴 转动定律！ 转动定律！
⇓ Iβ
合外力矩） 用M表示∑Fit ri （合外力矩），有： M = Iβ 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于 刚体所受的对于某一固定转动轴的合外力矩等于 某一固定转动轴 刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩 对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用 刚体对此转轴的转动惯量与刚体在此合外力矩作用 下所获得的角加速度的乘积。 下所获得的角加速度的乘积。 注意几点: 注意几点: 1. 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 是矢量式（在定轴转动中力矩只有两个方向）。 2. M、I、β是对同一轴而言的。 是对同一轴而言的。 3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。 4. 转动惯量 是刚体转动惯性大小的量度。 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度 是刚体转动惯性大小的量度。 5.刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当
定轴转动定律转动惯量
采用自然坐标系，上式切向分量式为
Fi sin i F内i sini miait miri
Firi sini F内i ri sini miri2
对刚体内各个质点的相应式子，相加得
Firi sini F内i ri sini (miri2 )
i
i
i
对于成对的内力，对同一转轴的力矩之和为零，则
经过多少时间才停止转动？
解： 把 圆 盘 分 成 许 多 环 形
质元，每个质元的质量
dm=reddr ， e 是 盘 的 厚
度，质元所受到的阻力矩
d r R
dr
eHale Waihona Puke 为 rdmg 。圆盘所受阻力矩为
Mr rμdmg μg rρredθdr
Mr rμdmg μg rρredθdr
μgρe
通过任一转轴A的转动惯量： （取C为坐标原点）
d dm A C dx
x
mxC 0
正交轴定理
薄板状刚体对板面内相互垂直的两个定轴 X、Y 的
转动惯量之和，等于该刚体对通过两轴交点且垂直于 板面的定轴 Z 的转动惯量，即：
IZ IX IY
例4-4 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。
解：
(1) 圆环： dm
(2) 圆盘：
O r dm
可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
刚体的回转半径 rG ：
I miri2 mrG2
i
rG
I m
例4-5 物体：m1、m2(>m1)， 定滑轮：m、r，受摩擦 阻力矩为Mr。轻绳不能伸长，无相对滑动。求物体的 加速度和绳的张力。
解：由于考虑滑轮的质量和所受 的摩擦阻力矩，
第3章刚体的定轴转动
绕通过质心 由合外力矩决定（应用
轴的转动
转动定律）
第3章 刚体的定轴转动
例3 质量为 mA 的物体 A 静止在光滑水平面上，
和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质
量为 的圆mC柱形滑轮 C，并系在另一质量为 的物mB
体 B 上. 滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩
擦力可略去不计. 问：（1） 两物体的线加速度为多少？
dt
M
dL
作用于质点的合力对参考点 O 的力矩 ，等于质点对该点 O 的角
dt 动量随时间的变化率.
第3章 刚体的定轴转动
M
dL
dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
Mdt
t1
质点的角动量定理：对同一参考点 O ，质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量.
