上海中考自招真题26套及其答案

四校八大历年自招真题答案目录2013年上中自招试卷2014年上中自招试卷2015年上中自招试卷2011年华二自招试卷2012年华二自招试卷2014年华二自招试卷2013年华二冬令营数学试卷2015年年华二自招试卷2017年年华二自招试卷2013年复附自招试题2014年复附自招试题一2014年复附自招试题二2015年复附自招试题一2015年复附自招试题二2012年交附自招试题2013年交附自招试题2014年交附自招试题2015年交附自招试题2016年交附自招试题2014年七宝自招试题2016年七宝自招试题2016年南模自招试题2016年建平自招试题2017年建平自招试题建平数学培训资料试卷2015年控江自招试题2013年华二冬令营数学试卷1、“帽子函数”的图像如图所示：(1)求此函数的解析式；(2)若有抛物线23(),4y x a a =-+<求它与“帽子函数”图像的交点个数； (3)请试写出一个抛物线解析式，使它与“帽子函数”图像有且只有2个交点，横坐标分别为5722，．【解析】：⑴1,211,12x k x k y x k k x k ⎧≤<+⎪⎪=⎨⎪-+++≤<+⎪⎩⑵0a <时，无交点0a =时，一个交点304a <<时，两个交点 ⑶考虑到34a =时，抛物线234y x =-+与帽子函数交于11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭、11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭两点， 所以可以将234y x =-+向右平移3个单位，即满足条件 该抛物线解析式为()2334y x =--+2、在一个8×8的正方形方格纸中，一个角剪去一个2×2的小正方形，问其余部分可否剪成15块“L ”型(如图)纸片，若能剪，给出剪切方法，若不能剪，请说明理由。

【解析】（一道基础的染色问题）如图进行黑白相间染色，那么L 型放入方格纸中，必定可以盖住1个黑格子和3个白格子，或者3个黑格子和1个白格子。

L 形格子盖住的黑格子数都是奇数个，所以15个L 形盖住的黑格子也还是奇数个，而方格纸中有偶数个黑格子，矛盾。

所以不能。

3、n 为正整数，123,S n S n =++++为一个由同一个数字组成的三位数，求的值. 【解析】设该三位数为aaa ，则()11112n n S a +==⋅ 变形为()12337n n a +=⨯⨯⨯，考虑到a 为整数，且19a ≤≤只能 6a =，36n =4、寒山寺每隔9秒敲一次钟，第一次敲钟时，甲、乙两船分别向上、下游驶去，速度分别为3/,9/m s m s ，当甲船听到第108声时，乙船只能听见第_______声.(=300/V m s 声)【解析】设第一次敲钟时的时刻为0秒，则甲听到第108声的时刻为 1079381079972300311⨯⨯⨯+=-秒 设乙只能听到第k 声，则乙听到第k 声的时刻为()()1999009001930099797k k k -⨯⨯-⨯+=--则有9009008972979711k -≤，解得105.8k < 所以乙只能听到第105声5、对于满足22(3)(3)6(,),x x y x y y-+-=的所有实数对使最大，这个最大值为________. 【解析】设x k y=，则x ky = 代入原式，得()()22336ky y -+-=化为()()22166120k y k y +-++=要使y 有实数解，则()()22664810k k ∆=+-+≥解得33k -≤≤+所以最大值为3+注：本试卷为冬令营考卷，主要目的为筛选竞赛考生，所以难度较高，2,8,9,10等题均需要一定的竞赛背景，难度超出一般自招难度，不必过于较真6、方程21x a --=有三个整数解，求a 的值.【解析】()21f x x =--的图像如图所示，只有1y =与()f x 有三个整数解， 所以1a = （当然也可以用分类讨论的方法做）7、若方程22(1)210x a x a ++++=有一个小于1的正数根,那么实数a 的取值范围__________.【解析】对原式进行十字相乘可得()()1210x x a +++=所以1x =-或21a --∵方程有一个小于1的正数根∴0211a <--<，解得112a -<<-8、方程22222x y z w u +++=共有_____组整数解.【解析】无数组整数解，取(),,,,(0,0,0,,)x y z w u k k =，其中k 为任意整数9、正方形ABCD 中有一点E ，使E 到A B C 、、求此正方形的边长.【解析】费马点问题：是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。