3 质点的角动量守恒定律
M 0, L 恒矢量
的大小与角速度的平方成正比，比例系数为 k
（ k 为大于零的常数).当 1 30 时，飞轮的角
加速度为
，所经历的时间为
M k2
M J
k 2
J
k
2 0
9J
第3章 刚体的定轴转动
M k2
M J J d
k 2 J d
dt
dt
t dt J
1
3
0
1
d
0
k 0 2
2J t
M mr 2
2）刚体
质量元受外力 Fej，内力 Fij
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
第3章 刚体的定轴转动
z
M
F
F
O
刚体定轴转动的转动定律
R
M
h
Hale Waihona Puke 解法一 用牛顿第二运动 定律及转动定律求解.分 析受力如图所示. 对物体m用牛顿第二 运动定律得 mg T ma 对匀质圆盘形滑轮用 转动定律有 TR J 物体下降的加速度的 大小就是转动时滑轮边缘 上切向加速度，所以
o R M
T
h
a
G
a R 物体m 落下h 高度时的速率为
2
3.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆环 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. 解 作示意图如右,由于质 量连续分布，所以由转动 惯量的定义得
J R 2dm
m
dm
o
R
2R 0
m R dl 2R
2
mR 2
4.试求质量为m 、半径为R 的匀质圆盘 对垂直于平面且过中心轴的转动惯量. dr 解 如图所示, 由于质 量连续分布，设圆盘的 R l o r 厚度为l，则圆盘的质量 密度为 m 2 R l
r近日 r远日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有 r近日 v近日 r远日 v远日 因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
r近日v近日 所以 r远日 v远日
代入数据可, 得
J r 2dm
m
R 0
1 1 4 r 2r ldr R l mR 2 2 2
2
5. 如图所示，一质 量为M 、半径为R 的匀 质圆盘形滑轮，可绕一 无摩擦的水平轴转动. 圆盘上绕有质量可不计 绳子，绳子一端固定在 滑轮上，另一端悬挂一 质量为m 的物体，问物 体由静止落下h 高度时, 物体的速率为多少？
大学物理课课件第3章_刚体的定轴转动
G2 G1
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2)
a
gt 2
(rad)
两匀直细杆
两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五
θ
θ
根据
1 2 1 2
θ θ
1 3 1 3
地面 从等倾角 处静止释放
短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关
第3节 机械能守恒定律
用两个对 转的顶浆
（支奴干 CH47)
A、B两轮共轴 A以ωΑ作惯性转动
守恒例题一
两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度
ωΑΒ
以A、B为系统，忽略轴摩擦，脱离驱动力矩后，系 统受合外力矩为零，角动量守恒。
初态角动量 末态角动量
得
守恒例题二
木棒 弹
以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间，系统在
铅直位置，受合外力矩为零，角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹 棒
对 质点运动和刚体转动定律
m 1 m 2 和 m 分别应用
及
β
R
T2 T2
m
T1 T1 m1
m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Iβ
得 故
a = Rβ
1 I = 2 mR2 常量
β
(m1-m2)g = R(m1+ m2+ m 2) 由
m2
a
定轴转动物理量
1. 角位置
描述刚体（上某点）的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体
刚体中任 一点
(t+△t) (t) 参考 方向
2. 角位移
简述刚体转动定律
简述刚体转动定律刚体转动定律是描述刚体绕定轴转动的物理定律。
在刚体转动过程中，有三个关键定律对于描述和解释刚体的转动运动非常重要，它们是转动惯量定理、角动量定理以及角动量守恒定律。
1.转动惯量定理：转动惯量（或称为转动惯性）是描述刚体绕轴旋转惯性的物理量，用字母I表示。
它与物体的质量分布和轴线的位置有关。
转动惯量定理指出，刚体绕一个固定轴的转动惯量等于质量分布关于轴线的积分：I = ∫r^2 dm其中，r是质量元素dm到轴线的距离。
对于均匀杆的转动惯量，可以使用以下公式计算：I = 1/12 * mL^2其中，m为杆的质量，L为杆的长度。
2.角动量定理：角动量是描述刚体转动状态的物理量，用字母L表示，它等于刚体的转动惯量与角速度的乘积。
L = I * ω其中，ω为角速度，即刚体绕轴旋转的每秒角度变化量。
角动量定理指出，当刚体受到外力矩作用时，角动量的变化率等于外力矩的大小和作用时间的乘积：τ = dL/dt其中，τ为外力矩，即力矩的角动量。
3.角动量守恒定律：角动量守恒定律是指刚体绕固定轴转动时，如果物体不受到外力矩的作用，则角动量保持不变，即角动量守恒。
L1 = L2其中，L1和L2分别是刚体在转动过程中的初态和末态的角动量。
根据以上三个定律，可以得到一些关于刚体转动的重要结论：1.转动惯量与物体的质量分布有关，质量分布越集中，转动惯量越小；质量分布越分散，转动惯量越大。
2.角动量与转动惯量和角速度的乘积成正比，如果转动惯量越大，角速度越小，那么角动量也会越小。
3.当物体受到一个外力矩的作用时，物体的角动量会发生变化，且变化的速率与作用力矩的大小和作用时间的长度有关。
4.如果刚体不受外力矩作用，则刚体的角动量守恒，即刚体的角动量保持不变。
5.刚体转动的动能与转动惯量和角速度的平方成正比，转动惯量越大，角速度越小，刚体的转动动能也会越小。
以上是关于刚体转动定律的简要说明。
刚体转动定律在物理学中具有重要的意义，能够帮助我们理解刚体绕轴旋转的运动规律，并应用于工程、天文和机械等领域。
转动惯量计算
2l
初始条件为：=0，=0
d
3g
s in d
0
2l 0
3g (1 cos )
2l
例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均
匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边 上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时 滑轮的角速度。
dJ 2r3hdr
J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r2dm
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
5.3 定轴转动的转动惯量
• 质量离散分布的刚体 J miri2
• 质量连续分布的刚体 J r 2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素
M+
2）分析受力矩
M0 J M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
初始条件为：=0，=0
d
3g
s in d
0
2l 0
3g (1 cos )
2l
例题2 一个质量为M，半径为R的定滑轮（当作均
匀圆盘）上面绕有细绳。绳的一端固定在滑轮边 上，另一端挂一质量为m的物体而下垂。忽略轴处 摩擦，求物体m由静止下落h高度时的速度和此时 滑轮的角速度。
dJ 2r3hdr
J dJ R 2r3hdr 1 R4h
0
2
m
R2h
代入得
J 1 mR2
2
J与h无关
一个质量为m、半径为R的实心圆柱体对其中心 轴的转动惯量也与上述结果相同。
例4）求一质量为m的均匀实心球对其一条直径
为轴的转动惯量。
Z
解：一球绕Z轴旋转，离球
dl
R
例题3 求质量为m、半径为R、厚为h的均质圆盘 对通过盘心并与盘面垂直的轴的转动惯量。
解：如图所示，将圆盘看成许多薄圆环组成。取 任一半径为r，宽度为dr的薄圆环，此薄圆环的转 动惯量为
dJ r2dm
dm为薄圆环的质量。以 表示圆盘的质量体密度
dm dV 2rhdr
5.3 定轴转动的转动惯量
• 质量离散分布的刚体 J miri2
• 质量连续分布的刚体 J r 2dm
dm为质量元，简称质元。其计算方法如下：
质量为线分布 dm dl 质量为面分布 dm ds
质量为体分布 dm dV
J与质量大小、质量分布、转轴位置有关 演示程序： 影响刚体转动惯量的因素
M+
2）分析受力矩
M0 J M1
3）建立轴的正方向； 4）列方程：
大学物理 2-3刚体定轴转动定律和转动惯量
力学篇
r
θ
F⊥
14
物理工
自学考试
刚体的定轴转动
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和 ）
M = M1 + M 2 + M3 + ⋯
作用力和 （3）刚体内作用力和反作用力的力矩 ）刚体内作用力 反作用力的力矩 互相抵消． 互相抵消．
Mij
rj
j
O
d
Mji
ri
iF
Fji
ij
M ij = − M ji
力学篇
15
力学篇
2
24
物理工
自学考试
刚体的定轴转动
J = Jc +m d
2
圆盘对P 圆盘对 轴的转动惯量
P
R
O
m
质量为m，长为L的细棒绕其一端的 的细棒绕其一端的J 质量为 ，长为 的细棒绕其一端的
1 2 2 J P = mR + mR 2
1 2 J c = mL 12
O1
O1’
L2 1 2 J = Jc +m ) = m ( L 2 3
物理工
自学考试
刚体的定轴转动
一
刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下， 刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体． 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组． 不变的特殊质点组．) ⑴ 说明： 说明： 刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的． ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的． 刚体的运动形式：平动、转动． 刚体的运动形式：平动、转动．