简证：将ABP ∆绕点A 旋转60︒至''AB P ∆，则'APP ∆为正三角形距离之和''''PA PB PC PP P B PC B C ++=++≥，当',',,B P P C 四点共线时“=”成立，此时120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒所以费马点该点所对三角形三边的张角相等，均为120︒对于此题，点E 应满足120AEB BEC CEA ∠=∠=∠=︒10、9名同学分别投票给“杨坤组”与“那英组”，最终“杨坤组”5票，“那英组”4票，问“杨坤组”的票数始终压过“那英组”的概率为____________.【解析】满足条件的情况数为48145C =，总情况数为49126C = 所以概率1411269P ==卡塔兰数公式：21n n C n +（比较复杂，自行百度）B'2016复旦附中创新拔尖人才培养选拔校园日一. 填空题1.已知a b c x b c a c a b===+++，则x =________. 【答】12或1- 【解析】由题意()()()()2a b c x b a c x a b c a b c xc a b x=+⎧⎪=+⇒++=++⎨⎪=+⎩若0a b c ++=，则1a a x b c a===-+-， 若0a b c ++≠，则12x =. 综上12x =或1-. 2.已知函数()()225323y x a x b x b =-+-++≤≤图像关于y 轴对称，则a b +=________.【答】4【解析】由题意二次函数对称轴0x =，定义域关于原点对称50230a b b ⇒-=++=， 514a b ⇒+=-=.3.已知函数()()2221y k x kx k =--++的图像与x 轴只有一个交点，则k =__________.【答】2±【解析】若原函数不为二次函数，则2k =43y x ⇒=-+与x 轴只有一个交点成立；若原函数为二次函数，则()()244210202k k k k k =--+=⇒--=⇒=-△综上2k =±4.在同一个直角坐标系中，已知直线y kx =与函数283233243x x y x x x -⎧⎪=--<<⎨⎪+-⎩，≥，，≤图像恰好有三个公共点，则k 的取值范围是__________. 【答】223k << 【解析】原函数图像大致如图，当0k <，y kx =过二四象限不满足题意， 显然0k ≠，当y kx =过()32--，则23k =，恰有两交点，当2k =，三条直线平行，于是223k <<. 5.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥CD AB >，，设E F 、分别是AC BD 、的中点，AC 与BD 交于点O ，已知OEF △是边长为1的正三角形，BOC △则梯形ABCD 的面积为__________.【答】【解析】设BO a =，则2OD OC a ==+，由AOB ODC △、△则()()22sin120222116416sin 604222ABCD a a a a S S a ︒⎧+=⎪⎪⇒++=⇒=⋅=⎨︒⎪=+⎪⎩6.已知矩形ABCD 中，1AB BC a ==，，若在边BC 上存在点Q ，满足AQ QD ⊥，则a 的取值范围是__________.【答】2a ≥【解析】以AD 中点为圆心2a 为半径作圆应与BC 有交点， 122a a ⇒⇒≥≥ 7.已知锐角ABC △的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA >>，若BC 边上的高为AD ，则BD DC -=__________. 【答】4【解析】设AB BC CA ，，分别为11n n n +-，，，则()()222222114n n BD DC AB AC BD DC BD DC BC n +-----====+ 8.已知实数m n ，（其中1m n ⋅≠）分别满足：2219991099190m m n n ++=++=，，则41mn m n++=_____________. 【答】5-【解析】由()()2199919190m m +⋅+=19m n ⇒、均为299190x x ++=的解， B若它们为不同解，则1919m n ⋅=矛盾⇒19m n =⇒原式21941199919551919m m m m m m m m⋅++++-===- 9.若关于x 的方程()()2240x x x m --+=有三个根，且这三个根恰好可以作为一个三角形的三边长，则m 的取值范围是___________. 【答】34m <≤【解析】显然2x =是原方程的根，设另两个根分别为a b 、，42a b +=>，0△≥，2a b -<∣∣且0m >，()216441640m a b m ⎧-=-<⎪⇒⎨=-⎪⎩△≥34m ⇒<≤10.如图，矩形ABCD 中，34AB BC ==，，点E 是BC 边上一点，连接AE ，把B ∠沿AE 折叠，使点B 落在点'B 处，当'CEB △为直角三角形时，BE 的长为__________. 【答】32或3 【解析】设BE x =，过'B 作'B H BC ⊥于H ，()1'90B E C ∠=︒，45AEB ⇒∠=︒，3x AB ⇒==，()2'90B C E ∠=︒，⇒'B 在CD 上，H 与C 重合，由'BB AE ⊥，'33BB BH ⇒==， 22184291809x BH x x x ==⇒-+=+无解 ()3'90E B C ∠=︒，则'C B A 、、共线，AE 为BAC ∠33452x x x ⇒=⇒=-综上32BE =或3 11.如图，OA OD ，是O ⊙的半径，延长OA 至B ，使OA AB C =，是OA 的中点，AOD ∠为锐角α，连接CD BD ，，且CD a =，则_________.BD =【答】2a 【解析】设1OC =，则42OB OD OA ===，，2OC OB OD OCD ODB ⋅=⇒△∽△，相似比1:222BD CD a ⇒==12.已知直角三角形的三边长都是整数，且其面积与周长在数值上相等，若将全等的三角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是_________个.【答】2【解析】设直角三角形三边分别为a b c <<，()2222a b c ab a b c ⎧+=⎪⎨=++⎪⎩有22222c a b b c =+<⇒<())2227ab b b b b ⇒<++=<7a ⇒<，而()()2205ab a b c b b a =++>++⇒≥，若5a =，()()252511312c b c b c b c b c b =-+⇒+=-=⇒==，，代入两式验证成立；若6a =，()()36182108c b c b c b c b c b =-+⇒+=-=⇒==，，代入两式验证成立；综上()()6810a b c =，，，，或()51213，，，满足条件的三角形有2个.13.设()10n n ≥个机场，每一机场起飞一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落，且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为__________.【答】5【解析】首先有五架飞机在O 降落是可以构造的，只需O 为正五边形ABCDE 的中心，其他飞机场在较远处即可。