2 2 0
θ = θ 0 + ω 0t + αt
1 2
2
v = v + 2a( x − x0 ) ω = ω + 2α (θ − θ 0 )
r
θ
F⊥
14
物理工
自学考试
刚体的定轴转动
（2）合力矩等于各分力矩的矢量和 ）
M = M1 + M 2 + M3 + ⋯
作用力和 （3）刚体内作用力和反作用力的力矩 ）刚体内作用力 反作用力的力矩 互相抵消． 互相抵消．
Mij
rj
j
O
d
Mji
ri
iF
Fji
ij
M ij = − M ji
力学篇
15
力学篇
2
24
物理工
自学考试
刚体的定轴转动
J = Jc +m d
2
圆盘对P 圆盘对 轴的转动惯量
P
R
O
m
质量为m，长为L的细棒绕其一端的 的细棒绕其一端的J 质量为 ，长为 的细棒绕其一端的
1 2 2 J P = mR + mR 2
1 2 J c = mL 12
O1
O1’
L2 1 2 J = Jc +m ) = m ( L 2 3
物理工
自学考试
刚体的定轴转动
一
刚体的定轴转动
刚体：在外力作用下， 刚体：在外力作用下，形状和大小都不 发生变化的物体． 发生变化的物体．(任意两质点间距离保持 不变的特殊质点组． 不变的特殊质点组．) ⑴ 说明： 说明： 刚体是理想模型 刚体模型是为简化问题引进的． ⑵ 刚体模型是为简化问题引进的． 刚体的运动形式：平动、转动． 刚体的运动形式：平动、转动．
2 2 0
θ = θ 0 + ω 0t + αt
1 2
2
v = v + 2a( x − x0 ) ω = ω + 2α (θ − θ 0 )
刚体绕定轴转动的转动定律和转动惯量
0 R2
1 mR2 2
Z
m R2
R1
薄圆环
dm
ds
m (R22
R12
)
ds
ds 2 rdr
dJ r2dm
J R2 r 2
m
2 rdr
R1
(R22 R12 )
1 2
m(R22
R12 )
R
m
H
空心圆柱面
dm ds m ds 2 RH
ds 2 Rdh
dJ r2dm
J H R2 m 2 Rdh
0 2 RH
mR3
r
R
H m
实心圆柱
dm
dV
m
R2H
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R r2 m 2 rHdr
0 R2H
R2 R1
H m
同轴空心圆柱
dm
dV
mg
H (R22
R12 )
dV
dV 2 rHdr
dJ r2dm
J R2 r2
mg
2 rHdr
R1 H (R22 R12 )
R
+
T1
+
T2
N
m
4m
2m ＋ o
P1
P2
mg
4m
T1
T2
2m
分别对人、物、滑轮建立方程：
4mg-T1 4ma人地
（1 ）
T2-2mg 2ma物地 2ma绳地 （2） R
T1R -T2 R
J
1 2
mR2
（3） m
人相对 绳匀加 速a0上爬，则
a人地 a人绳 a绳地
4m
刚体定轴转动定律
于 180°的夹角 θ 转向 F 时，拇指所指的方向就是力矩的方向。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
可见，力矩的方向与转轴的方向平行，只有两个可能的方向，因此，可用 M 的正负表示力矩的方向。 一般可按力矩的作用来判断其正负：由转轴 Oz 正向俯视，若力矩的作用使刚体逆时针转动，则力矩为 正，否则为负。
刚体定轴转动定律 1.1 力矩
可加性
• 对同一转轴而言，刚体各部分转动惯量之 和等于整个刚体的转动惯量。
平行轴定理
• 设有两个彼此平行的转轴，一个通过刚体 的质心，另一个不通过质心。两平行轴之 间的距离为d，刚体的质量为m。
如果此刚体对通过质心转轴的转动惯量为 Jc ，则对另一 转轴的转动惯量 J 为 J Jc md 2
刚体定轴转动定律
刚体定轴转动定律Βιβλιοθήκη ， ，，，
例题讲解 2
如图所示，一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮。绳两边分别悬有质量为 m1 和 m2 的两个物体 A，B。已知 m1
小于 m2 ，滑轮可看作质量均匀分布的等厚圆盘，其质量为 m，半径为 r，设绳与滑轮间无相对滑动。求：① 物
体的加速度；② 滑轮的角加速度；③ 绳的张力。
i 1
n
用 M 表示，即 M (Δmiri2 ) β
i 1
n
n
式中的 (Δmiri2 ) 称为转动惯量，用 J 表示，即 J (Δmiri2 )
i 1
i 1
于是，式可写为 M Jβ
刚体定轴转动定律 1.2 转动定律
转动定律：刚体定轴转动时，刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量 成反比。
r 2 dm
Ω
式中 r ——质元 dm 到转轴的距离（m）。 在国际单位制中，转动惯量的单位为 kg m2 。
转动惯量 转动定律
0 5 π rad s 1 , t = 30 s 时， 0 . 解 （1）
设 t = 0 s 时， 0 0 .飞轮做匀减速运动
0
t 05π 30 rad s
1
π 6
rad s
2
飞轮 30 s 内转过的角度 2 2 02 (5 π ) 75 π rad 2 2 ( π 6)
d dt
d
2
d dt
a
an r
d t
2
v r et
a t r a n r
2
at
et v
2 a r et r en
例1 一飞轮半径为 0.2m、 转速为150r· -1， 因 min 受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动 . 试求：（1） 角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开 始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘 上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
圆环质量
dm 2π rdr
RR
O
r
dr
圆环对轴的转动惯量
dJ r dm 2π r dr
2 3
而
m π R
(A)增大 (B)不变 (C)减小 (D)无法确定 分析： （1）将其分为两个部分,分别列出运动方程： P T ma (1) TR J 1 ( 2 )
3-1 定轴转动刚体的转动惯量
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
c = 2ω t 2 = (π 75) rad ⋅ s −3
1 2 π ω = ct = rad ⋅ s − 3t 2 转子的角速度 2 150 dθ π ω= = rad ⋅ s − 3 t 2 由角速度的定义 d t 150 θ t π −3 2 得 ∫0 d θ = 150 rad ⋅ s ∫0 t d t π −3 3 有 θ = rad ⋅ s t 450
质点的角动量
v L
z
v v
v r
o
x
v L
θ m y
v v
θ
质点以角速度 ω 作半径 的圆运动， 为 r 的圆运动，相对圆心的 角动量
v r
v p
v L
L = mr ω
2
v m o r
3 . 1 定轴转动刚体的转动惯量
第3章 刚体动力学
刚体定轴转动的角动量
Lz =
定义
∑ mi Ri v i = ( ∑ mi R )ω
σ， 解 设圆盘面密度为 在盘上取半径为 ，宽为 dr 的圆环
m 、半径为R 的均匀圆盘， 例3 一质量为 的均匀圆盘， 求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 。
r
圆环质量
dm = σ 2π rdr
3
O R R
r dr
圆环对轴的转动惯量
dI = r dm = 2 π σ r dr R σ 3 4 I = ∫ 2 π σ r dr = π R
ω
z
质量离散分布刚体的转 动惯量
I = ∑mj R = m R + m2 R + L
2 j 2 1 1 2 2 j
3第三章_刚体的定轴转动
d dt
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
d dt
J
,
刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等 于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别 悬有质量为m1 和m2 的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无 相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳 子的张力. o 解: 受力图如下， 设 m 2 >m 1 r
(m 2 m1 ) g (m1 m 2 1 2
1 2 1 2 m m)g
1 2
m
m )r
m)g T2
T1
m 2 (2 m1
m1 m 2
m1 m 2
3-2 定轴转动的动量矩定理和 动量矩守恒定律
预习要点 1. 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动 量矩如何计算? 2. 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是
认识刚体
在研究物体的运动时，根据问题的性质和要求， 有时需要考虑物体的形状和大小，而忽略物体在力 的作用下引起的形变，即把物体看作是形状、大小 不会改变的物体—刚体：在外力作用下形状和大小 保持不变的物体(ideal model） 刚体特征： 构成刚体任意两质点间的距离，在运动过程中恒保 持不变。是一种“速冻”质点系。 研究任务： 刚体的运动，突出转动，将其上升为研究的主要问 题和对象。忽略了振动及其它变形运动。
J J
i
m i ri
2
2
m
r dm
例：如图质点系
J
m3 r3
r1 m 1
m2 r2
i3
m i ri
2
2
i 1
相关主题
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第3章 刚体力学基础
一、 定轴转动定律
M z J
刚体定轴转动的角加速度与它所受到的合外 力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比. M 的符号：使刚体向规定的 正方向转动的力矩为正 说明
(1) 与 M 方向相同． (2)
M、J、 对同一轴
(3) 为瞬时关系． (4) 转动中 M J 与 平动中 F ma 地位相同．
第3章 刚体力学基础
（mB> mA） 例3.1 一质量分别为mA,mB的两个物体
通过定滑轮由不可伸长的细绳相连接，定滑轮半径为 r， 转动惯量为J，细绳与滑轮间无相对滑动，求绳中的张 力TA， TB，及两物体的加速度a?
mB> mA
r
TA
m m A
TB
mB
第3章 刚体力学基础
例3.2 电动机的转子初始角速度为 0 ，当仅受
4m
m
l l l
2m
3m
A
l
5m
思考：A点移至质量为2m的杆中心处 J=?
第3章 刚体力学基础
例3.3 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂 直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量. (1) 轴过中点
L
2
o x
dm
L 2
x
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
x
L
第3章 刚体力学基础
需要掌握的几种刚体的转动惯量：
到一恒定的未知摩擦阻力矩Mf的作用时，经t1秒
后停止；如果这个过程中再加上另一恒定阻力矩 M，则经过t2秒停止。求电动机转子的转动惯量J 和摩擦阻力矩Mf？
第3章 刚体力学基础
二. 转动惯量(moment of inertia) 1 定义
J ri mi
2
3转动惯量与 转轴位置有关 质量有关 质量分布有关
单位:
kg m
i
2
2 物理意义 描述物体转动惯性的大小.
第3章 刚体力学基础
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
第3章 刚体力学基础
4 计算
J
m r （分立） r d m （连续）
2 i i
2
第3章 刚体力学基础
例1.由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点 系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量.
r
l 细棒转轴通过端 点与棒垂直
l 细棒转轴通过 中心与棒垂直
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
ml J 3
2
ml J 12
2
1 2 J mr 2
一、 定轴转动定律
M z J
刚体定轴转动的角加速度与它所受到的合外 力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比. M 的符号：使刚体向规定的 正方向转动的力矩为正 说明
(1) 与 M 方向相同． (2)
M、J、 对同一轴
(3) 为瞬时关系． (4) 转动中 M J 与 平动中 F ma 地位相同．
第3章 刚体力学基础
（mB> mA） 例3.1 一质量分别为mA,mB的两个物体
通过定滑轮由不可伸长的细绳相连接，定滑轮半径为 r， 转动惯量为J，细绳与滑轮间无相对滑动，求绳中的张 力TA， TB，及两物体的加速度a?
mB> mA
r
TA
m m A
TB
mB
第3章 刚体力学基础
例3.2 电动机的转子初始角速度为 0 ，当仅受
4m
m
l l l
2m
3m
A
l
5m
思考：A点移至质量为2m的杆中心处 J=?
第3章 刚体力学基础
例3.3 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂 直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量. (1) 轴过中点
L
2
o x
dm
L 2
x
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
x
L
第3章 刚体力学基础
需要掌握的几种刚体的转动惯量：
到一恒定的未知摩擦阻力矩Mf的作用时，经t1秒
后停止；如果这个过程中再加上另一恒定阻力矩 M，则经过t2秒停止。求电动机转子的转动惯量J 和摩擦阻力矩Mf？
第3章 刚体力学基础
二. 转动惯量(moment of inertia) 1 定义
J ri mi
2
3转动惯量与 转轴位置有关 质量有关 质量分布有关
单位:
kg m
i
2
2 物理意义 描述物体转动惯性的大小.
第3章 刚体力学基础
飞轮的质量为什么 大都分布于外轮缘？
竿 子 长 些 还 是 短 些 较 安 全 ？
第3章 刚体力学基础
4 计算
J
m r （分立） r d m （连续）
2 i i
2
第3章 刚体力学基础
例1.由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点 系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量.
r
l 细棒转轴通过端 点与棒垂直
l 细棒转轴通过 中心与棒垂直
薄圆盘转轴通过 中心与盘面垂直
ml J 3
2
ml J 12
2
1 2 J mr 2